Tässä harjoituksessa käsitellään Laplace-muunnosta ja sen hyödyntämistä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Transkriptio

1 DEE-00 Lneaare järjeelmä Harjou 0, rakauehdouke Tää harjoukea käellään Laplace-muunnoa ja en hyödynämä dfferenaalyhälöden rakaemea Tehävä Laplace-muunno on käevä yökalu dfferenaalyhälöryhmen rakaemea, koka dfferenaalyhälöden rakaemnen muuuu ällön algebrallen yhälöden rakaemek Laplace-muunneaan yhälöpar puolan ja haeaan enn x:n ja y:n muunnoaon rakau: x 4x y y X x04x Y y0y x y y 0 X Y y0y0 X 4Y X Y0 Kun yhälö vähenneään oaan, aadaan X 4X X Tämän jälkeen Y:k aadaan X Y X 4 Välhuomauu alkaa Luennolla on käyy läp n Heavden meneelmä, jolla aadaan rakaua oamurokehelmän kerome C huomaavan nopea varnkn llon, kun nmäjää :n ae on korkea Kerome aadaan lauekkeea: C a F a Tehdään oamurokehelmä X:lle ja Y:lle, ja rakaaan kerome Heavden meneelmällä X:lle vodaan krjoaa X C C Kerron C aadaan elvlle, kun X kerroaan :llä ja ehdään jou = 0:

2 C 0 0 Vaaava C löyyy, kun X kerroaan + :lla ja ehdään jou = -: C Samalla avalla aadaan Y:n oamurokehelmän kerome C 3 ja C 4 : Y 4 C C 3 4 Heavdella aadaan: C 3 4 4, 0 0 C Välhuomauu pääyy Tänä ykynä luennolla e ole käyy Heavdea, joen oamurokehelmä kannaaa ehkä ehdä han perneellä avalla Ny aadaan ehyä käänemuunno Laplace-aulukon kohen ja 3 avulla: X Y y x e e, 0 Tehävä Tehävänannoa pyydeään rakaemaan kondenaaorn jänne y Sk enmmänen ehävä on muodoaa dfferenaalyhälö kondenaaorn jänneelle Kun kykennälle krjoeaan Krchhoffn jännelan mukanen yhälö 0, aadaan d R L y U d Joa aadaan muodoeua dfferenaalyhälö y:lle, muuujaa on pääävä eroon Koka kakk komponen ova arjaa, :n ja y:n välnen rppuvuu aadaan kondenaaorn vra-jänne-yhälöä:

3 dy C d Kun ämä jou ehdään alkuperäeen dfferenaalyhälöön, aadaan: dy d y RC LC y U d d Yllä oleva yhälö on dfferenaalyhälö y:lle, llä nä e enny mua unemaoma muuuja Kun dfferenaalyhälöä rakaaan Laplace-muunnokella, on erän uoavaa, eä yhälö muokaaan ennen Laplace-muunnoa hen muooon, joa korkemman dervaaaermn edeä oleva kerron on ykkönen Jo ää e ehdä, oamurokehelmävaheea ulee helpo ehyä huolmaomuuvrhe Kun dfferenaalyhälö jaeaan LC:llä, aadaan: R U y y y L LC LC Lukuarvo joamalla aadaan 6 8 y 000y 40 y 40 Sen ehdään Laplace-muunno: 8 dy 0 40 d dy 0 dy0 0 0 C 0 d d C 6 Y y Y y Y y 0 40, Jälkmmäen alkuehdon arvo ulee ä, eä prn vra on nolla, kun kykn on auk Kun kykn uljeaan ajanhekellä = 0, vra on edelleen nolla ällä kyeellä ajanhekellä, llä vra e vo muuua epäjakuva Kun alkuarvo joeaan pakalleen, aadaan: Y Y Y on velä käänemuunneava, joa aadaan akaaon rakau y Yllä olevalle muodolle e löydy akaaon vanea Laplace-aulukoa, joen arvaan jälleen oamurokehelmää Nmäjä on enn jaeava ekjöhnä Länfo alkaa Aemmn ol puhea ä, eä dfferenaalyhälö on aaeava muooon, joa korkemman dervaaaermn edeä on kerron yk Kun nän omaan, :n korkena aea olevan ermn keromek ulee nmäjään ykkönen Tämä on 3

4 ärkeää, kun nmäjää aleaan jakaa ekjöhnä, llä muua apaukea ekjöhn jaoa ulee helpo ehyä huolmaomuuvrhe Tarkaellaan ää yknkeraen emerkn avulla Jo nmäjää on emerkk polynom, en nollakohdk aadaan = - ja = 0 Jo nmäjää onkn polynom 0 0, en nollakohdk aadaan ama = - ja = 0 Ny ek mel krjoaa molemma edellä manu polynom ekjöhnä jaeuna muodoa Tämä muoo päee jälkmmäelle polynomlle, joa korkena aea olevan -ermn kerron on yk Aempaa polynoma, joa :n kerron on kak, e kuenkaan voda krjoaa muodoa + - 0, llä joa ermen kerome ämäävä, ekjöhn jako on krjoeava muodoa Tää on yy hen, mk dfferenaalyhälö kannaaa ennen Laplace-muunnoa aaaa muooon, joa korkemman dervaaaermn kerron on yk Länfo loppuu Jaeaan Y:n lauekkeen nmäjä ekjöhnä, joa aadaan ehyä oamurokehelmä: Y A B C A B4000C ABC 40 A00 000A4000B000C 0 B A40 C 0 Y Ny käänemuunnokek aadaan Laplace-aulukon kohen ja avulla: y e e, 0 Kondenaaorn yl oleva jänne läheyy ajan funkona lähdejänneen arvoa 00 V Tehävä 3 Lähdeään lkkeelle laneea, jollon pr on ollu jakuvuulaa 4

5 Jakuvuula arkoaa lannea, jollon jänneden ja vrran arvoa e apahdu muuoa Tällön kääm näkyy okouleuna ja kondenaaor aukauna verkon haarana Tällön ennen ranenä käämn kaua kulkeva vra on uoraan lähdevra 8 A ja koka kondenaaor on ämän okoulkuna näkyvän haaran rnnalla, on kondenaaorn yl oleva jänne ennen muuolmöä 0 V Kun kykn aukeaa, kääm ja kondenaaor jäävä arjaan, jollon Krchhoffn jännelan mukae vodaan krjoaa d L d 0 d C Oeaan kyeä yhälöä Laplace-muunno, jollon dervaaan ja negraaln L- muunnoke 0 L 0 C 0 L L0 C Oamalla käänemuunno, aadaan vrran akaaon rakauk Nän ollen käämn yl oleva jänne on L 8 co4 d V L 3n 4 V d Tehävä 4 Jakuvuulaa kääm näkyy okouljeuna verkon haarana, joen ennen kun kykn uljeaan, vralähde näkee rnnallaan vauen R ja R 3 rnnankykennän, jollon vrran jaon perueella vodaan määrää käämn kaua kulkevan vrran alkuarvo S L 0 R R R 3 J 3 4 A Kun kykn uljeaan, vauke R ja R ova rnnan, jollon nden yhdey rean on R R R, R R Tehdään lähdemuunno Muunneaan vralähde J e co A, jonka rnnalla on edellä odeu vau R, jänneläheek Lähdejänneen arvok ulee nän ollen E e co V ja R, ryy lähdejänneen kana arjaan Edelleen R,

6 6 jää arjaan vauken R 3 kana Nän ollen ällä avalla reduodua kykennää kääm ja :n vau on jänneläheen kana arjaa, jollon vodaan krjoaa Krchhoffn jännelan mukanen yhälö e d d co Oeaan hallevaa yhälöä Laplace-muunno, jollon muunnoaon yhälök aadaan 0 L Sjoeaan vrran alkuarvo ja muu lukuarvo pakalleen, jollon aadaan Täen vrran muunnoaon rakauk aadaan Oamalla edelleä käänemuunno, aadaan kyyyk vrran akaaon rakauk n A e e L