( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,"

Transkriptio

1 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d = y. Sdn yhtälö + y = y ( ) + y = y + d = d ( ) + y = y y y+ = y + y 8= 6y + 9 y = + 8 : y = + Jos j b, niin = b = b. = = Pisteen (, y ) etäisyys pisteestä (, ) on d = ( ) + ( y y ) ( y ) d = + y = + Vstus y = +

2 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Prbelin määritelmän mukn pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on yhtä suuri kuin etäisyys johtosuorst y =. Sdn yhtälö + y = y+ ( ( ) + ( y ) ) = ( y+ ) d = d Jos j b, niin = b = b. = = Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on ( ) + ( y ) = ( y+ ) + + y y+ = y + 6y+ 9 y = y = : y = 5 5 d = + y Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst y = on d = y = y+ Vstus y = 5 5

3 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Prbelin määritelmän mukn pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on yhtä suuri kuin etäisyys johtosuorst =. Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst = on d = Sdn yhtälö + y = ( + ( y ) ) = + y = + + y y+ = y y = d = d Jos j b, = y + y+ : = y + y+ niin = b = b. = = d = + y Vstus = y + y+

4 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Prbelin määritelmän mukn pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (,) on yhtä suuri kuin etäisyys johtosuorst =. Sdn yhtälö + + y = + ( + + ( y ) ) = y = y y+ = y y = d = d = y y = y y Jos j b, niin = b = b. = Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (,) d = + + y on Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst = on d = = + Vstus = y y

5 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (,) d = + + y Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst y = + eli y+ = on on Prbelin määritelmän mukn sdn yhtälö d ( ( ) ( y ) ) ( ) ( y ) y+ Jos j b, ( + ) + ( y ) = niin = b = b. ( y+ ) y+ + + = = b b = d + + = = = ( y y ) ( y) ( y) = y y+ 8= y+ y + y y 8y+ y = d = y+ d = + ( ) y+ = + by + c + b Vstus + y + y+ 8y+ =

6 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 6 Päivitetty Olkoon (, y ) prbelin piste. Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on d = + y j johtosuorst y = + eli + y = on Prbelin määritelmän mukn sdn yhtälö d = d ( ( ) ( y ) ) ( ) ( y ) + y Jos j b, ( ) + ( y ) = 5 niin = b = b ( + y ) + y + = = 5 b b + = 5 5 = = ( y y ) ( y) ( y) = y y+ 5= + y+ y y y 8y y = + y y 6 8y+ = d + y + y = = + 5 Vstus + y y 6 8y+ =

7 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 7 Päivitetty Prbelin kseli kulkee polttopisteen (, ) j huipun (, ) kutt. Polttopisteen j huipun y-koordintti on, joten kselin yhtälö on y =. Johtosuor on kohtisuorss kseli vstn, joten se on pystysuor j siten sen yhtälö on =. Kosk huipun (, ) etäisyys polttopisteestä (, ) on, pitää oll välttämättä huipun etäisyys johtosuorst myös (prbelin määritelmä). Siis johtosuor on = (suor = ei kelp, kosk polttopiste ei ole johtosuorll). Prbelin polttopiste on siis (, ) j johtosuor on =. Olkoon (, y ) prbelin (mielivltinen) piste. Tällöin prbelin määritelmän mukn sdn yhtälö + + y = ( + + ( y ) ) = + + y = y y+ = y y = d = d 8 = y + y+ = y + y+ 8 Jos j b, niin = b = b. = Vstus = y + y+ 8 y + 8 y =

8 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Päivitetty , j kseli y-kseli ( = ). Kosk polttopiste on prbelin kselill, niin merkitään polttopistettä (, ). Johtosuor on kohtisuorss prbelin kseli vstn, joten se on vksuor j sen yhtälö on siten muoto y = k. Perusprbelin huippu on Huipun (, ) etäisyydet polttopisteestä y = k ovt yhtä suuret, joten k =. Siis johtosuor on y =., j johtosuorst ( ) + ( ) = ( ) d = d + = + ( ) + = + = + ( ) = ( + ) + + = + + = = Jos j b, niin = b = b. Polttopiste on siis, j johtosuor on y =. Prbelin piste on esimerkiksi (, ). Kosk prbelin pisteen etäisyydet polttopisteestä j johtosuorst ovt yhtä suuret, sdn yhtälö

9 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Päivitetty Vlitn koordintisto niin, että Aurinko j rtkäyrän (prbelin) polttopiste on origoss sekä johtosuor on vksuor j polttopisteen lpuolell. Prbelin huippu on lähinnä polttopistettä, joten huipust polttopisteeseen j johtosuorlle on 5 miljoon kilometriä. Kulm β sdn yhtälöstä 5 sin β = 5 β = 9,7... Kulm α on α = 8 β =,57... Tphtumien ikväli on siten t α = 65 vrk vrk 6 Vstus Aikväli on vuorokutt. Kosk M on prbelill j Mn etäisyys Auringost (prbelin polttopisteestä) on 5 miljoon kilometriä, niin Mn etäisyys johtosuorst on myös 5 miljoon kilometriä. Tällöin Mn etäisyys -kselist on 5 = 5 miljoon kilometriä.

10 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 Tp Vlitn koordintisto niin, että Aurinko on origoss j 6 pyrstötähti lähimmillään pisteessä (,d ), missä d = 5 km. Prbelin johtosuor on tällöin y = d. Prbelin yhtälöksi sdn y+ d = + y y + dy+ d = + y dy = d y = d d Mpllon rtkäyrä on + y = r, missä r = 5 km. Prbelin j ympyrän leikkuspisteet sdn yhtälöprist + y = r = y d d + y = r = dy+ d dy + d + y = r = dy+ d 6 ( ) y+ d = r y = d d y+ d = r y = d d y = r d r d = d d y = r d = dr d y =± dr d =± dr d y = r d Leikkuspisteiden välinen etäisyys on siis 6 s = dr d 8 km. ( y+ d > prbelill ) Aikero sdn rtkisemll törmäyshetkien määräämä Mn kulkem kri α : α dr d d d sin = = r r r joten α j ikväli on likimin 65 vrk vrk 6. Vstus Aikväli on vuorokutt.

11 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty ) y = + + y = + b+ c, Prbeli on ylöspäin ukev, sillä = >. Prbelin huippu: y b = = = 6 = ( 6) + ( 6) + = 5 Huippu on ( 6, 5). Prbelin kseli on = 6. c) y = + y =, Prbeli on ylöspäin ukev, kosk = >. Prbelin nollkohdt ovt = j = joten prbelin hupun -koordintti on + + = = = Huipun y-koordintti on b) y = ( ) y = 8 5 y = + b + c, Prbeli on lspäin ukev, kosk = <. Prbelin huippu: y b 8 8 = = = = ( ) 6 = ( ) 8 ( ) 5= Huippu on (, ). Prbelin kseli on =. y = + = Huippu on (, ). Prbelin kseli on =. y 5= + y y =, d) Prbeli uke lspäin, kosk = <. Prbelin huippu on (, 5) j kseli =.

12 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty ) y = y = + b+ c, Huippu on ( 5, ). Prbelin kseli on = 5. Prbeli on ylöspäin ukev, kosk = >. Prbelin huippu: b) y b 6 = = = = ( ) + 6 ( ) + 5= Huippu on (, ). Prbelin kseli on =. 5y = + 5 :5 y = + 5 y = + b + c, 5 Prbeli on lspäin ukev, kosk Prbelin huippu: b 5 = = = = = = <. 5 c) y+ = y y =, Prbeli on lspäin ukev, kosk = <., j kseli =. Prbelin huippu on d) y = + y =, Prbeli on ylöspäin ukev, kosk = >. Prbeli nollkohdt ovt = j =. Prbelin huippu: + + = = = y = ( + )( ) = ( ) = y = + = 5 Huippu on (, ). Prbelin kseli on =.

13 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty ) y = + y = + b+ c, lspäin ukev prbeli, kosk = < huippu: b = = = ( ) y = + = huippu, nollkohdt: + = = = =± ) =± 6 =± ±, lisäpisteitä y = + (, y) 5 (, 5) 5, 5 b) y = 8 y = + b+ c, ylöspäin ukev prbeli, kosk = >. huippu: b = = = 8 y = 8= = 9 huippu, 9 nollkohdt: 8= ± 8 = ± ± 7 = = 6 6 ± 7 =, ti, lisäpiste: Kun =, niin Piste (,7 ). y = 8= 7

14 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 c) y = + y =, d) y = + y y =, lspäin ukev prbeli, kosk = <. nollkohdt: = j = huippu: + + = = = y = + =, huippu lisäpisteitä: y = +, y (,), ylöspäin ukev prbeli, kosk = > huippu on (,) lisäpisteitä: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = + +, y,, 9, ,9

15 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty Alspäin ukevn prbelin yhtälö on y = + b+ c, < Prbelin pisteet toteuttvt prbelin yhtälön, joten sdn yhtälöryhmä = + b + c = + b + c = ( ) + b ( ) + c () c = Sijoitetn yhtälöihin ( ) j ( ). + b+ c= ( ) b+ c= + b+ = b+ = Prbelin yhtälö on Prbelin huippu: y b = = = ( ) y = +. = + = + + = Huippu on,. Prbelin nollkohdt: + = ± ( ) ( ) ± 5 ± 5 = = = ( ) ( ) = b Sijoitetn yhtälöön ( 5 ). ( 5) b= ( b ) b= 6b = 6 b = Sijoitetn yhtälöön ( ). = b = ( ) = = Vstus Prbelin yhtälö on y = +. Huippu on,. ± 5 Nollkohdt ovt =.

16 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 6 Päivitetty Prbelin kseli on y-kseli (pystysuor), joten prbeli on ylös- ti lspäin ukev. Prbelin yhtälö on huippumuodoss y y =,, y =, ) y = ( ) y = Prbeli kulkee pisteen (,) = ( ) = = 5 Prbelin yhtälö on siis b) kutt, joten sdn yhtälö y = 5 Prbeli kulkee pisteen ( 6, ) = 6 = 6 = 6 = Prbelin yhtälö on siis kutt, joten sdn yhtälö y =. 85 Prbelin kseli on pystysuor, joten prbeli on ylös- ti lspäin ukev. Sen yhtälö on huippumuodoss y = ( + ), (, ) (,) y y = y = Prbeli kulkee pisteen 5, kutt, joten sdn yhtälö = ( 5+ ) = = = = 9 9 Siis prbelin yhtälö on y = ( + ) Huomutus: Prbelin yhtälö perusmuodoss on y = ( + ) ( y = + + ) y = y = +

17 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 7 Päivitetty Ylöspäin ukevn prbelin yhtälö nollkohtmuodoss on 87 y =, > =, = y = ( + )( ) Prbeli kulkee pisteen (, 6) kutt, joten 6 = ( + )( ) 6 = = ( > ) Prbelin yhtälö on siis y = ( + )( ). Prbeli leikk y-kselin, kun = : y = ( + ) ( ) = ( ) = Prbeli leikk y-kselin pisteessä (, ). Prbeli y = on prbelin y > y > + > : ( > ) + > y = yläpuolell, kun Nollkohdt: Kuvj: + = ( + ) = y = + = ti = Siis < < Vstus < <

18 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Päivitetty Suorn kulmkerroin on k 5 5 y y 7 = = = = : = = 7 Suuntkulm α sdn rtkisemll yhtälö Leikkuspisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + Sijoitetn yhtälöön ( ). y = = = ± ( 6) ± 7 = = 6 8 = = ti = = y = + y = + = 5 ti y = ( ) + ( ) = tnα = tnα = k α = 56,99... α 56 Vstus Suuntkulm on 56 Leikkuspisteet ovt siis,5 j (,).

19 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Päivitetty Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. ) Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + y = 6 + = 6 = = =± y = 6 Kun =, niin y = 6 =. Kun =, niin y = ( ) 6=. c) Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + y = + = = = in epätosi < ei rtkisu Ei yhteisiä pisteitä. Yhteiset pisteet ovt (, ) j (, ). b) Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + y = + = = = = y = Kun =, niin y = =. Yhteinen piste on (, ).

20 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + + = Sijoitetn yhtälöön (). y = ( ) + = = Yhteisiä pisteitä on vin piste (,). Ylöspäin ukevn prbelin y = + + kseli on pystysuor. Kosk suor = on myös pystysuor, niin se ei ole prbelin tngentti. Suor = ei siis sivu prbeli vikk prbelill j suorll = on vin yksi yhteinen piste. 8 Leikkuspisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + t y = Sijoitetn yhtälöön (). 8+ 5= + t + 5 t = Toisen steen yhtälön diskriminntti on D = ( ) ( 5 t) = + 8t = 8t+ ) Leikkuspisteitä on olemss, jos D. D 8t + 8t :8( > ) t Vstus Yhteisiä pisteitä on vin piste (,) Suor ei sivu prbeli..

21 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 b) Kosk prbelin y = 8+ 5 kseli on pystysuor, niin nousev suor y = + t sivu prbeli täsmälleen silloin, kun prbelill j suorll on vin yksi leikkuspiste. Siis D = 8t + = 8t = :8 t = 8 Prbeli y = on lspäin ukev, joten sen kseli on y-kselin suuntinen (pystysuor). Tällöin suor on prbelin tngentti, jos j vin jos suor ei ole pystysuor (eli sillä on kulmkerroin) sekä suorll j prbelill on vin yksi yhteinen piste. c) Leikkuspisteitä ei ole, jos D <. Siis D < 8t + < 8t < :8( > ) t < Olkoon tngentin kulmkerroin k. Sen yhtälö on (, ) (, ) y y = k y = y ( ) = k( ) y+ = k k y = k k Tngentill j prbelill on vin yksi yhteinen piste. Vstus ) t b) t = c) t < () y = k k Sijoitetn yhtälöön ( ). y = k k = + k k = Toisen steen yhtälöllä on vin yksi rtkisu, jos j vin jos diskriminntti on noll.

22 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 k ( k ) = k D = + 8k + 6= ( k + ) = k + = k = Tngentin yhtälö on siis D = b c =, b= k, c= k 8 y = + + b kulkee origon (, ) kutt, joten Käyrä = + + b b = Siis käyrän yhtälö on y = + Kosk lspäin ukevn prbelin y = + kseli on pystysuor, niin prbeli sivu nousev suor y = + jos j vin jos niillä on täsmälleen yksi yhteinen piste. y = k k k = y = + 5 Vstus y = + 5 Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + + = = + ( ) + =

23 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 Kosk yhteisiä pisteitä on vin yksi, niin 8 Prbeli kulkee pisteen (, ) kutt, joten sdn yhtälö D = ( ) = ( ) = 6 =± 6 =± = ti = = ti = 7 = = 7 Vstus ti b= b= D = b c =, b=, c= = + b + + b= Prbeli y = + b+ on ylös- ti lspäin ukev, joten sen kseli on pystysuor (y-kselin suuntinen). Suor y = ei ole pystysuor, joten se sivu eli on prbelin tngentti, jos j vin jos suorll j prbelill on vin yksi yhteinen piste. Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = y = + b + Sijoitetn yhtälöön ( ). ( + b+ ) = b = ( ) + b + = + ( b ) + = Kosk yhteisiä pisteitä on vin yksi, niin sdn yhtälö ( b ) = b b+ 6 = D = D = b c

24 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 Sdn yhtälöpri + b= b b+ 6 = ( ) b= Sijoitetn yhtälöön ( ). ( ) b b+ 6 = ( ) ( ) + 6 = = 8+ = : + = ( ) = = = Sijoitetn yhtälöön ( ). b= = = Vstus = j b= 85 ) Auton jrrutusmtk Auton nopeus y (m) km h Kosk jrrutusmtk on suorn verrnnollinen nopeuden neliöön, sdn yhtälö y = k vkio k km Jos = h, niin y = 6 ( m), joten sdn yhtälö vkion k rtkisemiseksi. 6 = k 6 6 k = = = 5 Siis y =, 5 Riippuvuutt kuv ylöspäin ukevn prbelin os. Huippu on origoss. km h y( m) ,

25 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 b) km = h y = = = 9,6( m) 5 5 Jrrutusmtk on 9,6 metriä. c) y = ( m) y = 5 = = 5 = 5 km = ( ± ) = 9,99... h 86 Väite. Käyrä y+ 5= ( ) ei leikk -kseli. Todistus. Käyrä y+ 5= ( ) on prbeli, kosk yhtälö on muoto y y =,. Prbelin huippu on (, 5), jok on -kselin lpuolell. Lisäksi prbeli on lspäin ukev, kosk = <, joten prbeli sijitsee kokonn -kselin lpuolell. Käyrä ei siis leikk -kseli. Auton nopeus on km/h.

26 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 6 Päivitetty 9..6 Tp Väite. Käyrä y+ 5= ( ) ei leikk -kseli. Todistus. Käyrän y 5 ( ) sdn rtkisemll yhtälöpri. + = j -kselin y = leikkuspisteet () y+ 5= ( ) y = Sijoitetn yhtälöön (). + 5= ( ) + = 5 in epätosi < 87 5 y = Kosk käyrä y = + + on prbeli, niin Jos > eli <, niin prbeli on ylöspäin ukev. Tällöin se ei voi oll kokonn -kselin lpuolell. Siis rvot < eivät kelp. Yhtälöllä ei ole rtkisu. Siis käyrällä j -kselill ei ole leikkuspisteitä. Jos < eli >, niin prbeli on lspäin ukev. Prbeli on kokonn -kselin lpuolell, jos j vin jos prbelill ei ole nollkohti. Tällöin diskriminntin pitää oll negtiivinen.

27 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 7 Päivitetty < 5 + < 5+ < D< D = b c 88 Funktion f kuvj on prbeli y = + + eli y = + ( ) + jok on ylöspäin ukev. Funktion pienin rvo on yhtä suuri kuin prbelin huipun y-koordintti. Nollkohdt: Kuvj: 5+ = 5± ( 5) = 5± = 8 = ti = Siis < < > Vstus < < y = 5+ Huipun -koordintti on b ( ) = = = Huipun y-koordintti on y = + ( ) + ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) + = ( ) + = )

28 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Päivitetty 9..6 Sdn yhtälö ( ) + = ( ) + = ( ) = 6 ( ) = 6 =± 6 =± = ti = = ti = 5 Vstus = ti = 5 89 Prbelin y = huipun koordintit ovt b = = = y = ) = + + ) ) = = Siis sdn yhtälöpri = Rtkistn prmetri. + y = () = Sijoitetn yhtälöön. + y = y ( ) + ( ) + + = = = = + Vstus Prbelin y = +.

29 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Päivitetty Pisteet muodostvt kolmion, jos j vin jos piste (, ) -kselill eli. Medinien leikkuspiste on (, y) M = A + B + C ya + yb + yc =, =, + =,, ei ole Siis medinien leikkuspisteen (, y ) koordintit toteuttvt ehdon + =, joten ( y, ), y = Koordinttien välinen yhtälö sdn eliminoimll prmetri. + = y = = + y = () = Sijoitetn yhtälöön ( ). y = y = ( ) y = 9 + y = +, (, y), Vstus Medinien leikkuspiste piirtää prbelin y = + lukuun ottmtt pistettä, (prbelin huippu).

30 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty y + y y 7 ) Käyrä y = on ylöspäin ukev prbeli, kosk = >. Prbelin huippu on Prbelin nollkohdt b = = = = = y = = = ± ±, huippu (, ) Lisäpisteitä y = (, y) (, ), (,), Epäyhtälön y toteuttvt prbelin y = pisteet j kikki sen lpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteut epäyhtälöä. ( ) ( y ) + 7= ( ) ( y ) + = ( ) ( y ) + = 9 ( ) + ( y ) = Ympyrän keskipiste on (, ) j säde on. Epäyhtälön + y y 7 eli + ( y ) toteuttvt ympyrän + y = pisteet j kikki ympyrän sisäpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) toteutt epäyhtälön. Epäyhtälöprin rtkisun on lue, joss molemmt epäyhtälöt ovt voimss eli kuvn väritetty lue. Alueen reun kuuluu rtkisuun. ) Käyrä + y y 7= on ympyrä, kosk + y y 7= + y y 7= + + y y + 7=

31 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty ) y y + Epäyhtälön y rtkisun on -kseli y = j sen yläpuolinen lue. Käyrä y = + on lspäin ukev prbeli, kosk = <. Prbelin huippu on Prbelin nollkohdt: y b = = = = + = huippu on, + = = : = =± ±,5 Lisäpisteitä: y = + (, y),,,, Epäyhtälön ( ) ( ) y + toteuttvt prbelin y = + pisteet j kikki sen lpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (,) toteutt epäyhtälön. ) Käyrä + y + + = on ympyrä, kosk + y + + = + + y + = y + = ( + ) + y + = + + y = ( + ) + y = Ympyrän keskipiste on (,) j säde.

32 Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 Epäyhtälön + y + + eli ( + ) + y toteuttvt ympyrän + + y = pisteet j kikki sen sisäpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteut epäyhtälöä. Kun yhdistetään kohtien ), ) j ) rtkisut, kuuluvt rtkisuun kikki ne pisteet, jotk toteuttvt inkin jonkin kohdist ), ) ti ). Rtkisulue on väritetty kuvss. Alueen reun kuuluu rtkisuun. ) Käyrä + y + = on ympyrä, kosk + y + = + y + = + + y + = ( ) + y + = + y ( ) + y = = Ympyrän keskipiste on (, ) j säde on. Epäyhtälön + y + eli ( ) + y toteuttvt ympyrän + y = pisteet j kikki sen sisäpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteut epäyhtälöä.

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 25 26

Lisätiedot

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light)

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light) 68 33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nture nd Propgtion of Light) Toinen ihmiselle tärkeä luonnon ltoliike, meknisten ääniltojen lisäksi, liittyy näkemiseen j on tietysti vlo. Vlo on sähkömgneettist ltoliikettä

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Korkotuettuja osaomistusasuntoja

Korkotuettuja osaomistusasuntoja Korkotuettuj osomistussuntoj Hvinnekuv suunnitelmst. Titeilijn näkemys Asunto Oy Espoon Stulmkri Stulmkrintie 1, 02780 ESOO Asunto Oy Espoon Stulmkri Kerv Kuklhti Iso Mntie 2 Espoo Vihdintie Keh III Hämeenlinnnväylä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA COOLS COOLSIDE uusi JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE Jäähdytysteho Kylmäine Puhllintyyppi Mikroprosessori jop 96,0 kw sroll R410A ksili MP.COM T: MONO DXA (R410A) Jäähdytysteho jop 21,9 kw Ilmluhdutteinen

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Maa-57.290, Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J

Maa-57.290, Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J M-57.29, Fotogrmmetrin erikoistyö Monoplotting Ann Erving 58394J Sisällysluettelo Sisällysluettelo... 2 1. Johdnto... 3 2. Perusperite j histori... 3 3. Trvittvt ineistot... 4 3.1 Vlokuv kohteest... 4

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Doka kuljetus- ja varastointikehikot

Doka kuljetus- ja varastointikehikot 11/2010 lkuperäinen käyttöohje 999281811 fi Säilyttäkää käyttöohje ok kuljetus- j vrstointikehikot Muottimestrit lkuperäinen käyttöohje ok kuljetus- j vrstointikehikot Tuotekuvus Tuotteen kuvus ok-kuljetus-

Lisätiedot