( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,"

Transkriptio

1 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d = y. Sdn yhtälö + y = y ( ) + y = y + d = d ( ) + y = y y y+ = y + y 8= 6y + 9 y = + 8 : y = + Jos j b, niin = b = b. = = Pisteen (, y ) etäisyys pisteestä (, ) on d = ( ) + ( y y ) ( y ) d = + y = + Vstus y = +

2 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Prbelin määritelmän mukn pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on yhtä suuri kuin etäisyys johtosuorst y =. Sdn yhtälö + y = y+ ( ( ) + ( y ) ) = ( y+ ) d = d Jos j b, niin = b = b. = = Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on ( ) + ( y ) = ( y+ ) + + y y+ = y + 6y+ 9 y = y = : y = 5 5 d = + y Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst y = on d = y = y+ Vstus y = 5 5

3 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Prbelin määritelmän mukn pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on yhtä suuri kuin etäisyys johtosuorst =. Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst = on d = Sdn yhtälö + y = ( + ( y ) ) = + y = + + y y+ = y y = d = d Jos j b, = y + y+ : = y + y+ niin = b = b. = = d = + y Vstus = y + y+

4 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Prbelin määritelmän mukn pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (,) on yhtä suuri kuin etäisyys johtosuorst =. Sdn yhtälö + + y = + ( + + ( y ) ) = y = y y+ = y y = d = d = y y = y y Jos j b, niin = b = b. = Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (,) d = + + y on Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst = on d = = + Vstus = y y

5 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (,) d = + + y Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst y = + eli y+ = on on Prbelin määritelmän mukn sdn yhtälö d ( ( ) ( y ) ) ( ) ( y ) y+ Jos j b, ( + ) + ( y ) = niin = b = b. ( y+ ) y+ + + = = b b = d + + = = = ( y y ) ( y) ( y) = y y+ 8= y+ y + y y 8y+ y = d = y+ d = + ( ) y+ = + by + c + b Vstus + y + y+ 8y+ =

6 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 6 Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on d = + y j johtosuorst y = + eli + y = on Prbelin määritelmän mukn sdn yhtälö d = d ( ( ) ( y ) ) ( ) ( y ) + y Jos j b, ( ) + ( y ) = 5 niin = b = b ( + y ) + y + = = 5 b b + = 5 5 = = ( y y ) ( y) ( y) = y y+ 5= + y+ y y y 8y y = + y y 6 8y+ = d + y + y = = + 5 Vstus + y y 6 8y+ =

7 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 7 Päivitetty Prbelin kseli kulkee polttopisteen (, ) j huipun (, ) kutt. Polttopisteen j huipun y-koordintti on, joten kselin yhtälö on y =. Johtosuor on kohtisuorss kseli vstn, joten se on pystysuor j siten sen yhtälö on =. Kosk huipun (, ) etäisyys polttopisteestä (, ) on, pitää oll välttämättä huipun etäisyys johtosuorst myös (prbelin määritelmä). Siis johtosuor on = (suor = ei kelp, kosk polttopiste ei ole johtosuorll). Prbelin polttopiste on siis (, ) j johtosuor on =. Olkoon (, y ) prbelin (mielivltinen) piste. Tällöin prbelin määritelmän mukn sdn yhtälö + + y = ( + + ( y ) ) = + + y = y y+ = y y = d = d 8 = y + y+ = y + y+ 8 Jos j b, niin = b = b. = Vstus = y + y+ 8 y + 8 y =

8 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Päivitetty , j kseli y-kseli ( = ). Kosk polttopiste on prbelin kselill, niin merkitään polttopistettä (, ). Johtosuor on kohtisuorss prbelin kseli vstn, joten se on vksuor j sen yhtälö on siten muoto y = k. Perusprbelin huippu on Huipun (, ) etäisyydet polttopisteestä y = k ovt yhtä suuret, joten k =. Siis johtosuor on y =., j johtosuorst ( ) + ( ) = ( ) d = d + = + ( ) + = + = + ( ) = ( + ) + + = + + = = Jos j b, niin = b = b. Polttopiste on siis, j johtosuor on y =. Prbelin piste on esimerkiksi (, ). Kosk prbelin pisteen etäisyydet polttopisteestä j johtosuorst ovt yhtä suuret, sdn yhtälö

9 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Päivitetty Vlitn koordintisto niin, että Aurinko j rtkäyrän (prbelin) polttopiste on origoss sekä johtosuor on vksuor j polttopisteen lpuolell. Prbelin huippu on lähinnä polttopistettä, joten huipust polttopisteeseen j johtosuorlle on 5 miljoon kilometriä. Kulm β sdn yhtälöstä 5 sin β = 5 β = 9,7... Kulm α on α = 8 β =,57... Tphtumien ikväli on siten t α = 65 vrk vrk 6 Vstus Aikväli on vuorokutt. Kosk M on prbelill j Mn etäisyys Auringost (prbelin polttopisteestä) on 5 miljoon kilometriä, niin Mn etäisyys johtosuorst on myös 5 miljoon kilometriä. Tällöin Mn etäisyys -kselist on 5 = 5 miljoon kilometriä.

10 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 Tp Vlitn koordintisto niin, että Aurinko on origoss j 6 pyrstötähti lähimmillään pisteessä (,d ), missä d = 5 km. Prbelin johtosuor on tällöin y = d. Prbelin yhtälöksi sdn y+ d = + y y + dy+ d = + y dy = d y = d d Mpllon rtkäyrä on + y = r, missä r = 5 km. Prbelin j ympyrän leikkuspisteet sdn yhtälöprist + y = r = y d d + y = r = dy+ d dy + d + y = r = dy+ d 6 ( ) y+ d = r y = d d y+ d = r y = d d y = r d r d = d d y = r d = dr d y =± dr d =± dr d y = r d Leikkuspisteiden välinen etäisyys on siis 6 s = dr d 8 km. ( y+ d > prbelill ) Aikero sdn rtkisemll törmäyshetkien määräämä Mn kulkem kri α : α dr d d d sin = = r r r joten α j ikväli on likimin 65 vrk vrk 6. Vstus Aikväli on vuorokutt.

11 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty ) y = + + y = + b+ c, Prbeli on ylöspäin ukev, sillä = >. Prbelin huippu: y b = = = 6 = ( 6) + ( 6) + = 5 Huippu on ( 6, 5). Prbelin kseli on = 6. c) y = + y =, Prbeli on ylöspäin ukev, kosk = >. Prbelin nollkohdt ovt = j = joten prbelin hupun -koordintti on + + = = = Huipun y-koordintti on b) y = ( ) y = 8 5 y = + b + c, Prbeli on lspäin ukev, kosk = <. Prbelin huippu: y b 8 8 = = = = ( ) 6 = ( ) 8 ( ) 5= Huippu on (, ). Prbelin kseli on =. y = + = Huippu on (, ). Prbelin kseli on =. y 5= + y y =, d) Prbeli uke lspäin, kosk = <. Prbelin huippu on (, 5) j kseli =.

12 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty ) y = y = + b+ c, Huippu on ( 5, ). Prbelin kseli on = 5. Prbeli on ylöspäin ukev, kosk = >. Prbelin huippu: b) y b 6 = = = = ( ) + 6 ( ) + 5= Huippu on (, ). Prbelin kseli on =. 5y = + 5 :5 y = + 5 y = + b + c, 5 Prbeli on lspäin ukev, kosk Prbelin huippu: b 5 = = = = = = <. 5 c) y+ = y y =, Prbeli on lspäin ukev, kosk = <., j kseli =. Prbelin huippu on d) y = + y =, Prbeli on ylöspäin ukev, kosk = >. Prbeli nollkohdt ovt = j =. Prbelin huippu: + + = = = y = ( + )( ) = ( ) = y = + = 5 Huippu on (, ). Prbelin kseli on =.

13 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty ) y = + y = + b+ c, lspäin ukev prbeli, kosk = < huippu: b = = = ( ) y = + = huippu, nollkohdt: + = = = =± ) =± 6 =± ±, lisäpisteitä y = + (, y) 5 (, 5) 5, 5 b) y = 8 y = + b+ c, ylöspäin ukev prbeli, kosk = >. huippu: b = = = 8 y = 8= = 9 huippu, 9 nollkohdt: 8= ± 8 = ± ± 7 = = 6 6 ± 7 =, ti, lisäpiste: Kun =, niin Piste (,7 ). y = 8= 7

14 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 c) y = + y =, d) y = + y y =, lspäin ukev prbeli, kosk = <. nollkohdt: = j = huippu: + + = = = y = + =, huippu lisäpisteitä: y = +, y (,), ylöspäin ukev prbeli, kosk = > huippu on (,) lisäpisteitä: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = + +, y,, 9, ,9

15 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty Alspäin ukevn prbelin yhtälö on y = + b+ c, < Prbelin pisteet toteuttvt prbelin yhtälön, joten sdn yhtälöryhmä = + b + c = + b + c = ( ) + b ( ) + c () c = Sijoitetn yhtälöihin ( ) j ( ). + b+ c= ( ) b+ c= + b+ = b+ = Prbelin yhtälö on Prbelin huippu: y b = = = ( ) y = +. = + = + + = Huippu on,. Prbelin nollkohdt: + = ± ( ) ( ) ± 5 ± 5 = = = ( ) ( ) = b Sijoitetn yhtälöön ( 5 ). ( 5) b= ( b ) b= 6b = 6 b = Sijoitetn yhtälöön ( ). = b = ( ) = = Vstus Prbelin yhtälö on y = +. Huippu on,. ± 5 Nollkohdt ovt =.

16 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 6 Päivitetty Prbelin kseli on y-kseli (pystysuor), joten prbeli on ylös- ti lspäin ukev. Prbelin yhtälö on huippumuodoss y y =,, y =, ) y = ( ) y = Prbeli kulkee pisteen (,) = ( ) = = 5 Prbelin yhtälö on siis b) kutt, joten sdn yhtälö y = 5 Prbeli kulkee pisteen ( 6, ) = 6 = 6 = 6 = Prbelin yhtälö on siis kutt, joten sdn yhtälö y =. 85 Prbelin kseli on pystysuor, joten prbeli on ylös- ti lspäin ukev. Sen yhtälö on huippumuodoss y = ( + ), (, ) (,) y y = y = Prbeli kulkee pisteen 5, kutt, joten sdn yhtälö = ( 5+ ) = = = = 9 9 Siis prbelin yhtälö on y = ( + ) Huomutus: Prbelin yhtälö perusmuodoss on y = ( + ) ( y = + + ) y = y = +

17 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 7 Päivitetty Ylöspäin ukevn prbelin yhtälö nollkohtmuodoss on 87 y =, > =, = y = ( + )( ) Prbeli kulkee pisteen (, 6) kutt, joten 6 = ( + )( ) 6 = = ( > ) Prbelin yhtälö on siis y = ( + )( ). Prbeli leikk y-kselin, kun = : y = ( + ) ( ) = ( ) = Prbeli leikk y-kselin pisteessä (, ). Prbeli y = on prbelin y > y > + > : ( > ) + > y = yläpuolell, kun Nollkohdt: Kuvj: + = ( + ) = y = + = ti = Siis < < Vstus < <

18 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Päivitetty Suorn kulmkerroin on k 5 5 y y 7 = = = = : = = 7 Suuntkulm α sdn rtkisemll yhtälö Leikkuspisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + Sijoitetn yhtälöön ( ). y = = = ± ( 6) ± 7 = = 6 8 = = ti = = y = + y = + = 5 ti y = ( ) + ( ) = tnα = tnα = k α = 56,99... α 56 Vstus Suuntkulm on 56 Leikkuspisteet ovt siis,5 j (,).

19 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Päivitetty Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. ) Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + y = 6 + = 6 = = =± y = 6 Kun =, niin y = 6 =. Kun =, niin y = ( ) 6=. c) Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + y = + = = = in epätosi < ei rtkisu Ei yhteisiä pisteitä. Yhteiset pisteet ovt (, ) j (, ). b) Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + y = + = = = = y = Kun =, niin y = =. Yhteinen piste on (, ).

20 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + + = Sijoitetn yhtälöön (). y = ( ) + = = Yhteisiä pisteitä on vin piste (,). Ylöspäin ukevn prbelin y = + + kseli on pystysuor. Kosk suor = on myös pystysuor, niin se ei ole prbelin tngentti. Suor = ei siis sivu prbeli vikk prbelill j suorll = on vin yksi yhteinen piste. 8 Leikkuspisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + t y = Sijoitetn yhtälöön (). 8+ 5= + t + 5 t = Toisen steen yhtälön diskriminntti on D = ( ) ( 5 t) = + 8t = 8t+ ) Leikkuspisteitä on olemss, jos D. D 8t + 8t :8( > ) t Vstus Yhteisiä pisteitä on vin piste (,) Suor ei sivu prbeli..

21 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 b) Kosk prbelin y = 8+ 5 kseli on pystysuor, niin nousev suor y = + t sivu prbeli täsmälleen silloin, kun prbelill j suorll on vin yksi leikkuspiste. Siis D = 8t + = 8t = :8 t = 8 Prbeli y = on lspäin ukev, joten sen kseli on y-kselin suuntinen (pystysuor). Tällöin suor on prbelin tngentti, jos j vin jos suor ei ole pystysuor (eli sillä on kulmkerroin) sekä suorll j prbelill on vin yksi yhteinen piste. c) Leikkuspisteitä ei ole, jos D <. Siis D < 8t + < 8t < :8( > ) t < Olkoon tngentin kulmkerroin k. Sen yhtälö on (, ) (, ) y y = k y = y ( ) = k( ) y+ = k k y = k k Tngentill j prbelill on vin yksi yhteinen piste. Vstus ) t b) t = c) t < () y = k k Sijoitetn yhtälöön ( ). y = k k = + k k = Toisen steen yhtälöllä on vin yksi rtkisu, jos j vin jos diskriminntti on noll.

22 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 k ( k ) = k D = + 8k + 6= ( k + ) = k + = k = Tngentin yhtälö on siis D = b c =, b= k, c= k 8 y = + + b kulkee origon (, ) kutt, joten Käyrä = + + b b = Siis käyrän yhtälö on y = + Kosk lspäin ukevn prbelin y = + kseli on pystysuor, niin prbeli sivu nousev suor y = + jos j vin jos niillä on täsmälleen yksi yhteinen piste. y = k k k = y = + 5 Vstus y = + 5 Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + + = = + ( ) + =

23 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 Kosk yhteisiä pisteitä on vin yksi, niin 8 Prbeli kulkee pisteen (, ) kutt, joten sdn yhtälö D = ( ) = ( ) = 6 =± 6 =± = ti = = ti = 7 = = 7 Vstus ti b= b= D = b c =, b=, c= = + b + + b= Prbeli y = + b+ on ylös- ti lspäin ukev, joten sen kseli on pystysuor (y-kselin suuntinen). Suor y = ei ole pystysuor, joten se sivu eli on prbelin tngentti, jos j vin jos suorll j prbelill on vin yksi yhteinen piste. Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = y = + b + Sijoitetn yhtälöön ( ). ( + b+ ) = b = ( ) + b + = + ( b ) + = Kosk yhteisiä pisteitä on vin yksi, niin sdn yhtälö ( b ) = b b+ 6 = D = D = b c

24 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 Sdn yhtälöpri + b= b b+ 6 = ( ) b= Sijoitetn yhtälöön ( ). ( ) b b+ 6 = ( ) ( ) + 6 = = 8+ = : + = ( ) = = = Sijoitetn yhtälöön ( ). b= = = Vstus = j b= 85 ) Auton jrrutusmtk Auton nopeus y (m) km h Kosk jrrutusmtk on suorn verrnnollinen nopeuden neliöön, sdn yhtälö y = k vkio k km Jos = h, niin y = 6 ( m), joten sdn yhtälö vkion k rtkisemiseksi. 6 = k 6 6 k = = = 5 Siis y =, 5 Riippuvuutt kuv ylöspäin ukevn prbelin os. Huippu on origoss. km h y( m) ,

25 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 b) km = h y = = = 9,6( m) 5 5 Jrrutusmtk on 9,6 metriä. c) y = ( m) y = 5 = = 5 = 5 km = ( ± ) = 9,99... h 86 Väite. Käyrä y+ 5= ( ) ei leikk -kseli. Todistus. Käyrä y+ 5= ( ) on prbeli, kosk yhtälö on muoto y y =,. Prbelin huippu on (, 5), jok on -kselin lpuolell. Lisäksi prbeli on lspäin ukev, kosk = <, joten prbeli sijitsee kokonn -kselin lpuolell. Käyrä ei siis leikk -kseli. Auton nopeus on km/h.

26 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 6 Päivitetty 9..6 Tp Väite. Käyrä y+ 5= ( ) ei leikk -kseli. Todistus. Käyrän y 5 ( ) sdn rtkisemll yhtälöpri. + = j -kselin y = leikkuspisteet () y+ 5= ( ) y = Sijoitetn yhtälöön (). + 5= ( ) + = 5 in epätosi < 87 5 y = Kosk käyrä y = + + on prbeli, niin Jos > eli <, niin prbeli on ylöspäin ukev. Tällöin se ei voi oll kokonn -kselin lpuolell. Siis rvot < eivät kelp. Yhtälöllä ei ole rtkisu. Siis käyrällä j -kselill ei ole leikkuspisteitä. Jos < eli >, niin prbeli on lspäin ukev. Prbeli on kokonn -kselin lpuolell, jos j vin jos prbelill ei ole nollkohti. Tällöin diskriminntin pitää oll negtiivinen.

27 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 7 Päivitetty < 5 + < 5+ < D< D = b c 88 Funktion f kuvj on prbeli y = + + eli y = + ( ) + jok on ylöspäin ukev. Funktion pienin rvo on yhtä suuri kuin prbelin huipun y-koordintti. Nollkohdt: Kuvj: 5+ = 5± ( 5) = 5± = 8 = ti = Siis < < > Vstus < < y = 5+ Huipun -koordintti on b ( ) = = = Huipun y-koordintti on y = + ( ) + ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) + = ( ) + = )

28 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Päivitetty 9..6 Sdn yhtälö ( ) + = ( ) + = ( ) = 6 ( ) = 6 =± 6 =± = ti = = ti = 5 Vstus = ti = 5 89 Prbelin y = huipun koordintit ovt b = = = y = ) = + + ) ) = = Siis sdn yhtälöpri = Rtkistn prmetri. + y = () = Sijoitetn yhtälöön. + y = y ( ) + ( ) + + = = = = + Vstus Prbelin y = +.

29 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Päivitetty Pisteet muodostvt kolmion, jos j vin jos piste (, ) -kselill eli. Medinien leikkuspiste on (, y) M = A + B + C ya + yb + yc =, =, + =,, ei ole Siis medinien leikkuspisteen (, y ) koordintit toteuttvt ehdon + =, joten ( y, ), y = Koordinttien välinen yhtälö sdn eliminoimll prmetri. + = y = = + y = () = Sijoitetn yhtälöön ( ). y = y = ( ) y = 9 + y = +, (, y), Vstus Medinien leikkuspiste piirtää prbelin y = + lukuun ottmtt pistettä, (prbelin huippu).

30 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty y + y y 7 ) Käyrä y = on ylöspäin ukev prbeli, kosk = >. Prbelin huippu on Prbelin nollkohdt b = = = = = y = = = ± ±, huippu (, ) Lisäpisteitä y = (, y) (, ), (,), Epäyhtälön y toteuttvt prbelin y = pisteet j kikki sen lpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteut epäyhtälöä. ( ) ( y ) + 7= ( ) ( y ) + = ( ) ( y ) + = 9 ( ) + ( y ) = Ympyrän keskipiste on (, ) j säde on. Epäyhtälön + y y 7 eli + ( y ) toteuttvt ympyrän + y = pisteet j kikki ympyrän sisäpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) toteutt epäyhtälön. Epäyhtälöprin rtkisun on lue, joss molemmt epäyhtälöt ovt voimss eli kuvn väritetty lue. Alueen reun kuuluu rtkisuun. ) Käyrä + y y 7= on ympyrä, kosk + y y 7= + y y 7= + + y y + 7=

31 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty ) y y + Epäyhtälön y rtkisun on -kseli y = j sen yläpuolinen lue. Käyrä y = + on lspäin ukev prbeli, kosk = <. Prbelin huippu on Prbelin nollkohdt: y b = = = = + = huippu on, + = = : = =± ±,5 Lisäpisteitä: y = + (, y),,,, Epäyhtälön ( ) ( ) y + toteuttvt prbelin y = + pisteet j kikki sen lpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (,) toteutt epäyhtälön. ) Käyrä + y + + = on ympyrä, kosk + y + + = + + y + = y + = ( + ) + y + = + + y = ( + ) + y = Ympyrän keskipiste on (,) j säde.

32 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 Epäyhtälön + y + + eli ( + ) + y toteuttvt ympyrän + + y = pisteet j kikki sen sisäpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteut epäyhtälöä. Kun yhdistetään kohtien ), ) j ) rtkisut, kuuluvt rtkisuun kikki ne pisteet, jotk toteuttvt inkin jonkin kohdist ), ) ti ). Rtkisulue on väritetty kuvss. Alueen reun kuuluu rtkisuun. ) Käyrä + y + = on ympyrä, kosk + y + = + y + = + + y + = ( ) + y + = + y ( ) + y = = Ympyrän keskipiste on (, ) j säde on. Epäyhtälön + y + eli ( ) + y toteuttvt ympyrän + y = pisteet j kikki sen sisäpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteut epäyhtälöä.

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Luento 5 Fotogrammetrian perusteet

Luento 5 Fotogrammetrian perusteet GIS-E From mesurements to mps Luento 5 Fotogrmmetrin perusteet Henrik Hggrén Petri Rönnholm Oppimistvoitteet Nope fotogrmmetrin kooste Miten 3D mittuksi voi tehdä D kuvilt mmärtää erilisi koordintistoj,

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen 76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi ATE.1xx tttisen kenttäteorin ljentminen ähkömgneettiseksi kenttäteoriksi syksy 212 1 / 5 skuhrjoitus 1: iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. Määritä tjuus, millä johtvuusvirrn tiheys

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c)

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c) Luku ) 8 8 + = + 6 6 ) ) + = + = = b) ) 7 := 7 := 7 : ) ) 9 6 7 7 = 7 := = = ( 7) ( 7) b) 5 5 5 5 + : = + 6 6 ) + + + = + + + 9 ) 5 5 6) 5+ 5 = + = = = 6 6 6 6 = + + + = + + = + + = + = 9 9 9 ( c) ) 9

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset BMA58 Integrlilskent j sovellukset Jouni Smpo 6. helmikuut 7 Sisältö Integrointitekniikoit. Osittisintegrointi (Integrtion by prts)....................... Sijoitus (Method of Substitution)..........................

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli 1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot