3 PARTIKKELIN KINETIIKKA

Transkriptio

1 Dnamiikka 3. 3 PRTIKKELIN KINETIIKK 3. Yleiä Newonin II lain mukaan paikkeli jouuu kiihään liikkeeeen, jo iihen aikuaa oimaeemi, joka ei ole aapainoeemi. Paikkelin kineiikaa ukiaan oimaeemin aiheuamia paikkelin liikeilan muuokia. Tällöin aiaan aiikaa ieoja oimaeemin ominaiuukia ja kinemaiikaa ieoja liikkeen geomeiia ominaiuukia. Kineiikan ehäiä akaiaea on mahdollia käää kolmea eilaia lähemiapaa: (a) hödnneään uoaan Newonin II lakia en alkupeäieä muodoa, (b) oelleaan ö ja enegia peiaaea ja (c) käeään impuli ja liikemäää peiaaea. Kullakin lähemiaalla on oma hä puolena eli ne oelua hin ien ppien ehäien akaiemieen. Toiinaan jouduaan hödnämään ueampaakin lähemiapaa akaiun löämieki. Tää luua eiellään näiden kolmen akaiumeneelmän peuominaiuude. 3. Newonin II laki Mekaniikan peulain 5 eli Newonin II lain mukaan paikkeliin aikuaan oiman F ja paikkelin kiihden a älinen he on F = ma (3.) joa m on paikkelin maa. Kaaaa (3.) anoaan mö dnamiikan peuhälöki. Dnamiikan peuhälön mukaan oima anaa paikkelille kiihden, joka on aina oiman kana amaan uunaan. Snän kiihden uuuu on käänäen eannollinen paikkelin maaan m eli miä uuempi maa iä pienempi on kiih. Yhälön (3.) mukaan ekoeilla F ja ma on ama uuuu ja uuna, mua mö ama aikuuuoa. Kun paikkeliin aikuaa amanaikaiei oima F, F, L, Fn, joiden eulani on n R = ja paikkelin aemaekoi on, menee Newonin II laki muooon F i i= R = ma = m& (3.) Kaaa (3.) oidaan eiää mö komponenimuodoa joakin koodinaaioa kääen, jolloin aoapaukea aadaan kaki ja kolmiuloeiea apaukea Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

2 Dnamiikka 3. kolme komponenihälöä. Yhälöä (3.) anoaan paikkelin liikehälöki. Saiikan ehäiä a = & = 0, jolloin puhuaan aaaai paikkelin aapainohälöä. Newonin mekaniikaa oleeaan, eä on olemaa aboluuiea leoa olea koodinaaio, joa kuuaan ineiaalikoodinaaioki. Dnamiikan peuhälö on oimaa ää koodinaaioa. boluuiea leoa oleaa koodinaaioa ei ole löde. Lähinnä ällainen on kiinoähiin kiinnie koodinaaio, jonka uheen kaikki muu koodinaaio oa liikkeeä mukaan lueuna maan pinaan kiinnie koodinaaio. Se pöii maan akelin mpäi, kieää auinkoa maan mukana, kieää auingon mukana linnunadan kekuaa jne., joia liikkeiä aiheuuu kiihkiä. Nämä kiihde oa niin pieniä, eä Newonin II lakia oidaan oelaa iiäällä akkuudella lähellä maan pinaa apahuien mekaniikan ilmiöiden akaeluia. Maan kieoliikkeeä auingon mpäi aiheuuu kiih, jonka uuuu on 0,006m / auinkoon nähden. Maan pöimieä aiheuuu en pinnalla olean koodinaaion oigolle kekeikiih, jonka uuuu päiänaaajalla on noin 0,034m / maan kekipieeeen nähden. Nämä oa pieniä eauna eimekiki puoamikiiheen g = 9,8m / ai muihin eknilliiä oellukia eiiniin kiihkiin, joen maahan kiinnien koodinaaion piäminen kiineänä ei aiheua leenä liian uuia iheiä. Takempaa auinkoon ai auinkokunnan maakekiöön kiinnieä koodinaaioa aiaan kuienkin eimekiki aauulenoihin ja planeeojen liikkeiiin liiiä akaeluia. Kohdaa.7 nähiin, eä dnamiikan peulaki (3.) on oimaa mö kiineään koodinaaioon nähden aaiella nopeudella anlaaioa oleaa koodinaaioa. Dnamiikan peulaki ei en ijaan ole Z X Y m R = / el oimaa kiihää liikkeeä oleaa koodinaaioa. Joiakin oellukia, kuen eimekiki oboimekaniikan ehäiä, on helpompaa päää akaiuun käämällä apuna kiineän koodinaaion uheen liikkuaa koodinaaioa. Yleieä apaukea liikkuan koodinaaion liike oi iälää ekä anlaaioa eä oaaioa. Tää kohdaa akaellaan ain anlaaioa oleaa koodinaaioa, oaaioa ukiaan möhemmin jäkän kappaleen kinemaiikan hedeä. Taoieena on eliää, mihin muooon Newonin II laki (3.) menee anlaaioliikkeeä oleaa koodinaaioa. Kua 3. Suheellinen liike. Tukiaan kuan 3. paikkelia. Sen liikeä haaiaan -koodinaaioa, joka on anlaaioliikkeeä kiineään XYZ-koodinaaioon nähden. Koodinaaiojen ainakeli pä ii hdenuunaiina liikkeen aikana. -koodinaaion oigon kiih on a = &. Paikkelin kiih Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

3 Dnamiikka 3.3 -koodinaaioa haaiuna on a el = a / = & /, joen kaaan (.8) peueella paikkelin kiih XYZ-koodinaaioa on a = a + a (3.3) el Koka paikkeliin aikuaien oimien eulani R ei iipu käeäää koodinaaioa, ulee Newonin II laia paikkelin liikehälöki R = ma = m(a + a ) (3.4) el Newonin II laki ei ole oimaa kiihää liikkeeä oleaa koodinaaioa, koka R ma. el Liikkuan koodinaaion eä käöapa johaa n. hiauoimapeiaaeeeen, joa uein kuuaan mö d lembein peiaaeeki. Takaellaan ää kuaa 3. eien aoapauken aulla. Kun paikkelin liikeä ukiaan kiineää XY-koodinaaioa, päee liikehälö R = ma paikkelin aboluuielle kiihdelle a. Jo aa liikeä ukiaan liikkuaa -koodinaaioa, jonka oigoa keinen paikkeli ijaiee, näää paikkeli olean leoa eli e on aapainoa koodinaaioa. -koodinaaion mukana liikkua haaiija ulkiee ii, eä paikkeliin aikuaa oima ma, joka hdeä eulanin R kana Y a Y a ma piää paikkelin m m aapainoa. Tulkiemalla näin dnamiikan ehää R R (a) (b) oidaan muunaa aiikan ehääki, X X jolloin aapainoehään kaikki akaiumeneelmä Kua 3. Hiauoimapeiaae. oa käeäiä. Käännöä ämä mekiee iä, eä liikehälö R = ma kijoieaan muooon R ma = 0, miä emi ma ulkiaan oimaki. Temiä ma anoaan hiauoimaki ja paikkelin anoaan olean dnaamiea aapainoa. Hiauoimapeiaae ni aikana, jolloin kokemuke dnamiikan ilmiöiä olia ähäie ja oli äkeää kkeä akaelu unneumpaan aiikan eoiaan. Hiauoimapeiaaeen heikkou on, eä iinä eiin kuieellinen hiauoima eli oima, joa ei ole olemaa. Tämä aiheuaa ainkin aa-alkajan kohdalla paljon ekaannua. Toiaala kokenu dnamiikan oelaja hö ähän hiauoimapeiaaeea. n uoielaampaa ouella kijoiamaan paikkelille liikehälö dnaamien aapainohälöiden aemaa. Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

4 Dnamiikka 3.4 Ennen uoa 905 Newonin mekaniikka oli odieu uuella akkuudella paikkanapiääki lukemaomilla käännön kokeilla ja iä pideiin kappaleiden liikkeiden lopulliena elikenä. Newonin mekaniikan heikoki kohdaki ooiauui oleu aauuden ja ajan aboluuiuudea. Einein ulkii nämä aian uudella aalla uonna 905 ja kehii mekaniikan eoian älä pohjala. Eineinin eiämää uheelliuueoiaa mone piiä aluki iheellienä, mua e ai möhemmin kokeelliia amiukia ja iiä uli leiei häk. Suheelliuueoian peiaaee eoaa Newonin mekaniikaa ieilä oilaan peueelliei. Käännöä Newonin ja Eineinin eoioiden anama uloke eoaa mekiääi oiiaan aa, kun akaelaa nopeude oa lähellä alon hjiönopeua. Tää euaa, eä eknilliiä oellukia Newonin mekaniikka on hä äin käökelpoinen. Kineiikaa liikehälöä (3.) käeään akaelaan mekaanien eemin joidenkin unemaomien uueiden akaiemieen. Paikkelin kineiikan ehää oidaan jakaa kolmeen pääppiin euaaai. (a) Kiih a unneaan ai oidaan lakea kinemaiikalla. Vaaaa paikkelin aikuaa oima ja en komponeni aadaan ijoiamalla kiih liikehälöön. (b) Tunneaan paikkeliin aikuaa oimaeulani ja ii en komponeni ja ehäänä on lakea euaukena olea liike. Jo liikkeellä ei ole ennala aeeuja ajoiukia, niin keeä on apaa liike. Mikäli oimaeulani on akio, on kiihkin akio ja e aadaan liikehälöä. Kiihden ollea akio paikkelin nopeu ja aema akeaa helpoi kinemaiikan aulla, kun alkuaema ja -nopeu unneaan. Jo aa oima oa ajan, aeman, nopeuden ai kiihden funkioia, ulee liikehälöä diffeeniaalihälö, joka on inegoiaa paikkelin kinemaaiia uueia määieäeä. Tällaie ehää oa hankalampia ainkin, jo oima oa uean muuujan funkioia. n elää, eä kohdaa. eiejä analiiä inegoiniapaukia (a)-(d) oidaan käää häki mö ää. (c) Paikkeliin aikuaia oimia unneaan ain oa eli akiiie oima. Paikkelin aa on joillakin jäjeelillä eukäeen joko äin ai oiain määä. Tehäänä on akaia, mien paikkeli liikkuu anneujen ajoiuen puieia ja mikä oa iihen aikuaa ennala unemaoma eakiooima. Tällöin keeä on paikkelin idou liike. Liikehälön (3.) aemmalla puolella on paikkeliin aikuaien oimien umma. Käännön oellukia ämän umman kijoiaminen ujuu pahaien, kun paikkeliin aikuaa oima eieään apaakappalekuan aulla, kuen aiikan aapainohälöiden hedeä ehiin. Liikehälöiä kijoieaea apaakappalekuaan mekiään mö kiihden unneu ai oleeu uuna, joa oidaan hödnää liikehälön oikeaa puola kijoieaea. Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

5 Dnamiikka Suoaiiainen liike Suoaiiaia liikeä kannaaa käiellä -koodinaaioa. Jo liikeuunnaki aliaan -akelin uuna, oa kiihden a komponeni - ja -akelin uunnia nollia. Liikehälö (3.) oidaan ällöin eiää komponenimuodoa R = ma R = 0 R 0 (3.5) = Jo liikeuunaa ei joain ä oida alia koodinaaiakelin uunaieki, oa uoaiiaien liikkeen liikehälö leieä komponenimuodoa R = ma R = ma R = ma (3.6) Edellä on käe mekinöjä a = a i + a j + a k ja R = R i + R j + R k. 3.4 Kääiiainen liike Kääiiaien liikkeen liikehälö (3.) oidaan kijoiaa ei koodinaaioia kohdia eiejen kaaojen aulla. Käeään koodinaaion alina iippuu käillä olean ehään luoneea ja e aikuaa mekiääi ehään akaiuun. Seuaaaa on eie kääiiaien aoliikkeen liikehälö -koodinaaioa, n-koodinaaioa ja napakoodinaaioa. -koodinaaio: R = ma = m & R = ma = m & (3.7) n-koodinaaio: R = ma = m& Rn = man = m / ρ (3.8) Napakoodinaaio: R = ma = m( & θ& ) R = ma = m( && θ θ θ + & θ& ) (3.9) 3.5 Paikkelin ölaue Edellä paikkelin kineiikan ehään akaiu peuui uoaan liikehälöiden akaiemieen. Tällöin nopeu ja aema on lakeaa inegoimalla kiihden lauekkeea. Toiinaan haluaan lakea ain paikkelin aema ai nopeu ienä ajan hekenä. Näiä apaukia ajaellen inegoini on hödlliä uoiaa leieä liikeh- Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

6 Dnamiikka 3.6 älöä lähien. Tällöin aadaan leinen ulo, joa oelaen akaiu ulee lhemmäki. Kun paikkeliin aikuaia oimaeulani unneaan aeman funkiona, inegoimalla liikehälö aeman uheen aadaan ulo, joa anoaan ölaueeki. Kun oiman F aikuupie joain ä ii makan d, on oiman ekemä ö määielmän mukaan kalaai dw = F d kuan 3.3 mukaiei. Pieulon määielmän mukaan on edelleen dw = Fdcoα, miä α on ekoeiden F ja d älinen kulma ja d = d. Tämä oidaan ulkia niin, eä oiman ekemä F d F F α ö on iimän d n d uuuu d keouna oi- α α man iimän uunaiella komponenilla F = F co α d co α Raakää F coα. Toinen mahdolliuu on ulkia, eä ö on oiman F Kua 3.3 Voiman ekemä ö. uuuu F keouna iimän oiman uunaiella komponenilla d coα. Näiä ulkinoja on haainnollieu kuaa 3.3. Huomaakoon ielä, eä iimää d aaan kohiuoa oimakomponeni F n = Finα ei ee öä. Tö on poiiiinen, jo komponeni F = Fcoα ja iimä d oa amanuun- aie, mua negaiiinen niiden ollea aakkaiuunaie. Kun oiman F aikuupie ii pikin paikkelin aakäää aemaa = aemaan =, on oiman ekemä ö W = F d = (F d + F d + F d ) = F d (3.0) jolloin on meki F = F i + F j + F k ja d = d i + d j + dk. Kaaan (3.0) inegaali oidaan lakea, kun oimakomponenien iippuuu iimiä unneaan. Jo F on akio koko iimän makan, on W = F d = F ( ) = F Δ (3.) joa Δ on aakäää pikin kuljeu maka. Taalliin eimekki muuuan oiman ekemää öä on jouioiman ekemä ö. Takaellaan kuan 3.4 aulla öä, jonka muuua jouioima F ekee paikkeliin M, kun e joain ä liikkuu. Jouen oleeaan käään amalla aalla eo- ja puiupuolella ja noudaaan lineaaien jouen hälöä F = k. Kuaa 3.4 nähdään, eä kummaakin apaukea iimän kaaea paikkeliin aikuaa oima F on aakkaiuunainen Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

7 Dnamiikka 3.7 Veo k Jouen lepopiuu M iimälle eli paikkeliin M eh ö on negaiiinen. Kun jouen iimä kaaa aoa aoon, on paikkeliin M ehdn ön laueke Puiu k F M M W W = = Fd k d = k( ) (3.) Jo jouen iimä pienenee aoa aoon, oa F ja amanuunaie ja paikkeliin M eh ö on poiiiinen. Tön ieiao on molemmia ilaneia F kuaan iioieun pinnan ala. Jouen hälö F = k päee akai oaen ain aaiea ilaneea, jolloin Kua 3.4 Jouioiman ekemä ö. jouella ei ole kiihä. Jouen dnaamien käämien akka käiel on melko hankalaa, eikä iihen ää hdä. Jo jouen maa on pieni eemin muihin maoihin eauna, ei aaien jouihälön käö aiheua uua iheä. Koneen ehokkuua kuaa nopeu, jolla e kkenee ekemään öä ai luouamaan enegiaa. Koneen eho P on en ekemä ö aikakikköä kohi. Jo oima F ekee ön dw, on en kehiämä eho dw d d P = = (F d ) = F = F (3.3) d d d Teho on kalaaiuue. Koneen höuhde η on F F M k Pu η = (3.4) P miä P u on koneea aau eho ja P koneeeen uou eho. n elää, eä enegiahäiöiden akia on aina η <. Takaellaan pikin mielialaia aakäää liikkuaa paikkelia (maa m) ja iihen aikuaaa oimaa F kuan 3.5 mukaiei. Paikkelin paikkaekoi on ja e muuuu ajaa d määän d. Voiman F ekemä ö ämän iimän aikana on dw = F d. Paikkelin liikkuea aemaa aemaan ekee oima F ön Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

8 Dnamiikka 3.8 d n F n m F F Raakää W = F d = F d (3.5) Kun oeaan huomioon Newonin II laki F = ma, aadaan W = F d = ma d (3.6) W = F d = m d = Kua 3.5 Tölaue. m( ) Kaaaa (3.6) on joa a d = a d, a on kiihden angeniaalinen komponeni ja d ekoin d piuu. Enegiadiffeeniaalihälön (.3) mukaan on oimaa a d = d, joa euaa (3.7) Kaaaa (3.7) ja oa paikkelin nopeude kohdia ja. Paikkelin liike-enegia T määiellään kaaalla T = m (3.8) Liike-enegia T on hä uui kuin ö, joka on ehää, joa paikkeli aaaiiin leoa liikkumaan nopeudella. Liike-enegia on kalaai ja aina poiiiinen nopeuden uunnaa iippumaa. Tulo (3.7) oidaan kijoiaa liike-enegian aulla muooon W = ΔT = m( ) (3.9) joa anoaan paikkelin ölaueeki. Tölaueen mukaan paikkeliin aikuaien oimien kokonaiö iellä aikaälillä ilmenee paikkelin liike-enegian muuokena. Tölaueen aihoehoinen eimuoo on T + = (3.0) W T joa T on liike-enegia aikaälin alua ja T lopua. Tölauea käeäeä ei kiihä aie lakea ollenkaan, illä e anaa uoaan nopeuden muuoken oimien ekemän ön aulla. Tölaueea eiinä ain oima, joka ekeä öä aiheuaen näin nopeuden muuokia. Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

9 Dnamiikka 3.9 Paii paikkelille ölaue (3.9) on oimaa mö uean paikkelin eemille, joa paikkeli on hdie oiiina kikaomilla ja jäkillä kkennöillä. Tällöin eemin iäien oimien ö on oiman ja aaoiman peiaaeen nojalla nolla ja ölaueeeen ulee ain eemin kannala ulkoien oimien ö. Liike-enegian muuo Δ T on ällöin eemin kaikkien paikkeleiden liike-enegian muuoen umma. Tölaueella oidaan näin ollen käiellä edellä kuaua paikkelieemiä kokonaiuuena hajoamaa iä oiin. 3.6 Poeniaalienegia Tölaueea (3.9) on öemiä W mukana kaikkien paikkeliin ai jäkkään paikkelieemiin aikuaien ulkoien oimien ekemä ö. Painooiman ja jouen oiman ekemä ö oidaan oaa jonkin ean helpommin huomioon poeniaalienegian aulla, jolloin ölaue menee hieman oieen auun. Takaellaan enin painooiman aikuua. Jo keeä on lähellä maan pinaa apahua liike, on paikkelin painooima mg lähe akio. Kun paikkeli ii aola h = h aolle h = h, on painooiman ekemä ö V g = mgh h mg V g = 0 Kua 3.6 Poeniaalienegia. = mg(h h ) = mg Δh (3.) Wg Gaiaaiopoeniaalienegia määiellään kaaalla V g = mgh (3.) ja e on ö, joka paikkeliin on ehää, joa e nouii makan h eailuaon läpuolelle. Veailuaoa V g = 0. Kuaa 3.6 on haainnollieu poeniaalienegiaa. Kun paikkeli ii aola h = h aolle h = h, on poeniaalienegian muuo Δ = mg(h h ) = mgδh (3.3) Vg joen painooiman ekemä ö on poeniaalienegian muuoken aaluku. Kun akaellaan uuia kokeuden muuokia maan eooimakenää, on painooima Newonin IV lain mukainen F = γ mme / = mgr /, joka ei ole akio. Kun paikkelin eäi muuuu aoa aoon, ekee painooima ön W g = mgr d = mgr (3.4) Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

10 Dnamiikka 3.0 me F Maa m R Kua 3.5 Poeniaalienegia. Gaiaaiopoeniaalienegia määiellään kaaalla V g = mgr / (3.5) jolloin V g = 0, kun =. Kun paikkeli ii eäidelä = eäidelle =, on poeniaalienegian muuo ΔV g = mgr (3.6) joka on jälleen painooiman ekemän ön aaluku. Poeniaalienegia iippuu ain paikkelin aemaa h ai, mua ei ieä, joa pikin keieen aemaan on ulu. Tukiaan ien lineaaien jouen oiman paikkeliin ekemää öä. Jouen piuuden muuamieki eh ö aaoiuu jouen poeniaalienegiaki V e, joa anoaan mö kimmoenegiaki. Jouen kimmoenegia on määielmän mukaan V e = k (3.7) Jouen piuuden muuoken muuuea aoa aoon on en kimmoenegian muuo Δ Ve = k( ) (3.8) Kaaoia (3.) ja (3.8) näk, eä jouioiman paikkeliin ekemä ö on kimmoenegian muuoken aaluku. Kun painooiman ja jouen oiman ekemä ö oeaan huomioon poeniaalienegian ja kimmoenegian aulla, oidaan ölaue (3.9) kijoiaa muooon ' ( Δ V ) + ( ΔV ) = T W + g e Δ (3.9) joa ' W iälää muiden ulkoien oimien ö. Tulo (3.9) menee muooon W ' = ΔT + ΔVg + ΔVe (3.30) Tölaue on muodoa (3.30) helppokäöiempi, koka Δ ja Δ Ve oidaan lakea pelkäään eemin alku- ja loppuilojen aulla, kun aa aaaien öiden lakemiea jouduaan oamaan huomioon paikkelin liikeaa. Vg Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

11 Dnamiikka 3. Tölaue (3.30) oidaan ielä kijoiaa muooon joa ' W = Δ ( T + Vg + Ve ) = ΔE (3.3) E = T + V g + V on paikkelin ja iihen liiien jouien mekaaninen enegia. e Jo painooima, jouioima ja öä ekemäömä ukioima oa eemin ainoa oima, on ö 0. Tällöin on oimaa W ' = Δ E = 0 E = akio (3.3) joa anoaan mekaanien enegian äilmien laiki. 3.7 Paikkelin impulilauee Kun paikkelin liikehälö ja iiä aaaa momeniliikehälö inegoidaan ajan uheen, aadaan impulilauee. Impulilaueia oidaan käää häki eiiei ehäiä, joia oima unneaan ajan funkiona Voiman impulilaue Takaellaan paikkelin liikeä kuan 3.6 aulla. Paikkelin paikkaekoi on ja nopeuekoi on aakään angenin uunaan. Paikkeliin aikuaien oimien eulani R on amaan uunaan kuin kiih a. Kun R p maa m on akio, liikehälö = & (3.) menee muooon = & m d R = m& = ( m ) d p & Tulo (3.33) oidaan laiaa muooon hekeen, jolloin euaa Kua 3.6 Impulilaue. = Raakää R = p & (3.33) Suuea p = m anoaan paikkelin liikemäääki. Yhälön (3.33) mukaan paikkeliin aikuaien oimien eulani on hä uui kuin en liikemäään muuonopeu. Rd = dp ja inegoida ajan uheen hekeä Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

12 Dnamiikka 3. R d = p p (3.34) joa p = m on liikemäää hekellä ja p = m liikemäää hekellä. Yhälön (3.34) aemmalla puolella oleaa uuea I R = Rd (3.35) anoaan paikkeliin aikuaan oimaeulanin R impuliki aikaälillä [, ] Jo eulani R on akio aikaälillä [, ], ulee impulin lauekkeeki IR = R( ) = R Δ. (3.36) Tuloa (3.34) anoaan oiman impulilaueeki. Sen mukaan paikkeliin aikuaan oimaeulanin impuli iellä aikaälillä on hä uui kuin paikkelin liikemäään muuo ällä aikaälillä. Jo oimaeulanin impuli = 0 aikaälillä [, ], euaa kaaaa (3.3) I R p = 0 Δ p = 0 (3.37) p jolloin paikkelin liikemäää äil ällä aikaälillä. n mö mahdollia, eä liikemäää äil ain joakin koodinaaiuunnaa Momenin impulilaue L = m T Raakää Kua 3.7 Liikemäään momeni. P m θ Kuaa 3.7 on eie paikkeli P, joka liikkuu pikin mielialaia aakäää. Paikkelin paikkaekoi kiineän pieen uheen on, nopeuekoi ja liikemäää p = m. Paikkelin liikemäään momeni L pieen uheen on määielmän mukaan L = m = p (3.38) L on ekoi, joka on kohiuoaa ekoeiden ja määäämää aoa T aaan kuan 3.7 mukaiei. Riiulon määielmän Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

13 Dnamiikka 3.3 Paikkeliin aikuaien oimien eulanin R momeni M määielmän mukaan L M T = m inθ in θ P m Kua 3.8 Liikemäään momeni. θ θ mukaan ekoin L piuu on L = m inθ, joa on haainnollieu kuaa 3.8 akaelemalla ilannea aoa T. Liikemäään momenin uuuu oidaan kijoiaa muooon L = m d, joa m on liikemäään uuuu ja d = inθ en momeniai. Taodnamiikan ehäiä liikemään momenin uuuu ja uuna oidaan näin ollen akaia amalla peiaaeella kuin aiikaa oiman momenin uuuu ja uuna. pieen uheen on = R = m & (3.39) joa on käe häki Newonin II lakia. Deioidaan kaaa (3.38) puoliain ajan uheen, jolloin euaa ulo & L = & m + m& = m & (3.40) illä & = ja m = 0. Kaaoia (3.39) ja (3.40) näk ulo & M = L (3.4) jonka mukaan paikkeliin aikuaan oimaeulanin momeni kiineän pieen uheen on hä uui kuin en pieen uheen lakeun liikemäään momenin muuonopeu. d = dl ja inegoida ajan uheen he- Kaaa (3.4) oidaan laiaa muooon M keä hekeen, jolloin euaa ulo M d = L L (3.4) joa L = m on liikemäään momeni hekellä ja L = m liikemäään momeni hekellä. Yhälön (3.4) aemmalla puolella oleaa uuea Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki

14 Dnamiikka 3.4 I M = M d on akio aikaä- anoaan momenin impuliki aikaälillä [, ]. Jo momeni M lillä [, ], ulee momenin impulin lauekkeeki I M = M ( ) = M Δ (3.43) (3.44) Tuloa (3.4) anoaan momenin impulilaueeki. Sen mukaan momenin impuli iellä aikaälillä on hä uui kuin paikkelin liikemäään momenin muuo ällä aikaälillä. Jo momenin impuli = 0 aikaälillä [, ], euaa kaaaa (3.4) ulo L I M L = 0 ΔL = 0 (3.45) jolloin paikkelin liikemäään momeni äil ällä aikaälillä. Liikemäään momeni oi mö äilä ainoaaan jonkin kiäien akelin uheen. Liikemäään ja en momenin äilmien älillä ei ole miään leiä heä, oinen niiä oi äilä, aikka oinen ei äilkään. Paikkelin kineiikka Mai Läheenmäki