2. PARTIKKELIN KINEMATIIKKA

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "2. PARTIKKELIN KINEMATIIKKA"

Marja-Leena Aila Toivonen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Dmiikk.1. PRTIKKELIN KINEMTIIKK.1 Yleiä Pikkelill eli mpieellä koie kpple, jok mi o epäoleellie piee kel ehää kl. Kpplee ei ie kuiek oll ihmie kl pieikokoie. Eimekiki leokoee leoeii kelu oid koe piää pikkeli, illä e mi o epäoleellie piee eu eäikii eiillä. Jo uki leokoee keeide lujuu i jäkkä, ei pikkelimlli ole käökelpoie. Tkell pikkeli P, jok liikkuu piki uo ii ku. mukiei. Pikkeli em hekellä oid ilmoi mll ille oigo miu koo- Kiemiikk eli geomeie liikeoppi ukii liikkee geomei z τ puuum e ihi eli oimeemii, jok liikkee iheu. Tkelu uoie jo- P ki opi koodiio. Ku.1 o eie pikkeli P kää kolmiuloeie uude. Kiemiik ehäää R z o eliää, mie oid määiää pikkeli em, opeu j φ Rkää kiih e liikkue kääää piki. Ku.1 o x liikkee keluu opii koodiej; uokulmie koodii ( x,, z), lieikoodii (,, z) j pllokoodii ( R,, φ). loii oid x uoi mö kää pikllie geio τ (oku- Ku.1 Pikkeli kää. loi o) käämällä kää gei, pääomli j iuomli uuii koodiej (,, b). Käeää koodiio oi oll leo (ieilikoodiio) i liikku ueull ll. Jo pikkeli kää o okää, o e ole oliikkeeä. Suoiiie liike o oliikkee eiipu, jo kää o uo ii.. Suoiiie liike Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

2 Dmiikk. dii. Hekellä + Δ pikkeli o kohd P, jolloi e koodii o + Δ. Pikkeli kekiopeu ikälillä Δ o k = Δ / Δ. Ku Δ 0, kekiopeu k lähe pikkeli hekelliä opeu j hekellä eli lim = Δ 0 Δ Δ d = = & (.1) d P P Δ + Δ Hekellie opeu o emkoodii muuoopeu eli dei j uhee. K (.1) o ikdei meki uuee päällä olell pieellä, kue dmiik o p. Ku. Suoiiie liike. Ku pikkeli o hekellä kohd P, e opeu o. Hekellä + Δ pikkeli o kohd P, jolloi e opeu o + Δ, jo Δ o opeude muuo ikälillä Δ. Pikkeli kekikiih ikälillä Δ o k = Δ / Δ. Ku Δ 0, kekikiih k lähe pikkeli hekelliä kiihä j hekellä eli = lim Δ 0 Δ Δ d d = = = & = && (.) d d Hekellie kiih o opeude muuoopeu eli dei j uhee. Nopeu j kiih o ekoiuuei j iillä o uuuu j uu. Suoiiie liikkeeä uu oid ilmi eumeki ull, eikä ekoei ie älämää käää. Nopeude ieio kuu uhdiki. Elimioimll koi (.1) j (.) ikdiffeeili d, d ulo d = d eli & d& = & d (.3) jo o eegidiffeeilihälöki. K (.1), (.) j (.3) o pikkeli uoiiie liikkee peudiffeeilihälö, joide ull kiemiik ehää oid ki. Jo pikkeli emkoodii ue j fukio, oid opeu j kiih määiää koi (.1) j (.). Ueimmie kuieki kiih d eiki elille ikui oimi, kue kieiik ulee eille. Tällöi muu uuee o lke kiihdeä iegoimll. Tpuke iippue kiih oid d j, em i opeude fukio. Kiih oi oll uemmki muuuj fukio. Seu o eie muumi lliimmi eiiiä eiipuki j iide kiupeiee. Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

3 Dmiikk.3 () Tiei kiihä liike, o kio. Koi (.1), (.) j (.3) eu d = d = d = 0 + ( 0 ) (.4) d = d = d = 0 + ( 0 ) (.5) d = d ( 0 ) + ( 0 ) = (.6) joi 0 j 0 o opeu j em hekellä 0. (b) Kiih ue j fukio eli = f(). Nopeude j em määi ujuu eui. K (.) eu f () = d / d, jo d d = f()d = o + d = f()d f()d (.7) Suoimll edellä iegoii d opeu j fukio. K (.1) d edellee d = ()d = o + d = d ()d (.8) (c) Kiih ue opeude fukio eli = g(). Tällöi oid edeä eui. K (.) eu g () = d / d, jo d d d d d = d = = o + g() g() (.9) g() Suoimll edellä iegoii d ik opeude fukio. Tuloke ki opeu j fukio, mikä jälkee em oid ki kue kohd (b). Vihoehoiei em kiemie oid käää k (.3), jo ulee d = g() d. N oid iegoid eui d = d d d o d g() = = + g() (.10) g() Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

4 Dmiikk.4 (d) Kiih ue em fukio eli = h(). K (.3) eu d = h()d, jo oid iegoid puolii d = h()d = h()d (.11) Edellä ole oid ki opeu em fukio eli = k(). K (.1) d d = k() d, jo eu d d d d = d = = o + k() k() (.1) k() Edellä ke iegoimll ik em fukio. Tää oid ielä ki ie em j fukio..3 Kääiiie liike o Tkell pikkeli liikeä piki okäää ku.3 ull. Pikkeli o hekellä kohd j e pikkekoi oigo uhee o. Hekellä + Δ pikkeli o kohd, jok pikkekoi o + Δ. Δ o ikäliä Δ ii- mäekoi. R piki miu pieide j älie eäi o Δ. Rkää ' + Δ Δ Δ ' Δ Ku.3 Kääiiie liike o. Pikkeli kekiopeu pieide j älillä o k = Δ / Δ, jok o iimäekoi Δ uuie ekoi. Pikkeli kekiuhi pieide j älillä o kli = Δ / Δ. Kekiopeuekoi uuuu lähe kekiuhi, ku Δ 0. k Pikkeli hekellie opeu o e kekiopeude k j-o, ku Δ 0 eli Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

5 lim = Δ 0 Δ Δ Dmiikk.5 d = = & (.13) d Vekoi Δ uu lähe kää gei uu, ku Δ lähe oll. Tää eu, eä o kää gei uu. Nopeude uuuu o pikkeli hekellie uhi, jolle oid kijoi d = = = & (.14) d Tkell edellee ku.3. Kohd pikkeli opeuekoi o j kohd e o '. Pieide j älillä opeuekoi muuo o Δ = '. Nopeuekoi muuo Δ iheuuu e uu j uuuude muuoke. Pikkeli kekikiih pieide j älillä o k = Δ / Δ, jok o opeude muuoke Δ uuie ekoi. Pikkeli hekellie kiih o e kekikiihde k j-o, ku ikäli Δ 0 eli lim = Δ 0 Δ Δ d d = = & = = & (.15) d d Kiihekoi ku opeuekoi muuoopeu. Se iälää opeuekoi uu j uuuude muuoe ikuuke. ilmeiä, eä kiihekoi ooi kää kupelle puolelle, kue ku.3 o eie. Muu ei kiihekoi uu oid leiei o. Koje (.13) j (.15) oelmie edellää joki koodiio käöä. Seui käiellää eikee kolme lli koodiio li..4 Toliike x-koodiio Rkää x-koodiio pikkeli pikkekoi oid eiää kikköekoeide i j j ekä piee koodiie x j ull ku.4 mukiei. Sd ii j x i x Ku.4 x-koodiio. x x = x i + j = & = x& i + j & = & = & = && x i + && j (.16) Koi (.16) ei kikköeko- Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

6 Dmiikk.6 ei iu deioid, kok iide uuuu j uu o koko j m eli e o kioekoei. Ku.4 o eie mö opeude j kiihde kompoei. Nopeude j kiihde kompoei o = x&, = &, = & x, = & j iide uuuude o = x + j x = x +. x.5 Toliike -koodiio C B Rkää -koodiio keli o kää gei j pääomli uu. Kullki kää pieellä o om koodiio ku.5 mukiei. -keli ooi i kää keuukekiöö. Nopeude j kiihde kompoei oid luu -koodiio. Määiellää kikköekoi e j -uuii ku.6 mukiei, jo e liiä kää pieeee. ikälillä ' d pikkeli liikkuu mk d pieeee, joho liiä kikköekoi j e - e. Kulm β o eiluuu miu kulm-em j d β e liä älillä. Ku kää keuuäde o ρ, o d = ρdβ j opeude uuuu = d / d = ρdβ / d. Nopeuekoi o ii = e & = ρβ e (.17) Määielmä muk kiihekoi o Ku.5 -koodiio. = d / d. K (.17) eu d d( e ) = = = e& + & e (.18) d d Ykikköekoi e dei e & ei ole oll, illä e uu ei ole kio. Dei e & d ku.6 (b), jo o pieiii j liiä kikköekoi e j e ' ekä muuo de. Muuoke de uuuu o de = e dβ = dβ j e phuu ekoi e uu, joe de = dβe j ' e j Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

7 Dmiikk.7 Rkää () e ' (b) C β dβ e ρ ' e d = ρdβ e ' de e dβ Ku.6 Liike -koodiio. de dβ = de d d dβ = e e& = β& e (.19) ikiemmi ii ulo = ρβ &, joe koje (.18) j (.19) peueell d = & e + e (.0) ρ jo = & = &, = ρ = ρβ& / = β& j = +. Nomli uuie kiihkompoei ooi i kää kupelle puolelle. Ympäliike o kääiiie oliikkee äkeä eiipu. Keuuäde o ällöi kio, ρ = j kulm β ko joki opi eiluäeeä miull kulmkoodiill ku.7 mukiei. Koi (.17) j (.0) eu mpäliikkeelle k = & = ω = & = && = ω& = α = / = & = ω (.1) Ku.7 Ympäliike. ω o mpäliikkee kulmopeu j kulmkiih. α = ω& Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

8 Dmiikk.8.6 Toliike pkoodiio Npkoodiio pikkeli em e päee j pkulm ull ku.8 () mukiei. Koodiiuuie kikköekoi o e j e. () e e de ' e e d ' e d de e Rkää (b) Ku.8 Npkoodiio. Pikkeli em o e =. Nopeu o = & j kiih = & = &. Deioii uoimieki o ue ekoeide e j e ikdei, jok eiä ole olli, illä iide uu muuuu käää piki liikue. ikälillä d ekoi e j e ' kieä kulm d ku.8 (b) mukiei, jolloi iiä ule ekoi e j ' e. Muuoekoi de o poiiiiee -uu j muuoekoi de egiiiee -uu. Kummki muuoekoi uuuu o 1 d. Tää eu, eä e = de j de = de. Edellee d d de d = de d = e d d de d de d d d j = = e (.) joi eu kikköekoeide deioille k e& & & = e j e = e & (.3) Nopeudelle = & = & e + e & d (.3) peueell jo = & e + & e (.4) = &, = & j = +. Nopeukompoei iheuuu äee muuoke j opeukompoei äee käämieä. Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

9 Dmiikk.9 Kiih d deioimll opeude lueke. luki d = & = ( && e + & e& ) + (& & e + && e + & e & ), jo eu k (.3) ull )e + ( && + & & ) e = (&& & (.5) Kiihde kompoei j uuuu o = & &, = & + & & j = +. Ku.9 o hiollieu opeude j kiihde kompoeej pkoodiio. () = & Rkää = & (b) = && & = & + && Rkää Ku.9 Nopeu j kiih pkoodiio..7 Suheellie liike Edellä pikkeli liikeä kelii koodiioi, jok jelii kiieiki. Kiieää koodiio eu pikkeli em, opeu i kiihä o boluuieki. i ei ole kuiek mhdolli i käeää käää kiieää koodiio liikkee keluu. J Y B j B / B X I Ku.10 Suheellie liike. x i Moi oelluki o kikeiemp kell liikeä iellä ll liikku koodiio. Liikku koodiio uhee eu kiemiik uue o uheellieki. boluuie uuee d, ku ue uheellie uuee j iide miee käe koodiio liike kiieää koodiioo ähde. Tää kpplee kell kiieä koodiio uhee lio ole liikku koodi- Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

10 Dmiikk.10 io. Roio ole koodiio uki möhemmi jäkä kpplee kiemiik hedeä. Liäki ää joiu oliikkee keluu. Ku.10 o kki pikkeli j B, jok o mielilii oliikkeiä kiieää XY-o. Kiiieää pikkelii B x-koodiio, jok liikkuu e muk kelie uu äiläe j uki pikkeli liikeä ää koodiio. Pikkeli pikkekoi x-koodiio o / B = x i + j, jo i j j o x-koodiio kikköekoi j x j pikkeli koodii xkoodiio. Pikkelie j B boluuie pikkekoi XY-koodiio o j B. Pikkekoeide älillä o he = B + / B (.6) Deioimll hälöä (.6) puolii j uhee d B / B & = & B + & / B = + (.7) jo & / B = / B = x& i + & j o pikkeli opeu pikkelii B ähde. Ykikköekoeide i j j ikdei o olli, kok iide uuuu j uu o kioi. Deioimll uudellee j uhee d & & + & B /B = B / B = + (.8) jo & = = && x i + && j o pikkeli kiih pikkelii B ähde. / B / B Suheellie liikkee k päeä muiki koodiioi, ikk e ää johdeii o keeii koodiej kääe. Jo liikku koodiio boluuie opeu B o kio, o kiih B = 0 j = / B. Tämä koi iä, eä kiih o m kiieää j liikku koodiio. Tää eu, eä Newoi II lki F = m päee kiieä koodiio liäki mö iell opeudell lio ole koodiio. Pikkeli kiemiikk Mi Läheemäki

Samankaltaiset tiedostot

PARTIKKELIN KINEMATIIKKA

PARTIKKELIN KINEMATIIKKA PRTIKKELIN KINEMTIIKK Pikklill li msspisllä koi kppl, jok mi o päolllis pi ksl hää kl. Kimiik häää o sliää, mi oid määiää pikkli sm, opus j kiihyyys s liikkuss käyääsä piki. z τ P y R z φ x y Rkäyä x Tkslu