MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ"

Esa-Pekka Kinnunen
5 vuotta sitten
Katselukertoja:

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua.

1 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa käytettävistä kriteereistä päättää tutkintoaineen sensorikunta. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.

2 A-osa. C, D, E, G, F, B. Pistetulon laskusääntöjen mukaan ehdot toteutuvat, kun a + b =ja a b =3. 4 Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan a = 5. 4 Siten b =a =, eli c = 5i j Logaritmin laskusääntöjen avulla saadaan ln(x + ) ln(x) =ln x+ x = ln( + ), x ln(x + ) ln(x) = ln x+ = ln( + ). 3 x x Koska logaritmifunktio on kasvava ja <, niin jälkimmäinen lauseke on suurempi. 3 x x 4. a = b = c =4 d = Kuvaajalla on pystysuora asymptootti kohdassa x = : tällöin nimittäjä on nolla, josta saadaan d. Kun x =0, funktion arvo on c, josta saadaan c. d Tiedoista f(6) = ja f() = 6 saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan a ja b. B-osa

3 B-osa 5. Alaspäin aukeavan paraabelin nollakohdat ovat x =0ja x = 0 ja sen huippu on pisteessä (5, ). Paraabeli on muotoa y = ax(0 x), jolloin huipun avulla saadaan =5a, eli a = 5 Toinen paraabeli on ensimmäisen peilikuva, eli y = x(0 x). 5 Lasketaan pinta-ala integraalin avulla: 0 ax(0 x) (ax(0 x)) dx 4 0 (= a[5x 3 x3 ] 0 0 ) = 000a = 80 7 (neliömetriä) Ruudukon sivun pituus on 40 cm ja sen pinta-ala on 600 cm ja valkoisten ruutujen pinta-ala on puolet tästä, eli 800 cm. Koko laudan pinta-ala on 500 cm. Todennäköisyys, että riisinjyvä putoaa valkoiseen ruutuun, on suoraan verrannollinen em. pinta-alaan, eli p = 8 5 (toistokokeesta muodostuu binomijakauma) 30 ( ) 30 ( 8 ) k ( 7 ) 30k ja kysytty todennäköisyys on 5 k 5 5 k=5 =0, , Kuvaaja y = ax + bx + c on joko paraabeli, tai paraabeli, jonka keskiosa on peilattu x-akselin suhteen. 3 Valitsemme paraabelin, jonka huippu on pisteessä (0, 4), jolloin peilattu huippu on pisteessä (0, 4) ja tuottaa yhden ratkaisun. 3 Esimerkiksi a =, b =0ja c = 4 käy. 3 Yhtälön x 4 =4 ainoat kaksi muuta ratkaisua ovat x = ±. 8. (Luvun päättyminen nollaan on yhtäpitävää sen kanssa, että se on jaollinen kymmenellä) (0!) (9!) = ( )(9!) ei ole jaollinen kymmenellä. 9! on jaollinen kymmenellä muttei sadalla luku (9!) , ja siten alkuperäinenkin luku, päättyy miljoonaan nollaan Merkitään x k = 0k, k =0,...,0 Puolisuunnikassäännön mukaan saadaan arvio 9 k=0 (x k+x k )(f(x k+ )+f(x k )) = 0 9 k=0 (f(x k+)+f(x k )) = 3030 ( km s) h =0, ,84 (km). ( Simpsonin säännön mukaan saadaan arvio 00 f(x0 )+4f(x 30 )+f(x )+4f(x 3 )+ f(x 4 )+4f(x 5 )+f(x 6 )+4f(x 7 )+f(x 8 )+4f(x 9 )+f(x 0 ) ) 3 = ( km s) 3 h =0, ,85 (km).

4 ( ) B-osa 0. Geometrisen sarjan summan kaava pätee kun x <. Päättelyssä sitä sovelletaan tilanteessa x =, jolloin se siis ei päde. Vastattu (vain), että johtopäätös on väärä, sillä positiivisten lukujen summa ei voi olla negatiivinen. Merkitään y = tan(x). Geometrisen sarjan summan kaavan perusteella pitää ratkaista y y =. 3 Seuraavaksi ratkaistaan yhtälö tan(x) = 3 x = tan ( )=0, ,3. 3. ) Lasketaan funktion g derivaatta: g (x) = sin(x) (ln(sin(x))( cos(x) sin(x)) + cos (x) sin(x) Tarkasteluvälillä sin(x) cos(x) > 0, ln(sin(x)) < 0 ja sin(x) > 0, joten g > 0 3 g on (aidosti) kasvava. Vastaavasti nähdään, että f on vähenevä. Yhtälöllä f(x) =g(x) on siten korkeintaan yksi ratkaisu. Symmetrian nojalla (tai laskimella) nähdään, että x = π ratkaisee yhtälön 4 ja se on siten yhtälön ainoa ratkaisu,. Tiedetään, että kun kolmion kanta ja pinta-ala (eli käytännössä korkeus) on annettu, niin sen piiri on pienimmillään, kun kaksi muuta sivua ovat keskenään yhtä pitkiä, eli kolmio on tasakylkinen. 3 Tästä seuraa, että jos kolmion kanta ja piiri on annettu, on sen pinta-ala suurin kun kolmio on tasakylkinen. (Havainto ) Tehtävässä tavoitteena on osoittaa, että pinta-alaltaan suurin kolmio annetulla piirillä on tasasivuinen. Olkoon A se kolmio, jonka pinta-ala on annetulla piirillä suurin mahdollinen. Merkitään muuttujilla a, b ja c kolmion A sivujen pituuksia. Sovelletaan ratkaisun Havaintoa kolmioon A, kun sivua a ajatellaan kantana. Koska kolmion pinta-ala on suurin mahdollinen, päätellään tasakylkisyyden perusteella, että b = c. Kiinnittämällä seuraavaksi sivu b kannaksi, seuraa Havainnosta, että myös kaksi muutakin sivua ovat yhtä pitkiä (a = c). Siten kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, joten kolmio A on tasasivuinen. TAI (Havainnon jälkeen) Olkoon kolmion piiri muotoa 3p. Jos a on kolmion lyhyin sivu ja b = c, niin voidaan kirjoittaa a = p x, b = c = p + x/, kun 0 x p. Kolmion pinta-ala on A(x) = a b a /4= 4 (p x) 3p +6px. Lasketaan derivaatta A (x) ja ratkaistaan yhtälö A (x) =0 x =0. Koska A(p) =0, niin pinta-alan maksimi saavutetaan arvolla x =0, joten suurin pinta-ala saavutetaan tasasivuisella kolmiolla.

5 3. Väite on yhtäpitävä epäyhtälön a + a a a 0 kanssa. Täydennetään neliö: (a a ) 0, eli epäyhtälö pätee. Korotetaan epäyhtälö puolittain potenssiin 4, kerrotaan luvulla n ja merkitään b k = a k, jolloin päädytään epäyhtälöön ( b k ) n b k. 3 k= Vasen puoli koostuu neliöistä b k sekä sekatermeistä b ib j. Vähentämällä puolittain neliöt b k päädytään epäyhtälöön b i b j (n ) b k. i<j k= Yhdistämällä b i b j sekä b i ja b j saadaan yhtäpitävä epäyhtälö 0 (b i b j ), i<j joten alkuperäinen epäyhtälö pätee. k=

Samankaltaiset tiedostot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti