Rak Rakenteiden mekaniikka C (4 ov) Tentti

Transkriptio

1 Rk-54.6 Rkeneiden mekniikk (4 ov) Teni.3.8 Kirjoi jokieen koepperiin elväi - koko nimei, puhuelunimi lleviivun - oo, vuoikuri, enin päivämäärä j eniävä opinojko koodeineen - opikelijnumero, mukn lukien rkiukirjin - moneko ker ole opinojko enimää - minä vuonn ole nu enioikeuden pkollie koiehävä uorimll ) Suorn uvn kinemiikk määriellään hälöllä u(, ) = u (, ) e + v (, ) e, u(, ) = α() β(), v (, ) = w (), jo on uvn kekilinjn uuninen koordini j on uvn kekilinjn normlin uuninen koordini. Suvn kohdiuu jknunu kuorm f(, ) = p (, ) e + q (, ) e j uvn piuu on L. (i) Johd virulien ön perieell pinohälö ulokeuvn jännireulneille, eli normlivoimlle N, ivuumomenille M j leikkuvoimlle Q. (ii) Määriä mll mö jännireulnej j iirmäuurei kokev reunehdo. L b 3 b / ) Määriä oheien kuvn voimelle poikkileikkukelle (i) väänöjäh j (ii) leikku- eli väänökekiön em. (iii) Selviä liäki nlliei j kvojen vull, mien kärimijäh ω lken. Lippojen pkuu on j piuude ov b, b ekä 3 b /. iio lip ov 45 kulm uorn kulmn muodoviin profiilin oiin nähden. b b b 3) Neliönmuooien ulokeln ivumi on, pkuu j ivuujäkk 3 D = E / [( ν )]. (i) L kuormi molemmi vpi nurki ijiev mnuunie piekuorm. Lke rvio ln mkimiipumlle käämällä Kirchhoffin lmlli j poenilienergin minimin perie ekä meneelmään oveluv ipumn riefunkio. (ii) Mien ipumn riefunkio on muuev, jo nurkkien piekuorm ovkin vkkiuunie? 4) öreän kelin leikkumoduli on G, hiumomeni J j väänövu. (i) Johd jkuvmien kelin väänöväräheln oiidifferenilihälö. (ii) Määriä ää pinohälöä ovelen ulokeuvn kki lin ominikulmjuu. G, J,

2 Rk-54.6 Rkeneiden mekniikk, RM (4ov) Kvkokoelm eniin.3.8 Liää perukvoj kvkokoelmi RM- j RM-. Muodonmuuoke kkidimenioie puke ε = u u u u e, ε = e, γ = e + e Siäinen virulinen ö δw = δ d Ulkoinen virulinen ö δw = f δud + δud u ST irulien ön perie δw + δwu = Suvn jännireulni: momeni, normlivoim j leikkuvoim M ( ): σ (, ) i d i =, N( ): M ( ): σ (, ) d = =, ( ): = τ (, ) i Q i d äänöjäh umpinielle, reiällielle, monioielle ohuelle uorkieelle ekä ki- j monikoeloielle uvlle ψ ψ = p + ( z ) d z = ( Hr + Φ d ) Gθ M =, = Φ = Gθ, d w d = + d d 3, = d q i i Gθ i Sekorilinen koordini pieen uheen ω =± h d = [( z z ) d ( ) dz] Sekorilie ulomomeni ω = ω d, ω ω z z d Jähmomeni = z d, = z = d, z i b 3 i i = z d KÄÄNNÄ!

3 äänö- eli leikkukekiö zωz zω ωz = + = ; + joz = z z ω zωz ω z = z = z ; joz = z z z Sekorilinen inen momeni väänökekiön ekorilielle koordinille S ωˆ = ωˆ d, Normeeru väänökekiön ekorilinen koordini Sωˆ ω ˆ = ω Sekorilinen inen momeni S () ω() d ω = Sekorilinen väänöjäh eli kärimijäh ω = ω d oenilienergi Π = U + Muodonmuuoenergi U = d Ulkoien kuormiuken poenili = F ud T ud S T Kirchhoff-ln muodonmuuoenergi D w w w w w U = d {( ) ( ν)[ ( ) ]} d = + x x x D = E 3 ( ν ) Suvn väänövärähel J&& ϕ( x,) Gϕ''( x,) = m( x,) ϕ ( x,) = X( xt ) (), T( ) = in( ω) + co( ω) T ( ) T ( ) X( x) = in( λx) + co( λx), + ω =, λ = Jω G Jω X ''( x) + X( x) = G Liää perukvoj kvkokoelmi RM- j RM-.

4 Rk-54.6 Rkeneiden mekniikk (4 ov) Rkiuiivielmä eniin.3.8 [ului pie]. Tehävä: (i) Muodonmuuoke ov n ε u u = e = = '() '() α β u v ε = e = = u u v u γ = e + e = + = w'() β(). [ p.] Siäinen virulinen ö on muoo δw = δ d = ( σ δε + σ δε + τ δγ ) d { σδ( α' β ') τδ( ' β) } = + w ddl L = σ (, ) d δα '() σ (, ) d δβ '() + τ (, ) d ( δ w' δβ )() d L { δα δβ δ δβ } = : N( )' M ( )' + Q (( w)' ) d L miä normlivoim j momeni määriellään luekkeill N( ): = M( ): = σ (, ) d j M ( ): M ( ): (, ) d = = σ ekä leikkuvoim on muoo Ulkoinen virulinen ö voidn luu muodo δw = f δud + δud u ST = p(, ) δu dd + q(, ) δv(, ) dd L L = δα() p(, ) dd δβ() p(, ) dd + δw() q(, ) dd L L L = δα d Rδβ d + Fδ w d L L L miä kuormreulni on määriel eurvi: F( ): = q(, ) d, = p(, ) d j R p(, ) d =. irulien ön perieen mukn δw + δw =, joen { } u Q(): = Q (): = τ (, ) d. [ p.] N( δα )' + M ( δβ )' Q(( δ w)' δβ ) d + δα d R δβ d + F δ w d =. [ p.] L L L L Oiiinegroimll dn { ' ( ' ) ' } [ ] [ ] [ ] L L L = + L L L L N δα M Q δβ Q δ w d Nδα Mδβ Qδ w δα d Rδβ d Fδ w d Jo ämä hälö päee kikill vriioill δα, δβ j δ w, on pinohälöiden

5 N' =, M' + Q = R j Q' = F olv voim välillä (, L ). [ p.] (ii) Mö jäkäi kiinnien ( = ) j vp reunn ( = L) reunehojen on olv voim: δα =, kun =, j N =, kun = L, δβ =, kun =, j M =, kun = L, δ w =, kun =, j Q =, kun = L. [ p.]

6 . Tehävä: (i) äänöjäh: b i i = ((+ ) + 3 /) b = ( + ) b. [ p.] 3 i (ii) äänökekiö: kilien iirmän iedeään n mmerin perueell häviävän pieeä, jo mmeri-keli leikk profiilin. een ii z -koordinio profiilin uorn kulmn uorn kulmn muodovien lippojen uuniei. Tää koordinio lkeu koordinijkum nv jähmomeni (jälkimmäienä mmeri-kelill olevn viion lipn ouu) (+ 8 ) b 9 b (8+ 9 ) b = z d = + = 5,696b (+ 8 ) b 9 b (8+ 9 ) b z = d = = + = b ,696 5 b 9 b 67 b = z d = + = b z , een nppie profiilin uorn kulmn, jolloin kolmell pieeeen liivällä profiilin oll päee ω = (uorn kulmn muodov o j kekimmäinen viiolipp). Jo poiiivinen uun kierää ω kv noll lineriei rvoon vpäivään, niin viioll llipll ( b/)( b) b viioll lälipll rvoon ω = b. Koordinijkumien vull dn ekorilie ulomomeni b b 4 ω = ( ) ( ( )) ω d = b b + b + b b = b 3 6 b b ω = ( ( ))( ) z ωz d = bb + b + b b = b 3 6 Näiä dn edelleen väänökekiön koordini zωz zω = +.4b z z z = z = ω z ωz z z 4 [3 p.] ω = = j Smmeri-kelill olev viio lipp olii voiu jäää kokonn poi lkui, kok e ei viku väänökekiön emn eikä kärimijäheen. (iii) Kärimijäh: äänökekiön uheen lkeu normeermomn ekorilien koordinin ω jkum j vv ekorilinen inen momeni dn kvoi ˆ j S ˆ ˆ ω ω ˆ =± h d = [( z z ) d ( ) dz] = ω d. Normeeru väänökekiön ekorilinen koordini j ekorilinen väänöjäh eli kärimijäh lken kvoi Sωˆ ω ˆ = ω j ω = ω d. [ p.]

7 3. Tehävä: (i) Smnuunie kuorm: een x -koordinio ln vempn lnurkkn ivujen uuniei j käeään ln ipumlle pprokimio w w( x, ) = x, jok on fikliei järkevä j oeu poenilienergin minimiperieen vim kinemie w reunehdo w(, ) = (ipum, ven ivu) j (, ) = (kiermä, ven ivu). x Selvieäväki jää ii ki unemon vkio w. [3/ p.] Tälle pprokimiolle päee w w w w =, =, =, x x joen ln muodonmuuoenergi on D w w w w w U = d {( ) ( ν)[ ( ) ]} d = + x x x D w w = ( ) = d D [ p.] Kokonipoenilienergin lueke on muoo Π = U +, miä kuormn poenilienergi on = F δud T δu d = w(,) + w(, ) = w. [/ p.] S T Kokonipoenilienergin { } Dw Π = U + = w minimi vuen, kun Π Π 4Dw = δπ = δw = = w = w w D Mkimiipum vuen ln kuormieui nurk: wmx = w (,) = w (, ) = w = [ p.] D (ii) kkiuunie kuorm (oinen lö, oinen l): een x -koordinio kekelle ln ven kiinnieä li ivujen uuniei, jolloin ln ipumlle voidn käää periee m rieä kuin i-kohd, kok oleellie reunehdo oeuuv. Tämä x -uunn oien een rie ei kuienkn onniu kuvmn ipumn muuo -uunn, eli iä, eä oinen nurkk ipuu l j oinen lö. Yrie on ii ää puke epäfiklinen j ien liin kinkerinen. rempi rieiä oliiv eimerkiki w w 3 w( x, ) = x i w( x, ) = x, jok ov huomioon en, eä -uunn epämmerinen kuormiu iheu -uunn epämmerien ipumn. [ p.]

8 4. Tehävä: (i) Kirjoien momenipinoeho differenilielle kelinpäkälle: M ( x + dx,) M ( x,) + m ( x,) dx J && ϕ(,) x dx = Jkmll hälö puoliin piuudell dx ekä käämällä derivn j väänömomenin määrielmää dn pinohälö j väänöväräheln hälö: M(,) x = Gθ( x,) = Gϕ'( x,) dm(,) x + m( x,) J&& ϕ( x,) = dx J&& ϕ( x,) Gϕ''( x,) = m(,) x. [ p.] (ii) ärähel-hälön rkiu eiään eproidu muodo ϕ ( x,) = X( xt ) (), jok n ominiväräheln m = puke G X '' T&& = = : ω T && + ω T = J X T j Jω X '' + X =. G Näiden hälöiden rkiu ov muoo T( ) in co = ω + ω j γ Jω X( x) = D in x+ D coγx, γ =. [ p.] G Reunehdo ov jäkäi ueu päää ϕ (, ) = j vp päää M( L, ) =, miä eur X() = = X '( L). Näiä dn ehdo D = j D γ coγ L=. Kok D γ ei voi oll noll (muuen koko rkiu olii noll), niin coγ L = j ii γ L iπ i =, i =,3,... Tää hälöä voidn rki ominikulmjuude G G π ωi = γi = i, i =,3,.... [ p.] J J L