Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)"

Transkriptio

1 Kertusos Kertusos ). ) : j ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. )

2 Kertusos ) ) 0 ijoitet htälöö. ( ) 0 Vstus: ), ), 0 ijoitet htälöö epätosi Yhtälöprill ei ole rtkisu. Vstus: ) Kikki suor pisteet. ) Ei rtkisu. ). ) ( ) 0 0 tosi Yhtälöprill ääretö määrä rtkisuj. Kirjoitet htälöt rtkistuss muodoss. j : ( ) : Leikkuspisteitä o siis ääretö määrä, mutt iide o toteutettv suor htälö. ) ( )

3 Kertusos : c) ) ( 0 : Vstus: ), ) c), 0 7. ) ( ) ( ) 0 : ) ( ) ( ), 7 0,, , 0, 0, epätosi ei rtkisu Vstus: ) 0, ) ei rtkisu 0

4 Kertusos. Merkitää kpl pkkuste lkm. kpl pkkuste lkm. 0. Merkitää Pek tutiplkk ( ) Jri tutiplkk ( ) 70 0 ( ) ( 0) Vstus: Khde kpplee pkkuksi 0 kpl Kuude kpplee pkkuksi 0 kpl Ku, ii :9 9. Merkitää hdessä tksiss mtkustvie lkm. hdessä ussiss mtkustvie lkm. (keskimääri) Vstus: Pek tutiplkk, Jri tutiplkk. Merkitää lukuj kirjimill j ( 0) : Vstus: Bussiss spui keskimääri mtkustj. Tksiss spui keskimääri mtkustj. ijoitet htälöö. ( ) ( ) 7 : Ku 7, ii ( 7). Vstus: Luvut ovt -7 j.

5 Kertusos. Merkitää,-prosettie liuos (l) 0,0-prosettie liuos (l) Liuokse määrä uol määrä,-pros. 0,0-pros. Koko liuos, 0,0 0,0 0,0, d htälöt:, 0,0 0,0 0,0,, 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 0, 0, 0, Ku 0,, ii 0,, 0,9 0, ( 0,0) 0, 0, 0,0... Vstus:,-prosettist liuost 0, l 0-prosettist liuost 0,9 l. ) z z 0 z Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto. () z z z 0 () z 0 z z 0 z 0 0 z d uusi htälöpri: z 0 z z 0 z 9z z Ku z, ii 0 0 Ku z j, ii :( 0)

6 Kertusos ) z z 0 I II III. ) t r s ( s t ) ( s,t, s ( s t ) ( r ) ) Rtkist htälöstä I tutemto j sijoitet se muihi htälöihi. z z z d htälöpri: z 0( z ) z 0z 0 z 0z z 0 0z z z Ku z, ii 9 Ku z j :( ) :( ), ii 0 z. t r s s t s t s s t r r s t s r 0s t ijoitet s khtee muuhu htälöö. r t r t r 0 t r t d htälöpri: r t r t ( ) r 9t r t 7t t Ku t, ii r r 0 r r : Vstus: ),, z ) 0,, z

7 Kertusos ) 7( c ) 9( c ) c ( ) 7c 7 9 9c c 0 7 7c 9 9c 0 0 c Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto. () 7 7c 9 9c 0 c 9 9c 0 c () 7 7c 0 c c 0 c 9c 7 d uusi htälöpri: c 9c 7 c 7c c c 0, ( ) Ku c 0,, ii 9 ( 0,) 7 9, 7,, : Ku c 0, j,, ii 7 (,) 7 ( 0,) 0,, Vstus: ) r, s, t ),;, c 0,. Preli c (, ) (, ) :( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) c (, ) c d htälörhmä: c c c Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto c. () c c c c 0 ( )

8 Kertusos () c c ( ) z,z c c d htälöpri: 0 ( ) 0 Ku, ii ( ) 9 : Ku j, ii c c c z,z z z z z Ku z, ii, Ku, ii ( ) Vstus: ll kpl, Ae kpl j irkk kpl. 7. ) Vstus:. Merkitää ll ptukt (kpl) Ae ptukt (kpl) z irk ptukt (kpl) ) < d htälöt: z,z ijoitet khtee muuhu htälöö.

9 Kertusos c). ) : < < > ) ) :( 9. uort: 0, j : 0. ) 0 ) 0 0 : : 0

10 Kertusos c) < 9 < > 0 < 9 < > < 9 < > : :. ) uuri ti piei rvo löt trksteltv moikulmio kärkipisteissä.. kärkipiste (0, 0). kärkipiste suor -kseli leikkiskoht, (0, ). kärkipiste suor j leikkuspiste: : 0, 0,, d piste (0,;,).. Merkitää ruisvoileipie lkm. vehävoileipie lkm. Ruis Vehä Yhteesä m Kikkuviipleet Juustoviipleet 0 d epähtälöt: : 0 : 0 0, 0, 0 0. kärkipiste suor ollkoht 0 :( ), d piste (,; 0). Kärkipiste Lusekkee rvo (0, 0) piei (0, ) 0 (0,;,) 0,,, suuri (,; 0), 0, ) uuri j piei rvo etsitää tutkimll suorie c joukko. Kikki tälliset suort ovt hdesuutisi origo kutt kulkev suor 0 kss ( ). 7

11 Kertusos Piei vkiotermi c rvo ättäisi olev suorll, jok sivu tsoluett pisteessä A. uuri j leikkuspiste: 7 7, :( ) Lsket muodostuee moikulmio kärkipisteet. A: ijoitet htälöö. iis A (, ).. Ku,, ii,,. A,;, iis ( ) Luseke s tällöi rvo,,,. Kikki tämä suor läpuolell olevt kulkevt tsoluee poikki. Vkiotermi voi siis suuretu rjtt eli suurit rvo ei ole. Vstus: ) uuri rvo,, piei rvo 0 ) uurit rvo ei ole, piei rvo, B: ijoitet htälöö. iis B (, ). C: 7 iis C (, 7). :( ) Kärkipiste Lusekkee, rvo (, ), 7, suuri (, ), 9, 9 (, 7),7, piei

12 Kertusos. Iso kori Piei kori Yhteesä m Kuult Pullot 70 Voitto,0,0 Optimoitv luseke: Voitto,0,0 ( ) Rjoittvt ehdot (tulukost): Rtkist epähtälörhmä. Piirretää suort koorditistoo. Lsket suotuis tsoluee kärkipisteet, sillä optimirvo sd josski kärkipisteessä. A (0, 0) B (0, 0) uor 0 -kseli leikkuskoht. C: uorie 0 j 70 leikkuspiste Ku 0, ii iis C (0, 0). D,0 uor 70 ollkoht. Lsket optimoitv lusekkee rvo kärkipisteissä. Kärkipiste,0, 0 (0, 0),0 0,0 0 0 (0, 0),0 0,0 0 7 (0, 0),0 0,0 0 77,0,0,0 0 7 suuri Nollkohdt: : :( ) uuri voitto, ku 0 j 0. Vstus: Isoj korej 0 kpl j pieiä korej 0 kpl. 9

13 Kertusos. Huom! Kirj. pioksess o virhe tehtäväoss. Yksikköhitoje tulisi oll: Rehu A 0,0 j Rehu B 0,0. Merkitää rehu A rehu B Tulukost sd optimoitv luseke j rjoitusehdot. Optimoitv luseke: kustukset 0,0 0,0 ( ) Rjoittvt ehdot: ,, 0, Rtkist epähtälörhmä. Piirretää suort koorditistoo. Kosk suotuis lue ei ole rjoitettu, optimirvo etsitää tutkimll suorie 0,0 0, 0 c joukko. Kikki tälliset suort ovt hdesuutisi origo kutt kulkev suor 0,0 0,0 0 kss. Piirretää siis suor 0,. Lsket suorie 0, j, leikkuspiste A: 0,,, 7 :, Ku, ii 0,. iis A (, ). Vstus: ksikköä rehu A ksikköä rehu B. Merkitää slkku (lkm.) iltlukku (lkm.) Rk-ie (kg) Töik (h) Hit ( ) lkku,0 0 Lukku 0, 0 Yhteesä m 00 0 Nollkohdt:, 0,,7 0, 0 0, 7 :(,) :( 0,) Tulukost sd: Optimoitv luseke mtitulo 0 0 Rjoitusehdot: 0 0,0 0,

14 Kertusos Rtkist epähtälörhmä. Piirretää suort. Lsket optimoitv lusekkee rvo kärkipisteissä. Kärkipiste 0 0 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) suuri uuri mtitulo, ku 0 j 0. Vstus: lkkuj 0 kpl j iltlukkuj 0 kpl. Nollkohdt: :( ) :( ) Lsket suotuis luee kärkipisteet, sillä optimirvo sd josski kärkipisteessä. A (0, 0) B (0, 0) uor 0 -kseli leikkuskoht. C: uorie 0 j 00 leikkuspiste : 7. ) ). ) ± 9 ( ) ± ± ti joist ei kä, kosk > 0. iis eli. jäse o. Ku 0, ii iis C (0, 0). D (0, 0) uor 00 ollkoht.

15 Kertusos ) 0 ± ( ) ± 0,9... ti,0... Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii luku ei kuulu jooo. Vstus: ) o ) ei ole 9. ),,, eurv jäse sd lisäämällä edellisee luku. M ),,, eurv jäse sd esimerkiksi lisäämällä ti vähetämällä luvust luku. ( ) ( ) ( ) M ( ) c),,, 9 eurv jäse sd jkmll edellie luvull eli kertomll luvull. M Vstus: ) ) c) ( ) 0. ) M 0 ( ) 0 d ) Yleie jäse edellise kohd muk o c) viikko päivää 7 (sivu) Vstus: ) 0,,,, ) c) 7 sivu

16 Kertusos., -, -7, -, ) Aritmeettie joo d 7 ( ) Yleie jäse d ( ) ( ) ( ) ) 79. 7,, 7,,... Aritmeettie joo 7 d 7 7 ) Tutkit, milloi ( ) ( ) ( d 7 ) , :( ) Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii 7 ei ole jooss. ) Tutkit, milloi ( ) ( ) :( ). Aritmeettie lukujoo d 7 Yleie jäse ) ( ) ( ) d ) Yleie jäse, ku 7 j d 7 : 7 ( ) ) Aritmeettie joo,90m (etäiss rt 0 m) 0 (,90 0,) m,0 m,90 0,,70 m,90 0,,0 m M,90 0, (m) etäiss rt metriä ) 0 m päässä rst eli etsitää 0. jäsetä jooss.,90 0 0, 0,9 (m) 0 Vstus: ),90 0, ) 0,9 m Kosk o positiivie kokoisluku, ii 7 o jooss. Vstus: ) ei ole ) o

17 Kertusos. ) Kerrokset muodostvt ritmeettise joo: (m),, (m), (m), (m) M ( ),,,, 7, (m) ) Lsket, milloi 90, (m)., 7, 90,, :, Vstus: ), 7, (m) ). kerros Lsket, motko luku summss o. 7 0 ( ) ( ) ( d 7 ) ,, 7, 9, Aritmeettie joo d 7 9 :( ) > 000 Lsket esi, milloi ) Aritmeettie summ 9 d 9 Lsket, motko luku summss o. 7 ( ) ( ) d : 9 7 ) ( ) ( 7) Aritmeettie summ 0 d Yleie jäse ( ) ( ) ( ) d ± ± 00,7... ti,7... joist,7... ei kä, kosk > 0. : ( 000)

18 Kertusos Jos, ii 90 9 < Jos, ii 9 0 > Vstus: vähitää jäsetä., d M ( ) (leie jäse) teri lukee. päivää: 9 (sivu) 9 Vstus: 9 sivu 9. ) (m) ) Viimeise sekui ik v k : m s,0 km 0, km h h v k Tutkittv sekui ik v k : v 0 m s 0,0 km h k Vstus: ) 0 m ) v 09 km k h c) v km k 0 h 0 km h 0. 0, d 0 ritmeettie joo ) Yleie jäse d 0 ( ) ( ) ( 0) ) km h (m) M ( ) (m) Vstus: ) ) 900 ktsoj. sekui ik kulkem mtk: (m) Kokoismtk: 0 (m).,, 7, 7, Geometrie joo 7, q ) Yleie jäse q ( ) 7 ) ( ) ( ) 7 Vstus: ) ( ) ) 7

19 Kertusos. Geometrie joo 000, 00, 0, , q Yleie jäse q ) Tutkit, oko, ,, 000 ( ) lg lg( 7,9 0 ) 0 lg( 7,9 0 ), 7 lg :000 ) Tutkit, oko 0, ( ) lg lg(,7 0 ) 0 0,000, (,7 0 ) lg lg 0,9...,9... :000 0 :lg 0 Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii luku 0,00 ei ole jooss.. Geometrie joo q 0,, 7 Yleie jäse 0, 7 7 0, 0, :0, q. 0 mi kuluttu 0 mi kuluttu 0 mi kuluttu M ( ) 0mikuluttu Lsket, milloi ( ) lg lg07 lg07 lg 9 : :lg (kteeri) Tällöi ik o kuluut 0 mi 0 0 mi 00 mi ( h 0 ( ) mi) Vstus: 00 mi kuluttu ( h 0 mi) Vstus: ) o, 7. jäse ) ei ole

20 Kertusos Geometrie joo, kosk väheemistä, %. Mtkustji o siis i jäljellä 9, % edellisvuodelt. v. kuluttu: , 9 v. kuluttu:. vuode kuluttu , 9 M , 9 ) 0 vuode kuluttu ,9 77,... 0 ) < 00 Lsket esi, milloi ,9 00 :0900 0,9 09 lg 0,9 lg :lg 0,9 09 lg 09 lg 0,9, Jos, ii ,9 7,9... > 00. ) Geometrie summ:, q Lsket esi, motko luku summss o. Yleie jäse: q ( ) lg lg lg9 lg : :lg ) 0, 0,... 0, Geometrie summ:, q 0,, 0, 7, ,7 0, 0 Jos, ii ,9 7,... < 00 Vstus: ) 7700 mtkustj ) vuode kuluttu 7

21 Kertusos Geometrise summ leie jäse, q, q Lsket esi, milloi , 99, 00, lg lg 00, lg 00, lg,97... Jos, ii 0 < Jos 9, ii 9 0 : 9 > :lg Jott 999, ii summss pitää oll luku ( ). Tällöi 7. Vstus:. Geometrie joo: q Määritetää esi luku. ( ) : q 0 Vstus:, 0 9. ;,;,;,9; Geometrie joo:,, q,, > Lsket esi, milloi 000., 000,, 0,,,, lg, lg lg lg, : 9,... ( 0,) ( ) Jos 9, ii 9, 9 97,9... < 000, Jos 0, ii 0, 0 0,0... > 000, Vstus: vähitää 0 jäsetä

22 Kertusos 0. l 0,9 l 0,9 l M 0,9 l Geometrie joo: l q 0,9 (päivää) Khde viiko ik i poimi hteesä 0,9 l,... l l 0,9. v. 0,00 ( ) v.,00,00 0,00 ( ) v.,0 0,00,00,00 0, 00 M v.,0 7 0,00...,00, 00 Rh o tilillä (ilm viimeistä tlletust):, 0,00, q,0 7,0,00,00,0 7,... ( ) Vstus: 7, 0 7, 0,0,0m 7,,0 0,0,0 m 7, ( 0,0) 0,0,0 0 (,0 ) m 9,70 9,70 m,0 0 (,0 ) m 0, m 0,00 ( ) Vstus: 0,00. Aluss timi 00 viiko kuluttu 0,000 0 viiko kuluttu 0,0 00 0,00 0 M 0 viiko kuluttu 0 9 0,0 00 0, kpl( ) 0, q 0,0 0 0,0 0, ,0 0, Vstus: 00 tit 0. Merkitää tlletettv summ kirjimell m. Aluss m ( ) v.,0m m v.,0 m, 0m m M 0 0 v.,0 m..., 0m (viimeise koro lisäkse jälkee),0m, q,0, 0. ) 7,,,, ) , 0, 0 ( ),,... ( ) 9

23 Kertusos. ),,,., Geometrie joo: q Alttie säätö: q Rekursiivie säätö: eurv jäse sd jkmll edellie luvull.,,,... ) 0,,,, Aritmeettie joo: d 0 Alttie säätö: d 0 ( ) ( ) 0 ( ) Rekursiivie säätö: eurv jäse sd vähetämällä edellisestä luku. 0,,,... Fiocci,, , 0,00 ( ) :, 0,00, 7,9 ( ) ( 0,00 ) :, ( 0,00 ), ( 0,00 7,9) 7,... :, 0,00 ( ),99... :, ( 0,00 ) 0,... :, ( 0,00 ) 97, ,9 7 :, ( 0,00 ) 7 0,7... :, ( 0,00 ) ,0... 0

24 Kertusos 9 :, ( 0,00 ) 9 00,... 0 :, ( 0,00 ) ,... Peurkt vkiituu. 00 ksilöö.. Hrjoituskoe. ) : : Muodostet htälöpri: 7 : Ku 7, ii iis leikkuspiste (7, ) ) Muodostet htälöpri: 0 0 ( ) Ku, ii 0 0 Vstus: ) (7, ) ),. Joo 0, 7,,, Aritmeettie joo 0, d Alttie säätö: d 0 ( ) ( ) 0 ( ) :( ) Rekursiivie säätö: eurv jäse sd vähetämällä edellisestä luku. 0,,,...

25 Kertusos. Preli htälö c ijoitet etut pisteet htälöö: c c c 0 : 0) (, : ), ( ) ( ) ( : ), ( d htälörhmä: 0 9 c c c Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto c. () ) ( c c c c () 0 9 ) ( c c 0 9 c c d htälöpri: ) ( Ku, ii : 9 ) ( 7 c c c Preli o Vstus:. ),, 7, Aritmeettie joo 7 d Yleie jäse ( ) ( ) d Lsket, milloi. 0 : 0 iis 0 )...,,, Geometrie joo q

26 Kertusos Yleie jäse q. 0. termi:,7,. esimmäise termi summ:,, Vstus: ). jäse ), j,.. päivä (mi). päivä,0 (mi). päivä,0 (mi) M. päivä,0 (mi) ) Joo. jäse:,0 mi,0,7...mi mi mi ) Kutoiluu kätetää ik 0 päivä ik: 0,0 0,0 097, mi (h) Lsket muodostuee moikulmio kärkipisteet, sillä optimirvot lötvät kärkipisteistä. A: uorie j leikkuspiste. iis A (, ) B: uorie j leikkuspiste. iis B (, ) C: uorie j leikkuspiste ,7 :( ) 0, iis C (,7; 0,) Vstus: ) mi ) h

27 Kertusos Kärkipiste Lusekkee rvo (, ) ( ) (, ) piei (,7; 0,) 7 0, suuri Vstus: uuri rvo 0, pisteessä (,7; 0,), piei rvo pisteessä (, ) 7. Rull ulkosäde,0 cm sisäsäde, cm,0 cm, cm Rullss olev pperi hteispksuus,0 cm, cm,7 cm 7, mm 7, Rullss o 7 kerrost. 0, isimmä pperikerrokse pituus: π, cm,7... cm Uloimm kerrokse pituus: π,0 cm 7,99... cm Pperikerrokse säde o i sm verr (0, mm) suurempi kui edellise säde, jote kerrokse pituus o i sm verr ( 0,π mm) suurempi kui edellise kerrokse pituus. Pituudet muodostvt siis ritmeettise joo. Pperi kokoispituus:,7... 7, cm 979,... cm 9700 cm (97m). Hrjoituskoe. ),,, ) Aritmeettie joo, d c) Geometrie joo, q.. viikko 00. viikko, viikko,0 0,. viikko,,0 9, 0. viikko,9,0 0,. viikko,, 0,0 (hekilöä) Vstus: 97 m

28 Kertusos Tuluko perusteell sd joo rekursiivisess muodoss, 0 00,,,... Vstus:, 00,,,... viiko kuluttu hekilöä sir. Jos, ii 09 < Jos, ii 90 > Trvit siis soittokierrost.. Liis hlö Vstus: ) 0 hekilöä ) vähitää soittokierrost X X X X X X hlö. soittokierros hlö. soittokierros Huomt, että kuulijoide määrä kksikertistuu i seurvll soittokerrll. Muodostet geometrie joo., q Yleie jäse q ) 0. kierroksell ) > 00 Lsket esi, milloi 00 ( ) lg lg lg lg,9... ( ) : ( ) :lg. Li 7000 ( ) Korko, % vuode korko:, %, % vuode kuluttu: Li: ( ) 700 ( ) Korko: 0, ( ) vuode kuluttu: Li: ( ) 000 ( ) Korko: 0,0 700 ( ),7 ( ) vuodess li lheetää Li tkisimksu siis kestää 7000 (vuott) 9000 Korot muodostvt joo:. 0, , ( ) 0, ,0 00 0, ( ) 0, ,0 00 Korot muodostvt ritmeettise, joss 0, j d 0,0 00 7,.

29 Kertusos Korkoje mksu o kert. Viimeie koro osuus o 0,0 00 7, Korko mkset hteesä: 7, 009 Vstus: 009, tkisimksu kestää v. Ku 0, ii,0 0 0,0 0,0 Ku, ii z 7 Vstus: 0 mukki :0,0. Merkitää mukit (kpl) jff (kpl) z kiveäisvesi (kpl) Hit Pullot Hit Mukki,0,0 Jff,0,70 Vesi z,00 z,0 Tulot,00 7,0 d htälöt:,0,0,00z,00 z 7,0,70,0z,0 z 7 z 7 ijoitet z 7 muihi htälöihi:,0,0,00( 7 ),00,0,70,0( 7 ),0,0,0 7,00,00,0,70 9,,0,0,0 0,0,0 0,0 0,0 0 ( ),0 0,0,0 0,0. Merkitää lk A (m) lk B (m) Lk A (m) Lk B (m) ht. mi (g) Vill 0 0 Keiokuitu Hit ( ) 0 0 Optimoitv luseke: Rjoittvt ehdot: , kulut 0 0 Piirretää suotuis lue. Lsket suorie ollkohdt:, 0, 0,7 :( )

30 Kertusos 0 :. Hrjoituskoe. ),,, :,... Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii 7 ei kuulu jooo. ) ( ),,,... Optimoitv lusekkee piei rvo etsitää tutkimll suorie c joukko. Kikki tälliset suort ovt hdesuutisi suor kss eli. Piei rvo sd kuv muk pisteessä A: uorie j, leikkuspiste., 0,9 : 0, Ku 0,, ii 0,, 0,. ( ) 7 7 Kosk o positiivie kokoisluku, ii 7 kuuluu jooo. : c),,,... 7 :( ) Ei rtkisu, sillä o i positiivie. Luku 7 ei siis kuulu jooo. Vstus: ) ei kuulu ) kuuluu c) ei kuulu iis A (0,; 0,) Kulut ovt tällöi 0 0, 0 0,, ( ) Vstus: Lk A 0, m j lk B 0, m 7

31 Kertusos. Kupuki A Kupuki B d 07 q, 0 Aritmeettie joo Geometrie joo Yleie termi d 7000 ( ) ( ) ( 07) Yleie termi q 7000,0,0 z 0 0,0,0 0,0z 0, 0,0z 0,0 0,0z 0, 0 00 Veijo osuus,0,0 00 z 00 0,0 0,0 0,0 ) vuode kuluttu. Kupuki A Kupuki B 7000,0 7000,0 70, ) 70, %,0...% % 7000 Vstus: ) A: 00 B: 00 ) %. Merkitää Ahdi osuus ( ) Risto osuus ( ) z Veijo osuus ( ) Vstus: pekkiriviä 9 d Aritmeettie joo (pekit) ) ( 0 ) d (pekkiä) ) Lsket, milloi ( ) ( ) 9 d z 0,0 0,0z ijoitet, 0 khtee muuhu htälöö.,0 z 0,0 0,0z ( ) :

32 Kertusos ± ( 0) ±,79... ti,79... joist,79... ei kä, kosk > 0. Pikkumero 0 sijitsee siis. rivillä. Lsket esi, motko pikk o esimmäisellä rivillä Yli jää siis 0 00 (pikk) iis pikkumero 0 o. rivillä. pikk vsemmlt lukie. Vstus: ) 00 pekkiä ). rivillä,. pikk vsemmlt. Huom! Kirj. pioksess o virhe tehtäväoss. Vlmistuksee kätettävä kokoisik o 7 h (ei 0 h). 0 0 Piirretää suort j etsitää suotuis lue. uorie ollkohdt (piirtämistä vrte): : : Merkitää tuolit (kpl) pödät (kpl) Vlmistus (h) Mlus (h) Hit ( ) Pötä 9, 0 Tuoli 00 Yhteesä m 7 90 Optimoitv luseke tulot 00 0 Rjoittvt ehdot: 0 0 9, 7 90 Lsket muodostuee moikulmio kärkipisteet, sillä optimirvo löt kärkipisteistä. A (0, 0) B: uor -kseli leikkuskoht. B (0, ) 9

33 Kertusos C: uorie j leikkuspiste. 0 Ku 0, ii 0 0 iis C (0, 0) : D: uor ollkoht. D (, 0) Lsket tuloje 00 0 rvot kärkipisteissä. Kärkipisteet 0 0 (0, 0) (0, ) (0, 0) (, 0) suuri.. vuotispäivä 00 ( ). vuotispäivä, ( ). vuotispäivä,0 00, M. vuotispäivä, ,0 00 (viimeistä tlletust ei tehdä) Geometrie summ 7,,000, q,0 7,0,0 00,0,..., ( ) Vstus:, q Geometrie summ q, 7 uurimmt tulot sd pisteessä (0, 0) eli pötiä vlmistet 0 kpl j tuolej 0 kpl. >,7 0 Vstus: 0 kpl pötiä, 0 kpl tuolej Lsket esi, milloi,7 0.,7 0,7 0 0, 0 lg lg,0 0,0 0 lg (,0 0 ) (,0 0 ) lg 9,7... ( ) ( ) lg 0

34 Kertusos Jos 9, ii 9, ,7 0 Jos 0, ii 0, >,7 0 O siis lskettv vähitää 0 termiä, jott summ littää,7 0. Vstus: vähitää 0 termiä <

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro Ehdot 3. Mksu suoritet se m vluutss, mistä objektiivi o ostettu. Mksu suoritet 4 viiko kuluess cshbck-dokumettie spumisest. 4. Objektiivi tulee oll Focus Nordici mhtuom j se tulee oll ostettu virllise

Lisätiedot

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan. 2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista 9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Seuraava jonon jäsen on saatu edellisestä lisäämällä siihen luku 70 tai kyseessä on luvun 70 kertotaulu.

Seuraava jonon jäsen on saatu edellisestä lisäämällä siihen luku 70 tai kyseessä on luvun 70 kertotaulu. 0 Joot j summt Lukujoo 4. ) 40, 440, 40, 460. Seurv joo jäse o 0 suurempi. b) 6,, 64, 8. Seurv joo jäse o kksikertie edellisee verrttu. 4. ), 4,, Seurv joo jäse o stu edellisestä lisäämällä siihe luku

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99. 9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI

LUKUVUODEN E-KURSSI 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan perusteet

Kvanttimekaniikan perusteet Kvttimekiik perusteet Aieltokettä j todeäköisyystieys Scrödigeri ytälö Sirot potetiliskeleest lektroitilt potetilikuopss Hrmoie oskillttori Tiltieys lisää sirotilmiöistä Altofuktio o yleisesti kompleksie

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

2 Hinnat ja rahan arvo

2 Hinnat ja rahan arvo 2 Hinnt j rhn rvo Indeksit 90. Vuosi Hint Indeksi (2006 = 100) 2006 442 100,0 2007 465 465 105,203... 442 2008 493 493 100 111,538... 442 2009 521 521 117,873... 442 2010 508 508 114,932... 442 105,2 111,5

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

LASKENTA laskentakaavat

LASKENTA laskentakaavat LASKENA lketkvt Kvkokoelm älle ivulle o koottu yleiiät j ueiite trvitut lketkvt. Näitä käytetää hihleveyde j keliväli lket. Liäki o koottu muutmi muuokvoj. Hhih mitoittmie käy helpoti Heomitoituohjelmll.

Lisätiedot

ARK 01-01. Asiakirjaluettelo. Jyrki Ala-Mäkelä, per. Koy:n lukuun Pinotie 33470 YLÖJÄRVI ENECON OY. Laksontie 11 60420 SEINÄJOKI

ARK 01-01. Asiakirjaluettelo. Jyrki Ala-Mäkelä, per. Koy:n lukuun Pinotie 33470 YLÖJÄRVI ENECON OY. Laksontie 11 60420 SEINÄJOKI ENECON OY Lksoti SEINÄJOKI 9 timo.mtil@co.fi Uudisrkus, Jyrki Al-Mäklä, pr. Koy lukuu, Pioti, Ylöjärvi Piirustusluttlo.. Vstuuhkilö Timo Mtil, RI Asikirj Sisältö Mittkv Luttlot - Asikirjluttlo.. Pääpiirustukst

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99. a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA COOLS COOLSIDE uusi JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE Jäähdytysteho Kylmäine Puhllintyyppi Mikroprosessori jop 96,0 kw sroll R410A ksili MP.COM T: MONO DXA (R410A) Jäähdytysteho jop 21,9 kw Ilmluhdutteinen

Lisätiedot

S , Fysiikka IV (ES) Tentti

S , Fysiikka IV (ES) Tentti S-1436, Fysiikk IV (S) Tetti 81 35 19 1 Vierekkäiste spektriviivje piei hvittu tjuuser Cl F mlekyyli 1 rttispektrissä 1,1 1 Hz Lske tmie välie etäisyys mlekyylissä Rtkisu Kksitmise mlekyyli pyörimiseergi

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot . Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli,

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot