Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

Transkriptio

1 DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase on järjeselmän ulosulo, kun järjeselmään syöeään sisäänmenoksi impulssi ähökohaisesi myös impulssivaseen muodosaminen apahuu samalla avalla kuin diskreeillä puolella Tarviaan järjeselmää kuvaava yhälö, johon sisäänmenon paikalle sijoieaan impulssi ja ulosulon paikalle impulssivase h Diskreeillä puolella impulssi oli yksinkerainen lukujono: k, k 0 0, k 0 Jakuvalla puolella impulssin käsie on monimukaisempi, mua ise impulssivaseen muodosaminen ei kuienkaan ole merkiäväsi vaikeampaa Jakuvalla puolella impulssia kuvaaan impulssifunkiolla (), jolle päee: 0, kun 0 0 Impulssivaseen muodosamisen kannala oleellisa on: () = 0, > 0 Täsä seuraa, eä impulssivasea muodoseassa rakaisavaksi ulee aina homogeeninen differeniaaliyhälö Yllä esieyjen impulssifunkion ominaisuuksien alina kohaa käyeään hyväksi, kun johdeaan alkuehoja impulssivaseelle Tämä on käsiely luennoilla, eikä siihen ässä yheydessä enää puuua Seuraavassa esieään luennolla johdeu jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivaseen alkuehdo Tarkasellaan keraluokkaa n olevaa differeniaaliyhälöä, jossa korkeimman keraluokan ermin kerroin on yksi Tässä yheydessä on nimenomaan oleellisa, eä DY on saaeu muooon, jossa h:n korkeimman derivaaaermin kerroin on yksi: n n n d h d h d h dh an a n a n n n a0h b Koska yhälön ase on n, sen rakaisemiseen arviaan n kappalea alkuehoja, joka menevä seuraavasi n dh d h d h h0 0 ja n 0 n d h b n

2 Jos siis DY on asea, arviava alkueho on h(0) = b Jos DY on asea, arviava alkuehdo ova h(0) = 0 ja dh(0)/ = b Jos DY on 3 asea, arviava alkuehdo ova h(0) = 0, dh(0)/ = 0 ja d h(0)/ = b Ja selvenneäköön vielä, eä esimerkiksi merkinäapa dh(0)/ = 0 on äsmällisesi ilmaisuna dh 0 0 dh 0 0 Kyse ei siis ole vakion h(0) derivoimisesa ajan suheen, vaan kyse on h:n angenin kulmakeroimesa ajanhekellä = 0 [/johdano impulssivaseeseen] Tehävä Joa impulssivase saadaan muodoseua, arviaan järjeselmää kuvaava differeniaaliyhälö Tarviaan siis differeniaaliyhälö ulosulon y() ja sisäänmenon u() välille Kirchhoffin jännielaisa saadaan di u Ri y Joa impulssivase saadaan muodoseua, arviaan differeniaaliyhälö u():n ja y():n välille Nämä molemma muuuja löyyvä yllä olevasa yhälösä, mua lisäksi yhälössä on ylimääräinen muuuja i(), josa on pääsävä eroon Koska piirin komponeni ova sarjassa, kondensaaorin vira-jännie-yhälösä saadaan i Cy Ny järjeselmän ulosulon ja sisäänmenon välinen differeniaaliyhälö voidaan kirjoiaa lopulliseen muooonsa: R C C u RCy Cy y :(C) y y y u Huomaa, eä impulssivasea muodoseaessa ulosulon korkeimman derivaaaermin keroimen on olava yksi Muussa apauksessa alkuehdo menevä väärin Kun järjeselmää kuvaava differeniaaliyhälö on iedossa, impulssivase saadaan sijoiamalla sisäänmenon u() paikalle impulssifunkio () ja ulosulon y() paikalle impulssivase h(): R h h h C C

3 Täsä edeään sien, eä arkasellaan ilannea posiiivisilla ajanhekillä ( > 0 s) Rakaisavaksi ulee aina homogeeninen differeniaaliyhälö, sillä impulssifunkio saa ällöin arvon nolla Synyny homogeeninen DY rakaisaan normaaliin apaan: R h h h 0 C h() = e r r R r 0 C R R 4 C r r R r r r e re e 0 C :e r r r 70 Karakerisinen yhälö on oisa asea, ja sille löyyi kaksi erisuura reaalijuura Impulssivaseen yleiseksi rakaisuksi saadaan siis h D e D e Huomaa, eä impulssivasea muodoseaessa yleinen rakaisu saadaan aina suoraan homogeenisen yhälön rakaisuna Miään yksiyisrakaisuja ei siis impulssivasea selvieäessä arvia Rakaisava differeniaaliyhälö saadaan aina homogeeniseksi, kun ilannea arkasellaan ajanhekillä > 0 s Muodoseussa impulssivaseen lausekkeessa on vielä kaksi unemaona vakioa (D ja D ), joiden rakaisemiseen arviaan kaksi alkuehoa Koska arkaselava differeniaaliyhälö on oisa keraluokkaa, impulssivaseen alkuehdo ova h h 0 0 C Joa jälkimmäisä alkuehoa saadaan käyeyä, arviaan h D e D e Täen vakioksi D ja D saadaan h:n lauseke: h 0 D e D e 0 h D e 70D e D 9 D 9 h 9e 9e Impulssivaseen lauseke on siis: Muodoseu impulssivaseen lauseke arkoiaa siä, eä jos arkaselavan piirin lähdejännie on impulssifunkio (), kondensaaorin yli oleva jännie noudaaa muodoseua h():n lausekea Oheinen kuva havainnollisaa ilannea 3

4 Tehävä Muodoseaan lauseke ulosulon y() ja sisäänmenon i() välille Kirchhoffin viralaisa: y i ic ir Cy() R y( ) y( ) i( ) RC C Korkeina keraluokkaa olevan ulosulon derivaaaermin kerroin on jälleen saaeu ykköseksi, joa impulssivaseen alkuehdo menevä oikein Impulssivase saadaan, kun järjeselmää kuvaavaan yhälöön sijoieaan sisäänmenon i() paikalle impulssi () ja ulosulon y() paikalle impulssivase h(): h( ) h( ) δ( ) RC C h ( ) h ( ) 000 δ( ) Kun arkasellaan posiiivisia ajanhekiä ( > 0 s), rakaisavana on homogeeninen differeniaaliyhälö: h( ) h( ) 0 h() = e r r r re e 0 :e r r 0 KY r h De Vielä arviaan alkueho D:n määriämiseen Koska differeniaaliyhälö on asea, alkuehdoksi saadaan h(0) = 000, joen impulssivaseen lauseke on h 0 0 De 000 D = 000 h 000e Muodoseu rakaisu arkoiaa siä, eä jos viralähde, vasus ja kondensaaori ova rinnakkain, ja jos lähdevirran muoo noudaaa impulssifunkioa, rinnankykennän yli oleva jännie noudaaa muodoseua impulssivaseen lausekea 4

5 Oeaan alkuun muuama sana ilamuuujaesiyksesä Tilamuuujaesiyksen idea on palauaa korkeampaa keraluokkaa oleva differeniaaliyhälö ensimmäisen keraluokan differeniaaliyhälöiksi Tilamuuujaesiys on käevä esimerkiksi silloin, kun piää kuvaa jollekin ieokoneohjelmalle, millainen järjeselmä on kyseessä Ohjelma saa kaiken arvisemansa iedon järjeselmän rakeneesa ilamuuujaesiyksen mariiseisa A, B, C ja D Jakuva-aikaisen järjeselmien ilamuuujaesiyksen yleinen muoo on x Ax Bu y Cx Du, jossa x, u ja y ova ilamuuujisa, sisäänmenoisa ja ulosuloisa koosuva vekori Tilamuuujaesiyksen ylemmässä yhälössä ilamuuujien aikaderivaaa lausuaan ilamuuujien ja järjeselmän sisäänmeno(je)n avulla Edelleen ilamuuujaesiyksen alemmassa yhälössä järjeselmän ulosulo() pyriään lausumaan ilamuuujien ja järjeselmän sisäänmeno(je)n avulla Sähköpiireissä ilamuuujiksi kannaaa valia käämien virra ja kondensaaorien jänniee, koska ällöin ilamuuujien aikaderivaaa saadaan käämin ja kondensaaorin vira-jännie-yhälöisä: u di du C ic C u ic C dx dx x u x ic C Tehävä 3 Järjeselmä on sama kuin ehävässä Muodoseaan ensin varmuuden vuoksi järjeselmää kuvaava differeniaaliyhälö, joa nähdään, kuinka mona ilamuuujaa arviaan Kirchhoffin jännielaisa saadaan di u Ri y Joa impulssivase saadaan muodoseua, arviaan differeniaaliyhälö u():n ja y():n välille Nämä molemma muuuja löyyvä yllä olevasa yhälösä, mua lisäksi yhälössä on ylimääräinen muuuja i(), josa on pääsävä eroon Koska piirin komponeni ova sarjassa, kondensaaorin vira-jännie-yhälösä saadaan i Cy Ny järjeselmän ulosulon ja sisäänmenon välinen differeniaaliyhälö voidaan kirjoiaa lopulliseen muooonsa: 5

6 R C C u RCy Cy y :(C) y y y u Järjeselmää kuvaava differeniaaliyhälö on oisa asea, joen ilamuuujia arviaan kaksi kappalea, kun avoieena on esiää oisen keraluokan differeniaaliyhälö kahena ensimmäisen keraluokan differeniaaliyhälönä Sähköpiireissä käämien virra ja kondensaaorien jänniee kannaaa valia ilamuuujiksi, sillä kyseisen komponenien vira-jännie-yhälöiden avulla on ällöin helppoa lausua ilamuuujien aikaderivaaa Tehdään siis seuraava valinna x i i x y Tämän jälkeen avoieena on kirjoiaa yhälöryhmä x x y a a a a x x c c x b x b d u u Yhälö saadaan piiriehävissä aina muodoseua Kirchhoffin lakien ja komponenien vira-jännie-yhälöiden avulla ähdeään liikkeelle Kirchhoffin viralaisa Ri di y u Kun ähän sijoieaan valiu ilamuuuja, saadaan Rx dx R x u x x x u Huomaaan, eä yllä oleva yhälö kelpaa sellaisenaan ilamuuujaesiykseen, sillä x ():n aikaderivaaa on lausuu ilamuuujien ja sisäänmenon avulla Vielä piäisi keksiä, misä saadaan ilamuuujan x () aikaderivaaa Kun kondensaaorin vira-jännie-yhälö kirjoieaan ilamuuujien avulla, saadaan dy dx i C x C x x C Myös yllä oleva yhälö kelpaa sellaisenaan ilamuuujaesiykseen, sillä ilamuuujan x () aikaderivaaa on lausuu ilamuuujien ja sisäänmenon avulla Tilamuuujan x () ja myös sisäänmenon u() keroime ova oki nollia, mua se ei muua ilannea Ny ilamuuujaesiys saadaan kokonaisuudessaan kirjoieua: 6

7 x x R C y 0 x 0 x x x u 0 0u Tarkasellaan vielä järjeselmän sabiilisuua ilamariisin A ominaisarvojen avulla Jakuva-aikainen järjeselmä on sabiili, jos kaikki A:n ominaisarvo ova reaaliosilaan negaiivisia Kun lukuarvo sijoieaan paikalleen, saadaan R A, C joen ominaisarvo saadaan deerminaniyhälösä A I Koska kaikki ominaisarvo ova reaaliosalaan negaiivisia, järjeselmä on sabiili Huomaa, eä ilamariisin ominaisarvo ova sama kuin H3T4:n homogeenisen differeniaaliyhälön karakerisisen yhälön juure Tämä päee yleisesi, eli järjeselmää kuvaavan differeniaaliyhälön HY:n KY:n juure ova aina sama kuin järjeselmälle muodoseun ilamariisin ominaisarvo Kyseessä on saman asian kaksi erilaisa esiysapaa Sabiilisuus on kuienkin helpompi ymmärää homogeenisen yhälön rakaisusa: jos kaikki KY:n juure ova reaaliosalaan negaiivisia, HY:n rakaisu lähesyy nollaa, kun aika lähesyy ääreönä Tehävä 4 ähdeään ässäkin ehävässä liikkeelle siiä, eä muodoseaan järjeselmää kuvaava differeniaaliyhälö Samalla saadaan selville, kuinka monelle ilamuuujalle on arvea Kirhhoffin viralaisa saadaan i i C dy Järjeselmän sisäänmeno on i() ja ulosulo y(), joen ylimääräisesä muuujasa i () on pääsävä eroon Tällä keraa homma hoiuu niin, eä yllä oleva yhälö derivoidaan puoliain ajan suheen ja kerroaan indukanssilla Tällöin saadaan di di d y C 7

8 Ny huomaaan, eä oikean puolen ensimmäinen ermi on käämin yli oleva jännie, ja koska käämi ja kondensaaori ova rinnakkain, käämin yli oleva jännie on samalla ulosulo y() Saadaan siis di d y y C :C d y di y C C Huomaaan, eä järjeselmää kuvaava DY on oisa asea, joen ilamuuujia arviaan kaksi kappalea Valiaan jälleen käämin vira ja kondensaaorin jännie ilamuuujiksi Tilamuuujan x () aikaderivaaa saadaan käämin vira-jännie-yhälösä, ja ilamuuujan x () aikaderivaaa saadaan kondensaaorin vira-jännie-yhälösä Tehävänannon kuvan peruseella huomaaan, eä käämin vira-jännie-yhälö kelpaa ässä apauksessa suoraan ilamuuujaesiykseen, sillä siinä ei esiinny muia muuujia kuin ilamuuuja ja järjeselmän sisäänmeno (jonka kerroin on nolla) Joa kondensaaorin vira-jännie-yhälöä pysyään käyämään ilamuuujaesiyksessa, arviaan Kirchhoffin viralakia: x x i x Cx x x x x i C C Huomaa, eä i() on järjeselmän sisäänmeno, joen se saa olla yllä olevissa lausekkeissa mukana Ny sekä x ():n eä x ():n aikaderivaaa on lausuu ilamuuujien ja sisäänmenon avulla, joen yllä oleva yhälöpari kelpaa sellaisenaan ilamuuujaesiykseen Tilamuuujaesiysä varen järjeselmän ulosulo on vielä lausuava ilamuuujien ja sisäänmenon avulla: y x Kun muodoseu lausekkee kirjoieaan vielä mariisimuooon, saadaan: x i x 0 0 i x C 0 x C x y 0 0 x 8