15 0, 035 m 53 cm/s. s. 0,065kg 0,065kg 9,81m/s 4,9 N. 0,34 m

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "15 0, 035 m 53 cm/s. s. 0,065kg 0,065kg 9,81m/s 4,9 N. 0,34 m"

Transkriptio

1 Ketaustehtäät. c) Len kietokulma on t,5 ad/s (6 s) 9 ad.. a) Ratanopeus on 5, 35 m 53 cm/s. s 3. b) Tasapainoasemassa palloon kohdistuat paino G ja langan jännitsoima T. Pallon liikehtälö on F ma. n Kun suunta lös on positiiinen, saadaan skalaaihtälö T G m. Langan jännitsoiman suuuus on (4,7 m/s) T m mg,34 m,65kg,65kg 9,8m/s 4,9 N. 4. c) Saanoihin aikuttaa momentti on molemmissa tapauksissa htä suui. Yhtälöstä M M eli F F saadaan töntöoiman suuuudeksi F F 87 N,3m 38 N.,3 m 5. c) Tasapainotilanteessa momenttien summa on nolla minkä tahansa akselin suhteen. Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, momenttien summa pisteen A suhteen on M A = F F =. Etuhampaiden puistusoiman suuuus on F 7 N 3mm F 8 N. mm 6. b) Thjän tölkin painopiste on kokeudella cm 5,5cm. Pohjalla olean juoman kokeus saadaan htälöstä π h V. Nestepinta on kokeudella 3 V cm h,598448cm. π π(3,5cm) Oletetaan, että juoman tihes on htä suui kuin eden tihes, kg/dm 3. Silloin juoman massa on g ja sen painopiste on kokeudella,598448cm, 994cm. 87

2 Koko ssteemin painopiste pödänpinnan suhteen on kokeudella 5g 5,5cm g,994cm,8cm. 5g 7. c) o s h Kitkamomentin tekemä tö muuntaa pöimisen otaatioenegian potentiaalienegiaksi ja slinteiin kohdistua painon tekemä tö etenemisen tanslaatioenegian potentiaalienegiaksi, kun ieiminen tapahtuu liukumatta. Kitka on lepokitkaa. Oletetaan, että liikeastuksia ei ole. Mekaanisen enegian säilmislain mukaan on m J mgh. Nousukokeus on h s sin, jossa s on ieimismatka. Sijoitetaan mekaanisen enegian säilmislain htälöön kulmanopeuden ja hitausmomentin htälöt ja J m ja atkaistaan alkunopeus: m m mgh gh 4 3 gh m gh gssin 9,8,m sin 5,6m/s s 8. b) Radallaan olean satelliitin liikehtälö on F man. Kun suunta kohti Maan keskipistettä on positiiinen, saadaan skalaaihtälö mm m, jossa M on Maan massa, m satelliitin massa ja atanopeus. Satelliitin atanopeus on 4 M 6,6759 Nm /kg 5,974 kg 7,5km/s. 75 km 6378 km 9. c) Kien nopeus ajan funktiona on gt. Lakipisteessä nopeus on = m/s, m/s jolloin nousuaika on t, s. g 9,8 m/s 88

3 . c) Alkunopeuden pstkomponentti on sin 367 m/s sin 36 5,87m/s. o Lakipisteessä kappaleen nopeuden pstkomponentti. Yhtälöstä gt 5,87 m/s nousuaika on t, 6776s. Lentoaika on,6776 s 3, s. g 9,8m/s π.a) Kietokulma on 7575 ad 3,ad. 8 o 8 o b) Kietokulma on 5ad π. a) Pulsain kieosaika on T,56 ms. n 64 /s ad Kulmanopeus on πn π s s π 3. a) Napakelkan atanopeus on, josta kelkan kieosaika on T π π 4,5 m T,3973 s s.,5 m/s b) Pöimisnopeus on n, 88. T,3973s s c) Newtonin I lain mukaan kelkka jatkaa suoaiiaisesti liikettään adan tangentin suuntaan. 4. a) Pöän säde on = 4,5 cm, joten sen pöähtäessä hden kieoksen hiihtäjä m etenee matkan s π. Lenkin aikana kieoksia tulee π,45m 37. b) Renkaan kulmanopeus on πn π,5ad/s 5π ad/s 5,7 ad/s. Kietokulma on t 5π ad/s 66s 5654,86678 ad. Pöäilijän kuudessa minuutissa pöäilemä matka on s 5654,86678 ad,34 m,9 km. Rengas pöähtää kokonaisia kieoksia 5654,86678 ad 9 kpl. π 89

4 5. a) Koska kiekot on hdistett luistamattomalla hihnalla toisiinsa, niiden atanopeudet oat htä suuet: eli, josta saadaan. Koska säteiden suhde on 8,cm, kulmanopeuksien suhde on 5: (=,5:). cm 5 b) Kun pienemmän kiekon pöimisnopeus on 5, /s, sen kulmanopeus on πn π 5, ad/s 3,4593 ad/s. Isomman kiekon kulmanopeus on 3, 4593ad/s,56637 ad/s. 5 Tämän kulmanopeuden saauttamiseen kuluu aikaa kiihdttämisen alusta lukien,56637 ad/s t s.,5 ad/s 6. a) Akselin kulmakiihts on 4,3ad/s,5 ad/s t,4s,575 ad/s,6 ad/s. b) Kiihdtksen aikana kietokulma on t t,5 ad/s,4s,575 ad/s (,4s) 5, 784 ad. o 8 Kietokulman suuuus asteina on 5,784 ad 5, π 7. a) Rummun keskikulmakiihts aikaälillä, s 6, s on 4 ad/s, ad/s 4 ad/s k 9 ad/s. t t 6, s, s 6, s ad s ω t s 9

5 b) Jotta keskikulmakiihts ja hetkellinen kiihts olisiat htä suuet, astaaien suoien on oltaa hdensuuntaiset. Kuaajalle kohtaan, s piiett tangentti on hdensuuntainen keskikulmakiihtttä kuaaan suoan kanssa. Näin ollen hetkellä, s hetkellinen kulmakiihts on sama kuin keskikulmakiihts älillä, s 6, s. m/s 3,6 8. a) Auton kulmanopeus on,58 ad/s. 53m b) Auton adalla pitään oiman suuuus on m/s 3,6 F m 5 kg 8 kn. 53m c) Auton pitää adalla (tiellä) auton enkaiden ja tienpinnan älinen lepokitka. Jos kitka on liian pieni, auto suistuu tieltä. Jos auto lähtee liukumaan, kseessä ei ole enää lepokitka, aan lepokitka on muuttunut liukukitkaksi. d) Vaikka auton ataauhti on akio, nopeuden suunta kuitenkin muuttuu koko ajan. Autolla on nomaalikiihtttä, joka suunta on kohti adan keskipistettä. 9. Linnun liikehtälö aakasuunnassa on F. man Valitaan suunta kohti adan keskipistettä positiiiseksi. F F F G π π 5 m Linnun ataauhti mpäadalla on 5,895 m/s. Voiman suuuus T 6 s (5,895 m/s) aakasuunnassa on F man m,3 kg,74 N. 5 m Koska linnulla ei ole kiihtttä pstsuunnassa, linnun liikehtälö pstsuunnassa on F eli F G. Kun alitaan suunta lös positiiiseksi, skalaaihtälöstä F G = saadaan F G mg,3 kg9,8m/ s 3,39 N. Nostooiman suuuus on F F F (,74 N) (3,39 N) 3, N. Nostooiman suuntakulma psttasoon nähden: F,74 N tan, F 3,39 N josta 3. 9

6 . a) Oletetaan, että kstillä hetkillä tangenttikiihts on nolla. Lentäjään kohdistuat paino G ja penkistä tukioima N. G N + N a n G b) Lentäjän liikehtälö on F ma n eli N G ma. n Soitaan suunta kohti adan keskipistettä positiiiseksi. Ratkaistaan skalaaihtälöstä N G ma tukioiman suuuus: N man G m G. Tukioiman suuuus oi maksimissaan olla N 9G eli m mg 9mg. Yhtälöstä g 9g eli 8g säteen suuuudelle saadaan ehto: 5 m/s 3,6,km. 8g 8 9,8m/s n. Kun astusoimat oat pienet, autoon kohdistuat oimat oat paino ja tienpinnan tukioima. Auton adan säteeksi oletetaan kohtisuoa etäiss adan keskipisteeseen. Auton tiellä pitää kokonaisoima suuntautuu kaateen keskipistettä kohti ja on aakasuoa. Liikehtälö aakasuunnassa on F ma. Pstsuunnassa liikehtälö on F, koska autolla ei ole kiihtttä pstsuunnassa. n Kun alitaan suunnat keskipistettä kohti ja lös positiiisiksi, saadaan skalaaihtälöt Nsin m ja N cos α mg =. Tukioiman suuuudelle saadaan htälö N mg. cos 9

7 mg Kun htälö N sijoitetaan htälöön cos josta auhdiksi saadaan Nsin m, saadaan mg sin m, cos g cos sin gtan 4 m 9,8 m/s tan, m/s.. Ympäadalla liikkualla etuilla on nomaalikiihtttä ja tangenttikiihtttä, koska sen atanopeus muuttuu. Kuiossa etui liikkuu mötäpäiään. a t a n a a t a n a Alkutilanne: Alussa etuin nomaalikiihtden suuuus on a n 95 ( m/s) 3,6,896 m/s 54 m ja tangenttikiihtden suuuus 6 95 m/s m/s 3,6 3,6 at,88384m/s. t s Vetuin kiihtden suuuus alussa on a a a t n (,88384m/s ) (,8958m/s ),6m/s. Kiihtden ja mpäadan säteen älinen kulma: a,88384m/s tan, t an,896m/s josta kulma 34,4559. Nopeuden ja kiihtden älinen kulma on 9 934,

8 Lopputilanne: Lopussa etuin nomaalikiihtden suuuus on a n 6 m/s 3,6,544 m/s 54 m ja tangenttikiihtden suuuus on htä suui kuin alkutilanteessakin: 6 95 m/s m/s 3,6 3,6 at t s Vetuin kiihts lopussa on a a a,88384 m/s. t n (,88384 m/s ) (,544m/s ),m/s. Kiihtden ja mpäadan säteen älinen kulma: a,88384 m/s tan, josta saadaan 59,834. t an,544 m/s Nopeuden ja kiihtden älinen kulma on 9 959, Puupalan liikehtälö on F ma, jossa puupalan kiihts on nomaalikiihtden ja tangenttikiihtden ektoisumma: a a a. n t Puupala ps mpäadalla kitkan F N takia. Soitaan suunta keskipistettä kohti positiiiseksi. Skalaaihtälö F ma saadaan muotoon N m a a eli n t mg m an a t, josta kitkakeoin on a a g Puupalan nomaalikiihtden suuuus on a n = = (αt) = (,5 ad/s 6,5 s),5 m 3,9694 m/s. Puupalan tangenttikiihtden suuuus on a t = α =,5 ad/s,5 m =,375 m/s. Kitkakeoin on a a (3,9694 m/s ) (,375 m/s ) n t g 9,8 m/s.,4. n t 94

9 4. Koska kappale liukuu kitkatta -säteisen pallo pintaa alaspäin, oidaan soeltaa mekaanisen enegian säilmislakia. Esineeseen kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegiaa liike-enegiaksi, jolloin saadaan htälö mgh m. Itoamishetkellä kappale on pudonnut pstsuunnassa matkan h cos. Sijoittamalla josta auhdin neliö on h cos htälöön mgh g ( cos ). m saadaan m mg ( cos ), Kun kappale liukuu pallopinnalla, säteen suunnassa aikuttaat painon G mg säteen suuntainen komponentti pallon keskipistettä kohti ja pinnan tukioima pallon pinnasta kappaleeseen. Kappaleen liikehtälö on F ma eli G. N ma n Soitaan suunta pallon keskipistettä kohti positiiiseksi. Sijoitetaan skalaaihtälöön n mg cos N m auhdin neliön htälö g( cos ) ja otetaan huomioon, että kappaleen g( cos ) itoamishetkellä tukioima N. Saadaan htälö mg cos m eli cos ( cos ), josta cos cos ja edelleen 3cos. Yhtälöstä cos saadaan kulmaksi 48,. 3 Esineen itoamiskokeus pallon alaeunasta mitattuna on cos ( cos48, ), Palloon kohdistuat heilahduksen aikana langan jännitsoima T ja paino G. Ilmanastus on pieni, koska pallo on pieni. Pallon liikehtälö on F ma eli T G ma n. Valitaan suunnat alas ja kohti adan keskipistettä positiiisiksi. Pallo alkaa poiketa mpäadalta, kun jännitsoima T. Tällöin kulma on = 5 9 = 35. Näin ollen skalaaihtälö saadaan muotoon G ma eli n mg sin m. l n Pallon nopeuden neliölle saadaan htälö glsin. 95

10 Kun pallo alkaa poiketa mpäadalta, se on noussut kokeudelle h l lsin. Alussa pallolla oli liike-enegiaa ja lopussa liike-enegiaa ja potentiaalienegiaa. Ympäadalta poikkeamisen hetkellä pallolla on ielä nopeutta ja siksi potentiaalienegian lisäksi liikeenegiaa. Palloon kohdistua paino tekee tötä palloon ja muuntaa liike-enegiaa osittain potentiaalienegiaksi. l sin mg sin G l T E p = o G Mekaanisen enegian säilmislain mukaan on m m mgh. Sijoittamalla tähän htälöön nopeuden neliön ja nousukokeuden htälöt saadaan m m( gl sin ) mg( l l sin ) m glsinglglsin 3glsin gl gl(3sin). Pallon lähtönopeudeksi saadaan gl (3sin ) 9,8 m/s,85 m (3sin 35 ) 5,6 m/s. 6. A s =, m B + F F N Momentti akselin A suhteen on M F s 35 N, m 7 Nm. Momentti akselin B suhteen on M F s 55N,m Nm. A B Voimien esultantin suuuus on R = 55 N + 35 N = 9 N ja suunta alas. Kaikkien momenttien ääntöaikutus on nolla minkä tahansa akselin suhteen, Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, momenttien summa akselin A suhteen on M A NF s. 96

11 Resultanttioiman suhteen astakkaissuuntaisen oiman N aikutussuoan paikka akselista A lukien on Fs 35N,m,78m. N 9 N 7. 3, m 3, m A G Leena N G isä + Leenan ja isän tulee asettua ei puolille tukipistettä eli laudan keskikohtaa A. Olkoon isän etäiss tukipisteestä. Jotta lauta ps tasapainossa, on momenttien summan oltaa nolla minkä tahansa laudan akselin suhteen eli M. Kun suunta astapäiään on positiiinen, keskipisteen suhteen on M Misä MLeena eli Gisä GLeena 3, m. Isän etäiss tukipisteestä on GLeena 3, m mleena g3, m mleena 3, m G m g m isä isä isä 3 kg 3, m,5 m. 8 kg Isän etäiss Leenasta on silloin,5 m + 3, m 4, m. A 8. a) Jos kietosuunta mötäpäiään on negatiiinen, momentti on M F 35 N,7 m 6, Nm. b) Voiman aikutussuoan etäiss keskiöstä on nt pienempi kuin a-kohdassa. Vääntöaen pituus on nt uusi,7 m cos 45,8m. Momentti on M F uusi 35 N,8m 4, Nm. uusi = cos 45 F 45 97

12 9. Puupölkkn aikuttaat oimat oat pölkkn kohdistua paino G, aakasuoan maanpinnan tukioima N, potaan eunan tukioima N ja töntöoima F. m Takastellaan tilannetta, jossa pölkk on juui itoamassa maan pinnalta. Tällöin maanpinnan tukioima N on nolla. Lasketaan momenttien summa akselin A suhteen, tällöin oiman töntöoiman aet. p m N momentti on nolla. Selitetään ensin pölkkn kohdistuan painon ja p F a = h h A 7,7 cm G b N p,66 m Töntöoiman F asi on a h h,33 m,77 m,53 m. Painon G asi b saadaan Pthagoaan lauseen aulla: b ( h), josta saadaan b ( h ) (,33 m) (,53 m),875 m. Häkstään ain aen positiiinen ao. Takastellaan tilannetta, kun pölkk on juui itoamassa maan pinnalta. Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, momenttien summa akselin A suhteen on M A = Fa + Gb =. Yhtälöstä saadaan pienimmäksi töntöoimaksi Gb F a, 53m 44kg 9,8m/s,875m N. 3. a) Paksumman pään massa on suuempi. Painopiste ei ole keskellä kattakeppiä, aan lähempänä paksua päätä. Painopisteestä tuettuna kattakeppi ps tasapainossa. Silloin kepin päiden momenttien summa on nolla tukipisteen kautta kulkean akselin suhteen. Lhempi eli paksumpi pää on askaampi, koska tähän osaan kohdistua paino on suuempi ja ääntöasi näin ollen pienempi. Pidemmän osan ääntöasi on suuempi, joten siihen kohdistua paino on pienempi kuin lhemmän osan. Lhemmän osan massa on siis suuempi kuin pidemmän osan massa. 98

13 b) m 3 m m Sijoitetaan koodinaatisto kuan mukaisesti siten, että kuula m sijaitsee oigossa. Lasketaan limmän kappaleen paikka. Kolmion kaikki kulmat oat 6. Ylimmän kappaleen paikan -koodinaatti on 4cm 7cm. Yhtälöstä tan6 saadaan limmän kappaleen paikan -koodinaatiksi 7cm 7cm tan 6,44cm. Tällöin kuulien koodinaatit oat Kuula Massa/kg /cm /cm m, m,5 4 m 3,45 7,44 3 Painopisteen paikan -koodinaatti on m m m 3 3 mm m3,kg,5kg4cm3,45kg7cm, kg,5kg 3,45kg 83cm ja -koodinaatti m m m 3 3 mm m3,kg,5kg 3,45kg,44cm, kg,5 kg 3,45 kg 59cm. Painopiste on tässä koodinaatistossa kohdassa (83 cm, 59 cm). 3. a) Ripusta kappale jostakin kohdasta. Kiinnitä luotilanka (lanka, jonka toisessa päässä on paino) ipustuspisteeseen ja piiä luotilankaa kättäen tästä pisteestä lähtien kappaleen pintaan suoa iia alas. Ripusta sitten kappale muistakin kohdista esimekiksi kolme ketaa ja piiä luotisuoat. Suoat leikkaaat kappaleen painopisteen kohdalla. 99

14 b) Painopisteen paikka pstsuunnassa on m m m 8,7 kg,m 7,3kg 6,m 5,9 kg m 5,5m mm m3 8,7kg7,3kg5,9kg Painopiste sijaitsee 5,5 m lipputangon testä löspäin. 3.,65 m, m Säiliö ps pstssä, jos sen painopisteen kautta kulkea luotisuoa kulkee tukipinnan,m kautta. Rajatapauksessa saadaan htälö tan, josta kalteuuskulma on 7.,65m 33. Kuassa a pöä muuttaa ain oiman suuntaa, se ei ole nostettaana kuomana. Langan jännitsoima on htä suui kuin punnukseen kohdistuan painon suuuus. Vaaka nättä langan jännitsoiman suuuuden eli aa an nättö on htä suui kuin punnukseen kohditua paino eli G punnus =,5 N. Kuassa b pöään ja punnukseen kohdistuan painon suuuinen oima kuomittaa kahta alemman pöän ipustuslankaa. Vaaka nättää langan jännitsoiman suuuuden eli ( Gpunnus Gpöä ) (,5N,N),85N. 34. a) Yhden pöähdksen aikana oiman F aikutuspiste siit matkan π. Voiman F aikutuspiste siit matkan (π π )/ löspäin. Ketjun etämisessä teht tö on htä suui kuin kappaleen nostamisessa teht tö, jolloin W π π W eli F π F josta saadaan F F,.

15 Säteiden lähentessä toisiaan, niiden eotus lähenee nollaa. Tällöin taittaa etooima pienenee, jos kuoma ps samana. Diffeentiaalitaljalla oidaan nostaa sitä suuempi kuoma, mitä pienempi pöien säteiden eotus on. b) Tasapainoehdosta F F saadaan kuomaksi F F 85 N cm 5cm cm 5, 3 kn. 35. a) Väite on ääin. Kappale on tasapainossa etenemisen suhteen, jos kokonaisoima on nolla, ja pöimisen suhteen, jos kokonaismomentti on nolla. Esimekiksi kuan tilanteessa kokonaisoima on nolla, mutta silti oimat aiheuttaat kappaleeseen sitä kääntämään pkiän momentin. F F b) Väite on ääin. Jos kokonaismomentti on nolla, niin kappale on leossa pöimisen suhteen tai sitten se pöii tasaisesti. Tällöin pöimissuunnassa oiman momentti on htä suui kuin astusoimien aiheuttama momentti. Jos esimekiksi auton, polkupöän tai junan pöät pöiät akiona psällä kulmanopeudella, pöään kohdistuien momenttien summa on nolla. Tällöin pöimistä astustaien oimien (laakeeiden kitka ja ieimisastus) momentti on htä suui mutta aikuttaa astakkaiseen kietosuuntaan kuin pöimistä lläpitäien oimien momentit. Kun kappale ieii alas kalteaa pintaa tasaisella nopeudella, pöimistä lläpitää oima on pinnasta pöään kohdistua kitka. 36.,4 m T β N A + N N G t T α,65 m T G k,4 m tan α = 3,8687,65 m Tukitanko on tasapainossa, joten siihen kohdistuien oimien summa on nolla eli F ja momenttien summa on nolla eli M. Valitaan kietosuunta astapäiään positiiiseksi, jolloin momenttihtälö kietoakselin A suhteen on

16 l M A lt Gt lgk, joka jakamalla pituudella l ksinketaistuu muotoon Gt T Gk. Koska T Tsin, aijein jännitsoiman suuuus on G m t t, kg m Gk mk g 5, kg 9,8 s T 4,839 N N. sin sin sin 3,8687 Valitaan suunta oikealle positiiiseksi. Koska aakasuunnassa on oimassa ehto, saadaan htälö N T, josta F N T Tcos 4,839 N cos3, ,56 N. Valitaan suunta lös positiiiseksi. Koska pstsuunnassa on oimassa ehto F, saadaan htälö N Gt Gk T, josta N Gt Gk T ( mt mk) gtsin (, kg 5, kg) 9,8 m/s 4,839 N sin 3,8687 5,8863 N. Seinän tankoon kohdistaman kokonaisoiman suuuus on N N N (88,56 N) (5,8863 N) 88 N. N 5,8863 N Voiman suunnan määittää kulma saadaan htälöstä tan, josta N 88,56 N kulma on 3,8. Kstt tukitangon seinään kohdistama oima on oiman N astaoima ja siten Newtonin III lain mukaan htä suui, mutta suunnaltaan astakkainen. Vaijeiin BC kohdistua jännitsoiman suuuus on N aijein suuntaan. Tukitangon AB seinään kohdistaman oiman suuuus on 88 N ja suuntakulma seinän nomaalin suhteen 3,8 (kuio). 3,8 N 37. a) Sauan hitausmomentti on ml J, josta sauan pituudeksi saadaan J, kgm l 7, 6 m. m, 5 kg b) Sauan hitausmomentti muuttuu pöimisakselin paikan muuttuessa. Esimekiksi toisen pään mpäi pöiessään sauan hitausmomentti on suuempi kuin a-kohdassa J ml 3. c) Hitausmomentti kuaa kappaleen kkä astustaa pöimisen muutoksia, ts. hitausmomentti kuaa kappaleen pöimisen hitautta. Kappaleen pöimisen hitaus aikuttaa leossa olean kappaleen pöimään saattamiseen sekä htä lailla jo pöiän kappaleen kulmanopeuden muuttamiseen eli kiihdttämiseen tai jauttamiseen.

17 38. Sauan pää liikkuu pitkin mpäataa, jonka säde on l =,5 m. Pään atanopeus on = l. Sauaan kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa sauan potentiaalienegiaa pöimisenegiaksi, koska saua pääsee pöimään toisen päänsä kautta kulkean akselin mpäi. Sauan painopisteen kokeuden muutos on l/. Ratkaistaan sauan kulmanopeus l l 3g lopputilanteessa htälöstä J mg eli ml mg, josta saadaan. 3 l Sauan apaan pään nopeus on 3g l l gl l 3 3 9,8m/s,5m 3,9m/s. 39. Momentti, joka aikuttaa keskeltä akseloituun umpinaiseen tankoon on M = F. Pöimisen liikehtälö on M = Jα eli F J. Yhtälö saadaan muotoon F m, josta kulmakiihts on F 4 N, m ad 8. m,5kg (, m) s 4. Koska liikeastusoimia oidaan pitää ähäisinä, soelletaan mekaanisen enegian säilmislakia. Slinteiin kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegiaa liike- ja otaatioenegiaksi: mgh m J eli mgh m mr, R josta saadaan mgh m m. Kappaleen nopeus on 4 mgh m m kg 75 kg kg 9,8 m/s,7 m 5, m/s. 4. Soitaan ämpäin potentiaalienegian nollataso ämpäin ala-asemaan. Pudonneella ämpäillä ei ole potentiaalienegiaa lopussa, mutta on liike-enegiaa. Osa alussa olleesta potentiaalienegiasta kuluu liikeastusten oittamiseen. Ämpäin potentiaalienegian muutos on htä suui kuin kitkamomenttia astaan tehdn tön ja ssteemin liike-enegian summa lopussa: E W E E eli pot kin ot mgh W m J μ. M Kitkatö saadaan muotoon W F s M. Koska kulmanopeus on h h h, kietmälle saadaan htälö π n π π, jossa h on p π pudotuskokeus. 3

18 Oletetaan, että kösi ei en eikä liu u, jolloin htälö mgh Wμ m J, saadaan muotoon mgh M m J h mgh M m J M J hmg m ( ) ( ). Ratkaistaan htälöstä nopeus: M hmg ( ) J m M,4 Nm hmg 3, m kg 9,8m/s,9 m 6,5 m/s. J,8 kgm m kg (,9 m) 4. Pallon ieimistä alaspäin oidaan takastella kättäen mekaanisen enegian säilmislakia, kun ilmanastus ja ieimisastus oat ähäisiä. Valitaan potentiaalienegian nollatasoksi pallon alustasta itoamisen taso. Pallon ieiessä liukumatta alas palloon kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa pallon potentiaalienegiaa tanslaatioenegiaksi ja kitkamomentti potentiaalienegiaa otaatioenegiaksi. Vieimisen loppuaiheessa pallon siitessä alimmasta pisteestä nollatasolle astaaasti otaatio- ja tanslaatioenegiaa muuntuu potentiaalienegiaksi: Koska mgh m J J. 5 m ja, mekaanisen enegian säilmislaki saadaan muotoon mgh m m eli 5 mgh m m eli 7 gh, josta nopeus potentiaalienegian nollatasolla on gh. 7 4

19 Pallon iottua alustasta palloon kohdistua paino muuntaa tanslaatioenegiaa potentiaalienegiaksi. Yhtälöstä m mgh saadaan nousukokeudeksi h gh h,95m,68m. g g a) Autot etäät toisiaan puoleensa oimalla, jonka suuuus on mm Nm kg 6kg 5 F 6,6759, N. kg (,5m) Molemmat autot etäät toisiaan puoleensa htä suuella mutta astakkaissuuntaisella oimalla (Newtonin III laki). b) Satelliitin liikehtälö on F m a. sat n Gaitaatiooima pakottaa satelliitin mpäadalle. Valitaan suunta kohti Maan keskipistettä positiiiseksi, jolloin saadaan skalaaihtälö m m ( R) R sat Maa m jossa R on Maan säde. Nopeus on sat m R 6,378 m 4 Maa 6,6759 Nm /kg 5,974 kg 6 5,6 km/s. 44. Keplein III laista T T saadaan Pluton keskietäisdeksi Auingosta 3 3 T (49,6 m) (46,8a) T (, a) 6 5,886 m 5886 km. 45. a) Olkoon lentokoneen massa m. Gaitaatiokentän oimakkuus, km kokeudella maanpinnasta on g mm 4 F M Nm 5,974 kg 6,6759 9,76 m/s. m m kg (6378 km, km) 5

20 46. Gaitaatiooiman takia Mas kietää adallaan Auingon mpäi. Masin liikehtälö Auinkoa kietäällä adalla on F ma. Kun suunta kohti Auingon keskipistettä on M A m positiiinen, skalaaihtälöstä m saadaan Auingon massaksi M A 6,6759 Nm /kg (4,3 m/s) 7,9 m 3,989 kg. n 47. Putoamiskiihts toisen planeetan pinnalla on g m m m Planeetta Maa Maa Planeetta Pl ( Maa ) Maa 4 Nm 5,974 kg 6,6759 9,8 m/s. 3 kg (6378 m) 48. Valitaan suunta alas positiiiseksi. Yhtälöstä s gt saadaan putoamisajaksi s 35m t,675s,7 s. g 9,8m/s Loppunopeus on gt gt 9,8m/s,675s 6m/s. 49. Oletetaan, että hppääjä putoaa suoaan alas. Lasketaan hppääjän nopeus metin pudotuksen jälkeen. Oletetaan, että hppääjään kohdistua ilmanastus on ähäinen. Hppääjään kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegiaa liike-enegiaksi. Mekaanisen enegian säilmislaista mgh m saadaan nopeudeksi gh 9,8m/s m 48,56 m/s. Alkuaiheen jälkeen liike on hidastuaa. Aautuneeseen ajoon kohdistua ilmanastus hidastaa liikettä. Lasketaan aika, jonka kuluessa nopeus pienenee aoon 5, m/s. Loppunopeus on at, josta ajaksi saadaan t a 5, m/s 48,56 m/s, m/s Tässä ajassa kuljettu matka on, 768s. s t at 48,56 m/s,768 s (, m/s ) (,768 s) 58,35 m. Laskuajohppääjän on hpättää ähintään kokeudelta m + 58,35 m 7 m. 6

21 5. Valitaan koodinaatisto siten, että oigo on heittopisteessä. Soitaan suunta alas positiiiseksi. Kun ilmanastusta ei oteta huomioon, pallon liikettä oidaan pitää tasaisesti kiihtänä. g a) Pallon putoamana matka saadaan htälöstä h t gt eli t th. Lentoaika saadaan kättäen toisen asteen atkaisukaaaa: g 4 ( h) gh t g g 9,8 m/s 5 m/s (5 m/s) 9,8 m/s 4 m. Ratkaisuna saadaan t 3,5857 s ja t 6,6 s, joka hlätään. Pallo tömää maahan 3,5 s:n kuluttua. b) Pallon nopeus on gt 5 m/s 9,8m/s 3,5857 s 5 m/s. Pallon nopeus oidaan atkaista mös mekaanisen enegian säilmislain aulla: mgha ma mghl ml. Valitaan potentiaalienegian nollatasoksi maanpinta (h l = ). Loppunopeudeksi saadaan gh 9,8m/s 4 m (5m/s) 5m/s. l a a 5. Ilmanastusta ei oteta huomioon. Kien löspäin nousemisen aikana kieen kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa liike-enegian potentiaalienegiaksi. Putoamisen aikana paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegian liike-enegiaksi. Soitaan otkon pohja potentiaalienegian nollatasoksi. Yhtälöstä mgh m m putoamisnopeuden suuuudeksi otkon pohjalla saadaan gh (8m/s) 9,8m/s 49m 35,85 m/s. Soitaan suunta lös positiiiseksi, jolloin otkon pohjaan osumisen nopeus on = 35,85 m/s. Koska liike on tasaisesti kiihtää, loppunopeus saadaan htälöstä gt. 8 m/s ( 35,85 m/s) Tapahtumaan kulunut aika on t 5,5s. g 9,8m/s Kii putoaa 5,5 sekunnin kuluttua otkoon nopeudella 36 m/s. 7

22 5. Ilmanastusta ei oteta huomioon, jolloin kien liike on pstsuunnassa tasaisesti kiihtää ja aakasuunnassa tasaista. Yhtälöstä h gt saadaan putoamisajaksi h 3m t,554s. g 9,8m/s Kantama on t m/s,554s 56 m. Lasketaan nopeuden suunta ja suuuus maahan osumisen hetkellä. Soitaan suunta löspäin positiiiseksi. Nopeuden suuuus saadaan htälöstä ( gt) ( 9,8 m/s,554 s) ( m/s) 33 m/s. Kien nopeus -suunnassa on gt. Koska kii heitetään antatömältä aakasuoaan, on = m/s, joten gt. Nopeuden suuntakulma aakatasoon nähden saadaan htälöstä gt 9,8 m/s,554 s tan, josta 49. m/s Kien kantama on 56 m aakasuuntaan, nopeuden suuuus 33 m/s ja suuntakulma 49. Nopeuden suunta on aakatasosta inosti alaspäin. 53. a) ) Ei, koska nopeus ei ole akio pstsuoassa heittoliikkeessä. ) Ei, koska pstsuoassa heittoliikkeessä nopeus muuttuu positiiisesta negatiiiseksi. 3) Kllä, koska kiihts on akio ja negatiiinen (hidastua liike) ja nopeus muuttuu kuassa positiiisesta negatiiiseksi. 4) Ei, koska kiihtden tulee olla piioksessa akio. 5) Kllä, koska kiihts on akio ja negatiiinen. b) Kii, joka putoaa edessä: kieen kohdistuat oimat oat paino, noste ja eden astus. Kausellissa olea henkilö: henkilöön kohdistuat oimat oat paino, lepokitka ja seinästä henkilöön kohdistua tukioima. F mg mg 8

23 54. a) Slinteiin kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegiaa liikeenegiaksi. Kitkamomentti tekee tötä ja muuntaa osan potentiaalienegiasta otaatioenegiaksi. Lähtökokeus katon eunasta mitattuna on h 6,m sin 35 3,4446m. Ssteemin ulkoiset astustaat oimat, kuten ilmanastus, oidaan olettaa ähäisiksi. Silloin slintein potentiaalienegia muuntuu ieimisen aikana etenemisen ja pöimisen liike-enegiaksi ja mekaanisen enegian säilmislakia oidaan soeltaa: mgh m J ja edelleen mgh m m eli 3 gh. 4 4 Slintein nopeus katon eunalla on 4gh 4 9,8m/s 3,4446 m 6,797 m/s ,797 m/s Slintein kulmanopeus on 37 ad/s.,8 m b) Katon eunan jälkeen slintein liikettä oidaan takastella inona heittoliikkeenä, jonka alkunopeus 6, 797 m/s. Alkunopeuden aakakomponentin suuuus on cos356,797 m/s cos35 5,4959 m/s. Alkunopeuden pstkomponentin suuuus on sin 356,797 m/s sin 35 3,8488 m/s. Pstsuunnassa slintei putoaa heiton aikana 5, metin matkan, joten htälöstä t gt eli gt t saadaan putoamisaika kättäen toisen asteen htälön atkaisukaaaa: t g g ( ) 4 ( ) 9,8m/s 3,8488 m/s (3,8488 m/s) 4 9,8m/s ( 5, m) Yhtälön atkaisut oat t =,6989 s (tai t =,47545 s). Häkstään ain ajan positiiinen ao. Tässä ajassa slintei liikkuu aakasuunnassa matkan t 5, m/s,6989s 3,8 m.. 9

Fysiikka 5. Tehtävien ratkaisut. Pyöriminen ja gravitaatio. Heikki Lehto Raimo Havukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen

Fysiikka 5. Tehtävien ratkaisut. Pyöriminen ja gravitaatio. Heikki Lehto Raimo Havukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen Tehtäien atkaisut Heikki Lehto Raimo Haukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen Fysiikka 5 Pyöiminen ja gaitaatio Kustannusosakeyhtiö Tammi Helsinki . painos Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö Tammi, 00 ISBN:

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä

Lisätiedot

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

NESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA

NESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA NESTEIDEN ja KSUJEN MEKNIIKK Väliaineen astus Kaaleen liikkuessa nesteessä tai kaasussa, kaaleeseen törmääät molekyylit ja aine-erot erot aiheuttaat siihen liikkeen suunnalle astakkaisen astusoiman, jonka

Lisätiedot

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörin ja arkkithtin yhtisalinta - dia-alinta 2010 Alla on lutltu kuusi suurtta skä annttu taulukoissa kahdksan lukuaroa ja kahdksan SI-yksikön symbolia. Yhdistä suurt oikan suuruusluokan

Lisätiedot

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

5. KURSSI: Pyöriminen ja gravitaatio (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN

5. KURSSI: Pyöriminen ja gravitaatio (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN 5 KURSSI: Pyöimie ja gaitaati (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN s s KULMASUUREET; kietkulma ϕ =, kietymä = kietkulma muuts ϕ = 360 = π ad (MAOL s 34 (34)) PYÖRIMISLIIKE φ s kulmapeus = ϕ ad ω, yksikkö:[

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

2. Tasasivuinen kolmio

2. Tasasivuinen kolmio Ympäri piirretn mprän säde r a a = = = = sin sin sin γ 4 p( p a)( p )( p ) Sisään piirretn mprän säde r r = a++ = p = ( p a)( p )( p ) p γ γ a m w Korkeusjana a = = = sin = asin Keskijana m m = a + ( )

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

Theory Finnish (Finland)

Theory Finnish (Finland) Q1-1 Kaksi tehtävää mekaniikasta (10 pistettä) Lue yleisohjeet ennen tehtävien aloittamista. Osa A: Piilotettu kiekko (3,5 pistettä) Tässä tehtävässä käsitellään umpinaista puista sylinteriä, jonka säde

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Opiskeluintoa ja menestystä tuleviin valintakokeisiin!

Opiskeluintoa ja menestystä tuleviin valintakokeisiin! RATKAISUT TESTIKYSYMYKSIIN Tästä löydät astaukset lääketieteen alintakoetyyppisiin testikysymyksiin. Jos osa kysymyksistä tuotti sinulle paljon päänaiaa, älä masennu, keään alintakokeeseen on ielä pitkä

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan

Lisätiedot

Physica 6 Opettajan OPAS (1/18)

Physica 6 Opettajan OPAS (1/18) Physica 6 Opettajan OPAS (1/18) 8. a) Jännitemittai kytketään innan lampun kanssa. b) Vitamittai kytketään sajaan lampun kanssa. c) I 1 = 0,51 A, I =? Koska lamput ovat samanlaisia, sähkövita jakautuu

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä hysica 6 OETTAJAN OAS 1. painos 1(16) : Luku 1 1. c) 1 0,51 A c) 0,6 A 1 0,55 A 0,6 A. b) V B 4,0 V c) U BC,0 V b) 4,0 V c),0 V 3. a) Kichhoffin. 1 + 3 1 3 4 0,06 A 0,06 A 0 V. b) Alin lamppu syttyy. Kokonaisvita

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

Fy04 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Fy04 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 F04 Koe 4.9.04 Kuopion Lseon lukio (KK) siu / Osio. Määritä ilmapistoolin luodin lähtönopeus. Osio. Vastaa ähintään kolmeen tehtäään.. Uudenuoden raketin massa noin 50 g ja raketin kiihts ruudin palamisen

Lisätiedot

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s.

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s. 7. KSS: Sähkömagnetismi (FOTON 7: PÄÄKOHDAT). MAGNETSM Magneettiset vuoovaikutukset, Magneettikenttä B = magneettivuon tiheys (yksikkö: T = Vs/m ), MAO s. 67, Fm (magneettikenttää kuvaava vektoisuue; itseisavona

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Integraalilaskenta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Integraalilaskenta (MAA Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Sähkökentät ja niiden laskeminen I

Sähkökentät ja niiden laskeminen I ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Lisätiedot

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

TTY FYS-1010 Fysiikan työt I LP 2.1 Vauhtipyörä Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk.

TTY FYS-1010 Fysiikan työt I LP 2.1 Vauhtipyörä Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk. TTY FYS-1010 Fysiikan työt I 24.3.2016 LP 2.1 Vauhtipyörä 253342 Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk. 246198 Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk. Sisältö 1 Johdanto 1 2 Työn taustalla oleva teoria 1 2.1 Hitausmomentin

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 03 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteien osasto Tuulen nopeuen ja suunnan mittaaminen Tuuli on vektorisuure, jolla on siis nopeus ja suunta Yleensä tuulella tarkoitetaan

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan

Lisätiedot

Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4

Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4 MAB: Ympyä 4 Aluksi Tämän luvun aihe on ympyä. Ympyä on yksi geometisista peusmuodoista ja on sinulle ennestään hyvinkin tuttu. Mutta oletko tullut ajatelleeksi, että ympyää voidaan pitää säännöllisen

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Moottorisahan ketjun kytkentä

Moottorisahan ketjun kytkentä Moottorisahan ketjun kytkentä Moottorisaha kiihdytetään tyhjäkäynniltä kierrosnopeuteen 9600 r/min n. 120 krt/h. Mikä on teräketjun keskipakoiskytkimen kytkentäaika ja kuinka paljon kytkin lämpenee, kun

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Liike pyörivällä maapallolla

Liike pyörivällä maapallolla Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa

Lisätiedot

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä: Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei

Lisätiedot