MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

Transkriptio

1 MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele vastauksesi derivaatan avulla.. a) Derivoi f ( ) 5 b) Derivoi f( ) 5 5. Määritä minkä suuruisen rajatun pinta-alan muodostavat funktion 1 g( ) kohtaan =10 piirretty tangentti, -akseli ja y-akseli. 5. a) Derivoi f ( ) ( ) 7 (p) b) Määritä funktion f () = + pienin ja suurin arvo välillä [1, ]. Ilmoita tarkka vastaus, sekä likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (p) 6. Määritä funktion f ( ) ( )( 5) 5 ääriarvot. Käännä! =>

2 MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Jussi piti mehukioskia uimarannalla. Kun mehulasin hinta oli 90 senttiä, hän myi 60 lasillista päivässä. Hän totesi, että jokainen 5 sentin lisäys mehulasin hintaan pienensi päivämenekkiä kolmella lasillisella. Millä hinnalla hän saa parhaan myyntituoton? Kuinka suuri tämä tuotto on? 8. Halutaan valmistaa metallista suorakulmaisen särmiön muotoisia kannettomia laatikoita, joiden tilavuus on 0,5 m ja joiden pohja on neliön muotoinen.(kuva1). Pohjasta halutaan vankka, joten sen valmistuskustannukset ovat kolminkertaiset seinämateriaaliin verrattuna. Määritä laatikon mitat (pohjaneliön sivu, korkeus), niin että valmistuskustannukset ovat mahdollisimman pienet. BONUS (+p) Ratkaise murtoepäyhtälö: 0 18 Kuva 1

3 MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Ratkaisut: 1. a) 5 (5 )(5 ) 1( 5)(5 ) lim lim lim ( 5) 5 ( 5) 1(5 ) 1(5 5) 10 lim 5 5 b) Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin 9 + = 0 = = 0 = 9 9 = 9 7 = = 1. a) = = 7 1 = 7 1 = = 1 ( ) 9 = = 1 7, kun 71 ( )( ) Vastaus: 7 f ( ) f () 8 f () lim lim ( )( ( )) lim lim ( ) lim 10 Tuossa toisella rivillä polynomi on jaettu tekijöihin nollakohtiensa avulla: ja 8 ( )( ( ))

4 MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni b) 1 f f ( ) 9 ( ) 9 Derivaatan nollakohdat: ja 1 Merkkikaavio: - f () f() Funktio on siis kasvava välillä [-,].. a) b) 1 f ( ) f ( ) ( ) ( 10 )( 5 ) 5 5 f ( ) f ( )

5 MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Käyrän 1 g( ) derivaatta on g ( ). Derivaatta kohdassa =10: g (10) Tämä on siis kohtaan =10 piirretyn tangentin kulmakerroin. Tangentti kulkee pisteen =10 kautta. Tällöin se kulkee myös pisteen 1 1 y kautta. Eli koordinaatin (10,8). Nyt suoran yhtälö: y y k( ) y 8 6( 10) y y Tangentti siis leikkaa y-akselin korkeudella -5. Lasketaan -akselin leikkauspiste, eli siis yhtälön nollakohta, ratkaisu: Nyt tangentti, -akseli ja y-akseli muodostavat rajatun 6 suorakulmaisen kolmion, jonka yksi kärki on -akselilla kohdassa =6/, yksi kärki on origossa ja yksi kärki on y-akselilla kohdassa y=-5. Tämän kolmion pinta-ala on: A yksikköä

6 MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni a) 6. f f ( ) ( ) ( ) 7( ) ( ) ( ) (1 8) 7. b) f () = + pienin ja suurin arvo välillä [1, ]: f ( ) f ( ) 1 ( ) Ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista tai suljetulla välillä välin päätepisteistä: ,59 Merkkikaavio: 1,59 f () - + f() 1, Graafisesti tulkittuna on löydetty min. kohta, kun = 1,59. Ma. kohta löytyy välin päätepisteistä. Pitää laskea sijoittamalla alkuperäiseen funktioon:

7 MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni f (1) f () 9 9 Ma. kohta on siis = ja Ma. arvo on 9. 9 Min. arvo: 6. f ( ) 1 6,8 f ( ) ( )( 5) 5 f 5 ( ) ( )( 5) 5( 5) ( ) ( 5) ( )( 5) 5 ( ) ( 5) ( 5) Ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista: ( 5) ( 5) 0 tai ( 5) ( 6) ( 6) ,96 ja 0, Merkkikaaviosta nollakohtien kulku:

8 MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni f () f() 0,5 5/ 1, ,5 1,96 5/ Eli paikallinen ma kohta on =0,5 ja paikallinen min. kohta on =1,96 Ääriarvot: paikallinen ma. arvo = f(0,5)=606,8 Paikallinen min. arvo=f(1,96)=-0,0 7. Merkitään hinnan muutos (yksikkönä 5 senttiä) ja myyntituotto m m () = ( ) (60 ) = Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten se saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa m () = = 0 = 1 m (1) = 0,95 57 = 5,15 Vastaus: Hinta 95 senttiä ja myyntituotto 5,15 8. Merkitään laatikon pohjaneliön sivun mitaksi ja korkeudeksi y. Nyt tiedetään, että V 0,5m y A y Pinta-alaa mietittäessä pohjan pinta-ala on kerrottu kolmella, koska sen valmistuskustannukset ovat kolminkertaiset. Ratkaistaan tilavuuden lausekkeesta y:

9 MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni ,5 0,5m y y ja sijoitetaan tämä pinta-alan lausekkeeseen, jolloin siitä tulee :ää sisältävä funktio: 0,5 A( ) A ( ) 6 6 Ääriarvot derivaatan nollakohdista: ,69 Tarkastellaan merkkikaaviolla, onko kyseessä min. vai ma. kohta! 0,69 0,69 + A () - + A() - On löydetty pinta-alan (=valmistuskustannusten) min. kohta. Valmistuskustannukset min, kun pohjaneliön sivu =0,68m ja korkeus y 0,5 1 0,5 1, 0 m