Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)"

Transkriptio

1 Kertusos Kertusos ). ) : j ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. )

2 Kertusos ) ) 0 ijoitet htälöö. ( ) 0 Vstus: ), ), 0 ijoitet htälöö epätosi Yhtälöprill ei ole rtkisu. Vstus: ) Kikki suor pisteet. ) Ei rtkisu. ). ) ( ) 0 0 tosi Yhtälöprill ääretö määrä rtkisuj. Kirjoitet htälöt rtkistuss muodoss. j : ( ) : Leikkuspisteitä o siis ääretö määrä, mutt iide o toteutettv suor htälö. ) ( )

3 Kertusos : c) ) ( 0 : Vstus: ), ) c), 0 7. ) ( ) ( ) 0 : ) ( ) ( ), 7 0,, , 0, 0, epätosi ei rtkisu Vstus: ) 0, ) ei rtkisu 0

4 Kertusos. Merkitää kpl pkkuste lkm. kpl pkkuste lkm. 0. Merkitää Pek tutiplkk ( ) Jri tutiplkk ( ) 70 0 ( ) ( 0) Vstus: Khde kpplee pkkuksi 0 kpl Kuude kpplee pkkuksi 0 kpl Ku, ii :9 9. Merkitää hdessä tksiss mtkustvie lkm. hdessä ussiss mtkustvie lkm. (keskimääri) Vstus: Pek tutiplkk, Jri tutiplkk. Merkitää lukuj kirjimill j ( 0) : Vstus: Bussiss spui keskimääri mtkustj. Tksiss spui keskimääri mtkustj. ijoitet htälöö. ( ) ( ) 7 : Ku 7, ii ( 7). Vstus: Luvut ovt -7 j.

5 Kertusos. Merkitää,-prosettie liuos (l) 0,0-prosettie liuos (l) Liuokse määrä uol määrä,-pros. 0,0-pros. Koko liuos, 0,0 0,0 0,0, d htälöt:, 0,0 0,0 0,0,, 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 0, 0, 0, Ku 0,, ii 0,, 0,9 0, ( 0,0) 0, 0, 0,0... Vstus:,-prosettist liuost 0, l 0-prosettist liuost 0,9 l. ) z z 0 z Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto. () z z z 0 () z 0 z z 0 z 0 0 z d uusi htälöpri: z 0 z z 0 z 9z z Ku z, ii 0 0 Ku z j, ii :( 0)

6 Kertusos ) z z 0 I II III. ) t r s ( s t ) ( s,t, s ( s t ) ( r ) ) Rtkist htälöstä I tutemto j sijoitet se muihi htälöihi. z z z d htälöpri: z 0( z ) z 0z 0 z 0z z 0 0z z z Ku z, ii 9 Ku z j :( ) :( ), ii 0 z. t r s s t s t s s t r r s t s r 0s t ijoitet s khtee muuhu htälöö. r t r t r 0 t r t d htälöpri: r t r t ( ) r 9t r t 7t t Ku t, ii r r 0 r r : Vstus: ),, z ) 0,, z

7 Kertusos ) 7( c ) 9( c ) c ( ) 7c 7 9 9c c 0 7 7c 9 9c 0 0 c Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto. () 7 7c 9 9c 0 c 9 9c 0 c () 7 7c 0 c c 0 c 9c 7 d uusi htälöpri: c 9c 7 c 7c c c 0, ( ) Ku c 0,, ii 9 ( 0,) 7 9, 7,, : Ku c 0, j,, ii 7 (,) 7 ( 0,) 0,, Vstus: ) r, s, t ),;, c 0,. Preli c (, ) (, ) :( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) c (, ) c d htälörhmä: c c c Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto c. () c c c c 0 ( )

8 Kertusos () c c ( ) z,z c c d htälöpri: 0 ( ) 0 Ku, ii ( ) 9 : Ku j, ii c c c z,z z z z z Ku z, ii, Ku, ii ( ) Vstus: ll kpl, Ae kpl j irkk kpl. 7. ) Vstus:. Merkitää ll ptukt (kpl) Ae ptukt (kpl) z irk ptukt (kpl) ) < d htälöt: z,z ijoitet khtee muuhu htälöö.

9 Kertusos c). ) : < < > ) ) :( 9. uort: 0, j : 0. ) 0 ) 0 0 : : 0

10 Kertusos c) < 9 < > 0 < 9 < > < 9 < > : :. ) uuri ti piei rvo löt trksteltv moikulmio kärkipisteissä.. kärkipiste (0, 0). kärkipiste suor -kseli leikkiskoht, (0, ). kärkipiste suor j leikkuspiste: : 0, 0,, d piste (0,;,).. Merkitää ruisvoileipie lkm. vehävoileipie lkm. Ruis Vehä Yhteesä m Kikkuviipleet Juustoviipleet 0 d epähtälöt: : 0 : 0 0, 0, 0 0. kärkipiste suor ollkoht 0 :( ), d piste (,; 0). Kärkipiste Lusekkee rvo (0, 0) piei (0, ) 0 (0,;,) 0,,, suuri (,; 0), 0, ) uuri j piei rvo etsitää tutkimll suorie c joukko. Kikki tälliset suort ovt hdesuutisi origo kutt kulkev suor 0 kss ( ). 7

11 Kertusos Piei vkiotermi c rvo ättäisi olev suorll, jok sivu tsoluett pisteessä A. uuri j leikkuspiste: 7 7, :( ) Lsket muodostuee moikulmio kärkipisteet. A: ijoitet htälöö. iis A (, ).. Ku,, ii,,. A,;, iis ( ) Luseke s tällöi rvo,,,. Kikki tämä suor läpuolell olevt kulkevt tsoluee poikki. Vkiotermi voi siis suuretu rjtt eli suurit rvo ei ole. Vstus: ) uuri rvo,, piei rvo 0 ) uurit rvo ei ole, piei rvo, B: ijoitet htälöö. iis B (, ). C: 7 iis C (, 7). :( ) Kärkipiste Lusekkee, rvo (, ), 7, suuri (, ), 9, 9 (, 7),7, piei

12 Kertusos. Iso kori Piei kori Yhteesä m Kuult Pullot 70 Voitto,0,0 Optimoitv luseke: Voitto,0,0 ( ) Rjoittvt ehdot (tulukost): Rtkist epähtälörhmä. Piirretää suort koorditistoo. Lsket suotuis tsoluee kärkipisteet, sillä optimirvo sd josski kärkipisteessä. A (0, 0) B (0, 0) uor 0 -kseli leikkuskoht. C: uorie 0 j 70 leikkuspiste Ku 0, ii iis C (0, 0). D,0 uor 70 ollkoht. Lsket optimoitv lusekkee rvo kärkipisteissä. Kärkipiste,0, 0 (0, 0),0 0,0 0 0 (0, 0),0 0,0 0 7 (0, 0),0 0,0 0 77,0,0,0 0 7 suuri Nollkohdt: : :( ) uuri voitto, ku 0 j 0. Vstus: Isoj korej 0 kpl j pieiä korej 0 kpl. 9

13 Kertusos. Huom! Kirj. pioksess o virhe tehtäväoss. Yksikköhitoje tulisi oll: Rehu A 0,0 j Rehu B 0,0. Merkitää rehu A rehu B Tulukost sd optimoitv luseke j rjoitusehdot. Optimoitv luseke: kustukset 0,0 0,0 ( ) Rjoittvt ehdot: ,, 0, Rtkist epähtälörhmä. Piirretää suort koorditistoo. Kosk suotuis lue ei ole rjoitettu, optimirvo etsitää tutkimll suorie 0,0 0, 0 c joukko. Kikki tälliset suort ovt hdesuutisi origo kutt kulkev suor 0,0 0,0 0 kss. Piirretää siis suor 0,. Lsket suorie 0, j, leikkuspiste A: 0,,, 7 :, Ku, ii 0,. iis A (, ). Vstus: ksikköä rehu A ksikköä rehu B. Merkitää slkku (lkm.) iltlukku (lkm.) Rk-ie (kg) Töik (h) Hit ( ) lkku,0 0 Lukku 0, 0 Yhteesä m 00 0 Nollkohdt:, 0,,7 0, 0 0, 7 :(,) :( 0,) Tulukost sd: Optimoitv luseke mtitulo 0 0 Rjoitusehdot: 0 0,0 0,

14 Kertusos Rtkist epähtälörhmä. Piirretää suort. Lsket optimoitv lusekkee rvo kärkipisteissä. Kärkipiste 0 0 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) suuri uuri mtitulo, ku 0 j 0. Vstus: lkkuj 0 kpl j iltlukkuj 0 kpl. Nollkohdt: :( ) :( ) Lsket suotuis luee kärkipisteet, sillä optimirvo sd josski kärkipisteessä. A (0, 0) B (0, 0) uor 0 -kseli leikkuskoht. C: uorie 0 j 00 leikkuspiste : 7. ) ). ) ± 9 ( ) ± ± ti joist ei kä, kosk > 0. iis eli. jäse o. Ku 0, ii iis C (0, 0). D (0, 0) uor 00 ollkoht.

15 Kertusos ) 0 ± ( ) ± 0,9... ti,0... Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii luku ei kuulu jooo. Vstus: ) o ) ei ole 9. ),,, eurv jäse sd lisäämällä edellisee luku. M ),,, eurv jäse sd esimerkiksi lisäämällä ti vähetämällä luvust luku. ( ) ( ) ( ) M ( ) c),,, 9 eurv jäse sd jkmll edellie luvull eli kertomll luvull. M Vstus: ) ) c) ( ) 0. ) M 0 ( ) 0 d ) Yleie jäse edellise kohd muk o c) viikko päivää 7 (sivu) Vstus: ) 0,,,, ) c) 7 sivu

16 Kertusos., -, -7, -, ) Aritmeettie joo d 7 ( ) Yleie jäse d ( ) ( ) ( ) ) 79. 7,, 7,,... Aritmeettie joo 7 d 7 7 ) Tutkit, milloi ( ) ( ) ( d 7 ) , :( ) Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii 7 ei ole jooss. ) Tutkit, milloi ( ) ( ) :( ). Aritmeettie lukujoo d 7 Yleie jäse ) ( ) ( ) d ) Yleie jäse, ku 7 j d 7 : 7 ( ) ) Aritmeettie joo,90m (etäiss rt 0 m) 0 (,90 0,) m,0 m,90 0,,70 m,90 0,,0 m M,90 0, (m) etäiss rt metriä ) 0 m päässä rst eli etsitää 0. jäsetä jooss.,90 0 0, 0,9 (m) 0 Vstus: ),90 0, ) 0,9 m Kosk o positiivie kokoisluku, ii 7 o jooss. Vstus: ) ei ole ) o

17 Kertusos. ) Kerrokset muodostvt ritmeettise joo: (m),, (m), (m), (m) M ( ),,,, 7, (m) ) Lsket, milloi 90, (m)., 7, 90,, :, Vstus: ), 7, (m) ). kerros Lsket, motko luku summss o. 7 0 ( ) ( ) ( d 7 ) ,, 7, 9, Aritmeettie joo d 7 9 :( ) > 000 Lsket esi, milloi ) Aritmeettie summ 9 d 9 Lsket, motko luku summss o. 7 ( ) ( ) d : 9 7 ) ( ) ( 7) Aritmeettie summ 0 d Yleie jäse ( ) ( ) ( ) d ± ± 00,7... ti,7... joist,7... ei kä, kosk > 0. : ( 000)

18 Kertusos Jos, ii 90 9 < Jos, ii 9 0 > Vstus: vähitää jäsetä., d M ( ) (leie jäse) teri lukee. päivää: 9 (sivu) 9 Vstus: 9 sivu 9. ) (m) ) Viimeise sekui ik v k : m s,0 km 0, km h h v k Tutkittv sekui ik v k : v 0 m s 0,0 km h k Vstus: ) 0 m ) v 09 km k h c) v km k 0 h 0 km h 0. 0, d 0 ritmeettie joo ) Yleie jäse d 0 ( ) ( ) ( 0) ) km h (m) M ( ) (m) Vstus: ) ) 900 ktsoj. sekui ik kulkem mtk: (m) Kokoismtk: 0 (m).,, 7, 7, Geometrie joo 7, q ) Yleie jäse q ( ) 7 ) ( ) ( ) 7 Vstus: ) ( ) ) 7

19 Kertusos. Geometrie joo 000, 00, 0, , q Yleie jäse q ) Tutkit, oko, ,, 000 ( ) lg lg( 7,9 0 ) 0 lg( 7,9 0 ), 7 lg :000 ) Tutkit, oko 0, ( ) lg lg(,7 0 ) 0 0,000, (,7 0 ) lg lg 0,9...,9... :000 0 :lg 0 Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii luku 0,00 ei ole jooss.. Geometrie joo q 0,, 7 Yleie jäse 0, 7 7 0, 0, :0, q. 0 mi kuluttu 0 mi kuluttu 0 mi kuluttu M ( ) 0mikuluttu Lsket, milloi ( ) lg lg07 lg07 lg 9 : :lg (kteeri) Tällöi ik o kuluut 0 mi 0 0 mi 00 mi ( h 0 ( ) mi) Vstus: 00 mi kuluttu ( h 0 mi) Vstus: ) o, 7. jäse ) ei ole

20 Kertusos Geometrie joo, kosk väheemistä, %. Mtkustji o siis i jäljellä 9, % edellisvuodelt. v. kuluttu: , 9 v. kuluttu:. vuode kuluttu , 9 M , 9 ) 0 vuode kuluttu ,9 77,... 0 ) < 00 Lsket esi, milloi ,9 00 :0900 0,9 09 lg 0,9 lg :lg 0,9 09 lg 09 lg 0,9, Jos, ii ,9 7,9... > 00. ) Geometrie summ:, q Lsket esi, motko luku summss o. Yleie jäse: q ( ) lg lg lg9 lg : :lg ) 0, 0,... 0, Geometrie summ:, q 0,, 0, 7, ,7 0, 0 Jos, ii ,9 7,... < 00 Vstus: ) 7700 mtkustj ) vuode kuluttu 7

21 Kertusos Geometrise summ leie jäse, q, q Lsket esi, milloi , 99, 00, lg lg 00, lg 00, lg,97... Jos, ii 0 < Jos 9, ii 9 0 : 9 > :lg Jott 999, ii summss pitää oll luku ( ). Tällöi 7. Vstus:. Geometrie joo: q Määritetää esi luku. ( ) : q 0 Vstus:, 0 9. ;,;,;,9; Geometrie joo:,, q,, > Lsket esi, milloi 000., 000,, 0,,,, lg, lg lg lg, : 9,... ( 0,) ( ) Jos 9, ii 9, 9 97,9... < 000, Jos 0, ii 0, 0 0,0... > 000, Vstus: vähitää 0 jäsetä

22 Kertusos 0. l 0,9 l 0,9 l M 0,9 l Geometrie joo: l q 0,9 (päivää) Khde viiko ik i poimi hteesä 0,9 l,... l l 0,9. v. 0,00 ( ) v.,00,00 0,00 ( ) v.,0 0,00,00,00 0, 00 M v.,0 7 0,00...,00, 00 Rh o tilillä (ilm viimeistä tlletust):, 0,00, q,0 7,0,00,00,0 7,... ( ) Vstus: 7, 0 7, 0,0,0m 7,,0 0,0,0 m 7, ( 0,0) 0,0,0 0 (,0 ) m 9,70 9,70 m,0 0 (,0 ) m 0, m 0,00 ( ) Vstus: 0,00. Aluss timi 00 viiko kuluttu 0,000 0 viiko kuluttu 0,0 00 0,00 0 M 0 viiko kuluttu 0 9 0,0 00 0, kpl( ) 0, q 0,0 0 0,0 0, ,0 0, Vstus: 00 tit 0. Merkitää tlletettv summ kirjimell m. Aluss m ( ) v.,0m m v.,0 m, 0m m M 0 0 v.,0 m..., 0m (viimeise koro lisäkse jälkee),0m, q,0, 0. ) 7,,,, ) , 0, 0 ( ),,... ( ) 9

23 Kertusos. ),,,., Geometrie joo: q Alttie säätö: q Rekursiivie säätö: eurv jäse sd jkmll edellie luvull.,,,... ) 0,,,, Aritmeettie joo: d 0 Alttie säätö: d 0 ( ) ( ) 0 ( ) Rekursiivie säätö: eurv jäse sd vähetämällä edellisestä luku. 0,,,... Fiocci,, , 0,00 ( ) :, 0,00, 7,9 ( ) ( 0,00 ) :, ( 0,00 ), ( 0,00 7,9) 7,... :, 0,00 ( ),99... :, ( 0,00 ) 0,... :, ( 0,00 ) 97, ,9 7 :, ( 0,00 ) 7 0,7... :, ( 0,00 ) ,0... 0

24 Kertusos 9 :, ( 0,00 ) 9 00,... 0 :, ( 0,00 ) ,... Peurkt vkiituu. 00 ksilöö.. Hrjoituskoe. ) : : Muodostet htälöpri: 7 : Ku 7, ii iis leikkuspiste (7, ) ) Muodostet htälöpri: 0 0 ( ) Ku, ii 0 0 Vstus: ) (7, ) ),. Joo 0, 7,,, Aritmeettie joo 0, d Alttie säätö: d 0 ( ) ( ) 0 ( ) :( ) Rekursiivie säätö: eurv jäse sd vähetämällä edellisestä luku. 0,,,...

25 Kertusos. Preli htälö c ijoitet etut pisteet htälöö: c c c 0 : 0) (, : ), ( ) ( ) ( : ), ( d htälörhmä: 0 9 c c c Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto c. () ) ( c c c c () 0 9 ) ( c c 0 9 c c d htälöpri: ) ( Ku, ii : 9 ) ( 7 c c c Preli o Vstus:. ),, 7, Aritmeettie joo 7 d Yleie jäse ( ) ( ) d Lsket, milloi. 0 : 0 iis 0 )...,,, Geometrie joo q

26 Kertusos Yleie jäse q. 0. termi:,7,. esimmäise termi summ:,, Vstus: ). jäse ), j,.. päivä (mi). päivä,0 (mi). päivä,0 (mi) M. päivä,0 (mi) ) Joo. jäse:,0 mi,0,7...mi mi mi ) Kutoiluu kätetää ik 0 päivä ik: 0,0 0,0 097, mi (h) Lsket muodostuee moikulmio kärkipisteet, sillä optimirvot lötvät kärkipisteistä. A: uorie j leikkuspiste. iis A (, ) B: uorie j leikkuspiste. iis B (, ) C: uorie j leikkuspiste ,7 :( ) 0, iis C (,7; 0,) Vstus: ) mi ) h

27 Kertusos Kärkipiste Lusekkee rvo (, ) ( ) (, ) piei (,7; 0,) 7 0, suuri Vstus: uuri rvo 0, pisteessä (,7; 0,), piei rvo pisteessä (, ) 7. Rull ulkosäde,0 cm sisäsäde, cm,0 cm, cm Rullss olev pperi hteispksuus,0 cm, cm,7 cm 7, mm 7, Rullss o 7 kerrost. 0, isimmä pperikerrokse pituus: π, cm,7... cm Uloimm kerrokse pituus: π,0 cm 7,99... cm Pperikerrokse säde o i sm verr (0, mm) suurempi kui edellise säde, jote kerrokse pituus o i sm verr ( 0,π mm) suurempi kui edellise kerrokse pituus. Pituudet muodostvt siis ritmeettise joo. Pperi kokoispituus:,7... 7, cm 979,... cm 9700 cm (97m). Hrjoituskoe. ),,, ) Aritmeettie joo, d c) Geometrie joo, q.. viikko 00. viikko, viikko,0 0,. viikko,,0 9, 0. viikko,9,0 0,. viikko,, 0,0 (hekilöä) Vstus: 97 m

28 Kertusos Tuluko perusteell sd joo rekursiivisess muodoss, 0 00,,,... Vstus:, 00,,,... viiko kuluttu hekilöä sir. Jos, ii 09 < Jos, ii 90 > Trvit siis soittokierrost.. Liis hlö Vstus: ) 0 hekilöä ) vähitää soittokierrost X X X X X X hlö. soittokierros hlö. soittokierros Huomt, että kuulijoide määrä kksikertistuu i seurvll soittokerrll. Muodostet geometrie joo., q Yleie jäse q ) 0. kierroksell ) > 00 Lsket esi, milloi 00 ( ) lg lg lg lg,9... ( ) : ( ) :lg. Li 7000 ( ) Korko, % vuode korko:, %, % vuode kuluttu: Li: ( ) 700 ( ) Korko: 0, ( ) vuode kuluttu: Li: ( ) 000 ( ) Korko: 0,0 700 ( ),7 ( ) vuodess li lheetää Li tkisimksu siis kestää 7000 (vuott) 9000 Korot muodostvt joo:. 0, , ( ) 0, ,0 00 0, ( ) 0, ,0 00 Korot muodostvt ritmeettise, joss 0, j d 0,0 00 7,.

29 Kertusos Korkoje mksu o kert. Viimeie koro osuus o 0,0 00 7, Korko mkset hteesä: 7, 009 Vstus: 009, tkisimksu kestää v. Ku 0, ii,0 0 0,0 0,0 Ku, ii z 7 Vstus: 0 mukki :0,0. Merkitää mukit (kpl) jff (kpl) z kiveäisvesi (kpl) Hit Pullot Hit Mukki,0,0 Jff,0,70 Vesi z,00 z,0 Tulot,00 7,0 d htälöt:,0,0,00z,00 z 7,0,70,0z,0 z 7 z 7 ijoitet z 7 muihi htälöihi:,0,0,00( 7 ),00,0,70,0( 7 ),0,0,0 7,00,00,0,70 9,,0,0,0 0,0,0 0,0 0,0 0 ( ),0 0,0,0 0,0. Merkitää lk A (m) lk B (m) Lk A (m) Lk B (m) ht. mi (g) Vill 0 0 Keiokuitu Hit ( ) 0 0 Optimoitv luseke: Rjoittvt ehdot: , kulut 0 0 Piirretää suotuis lue. Lsket suorie ollkohdt:, 0, 0,7 :( )

30 Kertusos 0 :. Hrjoituskoe. ),,, :,... Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii 7 ei kuulu jooo. ) ( ),,,... Optimoitv lusekkee piei rvo etsitää tutkimll suorie c joukko. Kikki tälliset suort ovt hdesuutisi suor kss eli. Piei rvo sd kuv muk pisteessä A: uorie j, leikkuspiste., 0,9 : 0, Ku 0,, ii 0,, 0,. ( ) 7 7 Kosk o positiivie kokoisluku, ii 7 kuuluu jooo. : c),,,... 7 :( ) Ei rtkisu, sillä o i positiivie. Luku 7 ei siis kuulu jooo. Vstus: ) ei kuulu ) kuuluu c) ei kuulu iis A (0,; 0,) Kulut ovt tällöi 0 0, 0 0,, ( ) Vstus: Lk A 0, m j lk B 0, m 7

31 Kertusos. Kupuki A Kupuki B d 07 q, 0 Aritmeettie joo Geometrie joo Yleie termi d 7000 ( ) ( ) ( 07) Yleie termi q 7000,0,0 z 0 0,0,0 0,0z 0, 0,0z 0,0 0,0z 0, 0 00 Veijo osuus,0,0 00 z 00 0,0 0,0 0,0 ) vuode kuluttu. Kupuki A Kupuki B 7000,0 7000,0 70, ) 70, %,0...% % 7000 Vstus: ) A: 00 B: 00 ) %. Merkitää Ahdi osuus ( ) Risto osuus ( ) z Veijo osuus ( ) Vstus: pekkiriviä 9 d Aritmeettie joo (pekit) ) ( 0 ) d (pekkiä) ) Lsket, milloi ( ) ( ) 9 d z 0,0 0,0z ijoitet, 0 khtee muuhu htälöö.,0 z 0,0 0,0z ( ) :

32 Kertusos ± ( 0) ±,79... ti,79... joist,79... ei kä, kosk > 0. Pikkumero 0 sijitsee siis. rivillä. Lsket esi, motko pikk o esimmäisellä rivillä Yli jää siis 0 00 (pikk) iis pikkumero 0 o. rivillä. pikk vsemmlt lukie. Vstus: ) 00 pekkiä ). rivillä,. pikk vsemmlt. Huom! Kirj. pioksess o virhe tehtäväoss. Vlmistuksee kätettävä kokoisik o 7 h (ei 0 h). 0 0 Piirretää suort j etsitää suotuis lue. uorie ollkohdt (piirtämistä vrte): : : Merkitää tuolit (kpl) pödät (kpl) Vlmistus (h) Mlus (h) Hit ( ) Pötä 9, 0 Tuoli 00 Yhteesä m 7 90 Optimoitv luseke tulot 00 0 Rjoittvt ehdot: 0 0 9, 7 90 Lsket muodostuee moikulmio kärkipisteet, sillä optimirvo löt kärkipisteistä. A (0, 0) B: uor -kseli leikkuskoht. B (0, ) 9

33 Kertusos C: uorie j leikkuspiste. 0 Ku 0, ii 0 0 iis C (0, 0) : D: uor ollkoht. D (, 0) Lsket tuloje 00 0 rvot kärkipisteissä. Kärkipisteet 0 0 (0, 0) (0, ) (0, 0) (, 0) suuri.. vuotispäivä 00 ( ). vuotispäivä, ( ). vuotispäivä,0 00, M. vuotispäivä, ,0 00 (viimeistä tlletust ei tehdä) Geometrie summ 7,,000, q,0 7,0,0 00,0,..., ( ) Vstus:, q Geometrie summ q, 7 uurimmt tulot sd pisteessä (0, 0) eli pötiä vlmistet 0 kpl j tuolej 0 kpl. >,7 0 Vstus: 0 kpl pötiä, 0 kpl tuolej Lsket esi, milloi,7 0.,7 0,7 0 0, 0 lg lg,0 0,0 0 lg (,0 0 ) (,0 0 ) lg 9,7... ( ) ( ) lg 0

34 Kertusos Jos 9, ii 9, ,7 0 Jos 0, ii 0, >,7 0 O siis lskettv vähitää 0 termiä, jott summ littää,7 0. Vstus: vähitää 0 termiä <

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro Ehdot 3. Mksu suoritet se m vluutss, mistä objektiivi o ostettu. Mksu suoritet 4 viiko kuluess cshbck-dokumettie spumisest. 4. Objektiivi tulee oll Focus Nordici mhtuom j se tulee oll ostettu virllise

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Seuraava jonon jäsen on saatu edellisestä lisäämällä siihen luku 70 tai kyseessä on luvun 70 kertotaulu.

Seuraava jonon jäsen on saatu edellisestä lisäämällä siihen luku 70 tai kyseessä on luvun 70 kertotaulu. 0 Joot j summt Lukujoo 4. ) 40, 440, 40, 460. Seurv joo jäse o 0 suurempi. b) 6,, 64, 8. Seurv joo jäse o kksikertie edellisee verrttu. 4. ), 4,, Seurv joo jäse o stu edellisestä lisäämällä siihe luku

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista 9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI

LUKUVUODEN E-KURSSI 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

2 Hinnat ja rahan arvo

2 Hinnat ja rahan arvo 2 Hinnt j rhn rvo Indeksit 90. Vuosi Hint Indeksi (2006 = 100) 2006 442 100,0 2007 465 465 105,203... 442 2008 493 493 100 111,538... 442 2009 521 521 117,873... 442 2010 508 508 114,932... 442 105,2 111,5

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

LASKENTA laskentakaavat

LASKENTA laskentakaavat LASKENA lketkvt Kvkokoelm älle ivulle o koottu yleiiät j ueiite trvitut lketkvt. Näitä käytetää hihleveyde j keliväli lket. Liäki o koottu muutmi muuokvoj. Hhih mitoittmie käy helpoti Heomitoituohjelmll.

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

ARK 01-01. Asiakirjaluettelo. Jyrki Ala-Mäkelä, per. Koy:n lukuun Pinotie 33470 YLÖJÄRVI ENECON OY. Laksontie 11 60420 SEINÄJOKI

ARK 01-01. Asiakirjaluettelo. Jyrki Ala-Mäkelä, per. Koy:n lukuun Pinotie 33470 YLÖJÄRVI ENECON OY. Laksontie 11 60420 SEINÄJOKI ENECON OY Lksoti SEINÄJOKI 9 timo.mtil@co.fi Uudisrkus, Jyrki Al-Mäklä, pr. Koy lukuu, Pioti, Ylöjärvi Piirustusluttlo.. Vstuuhkilö Timo Mtil, RI Asikirj Sisältö Mittkv Luttlot - Asikirjluttlo.. Pääpiirustukst

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA COOLS COOLSIDE uusi JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE Jäähdytysteho Kylmäine Puhllintyyppi Mikroprosessori jop 96,0 kw sroll R410A ksili MP.COM T: MONO DXA (R410A) Jäähdytysteho jop 21,9 kw Ilmluhdutteinen

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

ASUINRAKENNUSTONTTIEN JA -LISÄALUEIDEN VARAAMINEN, MYYNTI JA VUOKRAUS

ASUINRAKENNUSTONTTIEN JA -LISÄALUEIDEN VARAAMINEN, MYYNTI JA VUOKRAUS ASUNRAKENNUSONEN A -SÄAUEDEN AANEN, YYN A UOKRAUS Rkennustontit myydään, vtn vuokrtn hkemusten sumisärestyksessä. YYNHNNA Omkotitlotontit Kirkonkylä: Niemenhunrnt ääkkölä inlhti Rnt-ho Eräoh uut lueet

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1 Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus E i j L e h t i n i e m i M e r v i Wä r e S L I N E N P I N E N H R J O I T U S V I H K O SLINEN KIRJSTO Hrjoitusvihkon Eij Lehtiniemi OPETTJN OHJEET Erityisopetus HRJOITUSVIHKON SISÄLTÖ Vlmiushrjoitukset

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Korkotuettuja osaomistusasuntoja

Korkotuettuja osaomistusasuntoja Korkotuettuj osomistussuntoj Hvinnekuv suunnitelmst. Titeilijn näkemys Asunto Oy Espoon Stulmkri Stulmkrintie 1, 02780 ESOO Asunto Oy Espoon Stulmkri Kerv Kuklhti Iso Mntie 2 Espoo Vihdintie Keh III Hämeenlinnnväylä

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 25 26

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen yleiset laskuperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen yleiset laskuperusteet Työtekijä eläkeli (TyEL) mukise eläkevkuutukse yleiset lskuperusteet Sisällysluettelo 1 LASKUPERUSTEMALLI 1 11 Korkoutuvuus 1 1 Kuolevuus 1 13 Työkyvyttömyys 1 1 Perheellisyys 11 Avioisuus 1 Aviopuolisoide

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä

MATRIISILASKENNAN PERUSTEET. Timo Mäkelä MTRIISILSKENNN PERUSTEET Tmo Mäkelä Mtrslske perusteet SISÄLLYS:. PERUSSIOIT.... MÄÄRITELMIÄ.... MTRIISITYYPPEJÄ.... LSKUTOIMITUKSET.... MTRIISIN KERTOMINEN LUVULL.... YHTEEN- J VÄHENNYSLSKU.... KERTOLSKU....

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot