3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista"

Transkriptio

1 Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti. Kehäaenteessa taiutusella ja/tai äännöllä on oleellinen meits ainain aenteen jossain osassa. Kehäaenteen lasentamallissa on siis momenttien ja leiausoimien uomittamia paleja, mutta muana oi mös olla ain nomaalioimaa astaanottaia sauoja. leensä ehäaenteen palien oletetaan iinnittän toisiinsa jäästi ehän nuissa. Tällöin palien päät eiät ie toisiinsa nähden aan oeat saman nuaan liittän otaation. Kehäaennemallissa oi josus esiintä sisäisiä nieliä tai luisteja. Niillä oidaan mallintaa palin pään iinnitsiä, jota eiät ota meittäästi astaan taiutusmomenttia tai leiausoimaa tietssä suunnassa. Kehäaenteen palien geometia mallinnetaan niiden pintaesiöiioilla, jota liittät toisiinsa ehän nuissa joo suoaan tai tietllä epäeseisdellä. Palit oat leensä tasapasuja, jolloin niille taitaan annattimen teoian muaiset poiileiausen pintasuueet. Muuttuan poiileiausen omaaan annattimen äsittel ei onnistu oin leisesti peuslujuusopilla, mutta elementtimenetelmässä se oidaan mallintaa halutulla tauudella jaamalla pali iittään moneen tasapasuun osaan. Kehäaenteen ineettinen uomitus oostuu paleihin tai nuiin ohdistuista pistemäisistä oima- ja momenttiuomitusista seä paleihin ohdistuista iiauomitusista ja lämpötilauomitusista. Kinemaattinen uomitus sisältää tuipisteiden tunnetut tanslaatio- ja otaatiosiitmät. asennan tulosena saadaan palien asitusuat ja astaaat jännitset seä nuien tanslaatio- ja otaatiosiitmät ja palien immoiiojen lauseeet. Kolmiulotteista ehäaennetta sanotaan aauusehäsi. Jos ehäaenteen aiien palien pintaesiöiiat ja niiden poiileiausten toinen pääneliöaseli oat samassa tasossa seä uomitus ja tuenta oat sellaiset, että palien immoiiat muodonmuutosten jäleenin psät tässä tasossa, sanotaan seistä ehäaennetta tasoehäsi. Jos edellä uattua tasoaennetta uomitetaan ja tuetaan ain sen nomaalin suunnasta, sanotaan sitä ainasi. Ainaa oidaan elementtimenetelmässä äsitellä aauusehän elementillä, mutta sitä aten on ehitett mös omia ainan eitispiiteet huomioon ottaia elementtejä. Taallisesti ehäaenteen nuiin snt uomitusen aiutusesta seä tanslaatiosiitmiä että otaatiosiitmiä. Joissain tapausissa nuiin tulee tanslaatiosiitmiä ain nomaalioimista johtuien pituudenmuutosten taia. Kosa ehässä palien pituudenmuutoset oat leensä niiden taipumiin eattuna pieniä, ei tehdä suuta ihettä, aia ne oletetaan nollisi. Tällä oletusella seessä olea ehä on nuistaan siitmätön ja sen nuiin oi sntä ain otaatioita. Nuistaan siitmätön ehä on hainainen eitistapaus ja leensä ehät oat siitänuaisia. Tässä Kehäaenteet Matti ähteenmäi

2 Elementtimenetelmän peusteet. taastellaan uitenin nuistaan siitmätöntä ehäaennetta, osa astaaalla palielementillä taitaan ain asi otaatioapausastetta, joten siitä on sinetaisinta aloittaa palielementtien teoian ehittel. Ristioaenteiden htedessä esitett suoan elementtimenetelmän fomulointi soeltuu sellaisenaan ehäaenteisiin. Uutena piiteenä on otaatioapausasteiden ättö solmumittausessa. asennassa taitaan leisen tasoehän ja aauusehän äsitteln sopiat elementit ja on tunnettaa niiden jäsmatiisien ja eialenttisten solmuuomitusetoeiden lauseeet. Palielementit hmitellään sen muaan, miten ne ottaat huomioon leiausoiman aiutusen taipumaan. Hoian palin elementti ei ota leiausoimaa huomioon lainaan ja oean palin elementti ottaa sen huomioon liimäääisesti poiileiausen leiausetoimen aulla. eiausoiman aiutus on leensä pieni. Tässä äsitellään sitisohtaisesti ain hoian palin elementtejä ja oean palin elementin tuloset esitetään ilman johtoa.. Tasoehä.. Kahden apausasteen palielementti Taastellaan nuista siitmättömän tasoehän palielementtiä. Tätä elementtiä ätettäessä solmut oiat sijaita ain ehän nuissa ja niillä on si otaatioapausaste. Kseessä on uan. asisolmuinen ahden apausasteen palielementti, joa on tuettu päistään nieltuennoilla siitmättömäsi. Elementti on suoa ja tasapasu pali, jona pientä pituudenmuutosta ei oteta huomioon. oaalin -oodinaatiston oigo on alusolmussa ja ja oat poiileiausen pääneliöaselit. Kuomitusesta sntä taiutusmomentti aiuttaa Kua. Palielementti. loaalin -aselin mpäi ja pääneliömomentti tämän aselin suhteen on I. Kuassa. on elementin solmumittaus, jossa solmusuueet oat otaatio ja momentti -aselin mpäi elementin päissä oleissa solmuissa. f oat oaalioodinaatiston solmusiitmäetoi { u } ja solmuoimaetoi {} {} f { m m } { u} = { ϕ ϕ } = (.) Meinnöistä on jätett mittausen suuntaan iittaaa alaindesi pois, osa seaannusen aaaa ei ole. Solmusuueiden positiiinen suunta on astapäiään. Paliteoiassa taiutusmomentti on positiiinen, un se enttää positiiista -aoa astaaaa eunaa palista ja -aselin suunta on alaspäin. Elementtimenetelmässä ei annata ättää tällaista oodinaatistoa, aan -aselin suunta on uan. muaisesti löspäin. Tällöin taiutusmomentti on positiiinen, un se enttää palin lä- Kehäaenteet Matti ähteenmäi

3 Elementtimenetelmän peusteet. m on palin alupään taiu- eunaa. Solmuoimaetoin omponenteista momentti tusmomentti, mutta momentti Elementin peushtälö [ ]{ u} { f} m on sen loppupään taiutusmomentin astasuue. = on aui ijoitettuna muotoa m m = ϕ ϕ (.) Jäsmatiisin [ ] saaeiden aliot saadaan össiitmämenetelmällä. Kun elementti paotetaan siitmätilaan { u } = { }, siihen taittaat momentit oat uan. tauluon tapausen 5 muaan = EI/ ja = EI/. Siitmätilaa { u } = { } astaaat momentit oat puolestaan tapausen 7 muaan = EI/ ja = EI/. Elementin jäsmatiisi on näin ollen (.) EI [ ] = Jotta uan. elementtiä oitaisiin ättää, taitaan jäsmatiisin (.) lisäsi eialenttisten solmuuomitusten aaat elementtiuomitusten äsittelemisesi. Tiettn uomituseen liittät eialenttiset solmuuomituset oat astaaan apausasteistaan iinnitetn palin tuieatioiden astasuueet. Taitaan siis jään iinnitsen tuimomentteja, jota tunnetaan aiille taallisille uomitusille. Kuassa. on tauluo, jossa on muutamia palin uomitustapausia ja niihin liittät tuimomentit. Tauluossa on mös pstsuuntaiset tuioimat, osa niitä taitaan jatossa palielementeille, joissa -aselin suuntaiset siitmät oat muana solmumittausessa. Muita uomitustapausia on helposti lödettäissä ijallisuudesta... Neljän apausasteen palielementti Kua. Palielementti. Kun uan. elementin solmuihin lisätään -aselin suuntaiset siitmämittauset, saadaan neljän apausasteen palielementti uan. muaisesti. Vastaaat loaalioodinaatiston solmusiitmä- ja solmuoimaetoi oat { u} = { u ϕ u ϕ } {} f = { f m f m } (.) Kaaan (.) etoeita astaaa elementin jäsmatiisi [ ] oidaan johtaa - Kehäaenteet Matti ähteenmäi

4 Elementtimenetelmän peusteet. össiitmäpeiaatteella. Elementin peushtälö [ ] { u} { f} = on aui ijoitettuna u ϕ u ϕ f m = f m (.5) Kun elementti paotetaan siitmätilaan { u } = { }, siihen taittaat solmuoimat oat uan. tauluon tapausen muaan / EI/ =, / =, = EI/ ja =. Muita össiitmätilanteita astaaat solmuoimat, E, I a F b b (a+ b) F ab F a (a+ b) F a bf a M b 6ab M b(ab) M 6ab M a(ba) M q q q q q δ EI δ δ EI δ δ 5 β β EI β β EI β 6 δ EI δ δ EI δ δ 7 β β EI β β EI β Kua. Palin tuieatioita. Kehäaenteet Matti ähteenmäi

5 Elementtimenetelmän peusteet.5 saadaan uan. tauluon tapausista 5, 6 ja 7. Jäsmatiisi [ ] on siis 6 6 EI 6 6 = (.6) [ ] Kosa uan. elementissä on solmujen poiittaissuuntainen oima- ja siitmämittaus, taitaan elementtiuomitusten äsittelssä tuimomenttien lisäsi mös poiittaisia tuioimia. Kuassa. oat muutaman taallisen peustapausen tuioimat... Kuuden apausasteen palielementti leisen tasoehän äsitteln taitaan elementti, joa oi olla mielialtaisessa asennossa -globaalioodinaatistossa ja jona solmuilla on tanslaatioapausasteet - ja -aseleiden suunnissa ja otaatioapausaste -aselin mpäi. Taittaa elementti on siis globaalimittausella austettu uuden apausasteen palielementti. Taastellaan tilannetta ensin elementin Kua. Palielementti. -loaalioodinaatistossa. Kun uan. palielementin solmuihin lisätään palin suuntainen mittaus ja numeointi aihdetaan solmuittain eteneäsi, saadaan uan. uuden apausasteen palielementti. Sen loaalioodinaatiston solmusiitmä- ja solmuoimaetoi oat { u } = { u u u u ϕ } { f} = { f f m f f m } ϕ (.7) Kosa palin lineaaisessa teoiassa eto/puistus ei ole tett taiutuseen ja leiauseen, saadaan uan. elementin jäsmatiisi sijoittelusummaamalla asiaalisen elementin jäsmatiisi (.6) ja neljän apausasteen palielementin jäsmatiisi (.6) uan. numeoinnin muaisesti. Tulosena on seuaaa uuden apausasteen palielementin loaalioodinaatiston jäsmatiisi [ ] = κ / 6 κ / κ / 6 κ / 6 κ / κ 6 κ / κ κ / 6 κ / κ / 6 κ / 6 κ / κ 6 κ / κ (.8) Kehäaenteet Matti ähteenmäi

6 Elementtimenetelmän peusteet.6 jossa on meitt = EA / ja κ = EI/. Kosa uuden apausasteen palielementissä on muana palin suuntainen solmumittaus, oidaan sen aulla ottaa huomioon mös palin pituuden muutosen aiutuset. Elementtiuomitusten äsittel sujuu eialenttisten solmuuomitusten aulla aiaisemmin esitetllä taalla, nt taitaan ain aiiin olmeen solmuapausasteeseen liittiä iinnitseatioita. Näitä saadaan muutamalle peustapausille uien. ja. tauluoista. leisen tasoehän taasteluun taitaan uan.5 (b) globaalioodinaatistossa mielialtaisessa asennossa olean uuden apausasteen palielementin globaalimittauseen liittä jäsmatiisi. Etsitt jäsmatiisi saadaan oodinaatiston ieon aulla, jolloin lähdetään liieelle uan.5 (a) muaisista elementin loaali-. oodinaatiston solmusuueetoeista { u } ja { f} seä jäsmatiisista [ ] α α { u } {} f [ ] { u} { f} [ ] Kuan.5 (b) solmumittausesta { u } = { u u u u ϕ } { f} = { f f m f f m } ϕ (.9) päästään uan.5 (a) solmumittauseen ietämällä ensisi mainittua ulma α astapäiään. Tällöin elementin solmumittausien älillä oat htedet { u } [ B]{ u} {} f = [ B]{ f} = (.) missä inemaattinen matiisi [ B ] on nt [ B] cosα sinα = sinα cosα cosα sinα sinα cosα (.) Kehäaenteet Matti ähteenmäi

7 Elementtimenetelmän peusteet.7 Kinemaattinen matiisi [ B ] muodostetaan soeltamalla solmujen tanslaatioiden mittausiin oodinaatiston ietoa ja jättämällä otaation mittauset ennalleen. [ B ] on otogonaalinen matiisi eli [ B ] = [ B] T, jolloin oimamittausien htes oidaan ijoittaa mös muotoon { f} = [ B] { f}. Kaaa (.) on siis mös tulittaissa onta- T gedienttilaisi, josta seuaa, että globaalioodinaatiston jäsmatiisi [ ] saadaan onguenssimuunnosella aaojen (.8) ja (.) matiiseista T [ ] [ B] [ ][ B] = (.) Kaaan (.) jäsmatiisi [ ] oitaisiin ijoittaa aui suoittamalla matiisien etomiset. Tulos on uitenin epähaainnollinen ja elementtien jäsmatiisit oidaan lasea htä hin aaasta (.). Elementtiuomitusille oidaan muodostaa loaalioodinaatiston eialenttinen solmuuomitusetoi {} esimeisi uien. ja. tauluoista. Se on muunnettaa globaalioodinaatistoon ennen sijoittelusummausta, johon oidaan ättää muunnosta (.) eli T {} [ B]{} {} = [ B] { } = (.).. eiausoiman aiutus Edellä johdetut palielementtien jäsmatiisit peustuiat teniseen taiutusteoiaan, jolloin on otettu huomioon ain taiutusmomentin aiutus palin taipumaan. Palin leiausoima aiheuttaa mös taipumista, joa asinin oeilla paleilla aiuttaa hieman tulosiin. eiausoiman aiutusen määits leiselle poiileiauselle ei onnistu taasti annattimen teoialla, mutta iittään taa liiataisu saadaan ättämällä leiauseointa φ, joa iippuu palin mateiaalista ja geometiasta. Monille poiileiausille oidaan johtaa leiausetoimen liiao esimeisi tenisen taiutusteoian tai enegiapeiaatteen aulla. Voidaan osoittaa, että leiauseointa ätettäessä uuden apausasteen palielementin loaali jäsmatiisi (.8) muuttuu muotoon [ ] = κ (+ φ) 6 κ (+ φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) 6 κ (+ φ) ( + φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) ( φ) κ (+ φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) 6 κ (+ φ) ( φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) ( + φ) κ (+ φ) (.) Kehäaenteet Matti ähteenmäi

8 Elementtimenetelmän peusteet.8 eiausetoimen φ lausee oidaan esittää muodossa s s EI A i φ = = (+ ν) (.5) GA A jossa E, G ja ν oat mateiaaliaiot, A s tehollinen leiauspinta-ala (leiausoiman astaanottaa pinta-ala) ja i poiileiausen neliösäde. eiauspinta-aloja löt lujuusopin ijallisuudesta, esimeisi suoaulmiolle A s = 5A / 6, mpälle A s = 9A / ja I-pofiilille uuman pinta-ala. Kaaasta (.5) nä, että leiausmuodonmuutosen aiutus on pieni, jos palin hoiuusluu λ = / i ei ole oin pieni. Kun ν =, ja aioidaan aeasti A s = A, saadaan seuaaia aoja λ φ,,78,95, joista nä selästi, että taanomaisen hoiuuden omaaalla palilla leiausoiman aiutus taipuman aoon on ähäinen.. Aauusehä.. Aauusehän elementtieo Vain tasapasuja ja suoia osia sisältään aauusehän taa ataisu saadaan elementtieolla, jossa solmut sijoittuat nuiin, tuipisteisiin, uloepäihin ja poiileiausen muutosohtiin. Aauusehän elementit oat suoia asisolmuisia palielementtejä. Kuassa.6 on esimei aauusehän elementtieosta, jossa on solmua ja elementtiä. Aauusehälle soitaan globaali -oodinaatisto, jona aseleiden suhteen solmumittaus suoitetaan. Solmumittaus sisältää tanslaatiot ja solmuoimat globaalisuunnissa ja otaatiot ja momentit globaalisuuntien mpäi. Solmulla on 6 ja elementillä apausastetta. Elementin solmuoimaetoeiden dimensio on ja jäsmatiisi on matiisi. Kuassa.6 on esitett nuolismboleilla solmun apausasteet. Kullain elementillä on oma loaali oodinaatisto, jona -aseli on elementin suuntainen ja -oodinaatisto on sen poiileiausen pääoodinaatisto. Kuassa.6 on elementin 9 loaalioodinaatisto ja globaali solmumittaus. Aauusehän elementtejä asittaa taiutusmomentti ja leiausoima sen poiileiausen päätasoissa ja lisäsi nomaalioima ja ääntömomentti. Näiden äsittelemiseen taitaan poiileiausen pintasuueet eli ala A, pääneliömomentit I ja I seä ääntöneliömomentti I, miäli leiausmuodonmuutosta ei oteta huomioon ja ajoitutaan apaan äännön teoiaan olettaen lisäsi pintaesiön ja ääntöesiön Kehäaenteet Matti ähteenmäi

9 Elementtimenetelmän peusteet.9 htän. eiausmuodonmuutos oidaan taittaessa ottaa liimäääisesti huomioon umpaanin päätasoon liittien leiausetoimen φ ja φ aulla. Kua.6 Aauusehän elementtieo ja sen elementti... Elementin loaali jäsmatiisi Aauusehän äsitteln elementtimenetelmällä taitaan uan.7 (b) globaalioodinaatistossa mielialtaisessa asennossa olean apausasteen palielementin jäsmatiisi, jona solmumittaus liitt globaalioodinaatiston aseleiden suuntiin. Se oidaan johtaa oodinaatiston ietoa ättäen, jolloin lähdetään liieelle uan.7 (a) loaalioodinaatiston solmumittausesta { u} = { u u u ϕ ϕ ϕ u u u ϕ ϕ ϕ } {} f = { f f f m m m f f f m m m } (.6) ineaaisen lujuusopin teoian muaan eto/puistus, ääntö seä poiileiausen ummanin päätason taiutus ja leiaus oat toisistaan iippumattomia. Tästä seuaa, että loaalioodinaatiston jäsmatiisi [ ] oidaan muodostaa sijoittelusummaamalla uassa.8 esitett eto/puistusen, äännön seä poiileiausen ummanin päätason taiutusen ja leiausen jäsmatiisit. Tulosesi sijoittelusummausesta tulee aaan (.7) elementin jäsmatiisi. Kehäaenteet Matti ähteenmäi

10 Elementtimenetelmän peusteet. Kuassa.8 esitett ääntöuomitusen jäsmatiisi seuaa apaan äännön teoiasta, jolloin loaali -aseli on ääntöesiön ohdalla. Kosa uan.8 muissa uomitustapausissa loaali -aseli on pintaesiön ohdalla, on jäsmatiisi (.7) taasti oimassa ain, un ääntöesiö ht pintaesiöön, uten esimeisi asoissmmetisillä poiileiausilla. eiausoimien aiutus taipumaan oidaan ottaa liimäääisesti huomioon leiausetoimilla φ ja φ muuttamalla jäsmatiisissa (.7) ummanin päätason taiutusta ja leiausta astaaat aliot aaan (.) muaisisi. { u} { f} [ ] { u} { f} [ ] Kua.7 Aauusehän elementin loaali- ja globaalimittaus. Kehäaenteet Matti ähteenmäi

11 Elementtimenetelmän peusteet. Veto/puistus [ ] = EA 7 7 Vääntö G, I, [ ] GI = -tason taiutus ja leiaus 8 6, I, [ ] E EI = / 6 / / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / / 6 / 8 6 / 6 / 6 8 -tason taiutus ja leiaus EI [ ] = E, I, / 6 / / 6 / 6 / 6 / 5 / 6 / / 6 / 9 6 / 5 6 / 9 Kua.8 Sijoittelusummattaat jäsmatiisit. Kehäaenteet Matti ähteenmäi

12 Elementtimenetelmän peusteet. Kehäaenteet Matti ähteenmäi [ ] = EI EI EI EI GI GI EI EI EI EI E A E A EI EI EI EI GI GI EI EI EI EI E A E A (.7)

13 Elementtimenetelmän peusteet... Elementin globaali jäsmatiisi Palielementin loaalioodinaatiston jäsmatiisi [ ] on muunnettaa globaalioodinaatistoon. Tällöin saadaan jäsmatiisi [ ], joa antaa globaalioodinaatiston solmusuueetoeiden { u} = { u u u ϕ ϕ ϕ u u u ϕ ϕ ϕ } {} f = { f f f m m m f f f m m m } =. Muuntamiseen oidaan ättää onguenssimuunnos- älisen hteden [ ] { u} { f} ta (.), jolloin on tunnettaa tätä tapausta astaaa inemaattinen matiisi [ B ]. (.8) j i K J I Kua.9 Suuntasolmun ättö. Taastellaan uan.9 elementtiä, jona alu- ja loppusolmujen globaalinumeoisi on alittu ja. Elementillä on olmasin solmu eli suuntasolmu, jona solmunumeo on. Suuntasolmun aulla määitellään elementin asento sijoittamalla se elementin -päätasoon. Solmujen oodinaatit oat (,, ), (,, ) ja (,, ). Solmuoodinaateista oidaan määittää loaalioodinaatiston aseleiden suuntaiset siöetoit i, j ja globaalioodinaatiston siöetoeiden I,J ja K aulla. Muodostetaan ensin solmusta solmuihin ja uleat apuetoit a ja b a = ( b = ( )I + ( )I + ( )J + ( )J + ( )K )K (.9) Kehäaenteet Matti ähteenmäi

14 Elementtimenetelmän peusteet. siöetoi i oidaan lasea aaasta i = a / a (.) Poistetaan etoista b etoin a suuntainen omponentti a b (a b)a b (a b)a / a = = c (.) a Vetoi c on siöetoin j suuntainen ja etoeiden j ja lauseeet oat siis j = c / c = i j (.) siöetoeiden i, j ja globaaliomponentit oat loaaliaseleiden suuntaosinit globaaliaseleiden suhteen. Näistä saadaan oodinaatiston ietomatiisi cos(, ) cos(,) cos(,) c c c Q = = cos(, ) cos(,) cos(,) c c c (.) cos(, ) cos(,) cos(,) c c c [ ] V loaalioodinaatis- Kietomatiisi [ Q ] muuntaa globaalioodinaatiston etoin { } ton etoisi { V } eli { } [ Q]{ V} V = (.) Kun etoisi { V } otetaan solmun tanslaatiot, saadaan { u u } [ Q]{ u u u } u = (.5) Kun otaatiot oletetaan pienisi, oidaan ne esittää etoina ja muuntaa matiisilla [ Q ]. Solmun otaatioille on oimassa { ϕ ϕ } [ Q]{ ϕ ϕ ϕ } ϕ = (.6) Vastaaat muunnoshtälöt oidaan ijoittaa mös solmun tanslaatio- ja otaatioomponenteille. Kun nämä neljä htälöä hdistetään osemaan elementin aiia apausasteita, saadaan htedet { u } [ B]{ u} {} f = [ B]{ f} = (.7) Matiisi [ B ] on globaali- ja loaalioodinaatiston älinen inemaattinen matiisi Kehäaenteet Matti ähteenmäi

15 Elementtimenetelmän peusteet.5 c c c c c c c c c c c c c c c c c c B = (.8) c c c c c c c c c c c c c c c c c c [ ] Koodinaatiston ietomatiisi [ Q ] on otogonaalinen matiisi eli [ Q ] = [ Q] T seuaa, että mös [ B ] = [ B] T. htes (.7) oidaan näin ollen antaa mös ontagedienttilain muodossa T { u} [ B]{ u} { f} = [ B] { f}, josta = (.9) Kuan.7 (b) globaalimittausen jäsmatiisi saadaan matiiseista [ ] ja [ B ] onguenssimuunnosella T [ ] [ B] [ ][ B] = (.) Kaaan (.) jäsmatiisin [ ] aliot oitaisiin ijoittaa näiin suoittamalla matiisien etomiset. Tulos on uitenin epähaainnollinen ja jäsmatiisit oidaan lasea htä hin aaasta (.). Eialenttiset solmuuomituset saadaan palitauluoista loaalioodinaatistossa. Ne on uitenin muunnettaa globaalioodinaatistoon ennen sijoittelusummausta. Tähän oidaan ättää aaaa (.9) eli T {} [ B] {} = (.) Kehäaenteet Matti ähteenmäi

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

Palkkielementti hum 3.10.13

Palkkielementti hum 3.10.13 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

REIKIEN JA LOVIEN MITOITUS

REIKIEN JA LOVIEN MITOITUS REIKIEN JA LOVIEN ITOITUS REIKIEN JA LOVIEN ITOITUS Leiauslujuuen ja poiittaisen etolujuuen ansiosta Kertotuotteisiin on mahollista tehä reiiä. Erityisesti ristiiiluraenteinen soeltuu ohteisiin, joissa

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1. 6/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 6: Asiaalinen sauvaelementti, osa. ASIAALINEN RAENNE L, A, E L, A, E L, A, E uva. Asiaalinen raenne. Asiaalinen raenne taroittaa tässä yhteydessä raennetta, joa oostuu

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 10: Avaruusristikon sauvaelementti.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 10: Avaruusristikon sauvaelementti. / EEMEIMEEEMÄ PERSEE SESSIO : Avasistion savalmntti. AVARSRISIKO EEMEIVERKKO Avasistion taaan ataisn päästään ättämällä lmnttivoa jona solmt ovat istion nivlin ohdilla in istion sava on lmntti. Kvassa

Lisätiedot

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 205 PERUSTEIDEN SOVELTAMINEN 2 IKÄÄN JA PALKKAAN LIITTYVÄT SUUREET 2 2. IKÄLASKU 2 2.2 VAKUUTUSMAKSUN PERUSTEENA OLEVA PALKKA JA SEN ARVIOIMINEN

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 204 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet. Kokooma 16.3.2009. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 26.1.2009.

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet. Kokooma 16.3.2009. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 26.1.2009. Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet Koooma 6.3.29. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 26..29. Voimaantulosäännöset TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

KAAPELIN ULKOPUOLINEN PE-JOHDIN

KAAPELIN ULKOPUOLINEN PE-JOHDIN Helsinki 29.11 21 KAAPELN LKOPOLNEN PE-JOHDN SSÄLTÖ: 1. Johdanto 2. Esimerkki. Symmetristen komponenttien kaaat 1. Johdanto PE-johdin on yleensä puolet aihejohtimien poikkipinnasta. Määriteltäessä poiskytkentäehtojen

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

N:o 219 739 LIITE 1 ELÄKESÄÄTIÖN TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

N:o 219 739 LIITE 1 ELÄKESÄÄTIÖN TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET N:o 29 739 LT LÄKSÄÄTÖN TYÖNTKJÄN LÄKLN MUKSN LSÄLÄKVKUUTUKSN LSKUPUSTT 740 N:o 29 PUSTDN SOVLTMSLU Työntekijäin eläkelain (TL) mukaisella lisäakuutuksella tarkoitetaan tässä akuutusta, joka sisältää yhden

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

Asennus, kiertopumppu TBPA GOLD/COMPACT

Asennus, kiertopumppu TBPA GOLD/COMPACT I.TBPA8. Asennus, kiertopumppu TBPA GOLD/COMPACT. Yleistä Patteripiirin toisiopuolella olean kiertopumpun aulla armistetaan jäätymisahtitoiminto, kun käytetään pattereita, joissa ei ole jäätymishalkeamissuojaa.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011 BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen

Lisätiedot

N:o 1405 3847 LIITE 1. 1. Vakuutustekniset suureet

N:o 1405 3847 LIITE 1. 1. Vakuutustekniset suureet :o 405 3847 LIIE. akuutustekniset suueet äissä peusteissa esiintyät akuutustekniset suueet oat sosiaali- ja teeysministeiön 6.0.990 eläkeakuutusyhtiöille ahistamien yleisten laskupeusteiden sekä niihin

Lisätiedot

1780 N:o 567 LIITTEET 1 2 LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA TOIMINTAA HARJOITTAVILLE ELÄKESÄÄTIÖILLE

1780 N:o 567 LIITTEET 1 2 LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA TOIMINTAA HARJOITTAVILLE ELÄKESÄÄTIÖILLE 1780 N:o 567 LTTEET 1 LAKPETEET TYÖNTEKJÄN ELÄKELAN MKATA TOMNTAA HAJOTTALLE ELÄKEÄÄTÖLLE N:o 567 1781 ÄLLYLETTELO LTE 1: LAKPETEET TYÖNTEKJÄN ELÄKELAN MKATA TOMNTAA HAJOTTALLE ELÄKEÄÄTÖLLE 1 AKTTEKNET

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET. Vahvistettu 1.11.2007, sovelletaan 15.9.2007 alkaen.

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET. Vahvistettu 1.11.2007, sovelletaan 15.9.2007 alkaen. PTEEKKIE ELÄKEKSS TEL: MUKISE LISÄELÄKEVKUUTUKSE LSKUPEUSTEET Vahistettu 1.11.2007, soelletaan 15.9.2007 alkaen. ii PTEEKKIE ELÄKEKSS TEL: MUKISE LISÄELÄKE- VKUUTUKSE LSKUPEUSTEET 1. VKUUTUSTEKISET SUUEET...

Lisätiedot

Opiskeluintoa ja menestystä tuleviin valintakokeisiin!

Opiskeluintoa ja menestystä tuleviin valintakokeisiin! RATKAISUT TESTIKYSYMYKSIIN Tästä löydät astaukset lääketieteen alintakoetyyppisiin testikysymyksiin. Jos osa kysymyksistä tuotti sinulle paljon päänaiaa, älä masennu, keään alintakokeeseen on ielä pitkä

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ 53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaisut 5 Keät 23. Aberraatio suhteellisuusteoriassa Tulkoon alo kuten tehtään kuassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: u u x ˆx + u y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. ()

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004.

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT Koooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. SISÄLTÖ YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT 1. PUSTIDN SOVLTAMINN...

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET

KUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä

Lisätiedot

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = = 2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-3259-12 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 151 Lahti 27.4.212 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 11, 244 VTT Puh. 2 722 5566, Fax. 2 722 73

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokonaisperuste, vahvistettu 10.10.2007.

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokonaisperuste, vahvistettu 10.10.2007. MAATALOUYRTTÄJÄN ELÄKELAN MUKAEN VAKUUTUKEN PERUTEET Kokonaisperuste, ahistettu 10.10.2007. 1 (3) MAATALOUYRTTÄJÄN ELÄKELAN MUKAEN VAKUUTUKEN PERUTEET 1 PERUTEDEN OVELTAMNEN Näitä perusteita soelletaan

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset

Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset Y56 Keät 010 1 Y56 laskuharjoitukset 5 - malliastaukset Harjoitus 1. Voiton maksimoia tuotannon taso & kiinteät kustannukset Taoitteena on ymmärtää kiinteiden kustannusten aikutus yrityksen tuotantopäätöksiin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt:

2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt: 84 RDIOTKNIIKN PRUSTT aois. Las a gadini f, n f,, b divgnssi, n c oooi, n on n b- ohdassa.. Ti oaao saava vapaassa ilassa olva nä Mawllin hälö:.. Oloon vapaassa ilassa sähönä oplsivoina sinä. Määiä a aallon

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

RATKAISUT: 21. Induktio

RATKAISUT: 21. Induktio Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön

Lisätiedot

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) Täm ä olettaa, että D = 4π λ 2 S a E a ds 2. (2 40 ) S a E a 2 ds Pääkeila aukon tasoa koh tisuoraan suuntaan

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

MERIMIESELÄKELAIN (1290/2006) 202 :n MUKAISET VAKUUTUSTEKNISEN VASTUUVELAN LASKUPERUSTEET JA PERUSTEET 153 :n MUKAISTA VASTUUNJAKOA VARTEN

MERIMIESELÄKELAIN (1290/2006) 202 :n MUKAISET VAKUUTUSTEKNISEN VASTUUVELAN LASKUPERUSTEET JA PERUSTEET 153 :n MUKAISTA VASTUUNJAKOA VARTEN /4 MEIMIESELÄKELAIN (90/006) 0 :n MUKAISE AKUUUSEKNISEN ASUUELAN LASKUEUSEE JA EUSEE 53 :n MUKAISA ASUUNJAKOA AEN Kokooma 0..05 iimeisin kokoomaan sisällytetty perustemuutos on ahistettu 9..04 sosiaali-

Lisätiedot

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän

Lisätiedot

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s.

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s. 7. KSS: Sähkömagnetismi (FOTON 7: PÄÄKOHDAT). MAGNETSM Magneettiset vuoovaikutukset, Magneettikenttä B = magneettivuon tiheys (yksikkö: T = Vs/m ), MAO s. 67, Fm (magneettikenttää kuvaava vektoisuue; itseisavona

Lisätiedot

SISÄLLYS. N:o 134. Tasavallan presidentin asetus. Suomen Leijonan ritarikunnan perustamisesta annetun asetuksen 14 :n muuttamisesta

SISÄLLYS. N:o 134. Tasavallan presidentin asetus. Suomen Leijonan ritarikunnan perustamisesta annetun asetuksen 14 :n muuttamisesta SUOMEN SÄÄDÖSKOKOELMA 2008 Julkaistu Helsingissä 7 päiänä maaliskuuta 2008 N:o 134 139 SISÄLLYS N:o Siu 134 Tasaallan presidentin asetus Suomen Leijonan ritarikunnan perustamisesta annetun asetuksen 14

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien

Lisätiedot

15 0, 035 m 53 cm/s. s. 0,065kg 0,065kg 9,81m/s 4,9 N. 0,34 m

15 0, 035 m 53 cm/s. s. 0,065kg 0,065kg 9,81m/s 4,9 N. 0,34 m Ketaustehtäät. c) Len kietokulma on t,5 ad/s (6 s) 9 ad.. a) Ratanopeus on 5, 35 m 53 cm/s. s 3. b) Tasapainoasemassa palloon kohdistuat paino G ja langan jännitsoima T. Pallon liikehtälö on F ma. n Kun

Lisätiedot

1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1.

1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1. 1974 N:o 622 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) Muu

Lisätiedot

PARTIKKELIN KINETIIKKA

PARTIKKELIN KINETIIKKA PTKKELN KNETKK Newonin laki ma m& - on paikkeliin aikuaien oimien eulani - m on paikkelin maa - a & on paikkelin aboluuinen kiih Suoaiiaien liikkeen liikehälö (liikeuuna : m a 0 z 0 Taoliikkeen liikehälö

Lisätiedot

10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko.

10 knm mm 1000 (a) Kuva 1. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Elementtimenetelmän perusteet Esimerkki. kn kn/m 5 = 8 E= GPa mm 5 5 mm (a) 5 5 6 Y X (b) Kuva. Tasokehä ja sen elementtiverkko. Tarkastellaan kuvassa (a) olevan tasokehän statiikan ratkaisemista elementtimenetelmällä.

Lisätiedot

RuuviliitoSTEN. Sisällysluettelo

RuuviliitoSTEN. Sisällysluettelo RuuviliitoSTEN MITOITUS Sisällysluettelo 1 Yleistä... 1.1 Kansiruuvit... 1. Itseporautuvat ruuvit... Esiporaus... 3 Materiaalit... 3 4 Kuormitustapa... 4 5 Leiausrasitettu ruuvi... 4 5.1 Itseporautuvat

Lisätiedot

Rak-54.1200 Rakenteiden lujuusoppi Tentti 8.3.2007

Rak-54.1200 Rakenteiden lujuusoppi Tentti 8.3.2007 Rak-54.00 Raketeide lujuusoppi Tetti 8..007 Kirjoita jokaisee koepaperii selvästi: opitojakso imi, koodi ja teti päivämäärä imesi puhutteluimi alleviivattua koulutusohjelma ja oppilasumero, mös tarkistuskirjai.

Lisätiedot

SISÄLLYS. N:o 1247. Valtioneuvoston asetus. poliisikoulutuksesta annetun valtioneuvoston asetuksen muuttamisesta

SISÄLLYS. N:o 1247. Valtioneuvoston asetus. poliisikoulutuksesta annetun valtioneuvoston asetuksen muuttamisesta SUOMEN SÄÄDÖSKOKOELMA 2007 Julkaistu Helsingissä 20 päiänä joulukuuta 2007 N:o 1247 1248 SISÄLLYS N:o Siu 1247 altioneuoston asetus poliisikoulutuksesta annetun altioneuoston asetuksen muuttamisesta 4831

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

FYSIIKAN VALINTAKOE HELSINGIN YLIOPISTOSSA KESÄLLÄ 1976

FYSIIKAN VALINTAKOE HELSINGIN YLIOPISTOSSA KESÄLLÄ 1976 MAIJA AHTEE JA KAALE KUKI-SUONIO FYSIIKAN VALINTAKOE HELSINGIN YLIOPISTOSSA KESÄLLÄ 1976 Valintakokeet Helsingin yliopiston matemaattis-luonnontieteelliseen osastoon pyrkiiä opiskelijoita arten järjestettiin

Lisätiedot

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokonaisperuste vahvistettu 15.1.2014. Voimassa 1.1.2014 alkaen.

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokonaisperuste vahvistettu 15.1.2014. Voimassa 1.1.2014 alkaen. YRIÄJIN LÄKLAIN MUKAISN LISÄLÄKVAKUUUKSN PRUS Kokonaisperuste ahistettu 15.1.. Voimassa 1.1. alkaen. SISÄLÖ Voimaantulo... 1 Poikkeussäännös kohtaan 3.1... 1 1. PRUSIDN SOVLAMINN... 2 2. VAKUUUJN UUKSIN

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä

Lisätiedot

TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY. Myönnetty 28.8.2012. Kerto-S ja Kerto-Q Rakenteellinen LVL

TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY. Myönnetty 28.8.2012. Kerto-S ja Kerto-Q Rakenteellinen LVL SERTIFIKAATTI VTT-C-184-03 Myönnetty 28.8.2012 TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA Kerto-S ja Kerto-Q Raenteellinen LVL Metsäliitto Osuusunta Metsä Wood PL 24 08101 LOHJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY Kerto-S

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan

Lisätiedot