MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa käyeävisä krieereisä pääää ukinoaineen sensorikuna. Hyväsä suoriuksesa näkyy, mien vasaukseen on päädyy. Rakaisussa on olava arviava lasku ai muu riiävä peruselu ja loppuulos. Arvioinnissa kiinnieään huomioa kokonaisuueen, ja rakaisu pyriään arvioimaan kolmiosaisesi: alku, välivaihee ja loppuulos. Laskuvirhee, joka eivä olennaisesi muua ehävän luonnea, eivä alenna pisemäärää merkiäväsi. Sen sijaan ehävän luonnea muuava lasku- ja mallinnusvirhee saaava alenaa pisemäärää huomaavasi. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan ehäväkohaisesi. Jos rakaisussa on käyey symbolisa laskina, sen on käyävä ilmi suoriuksesa. Analysoinia vaaivien ehävien rakaisemisessa pelkkä laskimella saau vasaus ei riiä ilman muia peruseluja. Sen sijaan laskimesa saau ulos yleensä riiää ruiiniehävissä ja laajempien ehävien ruiiniosissa. Tällaisia ova esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhälöiden rakaiseminen sekä funkioiden derivoini ja inegroini. Maemaiikan koe, pikä oppimäärä Hyvän vasauksen piireiä

2 Alusava piseiys. b) c) ( )( 3) 6 ( 5) 5 TAI rakaisukaavalla: 5, josa 5 Leikkauspisee saadaan yhälöparisa y y 3 Vähenämällä yhälö puoliain saadaan, josa. Sijoiamalla ämä ylempään yhälöön saadaan y 3 ja leikkauspiseeksi äen,3. Kysyy luku. Ehona on 4. Saadaan yhälö 8, josa rakaisukaavalla ulos y 7 46y4 3 y y Yheenlaskulla saadaan 3 6. Sijoiamalla ylempään yhälöön saadaan 4 3y 7 y. Leikkauspise on sien (,). b) Kysyy luku on. Ehona on. Neliöimällä puoliain saadaan 4. 4 (4 ) 4 c) Logarimikaava anaa ln ln3 ln ln (ln3 ln ) ln3 ln, 3 josa sievenämällä saadaan vasaus. Maemaiikan koe, pikä oppimäärä Hyvän vasauksen piireiä

3 3. Ehona on,6 f ( ) 38 e 37,9,6 e,6, e. Oamalla luonnollinen logarimi puoliain saadaan,6 ln ln 4, minuuia.,6 b),6 Muuosnopeus f ( ) e,6 (,6),e,,8 joen f(3),e,983..., asea minuuissa. 4. Oikea idea. Yhälö on y. b) Oikea idea. Yhälö on y ( 3) 6 9. c) Yhdiseään a- ja b-kohien idea. Yhälö on y ( 3) y Pyörähdyskappaleen kaavan sekä symmerian nojalla ilavuus on sin d cos( ) d / sin( ) 9, Maemaiikan koe, pikä oppimäärä Hyvän vasauksen piireiä

4 6. Kaaren piseen,3 5 eäisyys origosa on d. Tällöin d f ( ) ,. 3 f ( ) 9 ( 9 ). f ( ) 9, josa. 5 Suurin arvo saadaan välin pääepiseessä ai derivaaan nollakohdassa. Ääriarvoehdokkaa ova sien f (), f,35 ja f 5,3, joisa viimeisin on suurin. Piseen y y Kysyy pise on sien , X Normius: Kahvin määrä X ~ N(,) Z ~ N(,). Alipainoisen pakein odennäköisyys on 5 5 P( X 5) P Z., niin äyyy olla 5 Koska ämän on olava,,98. Tällöin kerymäfunkioaulukon mukaan on likimääräisesi voimassa 5,5, josa,5 5 5,5. Sisällön määrän odousarvoksi on siis säädeävä 5 grammaa. 8. a Jos jono an on geomerinen, niin n an an an an an an, josa an ana n. b) Jos bn bn b n, niin bn bn b n. bn bn Jakamalla puoliain lausekkeella bb n n saadaan, bn bn joen jono on geomerinen. Maemaiikan koe, pikä oppimäärä Hyvän vasauksen piireiä

5 9. Koska f() on parillinen funkio, niin ukiava kaari on huipun kaua kulkevan pysysuoran akselin suheen symmerinen. Kaaren korkeus saadaan siis arvolla. Korkeus 39 f () meriä. b) Kaaren leveyden puolikas on kaaren yven posiiivinen -koordinaai. Kaaren yvessä 39 f 3 y, eli f Apulasku: () f a e a. Kerroaan puoliain lausekkeellae, jolloin saadaan yhälö e ae. Saadaan ln a a. a 4a 4 e a a, joen Sijoieaan arvo edelä: ln , josa 39ln 5,9 5,9 96,7... Koska negaiivinen 96,7... arvo ei kelpaa, niin kaaren leveys on 9, meriä. c) ( ) f ( e e ) ( ) 39 y f f, joen e e e Kysyylle kulmalle päee yhälö an y e e, josa arvolla 96,7... saadaan an 5,838..., ja edelleen 8, Maemaiikan koe, pikä oppimäärä Hyvän vasauksen piireiä

6 . b) Olkoon pise C (, y) ja E (,). Tällöin TOC ~ COE, joen, josa. Koska y, niin y. Piseen C koordinaai ova sien,,. Pienemmän ympyrän säde CT. Merkiään DE a. Jana TA ja AE. Saadaan yhälö TA AE ED TD, eli a, josa Janan CD kulmakerroin Koska jana OD a niin k BD OD samalla suoralla. k CD a y a.., k CD. Näin ollen pisee B, D ja C ova Maemaiikan koe, pikä oppimäärä Hyvän vasauksen piireiä

7 . f( ) e e, joka on posiiivinen kaikilla väiös. TAI: e e f( ). e e e Kun kasvaa, niin e pienenee, jolloin erous kasvaa, eli f( ) kasvaa aidosi. b) ( e e f( ) e e, kun. c) Koska f (), ,999 ja f( ) on aidosi kasvava, niin epäyhälö päee.. Tosi, koska esim. luvu y kelpaava. b) Epäosi, sillä ei ole olemassa suurina reaalilukua y. c) Tosi, koska jos, niin kaikille luonnollisille luvuille y päee: y. Maemaiikan koe, pikä oppimäärä Hyvän vasauksen piireiä

8 3. b) 5 5 f ( ) Yhälön rakaisu on sama kuin funkion 4 nollakoha. Koska f ( ) 5, kun, on f( ) ällä välillä aidosi kasvava. Kun lisäksi f () ja f () 9, on jakuvalla funkiolla f( ) äsmälleen yksi nollakoha ja sien yhälöllä äsmälleen yksi rakaisu. 5 5 Newonin palauuskaava on n n 4n n n n 5n Ieroini: 3 4,5,784...,675...,673...,67 *4. Piirreään jana AD ja BC. Tällöin CBA CDA samaa kaara AC vasaavina kehäkulmina. Lisäksi kolmioilla yheinen kulma APC. Täen kolmio ova yhdenmuooise (kk). b) Yhdenmuooisuuden nojalla PA PC, PD PB josa saadaan risiin keromalla PA PB PC PD. c) Olkoon K ympyrän keskipise. Piirreään jana AC ja AD ja merkiään CDA. Tällöin CKA, koska se on samaa ympyrän kaara AC vasaava keskuskulma. Tasakylkisen kolmion CKA kulmille päee: ACK KAC 9. Koska KAP 9, niin CAP 9 9. Kolmioissa PCA ja DAP on kaksi yhä suura kulmaa, joen ne ova yhdenmuooise, josa seuraa ( PA) PC PD. d) Merkiään kolmion kärkiä K, A, P. Hypoenuusa leikkaa ympyrän piseessä E. Jakeaan hypoenuusaa c säeellä EK a, jolloin jake kohaa ympyrän piseessä D. b-kohdan nojalla päee PA PE PD. Merkiään PA b ja PK c, jolloin b ( c ( c c a, josa Pyhagoraan lause a b c seuraa. Maemaiikan koe, pikä oppimäärä Hyvän vasauksen piireiä

9 *5. Koska binomin neliönä niin y y ( y) y y, kaikille yr., b) Edellisen kohdan nojalla y y... nyn y y... n yn... n y y... yn ak bk Sijoiamalla edelliseen lausekkeeseen k ja yk se ulee A B muooon a a... an b b... b n A B ( ) c) Edellisen kohdan nojalla ab... anbn A yb... na ynb AB( y... nyn) AB a... a b... b. n n Maemaiikan koe, pikä oppimäärä Hyvän vasauksen piireiä