4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio"

Transkriptio

1 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako kohdassa funktiot saavat arvon 7. Yhtälö Ratkaisujen lukumäärä x = 7 x 3 = 7 1 x 4 = 7 x 5 = 7 1

2 b) Tutkitaan vastaavasti kuin a-kohdassa kuvaajien avulla, milloin funktiot f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 saavat arvon 7. Yhtälö Ratkaisujen lukumäärä x = 7 0 x 3 = 7 1 x 4 = 7 0 x 5 = 7 1

3 c) a-kohdassa ratkaisuja on kaksi, kun eksponentti on parillinen ja yksi, kun eksponentti on pariton. Kun luku korotetaan parilliseen potenssiin, sekä positiivisesta, että negatiivisesta kantaluvusta tulee positiivinen tulos. Tällöin yhtälöillä, joissa on parillinen eksponentti, on kaksi ratkaisua. Pariton eksponentti säilyttää kantaluvun merkin, joten ratkaisuja on vain yksi. b-kohdassa parillisilla eksponenteilla yhtälöillä ei ole ratkaisua ja parittomilla on yksi ratkaisu. Parillisilla eksponenteilla yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun parillinen potenssi ei voi olla negatiivinen. Pariton eksponentti säilyttää kantaluvun merkin, joten ratkaisuja on yksi.

4 . a) Muutetaan vakioiden a, b, c, d ja e arvoja ja tarkkaillaan, kuinka monta nollakohtaa funktiolla on. Kokeilun perusteella neljännen asteen polynomifunktiolla voi olla nollasta neljään nollakohtaa kuten alla olevat kuvat osoittavat. Ei nollakohtia: Yksi nollakohta:

5 Kaksi nollakohtaa: Kolme nollakohtaa: Neljä nollakohtaa:

6 b) Muutetaan appletissa neljännen asteen termin kertoimeksi nolla eli a = 0. Näin saadaan kolmannen asteen polynomifunktio. Muutetaan vakioiden b, c, d ja e arvoja ja tarkkaillaan, montako nollakohtaa funktiolla on. Kokeilun perusteella kolmannen asteen polynomifunktiolla näyttäisi aina olevan yhdestä kolmeen nollakohtaa kuten alla olevat kuvat osoittavat. Yksi nollakohta: Kaksi nollakohtaa:

7 Kolme nollakohtaa:

8 4.1 Yleinen potenssifunktio ja juuri YDINTEHTÄVÄT 401. A Funktio on parillinen potenssifunktio, joten kuvaajiksi sopivat II ja IV B Funktio on pariton potenssifunktio. I ja III C Funktio ei saa negatiivisia arvoja. II ja IV D Funktio saa jokaisen arvonsa täsmälleen kerran. I ja III E Funktio saa jokaisen positiivisen arvonsa kahdessa eri kohdassa. II ja IV 40. a) 3 8, koska 3 = 8 b) 9 1 1, koska ( 1) 9 = 1 c) , koska 3 4 = 81 d) 8 36, ei ole olemassa

9 403. a) x 3 = 15 3 x 15 x 5 b) 4x 5 = 97 : 4 5 x 43 5 x 43 x 3 c) x 3 = 0 x = 0 d) x 8 = x 1 tai x 1 x = 1 tai x = 1 e) x 4 = 4800 x 4 = 480 : x 4 = x 401 tai x 401 x = 7 tai x = 7 f) 3x = 0 3x 8 = 13 : 3 x 8 = 41 ei ratkaisua 404. a) 5 0 1, ,871 b) 3x 4 = 18 : 3 x 4 = 6 x 4 6 1,57 tai x 4 6 1,57

10 405. a) x 5 = 7 b) x 5 = 4 x 1,5 x 1,3 c) x 4 = 6 x 1,6 tai x 1,6 d) x 4 = 3 ei ratkaisua, x 4 ei saa negatiivisia arvoja

11 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 406. a) 8 1 1, koska 1 8 = 1. b) 4 0 0, koska 0 4 = 0. c) 3 0 0, koska 0 3 = 0. d) 4 1 ei ole olemassa e) 5 3, koska ( ) 5 = 3. f) , koska ( ). 8 g) , koska ( ). 3 7 h) , koska ( ) a) x x x x x = x 5 b) x x 3 = x + 3 = x 5 c) 500x x = 500x + 1 = 500x 3 d) x 500x 4 = 500x 4 x = 500x = 500x 5

12 408. alku 500 1v kuluttua x 500 v kuluttua x (x 500 ) = x 500 5v kuluttua x a) Lauseke 500x kuvaa tilillä olevaa rahamäärää yhden vuoden kuluttua alkuhetkestä. Lauseke 500x kuvaa tilillä olevaa rahamäärää kahden vuoden kuluttua alkuhetkestä. b) Viiden vuoden kuluttua tilin saldo on 500x 5. c) Saadaan yhtälö: x = 760 : x x , , Koska korkokerroin on noin 1,00, on tilin korko 0,00 =,0 % Merkitään väkiluvun vuotuista kasvua kuvaavaa kasvukerrointa kirjaimella x (milj.) 1881 x (milj.) 188 x (milj.) 1950 x 70 (milj.) Saadaan yhtälö: x 70 = 4 : x 70 = x tai x (vain positiivinen arvo käy) x 1,00995 Kasvukerroin on 1,00995, eli vuotuinen kasvu on n. 1,0 %. Vuoteen 05 on kulunut alkuhetkestä vuotta. 1, milj. 8,4 milj. Vuonna 05 väkiluku olisi 8,4 miljoonaa.

13 410. Merkitään vuotuista arvonalenemaa kuvaavaa kerrointa kirjaimella x. uutena v kuluttua x v kuluttua x v kuluttua x Saadaan yhtälö: x = : x 4 = x tai x vain positiivinen arvo käy x = 0,8596 Vuotuinen arvon alenema oli 1 0,8596 0,14 = 14 %.

14 411. a) b) Parilliset potenssifunktiot saavat vain positiivisia arvoja tai arvon nolla origossa. Kun positiivisen kantaluvun arvo kasvaa, tulee funktion arvosta yhä suurempi. Kun negatiivisen kantaluvun arvo pienenee, tulee funktion arvosta myös yhä suurempi. Funktio saa vastakkaismerkkisillä muuttujan x arvoilla a ja a saman arvon, joten funktio on symmetrinen y-akselin suhteen. Pariton potenssifunktio saa positiivisilla kantaluvun arvoilla positiivisen arvon ja negatiivisilla negatiivisen, sekä origossa arvon nolla. Kun kantaluku kasvaa, tulee funktion arvosta yhä suurempi ja vastaavasti, kun kantaluku pienenee, tulee funktion arvosta yhä pienempi. Funktio saa vastakkaismerkkisillä muuttujan x arvoilla a ja a lukuarvoltaan yhtä suuret, mutta vastakkaismerkkiset arvot, joten funktio on symmetrinen origon suhteen. 41. a) f(x) = x 3 I, g(x) = x 5 IV, h(x) = x 4 II ja p(x) = x 8 III

15 413. a) f() = 1 = 1 b) f( 11) = ( 11) 1 = c) d) e) 414. a) b) f ( ) ( ) 1: g(3) ( 5) 5 g( 5) ( 5) x 1 3 x x x 3 5 3x x 6 6 x x x 4 4 x x 4

16 415. a) Yhteiset pisteet ovat (1, 1), (0, 0) ja ( 1, 1), koska f(1) = 1 3 = 1 ja g(1) = 1 5 = 1 f(0) = 0 3 = 0 ja g(0) = 0 5 = 0 f( 1) = ( 1) 3 = 1 ja g( 1) = ( 1) 5 = 1. b) Kun potenssin kantaluku on välillä ]0, 1[ on tulos sitä pienempi, mitä suurempi eksponentti on, koska joka kerran kerrottaessa lukua itsellään tulon arvo pienenee. Esimerkiksi 0,1 = 0,01 ja 0,1 3 = 0,001. Tämän vuoksi x 3 > x 5 välillä ]0, 1[. Kun potenssin kantaluku on välillä ]1, [, on tulo sitä suurempi, mitä suurempi eksponentti on, koska joka kerran kerrottaessa lukua itsellään tulon arvo suurenee. Esimerkiksi 5 = 3 ja 3 = 8. Tämän vuoksi x 5 > x 3 välillä ]1, [. c) Tarkasteltaessa kuvaajia välillä ]0, [, huomataan, että suurilla x:n arvoilla sininen kuvaaja on ylempänä, eli sen arvot ovat suurempia, joten sininen käyrä funktion g kuvaaja ja punainen käyrä funktion f kuvaaja Merkitään korkokerrointa kertoimella x. alku v kuluttua x 1000 v kuluttua x v kuluttua x x = 1033,36 : 1000 x 3 = 1, x = 1, Korkokerroin on noin 1,011. Ratkaistaan, kuinka monen vuoden kuluttua tilillä on 1500 euroa. x n 1000 = 1500 x n = 1,5 n = log x 1,5, missä x = 1, n 37,1 Tilillä on 1500 euroa 38 vuoden kuluttua.

17 417. a) a 1 = 7 ja a 4 = 875. Geometrisessä lukujonossa yleisen termin lauseke on a n = a 1 q n 1. a 4 = a 1 q = 7 q 3 : 875 q 3 = 15 q = 3 15 q = 5 Jonon 11. jäsen on a 11 = a 1 q 10 = = b) a 1 = 3 ja a 8 = 384 a 8 = a 1 q = 3 q 7 : 3 q 7 = 18 q = 7 18 q = Jonon 11. jäsen on a 11 = a 1 q 10 = 3 10 = 3 07.

18 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 418. Merkitään geometrisen lukujonon ensimmäistä jäsentä a 1 ja suhdelukua q. Kuudes jäsen saadaan toisesta jäsenestä, kun toinen jäsen kerrotaan suhdeluvulla neljä kertaa. a 6 = a q 4 96 = 486 q 4 : 486 q 4 = q 4 16 tai q Ratkaistaan ensimmäinen jäsen. a = a 1 q 486 a1 tai 486 a 1 ( ) 3 3 a : a1 486 : ( ) 3 3 a a1 486 ( ) a 79 a Kymmenen ensimmäisen jäsenen summa, kun a 1 = 79 ja q = 3 on: S 1 ( ) q a q tai, kun a 1 = 79 ja q = 3 on: S 1 ( ) q a q 1 ( ) 7 3

19 419. Merkitään vuotuista vähennyskerrointa kirjaimella x ja määrärahojen määrää alussa kirjaimella a. alku a 1 v kuluttua x a v kuluttua x a 3 v kuluttua x 3 a Kolmen vuoden aikana vähennys on 30 %, eli määrärahat ovat 70 % alkuperäisestä, eli 0,7a. Saadaan yhtälö: x 3 a = 0,7a : a 0 x 3 = 0,7 x = 3 0,7 x = 0,8879 Vuotuinen kerroin on 0,8879, joten vähennys on vuosittain 1 0,8879 0,11 = 11, %.

20 40. a) Pisteet ovat (x, f(x)) ja ( x, f( x)) = ( x, f(x)), jos f on parillinen. Pisteillä on sama y-koordinaatti ja niiden x-koordinaatit sijaitsevat yhtä kaukana origon eri puolilla. Kaikki parilliset funktiot ovat siten symmetrisiä y-akselin suhteen. b) Funktio f on parillinen funktio, jos f( x) = f(x). Parilliset potenssifunktiot ovat muotoa f(x) = x n, missä n =, 4, 6, f( x) = ( x) n = ( 1 x) n = ( 1) n x n = 1 x n = x n = f(x), kun eksponentti n on parillinen. Jokainen parillinen potenssifunktio on siis parillinen funktio. c) g(x) = x + x Huomataan, että g(1) = = =, mutta g( 1) = ( 1) + ( 1) = 1 1 = 0. Kaikilla x ei siis päde g( x) = g(x) Funktio g ei ole parillinen. g( x) g( x) hx ( ) x x x x x x Koska funktio h on parillinen potenssifunktio, se on b-kohdan perusteella parillinen funktio.

21 41. a) Pisteet ovat (x, f(x)) ja ( x, f( x)) = ( x, f(x)), jos f on pariton. Pisteiden x- ja y-koordinaatit ovat toistensa vastalukuja. Pisteet ovat peilikuvat origon suhteen eli ne sijaitsevat samalla origon kautta kulkevalla suoralla, eri puolilla origoa. Kuvaajat ovat symmetrisiä origon suhteen. b) Jokainen pariton potenssifunktio on pariton funktio, jos f( x) = f(x). Parittomat potenssifunktiot ovat muotoa f(x) = x n, missä n = 1, 3, 5, f( x) = ( x) n = x n = f(x), kun eksponentti n on pariton. Jokainen pariton potenssifunktio on siis pariton funktio. c) g(x) = x + x g( x) = ( x) x = x x g(x) Funktio g ei ole pariton. gx ( ) g( x) x x ( x x) x hx ( ) Koska funktio h on pariton potenssifunktio, se on b-kohdan perusteella pariton funktio. 4. a) Väite: a n < b n, jos a < b, kun n =, 3, 4,... Väite on tosi aina, kun n on pariton. Kun n on parillinen, väite on tosi, jos a ja b ovat positiivisia ja epätosi muulloin. b) Parittoman potenssifunktion kuvaaja on nouseva. Tällöin aina pienemmällä muuttujan arvolla myös funktion arvo on pienempi kuin suuremmalla muuttujan arvolla. Parillisen potenssifunktion kuvaaja on nouseva, kun kantaluku on positiivinen. 43. Korotetaan molemmat kuudenteen potenssiin Koska molemmat kantaluvut < x 3 ja 3 5 ovat positiivisia lukuja ja koska 6 3, on edellisen tehtävän perusteella 3 > 3 5.

22 4. Korkeamman asteen polynomifunktio ja yhtälö YDINTEHTÄVÄT 44. a) x 3 x 5 = x = x 8 b) x 4 ( 7x 3 ) = 7x 3 x 4 = 7x = 7x 7 c) 5x 4x 3 = 5 4x x 3 = 0x + 3 = 0x 5 d) x 3 ( x 8 ) = ( 1) x 3 x 8 = x = x a) x(x + 5x 4) = x x + x 5x x 4 = x x 8x Asteluku on 3. b) 3x (6x 3 x + 8) = 3x 6x 3 3x x + 3x 8 = 18x 5 6x 3 + 4x Asteluku on a) (3x 4 4x 3 + x) ( 11x 4 + 6x 3 + 1) = 3x 4 4x 3 + x + 11x 4 6x 3 1 = 3x x 4 4x 3 6x 3 + x 1 = 14x 4 10x 3 + x 1 Kolmannen asteen termin kerroin on 10. b) x(x 3) + x(3x x) = x 3 6x + 3x 3 x = 5x 3 x 6x Kolmannen asteen termin kerroin on 5. c) 7x x ( 3x + 5x ) = 7x + 3x 4 5x 3 + x = 3x 4 5x 3 + 9x Kolmannen asteen termin kerroin on 5. d) (x 1)(x 3 + ) = x x 3 + x 1 x 3 1 = x 5 + x x 3 = x 5 x 3 + x Kolmannen asteen termin kerroin on 1.

23 47. a) f(x) = (x + )(x 5) + 3x + 10 = x 3 10x + x x + 10 = x 3 + x 7x f( 1) = ( 1) 3 + ( 1) 7 ( 1) = = 7 b) Korkeimman asteen termin kerroin on. 48. a) x x = 0 x (x + 16) = 0 x = 0 tai x + 16 = 0 x = 0 x = 16 b) x 3 16x = 0 x(x 16) = 0 x = 0 tai x 16 = 0 x = 16 x = 4 tai x = a) x 5 16x = 0 x(x 4 16) = 0 x = 0 tai x 4 16 = 0 x 4 = 16 4 x 16 tai 4 x 16 x x b) x 6 16x 3 = 0 x 3 (x 3 8) = 0 x 3 = 0 tai x 3 8 = 0 x 3 = 0 x 3 = 8 x = 0 x x = 3 8

24 430. a) f(x) = 0,1(x + 1)(x 6)(x 4) Ratkaistaan nollakohdat yhtälöstä f(x) = 0. 0,1(x + 1)(x 6)(x 4) = 0 x + 1 = 0 tai x 6 = 0 tai x 4 = 0 x = 1 x = 6 : x = 4 x = 3 x = tai x = Nollakohdat ovat x =, x = 1, x = ja x = 3. b) f(x) = x 3 x + 3x Ratkaistaan nollakohdat. x 3 x + 3x = 0 x( x x + 3) = 0 x = 0 tai x x + 3 = 0 ( ) 4 ( 1) 3 x (1) x 6 3taix 1 Nollakohdat ovat x = 3, x = 0 ja x = 1.

25 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 431. a) (x ) 3 = x 3 = x 6 b) (3x) = 3 x = 9x c) ( x 4 ) 3 = ( ) 3 (x 4 ) 3 = 8x 1 d) ( x 3 ) 4 = x a) (x 1)(x + 1) = (x ) 1 = x 4 1 b) (x 3 + 1) = (x 3 ) + x = 4x 6 + 4x c) (x 4 1) = (x 4 ) x = x 8 x a) f(x) = (x ) (x 1) = 4x 4 (x 4 x + 1) = 3x 4 + x f ( ) 3 ( ) ( ) b) Luku x = on funktion f nollakohta, jos f( ) = 0. f( ) = 3 ( ) 4 + ( ) 1 = = = 55 0 Luku x = ei ole funktion f nollakohta a) Funktion f(x) = x (x )(x + 3) asteluku on viisi, koska kun kaikkien tekijöiden korkeimman asteluvun termit kerrotaan, saadaan termi x x x = x 5. Nollakohdat: x (x )(x + 3) = 0 x = 0 tai x = 0 tai x + 3 = 0 x = 0 x = x = 3 x taix Nollakohdat ovat x = 3, x =, x = 0 ja x =. b) f(x) = x (x )(x + 3) = x (x 3 + 3x x 6) = x 5 + 3x 4 x 3 6x Asteluku on viisi.

26 435. a) (x 1)(x + 1)(x 3) = (x 1)(x 3) = x 3 3x x + 3 b) (x + 1)(3x 1)(x + ) = (6x x + 3x 1)(x + ) = (6x + x 1)(x + ) = 6x 3 + 1x + x + x x = 6x x + x 436. a) x 3 + x + 9x + 18 = x x + x + 9x + 9 = x (x + ) + 9(x + ) = (x + )(x + 9) b) x3 + x + 9x + 18 = 0 (x + )(x + 9) = 0 x + = 0 tai x + 9 = 0 x = x = 9 ei ratkaisua

27 437. a) 3x 3 + 4x 3x 4 = 0 x (3x + 4) (3x + 4) = 0 (3x + 4)(x 1) = 0 3x + 4 = 0 tai x 1 = 0 3x = 4 x = 1 x = 4 3 x = 1 tai x = 1 b) x 3 + x 4x 4 = 0 x (x + 1) 4(x + 1) = 0 (x + 1)(x 4) = 0 x + 1 = 0 tai x 4 = 0 x = 1 x = 4 x = tai x = c) x 3 8x = 3x + 1 x 3 8x + 3x 1 = 0 x (x 4) + 3(x 4) = 0 (x 4)(x + 3) = 0 x 4 = 0 tai x + 3 = 0 x = 4 x = 3 x = 3 ei ratkaisua d) x 4 3x 3 + 8x = 4 x 4 3x 3 + 8x 4 = 0 x 3 (x 3) + 8(x 3) = 0 (x 3)(x 3 + 8) = 0 x 3 = 0 tai x = 0 x = 3 x 3 = 8 x = 3 8 x =

28 438. a) x 4 8x = 0 x(x 3 8) = 0 x = 0 tai x 3 8 = 0 x 3 = 8 x = b) 3x 6 = 30x 3 3x 6 30x 3 = 0 3x 3 (x 3 10) = 0 3x 3 = 0 tai x 3 10 = 0 x 3 = 0 x 3 = 10 x = 0 x = 3 10 c) x 4 = x (3 4x) x 4 x (3 4x) = 0 x (x (3 4x) = 0 x (x + 4x 3) = 0 x = 0 tai x + 4x 3 = 0 x = ( 3) x 1 x x x 7 tai x 7 c) x 5 9x 3 + x 9 = 0 x 3 (x 9) + (x 9) = 0 (x 9)(x 3 + 1) = 0 x 9 = 0 tai x = 0 x = 9 x 3 = 1 x = 3 tai x = 3 x = 1

29 439. a) Kohta x = a on funktion f nollakohta, jos f(a) = 0. f( 1) = ( 1) 3 8 ( 1) + ( 1) + 1 = = 0 f() = = = 0 f(3) = = = 0 Kaikki annetut kohdat ovat funktion nollakohtia. Funktio on kolmannen asteen polynomifunktio. Sillä on korkeintaan kolme nollakohtaa. Funktiolla ei voi olla muita nollakohtia. b) x 3 8x + x + 1 = (x + 1)(x )(x 3) 440. a) Jos polynomilla x 5 + x 3 x 1 tekijä x 1, sen nollakohta on x = 1 ja jos x + 1, sen nollakohta on x = 1. Sijoitetaan x = 1 polynomin lausekkeeseen = = 0 Koska tulos on nolla, on x 1 polynomin tekijä. Sijoitetaan x = 1 polynomin lausekkeeseen. ( 1) 5 + ( 1) 3 ( 1) ( 1) = = 0 Koska tulos ei ole nolla, x + 1 ei ole polynomin tekijä. b) 3x 4 + 6x 3 15x 18x on nollakohdat x = 3, x = 1, x = 0 ja x =. Polynomi on neljännen asteen polynomi, joten sillä ei voi olla muita nollakohtia. 3x 4 + 6x 3 15x 18x = 3(x + 3)(x + 1) x (x ) = 3x(x + 3)(x + 1)(x ) c) x 3 + 4x + 46x 10 = 0 x = 5, x = 3 tai x = 4 x 3 + 4x + 46x 10 = (x + 5)(x 3)(x 4) 441. a) f(x) = (x 1)(x )(x 3) = x 3 6x + 11x 6 b) f(x) = (x + 3)(x )(x + 1) = x 3 + x 5x 6 c) f(x) = x(x + )(x + ) = x 3 + 4x + 4x

30 44. a) Koska funktio f on neljännen asteen polynomifunktio, sillä ei ole muita nollakohtia, kuin tehtävässä mainitut. Funktio on muotoa f(x) = a(x + 3)(x + 1)(x 1)(x ). Ratkaistaan kerroin a tiedosta f(0) = 1. f(0) = a(0 + 3)(0 + 1)(0 1)(0 ) = 6a 6a = 1 : 6 a = 1 6 f(x) = 1 (x + 3). (x + 1)(x 1)(x ) 6 b) Koska funktio f on neljännen asteen polynomifunktio, sillä ei ole muita nollakohtia, kuin tehtävässä mainitut. Koska x = 1 on kaksinkertainen nollakohta, on funktiolla tekijä (x 1) sekä tekijät (x + 3) ja (x ). Funktio on muotoa f(x) = a(x + 3)(x )(x 1). Ratkaistaan kerroin a tiedosta f(0) = 1. f(0) = a(0 + 3)(0 )(0 1) = a 3 ( ) 1 = 6a 6a = 1 : ( 6) a = 1 6 f(x) = 1 (x + 3)(x )(x 1) 6

31 c) Koska funktio f on neljännen asteen polynomifunktio, sillä ei ole muita nollakohtia, kuin tehtävässä mainitut. Kohdat x = ja x = 1 voivat olla kaksinkertaiset nollakohdat, jolloin funktiolla on tekijät (x + ) ja (x 1). Funktio on muotoa f(x) = a(x + ) (x 1). Ratkaistaan kerroin a tiedosta f(0) = 1. f(0) = a(0 + ) (0 1) = a 4 1 = 4a 4a = 1 : 4 a = 1 4 f(x) = 1 4 (x + ) (x 1) HUOM! Polynomifunktio voi olla myös esimerkiksi muotoa f(x) = a(x + )(x 1)(x + 1) Tällöinkään funktiolla ei ole muita nollakohtia kuin x = ja x = 1.

32 443. Funktiolla on nollakohdat x = 3, x = ja x =, joten sillä on tekijät x + 3, x + ja x. Sillä ei ole muita tekijöitä, koska se on kolmannen asteen polynomifunktio. Funktion lauseke on muotoa f(x) = a(x + 3)(x + )(x ). Koska kuvaajalla on piste (3, 30), on f(3) = 30. Ratkaistaan kerroin a tästä ehdosta. f(3) = a(3 + 3)(3 + )(3 ) = a = 30a 30a = 30 a = 1 f(x) = (x + 3)(x + )(x ) = (x + 3)(x 4) = x 3 + 3x 4x Sijoitetaan x = 1 polynomin x 3 x x + d lausekkeeseen ja ratkaistaan vakio d. ( 1) 3 ( 1) ( 1) + d = d = d d = 0 d = Polynomi on x 3 x x + Polynomi voidaan jakaa tekijöihin ryhmittelemällä. x 3 x x + = x (x ) (x ) = (x )(x 1) = (x )(x + 1)(x 1)

33 445. a) (x + 1) 3 = x x x = x 3 + 3x + 3x + 1 b) (x + ) 3 = x x + 3 x + 3 = x 3 + 6x + 1x + 8 c) (x 3) 3 = x x ( 3) + 3 x ( 3) + ( 3) 3 = x 3 9x + 7x 7 d) (x + 10) 3 = x x x = x x + 300x a) 11 3 = (10 + 1) 3 = = = 1331 b) 1 3 = (10 + ) 3 = = = 178 c) 1,1 3 = (1 + 0,1) 3 = , ,1 + 0,1 3 = 1 + 0,3 + 0,03 + 0,001 = 1,331 d) 99 3 = (100 1) 3 = ( 1) ( 1) +( 1) 3 = = = a) x 3 + 1x + 48x + 64 = x x x = x x x = (x + 4) 3 b) x 3 15x + 75x 15 = x 3 3 x x = x 3 3 x x = (x 5) 3

34 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 448. x 4 3x 4 = 0 Tehdään sijoitus z = x. z 3z 4 = 0 z 1 z 3 5 4taiz ( 3) 4 1 ( 4) 3 5 x = 4 tai x = 1 x = tai x = ei ratkaisua 449. a) x 4 9x + 8 = 0 Merkitään x = z. z 9z + 8 = 0 z z tai z x = 8 x = 1 x = tai x = x = 1 tai x = 1 b) 8x6 + 9x3 + 1 = 0 Tehdään sijoitus z = x 3. 8z + 9z + 1 = 0 z z tai z x 3 = 1 x 3 = 1 8 x = 1 3 x = x = 1 x = 1

35 450. Jaetaan lauseke tekijöihin. x 3 + 3ax + x = x(x + 3ax + 1) = 0 Jotta yhtälöllä ei olisi muita juuria, kuin x = 0, ei lausekkeella x + 3ax + 1 saa olla muita nollakohtia kuin x = 0. Kun sijoitetaan x = 0 lausekkeeseen, huomataan, että sillä ei ole nollakohtaa x = 0. Näin ollen lausekkeella x + 3ax + 1 ei saa olla nollakohtia. Lauseke x + 3ax + 1 on toisen asteen polynomi, joten sillä ei ole nollakohtia, jos yhtälön x + 3ax + 1 = 0 diskriminantti on negatiivinen. D = (3a) = 9a 4 < 0 Nollakohdat: 9a 4 = 0 a = 3 9a 4 < 0, kun a. 3 3 Yhtälöllä ei ole muita juuria, kuin x = 0, kun a. 3 3 Yhtälöllä on kolme juurta, kun lausekkeella x + 3ax + 1 on kaksi nollakohtaa. Lausekkeella on kaksi nollakohtaa, kun yhtälön x + 3ax + 1 = 0 diskriminantti on positiivinen, eli kun a tai a. 3 3 Yhtälöllä ei voi olla neljää juurta, koska se on kolmannen asteen polynomiyhtälö, jolla on korkeintaan kolme juurta.

36 451. Merkitään lukua kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö. 3 4 x x x 3 4 x x x 4 3 x x x 0 x ( x x ) 0 x 0taix x 0 x 0 x 1 x 1 3 1tai x ( ) 1 3 Kysytyt luvut ovat, 0 ja a) x 4 16 = (x ) 4 = (x 4)(x + 4) = (x + )(x )(x + 4) b) x 6 81 = (x 3 ) 9 = (x 3 9)(x 3 + 9) c) x 4 6x + 9 = (x ) x = (x 3) d) 9x 4 1x + 4 = (3x ) 3x + = (3x ) e) 5x 8 49 = (5x 4 ) 7 = (5x 4 7)(5x 4 + 7) f) x 3 + 9x + 7x + 7 = x x x = (x + 3) 3

37 453. a) (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b + 10a b 3 + 5ab 4 + b 5 Kertoimet ovat Pascalin kolmion lukuja. b) Kolmion seuraava rivi on (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b + 0a 3 b a b 4 + 6ab 5 + b 6 c) (x + ) 4 = x 4 + 4x 3 + 6x + 4x = x 4 + 8x 3 + 4x + 3x + 16 (x 1) 5 = x 5 + 5x 4 ( 1) + 10x 3 ( 1) + 10x ( 1) 3 + 5x ( 1) 4 + ( 1) 5 = x 5 5x x 3 10x + 5x 1 d) 11 = (10 + 1) = = = = (10 + 1) 3 = = = = (10 + 1) 4 = = = = (10 + ) 4 = = = 0736

38 4.3 Korkeamman asteen epäyhtälö YDINTEHTÄVÄT 454. a) Funktion f nollakohdat ovat x = 1, x = 1, x = 4 ja x = 8. b) Funktion f arvo on positiivinen väleillä x < 1, 1 < x < 4 ja x > 8.

39 455. a) x 3 x 3x = 0 x(x x 3) = 0 x = 0 tai x x 3 = 0 ( ) 4 1 ( 3) x 4 1 x 6 3taix 1 x = 1, x = 0 tai x = 3 b) x 3 x 3x 0 Lasketaan funktion f(x) = x 3 x 3x arvo testipisteissä nollakohtien välissä ja ulkopuolella. Testikohta x f(x) = x 3 x 3x Merkki (väliltä x < 1) ( ) 3 ( ) 3 ( ) = 10 0,5 (väliltä 1 < x < 0) ( 0,5) 3 ( 0,5) 3 ( 0,5) = 0, (väliltä 0 < x < 3) = 4 4 (väliltä x > 3) = 0 + Kootaan tulokset merkkikaavioon x 3 x 3x + + x 3 x 3x 0 väleillä 1 x 0 ja x 3. c) Kuvaaja: Kuvaaja on x-akselin yläpuolella b-kohdassa saaduilla väleillä.

40 456. Ratkaistaan funktion f(x) = x 3 4x nollakohdat. x 3 4x = 0 x(x 4) = 0 x = 0 tai x 4 = 0 x = 4 x = tai x = Nollakohdat ovat x =, x = 0 ja x = Lasketaan funktion f(x) = x 3 4x arvo testipisteissä nollakohtien välissä ja ulkopuolella. Testikohta x f(x) = x 3 4x Merkki 3 (väliltä x < ) ( 3) 3 4 ( 3) = 15 1 (väliltä < x < 0) ( 1) 3 4 ( 1) = (väliltä 0 < x < ) = 3 3 (väliltä x > ) = 15 + Kootaan tulokset merkkikaavioon. 0 x 3 4x + + Funktio f(x) = x 3 4x saa positiivisia arvoja väleillä < x < 0 ja x > ja negatiivisia arvoja väleillä x < ja 0 < x <. Kuvaaja:

41 457. a) x 3 + x 0 Tarkasteltava lauseke voidaan kirjoittaa tulomuotoon: x 3 + x = x (x + 1) Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat. x = 0 tai x + 1 = 0 x = 0 x = 1 Tulon tekijät ovat ensimmäisen ja toisen asteen polynomit. Toisen asteen polynomi x saa vain positiivisia arvoja nollakohtansa ulkopuolella. Ensimmäisen asteen polynomin x + 1 kuvaaja on nouseva suora. Laaditaan merkkikaavio. 1 0 x x x 3 + x + + x 3 + x 0 välillä x 1.

42 b) x 4 x > 0 Tarkasteltava lauseke voidaan kirjoittaa tulomuotoon: x 4 x = x (x 1) Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat. x = 0 tai x 1 = 0 x = 0 x = 1 x = 1 tai x = 1 Tulon tekijät ovat toisen asteen polynomit. Toisen asteen polynomi x saa vain positiivisia arvoja nollakohtansa ulkopuolella. Toisen asteen polynomin x 1 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Laaditaan merkkikaavio x x x 4 x + + x 4 x > 0 väleillä x < 1 ja x > 1

43 c) x 4 + x 3 1x 0 Tarkasteltava lauseke voidaan kirjoittaa tulomuotoon: x 4 + x 3 1x = x (x + x 1) Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat. x = 0 tai x + x 1 = 0 x = 0 x 1 x 6 3 tai x ( 1) 1 7 Tulon tekijät ovat toisen asteen polynomit. Toisen asteen polynomi x saa vain positiivisia arvoja nollakohtansa ulkopuolella. Toisen asteen polynomin x + x 1 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Laaditaan merkkikaavio x x + x x 4 + x x x 4 + x 3 1x 0 välillä 4 x 3.

44 458. a) Esimerkiksi f(x) = x 3 + 4x. b) Esimerkiksi f(x) = 0,1x 3 0,7x + 0,4x + 1,.

45 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 459. a) f(x) = 4x 3 4x 3 < 0 4x < 3 : 4 x < 3 4 Funktio saa negatiivisia arvoja, kun x < 3 4. b) f(x) = x 5x x 5x < 0 nollakohdat x 5x = 0 x(x 5) = 0 x = 0 tai x 5 = 0 x = 5 : x = 5 Funktio saa negatiivisia arvoja, kun 0 < x < 5

46 c) f(x) = x 3 + 6x 7x x 3 + 6x 7x < 0 x(x + 6x 7) < 0 Funktion merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x ja x + 6x 7 merkki. Lasketaan nollakohdat. x 3 + 6x 7x = 0 x(x + 6x 7) = 0 x = 0 tai x + 6x 7 = 0 Laaditaan merkkikaavio x ( 7) 6 8 x 1 x 1 tai x 14 7 x + 6x f(x) + + x 3 + 6x 7x < 0 väleillä x < 7 ja 0 < x < 1.

47 460. a) x 6 + x 5 0 x 5 (x + 1) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x 5 ja x + 1 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x 5 on positiivinen, kun x > 0 ja negatiivinen, kun x < 0. x + 1 = 0 x = x 5 + x x 5 (x + 1) + + x 6 + x 5 0, kun x 1 tai x 0 b) x 5 4x 3 x 5 4x 3 0 x 3 (x 4) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x 3 ja x 4 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x 3 on positiivinen, kun x > 0 ja negatiivinen, kun x < 0. x 4 = 0 x = 4 x = ± 0 x x x(x 4) + + x 5 4x 3, eli x 5 4x 3 0 väleillä x ja 0 x

48 c) 6x(x 1) 5x 6x 3 6x 5x 0 x(6x 5x 6) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x ja 6x 5x 6 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x on positiivinen, kun x > 0 ja negatiivinen, kun x < 0. 6x 5x 6= ( 6) x x 18 3 tai x x + + 6x 5x x(6x 5x 6) + + 6x(x 1) 5x eli x(6x 5x 6) 0 väleillä 0 3 x ja x 3.

49 461. a) f(x) = x 6 10x 5 + 5x 4 x 6 10x 5 + 5x 4 > 0 x 4 (x 10x + 5) > 0 x 4 (x 5) > 0 Molemmat tekijät x 4 ja (x 5) ovat ei-negatiivisia kaikilla muuttujan x arvoilla. Kun x = 0 ja kun x = 5, saa funktio arvon nolla. Funktion arvo on positiivinen, kun x 0 ja kun x 5. b) f(x) = x 4 x x 4 x > 0 x (x + 1) > 0 Tekijä x + 1 on positiivinen kaikilla muuttujan x arvoilla. Koska x on ei negatiivinen, on x negatiivinen kaikilla muilla muuttujan x arvoilla, paitsi kun x = 0 se saa arvon nolla. Funktion f arvo ei ole positiivinen millään muuttujan arvolla. 46. a) Parittomat potenssifunktiot x 3, x 5, x 7 jne. saavat positiivisia arvoja, kun kantaluku x on positiivinen ja negatiivisia arvoja, kun kantaluku x on negatiivinen. Parittomassa potenssifunktiossa on pariton määrä kantaluvun kertolaskuja. Jos kantaluku on negatiivinen, kerrotaan pariton määrä negatiivisia lukuja keskenään, joten tulo on negatiivinen. b) Parilliset potenssifunktiot x, x 4, x 6 jne. saavat positiivisia arvoja kaikilla muuttujan x arvoilla paitsi arvolla nolla, potenssifunktio saa arvon nolla. Parillinen potenssifunktio ei saa koskaan negatiivista arvoa. Parillisessa potenssifunktiossa on parillinen määrä kantaluvun kertolaskuja. Jos kantaluku on negatiivinen, kerrotaan parillinen määrä negatiivisia lukuja keskenään, joten tulo on positiivinen.

50 463. a) f(x) = x x > 0 Ratkaistaan nollakohdat yhtälöstä x = 0 x 3 = 8 x = Lasketaan funktion arvo testipisteissä f( 3) = = 19 < 0 f(0) = 8 > 0 Kootaan tulokset merkkikaavioon. x x > 0, kun x > b) f(x) = x 4 16 x 4 16 > 0 Ratkaistaan nollakohdat yhtälöstä x 4 16 = 0 x 4 = 16 x = ± Lasketaan funktion arvo testikohdissa. f( 3) = = 65 > 0 f(0) = 16 < 0 f(3) = = 65 > 0 Kootaan tulokset merkkikaavioon. x x 4 16 > 0, kun x < ja x >

51 c) f(x) = x 6 + x 6 + > 0 Epäyhtälö toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla, koska x 6 on parillisena potenssifunktiona aina positiivinen, joten x 6 + on myös aina positiivinen a) x 3 x 9x + 9 = x (x 1) 9(x 1) = (x 1)(x 9) = (x 1)(x + 3)(x 3) b) x 3 x 9x (x 1)(x + 3)(x 3) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa tekijöiden x 1, x + 3 ja x 3 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x 1 on positiivinen, kun x > 1 ja negatiivinen, kun x < x x x 3 + x 3 x 9x x 3 x 9x väleillä 3 x 1 ja x 3.

52 465. a) f(x) = x 4 + x 3 8x 8 x 4 + x 3 8x 8 < 0 x 3 (x + 1) 8(x + 1) < 0 (x + 1)(x 3 8) < 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x + 1 ja x 3 8 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x + 1 on positiivinen, kun x > 1 ja negatiivinen, kun x < 1. x 3 8 = 0 x 3 = 8 x = 3 8 x 3 8 on negatiivinen, kun x < ja positiivinen, kun x >. 1 x x 3 + x(x 6) + + f(x) on negatiivinen välillä 1 x. b) f(x) = x 7 + x 6 x x 7 + x 6 x < 0 x 6 (x + ) (x + ) < 0 (x + )(x 6 1) < 0 (x + )(x 6 1) = 0 x + = 0 tai x 6 1 = 0 x = x 6 = 1 x = 1 tai x = 1 Nollakohdat ovat x =, x = 1 ja x = 1.

53 Lasketaan funktion arvo testipisteissä. f( 3) = 78 < 0 f( 1,5) = 5,19... > 0 f(0) = < 0 f() = 5 > 0 Kootaan tulokset merkkikaavioon. 1 1 f(x) + + f(x) on negatiivinen väleillä x < ja 1 < x < a) f(x) = x + 3 Termi x on ei negatiivinen kaikilla muuttujan x arvoilla. Kun ei negatiiviseen lukuun x lisätään luku 3 on saatu luku positiivinen. b) f(x) = x 6 + x 4 + x + = x 4 (x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x 4 + ) Tekijä x + 1 on aina positiivinen ja samoin x 4 + on aina positiivinen. Molemmat tekijät ovat positiivisia, joten niiden tulo on positiivinen x 6 + x 5 3x 4 0 x 4 (x x + 3) 0 Ratkaistaan tekijän x x + 3 nollakohdat. x x + 3 = 0 ei ratkaisua Lausekkeen x x + 3 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia. Lauseke saa vain positiivisia arvoja. x 4 saa negatiivisia arvoja tai arvon nolla, kun x = 0. Epäyhtälö x 4 (x x + 3) 0 on tosi kaikilla muuttujan arvoilla.

54 468. f(x) = x 3 30x + 300x 1000 = x 3 3 x x = (x 10) 3 Lausekkeen eksponentti on pariton, joten funktion merkki on sama kuin kantaluvun x 10 merkki. x 10 > 0 ja x 10 < 0 x > 10 x < 10 Funktio saa positiivisia arvoja, kun x > 10 ja negatiivisia arvoja, kun x < 10.

55 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 469. Ratkaistaan funktion f(x) = x 4 6x + 8.nollakohdat. x 4 6x + 8 = 0, tehdään sijoitus x = z z 6z + 8 = 0 z = tai z = 4 x = tai x = 4 x = tai x = x = tai x = Nollakohdat ovat x =, x =, x = ja x =. Lasketaan funktion arvo testikohdissa. f( 3) = 35 > 0 f( 1,5) = 0,4375 < 0 f(0) = 8 > 0 f(1,5) = 0,4375 < 0 f(x) Funktio f saa positiivisia arvoja, kun x <, x ja x >. Funktio f saa negatiivisia arvoja, kun x ja x.

56 470. a) px 3 + 6x x 0 x(px + 6x 1) 0 Tulon pitää olla positiivinen tai nolla. Ratkaisuna tulee olla x 0, eli epäyhtälön tulee toteutua vain silloin kun kerroin x on negatiivinen tai nolla. Epäyhtälö toteutuu täsmälleen kun x 0, jos myös px + 6x 1 on aina negatiivinen tai nolla, eli tulon molemmat tekijät ovat negatiivisia tai nollia. Lausekkeen px + 6x 1 kuvaaja on paraabeli. Jos p on positiivinen, on paraabeli ylöspäin aukeava. Tällöin lauseke px + 6x 1 ei voi milloinkaan olla aina negatiivinen tai nolla. Jos p on negatiivinen, on paraabeli alaspäin aukeava. Tällöin lauseke px + 6x 1 on aina negatiivinen tai nolla, jos paraabelilla on korkeintaan yksi nollakohta. Lausekkeella px + 6x 1 on korkeintaan yksi nollakohta, kun yhtälön px + 6x 1 = 0 diskriminantti on negatiivinen tai nolla. D = 6 4 p ( 1) = p p 0 4p 36 : 4 p 9 Epäyhtälön ratkaisu on x 0, kun p 9.

57 b) x 6 px > 0 Merkitään x 3 = z. z pz + 3 > 0 Lausekkeen z pz + 3 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö on aina tosi, jos lausekkeella z pz + 3 ei ole nollakohtia, eli yhtälön z pz + 3 = 0 diskriminantti on negatiivinen. D = ( p) = p 1 p 1 < 0 Diskriminantin lausekkeen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lauseke saa negatiivisia arvoja nollakohtien välissä. p 1 = 0 p = 1 p = 1 3 Epäyhtälö z pz + 3 > 0 ja myös epäyhtälö x 6 px > 0 on tosi kaikilla muuttujan x arvoilla, kun 3 p 3.

58 471. a) f(x) = x 4 + qx 3 qx = x (x + qx q) Tekijä x on aina ei-negatiivinen, joten funktio ei saa negatiivisia arvoja, jos x + qx q ei saa negatiivisia arvoja. Tekijän x + qx q kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lauseke x + qx q ei saa negatiivisia arvoja, jos sillä on korkeintaan yksi nollakohta, eli yhtälön x + qx q = 0 diskriminantti on nolla tai negatiivinen. D = q 4 1 ( q) = q + 8q q + 8q 0 q + 8q = 0 q(q + 8) = 0 q = 0 tai q = 8 8 q 0 b) Funktio saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, jos tekijällä x + qx q on kaksi nollakohtaa, eli yhtälön x + qx q = 0 diskriminantti on positiivinen. q < 8 tai q > 0

59 47. a) Polynomifunktio voi vaihtaa merkkinsä vain nollakohdissa. Funktion nollakohdat ovat x = 1, x = 0 ja x = 1. Koska se on kolmannen asteen polynomifuntio, sillä ei voi olla muita nollakohtia. Polynomifunktiolla on tällöin tekijät (x + 1), x ja (x 1). Funktion lauseke on muotoa ax(x + 1)( x 1). Valitaan a:n arvoksi 1. Tällöin funktion lauseke on f(x) = x(x + 1)(x 1). Lasketaan funktion arvo väleillä ], 1[ ja ]0, 1[ sekä ] 1, 0[ ja ]1, [ olevissa testikohdissa. f( ) = ( 1) ( 3) = 6 < 0 f(0,5) = 0,5 1,5 ( 0,5) = 0,375 < 0 f( 0,5) = 0,5 0,5 ( 1,5) = 0,375 > 0 f() = 3 1 = 6 > 0 Vaatimus arvojen merkeistä toteutuu, joten jokin ehdot täyttävä funktio on f(x) = x(x + 1)(x 1). b) Kolmannen asteen polynomifunktiolla on ainakin yksi nollakohta. Koska funktio g on positiivinen vain välillä ], [, se vaihtaa merkkinsä kohdassa x =, joka on tällöin funktion g nollakohta. Funktiolla g on tällöin tekijä (x ). Eräs mahdollinen funktion g lauseke on muotoa g(x) = a(x ) 3. Valitaan a = 1. Tällöin g(x) = (x ) 3. Lasketaan funktion g arvo väleillä ], [ ja ], [ olevissa testipisteissä. g(0) = ( ) 3 = 8 < 0. g(3) = 1 3 = 1 > 0 Koska funktion arvon tulee olla positiivinen välillä ], [, tulee kertoimen a olla negatiivinen. Mahdollinen funktion g lauseke on g(x) = (x ) 3.

60 c) Funktio h toteuttaa ehdon h(x) 0 vain välillä x. Muulloin funktion arvo on positiivinen. Funktiolla h on siten tarkalleen kaksi nollakohtaa ix = ja x =. Mahdollinen neljännen asteen funktio on h(x) = x Polynomifunktio h on parillinen polynomifunktio, joka käyttäytyy, kuten toisen asteen polynomifunktio. Funktion h kuvaaja aukeaa ylöspäin ja lauseke on negatiivinen nollakohtien välissä, eli välillä x.

61 473. a) f(x) = x 3 ja g(x) = x 3 x x + 1 f(x) = x 4 ja g(x) = x 4 x f(x) = x 5 ja g(x) = x 5 x 4 + x 3

62 f(x) = x 6 ja g(x) = x 6 x 3 + x Kuvaajien samankaltaisuus johtuu korkeimman asteen termin asteluvusta ja kertoimen merkistä.

63 b) I Parillinen, merkki on positiivinen. Polynomifunktiolla on neljä nollakohtaa, eikä sillä ole muita nollakohtia, joten se on vähintään neljännen asteen polynomifunktio. Koska kuvaajaa nostamalla y-akselin suunnassa, saadaan kuvaajasta sellainen, ettei sillä ole yhtään nollakohtaa, on kyseessä parillisen asteluvun polynomifunktio. Korkeimman asteen termin kertoimen merkki on positiivinen, koska kuvaaja on ylöspäin aukeava, eli käyttäytyy samoin kuin ylöspäin aukeava paraabeli. II Pariton, merkki on positiivinen. Polynomifunktiolla on viisi nollakohtaa, joten se on vähintään viidennen asteen polynomifunktio. Jos kuvaajaa liikutetaan y-akselin suunnassa, on sillä aina ainakin yksi nollakohta, joten kyseessä on parittoman asteluvun polynomifunktio. Korkeimman asteen termin kertoimen merkki on positiivinen, koska kuvaaja on nouseva, eli käyttäytyy samoin kuin nouseva suora.

64 III Parillinen, merkki on negatiivinen. Polynomifunktiolla on kuusi nollakohtaa, eikä sillä ole muita nollakohtia, joten se on vähintään kuudennen asteen polynomifunktio. Koska kuvaajaa laskemalla y-akselin suunnassa, saadaan kuvaajasta sellainen, ettei sillä ole yhtään nollakohtaa, on kyseessä parillisen asteluvun polynomifunktio. Korkeimman asteen termin kertoimen merkki on negatiivinen, koska kuvaaja on alaspäin aukeava, eli käyttäytyy samoin kuin alaspäin aukeava paraabeli.

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot