PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA"

Transkriptio

1 PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA Tieokonesimulaaio ja siihen liiyä kokeellinen ukimus Joosa Kurinen ja Heidi Juuinen Mikkelin Lyseon lukio ysiikka

2 TIIVISTELMÄ Viksu-iedekilpailuprojekimme aiheena on ieokonesimulaaio, joka simuloi kappaleen, lähinnä pallon, puoamisa ilman halki eeen. Simulaaiossa kaikkia kappaleeseen ja ympärisöön liiyiä ominaisuuksia oi muuaa apaasi, ieyin kokeellisen osuuden aseamin rajoiuksin. Joa simulaaio pysyy laskemaan kappaleen liikkeen, on iedeää, miä oimia kappaleeseen aikuaa ja kuinka näiden oimien suuruude saadaan laskeua. Kun pallo on kokonaan ilmassa ai kokonaan edessä, ei ongelmaa ole. Silloin pysymme laskemaan palloon aikuaa oima almiilla kaaoilla. Ongelma, joa yössämme ukimme, synyy silloin, kun pallo örmää eeen eli on osiain ilmassa ja osiain edessä. Silloin ei iedeä, kuinka suuri äliaineen asus ilman- ja edenasuksisa muodosuu. Toisaala myös eden pinajänniyksen aikuus örmäyksessä on unemaon. Koska ilmiö on hyin monimukainen, oi olla, eä kappaleeseen aikuaa lisäksi myös joku meille unemaon oima. Kilpailuyömme kokeelliseksi osuudeksi jääkin seliää, mien örmäyksen aikana aikuaa oima laskeaan. Pyrimme muodosamaan mallin, jolla saadaan laskeua nopeuden suunnalle asakkainen kokonaisoima örmäyksen aikana. Tällöin oimien eroelu ei ole enää älämäönä. Koska asusaa oima ei oleeaasi ole akio koko örmäyksen ajan, on meidän helpoeaa ilannea niin, eä yriämme luoda mallin, jolla saadaan laskeuksi keskimääräinen asusaa oima. Tukimusuloksemme pohjauua omiin miausuloksiimme. Olemme kerännee laajan aineison kokeellisa ieoa pudoamalla pallon noin 00 keraa eeen. Näisä noin 00 oli onnisuneia miauksia. Olemme kokeillee erilaisia muuujia, kuen örmäysnopeus, massa, ilauus, säde, ja kasonee, kuinka ne oa aikuanee asusaan oiman suuruueen. Tulokse olemme kerännee aulukoiksi ja kuaajiksi, joiden aulla yhälön muodosaminen on suorieu. Tukimusulosemme mukaan keskimääräinen asusaa oima örmäyksen aikana saadaan laskeua yhälösä: 3 ( ) ( ) J a + b + c dr + er + fr jossa : J,378 a 0, b 0, c 0, d 84, 7365 e 504, 74 f 7, Jakoukimuksille olisi kuienkin area monilla osa-alueilla, joa simulaaion ja örmäykseen liiyän mallin luoeauus ja yleiseäyys paranisia. - -

3 SISÄLLYSLUETTELO: JOHDANTO TEORIA TYÖN TAUSTALLA AINEISTO JA MENETELMÄT MITTAUSTULOSTEN KÄSITTELY JA LOPULLISET TULOKSET TULOSTEN TARKASTELU Tukimusulosen hyödyllisyys ja käyömahdollisuude Virheiden ja epäarkkuusekijöiden arioini JATKOTUTKIMUKSEN AIHEET LÄHDELUETTELO LIITTEET

4 JOHDANTO Idea simulaaiosa sai alkunsa syksyllä 005 kun haluiin kokeilla oisiko pelkän fysiikan ensimmäisen kurssin ieojen sekä ilmaisen Gamemaker-ohjelman aulla simuloida joain apahumaa. Pääeiin yriää luoda simulaaio, joka simuloisi ihmisen puoamisa eeen. Näin ollen sillä oiaisiin ukia esimerkiksi mien syä alaan piää olla, joa ihminen ei osuisi pohjaan sinne hypäessään. Ensimmäisen kurssin iedo eiä kuienkaan ollee riiään laaja, joen projeki keskeyeiin oisaiseksi. Siä pääeiin jakaa uudelleen keäällä 006 sekä syksyllä 006 ensimmäisen mekaniikan kurssin yheydessä. Silloin myös luouiin ihmisen käyämisesä kappaleena, sillä ihmisen muoo ja iheysjakauma olisi ollu aian liian monimukainen. Ihminen koraiin kolmella säännöllisellä kappaleella: pallolla, kuuiolla ja lieriöllä. Nähyään simulaaion opeaja ehdoi simulaaion kehiämisä eeenpäin iksuyönä. Toesimme, eä simulaaio oimii melko luoeaasi silloin kun kappale on joko kokonaan ilmassa ai edessä. Silloin kappaleeseen aikuaa oima (painooima, äliaineenasus ja nose) saadaan laskeua yleisesi unneujen lukion oppimäärään kuuluien kaaojen aulla. Sen sijaan kun kappale on osiain ilmassa ja osiain edessä eli kappaleen ja eden älisen örmäyksen aikana, emme oinee laskea kappaleeseen kohdisuia oimia luoeaasi. Pääimme yriää rakaisa ongelman kokeellisilla ukimuksilla. Koska arioimme yön eriäin haasaaksi, yriimme yksinkeraisaa siä hieman ukimalla ainoasaan keskimääräisä asusaaa oimaa. Silloin kokonaisoima muodosuisi siiä ja painooimasa. Tässä aiheessa luouimme myös ylimääräisisä kappaleiden muodoisa ja jäimme simulaaioon ain pallon. Yriimme miaa asusaaa oimaa käyäen monenlaisia meneelmiä, mua emme löyänee oimiaa ennen kuin alkuuodesa 007, jolloin päädyimme käyämään kiihyyysanuria ja aloporia. Tukimme eri muuujien aikuusa asusaaan oimaan yksi kerrallaan. Näisä saimme yhälö, joka osoiia oiman errannollisuuden ähän muuujaan muiden muuujien pysyessä akiona. Lopuksi yriimme yhdisää nämä yhälö ja saimme kaaan joka anaa uloksena keskimääräisen asusaan oiman siihen syöeyillä muuujien aroilla. Tää kaaaa käyimme sien simulaaiossa

5 TEORIA TYÖN TAUSTALLA Tarkasellaan kappaleeseen aikuaia oimia sen ollessa kokonaan ilmassa ai edessä. Tällöin kappaleeseen aikuaa painooima (maan eooima), äliaineen aiheuama nose sekä äliaineen asus. Näiden oimien suuruude oidaan laskea käyämällä mekaniikan peruslakeja. G Painooima N Nose (ympäröiän ilman ai eden aiheuama) d Väliaineen asus (ilman ai eden aiheuama) Kua : Voimakuio kappaleen ollessa kokonaan ilmassa ai edessä Tarkasellaan seuraaaksi kappaleeseen aikuaia oimia örmäyksen aikana eli pallon ollessa osiain edessä. Kappaleeseen aikuaa edelleen painooima, nose ja äliaineen asus. Painooima pysyy akiona, mua noseen ja äliaineenasuksen laskeminen mekaniikan perusyhälöisä johdeuilla kaaoilla ei ole luoeaaa. Lisäksi palloon aikuaa ainakin pinajänniyksen aiheuama oima, jonka suuruua emme pysy laskemaan. Palloon saaaa myös aikuaa joku äysin unemaon oima. G Painooima N Nose (ympäröiän ilman ja eden aiheuama) d Väliaineen asus (ilman ja eden aiheuama) γ Pinajänniyksen aiheuama oima? Mahdollinen unemaon oima Kua : Voimakuio kappaleen ollessa osiain edessä (örmäyksen aikana) Yhdisämällä kaikki nopeuden suunaa asaan olea oima yhdeksi asusaaksi oimaksi saamme yksinkeraiseua ilannea niin, eä oimme läheä kokeellisesi esimään mallia, jolla - 4 -

6 ämä oima oiaisiin laskea. Jos saamme miaua nopeuden muuoksen örmäyksen aikana sekä siihen kuluneen ajan ja iedämme kappaleen massan, oimme laskea näisä keskimääräisen asusaan oiman, joka aikuaa örmäyksen aikana. G Painooima Vasusaa oima Kua 3: Voimakuio kappaleen ollessa osiain edessä (örmäyksen aikana) Seuraaaksi esielemme yhälö, joihin simulaaion laskennallinen oimina perusuu. Poikkipina-ala (pallo): A π r Jossa : r pallon säde Tilauus (pallo): 3 4 π r V 3 Jossa : r pallon säde Kappaleen massa: m ρ Jossa : kappale ρ V kappale kappaleen iheys V kappaleen ilauus Painooima: G mg Jossa: m massa g puoamiskiihyyys - 5 -

7 Väliaineen asus (Newonin asuslaki): äliaine A d cwρ Jossa : c w muookerroin A poikkipina ala ρ äliaine nopeus äliaineen iheys Väliaineen asuksen muookerroin (pallo): c w 0,47 Re > 000 Hyin pienillä Reynoldin luun aroilla äliaineen asuksen muookerroin ei ole akio, aan seuraaalla aalla Reynoldin luusa riippuainen: c w 0,44 4 Re 4 Re + 4 Re 500 0,687 ( + 0,5 Re ) 3 6 Re+ Re < 0, < Re Re < 500 Re ln ( Re) 0, Re < Lähde: Hämeri, K Luenomuisiinpano, Hiukkasen suoraiiainen liike. Reynoldin luku: ρ Re μ jossa : äliaine äliaine ρ μ d äliaine äliaine äliaineen iheys nopeus d pallon halkaisija 6 7,4 0 ilmalle äliaineen iskosieei 3,000 0 edelle Lähde: Lai, T., LaBeu, K., Marin, K. & Silley, B Golf Ball Projecile Moion Projec. Nose (Arkhimedeen laki): N ρ Jossa : ympäröiä aine ρ gv ympäröiä aine ympäröiän aineen iheys g puoamiskiihyyys V kappaleen ilauus - 6 -

8 Lisäy massa (pallolle): m added Jossa : πr 3 ρäliaine Vρ 3 r pallon säde ρ äliaine äliaine äliaineen iheys V pallon ilauus Lisäy massa jäeään huomioa örmäyksen aikana. Lähde: <hp://en.wikipedia.org/wiki/added_mass> Veden aaloliikkeen aikuus Veden aaloliike ja roiskuminen uo asiaan monimukaisuua omala osalaan, mua se jäeään huomioa ja oleeaan, eä sen aikuus sisälyy keskimääräiseen asusaaan oimaan, joka selieään kokeellisesi. Newonin II lain mukainen liikeyhälö (kappaleen ollessa kokonaan ilmassa ai edessä): kokonaiso ima G + d + N ( m + madded )a Laskujen aikaäli pyriään piämään niin pienenä, eä oima oidaan oleaa likimain akioksi. Newonin II lain mukainen liikeyhälö (örmäyksen aikana): kokonaiso ima G + ma Painooima on akio, joen kun käyeään keskimääräisä asusaaa oimaa, säilyy kokonaisoima akiona. Keskimääräisen asusaan oiman käyö johaa irheeseen örmäyksen aikana, mua irhe asoiuu örmäyksen pääymiseen mennessä. Kiihyyys: Liikeyhälöisä saadaan kiihyyydeksi: a Jossa : kokonaisoima m kokonaisoima m massa kappaleeseen aikuaa kokonaisoima ( örmäyksen aikana) ai m massan ja lisäyn massan summa ( muulloin) - 7 -

9 Maka asaisessa kiihyyydessä: s s a Jossa : s uusi eäisyys nollaasosa ( eden pinnasa) s 0 0 edellinen eäisyys nollaasosa ( eden pinnasa) nopeus kyseisen aikaälin alussa a kiihyyys aikaälin laskuja sekunnissa piuus Aikaäli pyriään piämään niin pienenä, eä kiihyyys oidaan oleaa likimain asaiseksi. Nopeus asaisessa kiihyyydessä: Jossa + a 0 : uusi nopeus 0 edellinen nopeus aikaälin piuus laskuja sekunnissa a kiihyyys Aikaäli pyriään piämään niin pienenä, eä kiihyyys oidaan oleaa likimain asaiseksi. Poeniaalienergia: E P mgh Jossa : E p poeniaalienergia kyseisen aikaälin lopussa m massa g puoamiskiihyyys h korkeus nollaasosa ( eden pinnasa) Liike-energia: Ekin m Jossa : E kin kineeinen energia kyseisen aikaälin lopussa m massa nopeus Liikemäärä: p m Jossa : m massa nopeus - 8 -

10 Ympäröiä paine (pallon keskipiseen korkeudella): s + r p pilma + phydrosaainen 0300Pa 00Pa + ρ 8m Jossa : p kokonaispaine kyseisen aikaälin lopussa s eäisyys edenpinnasa, pallon pohjaan kun s > 0, muulloin s 0 r pallon säde h syyys ρ esi eden iheys esi ( edenpinnasa, pallon keskikohaan) gh s r ai s 0 s + r, kun s < r, muulloin h 0 Wikipedian arikkelin mukaan: Ilmanpaine laskee nousaessa korkeammalle merenpinnan asola. Maanpinnan läheisissä ilmakerroksissa 8 merin nousu korkeussuunnassa merkisee noin hpa ( mbar) ähennysä ilmanpaineessa. Joen kun normaali ilmanpaine on noin,03 bar 0300 Pa, niin ilmanpaine korkeudessa s on 0300Pa s 00Pa. Koska eäisyys s laskeaan pallon 8m pohjasa edenpinaan, äyyy siihen lisää pallon säde r, joa saadaan paine pallon keskikohdassa. Lähde: <hp://fi.wikipedia.org/wiki/ilmanpaine> Paineen muuosnopeus (pallon keskipiseen korkeudella): p muuosnopeus Jossa : Δp Δ p muuosnopeus p paine p p0 s r ai s 0 Δ paineen keskimääräinen muuosnopeus aikaälillä p 0 edellinen paine Δ aikaälin piuus laskuja sekunnissa AINEISTO JA MENETELMÄT Tukimuksemme on kokeellinen, joen ulokse pohjauua omiin miausuloksiimme. Työmme arkoius on ukia keskimääräisä asusaaa oimaa pallon örmäessä eeen. Miauksia aren rakensimme elineen, jonka aulla pysyimme pudoamaan palloa eeen ja miaamaan eri muuujien aroilla synyän keskimääräisen asusaan oiman kiihyyyden kaua. Käyimme poikkipina-alalaan erikokoisia palloja. Pallon kiinniimme pikaliiman ja eipin aulla pikään ja melko ohueen mealliankoon, niin eä mealliangon pää oli pallon sisällä. Näin ollen - 9 -

11 pallo pysyi ukeasi paikoillaan myös örmäyksessä. Tukiessamme massan aikuusa oimaan, saimme lisämassan magneeeisa, joka pysyiä eipin aulla kiinni mealliangossa. Pudoimme palloa isoon esiasiaan. Pallo sai ippua apaasi, mua jouduimme laiamaan mealliangon kulkemaan onon muoipuken läpi, joka aas oli kiinniey pysysuorasi saiiin aulla ilmaan. Muoipuki oli halkaisijalaan suurempi kuin meallianko, jolloin kika mealliangon ja siä ukean muoipuken älillä ei ollu koin suuri. Näin armisimme sen, eä pallo ja meallianko puoaa ja örmäää eeen lähes kohisuorasi. Miauslaieisomme koosui kiihyyysanurisa ja aloporisa, joiden anamaa daaa käsieliin ieokoneella Logger Pro -ohjelmalla. Päädyimme ähän meneelmään, koska se osoiauui ainoaksi käyökelpoiseksi. Ensin ajaelimme muun muassa käyää ideokameraa kuaamaan pallon liikeä, mua meneelmä oli hyläää, koska käyeäissämme ollu kamera oli aallinen ideokamera, jonka nopeus oli 4 kuaa/s. Tämä on aian liian ähän, koska pallon örmäys kesää niin lyhyen ajan. Kua 4: Miauslaieiso Kiihyyysanurin kiinniimme mealliangon yläosaan eipillä kohisuoraan eenemissuunaa asaan. Valoporia aren meidän äyyi ehdä raualangasa ja mehupillisä kaksi aakasuoraa ulokea mealliankoon. Kiedoimme raualanga puken ympärille ja kiinniimme ne siihen eipillä ja siniarralla. Lisäksi jouduimme pujoamaan niiden ympärille pilli, koska raualanga olia niin kapea, eä ne eiä yksissään pysynee peiämään aloporin sädeä. Kua 5: Kiihyyysanuri Kua 6: Valopori (Pilli oa miauksessa aloporia kohi.) - 0 -

12 Pilli aseimme mealliankoon sien, eä alempi pilli oli juuri kulkenu aloporin läpi, kun ise pallo oli eden ja ilman rajapinnassa eli juuri örmäämäisillään eeen. Ylempi pilli aas aseeiin sien, eä se oli juuri läpäissy aloporin pallon mennessä kokonaan eden alle. Tieokone laski pallon nopeuden örmäyksen alussa ja lopussa makan lausekkeella s, jossa s on ohjelmaan syöey pillin halkaisijan aro ja on aika, joka pillilä kesää ohiaa säde (alkaen hekesä jolloin pilli peiää säeen ja pääyen hekeen jolloin pilli ei enää ole säeen iellä). Koska nopeus miaaan lyhyelä ajala, oidaan pallon kiihyyys jäää huomioa ja oleaa liike sillä aikaälillä lähes asaiseksi. Pienenääksemme irheä käyimme oisena miausmeneelmänä kiihyyysanuria, joka näyi ise asiassa anaan yleensä parempia uloksia kuin alopori. Kiihyyyden kuaajasa saimme graafisesi inegroimalla pallon örmäysnopeuden ja örmäyksen jälkeisen nopeuden. Kiihyyyden kuaajasa pysyi melko helposi pääelemään, missä kohdassa örmäys alkoi. Sen sijaan örmäyksen loppumiskohaa ei kuaajasa pysyny armasi sanomaan, jolloin hyödynsimme aloporin anamaa örmäyksen loppumisajankohaa, jonka aulla osasimme inegroida kiihyyyden kuaajan oikeasa kohdasa. Suoriimme miaukse edellä kuaun miauslaieison aulla. Tukimme pallon nopeuden, massan, säeen, keskikohdan poikkipina-alan ja ilauuden aikuusa keskimääräisen asusaan oiman suuruueen, sien eä samanaikaisesi ukimme ain yhden muuujan aikuusa ja muu ekijä pidimme akiona. - -

13 Kua 7: Esimerkkiapaus kiihyyysanurin piirämäsä kuaajasa MITTAUSTULOSTEN KÄSITTELY JA LOPULLISET TULOKSET Nopeuden aikuusa ukiaessa pudoimme koko ajan samankokoisa ja samanmassaisa palloa eri korkeuksila eeen. Näin ollen örmäysnopeus aiheli sen mukaan, kuinka korkeala pallo ippui. - -

14 Keräsimme aulukkoon örmäykseen kuluneen ajan, sekä molemmilla miausaoilla saadu örmäysnopeude ja örmäyksen jälkeise nopeude, joisa laskimme keskiaro. Yhälösä a Δ / Δ, saimme pallon keskimääräisen kiihyyyden örmäyksen aikana. Newonin II laisa ma, saimme keskimääräisen kokonaisoiman. Kun ähensimme keskimääräisesä kokonaisoimasa painooiman G mg, saimme keskimääräisen asusaan oiman örmäyksen aikana. Tuloksisa eimme (, )-kuaajan. Kua 8: Törmäysnopeuden aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan Pallon säeen, poikkipina-alan ja ilauuden aikuusa ukimme pudoamalla erikokoisia palloja eeen samala korkeudela, jolloin örmäysnopeus pysyi lähes akiona. Massa pideiin myös kaikissa miauksissa samana. Toisimme miaukse jokaisella pallolla iisi keraa irheen minimoimiseksi. Taulukoimme miausulokse samalla aalla kuin nopeusmiauksissa. Toesimme, eä nopeus ei pysyny riiään asaisena miausen älillä, ja siiä seurasi liian suure irhee oiman aroihin. Koska nopeuden kuaajasa saau yhälö aikui melko luoeaala (yhälö ja sen muodosaminen selieään myöhemmin), käyimme siä nopeuden muuumisen aikuuksen poisamiseksi. Valisimme miausuloksia keskimääräisesi hyin asaaan nopeuden 0 ja pyrimme korjaamaan oiman aro siä nopeua asaaiksi kaikissa miausuloksissa. Tämän - 3 -

15 suoriimme keromalla erikseen jokaisessa miauksessa saadun keskimääräisen asusaan oiman suhdeluulla. Suhdeluku k saaiin jakamalla aikaisemmisa miauksisa saau nopeuden funkio samalla funkiolla niin, eä osoiajassa oleassa yhälössä käyimme muuujan arona soiua yheisä nopeua 0 (keskiaro kaikisa nopeuksisa) ja nimiäjässä kyseisessä miauksessa saaueua odellisa nopeua. (korjau) k (korjaaa) nopeus nopeus ( ( 0 ) korjaaa nopeus ) (korjaaa) Näisä nopeudella korjauisa keskimääräisen asusaan oiman aroisa oimme keskiaro iiden ryhmissä niin, eä jokaiselle pudoeulle erikokoiselle pallolle saaiin keskimääräiseksi asusaaksi oimaksi yksi aro. Tuloksisa eimme kolme kuaajaa: (r, )-, (A, )-, ja (V, )- kuaaja. Myöhemmin päädyimme käyämään säeen kuaajaa. (Ks. s. 6). Erikokoisen sopiien pallojen aikean saaauuden ja pallon kiinniämiseen kuluan pikän ajan akia suoriimme miauksia neljällä eri pallolla. Suoriimme kuienkin useia miauksia jokaisa palloa kohi luoeauuden paranamiseksi. Kua 9: Säeen aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan Massan aikuusa keskimääräiseen asusaaan oimaan ukimme pudoamalla samankokoisa palloa samala korkeudela eeen, muuamalla ain sen massaa. Massaa saimme lisäyä - 4 -

16 kiinniämällä magneeeja mealliankoon. Myös näissä miauksissa haaiiin sama ongelma nopeuden akiona piämisessä, ja se rakaisiin myös samalla aalla. Massamiauksisa keräsimme sama iedo, kuin muisakin miauksisa ja eimme niisä (m, )-kuaajan. Kua 0: Massan aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan Seuraaaksi lähdimme esimään kuaaja oeuaia yhälöiä. Tässä hyödynsimme ilmaisa CureExper.3 ohjelmaa. Ohjelma anoi jokaiselle kuaajalle suuren määrän yhälöiä, joisa meidän äyyi yriää alia ilmiöä parhaien kuaaa. Aluksi karsimme pois ne, joka olia seläsi irheellisiä. Seläsi irheellisiksi kasoimme: - yhälö, joka eiä oeuanee miauspiseiä riiään hyin - yhälö, joka eiä ollee aidosi kasaia aina kun x 0 - yhälö, joka jollain x:n arolla anoia uloksen, joka ylii laskeun maksimioiman eli joka oli niin suuri, eä pallo olisi läheny akaisin ylöspäin, aikka sen iheys on suurempi kuin eden iheys. Koska asusaa oima muodosuu pääasiassa äliaineen asuksesa sekä noseesa, joiden aiheuama oima kasaa nopeuden ja ilauuden kasaessa, pääelimme, eä myös keskimääräisen - 5 -

17 - 6 - asusaan oiman äyyy olla aidosi kasaa kaikilla muuujilla. Suurimman mahdollisen oiman kaaan johdimme seuraaalla aalla: Laskeaan asusaan oiman suuruus kun örmäyksessä nopeus puoaa nollaan: 0 m/s Δ - 0s? Δ s d r r s a a s a, + Δ Δ Valiaan posiiiinen suuna ylöspäin, jolloin asusaa oima on posiiiinen ja painooima negaiiinen. Silloin: r g m mg r m G G k k 4 4 Näillä meneelmillä hylkäsimme suurimman osan yhälöisä ja alisimme jäljelle jääneisä oisen aseen yhälön, sillä se oeui miauspisee parhaien. Toisaala se oli myös yksinkeraisin, ja koska äliaineen asus on normaalisi errannollinen nopeuden neliöön, oli se myös luonein alina. Törmäysnopeuden aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan: 0, , , : + + c b a jossa akio r c b a nopeus r m ma r r a r r r r k

18 Seuraaaksi kasoimme millaisia kaaoja CureExper anoi säeen ja sen johdannaisen miausuloksisa. Suurimman osan kaaoisa hylkäsimme samoin perusein kuin nopeudenkin kohdalla. Taas jäi kuienkin jäljelle useia kaaoja, joisa oli hankala alia parasa. Rakaisimme ongelman rakenamalla simulaaiosa ersion, jossa örmäyksen aikana aikuia äliaineen asus sekä nose, joiden kaaa johdimme mekaniikan peruslaeisa. Käyimme ässä yheydessä seuraaanlaisia kaaoja: Väliaineen asus Newonin asuslaisa mukaueuna: cwρ esi A x + cwρesi A ( x) Nose Arkhimedeen laisa mukaueuna: ( ρ gv x) + [ ρ gv ( x) ] esi esi Näissä kaaoissa x arkoiaa prosenuaalisa osuua pallon ilauudesa, joka on eden alla. x asaa näin ollen siä prosenuaalisa osuua, joka pallon ilauudesa on edenpinnan yläpuolella. Prosenuaalisen osuuden x laskeminen: s π s r + x 3, kun r s 0 V Jossa : x prosenuaalinen osuus pallon ilauudesa, joka on eden alla s eäisyys edenpinnasa pallon pohjasa laskeuna r pallon söde V pallon ilauus Kyseinen kaaa johdeiin maol-aulukoisa löyyäsä kaaasa V π h r h 3 Muookeroimen aroksi löyyi pallon kohdalla eri läheisä lukuisia aihoehoja, joisa alisimme aron 0,47. Valiaessa simulaaion alkuaroja, annoimme massalle saman aron kuin miauksissa, ja alisimme örmäysnopeudeksi saman nopeuden, joa käyimme korjaessamme miausuloksia nopeuden aihelun akia. Täsä ei saada koin arkkoja uloksia, minkä akia kokeellinen osio alun perin jouduiin aloiamaan. Ajaelimme kuienkin, eä äsä saadu asusaan oiman aro oisia osoiaa - 7 -

19 oikean suurusluokan. Verasimme kaaojen anamia uloksia simulaaion uloksiin ja hylkäsimme ne, joka anoia suuruusluokalaan aian erilaisia uloksia. Silikin meille jäi ielä kolme melko yhä hyää mallia. Näisä alisimme kolmannen aseen polynomin, jossa muuujana oli säde, sillä se oeui parhaien sekä simulaaion ulokse, eä alkuperäise miausulokse. Säeen aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan: 3 säde dr + er + fr jossa : d 84, 7365 e 504, 74 f 7, Massan kuaajasa haaisimme, eeiä pisee noudaanee miään selkeää käyrän yhälöä. Pisee nousia keskimäärin hieman ylöspäin, mua oesimme, eä massan aikuus suheessa miausarkkuueen on liian pieni, joa siä olisi mielekäsä oaa huomioon. Pääelimme, eä massalla on odennäköisesi aikuusa ainoasaan sen akia, eä suuremmalla massalla nopeus puoaa örmäyksessä ähemmän, jolloin äliaineen asus säilyy suurempana ja näin ollen keskimääräinen asusaa oima kasaa hieman. Pääimme jäää ämän aikuuksen huomioa, koska siä ei pysyy riiäällä arkkuudella miaamaan. Lopullinen malli siis muodoseaan ain nopeuden ja säeen kaaoisa. Verrannollisuua kuaaa yhälö yhdisimme keromalla ne keskenään sekä sopialla akiolla. Vakio aliiin sien, eä lopullinen malli oeuaa miausulokse niillä muuujien aroilla, joia kyseisessä miauksessa käyeiin. Vakion aroksi saaiin näin J,378 Eli siis: akio nopeus säde 3 ( ) ( ) J a + b + c dr + er + fr jossa : örmäysnopeus r pallon säde J,378 a 0, b 0, c 0, d 84, 7365 e 504, 74 f 7, Joa dimensio menisiä oikein ja uloksen yksiköksi saaaisiin Newon, olisi akioille anneaa yksikö, mua emme kaso ää mielekkääksi, koska yhälöllä ei ole riiäää eoreeisa pohjaa, aan se ain mallinaa ilmiöä kokeellisen ulosen pohjala

20 TULOSTEN TARKASTELU Tukimusulosen hyödyllisyys ja käyömahdollisuude Simulaaion aulla oidaan ukia erilaisen pallojen käyäyymisä niiden pudoessa ilman halki eeen. Simulaaio piirää myös makan, nopeuden, kiihyyyden ja kokonaisoiman kuaaja, joisa oidaan arkasella erilaisia asioia, kuen eri muuujien aikuusa puoamisnopeueen eri aiheissa. Vapaakappalekuasa oidaan nähdä eri oimien keskinäise suuruude sekä kiihyyysja nopeusekori reaaliajassa. Simulaaio laskee ja näyää myös muun muassa paineen, liikeenergian ja liikemäärän suuruude. Koska palloon kohdisua oima eiä ole jakuasi akioia ja esimerkiksi äliaineen asuksen muookerroin muuuu jakuasi pienillä Reynoldin luun aroilla, ei asaaaa arkaselua ole helppo oeuaa ise laskemalla. Vaikka kokeellisen osuuden uloksena saau yhälö ei ole yleiseäyydelään ja arkkuudelaan koin hyä, on se sili suheellisen käyökelpoinen apa arkaselaessa pallon nopeuden muuumisa eden ja ilman rajapinnan yliyksessä. Ilmiön simuloiminen oisella aalla - kuen esimerkiksi arkaselemalla yksiäisen molekyylien kappaleeseen aiheuamia oimia - aaisi luulaasi huomaaan suuren laskenaehon. Simulaaioa oi myös hyödynää erilaisissa erikoisapauksissa. Esimerkiksi jos kappale laieaan puoamaan riiään korkeala ai edenpinnan alapuolela, oidaan ukia, kuinka kauan kappaleela kesää saauaa äliaineenasuksen ja noseen aiheuama rajanopeus sekä kuinka suuri se on. Koska simulaaio laskee myös paineen ja sen muuosnopeuden (örmäyshekeä lukuun oamaa), oidaan näiä ieoja hyödynää, jos esimerkiksi eeen pudoeaa, pallomainen kappale kesää ain ieyn suuruisen paineen ai jos paine ei saa muuua liian nopeasi. Toisaala pallon sisällä oi olla esimerkiksi ukimuslaieia, joka kesää ain ieyn suuruisen kiihyyyden. Myös ää oidaan arkasella simulaaiossa. Simulaaion hyödynäminen opeuskäyössä oisi myös olla mahdollisa esimerkiksi kuaajien ulkinaan ja ymmärämiseen liiyissä ehäissä. Tukimusprojekisa kokonaisuudessaan on ollu luonnollisesi myös suuri henkilökohainen hyöy. Olemme päässee uusumaan erilaisiin miaus- ja ulosenkäsielyekniikoihin sekä oppimaan kriiisä irheläheiden arkaselua ja ieeellisä kirjoiamisa. Olemme siis oanee merkiään askeleen kohi ieeellisä maailmaa

21 Virheiden ja epäarkkuusekijöiden arioini Koska yömme perusuu kokeellisiin miauksiin, on siinä paljon epäarkkuusekijöiä. Miauslaieisossa on ieenkin rajallinen miausarkkuus, jossa eriyisesi aloporin puueellinen näyeenooaajuus oli haiapuolena. Pillien ja pallojen halkaisijoiden miauksiinkin sisälyy oma miausirheensä. Suurimma irheekijä oa kuienkin ise rakenneussa mialaieisossa. Mealliangossa kiinni olea pilli eiä pysy aina ihan kohisuorassa aloporin säeeseen nähden, jolloin aloporin säeen leikkaama maka ei asaa miaua. Lisäksi pilli ja alopori on mahdoon sijoiaa keskenään aian oikeisiin kohiin. Sen akia örmäyksen alku- ja loppukohdissa on epäarkkuua. Koska jouduimme kiinniämään erikokoise pallo liiman ja eipin aulla mealliankoon, pallojen massa saaoi muuua hiukan miausen aikana epäarman esiiiiyden akia. Lisäksi kiihyyysanuri saaoi pääsä käänymään irheasenoon, joka aas aikui anurin anamiin uloksiin. Miausuloksiin uo irheä myös se, eä syseemi ei pudonnu aian suorassa siä ukeasa pukesa huolimaa ja ämä puki oisaala aiheui myös pienen ylimääräisen asusaan kikaoiman. On myös mahdollisa, eä mealliankoon kiinniey lisämassa on päässy ähän liikkumaan örmäyksen aikana. Nopeus oli mahdoona piää äysin akiona massa- ja ilauusmiauksissa ja äsä synyi mahdollisesi melko suuri irhe. Tää ongelmaa yriimme kuienkin korjaa ise kehielemällämme meneelmällä. (Ks. s. ) Myös ulosen käsielyyn sisälyy epäarmuusläheiä. Koska miauspiseiä ei käyeään ajan ja laieison akia ollu koin paljoa eikä koin suurela alueela, pysyy uloksiin soiamaan useia kaaoja. Niiden ulokse kuienkin eroaa oisisaan merkiääsi miausalueen ulkopuolella, joen oikean aliseminen on aikeaa. Lisäksi on hyä muisaa, eä uloksia käsieläessä saaoi apahua myös inhimillisiä irheiä

22 JATKOTUTKIMUKSEN AIHEET Simulaaiossa joudumme ällä hekellä aseamaan seuraaa rajoiukse: - Puoaa kappale on muodolaan pallo. - Pallo on äysin pyöreä eikä muua muooaan simulaaion aikana. - Pallon iheys on suurempi ai yhä suuri kuin neseen (eden) iheys. - Väliaineina on ilma (yläpuolella) ja esi (alapuolella). Tiheyde ja iskosieei oa normaaleja. - Vesialue on rajaon, jolloin sen pinnanaso ei muuu pallon upoessa eeen. - Veeen ei synny aaloja. - Puoamiskiihyyys on normaali (9,8 m/s²). - Lämpöila oa lähellä huoneen lämpöilaa - Ilmanpaine edenpinnan asossa on normaali Joa simulaaion yleiseäyys ja sien myös käyökelpoisuus paranisi, äyyisi suoriaa uusia miauksia sien, eä näiä oleuksia oiaisiin ähenää. Toisaala miaukse äyyisi muuenkin suoriaa uudelleen paremmilla meneelmillä ja laieilla, joa niiden luoeauus paranisi. Myös yhälön muodosamiseen käyeyjä meneelmiä piäisi kehiää edelleen. Simulaaion luoeauus huononee kun muuujien aro eiä ole samaa suuruusluokkaa kokeellisissa miauksissa käyeyjen kanssa. Tämänkin ongelman poisamiseksi olisi hyä ehdä jakoukimusa. Ise simulaaioa oisi kehiää muun muassa luomalla siihen ehokkaamma laskena-algorimi. Tähän oisi mahdollisesi hyödynää esimerkiksi Runge-Kua meneelmää. Kuaajien skaalaauua oisi paranaa ja simulaaion oisi rakenaa ukemaan liikeä kolmessa ulouuudessa. Myös mahdollisuus useiden kappaleiden yhäaikaiseen käyöön lisäisi simulaaion hyödyllisyyä. - -

23 LÄHDELUETTELO Elorana, K., Leho, H. & Luoma, T ysiikka, ysiikka luonnonieeenä. Tammi, Jyäskylä. Happonen, R. (oim.). 00. MAOL-auluko. Oaa, Keuruu. Haukainen, R Leho, H., Leskinen, J. & Luoma, T ysiikka 4, Liikkeen lai. Tammi, Jyäskylä. Hämeri, K Luenomuisiinpano, Hiukkasen suoraiiainen liike. Saaailla www-muodossa: hp:// (Lueu ) Young, H. & reedman, R Uniersiy Physics wih Modern Physics h Ediion. Addison- Wesley, San rancisco. Lai, T., LaBeu, K., Marin, K. & Silley, B Golf Ball Projecile Moion Projec. Saaailla www-muodossa: hp://claymore.engineer.gsu.edu/~lai/3/golfball.pdf (Lueu ) Wikipedia. The free encyclopedia. Saaailla muodossa: hp://en.wikipedia.org/wiki/main_page (Lueu ) - <hp://en.wikipedia.org/wiki/added_mass> Wikipedia. Vapaa ieosanakirja. Saaailla www-muodossa: hp://fi.wikipedia.org/wiki/wikipedia:eusiu (Lueu ) - <hp://fi.wikipedia.org/wiki/ilmanpaine> LIITTEET liie : Simulaaio - Pallon puoaminen äliaineissa.exe (Tieokonesimulaaio, CD-leyllä) liie : Tiiiselmä objekien oiminnoisa simulaaiossa.doc (ysiikan kannala merkiää osa lähdekoodisa, CD-leyllä) liie 3: Objekien oiminno simulaaiossa.doc (Ei sisälly arsinaiseen Viksu-yöhön, CD-leyllä) - -

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL

Lisätiedot

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat! MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)

Lisätiedot

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

1. Matemaattinen heiluri, harmoninen värähtelijä Fysiikka IIZF2020

1. Matemaattinen heiluri, harmoninen värähtelijä Fysiikka IIZF2020 1. Maeaainen heiluri, haroninen värähelijä Fysiikka IIZF Juha Jokinen (Selosuksesa vasaava) Janne Kiviäki Ani Lahi Miauspäivä:..9 Laboraorioyön selosus 9..9 Pendulu is a ass hanging fro a pivo poin which

Lisätiedot

1 Excel-sovelluksen ohje

1 Excel-sovelluksen ohje 1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen

Lisätiedot

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi Rakennusosien rakennusfysikaalinen oimina Ralf Lindber Professori, Tampereen eknillinen yliopiso ralf.lindber@u.fi Rakenneosien rakennusfysikaalisen oiminnan ymmärämiseksi on välämäönä piirää kolme eri

Lisätiedot

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä

Lisätiedot

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina

Lisätiedot

NESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA

NESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA NESTEIDEN ja KSUJEN MEKNIIKK Väliaineen astus Kaaleen liikkuessa nesteessä tai kaasussa, kaaleeseen törmääät molekyylit ja aine-erot erot aiheuttaat siihen liikkeen suunnalle astakkaisen astusoiman, jonka

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit

Tietoliikennesignaalit ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime

Lisätiedot

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005 Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihelu Suomessa vuosina 1776 2005 Heli Elina Haapalainen (157 095) 26.11.2007 Joensuun Yliopiso Maemaais- luonnonieeiden iedekuna Tieojenkäsielyieeen

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

F E . 1. a!? # % b &., @ $ c + ± = e < > [ \ ] ^ g λ Ø ø φ " 1 / 2 h Á á É. j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï. o à ã Ñ ñ Õ õ F` = 6mm = 9/12mm = 19mm

F E . 1. a!? # % b &., @ $ c + ± = e < > [ \ ] ^ g λ Ø ø φ  1 / 2 h Á á É. j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï. o à ã Ñ ñ Õ õ F` = 6mm = 9/12mm = 19mm : A ➎ C ➎ B D = 6mm = 9/12mm = a!? # % b &., @ $ c + ± = d * / : ; ( ) e < > [ \ ] ^ f { } ~ µ ß Ω g λ Ø ø φ " 1 / 2 h Á á É i é Í í Ó ó Ú ú j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï l ï Ö ö Ü ü ÿ  m â Ê ê î ô

Lisätiedot

Lorentz-muunnos L(v) on operaatio, joka voidaan esittää myös matriisina

Lorentz-muunnos L(v) on operaatio, joka voidaan esittää myös matriisina Lorenz-muunnos L on operaaio, joka oidaan esiää myös mariisina L / / mariisi L muodosaa ryhmän: kaksi peräkkäisä Lorenz-muunnosa on myös Lorenz-muunnos, ja on olemassa myös kääneinen Lorenz- muunnos 3

Lisätiedot

Notor Upotettava. 6 www.fagerhult.fi

Notor Upotettava. 6 www.fagerhult.fi Upoeavan Noor-valaisimen avulla kaoon voidaan luoda joko huomaamaomia ai ehokkaan huomioa herääviä ja yhenäisiä valaisinjonoja ilman minkäänlaisia varjosuksia. Pienesä koosaan huolimaa Noor arjoaa hyvin

Lisätiedot

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä

Lisätiedot

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010 MÄNÄ-VLPPULAN KAUPUNK Musalahden asemakaava Liikenneselviys yö: E ampere 8..00 ARX Ympärisö Oy PL 0 ampere Puhelin 00 000 elefax 00 00 www.airix.fi oimiso: urku, ampere, Espoo ja Oulu Mänä-Vilppulan kaupunki,

Lisätiedot

BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 2009) Betonipäivät 2010

BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 2009) Betonipäivät 2010 DIPLOMITYÖ: BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 29) Beonipäivä 21 DIPLOMITYÖ prosessina Aie: yön eeäjän aloieesa Selviykse beonin, eräksen ja puun osala oli jo ey/käynnissä

Lisätiedot

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d) Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)

Lisätiedot

SUOMEN PANKIN KANSANTALOUSOSASTON TYÖPAPEREITA

SUOMEN PANKIN KANSANTALOUSOSASTON TYÖPAPEREITA SUOMEN PANKIN KANSANTALOUSOSASTON TYÖPAPEREITA 10.10.2004 1/2004 Hannes Kaadu Kuluajahinainflaaion miaaminen Yhdysvalloissa 2 Kuluajahinainflaaion miaaminen Yhdysvalloissa Kansanalousosason yöpapereia

Lisätiedot

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5

Lisätiedot

Toistoleuanvedon kilpailusäännöt

Toistoleuanvedon kilpailusäännöt 1.0 Yleisä Toisoleuanvedossa kilpailija suoriaa häjaksoisesi mahdollisimman mona leuanveoa omalla kehonpainollaan. Kilpailijalla on käössään ksi kilpailusuorius sekä asauloksen sauessa mahdollise uusinakierrokse

Lisätiedot

RIL 256-2010 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry

RIL 256-2010 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry Suomen Rakennusinsinöörien Liio RIL ry Julkisen hankinojen kehiämismalli Tuoavuuden paranaminen TUKEFIN-meneelmällä 2 RIL 256-2010 RILin julkaisuilla on oma koisivu, joka löyyy osoieesa www.ril.fi Kirjakauppa

Lisätiedot

Öljyn hinnan ja Yhdysvaltojen dollarin riippuvuussuhde

Öljyn hinnan ja Yhdysvaltojen dollarin riippuvuussuhde Öljyn hinnan ja Yhdysvalojen dollarin riippuvuussuhde Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso Toukokuu 2010 Jari Hännikäinen TIIVISTLMÄ Tampereen yliopiso Talousieeiden

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

Luento 4. Fourier-muunnos

Luento 4. Fourier-muunnos Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:

Lisätiedot

Kuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut

Kuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu I LA Rapori LA Repors 30.1.2013 No 4 Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu Jukka Lassila * Niku Määänen ** armo Valkonen *** * LA linkeinoelämän ukimuslaios,

Lisätiedot

Termiinikurssi tulevan spot-kurssin ennusteena

Termiinikurssi tulevan spot-kurssin ennusteena TAMPEREEN YLIOPISTO Talousieeiden laios Termiinikurssi ulevan spo-kurssin ennuseena Kansanalousiede Pro gradu-ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso 28.2.2006 Ville Kivelä 1 TIIVISTELMÄ Tampereen

Lisätiedot

FDPa. Rei itetty seinään asennettava poistoilmalaite

FDPa. Rei itetty seinään asennettava poistoilmalaite Rei iey seinään asenneava poisoilmalaie Lyhyesi Säädeävä Kiineä miausyhde Suuri poisoehokkuus Helposi puhdiseava Eri värivaihoehoja Pikavalinaaulukko I L M A V I R T A Ä Ä N I T A S O l/s Koko db(a) db(a)

Lisätiedot

Sanomalehtien kysyntä Suomessa Sanomalehtien kysynnän kehittymistä selittävä ekonometrinen malli

Sanomalehtien kysyntä Suomessa Sanomalehtien kysynnän kehittymistä selittävä ekonometrinen malli Sanomalehien kysynä Suomessa Sanomalehien kysynnän kehiymisä seliävä ekonomerinen malli Heikki Nikali, Iella BI Research series - Tukimussarja 7/2014 12.3.2014 FOR INTERNAL USE ONLY VAIN SISÄISEEN KÄYTTÖÖN

Lisätiedot

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2 OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9

Lisätiedot

Finavian ympäristötyö 2006: Vesipäästöjen hallintaa ja tehokkaita prosesseja

Finavian ympäristötyö 2006: Vesipäästöjen hallintaa ja tehokkaita prosesseja 9 Y M P Ä R I S T Ö K A T S A U S 2006 2 Finavian ympärisöyö 2006: Vesipääsöjen hallinaa ja ehokkaia prosesseja Jääneson aiheuama kuormius aseiain hallinaan Finavia vasaa maahuolinayriysen jäänesoon käyämän

Lisätiedot

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu Lyhyiden ja pikien korkojen ilasollinen vaihelu Tomi Pekka Juhani Marikainen Joensuun Yliopiso Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna / Tieojenkäsielyieeen ja ilasoieeen laios / Tilasoiede Pro Gradu -ukielma

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS. Ilma vesilämpöpumppujärjestelmän sisäyksikkö ja lisävarusteet RECAIR OY EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1

KÄYTTÖOPAS. Ilma vesilämpöpumppujärjestelmän sisäyksikkö ja lisävarusteet RECAIR OY EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1 EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1 EKHBRD011ADY1 EKHBRD014ADY1 EKHBRD016ADY1 KÄYÖOPAS Ilma vesilämpöpumppujärjeselmän sisäyksikkö ja lisävarusee EKHBRD011ADV1+Y1 EKHBRD014ADV1+Y1 EKHBRD016ADV1+Y1

Lisätiedot

Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017

Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 AEAKKA aeaiikkaa piakäsielijöille Ogelarakaisu so Jokie 207 SSÄLÖ. aeaaise ogelie rakaisu laskukaaoilla 2. ekijäyhälö 3. Laskukaaoje yhdisäie 4. Yhälöide uodosaie aeaaisee ogelaa Käyöoikeus opeuksessa

Lisätiedot

Mittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M

Mittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M KANSIO 4 VÄLI ESITE Lapinleimu Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M IRIS, IRIS-S Rakenne IRIS muodosuu runko-osasa, sääösäleisä, sääömuerisa ai sääökahvasa

Lisätiedot

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

2:154. lak.yht. lak.yht. lak.yht. 2:156 2:156 6-9901-0 2:156. lak.yht. 2:155. 35 dba. sr-1. No330. YY/s-1. Työväentalo 8-9903-0. No30. sr-2.

2:154. lak.yht. lak.yht. lak.yht. 2:156 2:156 6-9901-0 2:156. lak.yht. 2:155. 35 dba. sr-1. No330. YY/s-1. Työväentalo 8-9903-0. No30. sr-2. 00 lak.yh. lak.yh. lak.yh. lak.yh. lak.yh. ras.m ras.m lak.yh. lak.yh. lak.yh. lak.yh. lak.yh. 0 0 No No No0 No0 0:::M0 0:::M0 0:::M0 0:::M0 0:::M0 0::0:M0 0:::M0 0:::M0 0:::M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousieeiden iedekuna TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Helmikuu 2006 Laaia: Janne Lilavuori Ohaaa: Professori Kari Heimonen JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO

Lisätiedot

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus 1(15) Tuoannon suhdannekuvaajan meneelmäkuvaus Luku 1 Luku 2 Luku 3 Luku 4 Tuoannon suhdannekuvaajan yleiskuvaus Tuoannon suhdannekuvaajan julkaisuaikaaulu, revisoinikäyännö ja jakelu Tuoannon suhdannekuvaajan

Lisätiedot

Tekes tänään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohtaja, Tekes Fortune seminaari 21.8.2013

Tekes tänään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohtaja, Tekes Fortune seminaari 21.8.2013 Tekes änään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohaja, Tekes Forune seminaari 21.8.2013 Rahoiamme sellaisen innovaaioiden kehiämisä, joka ähäävä kasvun ja uuden liikeoiminnan luomiseen Yriysen kehiysprojeki

Lisätiedot

Teknistä tietoa TARRANAUHOISTA

Teknistä tietoa TARRANAUHOISTA Teknisä ieoa TARRANAUHOISTA P-ouch-arraeipi näkyvä ja kesävä Broherin laminoidu P-ouch-arraeipi on suunnielu ammaimaiseen arraulosukseen oimisoissa, ehaissa ja koona. Runsaasa arraeippivalikoimasa löydä

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS. -järjestelmän sisäyksikkö HXHD125A8V1B

KÄYTTÖOPAS. -järjestelmän sisäyksikkö HXHD125A8V1B KÄYÖOPAS -järjeselmän sisäyksikkö SISÄLÖ 1. Määrielmä... 1 1.1. Merkkien ja varoiusen arkoiukse... 1 1.2. Käyeyjen ermien merkiys... 1 2. Yleise varooime... 2 3. Johdano... 2 3.1. Yleisä... 2 3.2. ämän

Lisätiedot

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaisut 5 Keät 23. Aberraatio suhteellisuusteoriassa Tulkoon alo kuten tehtään kuassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: u u x ˆx + u y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. ()

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

KOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus

KOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus EUROOPAN KOMISSIO Bryssel 27.2.205 COM(205) 4 final KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan nojalla laadiu keromus FI FI KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan

Lisätiedot

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla BoF Online 3 29 Finanssipoliiikan ehokkuudesa Yleisen asapainon arkaseluja Aino-mallilla Juha Kilponen Tässä julkaisussa esiey mielipiee ova kirjoiajan omia eiväkä välämää edusa Suomen Pankin kanaa. Suomen

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen

Lisätiedot

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5 S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,

Lisätiedot

PARTIKKELIN KINETIIKKA

PARTIKKELIN KINETIIKKA PTKKELN KNETKK Newonin laki ma m& - on paikkeliin aikuaien oimien eulani - m on paikkelin maa - a & on paikkelin aboluuinen kiih Suoaiiaien liikkeen liikehälö (liikeuuna : m a 0 z 0 Taoliikkeen liikehälö

Lisätiedot

Laskelmia verotuksen painopisteen muuttamisen vaikutuksista dynaamisessa yleisen tasapainon mallissa

Laskelmia verotuksen painopisteen muuttamisen vaikutuksista dynaamisessa yleisen tasapainon mallissa Laskelmia verouksen painopiseen muuamisen vaikuuksisa dynaamisessa yleisen asapainon mallissa Juha Kilponen ja Jouko Vilmunen TTässä arikkelissa esieään laskelmia siiä, mien verouksen painopiseen siiräminen

Lisätiedot

VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen

VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS 445 JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Kasaus kirjallisuueen Juho Kosiainen Valion aloudellinen ukimuskeskus Governmen Insiue for Economic

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

Hoivapalvelut ja eläkemenot vuoteen 2050

Hoivapalvelut ja eläkemenot vuoteen 2050 VATT-TUTKIMUKSIA 94 VATT-RESEARCH REPORTS Pekka Parkkinen Hoivapalvelu ja eläkemeno vuoeen 25 Valion aloudellinen ukimuskeskus Governmen Insiue for Economic Research Helsinki 22 ISBN 951-561-425-2 ISSN

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,

Lisätiedot

OSALLISTUJAT Eerola Aila puheenjohtaja Päätöksentekijät Eerola Anja varapuheenjohtaja. Puittinen Marko Vornanen Timo

OSALLISTUJAT Eerola Aila puheenjohtaja Päätöksentekijät Eerola Anja varapuheenjohtaja. Puittinen Marko Vornanen Timo -1, SOTELA 28.1.2015 17:00 OSALLISTUJAT Eerola Aila puheenjohaja Pääöksenekijä Eerola Anja arapuheenjohaja Hakala Kirsi jäsen Hokkanen Riso Holmroos Anna Kujamäki Kari Leskinen Pirkko Nuora Irma Pakarinen

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä

Lisätiedot

ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/2010 LOPULLISET EHDOT

ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/2010 LOPULLISET EHDOT ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/200 LOPULLISET EHDOT Ålandsbanken Debenuurilaina 2/200 (ISIN: FI400003875) lopullise ehdo on 9. heinäkuua 200 vahviseu seuraavasi: - Lainan pääoma 9 980 000 euroa Maarianhamina

Lisätiedot

Asuntojen huomiointi varallisuusportfolion valinnassa ja hinnoittelussa

Asuntojen huomiointi varallisuusportfolion valinnassa ja hinnoittelussa TAMPEREEN YLIOPISTO Johamiskorkeakoulu Asunojen huomioini varallisuusporfolion valinnassa ja hinnoielussa Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Elokuu 2012 Ohjaaja: Hannu Laurila Tuomo Sola TIIVISTELMÄ Tampereen

Lisätiedot

a) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p).

a) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p). LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II: 9.9.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,

Lisätiedot

Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset

Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset Y56 Keät 010 1 Y56 laskuharjoitukset 5 - malliastaukset Harjoitus 1. Voiton maksimoia tuotannon taso & kiinteät kustannukset Taoitteena on ymmärtää kiinteiden kustannusten aikutus yrityksen tuotantopäätöksiin

Lisätiedot

( ) ( ) on nimeltään molekyylisironnan mikroskooppinen vaikutusala). Sijoittamalla numeroarvot saadaan vapaaksi matkaksi

( ) ( ) on nimeltään molekyylisironnan mikroskooppinen vaikutusala). Sijoittamalla numeroarvot saadaan vapaaksi matkaksi S-4.35, FYSIIKKA III, Syksy 00, LH, Loppuiikko 38 LH-* Laske happimolekyylin keskimääräinen apaa matka 300 K lämpötilassa ja,0 baarin paineessa. Voit olettaa, että molekyyli on pallon muotoinen ja pallon

Lisätiedot

POHJOINEN SOTE JA TUOTTAMISEN RAKENTEET Muistio 2/15

POHJOINEN SOTE JA TUOTTAMISEN RAKENTEET Muistio 2/15 POHJOINEN SOTE JA TUOTTAMISEN RAKENTEET Muisio 2/15 20.8.15 IKÄIHMISTEN PALVELUJEN RYHMÄ Aika 20.8.2015 klo 9-11.30 Paikka Läsnä Kokkolan kaupunginalo, kokoushuone Minerva Maija Juola, pj, Kokkola Vuokko

Lisätiedot

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23 LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0

Lisätiedot

Työhön paluun tuen ryhmätoiminnan malli

Työhön paluun tuen ryhmätoiminnan malli Työhön paluun uen ryhmäoiminnan malli, Kunouusalan ukimus- ja kehiämiskeskus Marja Oivo, projekisuunnielija/kunouusneuvoja Kunouuspäivä 12.-13.4.2011, yöryhmä 8 20.4.2011 1 Työhön paluun oiminamalli Yksilöuen

Lisätiedot

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä

Lisätiedot

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri Monisilmukkainen vaihovirapiiri Oeaan arkaselun koheeksi RLC-vaihovirapiiri jossa on käämejä, vasuksia ja kondensaaoreia. Kykenä Tarkasellaan virapiiriä, jossa yksinkeraiseen RLC-piiriin on kodensaaorin

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014 MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................

Lisätiedot

SytytysjarjestelmaDIIAPCLH2.4, LH2.4 ETS

SytytysjarjestelmaDIIAPCLH2.4, LH2.4 ETS 6 SyyysjarjesemaD/APCLH 24 LH 24 ETS SyyysjarjesemaDAPCLH24 LH24 ETS 75 cy 100 122A YE 2 +30 230 1063 RO 0 1019 101A RO 25 RO 40 101C RD 25 J73 123 123A CNWH 1S CN/WH 1 13122A J 342A 22 20 YE 10 1 1CY

Lisätiedot

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan

Lisätiedot

Built Environment Process Reengineering (PRE)

Built Environment Process Reengineering (PRE) RAKENNETTU YMPÄRISTÖ Tarviaanko ää palkkia? Buil Environmen Process Reengineering (PRE) Infra FINBIM- bsf infraoimialakunnan perusamiskokous, Buil Environmen Process Innovaions Reengineering Miä on Infra

Lisätiedot

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p)

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p) LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II:.5.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,

Lisätiedot

Kuukausi- ja kuunvaihdeanomalia Suomen osakemarkkinoilla vuosina 2005-2013

Kuukausi- ja kuunvaihdeanomalia Suomen osakemarkkinoilla vuosina 2005-2013 Kauppaieeellinen iedekuna Talousjohaminen Kandidaainukielma Kuukausi- ja kuunvaihdeanomalia Suomen osakemarkkinoilla vuosina 2005-2013 Monhly and Turn-of-he-Monh anomaly in he Finnish sock marke during

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörin ja arkkithtin yhtisalinta - dia-alinta 2010 Alla on lutltu kuusi suurtta skä annttu taulukoissa kahdksan lukuaroa ja kahdksan SI-yksikön symbolia. Yhdistä suurt oikan suuruusluokan

Lisätiedot

Kuljetuskanavat. Lindab 1. Yleistä tietoa ja teoriaa 2. Safe 3. Äänenvaimentimet 4. Säätöpellit ja mittalaitteet 5. Fire dampers & Smoke evaquations

Kuljetuskanavat. Lindab 1. Yleistä tietoa ja teoriaa 2. Safe 3. Äänenvaimentimet 4. Säätöpellit ja mittalaitteet 5. Fire dampers & Smoke evaquations Kujeuskanava Lindab Yeisä ieoa ja eoriaa Safe Äänenvaienie Sääöpei ja iaaiee Fire dapers & Soke evaquaions veniii Kaojärjeseä Muu pyöreä uoee Kujeuskanava 0 Suorakaide Fexibe ducing Erisys Duc access Sar

Lisätiedot

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017)

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017) 1 Suunnieluharjoius s-2016 (...k-2017) HAKKURITEHOLÄHDE Seuraavan push-pull-yyppisen hakkurieholäheen komponeni ulisi valia (muunajaa lukuunoamaa). V1 iin 230 V ± 10 % 50 Hz V3 Perusieoja kykennäsä Verkkoasasuunauksen

Lisätiedot

Piennopeuslaite FMH. Lapinleimu

Piennopeuslaite FMH. Lapinleimu Piennopeuslaie FMH Floormaser FMH on puolipyöreä uloilmalaie, joka on arkoieu käyeäväksi syrjäyävään ilmanjakoon Floormaser- järjeselmässä. KANSIO VÄLI 6 ESITE Lapinleimu.1.0 Floormaser Yleisä Floormaser

Lisätiedot

Built Environment Process Reengineering (PRE)

Built Environment Process Reengineering (PRE) RAKENNETTU YMPÄRISTÖ Tarviaanko ää palkkia? Buil Environmen Process Reengineering (PRE) Infra FINBIM -projeki on saavuamassa visionsa, Buil Environmen Process Innovaions Reengineering Miä on Infra FINBIM?

Lisätiedot

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän: ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ 53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka

Lisätiedot

Lasin karkaisun laatuongelmat

Lasin karkaisun laatuongelmat Rakeneiden Mekaniikka Vol. 44, Nro, 11, s. 14-155 Lasin karkaisun laauongelma Ani Aronen Tiiviselmä. Karkaisula lasila vaadiaan hyvää lujuua sekä visuaalisa laaua. Näihin voidaan vaikuaa lasin karkaisuprosessin

Lisätiedot

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11.

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11. Kemian laieekniikka 1 Koilasku 1 4.4.28 Jarmo Vesola Tuoee ja reakio: hiilimonoksidi, meanoli, meyyliformiaai C HC (1) vesi, meyyliformiaai, meanoli, muurahaishappo HC CH (2) hiilimonoksi, vesi, muurahaishappo

Lisätiedot