Kertaustehtävien ratkaisut

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertaustehtävien ratkaisut"

Transkriptio

1 Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä, että rtkisu olisi io ti edes prs mhdollie. Vlittu rtkisutp o toivottvsti kuiteki mhdollisimm suorviivie j ymmärrettävä. Rtkisut ovt mllirtkisuj. Niissä rtkisu eteemie o esitetty ii trksti j perustelle kui hyvässä rtkisuss pitää tehdä. Hyvää rtkisuu kuuluu rtkisuss käytety meetelmä j merkitöje sllie selittämie. Rtkisuu kuuluu myös vstukse ilmoittmie. Mieluite ktt kirjoitt erillie vstus, vikk oheisiss rtkisuiss ei til säästämiseksi ole äi tehtykää. Rtkisut o kuiteki ldittu site, että vstus o rtkisu lopuss. Yleesä tehtävie rtkisuiss trvit sekä sllisi perusteluj vtivi väliviheit että mekisi lskuj, kute yhtälöide rtkisemist ti kvoje käyttöä. Oheisiss rtkisuiss o slliset perustelut esitetty vähitääki riittävällä trkkuudell. Moimutkisemmiss tehtävissä o joisti mekiste viheide yksityiskohdist ollut joskus pkko tikiä, jott rtkisuje selkeys ei kärsisi. Opiskelij pitää kuiteki omiss rtkisuiss käyttää riittävästi väliviheit, kosk tämä prhite tk virheettömä lopputulokse. Jukk Kgsho j Werer Söderström Oskeyhtiö 008

2 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät Kertustehtävie rtkisut 5. Positiivisi kulmi ovt esimerkiksi , j Negtiivisi kulmi ovt j Kulm kosii o 0, ku se kehäpiste o 0, ti 0,. y Siis kikki kulmt ovt α 90 80, kokoisluku. Välillä 70 α 0 kulmist ovt 90, 70, 50 j 60. b Kehäpiste o 0,. Kikki kulmt: α 70 60, kokoisluku Välillä 70 α 0 kulmist ovt j si α cos α, jote: si α si α 5 6 si 5 α ti 6 si α Kosk cos α o egtiivie, kulm α o kolmess eljäeksessä, jolloi sii o egtiivie. 5 Siis si α. si α 5 5 t α : cos α 5 cos si

3 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 55. Määritetää sii j kosii itseisrvot. Kulm tgetti o suorkulmisess kolmioss, joss kulm vstie kteetti o j viereie. Hypoteuus o 0. 0 Siis si α: itseisrvo o, cos α:. 0 0 Kosk t α o egtiivie, kulm α o toisess eljäeksessä, jote kulm sii o positiivie j kosii egtiivie. Siis si α, cos α Yhtälö cos α 0,76 yksi rtkisu o α 0 9. Kikki rtkisut: α 9 60 ti α 9 60, kokoisluku b Yhtälö si α 0, yksi rtkisu o α 0 5. Kikki rtkisut: α 5 60 ti α α 5 60 ti α 55 60, kokoisluku c Yhtälö t α 5 yksi rtkisu o α Kikki rtkisut: α 79 80, kokoisluku 57. Yhtälö cos α yksi rtkisu o α0 60. Kikki rtkisut: α ti α 60 60, kokoisluku b Yhtälö si α yksi rtkisu o α0 0. Kikki rtkisut: α 0 60 ti α α 0 60 ti α 0 60, kokoisluku 5

4 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 58. si α cos α 0 si α cos α : cos α 0 si α cos α t α α 7 80, kokoisluku 59. cos 6α 6α 60 : 6 α 60, kokoisluku 60. si α 0 si α 0 α ti α α 5 60 ti α : α 5 0 ti α 5 0, missä o kokoisluku Juurist välille [80, 80 ] kuuluvt 5 0 5, , 5 0 5, , , , suuruusjärjestyksessä 5, 85, 5, 5, 5 j cos α cos α, ku α α 60 ti α α 60 α 60 ti 6α 60 α 80 ti α 60, o kokoisluku Esimmäie rtkisuprvi sisältyy jälkimmäisee, jote yhtälö rtkisu o α 60, o kokoisluku. 6

5 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 6. rdii o 80, jote rdii 0,6 rdii 0,6 b 7 rdii 7 80 stett 9, 80 stett stett. 6. rdii o 80, jote b 5 5 rdii o rdii o o rdii, jote ,0 rdii rdii. b 80 7,5 rdii 65. b 5 80 rdii Kulm sii o 0, ku se kehäpiste o, 0 ti, 0. Kulmt ovt 80, kokoisluku eli, kokoisluku. b Kosii o, ku kehäpiste o, 0. Kulmt ovt 80 60, kokoisluku eli, kokoisluku. y 67. f si cos 5 f si cos 5 si cos 5 si cos b f si 7 cos 5 si cos 6 5 7

6 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 68. Fuktio si 6 jkso o. 6 Fuktio rvojoukko o sm kui fuktio si eli [, ]. b Fuktio 6 cos jkso o fuktio cos jkso eli. Fuktio 6 cos rvot sd kertomll fuktio cos rvot luvull 6, jote fuktio 6 cos rvojoukko o [6, 6]. 69. Kosk kosiifuktio suuri rvo o j piei rvo, ii fuktio 7cos suuri rvo o 7 7 j piei rvo o 7 7. Siis fuktio f 5 7cos suuri rvo o 5 7 j piei rvo o 5 7. Fuktio f s suurimm rvo, ku cos eli ku, kokoisluku. Fuktio f s pieimmä rvo, ku cos eli ku, kokoisluku. b Kosk siifuktio suuri rvo o j piei rvo, fuktio 7 si suuri rvo o 7 j piei rvo 7 7. Siis fuktio g 7 si suuri rvo o 7 0. Piei rvo o 7. Fuktio g s suurimm rvo, ku si eli ku eli, kokoisluku. Fuktio g s pieimmä rvo, ku si eli ku eli, kokoisluku. 70. si jos j vi jos si. Kosk fuktio si rvojoukko o [, ], yhtälöllä o rtkisuj silloi, ku o välillä [, ] eli ku > 0 < 0 eli. 8

7 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 7. Määritetää sii j tgeti itseisrvot. Kulm kosii o suorkulmisess 5 kolmioss, joss kulm viereie kteetti o j hypoteuus 5. Toie kteetti o 5. 5 Siis si : itseisrvo o, t :. 5 Kosk kulm o III eljäeksessä, sii o egtiivie j tgetti positiivie. Siis: si, t 5 si t 7. Lskimell sd yksi rtkisu 0,7.,, jote kikki rtkisut ovt 0,7 ti,, kokoisluku. b Yksi rtkisu o 0,5, kikki rtkisut,5 ti,5, kokoisluku. c Yksi rtkisu o 0,6, kikki rtkisut,6, kokoisluku. 7. si 0 : si Yksi kulm, jok toteutt yhtälö o ti, kokoisluku. ti, kokoisluku b cos 0 cos Yksi kulm, jok toteutt yhtälö o ti, kokoisluku. c cos 0 cos :, kokoisluku 9

8 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 7. si si ti ti ti 8, kokoisluku 75. cos cos 0 cos cos 0 cos 0 ti cos 0 cos 0 ti cos ti, kokoisluku 76. si si si ti si 5 ti ti ti, kokoisluku b t t ti t ti, kokoisluku 77. Sijoittmll si cos sd: cos cos cos 0 cos cos 0 cos 0 cos cos 0 Tulo ollsääö perusteell cos 0 ti cos 0 eli cos 0 ti cos, jote ti ti. 0

9 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 78. D si si si cos cos D si D si cos cos si cos cos si si D D cos cos cos f f g fg g g b c D si cos D lsi D l si si D cos D cos cos D cos cos si cos si f f f 80. f cos b si, f si b cos, f cos 9b si f cos b si cos b si b b f cos 9b si cos 9b si 9b 9b Siis b j 9b. Yhtälöpri rtkisu o, b. 8. Fuktio f si kuvj leikk -kseli fuktio f ollkohdiss, kokoisluku. Leikkuspisteesee piirrety tgeti kulmkerroi o f cos. Kulmkerroi o, ku o prillie, j, ku o prito. Siis khtee leikkuspisteesee piirrettyje tgettie kulmkertoimet ovt joko yhtä suuret, jolloi tgetit ovt yhdesuutiset, ti kulmkertoimie tulo o, jolloi tgetit ovt kohtisuorss toisi vst.

10 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 8. f cos, f si Derivt ollkohdt: si 0 si, kokoisluku. b f cos, f si Derivt ollkohdt: si 0 si ti : 6 6 ti 5, kokoisluku 8. Fuktio f si derivttfuktio o f cos. Kosk cos kikill, f o kikkill epäegtiivie. Derivttfuktio ollkohdt: cos 0 cos, : kokoisluku Kosk derivtt o epäegtiivie j derivt ollkohdt ovt erillisiä, fuktio f o kikkill idosti ksvv.

11 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 8. Derivoid fuktio f t : f t t Derivt ollkohdt: t 0 t t ti t ti Välille ], [ ollkohdist kuuluvt j. Välille ], [ rjttu kulkukvio: f f f 0,56 > 0 f 0 < 0 f 0,56 > 0 Kulkukvio perusteell fuktioll f o mksimikoht j miimikoht. Mksimirvo o f t. Miimirvo o f t. 85. Fuktio f si cos o jksollie j jkso o. Riittää määrittää fuktio f suuri j piei rvo suljetull välillä [0, ]. Derivttfuktio f cos cos si cos si välille ]0, [ kuuluvt ollkohdt ovt j. Fuktio rvot derivt ollkohdiss: f si cos 0 f si cos Päätepistervot: f f 0 si 0 cos Siis suuri rvo o, piei rvo o.

12 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 86. Fuktio f si cos o jksollie j jkso o. Riittää määrittää fuktio f suuri j piei rvo suljetull välillä [0, ]. Derivttfuktio f cos cos si 0 si cos : si cos t, kokoisluku 6 si ollkohdt: cos 7 Nollkohdist välille ]0, [ kuuluvt j. 6 6 Fuktio rvot derivt ollkohdiss: f si cos f si cos Päätepistervot: f f 0 si 0 cos 0 0,7 Suuri rvo o, piei rvo o. 87. f si cos si, f cos cos si cos cos cos cos cos cos si cos cos cos cos cos cos cos cos Derivttfuktio rvo o oll, ku cos 0 ti cos. Siis ollkohdt ovt j j, kokoisluku.

13 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 88. Merkitää kolmio ktkulm rdiei. Korkeusj jk kolmio khtee smlisee suorkulmisee kolmioo. Kolmio kylkie pituus o b. cos Korkeusj pituus o h t. Tutkittv luseke o b h t, cos missä 0 < <. Kosk o positiivie vkio, luseke s pieimmä rvos, ku fuktio f t, 0 < < s pieimmä rvos. cos Derivoid: f 0 cos si cos Derivt ollkohdt: si 0 si cos si cos cos 5 ti, kokoisluku 6 6 Nollkohdist välille ]0, [ kuuluu 0, 5 6. Välille ]0, [ rjttu kulkukvio: b h si cos f f 0 6 f 0, 0,8 < 0 f, > 0 Kulkukvio perusteell fuktio f s pieimmä rvos kohdss. 6 Siis tutkittv luseke o piei, ku kolmio ktkulm o 0. 5

14 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 89. Joo,,,... luseke o. Neliöide muodostm joo luseke o. Siis. 90. Joo,,,... luseke o, jote lusekkeet ovt: b b c c 9. 0 o joo jäse, jos 0 jolli : positiivisell kokoislukurvoll ti 7 Rtkisukvll. Siis 0 o joo kolms jäse j 7. jäse Merkitää f, jolloi f. f Derivtt o määritelty j positiivie, ku > 0, jote fuktio f o idosti ksvv, ku > 0. 5 Siis joo f o idosti ksvv. 6

15 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 9. Joo k b peräkkäiste jäsete erotus o k b k b k k b k b k. Erotus o yhtä suuri kikill, jote joo o ritmeettie. 9. Joo esimmäie jäse, erotus d 7. Aritmeettise joo kvll d sd: Istuitsoje lttist mittut korkeudet muodostvt ritmeettise joo, joss,0 m j 5 5, 0 m. Kosk, o, d 5 d d d 5,,, 0,0 m. Kymmees tso o korkeudell 0,0 9 0,0,90 m d 0 j 0 9d 60 Rtkist yhtälöpri. 9d 0 9d 60 0d 800 d

16 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 97. Joo k b c peräkkäiste jäsete suhde o k b c k b k b k k b k b k c c c k b c Peräkkäiste jäsete suhde o vkio, jote joo o geometrie Joo esimmäie jäse 5, suhde 5 5. Geometrise joo kvll 5, sd: 99. Seurv ympyrä säde o i puolet edellise ympyrä säteestä, jote seurv ympyrä pit-l o i eljäsos edellise ympyrä pit-lst. Siis pit-lt muodostvt geometrise joo A, A,..., missä A o esimmäise ympyrä pit-l.. ympyrä pit-l o A. Pit-l o lle miljoosos esimmäise pit-lst, ku lg lg A < 0 > < < lg0 < lg0 A lg0 lg 6 lg0 > lg : lg 0,97. : A > 0 < 0 Siis yhdestoist ympyrä o esimmäie. 8

17 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 00. Joo. jäse o,0 5. Jäseet ovt pieempiä kui 000, ku,0,0 lg,0 5 < 000 lg,0 < lg 00 < < 00 < lg 00 < lg 00 lg,0 lg 00 lg,0 : 5 > 0 5,5. : lg,0 > 0 Siis 5 jäsetä o pieempiä kui Merkitää joo peräkkäiste jäsete suhdett. 6 Tällöi 7 j. Siis 6 50 j Esimmäisestä yhtälöstä sd. 6 Sijoitet jälkimmäisee: ti 9 9 : , jote molemmill : rvoill o , jote , ku j 50, ku. 9

18 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 0. Merkitää k suuruutt. vuode luss. Suuruus esimmäise vuode luss o 00. Toisest vuodest lähtie suuruus sd lisäämällä määrää 5 % eli kertomll luvull,05 j vähetämällä sdust määrästä poismuutteide määrä 0. Siis joo rekursiivie esitys o: 00 j,05 0, ku $ b Lsket joo jäseiä lskime As-äppäime vull: vuosi , , , 09 Määrä ylittää 000 yksilö rj 9. vuode eli vuode 09 luss ! 0. Joo kksi esimmäistä jäsetä ovt j. Tästä eteepäi huhukuulleide määrä sd lisäämällä edellise päivä määrää sitä edellise päivä määrä khdell kerrottu. Huhu kerrot seurv päivää yhdelle j khde päivä päästä khdelle. Siis joo rekursiivie muoto o,,, ku. b Joo o,,, 5,,,, 85, 7,.... Siis 9. päivää juoru kuulee 7 hekilöä. 0

19 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 05. Joo esimmäie jäse j peräkkäiste jäsete erotus o jäse o Kolmekymmee esimmäise jäsee summ sd ritmeettise summ kvll S. 0 S Lutoje pituudet muodostvt ritmeettise joo. Joo esimmäie jäse o, m j viimeie, joo 9. jäse o,5 m. Kokoispituus sd ritmeettise summ kvll: S,, ,0 m 07. Neliumeroiset luvut ovt luvut Vlitut luvut muodostvt ritmeettise joo, jok esimmäie jäse o 00 j jok erotus o. Joo. jäse o , ku ,. : > 0 Siis lukuj o 69 kpplett j viimeie luku o Lukuje summ sd ritmeettise summ kvll:

20 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 08. Lyheyskertoj o 0 0, jote yhdellä lyheyskerrll mksettv summ o ,50 % Korko mkset,5 % jäljellä olevst list. Kosk li määrä pieeee jok lyheyskerrll yhtä pljo, myös mksettv korko pieeee jok kert yhtä pljo. Siis mksetut korot muodostvt ritmeettise joo. Esimmäisellä kerrll korko mkset,5 % :st eli 0, , viimeisellä kerrll,5 % 000 :st eli 0, ,50. Yhteesä korko mkset , Lyheyksillä mkset lisumm tkisi. Yhteesä mkset Kehillä olevie istuite määrät muodostvt ritmeettise joo. Joo peräkkäiste jäsete erotus o 8. Joo 5. jäse o 5 8. Tuolie yhteismäärä o ritmeettie summ: :5 : Siis esimmäisellä kehällä o istuit.

21 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 0. Joo esimmäie jäse o j peräkkäiste jäsete erotus o. Joo :s jäse o. Joo : esimmäise jäsee summ o. Summ o yli miljoo, ku > 0. > > Rtkist stu toise stee epäyhtälö. Nollkohdt sd toise stee yhtälö rtkisukvll: ± Nollkohtie likirvot: 86,7 ti 86,. Fuktio kuvj o ylöspäi ukev prbeli, jote epäyhtälö toteutuu, ku < ti >. Siis yhteelskettvi o oltv vähitää 87.

22 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät. Esimmäie yhteelskettv 0 j suhdeluku. Yhteelskettvie määrä 8. Summ o k k Summ o geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv, peräkkäiste yhteelskettvie suhde, j yhteelskettvie lukumäärä. Siis: k k b k k k k 0 k 0 k 0 0 Summ o geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv, 0 peräkkäiste yhteelskettvie suhde, j yhteelskettvie lukumäärä. Summ o,....

23 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät. Slii määrä tulee vuositti 0,9-kertiseksi, jote määrät muodostvt geometrise joo 0,9 7600, missä o vuodest 997 kulueide vuosie määrä. Vuode 005 slis o 8 8 0, toi. b Vuosittiset slismäärät muodostvt geometrise joo, jok esimmäie jäse o 8, suhdeluku 0,9 j. Kokoisslis o geometrie summ. Summkvll sd: S 8 0, ,9 0, toi. Geometrise joo, 0,98, 0,98,... esimmäie jäse j suhdeluku 0,98. : esimmäise luvu summ o geometrie summ S 0,98 0,98 Summ ylittää luvu 9, ku 0,98 0,0 0,98 0,98 0,98 > 9 > 0,98 > 0,0 < 0,0 lg 0,98 < lg 0,0 0,0 lg 0,0 > 9,6. lg 0,98 0,98 0,0 : lg 0,98 0,0088 < 0 Yhteelskettvi pitää oll vähitää 9.. 5

24 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 5. Mij tekee kikki 0 tlletust. Esimmäie tlletus ksv korko 0 vuott, toie 9 je. Tlletuste loppurvot lopust lkuu lskie muodostvt geometrise joo. Mtkrh o lopult,05 00, , ,05 00,05 85,5.,05 0 b Merkitää tlletussumm. Mtkrh o,05,05...,05 0 0,05,05.,05 Rh o 5 000, ku 0,05, ,05,05,05 0 5,05 0,05 :,05, ,7. 6

25 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 6. Popultio suuruus esimmäise vuode luss o 500. Toisest vuodest lähtie suuruus sd vähetämällä määrästä 0 % eli kertomll 0,8:ll, j lisäämällä stuu määrää kt muutteide määrä 00. Joo rekursiivie kuvilu o 500 j 0,8 00, ku. Lsket joo jäseiä: 500 0, ,8 0, , , , 0,8 0, , , ,8 00 0, je. Jäsee luseke o 0, , , Lusekkee termit toisest lke muodostvt geometrise summ. Summkvll lskemll lopust lkuu sd: 00 0,8 0, , ,8 0,8 0,8 0, , Popultio 0. vuode luss o 500, yksilöä

26 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj A. f cos si, f si si cos, f si si cos si si cos. Geometrise joo peräkkäiste jäsete suhde o i yhtä suuri, jote si. si cos si Yhtälö o määritelty kikill mhdollisill : rvoill, sillä jos si 0 ti cos 0, ii luvut ovt 0, si j, jote e eivät ole mikää geometrise joo peräkkäisiä jäseiä. Ristii kertomll sd: si cos cos si : si 0 ti, kokoisluku. Viikkomyyit muodostvt ritmeettise joo, missä 600 j erotus d 00. Kokoismyyti : esimmäise viiko ik sd ritmeettise summ kvll. S d Erä o loppuut, jos S eli ku Fuktio ollkohdt ovt likimi,9 j 5,9. Fuktio kuvj o ylöspäi ukev prbeli, jote S , ku 5. Siis erä loppui 5. viikoll. 8

27 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Lsket joo u 5, u u jäseiä. u 5 u 5 u 5 u 5... u 5... Summ termit toisest termistä lähtie muodostvt geometrise summ. Summkvll sd: u Sijoittmll sd u Toise stee yhtälö rtkisukvll sd: cos cos 0 cos ± ± 6 ± cos ti cos Yhtälö cos ei toteudu millää muuttuj rvoll, cos, ku, kokoisluku. b Fuktio f cos cos o jksollie jkso, jote riittää, ku määritetää fuktio f suuri j piei rvo välillä [0, ]. Derivoid: f cos si si si cos. Derivt ollkohdt: si 0 ti cos 0 cos Nollkohdist välille ]0, [ kuuluu. Arvo derivt ollkohdss: f cos cos 0 Päätepistervot: f 0 f cos cos Suuri rvo o 0, piei rvo. 9

28 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 6. Tgeti yhtälö o y si cos. Tgetti kulkee origo kutt, jos j vi jos 0 si cos 0 eli si cos. Jos cos 0, ii si ti si, jote ehto ei toteudu eli tgetti ei kulje origo kutt. Jos cos 0, ii jkmll cos :ll sd si eli vdittu ehto t. cos t jos j vi jos o fuktio f t ollkoht. Derivttfuktio f t t o epäegtiivie 5 koko välillä ], [ j sillä o välillä vi yksi ollkoht, jote fuktio f o välillä idosti ksvv. Siis ollkohti o korkeit yksi. Hrukoimll ähdää, että f 7,75 0,05 < 0 j f 7,755 0,05 > 0, jote fuktioll o ollkoht, jok kolmidesimlie likirvo o 7,75. 5 Siis välillä ], [ o yksi ehdo t toteuttv koht. Kohd kolmidesimlie likirvo o 7,75. 0

29 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj B. Aritmeettisess jooss peräkkäiste jäsete erotus o yhtä suuri. Siis: b b b b b b b b b Geometrisess jooss peräkkäiste jäsete suhde o yhtä suuri. b b b b b Siis: b b ti b b eli b ti b.. Fuktio f cos derivttfuktio o f si. Fuktio si rvojoukko o [, ], jote fuktio si rvojoukko o [, ]. Siis derivttfuktio f suuri rvo o 5 j piei rvo o.

30 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Viikkomyyit muodostvt ritmeettise joo, missä 00 j peräkkäiste jäsete erotus d,. Kokoismyyti : esimmäise viiko ik sd geometrise summ kvll. S 750, 00, 0, 00,, 750, 750 Erä o loppuut, jos S , 750,, lg, lg lg, lg lg, lg, : lg, Siis erä loppui 5. viikoll.

31 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Fuktio si f o määritelty kikill, sillä cos imittäjä cos > 0 kikill. Fuktio f o jksollie jkso, jote riittää, ku määritetää fuktio suuri j piei rvo suljetull välillä [0, ]. Derivoid: f cos cos cos Derivt ollkohdt: cos cos cos si si cos si cos cos 0 cos ti Derivt ollkohdist välille ]0, [ kuuluvt Fuktio f rvot derivt ollkohdiss: f 5 f, 5 j. Päätepistervot: 0 f 0 f 0 Fuktio suuri rvo o, piei rvo o.

32 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 5. : esimmäise : potessi tulo o Tulo o pieempi ku 0 000, ku lg lg < < lg 000 lg < 0 < lg 0 < Toise stee epäyhtälö < 0 lg toteutuu, ku likimääri 65, < < 6,. Siis void lske eitää 6: potessi tulot. 6. Merkitää kltevuuskulm suuruutt rdiei. Tällöi d 5 si 5 si t. cos Merkitää f 5 si t, missä o välillä [0, [. Derivttfuktio f 5 cos 5 cos 0 cos 5 cos 5 cos cos ollkohdt: 0 ti, missä 0 0, Välillä [0, [ o vi ollkoht 0. Kulkukvio: f f 0 0 f 0,5 0,9 > 0 f 7,6 < 0 Kulkukvio perusteell fuktio f s suurimm rvos kohdss 0. Tällöi myös etäisyys d o piei. Kulm 0 suuruus stei o oi.

33 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj C. f si b cos f cos b si f si 6b cos f si b cos b b 6 f si 6b cos 6 b 8b 6 Ehdoist f 0 j f sd yhtälöpri. b 8b 0 Esimmäisestä yhtälöstä sd b. Sijoitet jälkimmäisee: Siis, b. 6 6 : 6. Aritmeettise joo peräkkäiste jäsete erotus o i yhtä suuri, jote cos cos si cos eli si cos cos 0 cos 0 cos. ti, kokoisluku.. Fuktio f t si derivtt o f t cos. Kosk cos kikill, o f t kikill. Derivttfuktio f o epäegtiivie koko välillä ], [ j oll vi kohdss 0. Siis fuktio f o idosti ksvv välillä ], [. 5

34 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 50. Merkitää f. Derivoid: f Derivt ollkohdt: ti 66, 7 Välille > 0 rjtu kulkukvio perusteell fuktio f o 00 idosti väheevä, ku < 66, 7 00 j idosti ksvv, ku >. Siis joo piei jäse o joko b 66 ti b 67. b 66 8, 0 7 b 67 8, Siis piei jäse o b f f 00 0 f 97 < 0 f > 0 5. Hkkuide määrät muodostvt joo 0,0,05 00, 0,0,05 0,97,05 00, 0,0,05 0,97,05 00,.... Joo o geometrie joo, joss esimmäie jäse 0,0,05 00, j suhdeluku 0,97,05,085. Hkkuide yhteismäärä o joo esimmäise jäsee summ. Summkvll sd S,, m.,085 6

35 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 6. Merkitää lähtökulm suuruutt rdiei. Tällöi 0, missä t 0 6 eli 0 0,6 6,6. Metsässä kuljetu mtk pituus o si. Polull kuljetu mtk pituus o cos b 6 6. t si y b Jos kulkuopeus metsässä o v, ii opeus polull o v. Koko mtk kuluv ik o b 9 cos cos b 6. v v v v si si v si si Kosk v o positiivie, ik o lyhi, ku fuktio cos f, si si 0 rvo o piei. Derivoid: f 0 si cos cos si si si Derivt ollkohdt: cos 0 cos 0 cos si si si cos si cos si si cos Aio välille 0 kuuluv rtkisu o,0. cos si Kulkukvio: f f 0 f 0,88 < 0 f, 0, > 0 Kulkukvio perusteell fuktio f s pieimmä rvos kohdss. Tällöi myös kokoisik o piei. Kulm suuruus stei o oi 7. 7

36 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj D. Joo :s jäse o d. Siis 5 9d 5 9d, jote 9d d : 9 7. Siis j 0 joo 0 esimmäise jäsee summ o S si α cos α, jote cos α ti cos α si si α 5 α Kosk 90 < α < 80, ii cos α o egtiivie. Siis cos α j 5 0 si α. 69 cos 8

37 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Fuktio f cos derivttfuktio o f si. Derivt ollkohdt: si 0 si ti ti 5 7 Nollkohdist välille ]0, [ kuuluvt,, j. Kulkukvio perusteell: j ovt mksimikohti, 5 7 j ovt miimikohti f f Merkitää trvittvie tlletuste lukumäärää. Esimmäie tlletus ksv korko vuott, toie je. Tlletuste loppurvot lopust lkuu lskie muodostvt geometrise joo.. vuode lopull tilillä o rh,05 000, ,05 000,05 000,05,05 000, Rh o yli euro, ku 000, > ,05 000,05 > ,05 > 7 lg Logritmi vull sd >, 05. lg,05 : 000 > 0 Siis rh o yli vuode eli vuode 0 lopuss. 9

38 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 5. Merkitää kolmio ktkulm rdiei. Korkeusj jk kolmio khtee smlisee suorkulmisee kolmioo. Kolmioist sd korkeus h si j k puoliks cos. K j korkeude pituuksie summ o f cos si, missä o välillä ]0, [. O määritettävä fuktio f suuri rvo. h Derivoid: f si cos Derivt ollkohdt: si cos 0 si cos t : cos Aio välille 0 < < kuuluv rtkisu o 0 0,665. Kulkukvio: f f 0 0 f 0, 0,79 > 0 f, < 0 Kulkukvio perusteell fuktio f s suurimm rvos kohdss 0. Kulm 0 suuruus stei o oi 6,6. 6. Olkoo joo esimmäie jäse j peräkkäiste jäsete suhde. Tällöi S S S. Sijoittmll S 5 j S 60 sd: 5 Siis: S : 5 S S S S

39 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj E. Ikkuoide määrät muodostvt ritmeettise joo, 8,.... Kokoismäärä o 8: esimmäise jäsee summ. Joo 8. jäse o 8 7, jote ikkuoide kokoismäärä o 7 S f si, f si D si si cos 6si cos Sivumispistee -koorditti o, y-koorditti o f si. Tgeti kulmkerroi o f 6 si cos 6. Tgeti yhtälö o y eli y. Normli kulmkerroi o tgeti kulmkertoime kääteisluvu vstluku. Normli yhtälö o y eli y.. Fuktio cos ollkohdt ovt yhtälö cos juuret, missä o kokoisluku. Juuret ovt välillä [00, 00], ku eli ku Kosk 5,9 j,8, juuri o 6. b Fuktio cos ollkohdt ovt kohdt j, missä o epäegtiivie kokoisluku. Juuret ovt välillä [00, 00], ku eli ku eli 59,5 6 66,. Ehdo toteuttvi kokoislukuj j siis yhtälö juuri o

40 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Fuktio f cos si cos o jksollie jkso, jote riittää, ku määritetää fuktio f suuri j piei rvo suljetull välillä [0, ]. Derivoid: f si cos si cos cos si si si Kosk si cos, o cos si, jote f si si si si si. Derivt ollkohdt: si si si 0 si 0 si ti si Rtkisukvll. 5 ti ti 6 6 Nollkohdist välille ]0, [ kuuluvt 5, j. 6 6 Fuktio f cos si cos rvot derivt ollkohdiss: f f 6 5 f 6 Päätepistervot: f 0 f 0 Siis suuri rvo o, piei rvo o.

41 Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 5. Fuktio... f o fuktio g... derivttfuktio. Summkv muk. g Siis: D g f Siis summ o. Sijoittmll 9 j summ rvoksi sd Lsket esi yhtee kikki e väli ]0, [ rtioliluvut, joide supistetu murtolukumuodo imittäjä o sm luvu potessi. S Osoittj o ritmeettie summ, joss viimeie termi o. k k k Siis, k jote yhteelskettvie lukumäärä. k Siis S. Kysytty summ 0... S S S o geometrie summ ,5.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot . Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli,

Lisätiedot

3 Lukujonot matemaattisena mallina

3 Lukujonot matemaattisena mallina 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan. 2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista 9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Juuri- j logritmiunktiot -kurssin krtusthtävin j -srjojn rtkisut prustuvt oppikirjn titoihin j mntlmiin. Kustkin thtävästä on ylnsä vin yksi rtkisu, mikä i kuitnkn trkoit sitä, ttä rtkisu

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99. a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro Ehdot 3. Mksu suoritet se m vluutss, mistä objektiivi o ostettu. Mksu suoritet 4 viiko kuluess cshbck-dokumettie spumisest. 4. Objektiivi tulee oll Focus Nordici mhtuom j se tulee oll ostettu virllise

Lisätiedot

1.a) f(x) = 2x(x 2 3) = 0 2x = 0 tai x 2 3 = 0 x = 0 tai x 2 = 3. Anne: Tulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nolla

1.a) f(x) = 2x(x 2 3) = 0 2x = 0 tai x 2 3 = 0 x = 0 tai x 2 = 3. Anne: Tulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nolla . f( = ( = 0 = 0 ti = 0 = 0 ti = Anne: Tulo on noll, jo jokin tulon tekijöitä on noll b f( = ( = 6 f ( = 6-6 f '( 6( 6 Anne: Peruderivointi ottv moin ijoitu luekkeeeen c ( 6 d / ( 4 (8 (8 0 Anne: Käytä

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot