TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

Transkriptio

1 TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) b) Pienin arvo: ) Suurin arvo: ) 4) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

2 5. a) x 8 4x 6x 8 : 6 x b) (x 4) x 6x x x 0 : ( ) x 0 ) c) x x 4) 5 4 6x x x x 0 5x 0 : 5 x 4 d) ) ) 6) 0 x x x x 6x x x 6x x 0 5x 0 : 5 x 6 6. a) 6x 4 > 0 6x > 4 : ( 6) < 0 x < 4 b) 8 y 0 y 8 : y 4 c) 6 4( z) > 5(z ) 6 4 4z > 5z 0 z > 0 : z > tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

3 7. a) ( 5) ( 5) b) c) d) ) a) , b) , c) 0,07 58,76 0 d) 0, , a) b) 8 c) d) 7 7 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

4 a) b) c) ( ) a) a ( a) a ( 8) a ( a) a 8a a a 8 6 a a b) 6 ( a) ( a) 8 a ( 8) a 64 a a ( a) a 8a 6 a a. a) , 5 5 ( ) 0, , 00 5 (5 0,) b) (0 ) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

5 . x a) :4 x 5 5 x 5 5 x x x b) 7 9 x x ( ) ( ) x ( x ) x x x x x x x c) 8 4 ( ) ( ) x x x (x ) x x 4 x x 4 x 4 x 5 d) x x x 5 4. a) log7 49 b) log 8 c) log6 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

6 5. a) Arvo,08a on 08 % tuotteen alkuperäisestä arvosta a. Arvo on siis noussut 8 %. b) Arvo 0,64a on 64 % tuotteen alkuperäisestä arvosta a. Arvo on siis laskenut 6 %. c) Arvo,a on 0 % tuotteen alkuperäisestä arvosta a. Arvo on siis noussut 0 %. d) Arvo,005a on 00,5 % tuotteen alkuperäisestä arvosta a. Arvo on siis noussut 0,5 %. 6. a) Merkitään funktioon syötettävää lukua kirjaimella x. Lasketaan luvun puolikas: x Luvun puolikkaaseen lisätään luku : x Summa kerrotaan luvulla 5: x 5 Funktion lauseke on f ( x ) x 5 ( ) f (4) 4 5 ( ) b) f ( ) c) f( x) 5 x 5 5 : 5 x 5 x x tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

7 7. a) Funktion nollakohta: f( x) 0 x 0 x : ( ) x 4 Funktion arvo kohdassa nolla: f (0) 0 0 b) Funktion nollakohta: gx ( ) 0 5x 6(x ) 0 5x x 8 0 x 8 : x 6 Funktion arvo kohdassa nolla: g (0) 5 0 6( 0 ) 0 6(0 ) 6 8 c) Funktion nollakohta: hx ( ) 0 x 6 0 x 6 x 4 x 4 x Funktion arvo kohdassa nolla: 0 h (0) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

8 8. a) f(), koska kohdassa x funktion kuvaajan pisteen y-koordinaatti on. f(), koska kohdassa x funktion kuvaajan pisteen y-koordinaatti on likimain,4. b) Pitää etsiä ne funktion kuvaajan pisteet, joiden y-koordinaatti on 4. Pisteitä löytyy kolme, ja niiden x-koordinaatit ovat, 0 ja 6. Siis f( x) 4, kun x, x 0 tai x 6. c) Pitää etsiä ne funktion kuvaajan pisteet, joiden y-koordinaatti on 0. Funktion nollakohdat ovat x 4, x ja x 5. d) Funktion arvot ovat negatiivisia, kun kuvaaja on x-akselin alapuolella. Funktion arvot ovat siis negatiivisia, kun x< 4 tai < x < f (0) f () f (4) a) Kuvaajasta huomataan, että piste (,4) on kuvaajalla ja piste (,) on kuvaajan yläpuolella. b) Piste (,): Funktion arvo kohdassa on f () 6 0. Funktion kuvaaja kulkee siis pisteen (,0) kautta. Piste (,) on kuvaajan yläpuolella. Piste (,4): Funktion arvo kohdassa on f () 6 4. Funktion kuvaaja kulkee siis pisteen (,4) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

9 0. a) Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen a 4. Lasketaan jonon differenssi. d a a ( 4) 4 Muodostetaan jonon yleisen jäsenen lauseke. an a ( n ) d 4 ( n ) 4 n n 7 b) Lasketaan jonon 0. jäsen. a c) Luku 8 on jonon jäsen, jos on olemassa positiivinen kokonaisluku n siten, että a n 8. a n 8 n 7 8 n 45 : n 5 Koska 5 on positiivinen kokonaisluku, luku 8 on jonon tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

10 . a) Merkinnästä 6 (n ) nähdään, että n - jonon yleinen jäsen a n n - ensimmäinen yhteenlaskettava on a - viimeinen yhteenlaskettava on a yhteenlaskettavia on 6 kappaletta. Lasketaan aritmeettinen summa. S b) Merkinnästä 5 n ) nähdään, että ( n - jonon yleinen jäsen a n n - ensimmäinen yhteenlaskettava on a 0 - viimeinen yhteenlaskettava on a yhteenlaskettavia on kappaletta. Lasketaan aritmeettinen summa. S tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

11 . a) Lukujonon jäsenet toisesta jäsenestä alkaen saadaan säännön a n a n 5 avulla. a a a a a a a 5 ( ) a a b) Lukujonon jäsenet kolmannesta jäsenestä alkaen saadaan säännön a n a n a n avulla. a a a a a ( ) a4 a a a5 a4 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

12 . a) Geometrisen jonon ensimmäiset jäsenet ovat a ja a.. Lasketaan jonon suhdeluku. ( a q : a 6 Muodostetaan jonon yleinen jäsen. n n a n a q, n,,,... b) Geometrisen jonon suhdeluku q ja toinen jäsen a 6. Ratkaistaan ensimmäinen jäsen. a aq 6 a ( ) : ( ) a Muodostetaan jonon yleinen jäsen. n n an aq ( ), tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

13 4. a) Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen a 5 ja viides jäsen a 5 7. Ratkaistaan jonon differenssi. a5 a 4d 7 5 4d 5 4 d : 4 d Muodostetaan jonon yleinen jäsen. an a ( n ) d 5 ( n ) 5 n n b) Lasketaan jonon kymmenes jäsen. a Verrataan lauseketta S 5 geometrisen summan kaavaan 5 a) Jonon alusta laskettiin jäsentä yhteen. b) Jonon suhdeluku on 5 c) Jonon ensimmäinen jäsen on. d) Jonon toinen jäsen on a a q e) S 0 S n n q a tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

14 6. Summa on aritmeettinen. Määritetään differenssi d ja jonon yleinen jäsen a n. d 4 a ( n ) n n n Ratkaistaan yhteenlaskettavien lukumäärä n viimeisen yhteenlaskettavan 00 avulla. n 00 : n 00 Lasketaan aritmeettinen summa. S 00 a a tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

15 Tehtäväsarja B. a) : b) Suurin arvo: ( 8) 0 6 : Pienin arvo: (8 0) 6 : Vastaus: a) 57 b) suurin 7, pienin 77. Vastanneita radiokuuntelijoita oli yhteensä 0 kpl. Koska Radiojatsin valitsi 5 vastaajista ja Klassikko-radion, niin Uutisradion valitsi 4 vastaajsita Uutisradion valinneita vastaajia oli Vastaus: Uutisradion valinneita oli 0 eli 8 vastaajaa.. Yhtälöt ja epäyhtälö ratkaistaan laskimen solve- tai ratkaise-toiminnolla. a) ( 4 x) (0x ) x x 4 5 b) x x 4 6 x c) 8x 5 > (5x 4) 4 x tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

16 4. a) Sijoitetaan yhtälöön x ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja a. ( a ) a a 6 a 4 Ratkaise yhtälöstä muuttuja a laskimella. b) Sijoitetaan yhtälöön x ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja a. a a a a a 5 Ratkaise yhtälöstä muuttuja a laskimella. 5. Ensimmäisenä päivänä eno maksaa sentin. Jokaisena päivänä tämän jälkeen palkkio kaksinkertaistuu, joten. päivänä palkkio on kaksinkertaistunut 0 kertaa. Lasketaan palkkion suuruus. päivänä senttiä 0kpl Muutetaan palkkion suuruus euroiksi ja pyöristetään miljoonan tarkkuuteen senttiä ,4 miljoonaa euroa. Vastaus: miljoonaa tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

17 6. a) Matka,000 m 9 Aika 4,87 0 s Lasketaan laservalon nopeus. nopeus matka nopeus,000 m 9 4,87 0 s m s, ,05 0 m s 8 m s 4 b) Valon taajuus f 7,40 0 Hz 8 Laservalon nopeus c,05 0 m s Ratkaistaan ensin yhtälöstä fλ c valon aallon pituus. fλ c : f λ c f Lasketaan valon aallonpituus. 8,05 0 m λ c s 7 7, m,77 0 m 4 f 7,40 0 Hz Vastaus: a), m/s b), tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

18 7. x a) x 0 5 x log 5 x, ,8 x b) 5 0 x log : 5 log5 x x 0, , x c) 7 9 x log 9 : 7 log7 9 x x 0, ,8 x d) 0,5 0,9 x 0,5 0, ( ) x 0,5 0, x log 0, 0,5 x,98..., log5 log7 9 Vastaus: x log0 5,8 b) x 0, c) x 0,8 d) x log 0,5 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

19 8. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muuttujan arvo laskimella. a) Funktion 000, t arvon tulee olla t 000, t 4, Matkapuhelin liittymiä oli miljoona 4 vuoden kuluttua vuodesta 980 eli vuonna b) Funktion 000, t arvon tulee olla t 000, t 7, Matkapuhelin liittymiä oli miljoonaa 7 vuoden kuluttua vuodesta 980 eli vuonna 997. c) Funktion 000, t arvon tulee olla t 000, t 9, Matkapuhelin liittymiä oli 4 miljoonaa 0 vuoden kuluttua vuodesta 980 eli vuonna 000. Vastaus: a) vuonna 994 b) vuonna 997 c) vuonna Alkuperäistä sähkön hintaa ei tiedetä, joten merkitään sitä kirjaimella a. Muodostetaan hinnan muutoksia vastaavat prosenttikertoimet. ) 00 % 7,5 % 07,5%,075 ) 00 %,5 % 0,5 %,05 ) 00 % 9,0 % 9 % 0,9 4) 00 %,5 % 98,5 % 0,985 Lasketaan lopullinen sähkönhinta. 0,985 0,9,05,075a 0,98766 a 0,988a Alkuperäisestä hinnasta on jäljellä 98,8 %, joten hinta on laskenut 00 % 98,8 %, %. Vastaus:, tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

20 0. Alkuperäinen matka on s ja aika t. Keskinopeus v on tällöin v s t. Kun matka pitenee 0 %, uusi matka on,0s. (Prosenttikerroin 00 % 0 % 0 %,) Kun aikaa kuluu 0 % enemmän, uusi aika on,0t. (Prosenttikerroin 00 % 0 % 0 %,0) Matkan uusi keskinopeus on,s, s,09 s,09v.,t t t Uusi keskinopeus on siis 09, % alkuperäisestä keskinopeudesta. Keskinopeus nousee 09, % 00 % 9, %.. Lasketaan etikkahapon määrä salaatinkastiketta varten laimennetussa ruokaetikassa. 0,04,5 0,06 (dl) Merkitään ruokaetikan määrää kirjaimella x. Ruokaetikka sisältää 0 % etikkahappoa. Lasketaan, kuinka suuressa määrässä ruokaetikkaa on etikkahappoa 0,06 dl. 0, x 0,06 : 0, 0,06 x 0, x 0,6 (dl) Ruokaetikkaa tarvitaan siis 0,6 dl ja vettä,5 dl 0,6 dl 0,9 dl. Vastaus: 0,6 dl ruokaetikkaa ja 0,9 dl tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

21 . a) Jäsenelle kustannukset muodostuvat jäsenyysmaksusta 55 ja kertamaksuista 0 /kerta. Kun kuntosalia käytetään x kertaa, niin kertalippujen kustannukset ovat 0x euroa. Jäsenen kuntosalikäyntikustannuksia kuvaa funktio f( x) 55 0 x. Ei-jäsenellä kustannukset muodostuvat pelkästään kertamaksuista,50 /kerta. Kun kuntosalia käytetään x kertaa, niin kertalippujen kustannukset ovat,5x euroa. Ei-jäsenen kuntosalikustannuksia kuvaa funktio gx ( ),5 x. b) Lasketaan millä muuttujan x arvolla fx ( ) gx ( ). fx ( ) gx ( ) 55 0x,5x x Siis salilla pitää käydä kertaa, jotta kustannukset ovat yhtä suuret. Vastaus: a) jäsenelle f(x) 55 0x, ei-jäsenelle g(x),5x b) kertaa. a) Kännykkäliittymän A kuukausilasku muodostuu kuukausimaksusta 4 ja puhelumaksusta 0,09 /min. Kun kuukaudessa puhutaan x minuuttia, niin puhelumaksu on 0,09x euroa. Kännykkäliittymän A kuukausilaskua kuvaa funktio A( x) 4 0,09 x. Kännykkäliittymän B kuukausilasku muodostuu pelkästään puhelumaksusta 0, /min. Kun kuukaudessa puhutaan x minuuttia, niin puhelumaksu on 0,x euroa. Kännykkäliittymän B kuukausilaskua kuvaa funktio B( x) 0, x. b) Lasketaan millä muuttujan x arvolla A( x ) B(x). Ax ( ) Bx ( ) 4 0,09x 0,x x Joten puheaika pitää olla min, joka on h min ja 0s. Vastaus: a) A(x) 4 0,09x, B(x) 0,x b) min eli h min ja 0 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

22 4. a) f (0) ja f (,5),7. b) f( x ), kun x. c) f( x ),5,kun x 0,6. 5. a) a),5 0, ja 5,. b) log 8,9 ja tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

23 6. a) b) Tutkitaan löytyykö sellainen positiivinen kokonaisluku n, että a n 455. a n 455 5n n 8,... Koska yhtälön ratkaisuva oleva luku 8,... ei ole positiivinen kokonaisluku, luku 455 ei ole jonon jäsen. c) Etsitään kuvaajalta piste, jonka toinen koordinaatti ylittää ensimmäisen kerran arvon 000. Lukujonon 59. jäsen on ensimmäinen, jonka arvo on suurempi kuin 000. Vastaus: b) ei ole c) 59. jäsenestä tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

24 7. Lasketaan jonon jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla. OHJE: Syötä ensimmäisen sarakkeen ensimmäiselle riville ensimmäinen jäsen a. Kirjoita toiselle riville kaava, jolla saat laskettua toisen jäsenen arvon: ' 4 a '. Kopioi kaavaa niin monta kertaa, että saat rivillä 0 olevan jäsenen näkyviin. Myös 0 ensimmäisen jäsenen summa voidaan laskea taulukkolaskentaohjelmalla. A B C SUMMA 4955 a) a b) summa on 49 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

25 8. a) Lasketaan aritmeettisen jonon differenssi. d a a ( ) 5 Muodostetaan jonon yleinen jäsen. a n a (n )d (n ) 5 5n 7 Lasketaan 0. jäsen. a b) Lasketaan aritmeettisen jonon 0 ensimmäisen jäsenen summa. a a0 S 4 0 n 0 05 c) Yleisen jäsenen tulee olla suurempi kuin 00. Muodostetaan ja ratkaistaan epäyhtälö. 5n 7 > 00 n >, 4 Pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon n >,4 on. Siis lukujonon. jäsen on ensimmäinen, joka on suurempi kuin 00. a) a 0 4 b) S 0 05 c). tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

26 9. a) Lasketaan geometrisen jonon suhdeluku. a q a Muodostetaan jonon yleinen jäsen. n a n a q n Lasketaan 0. jäsen. a , ,9 b) Lasketaan geometrisen jonon 0 ensimmäisen jäsenen summa. S n q a 6, ,7 q 0 0 c) Yleisen jäsenen tulee olla suurempi kuin 00. Muodostetaan ja ratkaistaan epäyhtälö. n > 00 n > 0, Pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon n > 0, on. Siis lukujonon. jäsen on ensimmäinen, joka on suurempi kuin 00. Vastaus: a) a 0 76,9 b) S 0 6,7 c). tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

27 0. a) Koska tölkkien määrä lisääntyy jokaisessa kerroksessa yhtä monella tölkillä, muodostaa tölkkien määrät eri kerroksissa aritmeettisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen a, differenssi d 4. Muodostetaan aritmeettisen jonon yleinen jäsen. an a ( n ) d ( n ) 4 4n 4 4n b) Selvitetään kuinka mones lukujonon jäsen on 6. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muuttujan n arvo. a n 6 4n 6 n 6 Siis alimmainen kerros on 6. kerros. c) Lasketaan aritmeettisen summan arvo. S 6 a a Vastaus: a) a n 4n, n,,,... b) 6. kerros c) 58 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

28 . a) Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen a 000 ja suhdeluku q 0,6. Muodostetaan geometrisen jonon yleinen jäsen. a aq n n n 000 0,6 b) Lasketaan jonon. jäsen. a 000 0,6 4, ,5 c) Lasketaan geometrisen summan arvo. S 0 0 q 0,6 a , q 0,6 0 Vastaus: a) a aq, n,,,... b) a 4,5 c) S n n n 000 0,6. Koska talletettava summa kasvaa joka vuosi 0 %, niin talletettava summa,-kertaistuu joka vuosi. Talletettavat summa muodostavat siis geometrisen jonon, jossa a 500 ja q,. Lasketaan jonon 0 ensimmäisen jäsenen summa eli geometrinen summa. S 0 0, , , Tilille talletetaan yhteensä 979. Vastaus: tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

29 . a a) Jonon ensimmäinen jäsen a ja suhdeluku q a jäsen. 4. Muodostetaan jonon yleinen a aq n n n 4 Piirretään lukujonon kuvaaja. b) Luku 768 on lukujonon 5. jäsen: a 5 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

30 c) Merkitään tarvittavien jäsenien lukumäärää kirjaimella n. Muodostetaan geometrisen summan lauseke. S n n q n 4 n n a ( 4 ) 4 q 4 TAPA: Epäyhtälö Summan tulee olla suurempi kuin 0 8. Muodostetaan ja ratkaistaan epäyhtälö. n 8 4 > 0 n >, Pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon n >, on 4. Siis pitää laskea vähintään 4 jäsentä yhteen, jotta summa ylittää 0 8. TAPA: Kuvaaja Piirretään summalausekkeen kuvaaja ja etsitään kuvaajalta piste, jonka toinen koordinaatti on ensimmäisen kerran yli Vähintään 4. jäsentä pitää laskea yhteen, jotta summan arvo on suurempi kuin 0 8. Vastaus: a) a n 4 n, n,,,... b) On, 5. jäsen. c) vähintään 4 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

31 4. a) Ensimmäisen vuoden alussa pääoma on , joten lukujonon ensimmäinen jäsen a Säätiö jakaa vuoden aikana apurahoina 5 % pääomasta, minkä jälkeen pääomasta on jäljellä 85 %. Ensimmäisen vuoden lopussa ennen valtion avustusta pääoma on siis 0, euroa. Kun säätiö saa valtiolta euron avustuksen, kuvaa säätiön pääomaa (euroina) lauseke 0, Siis a 0, ,85a Vastaavasti a 0,85a Lukujonon rekursiokaava on a an 0,85an 0 000, kun n,,4,... Lasketaan rekursiivisen lukujonon jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla. A b) a 7 45 c) Pääoma alittaa ensimmäisen kerran. vuoden alussa, joten 4. vuonna voidaan ensimmäisen kerran jättää apurahat jakamatta. Vastaus: a) a an 0,85an 0 000, kun n,,4,... b) 45 c) 4. tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

32 5. a) Koska seuraavaan pinoon tulee aina 5 kolikkoa enemmän kuin edelliseen, muodostavat kolikkojen lukumäärät pinoissa aritmeettisen jonon. Jonon ensimmäinen jäsen a ja differenssi d 5. Muodostetaan jonon yleinen jäsen. an a ( n ) d ( n )5 5n 5 5n Lasketaan jonon 8. jäsen. a Joten 8. pinossa on 8 kolikkoa. b) Lasketaan ensin kuinka monta kolikkoa on 0. pinossa. a Yhden kolikon paksuus on,0mm, joten 48 kolikon paksuus on 48,0 mm 05,6 mm 06 mm. c) Aritmeettisen summan laskemiseksi pitää selvittää viimeinen yhteenlaskettava eli jonon 7. jäsen. a Lasketaan aritmeettisen jonon 7 ensimmäisen jäsenen summa eli aritmeettinen summa. S 7 a a ensimmäisessä pinossa on kolikoita yhteensä 6 kpl. Yhden kolikon paino on 8,50g, joten 6 kolikkoa painaa 8,50 g 6 07 g 070 g. 6 kpl kahden euron kolikkoja on arvoltaan 6 5. Vastaus: a) 8 kolikkoa b) 06 mm c) 070 g, tekijät ja Sanoma Pro Oy 06