6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia

Transkriptio

1 6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss läheien Kirk, ss ] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön eho. Lause: Jos δj = () on minimi, ei päe. 2. Eho anaa vain kaniaaeja opimille, joisa joku voi olla opimi. 3. Eulerin yhälössä eellyeään ẍ():n olemassaolo. Tämä ei välämää oeuu opimiohjausehävissä. syy : g g ẋ =, g ẋ = gẋ ẋ + gẋẋ ẍ + gẋ 6.5 Eulerin yhälön rakaisuien erikoisapauksia Yleisesi oaen Eulerin yhälön rakaiseminen on hankalaa. Jos g((), ẋ(), ):ssä jokin argumeni ei ole eksplisiiisesi mukana, yksinkeraisuu rakaiseminen huomaavasi (ks. KS, Ch. 5). Esimerkki. Eulerin yhälö voiaan kirjoiaa muoossa g ẋg ẋ] = g ẋ + gẋẍ + g ẍgẋ ẋ g ẋ = g + ẋ g ] g ẋ = g. = eksremaalilla Jos ny g =, niin yo. yheyesä nähään, eä g ẋ gẋ] =. Esimerkki. g((), ẋ(), ) lineaarinen ẋ:een suheen g(, ẋ, ) = A(, ) + B(, )ẋ A (, ) + B (, )ẋ B(, ) = A (, ) + B (, )ẋ B (, )ẋ B (, ) = A (, ) = B (, ) Kyseessä ei siis olekaan enää iffereniaaliyhälö vaan implisiiinen algebrallinen yhälö :lle. Jos sen rakaisu oeuaa reunaeho, se voi olla opimirakaisu. Kysessä oleva yhälö voi olla ienieei A B. Tällöin inegraalin arvo riippuu vain pääepise-ehoisa niien välisesä raasa riippumaa. Tällöin inegrani on jonkin funkion kokonaisaikaerivaaa: P A, P B, P A B. Olkoon g(, ẋ, ) = A + Bẋ = P + P ẋ = P(, ). Tällöin f P(, ) = P(, ) = P(( f ), f ) P(( ), ). Jos g(, ẋ, ) = g(, ẋ, ) + P(, ), niin g:n Eulerin yhälö on sama kuin g:n. Näin ollen kaksi inegrania voi johaa samaan Eulerin yhälöön ja samoihin eksremaaleihin, kun inegranin arvo on em. kokonaiserivaaa. 27

2 6.6 Esimerkki Esiään eksremaalia kohefunkionaalille ẋ(), ( ) =, ( f ) = f. Ny g(, ẋ, ) = ẋ(), joen Eulerin yhälö g g ẋ = = päee aina. Inegraali ẋ() = f, eli jokaiselle ifferenioiuvalle funkiolle pääepisee määräävä kusannuksen, eikä inegraalin arvo riipu ():sä. 6.7 Esimerkki Tuoannonopimoiniehävä lineaariselle uoanokusannukselle min T reunaehoilla () = ja (T) = B. C 1 ẋ() + C 2 ()], Tehävä on lineaarinen ẋ():n suheen. g = C 2, gẋ = C 1, g ẋ =. Eulerin yhälö: C 2 =, ei ole olemassa opimaalisa uoanoapaa, jos C 2. Jos C 2 =, niin kaikki uoanoava johava samaan opimikusannukseen T C 1 ẋ() = C 1 B. Jos C 2, niin kannaaa viivyää uoanoa viime hekeen asi ja ehä silloin kaikki, jolloin ei kerry varasokuluja. Rakaisu on siis muooa () =, < T, (T) = B. Tämä ei käy Eulerin yhälön rakaisuksi, koska kyseinen ohjelma ei ole jakuva funkio. 6.8 Yleisempiä variaaioehäviä: vapaa loppuarvo Eellä pääepisee oliva kiineä () () f Aikaisemmin f Ny f 28

3 Ny J() = f g((), ẋ(), );, f kiineä, ( ) kiineä, ( f ) vapaa Kohefunkionaalin variaaio f δj(, δ) = ((), ẋ(), ) δ() ẋ { + ((), ẋ(), ) ẋ ]} ((), ẋ(), ) eksremaalilla= 1. Eksremaalilla piää olla δj(, δ) =. δ(). (8) 2. Tarkasellaan ehävää eksremaalikäyrän () määrielemällä kiineällä loppuarvolla ( f ) = ( f ). Tällä kiineän pääepiseen ehävällä rakaisu on () ja sillä ulee olla voimassa Eulerin yhälö. Siis vapaan loppuarvon eksremaalilla on myös voimassa Eulerin yhälö. Näin ollen kaavan (8) ensimmäisen ermin ulee olla nolla: ẋ ( ( f ), ẋ ( f ), f ) δ( f ) mielival. ẋ ( ( ), ẋ ( ), ) Välämäömä eho vapaan loppuarvon ehävälle ova { Eulerin yhälö ] δ( ) =. = ẋ ( ( f ), ẋ ( f ), f ) = 6.9 Vapaa loppuarvo ja -aika Salliuja rajekoreia: pääepise-eho () Ny J() = f g((), ẋ(), ); kiineä, f vapaa, ( ) kiineä, ( f ) vapaa. Kohefunkionaalin variaaio { δj(, δ) = ( (), ẋ (), ) δ() + } ẋ ( (), ẋ (), ) δẋ() + g( (), ẋ (), )] δ f = g( ( f ), ẋ ( f ), f )]δ f + ẋ ( ( f ), ẋ ( f ), f ) δ( f ) { + ( (), ẋ (), ) } ẋ ( (), ẋ (), ) δ() =. eksremaalilla= 29

4 Ongelmana on δ( f ), koska se riippuu sekä δ:sä, eä δ f :sä. () f δ( f ) * δ f f + f δ f Määriellään δ f. = (f + δ f ) ( f ) δ( f ). = ( f ) ( f ) Käyeään lineaarisa eksrapolaaioa ( f ):sä eeenpäin. Kun käyrä lähellä oisiaan, niien kulmakeroime eivä poikkea paljon f :ssä ẋ( f ) ẋ ( f ). Siis δ f δ( f ) + ẋ( f )δ f δ( f ) + ẋ ( f )δ f δ( f ) = δ f ẋ ( f )δ f. Sijoieaan ämä kohefunkionaalin variaaion kaavaan { δj(,δ) = ẋ ( ( f ), ẋ ( f ), f ) δ f + g( ( f ), ẋ ( f ), f ) } ẋ ( ( f ), ẋ ( f ), f ) ẋ ( f ) δ f { + ( (), ẋ (), ) } ẋ ( (), ẋ (), ) δ() =. eksremaalilla= Täsä voiaan pääellä pääepise-eho (ransversaalisuuseho). 1. ( f ) vapaa ja f kiineä: δ f = ja δ f mielivalainen ẋ ( ( f ), ẋ ( f ), f ) =. 2. ( f ) kiineä ja f vapaa: δ f mielivalainen ja δ f = g( ( f ), ẋ ( f ), f ) ẋ ( ( f ), ẋ ( f ), f ) ẋ ( f ) =. 3. f ja ( f ) vapaa: δ f ja δ f mielivalaisia ja riippumaomia ẋ ( ( f ), ẋ ( f ), f ) =, g( ( f ), ẋ ( f ), f ) =. 3

5 6.1 Pääepise käyrällä Ny δ f ja δ f eivä ole riippumaomia. Salliu loppuarvo sijaiseva käyrällä ( f ) = θ( f ). δ f :n ja δ f :n välinen riippuvuus: δ f. = θ ( f)δ f. Sijoieaan ämä sivun 3 kaavaan ja keräään ermi, jolloin { } θ ẋ ( ( f ), ẋ ( f ), f ) ( f) ẋ ( f ) + g( ( f ), ẋ ( f ), f ) δ f =, = koska δ f on mielivalainen Esimerkki Esi lyhin raa origosa anneulle θ() = Raan piuus J() = l = 2 + 2] 1 f 2 = 1 + ẋ 2 () ]1 2 ; L reunaeho =, () = anneu, f ja ( f ) vapaa, mua ( f ):n sijaiava eo. suoralla. Eulerin yhälö: ẋ () = 1 + ẋ 2 ()] 1 2 ẍ () 1 + ẋ 2 () ]1 2 ẋ () 1 2 2ẋ ()ẍ () 1 + ẋ 2 ]3 2 = ẍ () =. Rakaisu on siis muooa () = c 1 + c 2. Alkuilaehosa () = seuraa, eä c 2 =. c 1 määräyyy ransversaalisuusehosa ẋ ( f ) 1+ẋ 2 ( f )] ẋ ( f )] ẋ 2 ( f )] 1 2 = ẋ ( f ) 5 ẋ ( f ) ] ẋ 2 ( f ) = 5ẋ ( f ) + 1 =. Eelleen ẋ ( f ) = c 1, joen c 1 = 1 5. Leikkauskohan f määrää θ():n yhälö ( f ) = θ( f ), 1 5 f = 5 f + 15 f = Eksremaali on kohisuorassa maalisuoraa vasaan. 31