1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio"

Transkriptio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f nollakohta on yhtälön f(x) = 0 eli yhtälön x 4 = 0 ratkaisu. Määritetään nollakohta ratkaisemalla yhtälö. x 4 = 0 x = 4 : 4 x 4 Funktion nollakohta on x.

2 d) Funktio f saa arvon 4, kun f(x) = 4. Ratkaistaan yhtälö x 4 = 4. x 4 = 4 x = 8 : 8 x Funktio f saa arvon 4, kun 8 x.. a) Sijoitetaan pisteet (0, 5) ja (0, 0) koordinaatistoon. Piirretään suora pisteiden kautta, jolloin saadaan suoran yhtälöksi y = 0,5x +,5, missä y on arvosana ja x pistemäärä. b) Jos kuhunkin arvosanaan vaadittavaa arvosanarajaa lasketaan yhdellä pisteellä, suoran yhtälöksi saadaan y = 0,5x +,75.

3 c) Kun pistemäärää lasketaan yhdellä, suoran kulmakerroin pysyy samana. Kulmakerroin 0,5 ilmoittaa, kuinka paljon arvosana nousee, kun pistemäärä nousee yhdellä pisteellä. Tällöin jokaisella pistemäärällä saa pistemäärän laskun jälkeen 0,5 yksikköä paremman arvosanan kuin aiemmin. Myös y-akselin leikkauskohdta siirtyy ja uusi leikkauskohta on y =,5 + 0,5 =,75.

4 . Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja ja nollakohdat YDINTEHTÄVÄT 0. a) 5x + Ensimmäisen asteen termi on 5x. Ensimmäisen asteen termin kerroin on 5. Vakiotermi on. b) x = x Ensimmäisen asteen termi on x. Ensimmäisen asteen termin kerroin on. Vakiotermi on. c) x = x + Ensimmäisen asteen termi on x. Ensimmäisen asteen termin kerroin on. Vakiotermi on. d) x 7 x 7 Ensimmäisen asteen termi on x. Ensimmäisen asteen termin kerroin on. Vakiotermi on 7.

5 0. a) f(x) = 4x (x + ) = 4x x = x Funktion kuvaajan kulmakerroin on, eli kuvaaja on nouseva suora. Kuvaaja leikkaa y-akselin kohdassa y =. Oikea kuvaaja on A. b) f(x) = (x ) + = x + + = x + Funktion kuvaajan kulmakerroin on, eli kuvaaja on laskeva suora. Kuvaaja leikkaa x-akselin kohdassa y =. Oikea kuvaaja on B. c) f(x) = (x ) x = x x = x x = x Funktion lauseke on sama kuin a-kohdassa. Funktion kuvaaja on A. 0. a) f(x) = x 5 f() = 5 = 5 = Arvo kohdassa nolla on f(0) = 0 5 = 5. Ratkaistaan funktion nollakohta, eli kohta, jossa f(x) = 0. x 5 = 0 x = 5 x = 5 b) Jos piste (, ) on funktion kuvaajalla, f() =. f() = 5 = 6 5 =, joten piste on funktion kuvaajalla. c)

6 04. a) Funktion f(x) = x 6 arvo on 4, kun f(x) = 4. x 6 = 4 x = 0 : x = 5 b) Funktioiden f(x) = x 6 ja g(x) = 4 kuvaajat leikkaavat toisensa, kun f(x) = g(x) eli x 6 = 4. a-kohdan perusteella tämä kohta on x = 5. c) 05. a) 5(x ) = 7 5 x 5 = 7 5x 0 = 7 5x = x = x = 5 b) Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. Sijoitetaan luku x = yhtälöön 6 4x = ( ) = = 8 8 = 8 tosi Luku x = toteuttaa yhtälön, joten se on yhtälön 6 4x = 8 ratkaisu.

7 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) Esimerkiksi f(x) = x. b) Esimerkiksi f(x) = x. c) Esimerkiksi f(x) = x +.

8 d) Esimerkiksi f(x) = x +. e) f(x) = 0,5x

9 07. a) a = 0,5 b) Funktion nollakohdassa funktion f(x) = ax + arvo on nolla. Ratkaistaan a ehdosta f( 4) = 0. a ( 4) + = 0 4a = : ( 4) a = 4 c) Kerroin a ei vaikuta funktion f(x) = ax + arvoon, kun termi ax on nolla. Koska ensimmäisen asteen termi ax on nolla, kun x = 0, kaikilla a:n arvoilla on voimassa f(0) =. Funktion kuvaaja kulkee pisteen (0, ) kautta riippumatta a:n arvosta. 08. Kohdassa, jossa funktio f(x) = x + leikkaa x-akselin on y:n arvo nolla. Kohta on siis funktion nollakohta ja se saadaan ratkaistua yhtälöstä f(x) = 0. x + = 0 x = : ( ) x = x-akselin leikkauspiste on (, 0). y-akselin leikkauskohdassa x = 0. f(0) = 0 + = 0 + = y-akselin leikkauspiste on (0, ).

10 Funktion g(x) = x ja funktion f(x) = x + kuvaajien leikkauskohta saadaan ratkaistua yhtälöstä f(x) = g(x). x x x x x 4 : ( ) x 4 Leikkauspisteen y-koordinaatti saadaan sijoittamalla x = 4 kumman tahansa funktion lausekkeeseen. g( 4 ) 4 4 Kuvaajien leikkauspiste on ( 4, ). Piirretään kuva. Kuvan perusteella lasketut pisteet ovat oikeat.

11 09. a) (x + ) 4(x 4) = x + 4 x 4 ( 4) = 4x + x + 6 = 8x + 8 b) (x + 0,) = x 0, = 6x 0,6 = 6x +,4 c) (z + ) ( 4z) = z + 4z = z 4 d) e) f) ( x 5) x 5 x 0 x 4 4 x ( x ) x x x x x x x x ( y ) (0y 5) y 0 y ( 5) y 4y 6 y 5 4

12 0. a) x + 4 = (4 x) x + 4 = 4 + x x x = 4 4 6x = 8 :( 6) 4 x b) (5 x 5 ) x 5 6 5x 5 x x x x x 0 0 tosi Yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla eli kun x. c) x + 0,(x 0) =,7x 0,5(x + ) x + 0,x =,7x 0,5x x + 0,x,7x + 0,5x = + 0 = epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua.

13 . a) b) x 5 5 x 5 x 5 x x x x x x 6 x 6 c) x x x 0 x 0 x 7 : 7 x 8

14 . a) b) 4 x x 4 x x 4 4x x 4 x 4 x x ( ) 4 x x 4 x x x x 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) x ( x ) ( ) x x x x x 6 4x 6 x 4x 6 6 7x 0 : ( 7) x 0

15 . a) f(x) = a(x + ) + Funktion f kuvaaja vaikuttaisi kulkevan pisteen (, ) kautta riippumatta a:n arvosta. b) Funktion kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta riippumatta a:n arvosta, jos aina f( ) =. f( ) = a ( + ) + = a 0 + = Kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta riippumatta a:n arvosta.

16 4. a) A: (x ) + 5x + x = x + 5x + x = 9x B: 7x + (x ) = 7x + x = 9x C: 7(x + x ) 5(x ) = 7x + 7x 7 5x + 5 = 9x b) Kuvion voi jakaa suorakulmioihin eri tavoin. A: B: C: c) Kuvion pinta-ala on a-kohdan mukaisesti 9x. 9x = 0,5 9x = 0,5 + 9x =,5 : 9 x =,5 Kuvion tuntemattomat pituudet ovat x =,5 ja x =,5.

17 5. Merkitään ensimmäistä kolmella jaollista lukua x. Kolme kolmella jaollista lukua ovat esimerkiksi, 6 ja 9. Peräkkäisten kolmella jaollisten lukujen erotus on aina, esimerkiksi 6 = ja 9 6 =. Lukua x seuraava kolmella jaollinen luku on x + ja sitä seuraava on (x + ) + = x + 6. Lasketaan näiden lukujen summa. x + (x + ) + (x + 6) = x + x + x = x + 9 Summan tulee olla 6. x + 9 = 6 x = 6 9 x = 7 : x = 9 Luku x on kolmella jaollinen (9 = ). Kysytty luku on 9.

18 6. Merkitään perinnön suuruutta kirjaimella x. lapsi saa 4 x lapsi saa 4 x avustusjärjestö saa x kummitytär saa Voidaan muodostaa yhtälö: x x x x 4 4 x x x ) ) 6) x x x x x 6 x x ( 6) 6 x Perinnön suuruus on Kumpikin lapsi saa Avustusjärjestö saa Kummitytär saa

19 7. Merkitään Diofantoksen elinikää kirjaimella x. Diofantos oli lapsi 6 x vuotta. Parta alkoi kasvaa, kun hän oli x x vuotta vanha. 6 Avioliiton hän solmi x x x vuotiaana. 6 7 Esikoispoika syntyi, kun hän oli x x x 5 vuotias. 6 7 Poika eli puolet isänsä iästä, eli pojan kuollessa Diofantoksen ikä oli x x x 5 x 6 7 Diofantos eli neljä vuotta poikansa jälkeen, joten kuollessaan hän oli x x x 5 x 4 vuotta vanha. 6 7 Saadaan yhtälö ja ratkaistaan se. x x x 5 x 4 x x 7x x 40 4x 6 84x 75x 84x 756 9x 756 : ( 9) x 84 Diofantos kuoli ollessaan 84-vuotias.

20 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 8. a) Sijoitetaan luku x = yhtälöön (x + a) = (a + x) (x ). ( + a) = (a + ) ( ) + a = (a + ) ( ) + a = a + 4 a a = 4 0 = 0 tosi Yhtälö toteutuu kaikilla vakion a arvoilla, kun x =. b) Koska luku 05 on yhtälön ax + 06 = 0 ratkaisu, se toteuttaa yhtälön. a = 0 a 05 = 06 : 05 a = 06 05

21 9. a) f(x) = 0,94x a = 0,94 b) Funktion f(x) = ax kuvaajalla on piste (86, 8). Ratkaistaan a ehdosta f(86) = 8. a 86 = 8 : 86 a = 8 86 f(x) = 8 86 x c) Ratkaistaan yhtälö f(x) = 00 8 x 00 : x 00 : , Auton nopeus on 00 km/h, kun mittarilukema on noin 06 km/h.

22 0. a) Kuusikulmioiden määrä lisääntyy viidellä siirryttäessä seuraavaan kuvioon. Ensimmäisessä kuviossa on kuusikulmioita 7 kappaletta. Toisessa kuviossa on kuusikulmioita = kappaletta. Kolmannessa kuviossa on kuusikulmioita (7 + 5) + 5 = = 7 kappaletta. Neljännessä kuviossa on kuusikulmioita = = kappaletta. Kuusikulmioiden määrä n.:ssä kuviossa on n n 5 5n. n kpl Ratkaistaan, onko kuusikulmioiden lukumäärä jollakin n:n kokonaislukuarvolla 00. 5n + = 00 5n = 98 :5 n = Koska ratkaisu ei ole kokonaisluku, mikään kuviojonon kuvio ei muodostu täsmälleen sadasta kuusikolmiosta. b) Aritmeettinen summa voidaan laskea kaavalla a =, a n = ja S n = 456, joten saadaan yhtälö: 456 n 456 n n : n 8 Summassa on 8 yhteenlaskettavaa. S a a n n n. Nyt

23 . a) Funktioiden f(x) = a(x + ) ja g(x) = x 4 kuvaajat leikkaavat kohdassa x =, kun ne saavat tässä kohdassa saman arvon, eli f() = g(). a( + ) = 4 a 5 = 6 4 5a = : a = 5 b) Funktioiden kuvaajat eivät leikkaa, kun yhtälöllä f(x) = g(x) ei ole ratkaisua. a(x + ) = x 4 ax + a = x 4 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun a =, koska tällöin x + 4 = x 4 0 = 8 Kuvaajat eivät leikkaa, kun a =.

24 . Merkitään hetkestä 5.00 kulunutta aikaa minuutteina kirjaimella x. Tuntiviisari etenee yhden kierroksen tunnissa. tunnissa on 60 = 70 minuuttia. Tuntiviisari etenee x minuutissa x kierrosta. 70 Minuuttiviisari etenee yhden kierroksen 60 minuutissa. Minuuttiviisari etenee x minuutissa 60 x kierrosta. Jotta viisarit muodostaisivat suoran kulman, on minuuttiviisarin pitänyt kiertyä puoli kierrosta enemmän kuin tuntiviisarin. x x x x 60 x 60 x 60,77...,77.. min = min ,77 s min 44s. Viisarit ovat suorassa kulmassa seuraavan kerran kellon

25 . Ensimmäisen asteen epäyhtälö YDINTEHTÄVÄT. a) Funktion f(x) = x nollakohta ratkaistaan yhtälöstä f(x) = 0. x 0 x : x b) Funktion kuvaaja on nouseva suora, koska kulmakerroin on. c) Funktion arvot ovat positiivisia, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella, eli kun x >.

26 4. Funktion f arvot ovat negatiivisia, kun epäyhtälö f(x) < 0 toteutuu. a) f(x) = x + 4 x + 4 < 0 x < 4 b) f(x) = x 6 x 6 < 0 x < 6 : x < c) f(x) = x a) x 6 < 0 x < 6 x < x + 5 < 0 x < 5 : ( ) x > 5 x > 5 b) x + 4 x 4 x : ( ) x c) x < 5x + x 5x < + x < 5 : ( ) x 5

27 6. a) Esimerkiksi funktio f(x) =,5x + saa negatiivisia arvoja, kun x >. b) Esimerkiksi funktio f(x) = x saa positiivisia arvoja, kun x <. 7. a) Funktion f(x) = x arvo on suurempi kuin funktion g(x) = 4 x arvo, kun epäyhtälö f(x) > g(x) toteutuu. x > 4 x x + x > 4 + 5x > 7 : 5 x > b) Funktion f arvo on funktion g arvoa suurempi, kun funktion f kuvaaja on funktion g kuvaajan yläpuolella.

28 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 8. a) (x + ) < (x + 5) x + 6 < x + 0 x x < 0 6 x < 4 b) (4x 5) 4x 8x + 0 4x 8x + 4x 0 4x 0 x 0 4 ( : ( 4) x 5 9. a) Kolmion piiri on 7 + (z + ) + (z + 4). 7 + (z + ) + (z + 4) z + + z z z 6 4 z : z Kolmion piiri on vähintään 6, kun z on vähintään. b) Merkitään toisen sivun pituutta kirjaimella x. Suorakulmion pinta-ala on 7,5 x = 7,5x (m ). 7,5x 40 : 7,5 x 5, Suorakulmion piiri on vähintään 40 m, kun toinen sivu on pituudeltaan vähintään 5, m.

29 0. a) a n = n 86 n 86 = 55 n = n = 4 : n = 47 Luku 55 on lukujonon 47. jäsen. b) Määritellään kuinka monta negatiivista jäsentä lukujonossa on ehdosta a n < 0. n 86 < 0 n < 86 : n < 8,66 Lukujonon 8. jäsen a 8 = 8 86 = on negatiivinen, mutta 9. jäsen a 9 = 9 86 = on positiivinen. Lukujonossa on 8 negatiivista jäsentä.. a) 0 tosi, koska luku on pienempi kuin luku 0, on se pienempi tai yhtäsuuri kuin 0. b) tosi, koska luku on yhtä suuri kuin, on se suurempi tai yhtä suuri kuin. c) (x ) ( + x) x x 6 + x x x x + x epätosi d) (x ) x + 4 x + x + 4 x + x tosi, koska 0 = 0

30 . a) < < Väite on tosi, koska kerrottavat luvut ovat positiivisia ja kertoja <. c) < < 0 Väite on tosi, koska 5 5 < 6 7. d) 0,78 > 0,78 Väite on epätosi, koska kantaluku 0 < 0,78 <. Kun luvulla 0,78 kerrotaan on tulos pienempi kuin kerrottava, eli (0,78 0,78) 0,78 < 0,78 0,78.

31 . a) x 4x x 4x 0 x 0 x 0 : b) x x 4 x x x x 0 tosi 4 Toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla. c) y y (y ) y y y y y 5y :( 5) y 5

32 4. a) b) c) z z 4 6z 4z z :( ) z x x ( x ) x 5 5x 5 x 5x x 5 5 8x 0 :( 8) 0 x 8 5 x x x 6 6 x (x ) 6 x x 6 0 7epätosi Epäyhtälöllä ei ole ratkaisua.

33 5. a) Ratkaistaan epäyhtälö. x 4 x 4 x x 6 Epäyhtälön toteuttavat luonnolliset luvut 0,,,, 4, 5 ja 6. b) Ratkaistaan epäyhtälö. ( x ) ( x ) x 4( x ) x 4x x 4x x 0 0 x Epäyhtälön toteuttavat negatiiviset kokonaisluvut, ja.

34 6. a) Piste (, ) on funktion f(x) = ax + a + kuvaajan alapuolella, kun funktion arvo kohdassa x = on suurempi kuin. Appletin mukaan tämä toteutuu, kun a > 0,5. b) Ratkaistaan epäyhtälö f() >. f() = a + a + = a + a + = 4a + 4a + > 4a > 4a > : 4 a > 4 7. Merkitään kysyttyä aikaa kuukausina kirjaimella x. Matin säästöt ovat tällöin x 0 = x ( ), ja Pekan säästöt ovat x 80 = x ( ). Ratkaistaan epäyhtälöstä, milloin Pekan säästöt ylittävät Matin säästöt x 500 0x 80x 0x x 800 : 60 x 0 Pekan säästöt ylittävät Matin säästöt kun on kulunut yli 0 kuukautta alkuhetkestä eli kuukauden kuluttua.

35 8. a) a n = 4 0,n Ratkaistaan epäyhtälö a n > ,n > 0 0,n > 4 : ( 0,) n < 46, jäsen on vielä positiivinen a 46 = 0,, mutta 47. jäsen on negatiivinen a 47 = 0,. Lukujonon 46 ensimmäistä jäsentä ovat positiivisia. b) Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on a =. Erotusluku on d = ( ) = 4. Lukujonon yleinen termi on a n = a + d(n ) = + 4(n ) = 4n 7. Ratkaistaan, mitkä lukujonon jäsenet ovat yli 000 epäyhtälöstä a n > n 7 > 000 4n > 007 : 4 n > 5,75 Lukujonon jäsen a n on suurempi kuin 000, kun jäsenen järjestysluku n on suurempi kuin 5,75. Näin ollen lukujonon 5. jäsen ylittää ensimmäisenä luvun 000. Ensimmäisenä luvun 000 ylittää jäsen 5. jäsen.

36 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 9. 5x > 0 ja 6 + 6x > 4 5x > : ( 5) 6x > 4 6 x < 5 6x > x > Molemmat epäyhtälöt toteuttaa luvut välillä luonnollisista luvuista vain luku 0. x. Tällä välillä on a) x + > 0 ja x < 0 x > x < : x Molemmat yhtälöt ovat yhtäaikaisesti voimassa, kun x. b) < x + < x + 4 < x + ja x + < x + 4 x < x x < 4 x < : ( ) x < : x > x < Kaksoisepäyhtälön toteuttavat luvut välillä < x <.

37 4. 9 F C 5 Kun lämpötila on 6 F 9 C C 6 : C C, Kun lämpötila on 50 F 9 C C 8 : C 8 9 C 0 Lämpötila vaihtelee celsiusasteina välillä, C < C < 0 C. 4. Luvun x etäisyys lukusuoralla luvusta voidaan laskea erotuksen (x ) = x 4 avulla. Jos x >, on tulos positiivinen ja jos x < on tulos negatiivinen. Tämän etäisyyden tulee olla vähemmän kuin sadasosa, eli x x x 40 : 00,995 x,005. Luku x tulee valita väliltä,995< x <,005.

38 4. a) Luvusta a vähennetään luku ja tulos kerrotaan luvulla : (a ) ( ) = (a ) = a + = a. Koska luku a on negatiivinen, on a positiivinen, joten a on positiivinen. Väite on tosi. b) Luvusta vähennetään luvun a neliö: a. Minkä tahansa nollasta eroavan luvun neliö on positiivinen. Erotus a on negatiivinen, jos a >, muulloin erotus on positiivinen. Väite on epätosi, koska erotus voi olla myös positiivinen. Esimerkiksi kun a = 0,5, on erotus 0,5 = 0,75 > 0.

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

MAA2 POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT

MAA2 POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT MAA POLYNOMIFUNKTIOT JA YHTÄLÖT 17.11.017 Nimi: 1 3 Yhteensä Kokeessa on kolme osaa: A, B1 ja B. Aosa: Tehtävät tehdään ilman laskinta Tee kaikki neljä () tehtävää (jokainen max 6p) Kun palautat tämän

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...

1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,... Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5

Lisätiedot

5 Kertaus: Matemaattisia malleja

5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a, Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Aritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu.

Aritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu. Aritmeettinen summa 403. Laske. a) 101 + 103 + 105 + 107 + 109 + 111 b) 3 + ( 4) + ( 5) + ( 6) + ( 7) + ( 8) a) 636 b) 153 404. ijoita ensimmäinen yhteenlaskettava a1, viimeinen yhteenlaskettava an sekä

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4 FUNKTION ANALYSOINTIA

4 FUNKTION ANALYSOINTIA Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 1.1.018 4 FUNKTION ANALYSOINTIA POHDITTAVAA 1. Appletin avulla huomataan, että suorakulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun kaikki

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot