x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x"

Transkriptio

1 KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : = : = = = y y = 5 5,6 5 6 c) Funktio h ( ) = 6 Nollakohta h bg= 6= Yhtälö on epätosi, joten funktiolla ei ole nollakohtia. y 5 6 Vastaus: a) = b) = y = 6 c) Ei nollakohtia 7. a) Funktio f ( ) = 5 Nollakohdat fbg= 5 = = 5 =± 5 =± 5 5

2 b) Funktio g ( ) = + Nollakohdat g bg= + = + = b g b g = ± = + = = = c) Funktio h ( ) =,, Nollakohdat h bg=,, = b g b g b,g, ±, =, + 7, = = 5,, 7, = =, Vastaus: a) = 5 tai = 5 b) = tai = c) =, tai = 5,. a) Funktio f ( ) = Nollakohdat fbg= = = b g = tai = = tai = b) Funktio g ( ) = + Nollakohdat g bg= + = b g b g ± = = ± = 55

3 c) Funktio h ( ) = Nollakohdat h = bg= = ± 5 5 = ± Koska diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja eli funktiolla ei ole nollakohtia. Vastaus: a) = tai = b) = c) ei nollakohtia. a) + = + = b) = e b 8 8 j g = = tai + = = tai = 8 = tai = = tai = =± =± c) = e 7+ 6j= = tai 7 + 6= b g b g 6 = 7 ± = = 6 tai = = Vastaus: a) = tai = b) =, = tai = c) =, = tai = 6 5. Funktio f ( ) = Nollakohdat fbg= e 5 = j = = tai = 56

4 = tai = =± =± Vastaus: Funktion nollakohdat ovat =, = tai =.. a) Funktion nollakohdat saadaan kohdista, joissa kuvaaja leikkaa -akselin tai sivuaa sitä. Nollakohdat ovat =, =. b) Funktio on positiivinen niillä muuttujan arvoilla, joilla kuvaaja kulkee -akselin yläpuolella eli < < tai > Vastaus: a) Nollakohdat ovat =, = b) Funktio on positiivinen, kun < < tai >. 5. Lämpötilafunktio f () t =, 6t +, 7t, t Nollakohdat fbg= t e j 6, t + 7, t, t = t, 6t +, 7t, = t =, 7 ±, 7, 6,, 6 b b t = tai, 6t +, 7t, = g gb g 7 t =, +,, 6 7 t =,, 6, = 8578,... = 5, 6... Koska t on kellonaika, niin saadaan t =, kello., t = 8578,..., kello noin.5 ja t = 5, 6..., kello noin 5. 57

5 f (t) / C t / h 5 f(t) =,6t +,7t,t t Vastaus: Nollakohdat kello.,.5 ja Varispopulaation lisääntymisfunktio f () t = 75 +, 5 t Mustavarispopulaation vähenemisfunktio gt ()= 9 t Populaatiot ovat yhtä suuret, kun f t bg bg = g t 75 +, 5t = 9, t, t + 5, t 5= t = 5, ± 5,, 5, 5 65 t =, +, 6 (kk), 5 65 t =,, =,... < (ei käy, t > )., Vastaus: Populaatiot ovat yhtä suuret, kun aikaa on kulunut 6 kuukautta. b g 58

6 Epäyhtälö 7. a), josta 6 Nollakohdat 6= = 6 : = Merkkikaavio Merkkikaaviosta b) 6+ < 8+, josta 6 8+ < eli + < 6 Nollakohdat + = 6 = :b g 6 = Merkkikaavio Merkkikaaviosta > c), + 7,, + 7, reaaliluvut. Epäyhtälö on aina tosi, joten ratkaisuksi käyvät kaikki Vastaus: a) b) > c) R 8. a) + < Nollakohdat + = b g = ± 7 = + = 59

7 7 = = 5 Merkkikaavio 5 Merkkikaaviosta 5< < b) Nollakohdat = = b g = tai = = tai = Merkkikaavio Merkkikaaviosta tai c) + 6 > Nollakohdat + 6 = b gb g b g = ± 6 5 = + = 7 5 = = Merkkikaavio 7 Merkkikaaviosta 7 < < Vastaus: a) 5< < b) tai c) 7 < < 6

8 9. a) < < Nollakohdat 5 6= b g b g b g 5 ± 5 6 = 5 7 = + = = = Merkkikaavio 6 Merkkikaaviosta < < 6 b) > 6 > 6 Nollakohdat = = = Merkkikaavio b g b g b g 8 ± 8 6 = 6 8 = ± = Merkkikaaviosta huomataan, että voi olla mikä muu reaaliluku tahansa paitsi b g c) + Nollakohdat + = 6

9 b gb g b g = ± = ± Diskriminantti on negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole reaalijuuria. Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja kulkee koko ajan -akselin alapuolella, siis epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja. Vastaus: a) < < 6 b) c) Ei ratkaisuja. a) + Nollakohdat + = + = b g = tai + = = tai = Merkkikaavio Merkkikaaviosta tai = b g b g b g f = + = < b g b g b g f 5, = 5, + 5, = 5, > f bg= + = > 8 b) > 8 > Nollakohdat 8 = e j 8 = Merkkikaavio 8 = tai = = tai = = tai = Merkkikaaviosta < tai > 8 b g b g b g f = = 768> b g b g b g 8 f 5, = 5, 5, = 9,... < 8 f b5, g= 5, 5, = 9,... < 8 f bg= = 768< 6

10 c) > Nollakohdat = e j 7+ 6 = = tai 7 + 6= Merkkikaavio 6 b g b g 6 = 7 ± = + = = = Merkkikaaviosta < < tai > 6 b g b g b g b g f = = < f b5, g= 5, 7 5, + 6 5, = 75, > f bg= = 9< f bg= = 6 > Vastaus: a) tai = b) < tai > c) < < tai > Nollakohdat 5 = b g b g b g ± 5 = = = 5 8 = = 5 Merkkikaaviosta. Lisäksi on kokonaisluku, joten ratkaisuksi tulevat luvut 5,,,,, Vastaus:,,,,, 6

11 . Funktio kuvaa pinta-alaa, kun se saa positiivisia arvoja (Lisäksi sivut ovat positiivisia). A, > bg= > Nollakohdat = = b g = tai = = tai = Merkkikaavio Merkkikaaviosta < <, > ja tällöin myös toinen sivu on positiivinen, koska samanmerkkisten lukujen tulo on positiivinen. Vastaus: Funktio kuvaa pinta-alaa, kun < <.. Kulunut aika (a) Tanssiteattereiden katsojamäärä Ryhmä- ja puheteattereiden katsojamäärä 85 + Tanssiteattereiden katsojamäärä suurempi kuin ryhmä- ja puheteaatereiden katsojamäärä > > Nollakohdat + 65 = = 65 Merkkikaavio 65 = Merkkikaaviosta > Vuosi = 997 Vastaus: Tanssin katsojamäärä on ylittänyt ryhmä- ja puheteattereiden vuonna

12 Funktion muutoksen tutkiminen. Piirretään välin päätepisteiden kautta suora ja määritetään suoran kulmakerroin, josta saadaan funktion keskimääräinen kasvunopeus. y (a) (b) (c) a) Valitaan suoralta pisteet b, g ja bg,, saadaan k = = = b) Valitaan suoralta pisteet b, g ja b, g, saadaan k = = c) Valitaan suoralta pisteet b, g ja b, g, saadaan k = = Vastaus: Funktion keskimääräinen muutosnopeus on a) b) c) 5. Piirretään kuvaajalle tangentti määrätään tangentin kulmakerroin () : f ' bg= = () : f ' bg= = y (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) () () Haetaan sellaiset kohdat, joihin piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet ovat. Löydetään kohta =, siis f ' = f ' = bg bg bg bg Vastaus: f ' =, f ' =, kohdassa = derivaatta on sama kuin f '. bg 65

13 6. Piirretään funktion kuvaaja ja päätellään vastaus kuvaajasta. Kävijämäärän keskimääräinen muutosnopeus vuodesta 996 vuoteen 999: 5 k = 5 Kävijämäärän muutosnopeus vuonna 999 : k 8 = y () Vastaus: Keskimääräinen kasvu vuodesta 996 vuoteen 999 on 5 henkilöä ja vuoden 999 kävijämäärän muutosnopeus noin 8 henkilöä. () aika Funktion derivaatta 7. a) D ( ) = + + b) D ( + 5 ) = + 5 = c) D + + = = Vastaus: a) + + b) c) Funktio f ( ) = + + Derivaatta f '( ) = + + = + 66

14 Derivaatan arvot: f '( ) = ( ) + ( ) = 8 f '( ) = + = f '( ) = + = Vastaus: Derivaatan arvot ovat 8, ja. 9. a) f ( ) = 6+ 7 f '( ) = 6 Yhtälö f '( ) = 6= = 5 b) f ( ) = + 9 f '( ) = + 5 Yhtälö f '( ) = + 5 = = 5 ± 5 ( ) = = 5 9 = = 6 Vastaus: a) = b) = tai = 5. Funktio f ( ) = + + Derivaatta f '( ) = 9 8+ Nollakohdat f '( ) = = = ( 8 ) ± ( 8 ) =, =,5 8 Vastaus: a) 8+ 8 = tai = 8 67

15 5. a) D ( ) + + = D( + + ) = + 6+ b) D ( ) ( ) ( )( ) = D + = D + = 6+ Vastaus: a) b) a) D = D = 5 b) D ( + ) = D( + ) = 8+ 9 Vastaus: a) b) Funktion kasvunopeus on yhtä suuri kuin funktion derivaatan arvo kyseisessä pisteessä. a) Funktio f ( ) = + Derivaatta Kasvunopeus b) Funktio Derivaatta Kasvunopeus f '( ) = + f '( ) = ( ) + ( ) = 5 f( ) = + 5 f '( ) = + f '( ) = ( ) ( ) + = c) Funktio f( ) = = + Derivaatta f( ) = + Kasvunopeus f '( ) = ( ) + = Vastaus: Funktion kasvunopeus on a) b) 7 c). 68

16 5. y α Paraabeli y = + Paraabelin nollakohdat y = + = (+ ) = = tai + = = Koska paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan y-akselin suuntaisen suoran suhteen, saadaan -akselin leikkauskulma tangentin kulmakertoimesta kohdassa =. Paraabelin y = + derivaatta y'( ) = 6+ Tangentin kulmakerroin k = y'() = 6 + = Tangentin suuntakulma, joka on samalla pallon lähtökulma, saadaan suoran kulmakertoimesta tanα = k tanα = α = 5 Vastaus: Leikkauskulma on 5 o. Funktion kulku 55. a) Funktio f ( ) = 8+ Derivaatta f '( ) = 8 Derivaatan nollakohta f '( ) = 8= = 69

17 f () f () Funktio f on kasvava, kun. b) Funktio g ( ) = + Derivaatta g'( ) = Derivaatan nollakohta g () g () Funktio g on kasvava, kun. g'( ) = = = c) Funktio h ( ) = + 5 Derivaatta h'( ) = Derivaatan nollakohta h () h () h'( ) = = Ei nollakohtia Vastaus: a) Funktio on kasvava, kun a) b) c) kaikilla muuttujan arvoilla. 56. a) Funktio f ( ) = 7 Derivaatta f '( ) = Koska f '( ) = kaikilla muuttujan arvoilla, niin funktio f on vähenevä kaikkialla. b) Funktio g ( ) = Derivaatta g'( ) = + 6 Derivaatan nollakohta g'( ) = + 6= = 7

18 g () g () Funktio g on vähenevä, kun. c) Funktio h ( ) = + Derivaatta h'( ) = Derivaatan nollakohta h () h () h'( ) = = = : = = ± Funktio h on vähenevä, kun. Vastaus: Funktio on vähenevä a) kaikkialla b) kun c) kun. 57. a) Funktio f ( ) = 65, + 6,, 5 Derivaatta f '( ) = 6 9, +, 6 Derivaatan nollakohdat f '( ) = 6 9, + 6, = = ( 9, ) ± ( 9, ) 6 6, 6 9, + 9, = = 8, 9, 9, = = 75,,75,8 f () f () Funktio f on kasvava, kun 75, tai 8, ja vähenevä, kun 7, 5 8,. 7

19 5 b) Funktio g ( ) = Derivaatta g'( ) = 5 Derivaatan nollakohta g'( ) = g () g () 5 = (5 ) = Funktio g on kasvava, kun 5 5 = tai 5 = 5 = =± =± =± ± 55, tai 5 5 5) g'( ) = > g'(, ) =, 95 < g'(, ) =, 95 < g'( ) = > ja vähenevä, kun Vastaus: a) Funktio f on kasvava, kun 75, tai 8, ja vähenevä, kun 7, 5 8,. b) Funktio g on kasvava, kun tai 5 5 ja vähenevä, kun y f() = h() = g() = 7

20 59. Funktio f ()= t 7t 7t+ 9 Derivaatta f '( t) = 5t 7 Derivaatan nollakohta f'( t) = 5t 7 = 7 t = = f (t) f (t) Lukumäärä alkoi kasvaa noin, vuoden kuluttua Vastaus: Teosten lukumäärä kasvoi vuosina Funktio f () t =, t, 5t +, 97t+ 7, Derivaatta f '( t) =, 96t, 8t+, 97 Derivaatan nollakohdat f'( t) =, 96t, 8t +, 97 = f (t) f (t),5,, t = (, 8) ± (, 8), 96, 97, 96, 8 +, t =,, 9, 8, t = 5, 9, Vastaus: Elokuvissa kävijöiden määrä kasvoi vuoden 98 alussa ja vuoden 99 puolivälistä vuoden 999 loppuun. Kävijöiden määrä väheni vuoden 98 puolesta välistä vuoden 99 puoliväliin. 7

21 6. Funktio y = 8, 5 +, Derivaatta y' = 5, + Derivaatan nollakohdat y'= 5, + = = ( ) ± ( ) 5, 5, + 87, =, 8 87, =, 8,5, y y, 5, Vastaus: Polku oli alamäkeä,5, km etäisyydellä lähtöpisteestä. Funktion ääriarvot 6. a) Funktio f ( ) = + Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = = 6 f () f () 6 ma Maksimiarvo f (6) = 6 b) Funktio f ( ) = Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = 7

22 f () f () Minimiarvo f _ min F H G I K J = Vastaus: a) Maksimikohta 6, maksimiarvo 6 b) Minimikohta ja minimiarvo 6. a) Funktio f ( ) = Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = : f () f () ma min Maksimiarvo f ( ) = Minimiarvo f () = = = ± b) Funktio f ( ) = Derivaatta f 'bg= 7+ 8 Derivaatan nollakohdat 7 + 8= f () f () ma 9 _ min = 7 ± 7 8 b g b g 7 6 = = = =

23 Maksimiarvo f () = F Minimiarvo f 9 I 5 HG K J = 7 Vastaus: a) Maksimikohta, maksimiarvo, minimikohta, minimiarvo b) Maksimikohta, maksimiarvo, minimikohta 9, minimiarvo a) Funktio f = + + Derivaatta f 'bg= + 5 ( ) 5 6 Derivaatan nollakohdat + 5= _ f () f () ma min Maksimiarvo f = 7 Minimiarvo fbg= 6 = ± 5 = 9 = = + 9 = b) Funktio fbg= ( )( + ) = 6 Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = b g f () f () _ min 76

24 Minimiarvo f F I HG K J = 6 8 Vastaus: a) Maksimikohta, maksimiarvo 7, minimikohta, minimiarvo 6 b) Minimikohta, minimiarvo a) Funktio f ( ) =,, Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = f f ( ) ( ) ( ) = suurin = 7 pienin b) Funktio f ( ) = + 5, 6, Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = f f bg F I HG K J = bg = 9 suurin pienin Vastaus: a) Pienin arvo 7 ja suurin b) Pienin arvo 6 8 ja suurin a) Funktio f ( ) = 8+ 5,, Derivaatta f 'bg= 8 Derivaatan nollakohdat 8 = = Ei kuulu välille, Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. 77

25 f = 5 f b g bg suurin = pienin b) Funktio f ( ) = ,, Derivaatta f 'bg= + 9 Derivaatan nollakohdat + 9 = = Ei kuulu välille, Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = pienin f b g bg = 5 suurin Vastaus: a) Pienin arvo, suurin 5 b) Pienin arvo, suurin a) Funktio f ( ) = +,, Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = ± Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = 9 f f b g b g bg bg = 6 = suurin f = 6 pienin b) Funktio f ( ) = 8+ 5,, Derivaatta f 'bg= 8 Derivaatan nollakohdat 8 = =± 6, 6,ei kuulu välille, Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = suurin f f b g e j bg 6 = 6 + 5, pienin = Vastaus: a) Pienin arvo 6, suurin 6 b) Pienin arvo 6 + 5, ja suurin 78

26 68. a) Funktio f ( ) = 6 + +,, Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = ± = b g b g 8 = = = = ei kuulu välille, 6 Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. fb g= pienin F f suurin f I HG K J = bg= 6 b) Funktio f ( ) = + 5,, Derivaatta f 'bg= 8 Derivaatan nollakohdat 8 = ( 8 ) = = tai = 8 Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = 9 pienin f f f b g bg = F HG I 5 8 K J = bg = suurin 7 Vastaus: a) Pienin arvo, suurin b) Pienin arvo 9, suurin 5 79

27 F I HG K J O = + Q P L N M 69. Funktio fbg= +,, Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = f () f () min ma min Suurin arvo ainoassa maksimikohdassa f Vastaus: Luku ± = b g = = = + O = Q P F H G I K J = b g 8 antaa lausekkeelleele suurimman arvon. bg b g 'bg= π π 7. Funktio f r = π r r = πr πr, r > Derivaatta f r r r Derivaatan nollakohdat πr πr = πr r = f () f () min ma Vastaus: Suurin arvo, kun r =. b g πr = tai r = r = tai r = r ei kuulu välille, L N M 8

28 7. Funktio f ( ) = 5 Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = f () f () f ( ) = > f () = < ma Funktion f maksimiarvo f () = 5 on samalla f:n suurin arvo. Funktio g ( ) = + + Derivaatta g'bg= + Derivaatan nollakohdat + = = g () g () min Funktion g minimiarvo g F H G I K J = 7 on samalla g:n pienin arvo 8 Koska f :n suurin arvo 5 on pienempi kuin g:n pienin arvo 7, niin kuvaajat eivät leikkaa 8 toisiaan. Polynomifunktion kuvaaja 7. a). a) Paraabeli y = 6 Derivaatta y'= 6 Derivaatan nollakohta y'= 6= = Huipun y-koordinaatti y = 6 = 9 Huippu on pisteessä (, 9). b) Paraabeli y = + Derivaatta y'= Derivaatan nollakohta y'= 8

29 = = F Huipun y-koordinaatti y = H G I K J + = F Huippu on pisteessä, I HG K J c) Paraabeli y = + Derivaatta y'= Derivaatan nollakohta y'= = = Huipun y-koordinaatti y = ( ) ( ) + = 5 Huippu on pisteessä (, 5) Vastaus: Huippu on pisteessä a) (, 9) b), F I HG K J c) (, 5) 7. Paraabeli y = + t Derivaatta y'= Derivaatan nollakohta y'= = = Huipun y-koordinaatti on -akselilla joten huipun y-koordinaatti y = ( ) ( ) + t = + t on nolla. + t = t = Vastaus: t = 7. a) Funktion f( ) = 5kuvaaja on nouseva suora f( ) = 5 5 b) Funktion f( ) = kuvaaja on laskeva suora f( ) = 8

30 c) Funktion f( ) = kuvaaja on -akselin suuntainen suora f( ) = y f() = 5 f() = f() = y = y -6-5,5-5 -,5 - -,5 - -,5 - -,5 - -,5,5,5,5,5,5 5 5,5 6 6, y = + y = 9 + a) Funktion f( ) = + 5 6kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Määritetään paraabelin huippu. Derivaatta f '( ) = + 5 Derivaatan nollakohta + 5 = = paraabelin huipun -koordinaatti Huipun y-koordinaatti f = + = ( ) ( ) 5 ( ) 6 8

31 f( ) = b) Funktion f( ) = + kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Määritetään paraabelin huippu. Derivaatta f '( ) = + Derivaatan nollakohta + = = paraabelin huipun -koordinaatti Huipun y-koordinaatti 9 f( ) = +,5 8,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5 9 f = + = () c) Funktion f( ) = + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Määritetään paraabelin huippu. Derivaatta f '( ) = + Derivaatan nollakohta + = = paraabelin huipun -koordinaatti Huipun y-koordinaatti f ( ) = ( ) + =,75 8

32 6,5,75,5,5,5,75 6 f( ) = a) Piirretään funktion f ( ) = kuvaaja määrittämällä ääriarvot ja taulukoimalla :n ja y:n arvoja. Derivaatta f ' () = Derivaatan nollakohdat = = f () f() -,5,5 = =± ±,5 ma min Maksimiarvo f ( ) = ( ) ( ), Minimiarvo f ( ) = ( ), Funktion nollakohdat = ( ) = tai = = = ± 85

33 ,5 5,65,5,875,5,875,5 5,65 f ( ) = ,5 - -,5 - -,5,5,5, y y = 8 b) Piirretään funktion f ( ) = 8 kuvaaja määrittämällä ääriarvot ja taulukoimalla :n ja y:n arvoja. Derivaatta f ' () = Derivaatan nollakohdat = ( ) = = tai = = = f () f() min f '( ) = ( ) ( ) = 6 < f '() = = < f '() = = 8 > Minimiarvo f () = 8 = 6 Funktion nollakohdat 86

34 8 = ( 8) = = tai 8 = = 8 f ( ) = 8,5,875,5,85 5,5 -,85 - -,5 - -,5 - -,5,5,5, y 77. Funktion f( ) = + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Derivaatta f ' () = Derivaatan nollakohta = = Sijoituksella saadaan f () = + =, joka on funktion f pienin arvo (paraabelin huipun y-koordinaatti). Koska funktion f pienin arvo on suurempi kuin nolla, funktio saa vain positiivisia arvoja. 87

35 78. Funktio f( ) = Derivaatta f ' () = Derivaatan nollakohdat = ( ) = f () f() ma - = = tai = = f f f '( ) ( ) ( ) = = > = = < = = < '( ) ( ) ( ), 5 '() 7 Maksimiarvo f () = = Funktion suurin arvo on ja koska suurin arvo on pienempi kuin nolla, funktio saa vain negatiivisia arvoja. 79. f () f () ma min Vastaus: Funktio vähenee, kun, ja kasvaa, kun tai kun. Maksimikohta =, minimikohta = n Ääriarvosovelluksia 8. Pallo on korkeimmillaan paraabelin huipussa. Paraabeli y =, + 5, + Derivaatta y' =, + 5, Derivaatan nollakohta, + 5, = 5, = = 5, 9..., Huipun y-koordinaatti y =, 59, , 59, , Vastaus: Pallo käy 6,9 m korkeudella. 88

36 8. Koska polttoaineen kulutuksen ilmaisevan funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, pienin kulutus on paraabelin huipussa. Funktio f () v =, 95v, v+ 7, 6 Derivaatta f '( v) =, 9v, Derivaatan nollakohta, 9v, =, v = = 7, 89..., 9 Vastaus: Kulutus on pienin 7 km/h nopeudella. 8. Koska alikulkutunneli on alaspäin aukeavan paraabelin muotoinen, niin tunnelin korkeus saadaan paraabelin huipusta. Funktio y = 95, +, Derivaatta y' = 9, +, Derivaatan nollakohta 9, +, =, = = 5,... 9, Huipun y-koordinaatti y =, 95, ,, 5..., Vastaus: Alikulkutunnelin korkeus on, m. 8. Koska meluvalli on alaspäin aukeavan paraabelin muotoinen, niin meluvallin korkeus saadaan paraabelin huipusta. Paraabeli y =, 67 +, 6 Derivaatta y' =, +, 6 Derivaatan nollakohta, + 6, = 6, = = 5,, Huipun y-koordinaatti y =, 67, 5 +, 6, 5 =, Vastaus: Meluvallin korkeus oli, m. 8. Raketin lentorata y = + 5 Raketin lentoradan ylin piste on paraabelin huipussa. Derivaatta y'= Derivaatan nollakohta = = paraabelin huipun -koordinaatti Paraabelin huipun y-koordinaatti y = + 5 = 9 Vastaus: Raketti käy 9 m:n korkeudella. 89

37 85. Sukelluksen syvyys dt () =, t t Sukelluksen syvyyttä kuvaa ylöspäin aukeava paraabeli, joten suurin syvyys saadaan paraabelin huipusta. Derivaatta d'( t) = 8, t Derivaatan nollakohta,8t = t = 5 Sukelluksen syvyys d( 5) =, 5 5 = 5 Koska Terho on suurimmassa syvyydessä 5 s:n kuluttua, niin sukellus kestää 5 s = 5s Vastaus: Terho käy 5 metrin syvyydellä ja sukellus kestää 5 s. 86. Oskarin korkeus ht () = 9, t + 6t+ Oskarin korkeutta kuvaa alaspäin aukeava paraabeli, joten suurin korkeus saavutetaan paraabelin huipussa. Derivaatta h'( t) = 98, t + 6 Derivaatan nollakohta 98, t + 6= 6 t = =, , Hypyn korkeus h(, 6...) =, 9, , , 8 Hyppy alkaa, kun t =, jolloin korkeus on h() = Vastaus: Hypyn suurin korkeus on,8 m ja hyppy suoritetaan m:n korkeudelta. 87. Sillan kaari y =,58, 58+, 5 Pienin etäisyys vedestä on paraabelin huipussa. Derivaatta y' =, 96, 58 Derivaatan nollakohta, 96, 58 = = 5 Huipun y-koordinaatti y(5) =, 58 5, , 5 = Vastaus: Kaaren pienin etäisyys veden pinnasta on m. 88. Luku Tutkitaan funktiota f, Derivaatta f 'bg= bg= < Derivaatan nollakohdat = e j = = tai = =± 9

38 Juuret ja eivät kuulu välille < F ma Ainoa maksimi f H G I K J = on suurin arvo. Vastaus: Luvun = 89. Luku Tutkitaan funktiota fbg= Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = =,6 f () f () f () = > f () = < ma Vastaus: Luku = 9. bg b g Ala A = = Derivaatta A'bg= 6 Derivaatan nollakohdat 6 = 9

39 = 8 A () A() ma Ala suurin, kun toinen sivu ja toinen = Vastaus: Rantaa vastaan kohtisuora sivu m ja rannan suuntainen m. 9. Pois leikattavan neliön sivun pituus Tilavuus Vb g= b gb g= + 6 Derivaatta V'b g= + 6 Derivaatan nollakohdat + 6 = = ± 6 b g b g = = 9,... + = =, ei käy V () V(),9 min ma min Maksimi V b, 9... g= 56, 5... Vastaus: Tilavuuden lauseke V bg= +. 6 ja suurin tilavuus cm 9

40 9. Ikkunan ympärysmitta πr+ r+ a =,, πr r a = r r F Ala Ar bg= r + ra= r + r, π π π = π r, r bg F b g I Derivaatta A' r = π r, r, HG K J + = π + Derivaatan nollakohta b π gr +, = A (r) A(r),68 b g π r =, :( π ) π + HG I K J + r =, =, + =, 68..., 68 π π min ma min Suorakulmion korkeus, πr r F π a = = H G I + K J F F π r = H G I H G + K JI K J r + = π = π π + π + = Maksimi A F H G I π 8 π + K J F = H G I K J F H G I π + K J + π + =,..., r a r Vastaus: Puoliympyrän säde ja suorakulmion korkeus,68 m, jolloin ala on, m. 9. d h Suorakulmaisesta kolmiosta + h = 5, h = 5, F H I K = + > Tulo T bg= h = 5, 65, Derivaatta T'bg= + 65 Derivaatan nollakohdat + 65 = 9

41 T () T(), ma 65 =± > =,..., 5 Hirren korkeus h = 5,,..., Vastaus: Hirren leveys =, cm ja korkeus h =, cm. 9. Paraabelin huipun -koordinaatti on derivaatan nollakohta. Paraabeli y = + a+ b Derivaatta y'= 6 + a Derivaatan nollakohta 6 + a = a = 6 Huippu on pisteessä (, ), joten saadaan yhtälö a = ( 6) 6 a = 6 Sijoittamalla a ja huipun koordinaatit paraabelin yhtälöön saadaan b. 6 + b = b = Vastaus: y = Paraabeli kulkee pisteen (, ), joten pisteen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön. Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit paraabelin yhtälöön y = a + b+ c. a + b + c= c = Sijoitetaan c ja pisteen (, ) koordinaatit paraabelin yhtälöön. a + b = a+ b = Paraabelin huipun -koordinaatti on derivaatan nollakohta. Paraabeli y = a + b+ c Derivaatta y' = a + b Derivaatan nollakohta a + b = b = a Paraabelin huippu on pisteessä (, ), joten saadaan yhtälö 9

42 b = a b = a sijoitetaan yhtälöön a+ b = a a = a = sijoittamalla saadaan b = a = Vastaus: y = 96. Funktio f ( ) =, g ( ) = Erotus e( ) = f ( ) g( ) =, [, ] Derivaatta e' ( ) = Derivaatan nollakohdat = = e () e() min Maksimi e F H G I K J = ma 7 b g = tai = min Vastaus: Suurin etäisyys 7, kun = = 95

43 HARJOITUSKOKEITA Harjoituskoe. a) Funktion arvot f ( ) = f (,) 5 =, b) Nollakohdat =, ; = ja =, 6 5 y 5 6 c) Piirretään funktion kuvaajalle tangentti pisteeseen (,-) ja lasketaan tangentin kulmakerroin. y f '( ) = y ( ) = = 6 5 y 5 6 (, ) (, ) d) Katsotaan, missä kohdassa käyrälle piirretty tangentti on yhdensuuntainen kohdassa c piirretyn tangentin kanssa. Kohdassa =,7 6 5 y 5 6 Vastaus: a) f ( ) =, f (,) 5 =, b) Nollakohdat =, ; = ja =, c) f '() = d) Kohdassa =,7 96

44 . Funktio f ( ) = Derivoidaan funktio. f '( ) = + 5 Yhtälön ratkaisu f '( ) = + 5= = ± ( 5) 6 = + = 6 = = 5 Vastaus: f '( ) =, kun = tai = Funktio f ( ) = Derivoidaan funktio. f '( ) = 6 5 Derivaatan nollakohdat f '( ) = f () f () = ( 5) ± ( 5) 6 ( ) = = + = = 5 9 = 6 Vastaus: Funktio on vähenevä, kun. 6 97

45 . Auton nopeus vt () =, t +, t Derivoidaan funktio. v'( t) = 8, t + 6, t Derivaatan nollakohdat v'( t) = v (t) v (t) t 8, t + 6, t = ( 8, t + 6, ) = 7,5 ma t = tai 8, t + 6, = t = t = 75, Suurin arvo on funktion ainoa maksimi. v( 75, ) Vastaus: Auton suurin nopeus oli m/s. v'( ) = 68, > v'( ) = 5, > v'( ) = < 5. Koska lentorata on paraabelin muotoinen, niin hypyn korkein piste on paraabelin huipussa. Lentorata y = +,, Derivoidaan funktio. y' = +, Derivaatan nollakohta y'= +, = =, Huipun y-koordinaatti y =, +,,, =, Vastaus: Hyppy oli, m korkea. 6. Piirretään kulkukaavio. 98

46 Funktio vähenee, kun 5, ja kasvaa, kun tai kun 5. Vastaus: Funktio vähenee, kun 5, ja kasvaa, kun tai kun 5. Maksimikohta on = ja minimikohta on = Lieriön korkeus h Pohjan säde r Korkeuden ja pohjan halkaisijan summa h + r = eli h = r Ehdot r > ja h = r > eli r < Lieriön tilavuus V r ( ) = π h = πr r = πr πr V '( r) = π r 6π r Derivaatan nollakohdat πr 6πr = π r( r) = tulon nollasäännöllä π r = tai r = r = r = r h 6 Tilavuus on suurin, kun r =, jolloin h = r = = = ja 8π 6π 8π tilavuus on V = π( ) π( ) = = Vastaus: Korkeuden tulisi olla ja suurin tilavuus on 9. 99

47 8. Funktio f ( ) = on jatkuva. Määritetään nollakohdan likiarvo haarukoimalla. f () = < f ( ) = > nollakohta välillä, f () = < nollakohta välillä, f (,) 5 =, 65 < nollakohta välillä 5,; f (,) 7 =, 5 > nollakohta välillä 5,; 7, f (,) 6 =, < nollakohta välillä 6,; 7, f (, 65) =, 9... > nollakohta välillä 6, ; 65, f (, 6) =,... > nollakohta välillä 6, ; 6, f (, 6) =, 6... < nollakohta välillä 6, ; 6, f (, 65) =, 7... < nollakohta välillä, 65;, 6 Kaikki luvut välillä, 65;, 6 pyöristyvät lukuun,6. Vastaus: Nollakohta on noin,6. Harjoituskoe. Funktio f ( ) = + 9 Derivoidaan funktio. f '( ) = Yhtälön ratkaisu f '( ) = Vastaus: = ( ) ± ( ) ( ) = 9 = + = = 9 = f '( ) =, kun = tai =.

48 . Funktio f ( ) = + Derivoidaan funktio. f '( ) = + Derivaatan nollakohdat f '( ) = + = = ( ) ± ( ) = + = = = f () f () Vastaus: Funktio on kasvava, kun tai.. Polttoaineen kulutus y =, 8+ 9 Derivoidaan funktio. y' =, 8 Derivaatan nollakohdat f '( ) =, 8= = y y Vastaus: Polttoaineen kulutus on mahdollisimman pieni lennettäessä nopeudella km/h.. Puun korkeus ajan t kuluttua f( t) =, t, 67t +, 75t+,86 (m). Puun korkeus kolmannen vuoden alussa f () =,, 67 +, 75 +,86, 5 (m). Puun korkeus sadannen vuoden alussa f (69) =, 69, , ,86, (m). Puun kasvunopeus ajan t kuluttua f '( t) =, 6t, t+,75 (m/a). Puun kasvunopeus kolmannen vuoden alussa

49 f '() =,6, +,75,68 (m/a). Puun kasvunopeus sadannen vuoden alussa f '(69) =, 6 69, 69 +, 75, (m/a). Vastaus: Puun korkeus. vuoden alussa on,5 m ja 7. vuoden alussa, m. Kasvunopeudet vastaavina aikoina ovat,68 m/a ja, m/a. 5 Pohjaneliön särmän pituus (cm) Särmiön korkeus h (cm) Rautalangan pituus 8 + h + = 5 h = 8 8 Särmiön tilavuus V = h h= 8 8 V( ) = (8 8 ) = 8 8, 6 Derivoidaan tilavuusfunktio V'( ) = 96 Derivaatan nollakohdat V '( ) = V () 96 = ( ) = = tai = = = V() Särmiön tilavuus on suurin kun pohjasärmän pituus on cm. Särmiön korkeus h = 8 8 = 8 8 = 6 cm Vastaus: Neliön sivuksi on valittava cm ja kehikon korkeudeksi 6 cm. 6. Luvun ensimmäinen osa Luvun toinen osa Osien neliöiden summa f ( ) = + ( ) = + + = + Derivoidaan funktio. f '( ) =

50 Derivaatan nollakohdat f '( ) = = = 5 5 f () f () Toinen osa = 5 = 5 Vastaus: Luvun sata osat ovat 5 ja Funktio f ( ) = + Derivoidaan funktio f '( ) =. Derivaatan nollakohdan haarukointi käyttäen välin puolitusmenetelmää f '( ) = < f '( ) = > nollakohta välillä, f '(, 5) =, 875 < nollakohta välillä,; 5, f '( 75, ) = 578,... < nollakohta välillä ; 75, f '(, 875) =, > nollakohta välillä, 875;, 75 f '( 85, ) = 9,... < nollakohta välillä 875, ; 85, f '(, 875) =,... < nollakohta välillä 875, ; 875, f '(, 85975) =, 7... > nollakohta välillä, 85975;, 875 f '(, 85565) =,... > nollakohta välillä, 85565;, 875 f '(, ) =,... < nollakohta välillä, 85565;, f '(, ) =,... > nollakohta välillä, ;, f '(, 88685) =, > nollakohta välillä, 88685;, f '(, 885) =, 6... > nollakohta välillä, 885;, f '(, 87996) =,... > nollakohta välillä, 87996;, Koska kaikki välillä, ;, olevat luvut pyöristyvät kolmen desimaalin tarkkuudella lukuun, 88, niin se on kysytty nollakohta. Vastaus: Nollakohta on,88.

51 8. Piirretään käyrälle tangentti kohtaan =. Derivaatta on kyseisen tangentin kulmakerroin f '( ) = y y = =. y Derivaatta on sama kuin kohdassa =, kun käyrälle piirretty tangentti on yhdensuuntainen kohtaan = piirretyn tangentin kanssa. Derivaatta on kohdassa = sama kuin kohdassa =. Vastaus: Derivaatan arvo on f '() =. Derivaatta on kohdassa = sama kuin kohdassa =. Harjoituskoe. Piirretään käyrälle tangentti kohtaan =. Derivaatta on tangentin kulmakerroin f y y = = =. '() y (, ) 6 5 (, ) 5 6

52 Derivaatta on sama kuin kohdassa =, kun käyrälle piirretty tangentti on yhdensuuntainen kohtaan = piirretyn tangentin kanssa. Huomataan, että kohtaan = piirretty tangentti on yhdensuuntainen kohtaan = piirretyn tangentin kanssa, joten derivaatta on kohdassa = sama kuin kohdassa =. y (, ) 6 5 (, ) 5 6 Vastaus: f '() = ja kohdassa =. Funktio f ( ) = + 7 Derivoidaan funktio. f '( ) = 8+ 7 Yhtälön ratkaisu f '( ) = 8 + 7= = ( 8 ) ± ( 8 ) = + = = = Vastaus: f '( ) =, kun = tai = 7.. Funktio f ( ) = 6+ 5,, Derivaatta f '( ) = 6 Derivaatan nollakohdat 6= ( ) ± ( ) ( 6) = 8 = = = = 6 5

53 f () f () min ma min ma Paikalliset minimit f ( ) = f ( ) = 5 pienin arvo Paikalliset maksimit f ( ) = 8 suurin arvo f () = Vastaus: Suurin arvo kyseisellä välillä on 8 ja pienin 5.. Aineen määrä veressä ajan kuluttua 5 y =, +, 9 67,7 + 5, (ng/ml) Aineen määrä veressä heti pistoksen jälkeen 5 y () =, +,9 67,7 + 5, = 7 (ng/ml) Aineen määrä veressä 8 tunnin kuluttua 5 y (8) =, 8 +, , , ,7 (ng/ml) Aineen poistumisnopeus ajan kuluttua y' =,5 + 6,96,9 + 8,6 89 (ng/ml/h). Aineen poistumisnopeus heti pistoksen jälkeen y '() =,5 + 6,96,9 + 8,6 89 (ng/ml/h) Aineen poistumisnopeus 8 tunnin kuluttua y '(8) =, ,96 8, , (ng/ml/h). Vastaus: Ainetta jäljellä 7 ng/ml ja,7 ng/ml. Poistumisnopeudet ng/ml/h ja 9 ng/ml/h. 5. Paraabeli y = + + t Derivaatta y'= + Derivaatan nollakohta + = = Koska paraabelin huippu on -akselilla, niin huipun y-koordinaatti y = ( ) + ( ) + t = + t on nolla. Tällöin y = + t = t = Vastaus: Paraabelin huippu on -akselilla, kun t =. 6

54 6. Funktio f ( ) =, , Derivaatta f '( ) =, 76+ Derivaatan nollakohdat, 76 + = = = 97,..., 76 9,7 f () f () ma Suurin korkeus on ainoa maksimi f ( 97,...) 69, Vastaus: Kuula kävi 6,9 metrin korkeudella. 7. Hinnan laskeminen ( ) Tuotteen hinta 8 Myyty määrä 6 + Myyntivoitto = tulot menot f ( ) = (8 )(6 + ) (6 + ) = = Derivoidaan funktio. f '( ) = 6+ 6 Derivaatan nollakohdat = = f () f () ma Myyntihinta 8 = 8 = 7 Vastaus: Tuotteen myyntihinnaksi olisi laitettava 7. 7

55 8. Funktion f ( ) = + 5+ nollakohta on välillä 5,. Funktio on jatkuva. f ( ) = + 5+ > 5 8 < nollakohta välillä 5, 8 > nollakohta välillä 5, < nollakohta välillä 5,,5,5 > nollakohta välillä,; 5,,7,77 < nollakohta välillä 7,; 5,,6,76 < nollakohta välillä 6,; 5,,55,6... > nollakohta välillä 6, ; 55,,57,59... < nollakohta välillä 57, ; 55,,56,9... > nollakohta välillä 57, ; 56,,565,6... < nollakohta välillä, 565;, 56 Koska kaikki luvut välillä ],565;,56[ pyöristyvät lukuun,56, niin funktion nollakohdan likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella on =,56. Vastaus: Nollakohta on,56. 8

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 7 pistettä.

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot