ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 3: Dynaamisen vasteen määrittäminen, Laplace-muunnos, siirtofunktio
|
|
- Anton Sipilä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ELEC-C30 Sääöekniikka Luku 3: Dynaamien vaeen määriäminen, Laplace-muunno, iirofunkio
2 Differeniaaliyhälön rakaiu Syeemin ymmärämien ja hallinnan kannala on olennaia ieää, mien lähöuure y() käyäyyy ajan funkiona eri ilaneia ja eri ohjaukilla u(). Koka malli ova differeniaaliyhälöiä, niin lähöuureen käyäyymien elviäminen pelkiyy differeniaaliyhälön rakaiemieen anneuilla heräeillä ja alkuarvoilla. Epälineaarielle ai jakauuneiden paramerien differeniaaliyhälöryhmälle ei aina löydy analyyiä rakaiua Lineaarielle, kooujen paramerien, arkai määrieylle differeniaaliyhälöryhmälle voidaan aina määriää analyyinen rakaiu
3 Eimerkki: läpivirauäiliö Tarkaellaan läpivirauäiliöä, joa on vapaa purkauuminen ilmanpaineeeen. Heräeenä on ulovirau F in () ja vaeena pinnankorkeu h(). Poiovirau F ou () on uoraan verrannollinen pinnankorkeuden neliöjuureen. Fou () k h() h() F in () Pohjan pina-ala A = m ja purkaukerroin k = m 5/ /h. Alkuhekellä pinnankorkeu h(0) = m Määrieään kauanko äiliön yhjenyminen keää, kun ulovirau kakaiaan; eli F in () = 0 m 3 /h, kun 0. A F ou ()
4 Eimerkki: läpivirauäiliö Proeille aadaan maaaeea malli: dv () A dh () Fin() Fou () Fin () k h() d d dh() / - m h d h () Rakaiaan pinnankorkeuden aikariippuvuu inegroinnilla h z() z / - / - h( 0) 0 dh() m h d dh() m h h () h () h ( ) / / h () m h h () h( 0) m h h( 0) 0 / - / - d h () h( 0)/ m/ h m i d
5 Eimerkki: läpivirauäiliö Kun ähän ijoieaan alkuarvo h(0) = m ja loppuilan arvo h( F ) = 0 m, niin äiliön yhjenemien ajanhekeki F aadaan h ( ) 0 / Eli äiliö yhjenee unnia b g F m F h m F h
6 Lineaarien differeniaaliyhälön rakaiu Edellieä eimerkiä pinnankorkeuden aikariippuvuu (vae ulovirauken kakaiemielle) rakaiiin yeemin epälineaariea mallia uoralla inegroinnilla. Lineaarinen differeniaaliyhälö/-yhälöryhmä voidaan rakaia mekaaniei Laplace-muunnoken avulla Laplace-muunneaan yeemiä kuvaava differeniaaliyhälö ja yeemin ulouuree Rakaiaan aadua algebralliea yhälöä lähöuure Laplace-kääneimuunneaan lähöuureen laueke Sääöekniikan ovellukia kaikki ajan funkio ova nollia ennen alkuhekeä: f ( ) 0, kun 0
7 Aikaaon ongelma y () y () e y(0) Eimerkki Aikaaon rakaiu y () e Laplace-aon ongelma Y () y(0) Y () y(0) Laplace-aon rakaiu Y()
8 Laplace-muunno Määrielmä: (f() on ajan funkio ja F() on iä vaaava Laplace-aon eiy) F ( ) L f () fe () d 0 Jo raja-arvo ova olemaa, niin niille päee f () L F () Fed () j b j bj Loppuarvoeoreema Alkuarvoeoreema lim f ( ) lim F( ) lim f ( ) lim F( ) 0 0 Laplace-auluko on eiey eri läheiä hieman erilaiina (yleenä joko niin, eä ajan funkio on helppo Laplace-muunaa ai niin, eä Laplace-aon eiy voidaan kääneimuunaa helpoi.
9 Laplace-eoreemoja Laplace-muunno Ajan funkio F () f () T CF() CF() C f() C f () T a F ( a) e f ( ) T3 e a F a 0, a F() T4 f( a), a a f( a) T5 d F () f () T6 d
10 Laplace-eoreemoja Laplace-muunno 0 F f f f n n n ( n) ( n) ( ) (0) (0) (0) ( ) T Ajan funkio F( ) d f( ) T7 F() F () f () f ( ) d T8 F() f (0) f () T9 () (0) (0) () T0 F f f f f F( ) f( ) d f( ) d T
11 Laplace-muunnopareja Laplace-muunno Ajan funkio ( ) M n a ( a) n ( )! M n n! a n e a n a a M3 M4 M5 M6 M7 a e M8 ( a) a e e Laplace-muunno Ajan funkio ( a)( b) ab ( a)( b) ab abb ( a) a a a a ( b) a b ( b) a e e b a b a M9 M0 in( a) M co( a) M b b e e ae be in( a) M3 co( a) M4 a b () ( ab) e M5 b
12 Impuli Diracin dela Akel Penger
13
14 Deerminiie eifunkio Syeemin heräeenä u() käyeään uein euraavia ignaaleja Ykikköimpulifunkio (Diracin delafunkio) R ; z S 0 T () d 0; muulloin U () () Ykikköakelfunkio u () () R S u () ; 0 0 T; 0 Ykikköpengerfunkio R S u () ; r 0 0 T; 0 U () U () r u() u() u() 0 0 0
15 Eimerkki: Maakappale Edelliellä luennolla johdeiin maakappaleelle: Rakaiaan vae, kun R S T mx() Bx( ) kx() F() k 5 B m R S x( 0) x( 0) T F () () (impuli) Maakappaleen malli aikaaoa ja Laplace-muunneuna: c h b g k m F() B () x x ( ) 5x () () X () x() 0 x( 0) X () x() 0 5X () x() c h b g c h X () X () 5X () 5 X () 3
16 Eimerkki: Maakappale Rakaiaan lauekkeea maakappaleen paikka X(): X() 3 5 ( ) ( ) ( ) Kääneimuunneaan akaiin aikaaoon l q b g x ( ) L X( ) e co( ) e in( ) e in( ) co( )
17 Nollaila- ja nollaohjauvaee Vaeea voidaan eroaa alkuarvoia johuva vae y 0 () (nollaohjauvae) ja ulkoiea ohjaukea johuva vae y u () (nollailavae). Lineaariella järjeelmällä kokonaivae on näiden kahden vaeen umma. y () yu () y 0 () Nollaohjauvae y 0 () on vae illoin, kun ulkoie ohjauke eivä vaikua yeemiin u i () = 0. Nollailavae y u () on vae illoin, kun kaikki yeemin alkuarvo y (n) (0) ja u i (n) (0) ova nollia. Uein ermillä vae arkoieaan nollailavaea eli vaea johonkin ulkoieen heräeeeen huomioimaa alkuarvoja.
18 Eimerkki : Maakappale Määrieään edellieä eimerkiä nollaila- ja nollaohjauvaee c h b g c 5h b g X() x() 0 x( 0) x( 0) ( ) X () x() 0 x( 0) X () x() 0 5X () () X() b g x( 0) x( 0) x( 0) () X () Xu() X() X () X () ( ) ( ) 0 u l q l q 0 u 0 x () L X() L X() X() e co( ) e in( ) x() x() u
19 Eimerkki : Maakappale Nollaohjauvae lähee alkuilaa yeemin alkuarvojen johdoa (maakappaleen ijaini alkuhekellä on ja en alkunopeu -) Nollailavae lähee levoa ulkoien ohjauken eli voiman johdoa (impulimainen nykäiy alkuhekellä) R S T x () e co( ) 0 x () e in( ) u x () e co( ) in( ) b g
20 Siirofunkio Sääöekniikaa ukiaan avalliei, mien ulkoie ohjauke ja häiriö vaikuava vaeeeen; alkuarvojen vaikuu jäeään ällöin huomioimaa ja kekiyään nollailavaeeeen. Kun alkuarvoja ei ole, niin vaeen laueke aa muodon, joa lähöuure Y() on ulo mallin Laplace-aon eiykeä G() ja ulouureen Laplace-muunnokea U(). Mallin Laplace-aon eiy G() on nimelään iirofunkio. Y() G() U () U() heräe G() iirofunkio Y() vae z z 0 0 * * * y () g ( ) u( ) d g( ) u ( ) d
21 Siirofunkion määriäminen Laplace-muunneaan yeemiä kuvaava differeniaaliyhälö oleaen kaikki alkuarvo nolliki (ällöin derivoinia vaaa Laplace-aoa :llä kerominen) Siirofunkio G() on lähöuureen Y() ja ulouureen U() oamäärä. Y () G () U() Mikäli ulo- ja lähöuureia on ueia (MIMO-malli), niin ykiäien ulouureen vaikuu ykiäieen lähöuureeeen voidaan määriää oleamalla muu uuree nolliki. Kun ämä oieaan jokaielle ulo- ja lähöuureelle, niin aadaan iirofunkiomariii, joka noudaaa mariiiyhälöä Y() G() U()
22 Siirofunkion määriäminen L NM Y () Y () Y n y () O QP L NM G() G() G n () u G() G() Gn () u G () G () G () U U MM Q NU y y y u u n n n n n O P L M () () () O P PP Q Painofunkio g() on Laplace-kääneimuunno iirofunkioa ja amalla myö yeemin ykikköimpulivae. Joiain apaukia iirofunkio voidaan määriää kokeelliei yöämällä yeemiin impulimainen heräe, miaamalla vae ja Laplace-muunamalla vaeeeen ovieu maemaainen laueke. g () L G ( ) G () Lg ()
23 Differeniaaliyhälöä iirofunkioon Differeniaaliyhälöä voidaan päää iirofunkioon myö oikoieä. Yleinen lineaarinen differeniaaliyhälö ( n) ( n ) ( ) ( n ) ( ) y () a y () a y () a y() bu () b u () b u() n on Laplace-muunneuna (ja oleaen alkuarvo nolliki) n n n n n n n Tää on helppo muodoaa iirofunkio Vaaavai pääään iirofunkioa akaiin differeniaaliyhälöihin n a a a Y() b b b U() G () Y() b b bn n U() a a a n n n n n n n
24 Eimerkki: Maakappale Määrieään edellien eimerkin iirofunkio ja painofunkio () x x( ) 5x() F() y () x () u () F () () y y ( ) 5y () u () Y () Y () 5Y () U() R S T c Y 5h () Y() U() G() U() 5 l q RST UVW R U g () L G () L L e S V T( ) W 5 in( ) Painofunkio on ny ama kuin ykikköimpulivae
25 Vaeen määriäminen Kun iirofunkio unneaan, niin vae (nollailavae) lakeaan euraavai Laplace-muunneaan ulkoinen ohjau u() Rakaiaan lähöuure Y() Kääneimuunneaan lähöuure aikaaoon U() L u() l q Y () G() U () y () L Y () l q Eli: m l qr y () L G () Lu ()
26 Eimerkki: Maakappale Määrieään maakappaleelle ykikköakel- ja - pengervaee. Aikaiemmin yeemille määrieiin iirofunkio Ykikköakeleelle Vaeelle: G () 5 U() Y () G () U () Tehdään oamurokehielmä: 5 ( 5) A B C A ( 5) B ( C) ( A B) ( A C) 5A ( 5) 5 ( 5) ( 5) ( AB) ( AC) 5A R S T A B 0 AC 0 5A R S T A 5 B C 5 5
27 Eimerkki: Maakappale Y() ( 5) 5 5 ( ) ( ) Vaeeki aadaan: Pengerheräeellä: U() l q e c hj 5 y () L Y () e co( ) e in( ) Y () G () U () 5 ( 5) Oamurokehielmän avulla vaeeki aadaan : l q c h y () L Y () e 3 co( ) e in( )
28 Eimerkki: Maakappale Kaoaan, mien vaee aadaan lakeua MATLABia ymboliei ilaplace(/(^3+*^+5*)) an=/5-/5*exp(-)*co(*)-/0*exp(-)*in(*) ilaplace(/((^)*(^+*+5))) an =/5*-/5+/5*exp(-)*co(*)-3/50*exp(-)*in(*) Saadaan ama uloke
29 Saainen vahviu Syeemin aainen vahviu keroo kuinka paljon ignaali vahviuu ai vaimenee kuljeuaan yeemin läpi Ykikköakelvaeella aainen vahviu keroo mille aolle vae ulee jäämään (aympooiei abiililla yeemillä) Ykikköpengervaeella aainen vahviu keroo vaeen kulmakeroimen jakuvuuilaa (aympooiei abiililla yeemillä) Saainen vahviu voidaan lakea iirofunkioa rajaarvon avulla. Saainen vahviu voidaan määriää myö epäabiilien yeemien iirofunkioille, mua ällöin illä ei ole fyikaalia ulkinaa, joka liiyii vaeen loppuarvoon. Saainen vahviu on k lim G( ) 0 l q
30 Eimerkki: Maakappale Määrieään maakappaleelle yeemin aainen vahviu G () Saainen vahviu nähdään myö vaeia Ykikköakelvae Ykikköpengervae l 5 k lim G( ) lim q 0 0 RST 5 UVW 5 y () e 5 c co( ) e in( ) e hj y () e 3 co( ) e in( ) 5 c h
31 MATLAB: malli, heräee ja vaee Mallin yöäminen yöilaan Siirofunkion ai ilaeiyken voi kirjoiaa f, zpk ja komennoilla. Eimerkiki eimerkki :n mekaaninen järjeelmä Järjeelmää kuvaa differeniaaliyhälö: mx () Bx () kx() F() x() x () 5 x() u() Syöeään yöilaan y=f(,[ 5]) Tranfer funcion: ^ Tarkaellaan impuli- ja akelvaeia [imp,]=impule(y); (Tai: [imp,]=impule(f(,[ 5])); ) [e,]=ep(y); plo(,imp) plo(,e)
32 MATLAB: malli, heräee ja vaee Saadaan vaee Vahviukeki aadaan k=dcgain(y) k =0.000 Vaeia voidaan arkaella myö liview-ikkunan avulla liview file -> impor -> y edi -> plo configuraion
33 MATLAB: malli, heräee ja vaee Peruvaeiden liäki voidaan MATLABin yöilaa lakea vaeia mielivalaiille ohjaukille limkomennolla. Pengervae ram=lim(y,,); plo(,ram) Sinivae oc=lim(y,in(0*),); plo(,oc) lim komenoa varen voidaan oaa jollain oiella komennolla lakeu valmi aikavekori, ai generoida ellainen ie, joko yleiellä MATLABin komennolla (kakoipieillä) ai eriyiellä linpace-komennolla 3=(0:0.:0)'; 3=linpace(0,0,0)';
34 MATLAB: malli, heräee ja vaee Aikaiemmilla luennoilla kerroiin, eä peruvaee aadaan oiiaan derivoimalla ja inegroimalla. Kokeillaan, mien hyvin ämä oimii numeeriei Oeaan akelvae pohjaki ja generoidaan impulivae numeeriella derivoinnilla ja pengervae numeeriella inegroinnilla Akelvaeen numeerinen derivaaa imp=diff(e)./diff(); plo(,[0;imp],,imp) Akelvaeen numeerinen inegraali dela=mean(diff()) ram=cumum(e)*dela; plo(,[ram ram]) Numeerinen derivoini ja inegroini oimiva kohuullien hyvin ää (häiriöömää) apaukea.
35 MATLAB: vaeiden lakena ymboliei Vaeia voidaan lakea ymboliei MATLABin Symbolic Mah Toolboxilla. Määriellään ymbolie muuuja ja lakeaan vaee ym G=/(^+*+5) ilaplace(g) an = -/6*(-6)^(/)*(exp((-+/*(-6)^(/))*)-exp((-- /*(-6)^(/))*)) Siirofunkion nimiäjällä on komplekie juure ja euraukena vaeea on komplekiia ermejä (voidaan muunaa reaaliiki ineiki ja koineiki - Eulerin kaavalla). Kannueaan kuienkin ymbolia lakenaa eiämään rakaiu reaaliea muodoa - eieään nimiäjä neliölliinä ermeinä. G=/((+)^+^) imp=ilaplace(g) imp = /*exp(-)*in(*) e=ilaplace(g/) e = /5-/5*exp(-)*co(*)-/0*exp(-)*in(*) ram=ilaplace(g/(^)) ram = /5*-/5+/5*exp(-)*co(*)-3/50*exp(-)*in(*)
36 MATLAB: vaeiden lakena ymboliei Ajalle voidaan ny ijoiaa arvoja ja vaee voidaan eiää graafiei Symbolic Mah Toolboxia voidaan arkaella ymboliia graafeja ezplokomennolla. ezplo(imp,[0 6]) ezplo(e,[0 6]) ezplo(ram,[0 6])
37 Loppu- ja alkuarvoeoreema Loppu- ja alkuarvoeoreema päevä ainoaaan, jo kyeie raja-arvo ova olemaa Kokeillaan eoreemien oimivuua kahdelle vaeelle y () ja y (): 3 y() e y () 3 7 Vaeiden Laplace-muunnoke ova e Y () Y () 3 ( ) 3 ( )
38 Loppu- ja alkuarvoeoreema 3 lim Y ( ) lim ( ) 3 3 lim Y ( ) lim 0 0 ( ) 3 lim Y ( ) lim ( ) 3 lim Y ( ) lim ( ) y e y e 3 7 y e 3 7 y e lim ( ) lim 0 0 lim ( ) lim 3 3 lim ( ) lim 0 0 lim ( ) lim Loppu- ja alkuarvoeoreema päevä ainoaaan vaeelle y (). Vae y () on epäabiili ja ille päee ainoaaan alkuarvoeoreema loppuilalla ei ole olemaa raja-arvoa Yleiei loppuarvoeoreema päee ainoaaan aympooiei abiileille yeemeille.
39 Tilaeiykeä iirofunioon Konvoluuioinegraalin rakaieminen on yölää ja uein pääään helpommalla, jo ilayhälö jäeään Laplace-aoon, heräe Laplacemuunneaan ja vae kääneimuunneaan (aivan kuen yleieä vaeen rakaiemiea). Lähöuureelle aadaan vaaavai: X I A x I A BU () ( ) (0) ( ) () Y CX DU C I A x I A BU DU () () () ( ) (0) ( ) () () C IA x C IA BD U C x G U Y ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) () Y () 0 u x I A x I A BU () L ( ) (0) L ( ) ( ) () x(0) L ( I A) BU() x0() xu() y() L ( ) Y
40 Tilaeiykeä iirofunkioon Tää aadaan kaava, jonka avulla voidaan määriää iirofunkio ilaeiykeä (iirofunkiohan määrieliin ulouureiden ja lähöuureiden välieki riippuvuudeki Laplace-aoa illoin kun alkuarvoja ei oea huomioon) G() C( IA) BD Uein uoravaikuuermiä D ei ole, jolloin kaava vielä ykinkeraiuu muooon G() C( IA) B
41 Eimerkki: Maakappale Rakaiaan maakappaleen ykikköakelvae (nollailavae) iirofunkion avulla Vaeeki aadaan 0 () C( I A) B 0 5 G y () L Y() L GU () () L e co( ) e in( ) 5 ( 5) U()
42 Malli ja muunnoke niiden välillä Todellinen yeemi Tilojen valina Epälineaarinen differeniaaliyhälö Epälineaarinen ilaeiy Linearioini Tilojen eliminoini Linearioini Lineaarinen differeniaaliyhälö Tilojen valina Lineaarinen ilaeiy =e A L{ } Tilojen eliminoini L - { } Kanonie muodo Siirofunkio G=C(I-A) - B+D L - { } L{ } Painofunkio eli impulivae d/d Tilaeiyken yleinen rakaiu Tilaniiromariii Akelvae d/d Pengervae
Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan
87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 6, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- ineaarie järjeelmä Harjoiu 6, harjoiuenpiäjille arkoieu rakaiuehdouke Tää harjoiukea käiellään aplace-muunnoa ja en hyödynämiä differeniaaliyhälöiden rakaiemiea Tehävä Määrielmän mukaan funkion f
LisätiedotAlipäästösuodatuksesta jää kuitenkin pieni vaihtovirtakomponentti, joka summautuu tasajännitteen päälle:
. Saainen analyyi.. Buck-opoloia Käiellään enin buck-yyppiä hakkurieholähdeä (kuva 2.2a ja 3.). ää eimerkiä kuorma on puhaai reiiivinen (R), mua yleiei e on yöeävien laieiden ominaiuukia muodouva impedani.
Lisätiedota. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:
ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,
LisätiedotOjala, Leena Ojala ja Timo Ranta LAPLACE-MUUNNOS
Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana APACE-MUUNNOS Eipuhe Tämä aplace-muunnoa ja en ovelamia käielevä oppimaeriaali on arkoieu ähköekniikan ininöörikouluukeen. Eiieoina ulii unea eimerkiki Ojalain lakuoppien
Lisätiedot( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
LisätiedotBINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA
BINÄÄRINN SYNKRONINN IDONSIIRO KAISARAJOIAMAOMILLA MILIVALAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVIU SUODAIN JA SN SUORIUSKYKY AWGN-KANAVASSA Millaiia aalomuooja perupuleja yypilliei käyeään? 536A ieoliikenneekniikka
Lisätiedot( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
LisätiedotOPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2
OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9
Lisätiedot9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
LisätiedotLuento 6. Järjestelmät
Lueno 6 Järjeelmän (yeemin) äie ja luoiue Lineaarinen aia invariani järjeelmä Impulivae Siirofunio Sabiiliuu Järjeelmien ooaminen oia..7 Järjeelmä Järjeelmä / Syeemi / Proei on objei, joa määriää relaaio
LisätiedotTässä harjoituksessa käsitellään Laplace-muunnosta ja sen hyödyntämistä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.
DEE-00 Lneaare järjeelmä Harjou 0, rakauehdouke Tää harjoukea käellään Laplace-muunnoa ja en hyödynämä dfferenaalyhälöden rakaemea Tehävä Laplace-muunno on käevä yökalu dfferenaalyhälöryhmen rakaemea,
LisätiedotTKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta
KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän
LisätiedotKonvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,
Lisätiedot( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt
SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5
LisätiedotKOE 2 Ympäristöekonomia
Helingin yliopio Valinakoe.5. Maaalou-meäieeellinen iedekuna KOE Ympäriöekonomia Sekä A- eä B-oioa ulee aada vähinään 5 pieä. Mikäli A-oion piemäärä on vähemmän kuin 5 pieä B-oio jäeään arvoelemaa. B-OSIO
Lisätiedotb) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)
Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei
LisätiedotÄlä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!
AS-74. Alogie ääö vkokoelm v. Plu ei jälkee! Trk kokoelm ivumäärä! Älä ee miää merkiöjä kvkokoelm! Dymie mllie perukompoei. Sähköie kompoei Vu (reii) u() Ri() el (iduki) u() L di() d odeori i() C du()
LisätiedotDifferentiaaliyhtälön ratkaisu. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Esimerkki: läpivirtaussäiliö. Esimerkki: läpivirtaussäiliö
Differentiaaliyhtälön ratkaisu ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 3: Dynaamisen vasteen määrittäminen, Laplace-muunnos, siirtofunktio Systeemin ymmärtämisen ja hallinnan kannalta on olennaista tietää, miten
LisätiedotHuomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).
DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4
LisätiedotHilbertin muunnos ja sen sovelluksia
Hilberin muunno ja en ovellukia LuK-ukielma Olli Sarala 24597 Maemaaien ieeiden laio Oulun yliopio Syky 27 Siälö Johdano 2 Eiieoja 3. ääarvoinegraali......................... 3 2 Hilberin muunno reaaliakelilla
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe.3.0 ae ehävä eri paperille uin ehävä 3 5. Muia irjoiaa joaieen paperiin elväi nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehävä laeaan oreaoulun oepaperille. Muia papereia ei
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille
Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial
LisätiedotViivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli
hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen
LisätiedotW dt dt t J.
DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan
LisätiedotLuento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos
Lueno 2 Järjeselmä aika-alueessa Konvoluuio-inegraali Lueno 2 Lueno 2 Järjeselmä aika alueessa; Konvoluuio inegraali 2.1 Järjeselmien perusominaisuude Oppenheim 1.5. 1.6 Muisillise ja muisioma järjeselmä
LisätiedotKUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto
KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri
LisätiedotTehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.
Kem-9.7 Prosessiauomaaion perusee Teni 5.9.5 TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN MUKANA NIMI: (OS: ) OPINTOKIRJA: VIERAILULUENNOT KUUNNELTU: VALV. LASK: Tehävä I. Vaihoehoehävä. Oikea vasaus
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän
LisätiedotPD-säädin PID PID-säädin
-äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen
Lisätiedot6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia
6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen
LisätiedotX 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k
Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +
Lisätiedotjärjestelmät Luento 4
DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä
LisätiedotTasaantumisilmiöt eli transientit
uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen
LisätiedotElektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
TEKNIINEN KORKEAKOUU Elekroniikan, ieoliikeneen ja auomaaion iedekuna Suanna Pöyhönen IIKKUVAAN MATERIAAIIN SYNKRONOITUVA EIKKAUS TAAJUUSMUUTTAJASOVEUKSENA Diplomiyö, joka on jäey opinnäyeenä arkaeavaki
LisätiedotRak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007
Rak-54.116 Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Ten.8.7 Krjoa jokaeen koepapern elvä - koko nme, puhuelunm allevvauna - oao, vuokur, enn pävämäärä ekä enävä opnojako koodeneen - opkeljanumero, mukaan luken arkukrjan
LisätiedotMS-C2132 Systeemianalyysilaboratorio I Laboratoriotyö 2. Sähkönkulutuksen ennustaminen aikasarjamallin avulla & Sähkön hankinnan optimointi
MS-C2132 Syeemianalyyilaboraorio I Laboraorioyö 2 Sähkönkuluuken ennuaminen aikaarjamallin avulla & Sähkön hankinnan opimoini Laboraorioyö 2 Aikaarjamalli erään yriyken ähkönkuluukelle SARIMAX-malli: kauivaihelu,
Lisätiedot2. Systeemi- ja signaalimallit
2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia
LisätiedotELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op)
ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Kevä 2016 hps://mycourses.aalo.fi/course/view.php?id=5073 Luku 1: Esiely, johdano, dynaamise malli ja rakenee, lohkokaavio, säädön periaaee ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op)
LisätiedotPARTIKKELIN KINETIIKKA
PTKKELN KNETKK Newonin laki ma m& - on paikkeliin aikuaien oimien eulani - m on paikkelin maa - a & on paikkelin aboluuinen kiih Suoaiiaien liikkeen liikehälö (liikeuuna : m a 0 z 0 Taoliikkeen liikehälö
LisätiedotLaplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0
Laplacemuunnoten peruteet kurilla S; v.. Jarmo Malinen. joulukuuta 29 Siältö Alkuanat 2 2 Määritelmiä 2 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia 6 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin
LisätiedotJuuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia
Lisätiedot4.3 Liikemäärän säilyminen
Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.
LisätiedotDiskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:
DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Rakaiuia Nämä Derivaaa -kurin kerauehävien ja -arjojen rakaiu peruuva oppikirjan ieoihin ja meneelmiin. Kuakin ehävää on yleenä vain yki rakaiu, mikä ei kuienkaan arkoia iä, eä rakaiu olii ainoa ai ede
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
LisätiedotELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op)
ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Kevä 2017 hps://mycourses.aalo.fi/course/view.php?id=13390 Luku 1: Esiely, johdano, dynaamise malli ja rakenee, lohkokaavio, säädön periaaee ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op)
Lisätiedot12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut
1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä
LisätiedotOH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11.
Kemian laieekniikka 1 Koilasku 1 4.4.28 Jarmo Vesola Tuoee ja reakio: hiilimonoksidi, meanoli, meyyliformiaai C HC (1) vesi, meyyliformiaai, meanoli, muurahaishappo HC CH (2) hiilimonoksi, vesi, muurahaishappo
LisätiedotDynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä
Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
Lisätiedot5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
Lisätiedotjoka on separoituva yhtälö, jolla ei ole reaalisia triviaaliratkaisuja. Ratkaistaan: z z(x) dx =
HY / Maemaiikan ja ilasoieeen laios Differeniaalihälö I kevä 09 Harjois 4 Rakaisehdoksia. Rakaise differeniaalihälö = (x + + Rakais: Tehdään differeniaalihälöön lineaarinen mnnos z(x = x + (x + jolloin
LisätiedotLuento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Lisätiedot1 Excel-sovelluksen ohje
1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen
LisätiedotLuento 6. Järjestelmät
Lueo 6 Järjeelmä (yeemi) äie ja luoiue Lieaarie aia ivariai järjeelmä Impulivae Siirofuio Sabiiliuu Taajuuvae..6 Järjeelmä Järjeelmä / Syeemi / Proei o objei, joa määriää relaaio igaalijouo välillä. Järjeelmä
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,
LisätiedotELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 4: Lohkokaaviomuunnokset, PID-säädin ja kompensaattorit,
ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 4: Lohkokaaviomuunnoket, PID-äädin ja kompenaattorit, Järjetelmien kokoaminen oayteemeitä Edelliillä luennoilla on tarkateltu ykittäiiä ilmiöitä ja niiden malleja (luento
LisätiedotF Y S I I K K A KERTAUSTEHTÄVIÄ 1-20
F Y S I I K K A KERTAUSTEHTÄVIÄ - 0 Oalla eieyiä kyyykiä vaauke ova huoaavai pidepiä kuin iä eierkiki kokeea vaaukela vaadiaan. Kokeea on oaava vain olennainen aia per ehävä. . Muua SI järjeelän ykiköihin
Lisätiedot2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t
Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina
LisätiedotXII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA
II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =
LisätiedotMittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta
Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä
Lisätiedot11. Takaisinkytketyt vahvistimet
Kar berg Kar berg. akankykey vahvme. ahvn yyppejä Jännevahvn Ohjaun läheen pääyyppejä Jänne hjau jännelähde ra hjau jännelähde Jänne hjau vralähde ra hjau vralähde v kun >> v kun >> ja >> njänne n en uraan
LisätiedotÖljyshokkien talousvaikutusten heikkeneminen ja ilmiön syyt
Öljyhokkien alouvaikuuen heikkeneinen ja iliön yy Kananalouiede Pro gradu -ukiela Talouieeiden laio Taereen ylioio Ohjaaja: Jukka Pirilä Lokakuu 20 Terhi Lohander TIIVISTELMÄ Taereen ylioio Talouieeiden
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset
D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotLuento 11. tietoverkkotekniikan laitos
Lueno Lueno Sokasise signaali ja prosessi II. Sokasise prosessi Pruju Saionaarisuus, ergodisuus Auo ja risikorrelaaio ehospekri.3 Kohinan suodaaminen Sokasinen raja arvo ja derivaaa Winer Khinchin eoreema.3
LisätiedotS Piirianalyysi 2 2. välikoe
S-55.22 Piirianalyyi 2 2. välikoe 6.5.23 Lake tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muita kirjoittaa jokaieen paperiin elväti nimi, opikelijanumero, kurin nimi ja koodi. Epäelvät vataupaperit voidaan
Lisätiedot4. Integraalilaskenta
4. Inegrlilsken Joh8elev esimerkki: kun hiukksen pikk s( erivoin jn suheen, sn hiukksen nopeus: v( = s'( Kun nopeus erivoin jn suheen sn kiihyvyys ( = v'( Kääneinen ongelm: hiukksen kiihyvyys on (. Mikä
LisätiedotKOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA
EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:
LisätiedotHAMMASHIHNAJOHDEAKSELEIDEN LIIKKEIDEN SYNKRONOINTI
LAEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOISTO Teknillinen iedekuna LUT Energia Sähköekniikan kouluuohjelma Jukka arkkinen HAMMASHIHNAJOHDEAKSELEIDEN LIIKKEIDEN SYNKRONOINTI Työn arkaaja: rofeori Juha yrhönen TkT Markku
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
LisätiedotTENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Luotettavuusteoria
TENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Luoeavuueoria Dekripiivinen luoeavuu R() =P(T>) R(x ) =P(T>+ x T>) r() = f() R() R() =e R(x ) =e r() d +x r() d F () R() f() r() F () R() f() F () df () d R()
LisätiedotETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET
TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL
LisätiedotTiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus
Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen
LisätiedotLuento 11. Stationaariset prosessit
Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan
LisätiedotSUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND
97 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND WORKING PAPERS ISSN 0781-4410 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS The Acuarial Sociey o Finland 97 Auranen, Ani Omavauueu (2009) Omavauueu SHV-yö Ani Auranen
LisätiedotRATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino
Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte
4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli.
LisätiedotRATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy
Lisätiedota) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1
S-7.060 Signaali ja järjeselmä Teni 14.5.001 1. Vasaa lyhyesi seuraaviin saehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä minaisuuksisa rgnaalinen ja rnrmaalinen kuvaa paremmin Furier-sarjaa ja miksi? b) Esiä
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa
LisätiedotRATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit
Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö
LisätiedotDIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM A Tietoliikennetekniikka I Osa 21 Kari Kärkkäinen Kevät 2015
1 DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM 521357A Tietoliikennetekniikka I Oa 21 Kari Kärkkäinen DELTAMODULAATIO M 2 M koodaa näytteen ± polariteetin omaavaki binääripuliki. Idea perutuu ignaalin m(t muutoken
LisätiedotLuento 7 Järjestelmien ylläpito
Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
LisätiedotOsa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos
Oa VII Laplace muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 181 / 246 A.Raila,
LisätiedotVÄÄNTÖ, PERUSKÄSITTEITÄ
VÄÄNÖ, PERUSKÄSEÄ Väänöakeli Väänökekiö poikkipinapainuma σ normaalijänniy Väänömomeni leikkaujänniy ϕ äänökulm a VP VÄÄNÖ Poikkipinapainuma oi apaai ynyä. (Sain Venan. 85) ESEY VÄÄNÖ Poikkipinapainuma
LisätiedotIntensiteettitaso ja Doplerin ilmiö
Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0
LisätiedotSilloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (
TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin
Lisätiedotx v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.
Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen
Lisätiedot2. Suoraviivainen liike
. Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus
LisätiedotSÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA
1 SÄHKÖTKNIIKKA JA LKTONIIKKA X-2 2017, Kimmo Silvonen Osa II, 25.9.2017 1 Muuosilmiö ja differeniaaliyhälö Tässä luvussa rajoiuaan pääasiassa asajännieläheisiin liiyviin muuosilmiöihin, vaikka samanlainen
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011
S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω
LisätiedotA-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!
MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)
Lisätiedot