TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1."

Transkriptio

1 TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) b) Pienin arvo: ) Suurin arvo: ) 4) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

2 5. a) x 8 4x 6x 8 : 6 x b) (x 4) x 6x x x 0 : ( ) x 0 ) c) x x 4) 5 4 6x x x x 0 5x 0 : 5 x 4 d) ) ) 6) 0 x x x x 6x x x 6x x 0 5x 0 : 5 x 6 6. a) 6x 4 > 0 6x > 4 : ( 6) < 0 x < 4 b) 8 y 0 y 8 : y 4 c) 6 4( z) > 5(z ) 6 4 4z > 5z 0 z > 0 : z > tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

3 7. a) ( 5) ( 5) b) c) d) ) a) , b) , c) 0,07 58,76 0 d) 0, , a) b) 8 c) d) 7 7 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

4 a) b) c) ( ) a) a ( a) a ( 8) a ( a) a 8a a a 8 6 a a b) 6 ( a) ( a) 8 a ( 8) a 64 a a ( a) a 8a 6 a a. a) , 5 5 ( ) 0, , 00 5 (5 0,) b) (0 ) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

5 . x a) :4 x 5 5 x 5 5 x x x b) 7 9 x x ( ) ( ) x ( x ) x x x x x x x c) 8 4 ( ) ( ) x x x (x ) x x 4 x x 4 x 4 x 5 d) x x x 5 4. a) log7 49 b) log 8 c) log6 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

6 5. a) Arvo,08a on 08 % tuotteen alkuperäisestä arvosta a. Arvo on siis noussut 8 %. b) Arvo 0,64a on 64 % tuotteen alkuperäisestä arvosta a. Arvo on siis laskenut 6 %. c) Arvo,a on 0 % tuotteen alkuperäisestä arvosta a. Arvo on siis noussut 0 %. d) Arvo,005a on 00,5 % tuotteen alkuperäisestä arvosta a. Arvo on siis noussut 0,5 %. 6. a) Merkitään funktioon syötettävää lukua kirjaimella x. Lasketaan luvun puolikas: x Luvun puolikkaaseen lisätään luku : x Summa kerrotaan luvulla 5: x 5 Funktion lauseke on f ( x ) x 5 ( ) f (4) 4 5 ( ) b) f ( ) c) f( x) 5 x 5 5 : 5 x 5 x x tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

7 7. a) Funktion nollakohta: f( x) 0 x 0 x : ( ) x 4 Funktion arvo kohdassa nolla: f (0) 0 0 b) Funktion nollakohta: gx ( ) 0 5x 6(x ) 0 5x x 8 0 x 8 : x 6 Funktion arvo kohdassa nolla: g (0) 5 0 6( 0 ) 0 6(0 ) 6 8 c) Funktion nollakohta: hx ( ) 0 x 6 0 x 6 x 4 x 4 x Funktion arvo kohdassa nolla: 0 h (0) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

8 8. a) f(), koska kohdassa x funktion kuvaajan pisteen y-koordinaatti on. f(), koska kohdassa x funktion kuvaajan pisteen y-koordinaatti on likimain,4. b) Pitää etsiä ne funktion kuvaajan pisteet, joiden y-koordinaatti on 4. Pisteitä löytyy kolme, ja niiden x-koordinaatit ovat, 0 ja 6. Siis f( x) 4, kun x, x 0 tai x 6. c) Pitää etsiä ne funktion kuvaajan pisteet, joiden y-koordinaatti on 0. Funktion nollakohdat ovat x 4, x ja x 5. d) Funktion arvot ovat negatiivisia, kun kuvaaja on x-akselin alapuolella. Funktion arvot ovat siis negatiivisia, kun x< 4 tai < x < f (0) f () f (4) a) Kuvaajasta huomataan, että piste (,4) on kuvaajalla ja piste (,) on kuvaajan yläpuolella. b) Piste (,): Funktion arvo kohdassa on f () 6 0. Funktion kuvaaja kulkee siis pisteen (,0) kautta. Piste (,) on kuvaajan yläpuolella. Piste (,4): Funktion arvo kohdassa on f () 6 4. Funktion kuvaaja kulkee siis pisteen (,4) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

9 0. a) Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen a 4. Lasketaan jonon differenssi. d a a ( 4) 4 Muodostetaan jonon yleisen jäsenen lauseke. an a ( n ) d 4 ( n ) 4 n n 7 b) Lasketaan jonon 0. jäsen. a c) Luku 8 on jonon jäsen, jos on olemassa positiivinen kokonaisluku n siten, että a n 8. a n 8 n 7 8 n 45 : n 5 Koska 5 on positiivinen kokonaisluku, luku 8 on jonon tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

10 . a) Merkinnästä 6 (n ) nähdään, että n - jonon yleinen jäsen a n n - ensimmäinen yhteenlaskettava on a - viimeinen yhteenlaskettava on a yhteenlaskettavia on 6 kappaletta. Lasketaan aritmeettinen summa. S b) Merkinnästä 5 n ) nähdään, että ( n - jonon yleinen jäsen a n n - ensimmäinen yhteenlaskettava on a 0 - viimeinen yhteenlaskettava on a yhteenlaskettavia on kappaletta. Lasketaan aritmeettinen summa. S tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

11 . a) Lukujonon jäsenet toisesta jäsenestä alkaen saadaan säännön a n a n 5 avulla. a a a a a a a 5 ( ) a a b) Lukujonon jäsenet kolmannesta jäsenestä alkaen saadaan säännön a n a n a n avulla. a a a a a ( ) a4 a a a5 a4 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

12 . a) Geometrisen jonon ensimmäiset jäsenet ovat a ja a.. Lasketaan jonon suhdeluku. ( a q : a 6 Muodostetaan jonon yleinen jäsen. n n a n a q, n,,,... b) Geometrisen jonon suhdeluku q ja toinen jäsen a 6. Ratkaistaan ensimmäinen jäsen. a aq 6 a ( ) : ( ) a Muodostetaan jonon yleinen jäsen. n n an aq ( ), tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

13 4. a) Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen a 5 ja viides jäsen a 5 7. Ratkaistaan jonon differenssi. a5 a 4d 7 5 4d 5 4 d : 4 d Muodostetaan jonon yleinen jäsen. an a ( n ) d 5 ( n ) 5 n n b) Lasketaan jonon kymmenes jäsen. a Verrataan lauseketta S 5 geometrisen summan kaavaan 5 a) Jonon alusta laskettiin jäsentä yhteen. b) Jonon suhdeluku on 5 c) Jonon ensimmäinen jäsen on. d) Jonon toinen jäsen on a a q e) S 0 S n n q a tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

14 6. Summa on aritmeettinen. Määritetään differenssi d ja jonon yleinen jäsen a n. d 4 a ( n ) n n n Ratkaistaan yhteenlaskettavien lukumäärä n viimeisen yhteenlaskettavan 00 avulla. n 00 : n 00 Lasketaan aritmeettinen summa. S 00 a a tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

15 Tehtäväsarja B. a) : b) Suurin arvo: ( 8) 0 6 : Pienin arvo: (8 0) 6 : Vastaus: a) 57 b) suurin 7, pienin 77. Vastanneita radiokuuntelijoita oli yhteensä 0 kpl. Koska Radiojatsin valitsi 5 vastaajista ja Klassikko-radion, niin Uutisradion valitsi 4 vastaajsita Uutisradion valinneita vastaajia oli Vastaus: Uutisradion valinneita oli 0 eli 8 vastaajaa.. Yhtälöt ja epäyhtälö ratkaistaan laskimen solve- tai ratkaise-toiminnolla. a) ( 4 x) (0x ) x x 4 5 b) x x 4 6 x c) 8x 5 > (5x 4) 4 x tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

16 4. a) Sijoitetaan yhtälöön x ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja a. ( a ) a a 6 a 4 Ratkaise yhtälöstä muuttuja a laskimella. b) Sijoitetaan yhtälöön x ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja a. a a a a a 5 Ratkaise yhtälöstä muuttuja a laskimella. 5. Ensimmäisenä päivänä eno maksaa sentin. Jokaisena päivänä tämän jälkeen palkkio kaksinkertaistuu, joten. päivänä palkkio on kaksinkertaistunut 0 kertaa. Lasketaan palkkion suuruus. päivänä senttiä 0kpl Muutetaan palkkion suuruus euroiksi ja pyöristetään miljoonan tarkkuuteen senttiä ,4 miljoonaa euroa. Vastaus: miljoonaa tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

17 6. a) Matka,000 m 9 Aika 4,87 0 s Lasketaan laservalon nopeus. nopeus matka nopeus,000 m 9 4,87 0 s m s, ,05 0 m s 8 m s 4 b) Valon taajuus f 7,40 0 Hz 8 Laservalon nopeus c,05 0 m s Ratkaistaan ensin yhtälöstä fλ c valon aallon pituus. fλ c : f λ c f Lasketaan valon aallonpituus. 8,05 0 m λ c s 7 7, m,77 0 m 4 f 7,40 0 Hz Vastaus: a), m/s b), tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

18 7. x a) x 0 5 x log 5 x, ,8 x b) 5 0 x log : 5 log5 x x 0, , x c) 7 9 x log 9 : 7 log7 9 x x 0, ,8 x d) 0,5 0,9 x 0,5 0, ( ) x 0,5 0, x log 0, 0,5 x,98..., log5 log7 9 Vastaus: x log0 5,8 b) x 0, c) x 0,8 d) x log 0,5 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

19 8. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muuttujan arvo laskimella. a) Funktion 000, t arvon tulee olla t 000, t 4, Matkapuhelin liittymiä oli miljoona 4 vuoden kuluttua vuodesta 980 eli vuonna b) Funktion 000, t arvon tulee olla t 000, t 7, Matkapuhelin liittymiä oli miljoonaa 7 vuoden kuluttua vuodesta 980 eli vuonna 997. c) Funktion 000, t arvon tulee olla t 000, t 9, Matkapuhelin liittymiä oli 4 miljoonaa 0 vuoden kuluttua vuodesta 980 eli vuonna 000. Vastaus: a) vuonna 994 b) vuonna 997 c) vuonna Alkuperäistä sähkön hintaa ei tiedetä, joten merkitään sitä kirjaimella a. Muodostetaan hinnan muutoksia vastaavat prosenttikertoimet. ) 00 % 7,5 % 07,5%,075 ) 00 %,5 % 0,5 %,05 ) 00 % 9,0 % 9 % 0,9 4) 00 %,5 % 98,5 % 0,985 Lasketaan lopullinen sähkönhinta. 0,985 0,9,05,075a 0,98766 a 0,988a Alkuperäisestä hinnasta on jäljellä 98,8 %, joten hinta on laskenut 00 % 98,8 %, %. Vastaus:, tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

20 0. Alkuperäinen matka on s ja aika t. Keskinopeus v on tällöin v s t. Kun matka pitenee 0 %, uusi matka on,0s. (Prosenttikerroin 00 % 0 % 0 %,) Kun aikaa kuluu 0 % enemmän, uusi aika on,0t. (Prosenttikerroin 00 % 0 % 0 %,0) Matkan uusi keskinopeus on,s, s,09 s,09v.,t t t Uusi keskinopeus on siis 09, % alkuperäisestä keskinopeudesta. Keskinopeus nousee 09, % 00 % 9, %.. Lasketaan etikkahapon määrä salaatinkastiketta varten laimennetussa ruokaetikassa. 0,04,5 0,06 (dl) Merkitään ruokaetikan määrää kirjaimella x. Ruokaetikka sisältää 0 % etikkahappoa. Lasketaan, kuinka suuressa määrässä ruokaetikkaa on etikkahappoa 0,06 dl. 0, x 0,06 : 0, 0,06 x 0, x 0,6 (dl) Ruokaetikkaa tarvitaan siis 0,6 dl ja vettä,5 dl 0,6 dl 0,9 dl. Vastaus: 0,6 dl ruokaetikkaa ja 0,9 dl tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

21 . a) Jäsenelle kustannukset muodostuvat jäsenyysmaksusta 55 ja kertamaksuista 0 /kerta. Kun kuntosalia käytetään x kertaa, niin kertalippujen kustannukset ovat 0x euroa. Jäsenen kuntosalikäyntikustannuksia kuvaa funktio f( x) 55 0 x. Ei-jäsenellä kustannukset muodostuvat pelkästään kertamaksuista,50 /kerta. Kun kuntosalia käytetään x kertaa, niin kertalippujen kustannukset ovat,5x euroa. Ei-jäsenen kuntosalikustannuksia kuvaa funktio gx ( ),5 x. b) Lasketaan millä muuttujan x arvolla fx ( ) gx ( ). fx ( ) gx ( ) 55 0x,5x x Siis salilla pitää käydä kertaa, jotta kustannukset ovat yhtä suuret. Vastaus: a) jäsenelle f(x) 55 0x, ei-jäsenelle g(x),5x b) kertaa. a) Kännykkäliittymän A kuukausilasku muodostuu kuukausimaksusta 4 ja puhelumaksusta 0,09 /min. Kun kuukaudessa puhutaan x minuuttia, niin puhelumaksu on 0,09x euroa. Kännykkäliittymän A kuukausilaskua kuvaa funktio A( x) 4 0,09 x. Kännykkäliittymän B kuukausilasku muodostuu pelkästään puhelumaksusta 0, /min. Kun kuukaudessa puhutaan x minuuttia, niin puhelumaksu on 0,x euroa. Kännykkäliittymän B kuukausilaskua kuvaa funktio B( x) 0, x. b) Lasketaan millä muuttujan x arvolla A( x ) B(x). Ax ( ) Bx ( ) 4 0,09x 0,x x Joten puheaika pitää olla min, joka on h min ja 0s. Vastaus: a) A(x) 4 0,09x, B(x) 0,x b) min eli h min ja 0 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

22 4. a) f (0) ja f (,5),7. b) f( x ), kun x. c) f( x ),5,kun x 0,6. 5. a) a),5 0, ja 5,. b) log 8,9 ja tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

23 6. a) b) Tutkitaan löytyykö sellainen positiivinen kokonaisluku n, että a n 455. a n 455 5n n 8,... Koska yhtälön ratkaisuva oleva luku 8,... ei ole positiivinen kokonaisluku, luku 455 ei ole jonon jäsen. c) Etsitään kuvaajalta piste, jonka toinen koordinaatti ylittää ensimmäisen kerran arvon 000. Lukujonon 59. jäsen on ensimmäinen, jonka arvo on suurempi kuin 000. Vastaus: b) ei ole c) 59. jäsenestä tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

24 7. Lasketaan jonon jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla. OHJE: Syötä ensimmäisen sarakkeen ensimmäiselle riville ensimmäinen jäsen a. Kirjoita toiselle riville kaava, jolla saat laskettua toisen jäsenen arvon: ' 4 a '. Kopioi kaavaa niin monta kertaa, että saat rivillä 0 olevan jäsenen näkyviin. Myös 0 ensimmäisen jäsenen summa voidaan laskea taulukkolaskentaohjelmalla. A B C SUMMA 4955 a) a b) summa on 49 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

25 8. a) Lasketaan aritmeettisen jonon differenssi. d a a ( ) 5 Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a n a (n )d (n ) 5 5n 7 Lasketaan 0. jäsen. a b) Lasketaan aritmeettisen jonon 0 ensimmäisen jäsenen summa. a a0 S 4 0 n 0 05 c) Yleisen jäsenen tulee olla suurempi kuin 00. Muodostetaan ja ratkaistaan epäyhtälö. 5n 7 > 00 n >, 4 Pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon n >,4 on. Siis lukujonon. jäsen on ensimmäinen, joka on suurempi kuin 00. a) a 0 4 b) S 0 05 c). tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

26 9. a) Lasketaan geometrisen jonon suhdeluku. a q a Muodostetaan jonon yleinen jäsen. n a n a q n Lasketaan 0. jäsen. a , ,9 b) Lasketaan geometrisen jonon 0 ensimmäisen jäsenen summa. S n q a 6, ,7 q 0 0 c) Yleisen jäsenen tulee olla suurempi kuin 00. Muodostetaan ja ratkaistaan epäyhtälö. n > 00 n > 0, Pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon n > 0, on. Siis lukujonon. jäsen on ensimmäinen, joka on suurempi kuin 00. Vastaus: a) a 0 76,9 b) S 0 6,7 c). tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

27 0. a) Koska tölkkien määrä lisääntyy jokaisessa kerroksessa yhtä monella tölkillä, muodostaa tölkkien määrät eri kerroksissa aritmeettisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen a, differenssi d 4. Muodostetaan aritmeettisen jonon yleinen jäsen. an a ( n ) d ( n ) 4 4n 4 4n b) Selvitetään kuinka mones lukujonon jäsen on 6. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muuttujan n arvo. a n 6 4n 6 n 6 Siis alimmainen kerros on 6. kerros. c) Lasketaan aritmeettisen summan arvo. S 6 a a Vastaus: a) a n 4n, n,,,... b) 6. kerros c) 58 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

28 . a) Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen a 000 ja suhdeluku q 0,6. Muodostetaan geometrisen jonon yleinen jäsen. a aq n n n 000 0,6 b) Lasketaan jonon. jäsen. a 000 0,6 4, ,5 c) Lasketaan geometrisen summan arvo. S 0 0 q 0,6 a , q 0,6 0 Vastaus: a) a aq, n,,,... b) a 4,5 c) S n n n 000 0,6. Koska talletettava summa kasvaa joka vuosi 0 %, niin talletettava summa,-kertaistuu joka vuosi. Talletettavat summa muodostavat siis geometrisen jonon, jossa a 500 ja q,. Lasketaan jonon 0 ensimmäisen jäsenen summa eli geometrinen summa. S 0 0, , , Tilille talletetaan yhteensä 979. Vastaus: tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

29 . a a) Jonon ensimmäinen jäsen a ja suhdeluku q a jäsen. 4. Muodostetaan jonon yleinen a aq n n n 4 Piirretään lukujonon kuvaaja. b) Luku 768 on lukujonon 5. jäsen: a 5 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

30 c) Merkitään tarvittavien jäsenien lukumäärää kirjaimella n. Muodostetaan geometrisen summan lauseke. S n n q n 4 n n a ( 4 ) 4 q 4 TAPA: Epäyhtälö Summan tulee olla suurempi kuin 0 8. Muodostetaan ja ratkaistaan epäyhtälö. n 8 4 > 0 n >, Pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon n >, on 4. Siis pitää laskea vähintään 4 jäsentä yhteen, jotta summa ylittää 0 8. TAPA: Kuvaaja Piirretään summalausekkeen kuvaaja ja etsitään kuvaajalta piste, jonka toinen koordinaatti on ensimmäisen kerran yli Vähintään 4. jäsentä pitää laskea yhteen, jotta summan arvo on suurempi kuin 0 8. Vastaus: a) a n 4 n, n,,,... b) On, 5. jäsen. c) vähintään 4 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

31 4. a) Ensimmäisen vuoden alussa pääoma on , joten lukujonon ensimmäinen jäsen a Säätiö jakaa vuoden aikana apurahoina 5 % pääomasta, minkä jälkeen pääomasta on jäljellä 85 %. Ensimmäisen vuoden lopussa ennen valtion avustusta pääoma on siis 0, euroa. Kun säätiö saa valtiolta euron avustuksen, kuvaa säätiön pääomaa (euroina) lauseke 0, Siis a 0, ,85a Vastaavasti a 0,85a Lukujonon rekursiokaava on a an 0,85an 0 000, kun n,,4,... Lasketaan rekursiivisen lukujonon jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla. A b) a 7 45 c) Pääoma alittaa ensimmäisen kerran. vuoden alussa, joten 4. vuonna voidaan ensimmäisen kerran jättää apurahat jakamatta. Vastaus: a) a an 0,85an 0 000, kun n,,4,... b) 45 c) 4. tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

32 5. a) Koska seuraavaan pinoon tulee aina 5 kolikkoa enemmän kuin edelliseen, muodostavat kolikkojen lukumäärät pinoissa aritmeettisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen a ja differenssi d 5. Muodostetaan jonon yleinen jäsen. an a ( n ) d ( n )5 5n 5 5n Lasketaan jonon 8. jäsen. a Joten 8. pinossa on 8 kolikkoa. b) Lasketaan ensin kuinka monta kolikkoa on 0. pinossa. a Yhden kolikon paksuus on,0mm, joten 48 kolikon paksuus on 48,0 mm 05,6 mm 06 mm. c) Aritmeettisen summan laskemiseksi pitää selvittää viimeinen yhteenlaskettava eli jonon 7. jäsen. a Lasketaan aritmeettisen jonon 7 ensimmäisen jäsenen summa eli aritmeettinen summa. S 7 a a ensimmäisessä pinossa on kolikoita yhteensä 6 kpl. Yhden kolikon paino on 8,50g, joten 6 kolikkoa painaa 8,50 g 6 07 g 070 g. 6 kpl kahden euron kolikkoja on arvoltaan 6 5. Vastaus: a) 8 kolikkoa b) 06 mm c) 070 g, tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut? Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin.

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3. Yhtälöt Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3.1 Ensimmäisen asteen yhtälöt Ratkaise yhtälö. 3 x ( x 3) 4x 5 Kirjoita tehtävä sellaisenaan, maalaa se ja käytä Interactive

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

3. PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO

3. PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO . PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO. Prosenttikerroin LUO PERUSTA 0. a) 56 % = 0,56 b) 0, % = 0,00 c),9 % = 0,09 d) 0 % =, Vastaus: a) 0,56 b) 0,00 c) 0,09 d), 0. A: 00 % + 5 % = 05 % =,05 = 05. Vaihtoehdot

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 3.1 137. 138. a) Yhtiövastikkeesta on rahoitusvastiketta 40 % ja hoitovastiketta 60 %. Ilmaistaan 60 % desimaalilukuna. 60 % = 0,60 Lasketaan hoitovastikkeen määrä euroina. 0,60

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI

LUKUVUODEN E-KURSSI 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös

Lisätiedot

4 EKSPONENTIAALINEN MALLI

4 EKSPONENTIAALINEN MALLI EKSPONENTIAALINEN MALLI POHDITTAVAA 1. promillea on tuhannesosaa eli 1000 0,00. Maahan sitoutuneen hiilen määrä on 0,00 1500 biljoonaa tonnia = 6 biljoonaa tonnia. Neljä promillea maaperään sitoutuneesta

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot