PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA
|
|
- Emilia Laakso
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA Tieokonesimulaaio ja siihen liiyä kokeellinen ukimus Joosa Kurinen ja Heidi Juuinen Mikkelin Lyseon lukio ysiikka
2 TIIVISTELMÄ Viksu-iedekilpailuprojekimme aiheena on ieokonesimulaaio, joka simuloi kappaleen, lähinnä pallon, puoamisa ilman halki eeen. Simulaaiossa kaikkia kappaleeseen ja ympärisöön liiyiä ominaisuuksia oi muuaa apaasi, ieyin kokeellisen osuuden aseamin rajoiuksin. Joa simulaaio pysyy laskemaan kappaleen liikkeen, on iedeää, miä oimia kappaleeseen aikuaa ja kuinka näiden oimien suuruude saadaan laskeua. Kun pallo on kokonaan ilmassa ai kokonaan edessä, ei ongelmaa ole. Silloin pysymme laskemaan palloon aikuaa oima almiilla kaaoilla. Ongelma, joa yössämme ukimme, synyy silloin, kun pallo örmää eeen eli on osiain ilmassa ja osiain edessä. Silloin ei iedeä, kuinka suuri äliaineen asus ilman- ja edenasuksisa muodosuu. Toisaala myös eden pinajänniyksen aikuus örmäyksessä on unemaon. Koska ilmiö on hyin monimukainen, oi olla, eä kappaleeseen aikuaa lisäksi myös joku meille unemaon oima. Kilpailuyömme kokeelliseksi osuudeksi jääkin seliää, mien örmäyksen aikana aikuaa oima laskeaan. Pyrimme muodosamaan mallin, jolla saadaan laskeua nopeuden suunnalle asakkainen kokonaisoima örmäyksen aikana. Tällöin oimien eroelu ei ole enää älämäönä. Koska asusaa oima ei oleeaasi ole akio koko örmäyksen ajan, on meidän helpoeaa ilannea niin, eä yriämme luoda mallin, jolla saadaan laskeuksi keskimääräinen asusaa oima. Tukimusuloksemme pohjauua omiin miausuloksiimme. Olemme kerännee laajan aineison kokeellisa ieoa pudoamalla pallon noin 00 keraa eeen. Näisä noin 00 oli onnisuneia miauksia. Olemme kokeillee erilaisia muuujia, kuen örmäysnopeus, massa, ilauus, säde, ja kasonee, kuinka ne oa aikuanee asusaan oiman suuruueen. Tulokse olemme kerännee aulukoiksi ja kuaajiksi, joiden aulla yhälön muodosaminen on suorieu. Tukimusulosemme mukaan keskimääräinen asusaa oima örmäyksen aikana saadaan laskeua yhälösä: 3 ( ) ( ) J a + b + c dr + er + fr jossa : J,378 a 0, b 0, c 0, d 84, 7365 e 504, 74 f 7, Jakoukimuksille olisi kuienkin area monilla osa-alueilla, joa simulaaion ja örmäykseen liiyän mallin luoeauus ja yleiseäyys paranisia. - -
3 SISÄLLYSLUETTELO: JOHDANTO TEORIA TYÖN TAUSTALLA AINEISTO JA MENETELMÄT MITTAUSTULOSTEN KÄSITTELY JA LOPULLISET TULOKSET TULOSTEN TARKASTELU Tukimusulosen hyödyllisyys ja käyömahdollisuude Virheiden ja epäarkkuusekijöiden arioini JATKOTUTKIMUKSEN AIHEET LÄHDELUETTELO LIITTEET
4 JOHDANTO Idea simulaaiosa sai alkunsa syksyllä 005 kun haluiin kokeilla oisiko pelkän fysiikan ensimmäisen kurssin ieojen sekä ilmaisen Gamemaker-ohjelman aulla simuloida joain apahumaa. Pääeiin yriää luoda simulaaio, joka simuloisi ihmisen puoamisa eeen. Näin ollen sillä oiaisiin ukia esimerkiksi mien syä alaan piää olla, joa ihminen ei osuisi pohjaan sinne hypäessään. Ensimmäisen kurssin iedo eiä kuienkaan ollee riiään laaja, joen projeki keskeyeiin oisaiseksi. Siä pääeiin jakaa uudelleen keäällä 006 sekä syksyllä 006 ensimmäisen mekaniikan kurssin yheydessä. Silloin myös luouiin ihmisen käyämisesä kappaleena, sillä ihmisen muoo ja iheysjakauma olisi ollu aian liian monimukainen. Ihminen koraiin kolmella säännöllisellä kappaleella: pallolla, kuuiolla ja lieriöllä. Nähyään simulaaion opeaja ehdoi simulaaion kehiämisä eeenpäin iksuyönä. Toesimme, eä simulaaio oimii melko luoeaasi silloin kun kappale on joko kokonaan ilmassa ai edessä. Silloin kappaleeseen aikuaa oima (painooima, äliaineenasus ja nose) saadaan laskeua yleisesi unneujen lukion oppimäärään kuuluien kaaojen aulla. Sen sijaan kun kappale on osiain ilmassa ja osiain edessä eli kappaleen ja eden älisen örmäyksen aikana, emme oinee laskea kappaleeseen kohdisuia oimia luoeaasi. Pääimme yriää rakaisa ongelman kokeellisilla ukimuksilla. Koska arioimme yön eriäin haasaaksi, yriimme yksinkeraisaa siä hieman ukimalla ainoasaan keskimääräisä asusaaa oimaa. Silloin kokonaisoima muodosuisi siiä ja painooimasa. Tässä aiheessa luouimme myös ylimääräisisä kappaleiden muodoisa ja jäimme simulaaioon ain pallon. Yriimme miaa asusaaa oimaa käyäen monenlaisia meneelmiä, mua emme löyänee oimiaa ennen kuin alkuuodesa 007, jolloin päädyimme käyämään kiihyyysanuria ja aloporia. Tukimme eri muuujien aikuusa asusaaan oimaan yksi kerrallaan. Näisä saimme yhälö, joka osoiia oiman errannollisuuden ähän muuujaan muiden muuujien pysyessä akiona. Lopuksi yriimme yhdisää nämä yhälö ja saimme kaaan joka anaa uloksena keskimääräisen asusaan oiman siihen syöeyillä muuujien aroilla. Tää kaaaa käyimme sien simulaaiossa
5 TEORIA TYÖN TAUSTALLA Tarkasellaan kappaleeseen aikuaia oimia sen ollessa kokonaan ilmassa ai edessä. Tällöin kappaleeseen aikuaa painooima (maan eooima), äliaineen aiheuama nose sekä äliaineen asus. Näiden oimien suuruude oidaan laskea käyämällä mekaniikan peruslakeja. G Painooima N Nose (ympäröiän ilman ai eden aiheuama) d Väliaineen asus (ilman ai eden aiheuama) Kua : Voimakuio kappaleen ollessa kokonaan ilmassa ai edessä Tarkasellaan seuraaaksi kappaleeseen aikuaia oimia örmäyksen aikana eli pallon ollessa osiain edessä. Kappaleeseen aikuaa edelleen painooima, nose ja äliaineen asus. Painooima pysyy akiona, mua noseen ja äliaineenasuksen laskeminen mekaniikan perusyhälöisä johdeuilla kaaoilla ei ole luoeaaa. Lisäksi palloon aikuaa ainakin pinajänniyksen aiheuama oima, jonka suuruua emme pysy laskemaan. Palloon saaaa myös aikuaa joku äysin unemaon oima. G Painooima N Nose (ympäröiän ilman ja eden aiheuama) d Väliaineen asus (ilman ja eden aiheuama) γ Pinajänniyksen aiheuama oima? Mahdollinen unemaon oima Kua : Voimakuio kappaleen ollessa osiain edessä (örmäyksen aikana) Yhdisämällä kaikki nopeuden suunaa asaan olea oima yhdeksi asusaaksi oimaksi saamme yksinkeraiseua ilannea niin, eä oimme läheä kokeellisesi esimään mallia, jolla - 4 -
6 ämä oima oiaisiin laskea. Jos saamme miaua nopeuden muuoksen örmäyksen aikana sekä siihen kuluneen ajan ja iedämme kappaleen massan, oimme laskea näisä keskimääräisen asusaan oiman, joka aikuaa örmäyksen aikana. G Painooima Vasusaa oima Kua 3: Voimakuio kappaleen ollessa osiain edessä (örmäyksen aikana) Seuraaaksi esielemme yhälö, joihin simulaaion laskennallinen oimina perusuu. Poikkipina-ala (pallo): A π r Jossa : r pallon säde Tilauus (pallo): 3 4 π r V 3 Jossa : r pallon säde Kappaleen massa: m ρ Jossa : kappale ρ V kappale kappaleen iheys V kappaleen ilauus Painooima: G mg Jossa: m massa g puoamiskiihyyys - 5 -
7 Väliaineen asus (Newonin asuslaki): äliaine A d cwρ Jossa : c w muookerroin A poikkipina ala ρ äliaine nopeus äliaineen iheys Väliaineen asuksen muookerroin (pallo): c w 0,47 Re > 000 Hyin pienillä Reynoldin luun aroilla äliaineen asuksen muookerroin ei ole akio, aan seuraaalla aalla Reynoldin luusa riippuainen: c w 0,44 4 Re 4 Re + 4 Re 500 0,687 ( + 0,5 Re ) 3 6 Re+ Re < 0, < Re Re < 500 Re ln ( Re) 0, Re < Lähde: Hämeri, K Luenomuisiinpano, Hiukkasen suoraiiainen liike. Reynoldin luku: ρ Re μ jossa : äliaine äliaine ρ μ d äliaine äliaine äliaineen iheys nopeus d pallon halkaisija 6 7,4 0 ilmalle äliaineen iskosieei 3,000 0 edelle Lähde: Lai, T., LaBeu, K., Marin, K. & Silley, B Golf Ball Projecile Moion Projec. Nose (Arkhimedeen laki): N ρ Jossa : ympäröiä aine ρ gv ympäröiä aine ympäröiän aineen iheys g puoamiskiihyyys V kappaleen ilauus - 6 -
8 Lisäy massa (pallolle): m added Jossa : πr 3 ρäliaine Vρ 3 r pallon säde ρ äliaine äliaine äliaineen iheys V pallon ilauus Lisäy massa jäeään huomioa örmäyksen aikana. Lähde: <hp://en.wikipedia.org/wiki/added_mass> Veden aaloliikkeen aikuus Veden aaloliike ja roiskuminen uo asiaan monimukaisuua omala osalaan, mua se jäeään huomioa ja oleeaan, eä sen aikuus sisälyy keskimääräiseen asusaaan oimaan, joka selieään kokeellisesi. Newonin II lain mukainen liikeyhälö (kappaleen ollessa kokonaan ilmassa ai edessä): kokonaiso ima G + d + N ( m + madded )a Laskujen aikaäli pyriään piämään niin pienenä, eä oima oidaan oleaa likimain akioksi. Newonin II lain mukainen liikeyhälö (örmäyksen aikana): kokonaiso ima G + ma Painooima on akio, joen kun käyeään keskimääräisä asusaaa oimaa, säilyy kokonaisoima akiona. Keskimääräisen asusaan oiman käyö johaa irheeseen örmäyksen aikana, mua irhe asoiuu örmäyksen pääymiseen mennessä. Kiihyyys: Liikeyhälöisä saadaan kiihyyydeksi: a Jossa : kokonaisoima m kokonaisoima m massa kappaleeseen aikuaa kokonaisoima ( örmäyksen aikana) ai m massan ja lisäyn massan summa ( muulloin) - 7 -
9 Maka asaisessa kiihyyydessä: s s a Jossa : s uusi eäisyys nollaasosa ( eden pinnasa) s 0 0 edellinen eäisyys nollaasosa ( eden pinnasa) nopeus kyseisen aikaälin alussa a kiihyyys aikaälin laskuja sekunnissa piuus Aikaäli pyriään piämään niin pienenä, eä kiihyyys oidaan oleaa likimain asaiseksi. Nopeus asaisessa kiihyyydessä: Jossa + a 0 : uusi nopeus 0 edellinen nopeus aikaälin piuus laskuja sekunnissa a kiihyyys Aikaäli pyriään piämään niin pienenä, eä kiihyyys oidaan oleaa likimain asaiseksi. Poeniaalienergia: E P mgh Jossa : E p poeniaalienergia kyseisen aikaälin lopussa m massa g puoamiskiihyyys h korkeus nollaasosa ( eden pinnasa) Liike-energia: Ekin m Jossa : E kin kineeinen energia kyseisen aikaälin lopussa m massa nopeus Liikemäärä: p m Jossa : m massa nopeus - 8 -
10 Ympäröiä paine (pallon keskipiseen korkeudella): s + r p pilma + phydrosaainen 0300Pa 00Pa + ρ 8m Jossa : p kokonaispaine kyseisen aikaälin lopussa s eäisyys edenpinnasa, pallon pohjaan kun s > 0, muulloin s 0 r pallon säde h syyys ρ esi eden iheys esi ( edenpinnasa, pallon keskikohaan) gh s r ai s 0 s + r, kun s < r, muulloin h 0 Wikipedian arikkelin mukaan: Ilmanpaine laskee nousaessa korkeammalle merenpinnan asola. Maanpinnan läheisissä ilmakerroksissa 8 merin nousu korkeussuunnassa merkisee noin hpa ( mbar) ähennysä ilmanpaineessa. Joen kun normaali ilmanpaine on noin,03 bar 0300 Pa, niin ilmanpaine korkeudessa s on 0300Pa s 00Pa. Koska eäisyys s laskeaan pallon 8m pohjasa edenpinaan, äyyy siihen lisää pallon säde r, joa saadaan paine pallon keskikohdassa. Lähde: <hp://fi.wikipedia.org/wiki/ilmanpaine> Paineen muuosnopeus (pallon keskipiseen korkeudella): p muuosnopeus Jossa : Δp Δ p muuosnopeus p paine p p0 s r ai s 0 Δ paineen keskimääräinen muuosnopeus aikaälillä p 0 edellinen paine Δ aikaälin piuus laskuja sekunnissa AINEISTO JA MENETELMÄT Tukimuksemme on kokeellinen, joen ulokse pohjauua omiin miausuloksiimme. Työmme arkoius on ukia keskimääräisä asusaaa oimaa pallon örmäessä eeen. Miauksia aren rakensimme elineen, jonka aulla pysyimme pudoamaan palloa eeen ja miaamaan eri muuujien aroilla synyän keskimääräisen asusaan oiman kiihyyyden kaua. Käyimme poikkipina-alalaan erikokoisia palloja. Pallon kiinniimme pikaliiman ja eipin aulla pikään ja melko ohueen mealliankoon, niin eä mealliangon pää oli pallon sisällä. Näin ollen - 9 -
11 pallo pysyi ukeasi paikoillaan myös örmäyksessä. Tukiessamme massan aikuusa oimaan, saimme lisämassan magneeeisa, joka pysyiä eipin aulla kiinni mealliangossa. Pudoimme palloa isoon esiasiaan. Pallo sai ippua apaasi, mua jouduimme laiamaan mealliangon kulkemaan onon muoipuken läpi, joka aas oli kiinniey pysysuorasi saiiin aulla ilmaan. Muoipuki oli halkaisijalaan suurempi kuin meallianko, jolloin kika mealliangon ja siä ukean muoipuken älillä ei ollu koin suuri. Näin armisimme sen, eä pallo ja meallianko puoaa ja örmäää eeen lähes kohisuorasi. Miauslaieisomme koosui kiihyyysanurisa ja aloporisa, joiden anamaa daaa käsieliin ieokoneella Logger Pro -ohjelmalla. Päädyimme ähän meneelmään, koska se osoiauui ainoaksi käyökelpoiseksi. Ensin ajaelimme muun muassa käyää ideokameraa kuaamaan pallon liikeä, mua meneelmä oli hyläää, koska käyeäissämme ollu kamera oli aallinen ideokamera, jonka nopeus oli 4 kuaa/s. Tämä on aian liian ähän, koska pallon örmäys kesää niin lyhyen ajan. Kua 4: Miauslaieiso Kiihyyysanurin kiinniimme mealliangon yläosaan eipillä kohisuoraan eenemissuunaa asaan. Valoporia aren meidän äyyi ehdä raualangasa ja mehupillisä kaksi aakasuoraa ulokea mealliankoon. Kiedoimme raualanga puken ympärille ja kiinniimme ne siihen eipillä ja siniarralla. Lisäksi jouduimme pujoamaan niiden ympärille pilli, koska raualanga olia niin kapea, eä ne eiä yksissään pysynee peiämään aloporin sädeä. Kua 5: Kiihyyysanuri Kua 6: Valopori (Pilli oa miauksessa aloporia kohi.) - 0 -
12 Pilli aseimme mealliankoon sien, eä alempi pilli oli juuri kulkenu aloporin läpi, kun ise pallo oli eden ja ilman rajapinnassa eli juuri örmäämäisillään eeen. Ylempi pilli aas aseeiin sien, eä se oli juuri läpäissy aloporin pallon mennessä kokonaan eden alle. Tieokone laski pallon nopeuden örmäyksen alussa ja lopussa makan lausekkeella s, jossa s on ohjelmaan syöey pillin halkaisijan aro ja on aika, joka pillilä kesää ohiaa säde (alkaen hekesä jolloin pilli peiää säeen ja pääyen hekeen jolloin pilli ei enää ole säeen iellä). Koska nopeus miaaan lyhyelä ajala, oidaan pallon kiihyyys jäää huomioa ja oleaa liike sillä aikaälillä lähes asaiseksi. Pienenääksemme irheä käyimme oisena miausmeneelmänä kiihyyysanuria, joka näyi ise asiassa anaan yleensä parempia uloksia kuin alopori. Kiihyyyden kuaajasa saimme graafisesi inegroimalla pallon örmäysnopeuden ja örmäyksen jälkeisen nopeuden. Kiihyyyden kuaajasa pysyi melko helposi pääelemään, missä kohdassa örmäys alkoi. Sen sijaan örmäyksen loppumiskohaa ei kuaajasa pysyny armasi sanomaan, jolloin hyödynsimme aloporin anamaa örmäyksen loppumisajankohaa, jonka aulla osasimme inegroida kiihyyyden kuaajan oikeasa kohdasa. Suoriimme miaukse edellä kuaun miauslaieison aulla. Tukimme pallon nopeuden, massan, säeen, keskikohdan poikkipina-alan ja ilauuden aikuusa keskimääräisen asusaan oiman suuruueen, sien eä samanaikaisesi ukimme ain yhden muuujan aikuusa ja muu ekijä pidimme akiona. - -
13 Kua 7: Esimerkkiapaus kiihyyysanurin piirämäsä kuaajasa MITTAUSTULOSTEN KÄSITTELY JA LOPULLISET TULOKSET Nopeuden aikuusa ukiaessa pudoimme koko ajan samankokoisa ja samanmassaisa palloa eri korkeuksila eeen. Näin ollen örmäysnopeus aiheli sen mukaan, kuinka korkeala pallo ippui. - -
14 Keräsimme aulukkoon örmäykseen kuluneen ajan, sekä molemmilla miausaoilla saadu örmäysnopeude ja örmäyksen jälkeise nopeude, joisa laskimme keskiaro. Yhälösä a Δ / Δ, saimme pallon keskimääräisen kiihyyyden örmäyksen aikana. Newonin II laisa ma, saimme keskimääräisen kokonaisoiman. Kun ähensimme keskimääräisesä kokonaisoimasa painooiman G mg, saimme keskimääräisen asusaan oiman örmäyksen aikana. Tuloksisa eimme (, )-kuaajan. Kua 8: Törmäysnopeuden aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan Pallon säeen, poikkipina-alan ja ilauuden aikuusa ukimme pudoamalla erikokoisia palloja eeen samala korkeudela, jolloin örmäysnopeus pysyi lähes akiona. Massa pideiin myös kaikissa miauksissa samana. Toisimme miaukse jokaisella pallolla iisi keraa irheen minimoimiseksi. Taulukoimme miausulokse samalla aalla kuin nopeusmiauksissa. Toesimme, eä nopeus ei pysyny riiään asaisena miausen älillä, ja siiä seurasi liian suure irhee oiman aroihin. Koska nopeuden kuaajasa saau yhälö aikui melko luoeaala (yhälö ja sen muodosaminen selieään myöhemmin), käyimme siä nopeuden muuumisen aikuuksen poisamiseksi. Valisimme miausuloksia keskimääräisesi hyin asaaan nopeuden 0 ja pyrimme korjaamaan oiman aro siä nopeua asaaiksi kaikissa miausuloksissa. Tämän - 3 -
15 suoriimme keromalla erikseen jokaisessa miauksessa saadun keskimääräisen asusaan oiman suhdeluulla. Suhdeluku k saaiin jakamalla aikaisemmisa miauksisa saau nopeuden funkio samalla funkiolla niin, eä osoiajassa oleassa yhälössä käyimme muuujan arona soiua yheisä nopeua 0 (keskiaro kaikisa nopeuksisa) ja nimiäjässä kyseisessä miauksessa saaueua odellisa nopeua. (korjau) k (korjaaa) nopeus nopeus ( ( 0 ) korjaaa nopeus ) (korjaaa) Näisä nopeudella korjauisa keskimääräisen asusaan oiman aroisa oimme keskiaro iiden ryhmissä niin, eä jokaiselle pudoeulle erikokoiselle pallolle saaiin keskimääräiseksi asusaaksi oimaksi yksi aro. Tuloksisa eimme kolme kuaajaa: (r, )-, (A, )-, ja (V, )- kuaaja. Myöhemmin päädyimme käyämään säeen kuaajaa. (Ks. s. 6). Erikokoisen sopiien pallojen aikean saaauuden ja pallon kiinniämiseen kuluan pikän ajan akia suoriimme miauksia neljällä eri pallolla. Suoriimme kuienkin useia miauksia jokaisa palloa kohi luoeauuden paranamiseksi. Kua 9: Säeen aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan Massan aikuusa keskimääräiseen asusaaan oimaan ukimme pudoamalla samankokoisa palloa samala korkeudela eeen, muuamalla ain sen massaa. Massaa saimme lisäyä - 4 -
16 kiinniämällä magneeeja mealliankoon. Myös näissä miauksissa haaiiin sama ongelma nopeuden akiona piämisessä, ja se rakaisiin myös samalla aalla. Massamiauksisa keräsimme sama iedo, kuin muisakin miauksisa ja eimme niisä (m, )-kuaajan. Kua 0: Massan aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan Seuraaaksi lähdimme esimään kuaaja oeuaia yhälöiä. Tässä hyödynsimme ilmaisa CureExper.3 ohjelmaa. Ohjelma anoi jokaiselle kuaajalle suuren määrän yhälöiä, joisa meidän äyyi yriää alia ilmiöä parhaien kuaaa. Aluksi karsimme pois ne, joka olia seläsi irheellisiä. Seläsi irheellisiksi kasoimme: - yhälö, joka eiä oeuanee miauspiseiä riiään hyin - yhälö, joka eiä ollee aidosi kasaia aina kun x 0 - yhälö, joka jollain x:n arolla anoia uloksen, joka ylii laskeun maksimioiman eli joka oli niin suuri, eä pallo olisi läheny akaisin ylöspäin, aikka sen iheys on suurempi kuin eden iheys. Koska asusaa oima muodosuu pääasiassa äliaineen asuksesa sekä noseesa, joiden aiheuama oima kasaa nopeuden ja ilauuden kasaessa, pääelimme, eä myös keskimääräisen - 5 -
17 - 6 - asusaan oiman äyyy olla aidosi kasaa kaikilla muuujilla. Suurimman mahdollisen oiman kaaan johdimme seuraaalla aalla: Laskeaan asusaan oiman suuruus kun örmäyksessä nopeus puoaa nollaan: 0 m/s Δ - 0s? Δ s d r r s a a s a, + Δ Δ Valiaan posiiiinen suuna ylöspäin, jolloin asusaa oima on posiiiinen ja painooima negaiiinen. Silloin: r g m mg r m G G k k 4 4 Näillä meneelmillä hylkäsimme suurimman osan yhälöisä ja alisimme jäljelle jääneisä oisen aseen yhälön, sillä se oeui miauspisee parhaien. Toisaala se oli myös yksinkeraisin, ja koska äliaineen asus on normaalisi errannollinen nopeuden neliöön, oli se myös luonein alina. Törmäysnopeuden aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan: 0, , , : + + c b a jossa akio r c b a nopeus r m ma r r a r r r r k
18 Seuraaaksi kasoimme millaisia kaaoja CureExper anoi säeen ja sen johdannaisen miausuloksisa. Suurimman osan kaaoisa hylkäsimme samoin perusein kuin nopeudenkin kohdalla. Taas jäi kuienkin jäljelle useia kaaoja, joisa oli hankala alia parasa. Rakaisimme ongelman rakenamalla simulaaiosa ersion, jossa örmäyksen aikana aikuia äliaineen asus sekä nose, joiden kaaa johdimme mekaniikan peruslaeisa. Käyimme ässä yheydessä seuraaanlaisia kaaoja: Väliaineen asus Newonin asuslaisa mukaueuna: cwρ esi A x + cwρesi A ( x) Nose Arkhimedeen laisa mukaueuna: ( ρ gv x) + [ ρ gv ( x) ] esi esi Näissä kaaoissa x arkoiaa prosenuaalisa osuua pallon ilauudesa, joka on eden alla. x asaa näin ollen siä prosenuaalisa osuua, joka pallon ilauudesa on edenpinnan yläpuolella. Prosenuaalisen osuuden x laskeminen: s π s r + x 3, kun r s 0 V Jossa : x prosenuaalinen osuus pallon ilauudesa, joka on eden alla s eäisyys edenpinnasa pallon pohjasa laskeuna r pallon söde V pallon ilauus Kyseinen kaaa johdeiin maol-aulukoisa löyyäsä kaaasa V π h r h 3 Muookeroimen aroksi löyyi pallon kohdalla eri läheisä lukuisia aihoehoja, joisa alisimme aron 0,47. Valiaessa simulaaion alkuaroja, annoimme massalle saman aron kuin miauksissa, ja alisimme örmäysnopeudeksi saman nopeuden, joa käyimme korjaessamme miausuloksia nopeuden aihelun akia. Täsä ei saada koin arkkoja uloksia, minkä akia kokeellinen osio alun perin jouduiin aloiamaan. Ajaelimme kuienkin, eä äsä saadu asusaan oiman aro oisia osoiaa - 7 -
19 oikean suurusluokan. Verasimme kaaojen anamia uloksia simulaaion uloksiin ja hylkäsimme ne, joka anoia suuruusluokalaan aian erilaisia uloksia. Silikin meille jäi ielä kolme melko yhä hyää mallia. Näisä alisimme kolmannen aseen polynomin, jossa muuujana oli säde, sillä se oeui parhaien sekä simulaaion ulokse, eä alkuperäise miausulokse. Säeen aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan: 3 säde dr + er + fr jossa : d 84, 7365 e 504, 74 f 7, Massan kuaajasa haaisimme, eeiä pisee noudaanee miään selkeää käyrän yhälöä. Pisee nousia keskimäärin hieman ylöspäin, mua oesimme, eä massan aikuus suheessa miausarkkuueen on liian pieni, joa siä olisi mielekäsä oaa huomioon. Pääelimme, eä massalla on odennäköisesi aikuusa ainoasaan sen akia, eä suuremmalla massalla nopeus puoaa örmäyksessä ähemmän, jolloin äliaineen asus säilyy suurempana ja näin ollen keskimääräinen asusaa oima kasaa hieman. Pääimme jäää ämän aikuuksen huomioa, koska siä ei pysyy riiäällä arkkuudella miaamaan. Lopullinen malli siis muodoseaan ain nopeuden ja säeen kaaoisa. Verrannollisuua kuaaa yhälö yhdisimme keromalla ne keskenään sekä sopialla akiolla. Vakio aliiin sien, eä lopullinen malli oeuaa miausulokse niillä muuujien aroilla, joia kyseisessä miauksessa käyeiin. Vakion aroksi saaiin näin J,378 Eli siis: akio nopeus säde 3 ( ) ( ) J a + b + c dr + er + fr jossa : örmäysnopeus r pallon säde J,378 a 0, b 0, c 0, d 84, 7365 e 504, 74 f 7, Joa dimensio menisiä oikein ja uloksen yksiköksi saaaisiin Newon, olisi akioille anneaa yksikö, mua emme kaso ää mielekkääksi, koska yhälöllä ei ole riiäää eoreeisa pohjaa, aan se ain mallinaa ilmiöä kokeellisen ulosen pohjala
20 TULOSTEN TARKASTELU Tukimusulosen hyödyllisyys ja käyömahdollisuude Simulaaion aulla oidaan ukia erilaisen pallojen käyäyymisä niiden pudoessa ilman halki eeen. Simulaaio piirää myös makan, nopeuden, kiihyyyden ja kokonaisoiman kuaaja, joisa oidaan arkasella erilaisia asioia, kuen eri muuujien aikuusa puoamisnopeueen eri aiheissa. Vapaakappalekuasa oidaan nähdä eri oimien keskinäise suuruude sekä kiihyyysja nopeusekori reaaliajassa. Simulaaio laskee ja näyää myös muun muassa paineen, liikeenergian ja liikemäärän suuruude. Koska palloon kohdisua oima eiä ole jakuasi akioia ja esimerkiksi äliaineen asuksen muookerroin muuuu jakuasi pienillä Reynoldin luun aroilla, ei asaaaa arkaselua ole helppo oeuaa ise laskemalla. Vaikka kokeellisen osuuden uloksena saau yhälö ei ole yleiseäyydelään ja arkkuudelaan koin hyä, on se sili suheellisen käyökelpoinen apa arkaselaessa pallon nopeuden muuumisa eden ja ilman rajapinnan yliyksessä. Ilmiön simuloiminen oisella aalla - kuen esimerkiksi arkaselemalla yksiäisen molekyylien kappaleeseen aiheuamia oimia - aaisi luulaasi huomaaan suuren laskenaehon. Simulaaioa oi myös hyödynää erilaisissa erikoisapauksissa. Esimerkiksi jos kappale laieaan puoamaan riiään korkeala ai edenpinnan alapuolela, oidaan ukia, kuinka kauan kappaleela kesää saauaa äliaineenasuksen ja noseen aiheuama rajanopeus sekä kuinka suuri se on. Koska simulaaio laskee myös paineen ja sen muuosnopeuden (örmäyshekeä lukuun oamaa), oidaan näiä ieoja hyödynää, jos esimerkiksi eeen pudoeaa, pallomainen kappale kesää ain ieyn suuruisen paineen ai jos paine ei saa muuua liian nopeasi. Toisaala pallon sisällä oi olla esimerkiksi ukimuslaieia, joka kesää ain ieyn suuruisen kiihyyyden. Myös ää oidaan arkasella simulaaiossa. Simulaaion hyödynäminen opeuskäyössä oisi myös olla mahdollisa esimerkiksi kuaajien ulkinaan ja ymmärämiseen liiyissä ehäissä. Tukimusprojekisa kokonaisuudessaan on ollu luonnollisesi myös suuri henkilökohainen hyöy. Olemme päässee uusumaan erilaisiin miaus- ja ulosenkäsielyekniikoihin sekä oppimaan kriiisä irheläheiden arkaselua ja ieeellisä kirjoiamisa. Olemme siis oanee merkiään askeleen kohi ieeellisä maailmaa
21 Virheiden ja epäarkkuusekijöiden arioini Koska yömme perusuu kokeellisiin miauksiin, on siinä paljon epäarkkuusekijöiä. Miauslaieisossa on ieenkin rajallinen miausarkkuus, jossa eriyisesi aloporin puueellinen näyeenooaajuus oli haiapuolena. Pillien ja pallojen halkaisijoiden miauksiinkin sisälyy oma miausirheensä. Suurimma irheekijä oa kuienkin ise rakenneussa mialaieisossa. Mealliangossa kiinni olea pilli eiä pysy aina ihan kohisuorassa aloporin säeeseen nähden, jolloin aloporin säeen leikkaama maka ei asaa miaua. Lisäksi pilli ja alopori on mahdoon sijoiaa keskenään aian oikeisiin kohiin. Sen akia örmäyksen alku- ja loppukohdissa on epäarkkuua. Koska jouduimme kiinniämään erikokoise pallo liiman ja eipin aulla mealliankoon, pallojen massa saaoi muuua hiukan miausen aikana epäarman esiiiiyden akia. Lisäksi kiihyyysanuri saaoi pääsä käänymään irheasenoon, joka aas aikui anurin anamiin uloksiin. Miausuloksiin uo irheä myös se, eä syseemi ei pudonnu aian suorassa siä ukeasa pukesa huolimaa ja ämä puki oisaala aiheui myös pienen ylimääräisen asusaan kikaoiman. On myös mahdollisa, eä mealliankoon kiinniey lisämassa on päässy ähän liikkumaan örmäyksen aikana. Nopeus oli mahdoona piää äysin akiona massa- ja ilauusmiauksissa ja äsä synyi mahdollisesi melko suuri irhe. Tää ongelmaa yriimme kuienkin korjaa ise kehielemällämme meneelmällä. (Ks. s. ) Myös ulosen käsielyyn sisälyy epäarmuusläheiä. Koska miauspiseiä ei käyeään ajan ja laieison akia ollu koin paljoa eikä koin suurela alueela, pysyy uloksiin soiamaan useia kaaoja. Niiden ulokse kuienkin eroaa oisisaan merkiääsi miausalueen ulkopuolella, joen oikean aliseminen on aikeaa. Lisäksi on hyä muisaa, eä uloksia käsieläessä saaoi apahua myös inhimillisiä irheiä
22 JATKOTUTKIMUKSEN AIHEET Simulaaiossa joudumme ällä hekellä aseamaan seuraaa rajoiukse: - Puoaa kappale on muodolaan pallo. - Pallo on äysin pyöreä eikä muua muooaan simulaaion aikana. - Pallon iheys on suurempi ai yhä suuri kuin neseen (eden) iheys. - Väliaineina on ilma (yläpuolella) ja esi (alapuolella). Tiheyde ja iskosieei oa normaaleja. - Vesialue on rajaon, jolloin sen pinnanaso ei muuu pallon upoessa eeen. - Veeen ei synny aaloja. - Puoamiskiihyyys on normaali (9,8 m/s²). - Lämpöila oa lähellä huoneen lämpöilaa - Ilmanpaine edenpinnan asossa on normaali Joa simulaaion yleiseäyys ja sien myös käyökelpoisuus paranisi, äyyisi suoriaa uusia miauksia sien, eä näiä oleuksia oiaisiin ähenää. Toisaala miaukse äyyisi muuenkin suoriaa uudelleen paremmilla meneelmillä ja laieilla, joa niiden luoeauus paranisi. Myös yhälön muodosamiseen käyeyjä meneelmiä piäisi kehiää edelleen. Simulaaion luoeauus huononee kun muuujien aro eiä ole samaa suuruusluokkaa kokeellisissa miauksissa käyeyjen kanssa. Tämänkin ongelman poisamiseksi olisi hyä ehdä jakoukimusa. Ise simulaaioa oisi kehiää muun muassa luomalla siihen ehokkaamma laskena-algorimi. Tähän oisi mahdollisesi hyödynää esimerkiksi Runge-Kua meneelmää. Kuaajien skaalaauua oisi paranaa ja simulaaion oisi rakenaa ukemaan liikeä kolmessa ulouuudessa. Myös mahdollisuus useiden kappaleiden yhäaikaiseen käyöön lisäisi simulaaion hyödyllisyyä. - -
23 LÄHDELUETTELO Elorana, K., Leho, H. & Luoma, T ysiikka, ysiikka luonnonieeenä. Tammi, Jyäskylä. Happonen, R. (oim.). 00. MAOL-auluko. Oaa, Keuruu. Haukainen, R Leho, H., Leskinen, J. & Luoma, T ysiikka 4, Liikkeen lai. Tammi, Jyäskylä. Hämeri, K Luenomuisiinpano, Hiukkasen suoraiiainen liike. Saaailla www-muodossa: hp:// (Lueu ) Young, H. & reedman, R Uniersiy Physics wih Modern Physics h Ediion. Addison- Wesley, San rancisco. Lai, T., LaBeu, K., Marin, K. & Silley, B Golf Ball Projecile Moion Projec. Saaailla www-muodossa: hp://claymore.engineer.gsu.edu/~lai/3/golfball.pdf (Lueu ) Wikipedia. The free encyclopedia. Saaailla muodossa: hp://en.wikipedia.org/wiki/main_page (Lueu ) - <hp://en.wikipedia.org/wiki/added_mass> Wikipedia. Vapaa ieosanakirja. Saaailla www-muodossa: hp://fi.wikipedia.org/wiki/wikipedia:eusiu (Lueu ) - <hp://fi.wikipedia.org/wiki/ilmanpaine> LIITTEET liie : Simulaaio - Pallon puoaminen äliaineissa.exe (Tieokonesimulaaio, CD-leyllä) liie : Tiiiselmä objekien oiminnoisa simulaaiossa.doc (ysiikan kannala merkiää osa lähdekoodisa, CD-leyllä) liie 3: Objekien oiminno simulaaiossa.doc (Ei sisälly arsinaiseen Viksu-yöhön, CD-leyllä) - -
ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET
TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL
LisätiedotPK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd
PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa
LisätiedotIlmavirransäädin. Mitat
Ilmairransäädin Mia (MF, MP, ON, MOD, KNX) Ød nom (MF-D, MP-D, ON-D, MOD-D, KNX-D) Tuoekuaus on ilmairasäädin pyöreälle kanaalle. Se koosuu sääöpellisä ja miaaasa oimilaieesa ja siä oidaan ohjaa huonesääimen
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
LisätiedotA-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!
MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)
LisätiedotW dt dt t J.
DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan
Lisätiedot2. Suoraviivainen liike
. Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus
Lisätiedot1. Matemaattinen heiluri, harmoninen värähtelijä Fysiikka IIZF2020
1. Maeaainen heiluri, haroninen värähelijä Fysiikka IIZF Juha Jokinen (Selosuksesa vasaava) Janne Kiviäki Ani Lahi Miauspäivä:..9 Laboraorioyön selosus 9..9 Pendulu is a ass hanging fro a pivo poin which
Lisätiedot1 Excel-sovelluksen ohje
1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen
LisätiedotRakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi
Rakennusosien rakennusfysikaalinen oimina Ralf Lindber Professori, Tampereen eknillinen yliopiso ralf.lindber@u.fi Rakenneosien rakennusfysikaalisen oiminnan ymmärämiseksi on välämäönä piirää kolme eri
LisätiedotDynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä
Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä
LisätiedotXII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA
II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =
LisätiedotNESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA
NESTEIDEN ja KSUJEN MEKNIIKK Väliaineen astus Kaaleen liikkuessa nesteessä tai kaasussa, kaaleeseen törmääät molekyylit ja aine-erot erot aiheuttaat siihen liikkeen suunnalle astakkaisen astusoiman, jonka
LisätiedotHuomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).
DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4
Lisätiedot2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t
Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina
LisätiedotTietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
LisätiedotLiikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa
LisätiedotF E . 1. a!? # % b &., @ $ c + ± = e < > [ \ ] ^ g λ Ø ø φ " 1 / 2 h Á á É. j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï. o à ã Ñ ñ Õ õ F` = 6mm = 9/12mm = 19mm
: A ➎ C ➎ B D = 6mm = 9/12mm = a!? # % b &., @ $ c + ± = d * / : ; ( ) e < > [ \ ] ^ f { } ~ µ ß Ω g λ Ø ø φ " 1 / 2 h Á á É i é Í í Ó ó Ú ú j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï l ï Ö ö Ü ü ÿ Â m â Ê ê î ô
LisätiedotLorentz-muunnos L(v) on operaatio, joka voidaan esittää myös matriisina
Lorenz-muunnos L on operaaio, joka oidaan esiää myös mariisina L / / mariisi L muodosaa ryhmän: kaksi peräkkäisä Lorenz-muunnosa on myös Lorenz-muunnos, ja on olemassa myös kääneinen Lorenz- muunnos 3
LisätiedotNotor Upotettava. 6 www.fagerhult.fi
Upoeavan Noor-valaisimen avulla kaoon voidaan luoda joko huomaamaomia ai ehokkaan huomioa herääviä ja yhenäisiä valaisinjonoja ilman minkäänlaisia varjosuksia. Pienesä koosaan huolimaa Noor arjoaa hyvin
Lisätiedotx v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.
Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen
LisätiedotKokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005
Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihelu Suomessa vuosina 1776 2005 Heli Elina Haapalainen (157 095) 26.11.2007 Joensuun Yliopiso Maemaais- luonnonieeiden iedekuna Tieojenkäsielyieeen
LisätiedotFysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)
LisätiedotMittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta
Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä
LisätiedotSUOMEN PANKIN KANSANTALOUSOSASTON TYÖPAPEREITA
SUOMEN PANKIN KANSANTALOUSOSASTON TYÖPAPEREITA 10.10.2004 1/2004 Hannes Kaadu Kuluajahinainflaaion miaaminen Yhdysvalloissa 2 Kuluajahinainflaaion miaaminen Yhdysvalloissa Kansanalousosason yöpapereia
LisätiedotMÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010
MÄNÄ-VLPPULAN KAUPUNK Musalahden asemakaava Liikenneselviys yö: E ampere 8..00 ARX Ympärisö Oy PL 0 ampere Puhelin 00 000 elefax 00 00 www.airix.fi oimiso: urku, ampere, Espoo ja Oulu Mänä-Vilppulan kaupunki,
Lisätiedotf x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)
Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)
LisätiedotBETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 2009) Betonipäivät 2010
DIPLOMITYÖ: BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 29) Beonipäivä 21 DIPLOMITYÖ prosessina Aie: yön eeäjän aloieesa Selviykse beonin, eräksen ja puun osala oli jo ey/käynnissä
LisätiedotKOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA
EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista
Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa
Lisätiedot( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt
SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5
LisätiedotToistoleuanvedon kilpailusäännöt
1.0 Yleisä Toisoleuanvedossa kilpailija suoriaa häjaksoisesi mahdollisimman mona leuanveoa omalla kehonpainollaan. Kilpailijalla on käössään ksi kilpailusuorius sekä asauloksen sauessa mahdollise uusinakierrokse
LisätiedotRIL 256-2010 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry
Suomen Rakennusinsinöörien Liio RIL ry Julkisen hankinojen kehiämismalli Tuoavuuden paranaminen TUKEFIN-meneelmällä 2 RIL 256-2010 RILin julkaisuilla on oma koisivu, joka löyyy osoieesa www.ril.fi Kirjakauppa
LisätiedotÖljyn hinnan ja Yhdysvaltojen dollarin riippuvuussuhde
Öljyn hinnan ja Yhdysvalojen dollarin riippuvuussuhde Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso Toukokuu 2010 Jari Hännikäinen TIIVISTLMÄ Tampereen yliopiso Talousieeiden
LisätiedotSopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen
Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen
LisätiedotLuento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
LisätiedotFDPa. Rei itetty seinään asennettava poistoilmalaite
Rei iey seinään asenneava poisoilmalaie Lyhyesi Säädeävä Kiineä miausyhde Suuri poisoehokkuus Helposi puhdiseava Eri värivaihoehoja Pikavalinaaulukko I L M A V I R T A Ä Ä N I T A S O l/s Koko db(a) db(a)
LisätiedotKuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut
Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu I LA Rapori LA Repors 30.1.2013 No 4 Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu Jukka Lassila * Niku Määänen ** armo Valkonen *** * LA linkeinoelämän ukimuslaios,
LisätiedotOPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2
OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9
LisätiedotSanomalehtien kysyntä Suomessa Sanomalehtien kysynnän kehittymistä selittävä ekonometrinen malli
Sanomalehien kysynä Suomessa Sanomalehien kysynnän kehiymisä seliävä ekonomerinen malli Heikki Nikali, Iella BI Research series - Tukimussarja 7/2014 12.3.2014 FOR INTERNAL USE ONLY VAIN SISÄISEEN KÄYTTÖÖN
LisätiedotFinavian ympäristötyö 2006: Vesipäästöjen hallintaa ja tehokkaita prosesseja
9 Y M P Ä R I S T Ö K A T S A U S 2006 2 Finavian ympärisöyö 2006: Vesipääsöjen hallinaa ja ehokkaia prosesseja Jääneson aiheuama kuormius aseiain hallinaan Finavia vasaa maahuolinayriysen jäänesoon käyämän
LisätiedotLyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu
Lyhyiden ja pikien korkojen ilasollinen vaihelu Tomi Pekka Juhani Marikainen Joensuun Yliopiso Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna / Tieojenkäsielyieeen ja ilasoieeen laios / Tilasoiede Pro Gradu -ukielma
LisätiedotKÄYTTÖOPAS. Ilma vesilämpöpumppujärjestelmän sisäyksikkö ja lisävarusteet RECAIR OY EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1
EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1 EKHBRD011ADY1 EKHBRD014ADY1 EKHBRD016ADY1 KÄYÖOPAS Ilma vesilämpöpumppujärjeselmän sisäyksikkö ja lisävarusee EKHBRD011ADV1+Y1 EKHBRD014ADV1+Y1 EKHBRD016ADV1+Y1
LisätiedotTermiinikurssi tulevan spot-kurssin ennusteena
TAMPEREEN YLIOPISTO Talousieeiden laios Termiinikurssi ulevan spo-kurssin ennuseena Kansanalousiede Pro gradu-ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso 28.2.2006 Ville Kivelä 1 TIIVISTELMÄ Tampereen
LisätiedotCopyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017
AEAKKA aeaiikkaa piakäsielijöille Ogelarakaisu so Jokie 207 SSÄLÖ. aeaaise ogelie rakaisu laskukaaoilla 2. ekijäyhälö 3. Laskukaaoje yhdisäie 4. Yhälöide uodosaie aeaaisee ogelaa Käyöoikeus opeuksessa
LisätiedotMittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M
Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M KANSIO 4 VÄLI ESITE Lapinleimu Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M IRIS, IRIS-S Rakenne IRIS muodosuu runko-osasa, sääösäleisä, sääömuerisa ai sääökahvasa
LisätiedotTiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus
Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa
Lisätiedotb) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)
Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei
Lisätiedot2:154. lak.yht. lak.yht. lak.yht. 2:156 2:156 6-9901-0 2:156. lak.yht. 2:155. 35 dba. sr-1. No330. YY/s-1. Työväentalo 8-9903-0. No30. sr-2.
00 lak.yh. lak.yh. lak.yh. lak.yh. lak.yh. ras.m ras.m lak.yh. lak.yh. lak.yh. lak.yh. lak.yh. 0 0 No No No0 No0 0:::M0 0:::M0 0:::M0 0:::M0 0:::M0 0::0:M0 0:::M0 0:::M0 0:::M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedot9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousieeiden iedekuna TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Helmikuu 2006 Laaia: Janne Lilavuori Ohaaa: Professori Kari Heimonen JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO
LisätiedotTuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus
1(15) Tuoannon suhdannekuvaajan meneelmäkuvaus Luku 1 Luku 2 Luku 3 Luku 4 Tuoannon suhdannekuvaajan yleiskuvaus Tuoannon suhdannekuvaajan julkaisuaikaaulu, revisoinikäyännö ja jakelu Tuoannon suhdannekuvaajan
LisätiedotTekes tänään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohtaja, Tekes Fortune seminaari 21.8.2013
Tekes änään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohaja, Tekes Forune seminaari 21.8.2013 Rahoiamme sellaisen innovaaioiden kehiämisä, joka ähäävä kasvun ja uuden liikeoiminnan luomiseen Yriysen kehiysprojeki
LisätiedotTeknistä tietoa TARRANAUHOISTA
Teknisä ieoa TARRANAUHOISTA P-ouch-arraeipi näkyvä ja kesävä Broherin laminoidu P-ouch-arraeipi on suunnielu ammaimaiseen arraulosukseen oimisoissa, ehaissa ja koona. Runsaasa arraeippivalikoimasa löydä
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013
7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaisut 5 Keät 23. Aberraatio suhteellisuusteoriassa Tulkoon alo kuten tehtään kuassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: u u x ˆx + u y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. ()
LisätiedotKÄYTTÖOPAS. -järjestelmän sisäyksikkö HXHD125A8V1B
KÄYÖOPAS -järjeselmän sisäyksikkö SISÄLÖ 1. Määrielmä... 1 1.1. Merkkien ja varoiusen arkoiukse... 1 1.2. Käyeyjen ermien merkiys... 1 2. Yleise varooime... 2 3. Johdano... 2 3.1. Yleisä... 2 3.2. ämän
Lisätiedot6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA
Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin
LisätiedotKOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus
EUROOPAN KOMISSIO Bryssel 27.2.205 COM(205) 4 final KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan nojalla laadiu keromus FI FI KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan
LisätiedotFinanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla
BoF Online 3 29 Finanssipoliiikan ehokkuudesa Yleisen asapainon arkaseluja Aino-mallilla Juha Kilponen Tässä julkaisussa esiey mielipiee ova kirjoiajan omia eiväkä välämää edusa Suomen Pankin kanaa. Suomen
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
LisätiedotTKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta
KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän
LisätiedotLuento 7 Järjestelmien ylläpito
Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan
Lisätiedot5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
LisätiedotKonvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,
LisätiedotHoivapalvelut ja eläkemenot vuoteen 2050
VATT-TUTKIMUKSIA 94 VATT-RESEARCH REPORTS Pekka Parkkinen Hoivapalvelu ja eläkemeno vuoeen 25 Valion aloudellinen ukimuskeskus Governmen Insiue for Economic Research Helsinki 22 ISBN 951-561-425-2 ISSN
LisätiedotPARTIKKELIN KINETIIKKA
PTKKELN KNETKK Newonin laki ma m& - on paikkeliin aikuaien oimien eulani - m on paikkelin maa - a & on paikkelin aboluuinen kiih Suoaiiaien liikkeen liikehälö (liikeuuna : m a 0 z 0 Taoliikkeen liikehälö
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille
Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial
LisätiedotLaskelmia verotuksen painopisteen muuttamisen vaikutuksista dynaamisessa yleisen tasapainon mallissa
Laskelmia verouksen painopiseen muuamisen vaikuuksisa dynaamisessa yleisen asapainon mallissa Juha Kilponen ja Jouko Vilmunen TTässä arikkelissa esieään laskelmia siiä, mien verouksen painopiseen siiräminen
LisätiedotVATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen
VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS 445 JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Kasaus kirjallisuueen Juho Kosiainen Valion aloudellinen ukimuskeskus Governmen Insiue for Economic
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset
D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,
LisätiedotOSALLISTUJAT Eerola Aila puheenjohtaja Päätöksentekijät Eerola Anja varapuheenjohtaja. Puittinen Marko Vornanen Timo
-1, SOTELA 28.1.2015 17:00 OSALLISTUJAT Eerola Aila puheenjohaja Pääöksenekijä Eerola Anja arapuheenjohaja Hakala Kirsi jäsen Hokkanen Riso Holmroos Anna Kujamäki Kari Leskinen Pirkko Nuora Irma Pakarinen
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä
LisätiedotÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/2010 LOPULLISET EHDOT
ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/200 LOPULLISET EHDOT Ålandsbanken Debenuurilaina 2/200 (ISIN: FI400003875) lopullise ehdo on 9. heinäkuua 200 vahviseu seuraavasi: - Lainan pääoma 9 980 000 euroa Maarianhamina
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
Lisätiedota) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p).
LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II: 9.9.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,
LisätiedotMonisilmukkainen vaihtovirtapiiri
Monisilmukkainen vaihovirapiiri Oeaan arkaselun koheeksi RLC-vaihovirapiiri jossa on käämejä, vasuksia ja kondensaaoreia. Kykenä Tarkasellaan virapiiriä, jossa yksinkeraiseen RLC-piiriin on kodensaaorin
LisätiedotAsuntojen huomiointi varallisuusportfolion valinnassa ja hinnoittelussa
TAMPEREEN YLIOPISTO Johamiskorkeakoulu Asunojen huomioini varallisuusporfolion valinnassa ja hinnoielussa Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Elokuu 2012 Ohjaaja: Hannu Laurila Tuomo Sola TIIVISTELMÄ Tampereen
LisätiedotPOHJOINEN SOTE JA TUOTTAMISEN RAKENTEET Muistio 2/15
POHJOINEN SOTE JA TUOTTAMISEN RAKENTEET Muisio 2/15 20.8.15 IKÄIHMISTEN PALVELUJEN RYHMÄ Aika 20.8.2015 klo 9-11.30 Paikka Läsnä Kokkolan kaupunginalo, kokoushuone Minerva Maija Juola, pj, Kokkola Vuokko
LisätiedotY56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset
Y56 Keät 010 1 Y56 laskuharjoitukset 5 - malliastaukset Harjoitus 1. Voiton maksimoia tuotannon taso & kiinteät kustannukset Taoitteena on ymmärtää kiinteiden kustannusten aikutus yrityksen tuotantopäätöksiin
Lisätiedot2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23
LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0
LisätiedotKYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN
YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä
LisätiedotTyöhön paluun tuen ryhmätoiminnan malli
Työhön paluun uen ryhmäoiminnan malli, Kunouusalan ukimus- ja kehiämiskeskus Marja Oivo, projekisuunnielija/kunouusneuvoja Kunouuspäivä 12.-13.4.2011, yöryhmä 8 20.4.2011 1 Työhön paluun oiminamalli Yksilöuen
LisätiedotLuvun 12 laskuesimerkit
Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine
LisätiedotDiplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut
Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan
Lisätiedot( ) ( ) on nimeltään molekyylisironnan mikroskooppinen vaikutusala). Sijoittamalla numeroarvot saadaan vapaaksi matkaksi
S-4.35, FYSIIKKA III, Syksy 00, LH, Loppuiikko 38 LH-* Laske happimolekyylin keskimääräinen apaa matka 300 K lämpötilassa ja,0 baarin paineessa. Voit olettaa, että molekyyli on pallon muotoinen ja pallon
LisätiedotMAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014
MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................
LisätiedotSytytysjarjestelmaDIIAPCLH2.4, LH2.4 ETS
6 SyyysjarjesemaD/APCLH 24 LH 24 ETS SyyysjarjesemaDAPCLH24 LH24 ETS 75 cy 100 122A YE 2 +30 230 1063 RO 0 1019 101A RO 25 RO 40 101C RD 25 J73 123 123A CNWH 1S CN/WH 1 13122A J 342A 22 20 YE 10 1 1CY
Lisätiedotb) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p)
LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II:.5.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,
LisätiedotBuilt Environment Process Reengineering (PRE)
RAKENNETTU YMPÄRISTÖ Tarviaanko ää palkkia? Buil Environmen Process Reengineering (PRE) Infra FINBIM- bsf infraoimialakunnan perusamiskokous, Buil Environmen Process Innovaions Reengineering Miä on Infra
Lisätiedot( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
LisätiedotKuukausi- ja kuunvaihdeanomalia Suomen osakemarkkinoilla vuosina 2005-2013
Kauppaieeellinen iedekuna Talousjohaminen Kandidaainukielma Kuukausi- ja kuunvaihdeanomalia Suomen osakemarkkinoilla vuosina 2005-2013 Monhly and Turn-of-he-Monh anomaly in he Finnish sock marke during
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut
A1 Diplomi-insinöörin ja arkkithtin yhtisalinta - dia-alinta 2010 Alla on lutltu kuusi suurtta skä annttu taulukoissa kahdksan lukuaroa ja kahdksan SI-yksikön symbolia. Yhdistä suurt oikan suuruusluokan
LisätiedotKuljetuskanavat. Lindab 1. Yleistä tietoa ja teoriaa 2. Safe 3. Äänenvaimentimet 4. Säätöpellit ja mittalaitteet 5. Fire dampers & Smoke evaquations
Kujeuskanava Lindab Yeisä ieoa ja eoriaa Safe Äänenvaienie Sääöpei ja iaaiee Fire dapers & Soke evaquaions veniii Kaojärjeseä Muu pyöreä uoee Kujeuskanava 0 Suorakaide Fexibe ducing Erisys Duc access Sar
Lisätiedot( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
LisätiedotPiennopeuslaite FMH. Lapinleimu
Piennopeuslaie FMH Floormaser FMH on puolipyöreä uloilmalaie, joka on arkoieu käyeäväksi syrjäyävään ilmanjakoon Floormaser- järjeselmässä. KANSIO VÄLI 6 ESITE Lapinleimu.1.0 Floormaser Yleisä Floormaser
LisätiedotSuunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017)
1 Suunnieluharjoius s-2016 (...k-2017) HAKKURITEHOLÄHDE Seuraavan push-pull-yyppisen hakkurieholäheen komponeni ulisi valia (muunajaa lukuunoamaa). V1 iin 230 V ± 10 % 50 Hz V3 Perusieoja kykennäsä Verkkoasasuunauksen
LisätiedotOH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11.
Kemian laieekniikka 1 Koilasku 1 4.4.28 Jarmo Vesola Tuoee ja reakio: hiilimonoksidi, meanoli, meyyliformiaai C HC (1) vesi, meyyliformiaai, meanoli, muurahaishappo HC CH (2) hiilimonoksi, vesi, muurahaishappo
Lisätiedot