Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c)

Transkriptio

1 Luku ) = ) ) + = + = = b) ) 7 := 7 := 7 : ) ) = 7 := = = ( 7) ( 7) b) : = ) = ) 5 5 6) 5+ 5 = + = = = = = + + = + + = + = ( c) ) = = 7 5) ) = b) = + = + ) 5 5 = + = + = = = = = = 5 ) ) ) ) + + : + = + + = = c) Toisin: 8 + = + = + 8 ) = + = + = = = ( ) ( ) : = 9 = = = =

2 ) b) ( b) b = ( b ) b = 6 7 y y 7 = 9 y 6 = = 9 y y y = = y y y 6 b) n n n n n n = ( ) = ( ) n n = ( ) ( ) n prillinen n n n n = ( ) = ( ) = ( ) = ( b ) :( b) = ( ) b : b n n n n n n n 5 ) b) 6 ) n n n n n n = n n = 9 n = ( ) prillinen luku, joten ( ) = n n n n n n n n n n + n+ n = = = = n n+ n n+ n+ n+ 5 ( 5 ) = = 5 = 5 5 n n n n n ( ) = ( ) n prillinen n ( ) ( ) 7 n n n b n n ( ) = = ( ) = ( ) = ( ) b n n ( n) n n+ n n n ) Luvun vstluku on b b j luvun b vstluku on b. Vstlukujen tulo on b b = = b b b) Luvun käänteisluku on b Käänteislukujen erotus on b) ) b b + b = = b b b b Erotuksen vstluku kerrottun luvull b on + b b b = + b b j luvun b käänteisluku on b.

3 8 Oletuksen mukn, b j ± b. b) ) + b Luku = + =, joten = b. b b + b ) b) b Luku y = =, joten = b. b b y b Käänteislukujen osmäärä on 9 b + b b ( b) b = = = b ( + b) b + b y b Luvut j b ovt toistens käänteislukuj, jos j vin jos b=. n ( y) Olkoon = j b luvun ( y ) vstluku eli n+ ( y ) b= ( y ). Lsketn lukujen tulo. Kosk lukujen tulo ei ole yksi, niin luku ( y ) vstluvun käänteisluku. Väite: Lusekkeen rvost. Todistus: ( y) ( y ) n n+ ei ole luvun rvo ei riipu muuttujn = = = = = 79 Lusekkeen rvo on riippumton muuttujn rvost, joten lusekkeen rvo on vkio kikill. Lukujen suuruus toisiins verrttun sdn selville esimerkiksi tutkimll lukujen erotust ti osmäärää. n n n+ n+ ( y) ( y) ( y ) b= y = ( y ) ( y ) n ( y) ( y ) = ( y ) n ( y ) n ( y) = = n ( y) ( y) = ( y ) n n n prillinen Trkstelln osmäärää p + p + ( p + ) 8 p + p = = = = = <, + p + p + p joten nimittäjä on suurempi. Vstus + p on suurempi.

4 ) Merkitään kysyttä luku kirjimell. Luku, on päättymätön, jksollinen desimliluku. Sen jkson on 5, joten jksoss on kolme numero. Siis luku,555 kerrotn luvull. = Vstus + + +, > ) ) + = + = = 5,55... =, = Rtkistn yhtälö 999 = ( 78 = = 999 b) Luku, on päättymätön, jksoton desimliluku, joten sitä ei void esittää murtolukumuodoss. Vstus ) 78 b) Ei voi esittää murtolukun. Kosk =, niin > kikill :n rvoill. Muoktn lusekett. + + = + + = + + = Oletus: + y+ = j Väite: y + yz + z = + y + z = Todistus: Oletuksen mukn sdn yhtälöpri () + y+ z =, sdn yhtälö () () + y + z = () + y + z + y+ z+ yz = Sijoitetn yhtälö () yhtälöön (). + y+ z+ yz = y + z + yz = : y + z + yz = joten väite on tosi.

5 5 Mtk Helsinki-Tmpere: s = 87 km Jun Tmpereelt Helsinkiin: Siis klo 9.58 klo t 5 = h = h 6 5 s 87 km v = = s = v t t h 5 km km =,785..., h h Jun Helsingistä Tmpereelle: 6 klo. klo 8.58 Siis t v. = h = h 6 5 s 87 km = = s = v t t h 5 km km = 9, ,5 h h 5 Olkoon kohtmispikn etäisyys Helsingistä (km). Lsketn kohtmisik khdell tvll, jolloin sdn yhtälö = v 6 v = t t 5 t 87t t + = t t + = t t t 5 + = t ( t+ t) 5 = t t 6 5 = t = =, t = t + t = = = 7,5... 7,5 (km) Kohtmishetkellä Helsingistä lähtenyt jun on käyttänyt ik t = 8 + = 8 + = s 6 v 6 s t + t t

6 s 58 t + t s 6 t = + = + s t ( t + t ) s = (h), (h) 6 + t t t ( t + t ) = 6 = = 8 + = = 8 + = 8 + = 9,9... (h) t = k = 5, t =,5 (h) t 5 = k k = 5,5 = 6,5,5 Sdn yhtälö 6,5 = t = 7 (h) t 6,5 = = 8, Kun miehiä on 8, niin työik on 9,9... h = 9 h +, min 9 h min Vstus Junien keskinopeudet: Tmpere-Helsinki, km/h Helsinki-Tmpere 9,5 km/h Kohtmisetäisyys on 7,5 km j kohtmisik klo Tp Miesten määrä on kääntäen verrnnollinen työhön käytettävään ikn t. Siis 6,5 = = 8 t 6,5 8 = t 6,5 t = = 7,85 (h) 8 Trvittv ik on Tp 7,85 h = 7 h +,85 6 min=7 h + 8,75 min 7 h + 9 min Merkitään = työmiesten määrä y = työhön käytetty ik tuntein Lditn tulukko. 6

7 Miesten määrä Työik (h) 5,5 8 Miesten määrä on kääntäen verrnnollinen työikn. Siis 7 y 8 y = = 7 (km/h) 89 8 y = 7 =,67...,7 (km/h) 89 Sllitun nopeuden km/h ylitys %:ll eli nopeuden ylärj on, km/h = km/h 5 7 6,5 7 6,5 8, =,5 = = 7 = Trvittv ik on 7,85 h = 7 h +,85 6 min=7 h + 8,75 min 7 h + 9 min Vstus Urkst selvitään 7 tunniss, jos miehiä on vähintään 9. Smn työn suorittmiseen 8 miestä trvitsee 7 h 9 min. 7 Tp Näyttötulun lukem y (km/h) on suorn verrnnollinen nopeusmittrin lukemn (km/h). y y = k vkio k y k = y = 8 (km/h), = 89 (km/h) k = 8 89 Sdn yhtälö Näin ollen todellinen jonopeus on,7 km/h Vstus Autoilij s ylinopeusskon. > km/h. Tp Merkitään näyttötulun lukem kirjimell (km/h). Lditn tulukko. Nopeusmittrin Näyttötulun lukem (km/h) lukem (km/h) Nopeusmittrin lukem j näyttötulun lukem ovt suorn verrnnolliset, joten = = =,67...,7 (km/h) 7 89 Sllitun nopeuden km/h ylitys %:ll eli nopeuden ylärj on, km/h = km/h Näin ollen todellinen jonopeus on,7 km/h > km/h. Vstus Autoilij s ylinopeusskon. 7

8 8 Tp Kppleen pino G on kääntäen verrnnollinen mpllon keskipisteestä mittun etäisyyden neliöön. G G = k vkio k k = G Kppleen pino G Etäisyyden neliö 56, 67 G 68 Kppleen pino on kääntäen verrnnollinen etäisyyden neliöön. Siis 56, 68 = G 67 56, 67 G = = 55, ,8 68 Sdn yhtälö = G G 56, 67 = G 68 Tp Merkitään G = 56,, G = G = 67 (km), = 68 (km) 56, 67 G = = 55, ,8 68 G = kppleen pino = mpllon keskipisteestä mitttu etäisyys Lditn tulukko. Vstus Lentokone pin 55,8 tonni. 9 Tp Verrnnollisuus voidn esittää yhtälönä T = k R vkio k T k = R Sdn yhtälö T = T 8 8 M: T = (), R =,5 (km) R R 8 Mrs: T = (), R =,8 (km) = (,5 ) (, 8 ) 8 8

9 8 8 (,8 ),8 = =,5 8 = 8 (,5 ),5, 5 =± > =,588 =,879...,87 () Mrsin vuosi päivinä on, d = 68,7... d 68 d Vstus Mrsin vuosi on 68 d. Lämmityskustnnukset y ovt suorn verrnnolliset sisä- j ulkolämpötilojen väliseen erotukseen =Δ T, joss T on lämpötil. y y = k vkio k k = y Sdn yhtälö Tp Merkitään kysyttyä Mrsin kiertoik kirjimell. Lditn tulukko. T R 8 (,5 ) 8 (,8 ) T:n neliö on suorn verrnnollinen R:n kuutioon, joten (,5 ),5 = = (,8 ), ,5,8 = =,8,5 =, 5 = ±, 5 Kosk >, niin =,588 =,879...,87 (). Mrsin vuosi päivinä on, d = 68,7... d 68 d y S U, ( C) y = T T = = = = T T =, ( ) = ( C) S U y y = y = y Lämmityskustnnukset pienenevät lkuperäisiin kustnnuksiin verrttun prosenttein y y y y y % = % y = = y y %, %, % Vstus Lämmityskustnnukset pienenevät, %. 9

10 Olkoon mittrin lukem j säiliössä olevn polttoineen tilvuus V (litr). Merkitään muutoksi Δ:llä j Δ V:llä. Siis Lukem Tilvuus V ( l) Δ ΔV V Δ = k ΔV Δ = 5 = 5, Δ V = 8 5 = 5 = k k = 5 5 Δ = ΔV Δ V = Δ 5 Toislt Δ V = V 5 j Δ = 5 = 5, sdn yhtälö V 5= 5 5 V = = 5 +,5 = 6,5 ( l) 5 Vstus Säiliössä on polttoinett 6,5 litr. Käytetään seurvi merkintöjä: ksun pine p (br) ksun tilvuus V (l) ksun lämpötil T (K) Verrnnollisuudet voidn esittää yhtälönä p = k T vkio k V k = pv T Tp Kosk k on vkio, sdn yhtälö pv T 8 7 p = (br), T = 8 (K), V = ( l) pv = p = (br), T = (K), T rtkistn V V V = =, ( l) 7 = Vstus Ksun tilvuus on l. Tp k = pv T Sijoittmll p = (br), T = 8 (K) j V = ( l), sdn

11 k = = 8 7 Alkuperäinen yhtälö on siis p = (br) p = T 7 V T = (K) = V = =, ( l) 7 V 7 Krhujen määrä Uusi määrä,95 Sdn yhtälö,95 = = = 9,... 9,95 Kdettvien krhujen määrä on 9 = Prosenttein % 8,7 % = Vstus Ksun tilvuus on l. Arvioitu hint 7 ( ) Työn osuus,7 7 = 79 ( ) Mterilikustnnukset,6 7 = 96 ( ) Uudet työkustnnukset,5 79 = 999,85 ( ) Uudet mterilikust.,9 96 = 7, ( ) Uusi kokonishint 999,85 + 7, = 7,97 ( ) Remontin hint nousee 7,97 7 =,97 ( ) Siis hint nousee prosenttein lkuperäisestä hinnst,97 %,5 %,5 %,5 % 7 = = Vstus Remontin hint nousee,5 %. 5 Tyttöjen iät vuonn 997: Elis j Kis,5 Tyttöjen iät vuonn 7: Elis + j Kis,5 + Toislt Kisn ikä on,5 ( + ), joten sdn yhtälö,5+ =,5( + ),5+ =,5+,5,96 =,5 Kis täytti vuonn 7, 5 = = 6,6... 6,96, 5 6, =,5... (vuott) Vstus Kis täytti vuott.

12 6 Tietokoneohjelmn hint on 5. Merkitään =,5 ( ). p Plkk. nousun jälkeen + Plkk nousee kikkin,5 %, joten sdn yhtälö ) Olkoon veroton hint ( ). Arvonlisävero (lv) on %, joten sdn yhtälö 5 +, = 5, = 5 = 8,85 ( ), b) Arvonlisäveroprosentti lsketn 5 prosenttiyksikköä, joten uusi lv-prosentti on 7. Uusi verollinen hint on 5 y =,7 =,7 = 9, ,6 ( ), Lsketn, kuink mont prosentti y on pienempi kuin. y 5 % = 5 ( ), y =,7 ( ), 5 5,7, = % =,98... %, % 5 Vstus ) 8,85 b), % 7 p + =,5 :, p p + =,5 + =±,5 p> p p = ±,5 = +,5 p =, p = 6, , Vstus p on 6,. 8 Alkuperäinen liuos (dl) Etikk, =, (dl) Lisättävän veden tilvuus (dl) Uusi liuos + (dl) Etikk, ( + ) ( dl) Etikn määrä säilyy, joten sdn yhtälö, ( + ) =, ( + ) = : Plkk luss p Plkk. nousun jälkeen + Vstus + = = 6 dl =,6 l Vettä on lisättävä,6 litr.

13 9 Kokonishint Lennon hint,5 Polttoineen hint,,5 =,5 Polttoine kllistuu %,,5 =,65 Muut kustnnukset,5,5 =,5 Uusi kokonishint,5+,65+,5 =,5 Hinnn muutos,5 =,5 Prosenttein,5 =,5 =,5 % 88 p p = + = 88 + p p + = = p = =,66,6 Vstus Myyntiä on lisättävä,6 %. Vstus Nousu on,5 %. Tuotteen hint Alennettu hint 88 = Myynti b Myynnin lisäys p % p p b b + = + b Myyntitulo ensin b Myyntitulo sitten 88 p + b Myyntitulo pysyy ennlln, joten sdn yhtälö 88 p b = + b : b Veden tilvuus Suolliuoksen tilvuus y Suolliuoksen pitoisuus 5 %, joten puhdst suol,5y Uuden liuoksen tilvuus + y Uuden liuoksen pitoisuus %, joten puhdst suol,( + y) Suoln määrä pysyy smn, joten sdn yhtälö,( + y) =,5y Vstus + y = 5y = y y = Veden tilvuuden j suolliuoksen tilvuuden suhteen on oltv :.

14 Mtk-ik välillä Hki-Lppeenrnt vuonn 96 t (h) 7 6 Mtk-ik nyt t t = t Mtk s s Keskinopeus vuonn 96 v = t s s Keskinopeus nyt v = = 6 t 6 t Keskinopeus on noussut prosenttein s s 7 s v v 6 6 t % = t t % = % v s s t t kuin ylläpitokustnnukset,,b Sdn yhtälö p + =,,b =,88b p +,88b=,, b : b p,, p + = =, p =,88 Vstus Vuokri on korotettv %. 7 = % =, % = 58,7... % 59 % 6 Vstus Keskinopeus on noussut 59 %. Vuokrtulot Ylläpitokustnnukset b Vuokrtulot % pienemmät kuin ylläpitokustnnukset: =,88b Vuokr korotetn p % Uusi vuokr p + Uudet ylläpitokustnnukset,b Uudet vuokrtulot % suuremmt Kuutio : Olkoon kuution särmä. Kokonispint-l on A = j tilvuus on 6 V =. Kuutio : Olkoon kuution särmä b. Kokonispint-l on A = 6b j tilvuus on V = b. Toislt A =,6 A A pienenee 6 % eli jäljelle jää 6 %. =,6 6 Sdn yhtälö 6b =,6 6 b =,6 b=±,6 Kosk b >, niin b=,8.

15 Tilvuus V = b = (,8 ) =,5 Jälkimmäisen kuution tilvuus V on pienempi kuin edellisen kuution tilvuus V prosenttein V V,5 % = % V b b % = % = % + b b+ b b+ b b = % = 7,... % 7 % 5 b Vstus Ulkomille meni 7 % koko myynnistä.,88 = % = 8,8 % 9 % Vstus Tilvuus pienenee 9 %. 5 Vuonn Vuonn myynti ulkomille ( ), ( ) myynti kotimss b ( ),95 b ( ) koko myynti + b ( ), 6( + b) ( ) Vuoden tiedoist sdn yhtälö,+,95b=,6( + b),+,95b=,6+,6b,,6 =,6b,95b, =,b, = b= b, Myynti ulkomille vuonn prosenttein on 6 Koko mtk s Tsinen nopeus, joten s s = v t eli t = v,6s, s nopeus v nopeus,v Koko mtkn kuluv ik ensin t,6s, s,7s+, s, s sitten t = + = = v, v, v, v Tp Mtkn kuluv ik t on pienempi kuin ik t prosenttein s,s,), t t v, v, % % s = = % t s s v v v,,,8 = % = % = % = 6,66... % 6,7 %,, 5 Vstus Aik lyhenee 6,7 %.

16 Tp,s t, v = = t s v, s, v s v =,9...,9 Siis ik tulee,9-kertiseksi, joten ik lyhenee prosenttein % 9, % = 6,7 %,6 p p,+ = +, :,6 p p, + = +, +,6 p = +, p, p = p = = 7,... 7, Vstus Aik lyhenee 6,7 %. 7 Tp Knsntuote Teollisuustuotnto ensin, Muut os-lueet,8 (ei muutu) Teollisuustuotnnon ksvu p, (ksv p %) Teollisuustuotnto sitten p +, Uusi knsntuote p +, Teollisuustuotnnon osuus % uudest knsntuotteest p, +, Sdn yhtälö p p, +, = +, 6 Vstus Teollisuustuotnnon tulee ksv 7 %. Tp Knsntuote Teollisuustuotnto ensin, Muut os-lueet,8 (ei muutu) Teollisuustuotnto k-kertiseksi k, Uusi knsntuote,8+ k, Teollisuustuotnnon osuus %,,8+ k, uudest knsntuotteest Sdn yhtälö,(,8+ k, ) = k,, +,6k =, k :, +,6k =, k,,k =, k = =,7... k,7, Teollisuustuotnto ksv,7-kertiseksi, joten ksvu prosenttein on 7 % % = 7 % Vstus Teollisuustuotnnon tulee ksv 7 %.

17 8 lkuperäiset uudet kokoniskustnnukset, 5 rkennustrvikkeet b,9b muut kustnnukset c, 8c Alkuperäisessä suunnitelmss = b+ c c = b Todellisuudess,5 =,9b+,8c,9b=,5,8c sijoitetn c = b,9b=,5,8( b),9b=,5,8+,8b, =,8b,9b=,9b = b Rkennustöiden osuus lkuperäisessä suunnitelmss on b % = b b = b % =,... % %,9b % = b, 5,9 b = % =,7... % %, 5 b Vstus Arvioitu osuus oli %, lopullinen osuus oli % kokoniskustnnuksist. 9 Tuore Kuivttu omen omen b vettä,8 vettä,b sokeri, sokeri, muut,6 muut,6 Sdn yhtälö, b+,+,6 = b, = b, b,8b=, b=, 5 Kuivttujen omenien sokeripitoisuus on, % b=,5 b, = % = 6 %,5 Rkennustrvikkeiden osuus lopullisess tilnteess on Vstus Sokeri on 6 %. 7

18 kg Esineen mss m = 5 g =,5 kg j tiheys ρ e =, dm kg kg Hopen tiheys ρ Ag =,5 j kuprin ρ dm Cu = 9,. dm Olkoon esineessä, jonk tilvuus on V, hope (kg) j kupri y (kg). Tiheys m ρe = V m = ρ V e m m m = ρe ( V + V ) V =, V = ρ y (),5 =, +,5 9, Ag Ag Cu Ag Cu ρag Cu Cu Hopen osuus pinoprosenttein on,5... kg,5 kg % 76, %. Kuprin osuus pinoprosenttein on % 76, % =,8 %. Vstus Hope on 76, % j kupri,8 %. Puu nyt Puu vuoden kuluttu Toislt + y =,5 y =,5 Sijoitetn yhtälöön ().,5,5 =, +,5 9,,5 9,,5,5 9, =, 9, +,,5 (,5 ),75 = 9,9+ 5,975 6,5 6,5 9,9 = 5,975,75 5,5 =,75,75 = =,5... (kg) 5,5 π V = r h V = π r h Puu ksv j uudet mitt ovt (d on hlkisij) d = d + d d = d r = r r = r j h = h+ h 7 = h. 6 6 Siis Siis π π V = r h = r h = π r h = V

19 Puun rungon tilvuus ksv prosenttein 56 9 V V V V V % = 7 % = 7 V V V %,, =,b,7b, =,b = b = b 9 = % = 7,77... % 7 % 7 Vstus Päärynämehun määrän suhde omenmehun määrään on :. Vstus Tilvuus ksv 7 %. (vstukseksi voi nt myös 7, % ti %) Päärynämehun sokeripitoisuus % määrä sokerimäärä, Omenmehun sokeripitoisuus 7 % määrä b sokerimäärä,7b Sekmehun sokeripitoisuus % määrä + b sokerimäärä,( + b) Sokerin määrä säilyy, joten sdn yhtälö,+,7b=,( + b) Työttömyysprosentti Työttömiä ensin 9 % sitten % + 8 Olkoon työikäisen väestön määrä. Siis 9 () = = 9 () = + 8 = + 8 = = 8 = = 8 9 Työttömiä on työttömyysprosentin nousun jälkeen = 6. Vstus Työttömiä on 6.,+,7b=,+,b 9

20 Luseke: 5+ + = = Itseisrvomerkkien sisällä olevn lusekkeen nollkohdt: + = = = 5 = ) Kun, sdn ( ) = 8+ = 9+ ) Kun >, sdn ( + ) = + 8 = + 7+ ) Kun < 5, sdn 5 + ( ) = 5 = + 5 Vstus + = + + > 9, kun 7, kun ) Kun 5, sdn Vstus (+ ) = 5+ + = = Luseke: + < 5, kun , kun 5 Itseisrvomerkkien sisällä olevn lusekkeen nollkohdt: 6 ) + ( ) : = = + = = = s = = = 8 6= 8 r s r+ s = r r s

21 b) b + b b b = b = b + b b =, = = b + b b =, kosk > b = b, kosk b< = ( b) + b ( b) = b b = b Itseisrvojen sisällä olevien lusekkeiden nollkohdt: + 9= = 9 = 7 ) π + π π <, joten π = π + = ( π + ) + π = 6π + + π = π b) Luseke on määritelty, kun y. ) ) = = y y y y y y 9 = = =, y 6 y 6 y y Vstus ) π b), y y 5 5 = 5 = 5 = Merkkikvio: ) Kun <, sdn 9 (5 5 ) = = 5 ) Kun, sdn + 9 (5 5 ) = = 8 6 ) Kun >, sdn + 9 ( ) = = + 5

22 Vstus 5, kun < = 8 6, kun + 5, kun > 5 ) = = ( ) = = +, kosk = ( + ) = + = b = b = = =, kosk = 5 + < j < < = + ( ) =, kosk < < = +, kosk < = + =, kosk < = + ( + ) ( ) ( ) =, kosk < < = + + ( ) = + + = = 5 + = 5 + = b) ( ) ( ) = ( 6) ( ) = ( 6)( ) ( ) = ( b)( + b) = b = 8 6 = = 8( 6) = Vstus ) b) 5 ) ( ) + ( b) = b+ b ) ( ) + = = = ( )( ) ( )( ) = = = + = (5 ) = 5

23 b) : + = 6 ( 6) + c) = ( ), = = + 6) ( + 6) = + = ( + 6) + 6 = + = = ( + ) ) + = = = 5 ) b) 8 = ( ) =, n =,, 5,... = 6 ( ) = ( ) ( ) =, n =,, 6,... = = =, > = = = n n n n m n m n 5 ) b) c) = 5 5 ( ) = = n =, n =,, 5,... n n =, n =,, 6,... 6 = = = = =, n =,, 6, = = = ( ) ( ) + n n n m n m n = = s =, > = ( ) = = ( ) = r r s r s r s 9 = = = 9

24 55 ) + ) + ) (+ ) + = ( + ) + (+ ) = = ( ) = (+ ) ( ) = + 9= 9+ b) ( 5) 7+ 5 < = ( 5 ) 7+ =, 5 = 5 = ( 5 ) 7+ b = b + + = b+ b = ( + b) = ( + ) = = + Sijoitetn =, joten lusekkeen rvo on + = = Huomutus: Lusekkeen rvo voidn lske myös sijoittmll suorn lkuperäiseen lusekkeeseen. Vstus = = ( 5 ) (7+ ) = (5 5 + )(7 + ) = (7 )(7+ ) ( b)( + b) = b = 7 = 9 = 9 = 56 Sievennetään luseke ennen sijoittmist. 57 ) + > in, joten ( + ) ( + ) = b b ( + ) = = ( + ) = ( + ) = + + > = +

25 b) ( ) j 5 ( ) Siis > eli < ( ) ( ) = b = b 5 59 ( ) >, murtopotenssi = ( ) = ( ) = Vstus ) 58 ) b) + + b) = = =, > = ( ), < ( ), < Murtopotenssi, joten >. m =, m, n n m n r s r+ s = = ( ) >, murtopotenssi + + = ( ) = ( ) = = = =, > + 6 = = = 8 = = (8 ) = 8 = + ( ) = = = = Lskettv Ehdost k, joten k >. k = sdn 5 k = k = Merkitään k = t. 5 5 t t 5 = = = 5 t 5 5 t> 5 t =± t = k 5 = t = = 5

26 6 6 Oletuksen mukn >, y > j y = 6. Siis y. + y ) y y ( + b)( b) = b ) 6 6 m n m n ( ) >, joten = = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( y)( + y) = = ( y) ( y) ( + y) y + = = = = = + y y = 6 = + 6 = + = 5 b) 5 y y y m y >, joten y = y n m n ( ) = ( ) ( + ) ( + ) = ( ) = ( ) ( + ) ( + ) = ( ) + >, kosk > + ) = ( ) = ( ) + ) y y y y = = = y y y ) 5 5 ( y ) y y = = = = y = y = y y y y = y = y y = y y y = y = =, kosk >. = y y y y y y y n n = ( ) = Vstus ) b) y y 6

27 ) n n n n r s r s ( ) ( ) ( ) = ( n ) n ( n) = n n+ n n r s r+ s = = n n+ + n n = = = ( + ) ( ) = + = = = kikill. Siis väite on tosi. b) 5 ( ) (priton juuri) 5 n n n = b = b 66 ) Väite: 8 + = = = ( ) =, n =,, 5,... = Huomutus: Juurimuoto 6 ei void kirjoitt murtopotenssimuotoon kosk (eli voi sd myös negtiivisi rvoj). n n 6, Tutkitn, onko = b eli onko b j b =. Merkitään = 8 + j b = + 5. ) b = + 5>, joten ehto b on voimss. ) b = ( + 5) = = = 8 + = joten ehto b = on myös voimss. Vstus ) b) Siis väite pitää pikkns. 65 b) Väite: 8 + = eli 8 = 6 5 Väite: + = kikill. Todistus: Trkstelln väitteen vsent puolt. Tutkitn, onko = b eli onko b j Merkitään = 8 j b =. b =. ) b = = 9 = 9 8 >, joten ehto b on voimss. 7

28 ) b = ( ) = + 68 = = 7 8 Siis ehto b = ei ole voimss, joten väite ei ole tosi. Vstus ) Väite on tosi. b) Väite on epätosi. 67 Väite: 6 + = eli 6 = Todistus: Merkitään = 6 j b=. On osoitettv, että = b eli että b j b =. ) Kosk b = = 9 = 8 >, niin ehto b on voimss. ) Kosk b = ( ) = + = = 6 = Merkitään b = Määritelty,kun >, b. Määritelty,kun, b. = + b Siis >, b. Sievennetään :n j :n lusekkeet. ) b ( b ) = = = ( b ) = + b = + b = + b > = + b = ( + b) Trkstelln erotust = ( b ) ( + b) = ( b b) = ( ) <, kosk >. Siis >. niin myös ehto b = on voimss. Vstus + b on suurempi. 69 ) 9 + ( + ) + Siis j ( ) ( + ) = ( + ) =,, 8

29 b) ( ) + Siis j ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) = ( ) ( ) Vstus ) 7 ) ( ) =,,,, b),, 6 eli j 6 Osoittjn nollkohdt: = + = ± ( ) ± + 8 ± 7 = = = = = = ti = = = Nimittäjän nollkohdt: 6 = b) ± ( ) 6 ± + ± 5 = = = = = ti = = = Siis + b + c = ( )( ) 6 + = = = =,, eli ( 5 + ) + ( 8) = = 5 5 (5 ) + (5 ) = = 5 Vstus ),, b) ( (5 ) ( + ) = +, 5 5 +, 5 9

30 7 7 ) ) + ) ) = + ( )( + ) +, j ±, j Siis ± + ( + ) ( ) + + ( + ) = = ( )( + ) ( )( + ) = = ( )( + ) ( )( + ) = ( + ) =, ( )( + ) ± ) b j b b + b b b b j b b) b b) = ( b) b b b b ( b) b ( b+ b ) = = b b b b ( b) + b b = b b b = b( b) =, b, b b + = ( b b ) b b) = = b) j j + ( + ) + = + + = + ( + ) = + =, = + ) + = + ( + ) + Vstus ), ± b), + + = =,, + + b Vstus ), b, b b),, +

31 7 ) 5 5 = = = = = = 5 = + = y t t t t t t t t = + + t + t = = t t eli väitteen oike puoli. Siis väite on tosi. b) 7 ) y) y) + y y y + y y ( y) y ) y) = = y y y ( y ) y y ( y) y = = ( + y)( y) + y ) Olkoon j b. ) b) b) Oletus: b + b + ( + b ) b = = b + b + ( + b ) b b,, t y t t t = + = t Väite: y = Todistus: Tutkitn väitteen vsent puolt. b = 75 P = ) Kosk P on jollinen ( + 5) :llä, niin = 5 on P:n nollkoht. Sdn yhtälö P( 5) = ( 5) + 6 ( 5) 5 = 5 5 = 5 = 75 = b) Sievennetään luseke P =, Osoittjn nollkohdt: + 6 5= 6± 6 ( 5) 6 ± ± = = = = = ti = = 5 6 6

32 Siis ( )( + 5) = = 9, Vstus ) = b) 9, 5 = on myös osoittjn nollkoht. Sdn yhtälö + = + = = 8 76 ) +, Kosk on osoittjn tekijä, niin ( ) :n nollkoht = on myös osoittjn nollkoht. Sdn yhtälö 9 + = 8+ = = 9 Sievennetään luseke + 9 Sievennetään luseke P + = Osoittjn nollkohdt: + = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( )( + ) = = ti + = ti, ei relijuuri = = Siis P ( )( + ) = = +,. + = b+ b = ( b) ( ) = =, Vstus ) b) = 9; + 9 =, = ; + = +, b) +, Kosk on osoittjn tekijä, niin ( ) :n nollkoht

33 77 P = + b + b P( ) = : ( ) + b ( ) + b= P() = : + b + b= Sdn yhtälöpri missä, j ovt polynomin nollkohdt. Siis P = ( )( + ). Kosk P( ) = 6, niin ( ) + ( ) = 6 = 6 = 6 = Siis b+ b= () = Sijoitetn yhtälöön (). + b+ b= () + b= () + b= b= P = Nollkohdt: ± ( ) ( ) ± 6 = = = 8 = ti = Tulomuoto: P = ( ) + = ( ) + = ( )(+ ) Vstus P = ( )(+ ) 78 Tp Kolmnnen steen polynomi on muoto P = ( )( )( ),, Näin ollen P = ( )( + ) = ( )( + )( ) = ( + )( ) = ( + )( ) = + + = + 5+ Vstus P = + 5+ Tp Nollkohdt: =, = j =. steen polynomi on muoto P = + b + c + d,. Siis P = : + b + c + d= P = : ( ) + b ( ) + c ( ) + d= P = : + b + c + d= Kosk piste (,6) on käyrällä y = P, niin sdn

34 P( ) = 6 + b + c + d = 6 Rtkistn yhtälöryhmä Siis 79 () + b+ c+ d = = 8 + b c + d = b =... + b + c + d = c 5 8 = d = + b c+ d = 6 P = b c = b + c = + b = b = + b c= b + c = b = sijoitus b= 9+ = = Sijoitetn = j b= yhtälöön (), sdn c = eli c = Vstus P = + P = + + b+ c Kosk P on jollinen ( ) :llä, niin tämän nollkohdt = j = ovt myös P:n nollkohti. Siis P( ) = : ( ) + ( ) + b ( ) + c = P() = : + + b + c = Lisäksi on P () =, joten + + b + c =. Sdn yhtälöryhmä () + b+ c = ( ) ( ) + + b+ c = b + c = 8 Todistus: Polynomi P on jollinen binomill + jos j vin jos + on P:n tekijä, eli = on P:n nollkoht. n+ n n P = n + ( n+ ) +, joss n. n+ n n P( ) = n ( ) + ( n+ ) ( ) + ( ) = n ( ) ( ) + n ( ) + ( ) + ( ) ( ) = n ( ) = n n n n n + n ( ) n + ( ) n ( ) n Siis P( ) =, joten = on polynomin P nollkoht. Näin ollen polynomi P on jollinen binomill +.

35 8 Merkitään =, = j =. Kosk j ovt kksinkertisi nollkohti, niin P on muoto Siis P =, joten = + = = = P = ( )( ) ( ) = ( )( + ) ( ) = ( + ) ( ) Kosk P () =, sdn yhtälö Siis 8 ( + ) ( ) = = = 5 P = 5 ( ) ( ). Jetn polynomi P binomill +. Merkitään osmäärää Q:llä j jkojäännöstä r:llä. Sdn jkoyhtälö P r = Q + r= + + P = Q (+ ) + + P = Q (+ ) Sijoitetn =. P = Q + = Q = Vstus = 8 Jetn polynomi P = + binomill j sdn jkojäännökseksi. Tällöin jkoyhtälö on P = Q + ( ) P = ( ) Q + Sijoitetn =. P() = ( ) Q() + = Q() + = Siis P() = 8+ = = = = Polynomi P = + 6on jollinen binomill = ( )( + ), jos polynomin P tekijöinä ovt binomit j +, eli P:n nollkohtin ovt = j =. P() = + 6 = P( ) = ( ) ( ) + 6 ( ) = Siis P ei ole jollinen binomill. 5

36 Luku ) + 8= ( ) + 8= = = b) = 8 6 ( ) = 8 9+ = 8 5 = 5 = c) + = + ( 5) + = + = 9 in epätosi, ei rtkisu ) + ( + ) b) 5 5 < 6 6 5< 5 < 5 > 5 c) in tosi 5 ( + ) ( ) = = = 7 = Tutkitn, onko = myös yhtälön = rtkisu sijoittmll = yhtälöön. Yhtälön vsen puoli: = = 7 Siis yhtälön vsen puoli j oike puoli svt smn rvon, kun =, joten = on yhtälön rtkisu. Vstus Rtkistn yhtälö =, jok on myös toisen yhtälön rtkisu 8, = 5 ( f ) , = f f = 8, + f =, Mittrit näyttävät sm lukem, kun c = f. 6

37 Sdn yhtälö Vstus f = ( f ) f = f f f = f = f = = 9 Kuume fhrenheitstein on F. Mittrit näyttävät sm lukem, kun lämpötil on C eli F. 6 Muunnetn yksiköt yhteensopiviksi: nopeus kävellen kmh nopeus hölkäten 6km/h 5,75 min5s = min =,75min = h 6 6 kävelyik = hölkkäik + min5s mtk ik = nopeus Merkitään koulumtk muuttujll (km). Sdn yhtälö 5 Olkoon kummnkin sijoituksen lkurvo. Vuoden kuluttu sijoitukset ovt 5) 6 Kis: + = j Elis: = 5 5 Sdn yhtälö 6 + = = = = 9 = 5 Sijoitusten yhteisrvo tulee k-kertiseksi. Sdn yhtälö 6 k = + 6 eli k = =,. Vstus Sijoitusten yhteisrvo tulee,-kertiseksi., 75 = + 6 6,75 = =,75 5 =,75 =,75 Siis koulumtk =,75km = 75m 7 Olkoon ohittvn uton kulkem mtk vsemmll kistll (km). Smn ikn ohittv uto kulkee mtkn Kosk km m 6m = (,) km mtk ik =, niin sdn yhtälö nopeus 7

38 , = = (,) 8 = = =,5 Siis ohittv uto joi,5km,5km Tähän kului ik Vstus = 5m vsemmll kistll.,5h,5 6 6s 8s km/h = = =. Ohittj joi 5m vsemmll kistll j siihen kului ik 8s. 9 ) 8 : 6 Nollkohdt: 6= = 6 =± 6 8 ) b) + = + 6= + = ± ( ) ± = = = ti = = ± ± 5 = = ± 5,kun = =,kun < ± 5 = = ± 5 Siis 6 6. b) < ( ) ( ) ( ) > ( ) [ ( ) ] > ( )( 6 ) > ( )( 5 ) > Nollkohdt: = ti 5 = Siis < ti > 5 = ti = = 8

39 ) b) 5 = ± ( ) 5 ( ) ± 8 = = 5 = ti = 5 5 Juurten käänteislukujen summ on + = = Nollkohdt: + 5= ± ( 5) = ± 8 = = 5 ti = Epäyhtälö toteutuu, kun 5. Kun otetn huomioon ehto >, sdn < = + = ( )( + ) ( ) = [ ] ( ) ( + ) = = ti ( + ) = = ti ( + ) = : + = =,9999 Vstus =,9999 ti = Rtkistn yhtälö + = ± ( ) ± = = = ± Merkitään = + j y =. Sievennetään lusekett = + = +, 9

40 y + y = ( y ) y Sijoitetn = + j y = lusekkeeseen, jolloin sdn Vstus I ( + )( ) ( ) = = = 9= = + ± ( ) ( ) ± 8+ = = ( ) ( ± ) = ± = ± ( ) = ± ( ) ± + ± = = = + = ti = + = II ( + ) + ( + ) = Vstus ( + ) + + = ( + ) + + = ( + ) ± [ ( + ) ] ( + ) = ( ) + ± + + = ( + ) ± = [ ( + ) + ] = ± = ± = + ± = + = ti = + + = +, < Toinen juuri pysyy smn, toinen juuri ksv khdell. ( ) < ( + ) < ( )( + ) + ( ) < ( + ) j ( + ) < ( )( + ) +

41 () ( ) < ( + ) kun D <, ei rtkisu + < + + < < :, > < Yksi rtkisu: = = ± Kksi erisuurt rtkisu: > () ( + ) < ( )( + ) < + < :, < > Yhdistetään () j (). Vstus < < 5 + = ( ) + 5= Tutkitn juurten määrää diskriminntill. ( ) ( + 5) D = b c = = < ti > Ei rtkisu: < < Vstus Yksi rtkisu (kksoisjuuri), kun =±. Kksi rtkisu, kun < ti >. Ei rtkisu, kun < <. 6 Funktio P = + + ei s negtiivisi rvoj, kun + +. Epäyhtälö toteutuu, kun yhtälön + + = diskriminntti D = b c eli 6 6 kun D =, on yksi rtkisu (kksoisjuuri) kun D >, on kksi erisuurt juurt

42 7 + ( + ) + 8= Yhtälön juuret ovt reliset, kun ( + ) 8 D = b c : tulo Siis < ti < < 5 Nollkohdt: Vstus = 6 ± ( 6) 9 ( ) = 9 6 ± 66 6 ± 8 = = = = = 6 ti = = = ti 5 ) ( 5 )( )( + ) = 5 = ti = ti + = = 5 ti = ti = b) (5 )( )( + ) > Muodostetn tulon merkkikvio. 9 ) f = f ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + = 8+ + = b) g = + + ) g = + + = = + = 8 8 c) f = g = = ± ( ) ± 5 = = 8 = = ti = =

43 Siis ( ) 5, kun ti 5. ) b) < < Nollkohdt: = ( ) = = ti =, joten tulon merkin määrää tekijä. Siis <, kun < j > eli kun < j 5 5 ( 5) ( 5) ( ) 5 Nollkohdt: ( ) 5 = = 5 ti = =± Muodostetn merkkikvio: ( ) () + 6 t + t 6 Nollkohdt: Siis t + t 6= ± ( 6) ± 5 t = = t = ti t = Epäyhtälö () toteutuu, kun t eli t t toteutuu, kun Sijoitetn t =, joten t. eli. Nollkohdt: tulo + + = =± 5 Vstus

44 ) ( ) = ( ) b) + 6= 6 = in tosi Siis = 6 6 ( + ) = ( + 5) + = 5 = 9 epätosi ei rtkisu Vstus ) b) ei rtkisu b > b b > b ( b) > b ) Jos b> eli > b, niin ( b) > b :( b) ( > ) b > b b tulukkokirjst: > b b = b + b+ b > ( ) b + b+ b b > b b ) Jos b< eli < b, niin b > b :( b) ( < ) b < b b Tulukkokirjst: < b b = ( b)( + b+ b ) < b b ) Jos b= eli = b, niin lkuperäinen epäyhtälö s muodon Vstus > > > epätosi Epäyhtälöllä ei ole rtkisu. <,jos < b b b ei rtkisu, jos = b >,jos > b b b

45 5 + + = ( ) + + Polynomi on toist stett, kun eli kun. ) Kun > eli <, polynomi s vin positiivisi rvoj, kun diskriminntti on negtiivinen. Sdn epäyhtälö ( ) ( )( + ) < D = b c Nollkohdt: = ( ) 9 < = 8 6+ < =± < <,kun < <. Ehto < toteutuu ko. lueess, sillä,8 ) Kun =, polynomi on muoto + 6 j se s sekä positiivisi että negtiivisi rvoj. ) Kun >, polynomin kuvj on lspäin ukev prbeli, joten luseke s myös negtiivisi rvoj. Yhdistämällä kohdt, j sdn < < = ( + ) 5+ = Oltv toist stett, joten + eli. Kksi eri suurt relijuurt, kun diskriminntti on positiivinen. Sdn epäyhtälö 5 + > D = b c Nollkohdt: 5 > + 5 > + 5 = ± ( ) ( ) 5 ± 6 = = ( ) 6 5 = = = ti = = Epäyhtälö toteutuu, kun sdn Vstus < <, < <, < <. Kun huomioidn ehto, Vstus < < 5

46 6 5 j 5 ) > ) 6+ 6 Tulukkokirjn mukn toisen steen yhtälön j + b + c = juurten b summ on + = j c tulo on =. Tällöin toisen steen yhtälön 5 + = juurten j b summ on + = = = j 5 5 c tulo on = =. 5 Näin ollen juurten j käänteislukujen summ on + = ) ) = + = = 5 Vstus 7 = 5 5 = = 5 5 Luseke on määritelty, kun > 6 Nollkohdt: 6 ( ) = ti = + > = ti = ± Nollkohdt: = ti = = ti = ± ) Merkkikvio: ) Merkkikvio: tulo tulo Siis < ti < < Siis ti Yhdistetään ) j ): ) ) ) j j ) Siis luseke on määritelty, kun < ti < <. 6

47 8 9 ) = = Sijoitetn t =. t + 7t 8= 7t ± 7 ( 8) 7± 9 t = = t = ti t = 8 t = = ti = 8 = ti = = = ( + = + + ) ( ) = [ ( )] = [ ] ( ) + ( ) + = Tulukkokirjst: b = ( b)( + b+ b ) () = ti + ( ) + = b) < < Nollkohdt ovt = j =. )-kohdn perusteell sdn = ( )( + 8) Merkkikvio: tulo + + < > j ( ) + 8< j + 8> Siis < < Vstus ) = ti = b) < < = I = on kksinkertinen juuri, jos se on myös yhtälön () rtkisu. Sijoitetn = yhtälöön (). + ( ) + = = = II Yhtälöllä () on rtkisun kksoisjuuri, kun D =. D = b c = ( ) ( )( ) = + + = ± ( ) ± = = = ti = Vstus = ti = ti =. 7

48 b + + b= ) ( ) + ( + ) = b) + + = 6 = = 6 = 5 5) 6) = = = 6 5 = 8 5 = 7 = 7 + = + = + = ± ( ) ± 7 = = = ti = 5 Olkoon b. ± ( b) b ± b+ b ± b = = = ( b) ( b) ( b) Kosk Vstus b, kun b b =, niin sdn ( b),kun < b ± ( b) + b + b = = ti = ( b) ( b) ( b) b b ( b ) = = ti = = b b ( b) + b = b = ti = b ) Kun = b=, on yhtälö tosi kikill :n rvoill. ) Kun, niin sdn b + b = = b = ) Kun = j b, ei yhtälöllä ole rtkisu Vstus b =,kun,kun = b = ei rtkisu, kun = j b 8

49 ( ) ( ) ( ) + 5+ = Toisen steen yhtälöllä voi oll enemmän kuin kksi rtkisu vin, jos yhtälön vsen puoli on riippumton muuttujn rvost. Ehto toteutuu, kun () () () + = 5+ = = + = ± ( ) ± = = = ti = 5+ = Lisäksi () > > 5 > ( ) 5 > 5 5 > > 6 5 () < + > > ( ) 5 < < < =+ 7 Kohtien () j () perusteell 6 < < + 7, joten väite on tosi ± ( 5) 5± = = = ti = () = ( ) = = ti = 6 Piirretään tilnteest mllikuv. Yhtälöryhmä toteutuu vin rvoll = Oletus: < < Väite: 6 < < + 7 Todistus: 5 Kosk >, niin oletuksen perusteell >. Niko kävelee mtkn AB 6 minuutiss nopeudell 5km/h AB = 5km/h h = km 6 6 Niko kävelee mtkn BP 8 minuutiss nopeudell 5km/h 9

50 8 5 8 BP = 5km/h h= km 6 6 Olkoon BC (km). Jsmine j mtkn + BP 8 7 minuutiss nopeudell 5 km/h. Sdn yhtälö + BP= 5km/h h km= km = km km : = km AC = AB + BC = km + km = 6,5 km 6 6, km Vstus Auto on 6, km päässä huoltosemst. 7 Pint-lvuokr on 8 / h = 8 /m =,8 / m. Aitkustnnukset, / m. Alue on neliön muotoinen. Olkoon neliön sivu (m). Kustnnukset ovt 55. Sdn yhtälö,8 +, = 55,8 +,8 55 =,8 ±,8,8 ( 55),8 ± 8,8 = =,8,56,8 8,8,8 + 8,8 = < ti = = 78,8... >,56,56 ei kelp Neliön pint-lksi sdn Vstus Peltol on,8h. 8 Olkoon voimss + y = + y kelp Siis = 89,9... m,8 h + y = + y+ y = + y, mistä seur, että y = j edelleen = ti y = ti = j y =. Etsitään luvut j y, joill pätee y = y, mutt ei päde + y = + y. Esimerkiksi, jos = j y =, on = j =, mutt + = j + = eli. Vstus Esimerkiksi = j y =. 5

51 9 Osoittjn nollkohdt: ± = ± ( ) ( ) ± = = = ti = Sdn ( ) ( ( ) ) + = = ( + )( ) + b) c) 9 + = + + eli ( + )( ) + = + + = = Siis, 5 j 5 j 5 = 5 ( 5) = ( 5)( 5) = = 5 5 = = j 5 kelp Lusekkeen rvo, kun = : + ) Vstus = = = + + +, ±, lusekkeen rvo on + ) eli = 9+ ( 9+ ) + = = + = ) eli + = ( ) = = 5 =± 5 5 ± ( ) ± = = = ± 9 kelpvt

52 b) j j ( ) = j ( )( ) osmäärä + + Siis < ti > ( ) ( ) = 6 + = 6 7 = ( 6 7) = = ti 6 7 = j 7 ei kelp = = 6 6 kelp Vstus ) = ± b) = 6 b) ) 6 ( 8) ( ) ( + ) + ( ) ( ) Osoittjn j nimittäjän nollkohdt: 6 8 ) > 8 Osoittjn j nimittäjän nollkohdt: 6= 8= = = + = j = osoittj nimittäjä osmäärä Siis < = =

53 < ) < ( ) < Nollkohdt: < < ± ( ) 5 ± 7 = = ( ) = = 7 ti = = osoittj nimittäjä osmäärä = Siis < ti < < 7 =± Siis < < ehto, joten < <, ) 5+ 5 > ) ) > > > Nollkohdt: + + 5= b) + + eli + 8 8) + ) ( + ) 8 ( + ) Nollkohdt: + 8 = 8± 8 8± = = = ti = 8 8 5

54 5 ) osoittj nimittäjä osmäärä Siis < ti j + eli + + ) ) + + ( + ) Osoittjn nollkohdt: + + = + ( ) ± 5 = = = ti = Nimittäjän nollkohdt ovt = ti =. Merkkikvio: osoittj nimittäjä osmäärä b) eli > 5 ) ) ( ) ( ) Nollkohdt: > 5 + = ± ( ) 5 ± 7 = = 5 Merkkikvio: osoittj nimittäjä osmäärä Siis < Siis < ti < 5

55 6 Olkoon yhtyeessä jäsentä. Tuotto yhdelle jäsenelle on 9. Jos jäseniä on kksi enemmän, tuotto yhdelle jäsenelle on 9 +. Sdn yhtälö j = + ( + ) 9+ 8( + ) = 9( + ) = Vstus = + 8= ± ( 8) ± = = = 8 ti = 6 > ei kelp kelp Yhtyeessä on 6 jäsentä. Todistus: b b) b b = + = + b b b b+ b ( b) = = > b b Siis väite on tosi. 8 ) + = 5 > + = 5 ti + = 5 = ti = 6 = ti = ) b) Jos b,niin = b = b ti = b b) + = 5 = b = b ti = b + = 5 ti + = 5 = ti 7 = = ti = 7 Oletus: > j b> Väite: b > b c) + = 5 Jetn trkstelu osiin itseisrvon määritelmän mukn. 55

56 ) Jos + eli, niin sdn + = 5 Jos,niin =. + = 5 = = kelp ) Jos + < eli <, niin sdn < + = 5 < Jos <, niin =. 9 ) 6+ 9 = = = b = ± b 6+ 9= ± ( ) 6+ 9= + 6 ti 6+ 9= 6 b) = 9 = ti = 5 = ti = 5 = + ) Jos eli, sdn Siis ( + ) = 5 = 5 7 = = < 7 ei kelp =. = + Jos, niin =. = + = = kelp ) Jos < eli >, sdn = + Jos <, niin = < + = + = 6 = 6 > Siis =. ei kelp 56

57 c) + + = ) Jos, sdn + + = + + = + + = ( + ) = + = = ei kelp ) Jos <, sdn + + = ( ) + + = < b) + 6 < + < 6 + < 6 = ( + ) < ( 6) < < Nollkohdt: Jos j b, niin > b > b + + = ± ( ) ± = = = ( ) = ti = + Ehdon < perusteell vin = kelp = ± 7 ( 5) ± 96 ± 5 = = = = = ti = = ) + 6 = + = 6 = b = b ti = b + = 6 ti + = ( 6) = 7 ti + = = 5 5 = 7 Siis 5 7 < < 7 57

58 5 5 ) > Jos j b, niin > b > b. > = ) 5 < b b< < b ( ) > ( ) + > + > > b) + > Jos j b, niin > b > b + > = ( + ) > ( ) + + > > Nollkohdt: + 8= ± ( 8) = ± = 6 = = ti = = 6 6 b) c) b b ti b + ( + ) ti ti 7 7 ( + ) < 5+ < + ti 5 + < + < b b< < b < 5+ < + < 5+ j 5+ < + 8< 6 j < 8 > j > Yhdistämällä rtkisut sdn < <. Siis < ti > 58

59 5 ) < < b b< < b + < 5+ 8< + < 5+ 8 j 5+ 8< < j 6< ) ti ) Epäyhtälö toteutuu kikill. Yhdistetään kohtien ) j ) vstukset: b) > j < Yhdistämällä rtkisut sdn < < b b ti b + + ti + ) ti ) + + Nollkohdt: Nollkohdt: = + + = ± =± = ± 8 = 5 Siis. Poistetn itseisrvomerkit käyttämällä itseisrvon määritelmää j tutkitn yhtälöä eri lueiss. +, kun + eli + =, kun <, kun eli = +, kun < Merkkikvio ) Kun <, sdn 59

60 + + 5 = 6 ( + ) + 5 = 5 = 6 = < 5 ) Kun < sdn ei kelp +, kun + eli kun + =, kun + < eli kun <,kun eli kun = +,kun < eli kun > Merkkikvio = < + ( + ) + 5 = 7 = = < 7 ) Kun sdn = Vstus 55 > kelp + ( ) + 5 = 5 = = 5 = 7 ei kelp Väite: Epäyhtälö + 5 on tosi koko :ss. Todistus: Poistetn itseisrvomerkit käyttämällä itseisrvon määritelmää j tutkitn epäyhtälöä eri lueiss ) Kun < sdn + 5 < > ( ) 5 + < 5 < 5 in tosi Siis epäyhtälö toteutuu, kun <. ) Kun < sdn + 5 > + ( ) < kelp Siis epäyhtälö toteutuu, kun <. ) Kun sdn 6

61 + 5 > + ( + ) in tosi Siis epäyhtälö toteutuu, kun. Kohtien, j perusteell epäyhtälö toteutuu kikill reliluvuill ) + = 6 + =± + = eli Jos j b, niin = = b = b = 9 = 8 = + eli Jos j b, niin = + = b = b. siis oltv + eli = ( + ) = + + ( + ) = = ti + = eli = ehdot j ) = ehto kelp + = eli = 5 < Ei rtkisu, sillä neliöjuuri on in ei-negtiivinen. Vstus =. 58 = ti = kelp Vstus = ei kelp 6 ) = eli Jos j b, niin = = b = b siis oltv eli

62 = = + 5+ = 59 5± ( 5) 5± = = = ti = ehto kelp kelp b) + = + Trkistus! = + Trkistus: = + + = ( + ) = = 9 = 7 = 7 Kun =, niin lkuperäisen yhtälön 7 9 vsen puoli on = = = 7 oike puoli on + = = 7 Siis = = kelp. Vstus 8+ = 5 eli ( ) = ( 5 8) Jos j b, niin = 5 8 = b = b 5 Siis oltv 5 8 eli 8 = = 76 ± ( 76) 6 76 ± = = = = = < ti = = = > kelp ei kelp 7 = 6 6

63 6 6 Yhtälö on määritelty, kun > eli >. = + = + = trkistus! = = 9± ( 9) 8 9± = = = 6 ti = Trkistus Kun = 6, niin lkuperäisen yhtälön vsen puoli on 6 = oike puoli on + = + = Siis = 6 kelp. 6 Kun =, niin lkuperäisen yhtälön vsen puoli on = oike puoli on + = + = Siis = ei kelp.. + = trkistus! + = ( + ) + ( + )( + ) = = = 7± 7 6 7± 5 = = = ti = 6 Trkistus Kun =, niin lkuperäisen yhtälön Vstus =. vsen puoli on ( ) + = j oike puoli on = + Siis = kelp. Kun = 6, niin lkuperäisen yhtälön vsen puoli on ( 6) + = 9 Siis = 6 ei kelp. Vstus = 6 6

64 6 6 ) b) c) j + eli eli + + ( )( + ) = : = = ;, + > j eli eli j + + eli, tosi kun > = = ( : ) = ( ) =, >, = + + >, = = = ehdot >, kelp < eli Jos j b, niin > b > b. < + > ( ) > Epäyhtälö toteutuu, kun. Lisäksi huomioidn ehto Vstus 6 ),. + +,kosk + > in.. ) Kun + < eli <, niin epäyhtälö + + on in tosi. Siis epäyhtälö toteutuu kun <. ) Kun + eli, sdn + + Jos j b, niin > b > b. > < 6

65 b) ehto Yhdistämällä kohdt j sdn rtkisuksi + < ) Kun + < eli <, niin epäyhtälö + < + on in epätosi. ) Kun + eli, sdn + < + Jos j b, niin > b > b. > < Tällöin >, eli. korotetn puolittin neliöön + Epäyhtälö toteutuu vin rvoll =. Kosk lkuperäinen epäyhtälö on määritelty, kun, niin rvo = kelp. Vstus = 66, nollkohdt: > = + < ( + ) + < > 5 > ehto 8 7 > 8 Yhdistämällä j sdn 7 > 8 ) Jos, on > > =± Siis ti Jos j b, niin > b > b 65 > ( )

66 > + > 5 > Ehto kelp ) Jos, on <. sin = sin 5 tn = cos cos = 5 5 = : = = > < Epäyhtälö in tosi. Siis. Vstus ti >. 67 sin, 8 < < 7 5 Trigonometrin peruskvn mukn sin + cos = sin = + cos = 5 5 cos = cos <, kosk 8 < < 7 5 Vstus cos =, tn = 5 68 ) Trigonometrin peruskvn mukn sin α + cos α = 6 sin α = cos α cos α = 5 6 sin α = 5 9 π sin α = sinα <, kosk π < α < 5 sinα 5 5 =± = cos 5 5 =± = Tngentin määritelmän mukn 66

67 b) cosα cosα = cos α 69 c) d) 6 = cos α cos α = = = = sinα = 5 6 π sin α = sinα cosα cos α = j π < α < 5 joten cosα = 5 = = α = ( α + α) ( α + β ) = α β + α β sin sin sin sin cos cos sin 7 = sin α cosα + cos α sinα = = = Todistus: sin α + tn α = + sin α + cos α = cos α cos α cos α cos α = + = + cos α cos α cos α cos α + cos α = = cos α cos α Siis väite on tosi. 7 sin + cos =, ( sin + cos ) =, sin + sin cos + cos =, + sin =, > Juuret trkistettv! sin α + cos α = sin α = sinα cosα sin =,8... sinα ei rtkisu Vstus Yhtälöllä ei ole relijuuri. 67

68 7 7 tn sin cos sin sinα = : tn + α = + tn cos cos cosα sin cos = sin α + cos α = cos cos + sin = sin cos sin α = sinαcosα = sin tn sin sin sinα = : tn α + = + tn cos cos cosα cos sin cos = sin α + cos α = cos cos + sin cosα = cos α sin α = cos π sin + 6 sin ( α + β ) = sinα cos β + cosα sin β sin = sin cos cos = cos π π = sin cos + cos sin π 6 6 cos = 6 π sin = 6 ( ) sin = sin cos + cos tn = cos = tn cos + cos cos = + tn tn = + tn tn + + tn = = + = + = Vstus 5 68

69 7 Väite: cos t = cos t cost Todistus: cost = cos( t+ t) cos( α + β ) = cosα cos β sinα sin β = costcost sin tsin t ( ) ( ) cosα = cos α sin α = sinα cosα = cos t cost sin t cost sin α + cos α = = cos t cost cos t cost π π 8cos 6cos 9 9 π π = cos cos cost = cos t cost 9 9 π = cos 9 π π = cos cos = = = = cos t cost cost+ cos t = cos t cost Väite: Yhtälön 8 6 = juuri on Todistus: Sijoitetn juuri π = cos. 9 π = cos yhtälön vsemmlle puolelle, jolloin 9 Väite on siis tosi. 7 ) π sin = sin = sdn π π = + n π ti = π + n π π π π = + n ti = + n π 9 π π = + n, n 9 69

70 b) = cos cos cos cos = 75 ) sin sin = sin sin = cos = ti cos = sin = ti sin = Siis cos = π cos = cos = π π = + nπ =± + n π π π = + n π ti =± + n π, n. sin = sin = π sin = c) π : cos, pitää oll cos eli + nπ cos = sin Jos cos =, niin sin, jolloin yhtälö cos = sin on epätosi = sin cos b) π π = n π = + n π ti = + n π sin cos = tn = sincos = sincos = sin π tn = tn = 6 π π = + nπ toteutt ehdon + nπ 6 π sin = sin = π π = + nπ = + nπ, n 7

71 76 Vstus sin = cos cos = sin 5 6sin = sin sin 6sin + = : sin sin + = merkitään u = sin u u+ = ± ( ) u = ± u = u = ti u = sin = ti sin = sin π = + n π ei rtkisu π = + n π, n π π sin = cos sin = cos π π sinα = sin β sin = sin α = β + n π ti α = π β + n π 7 π π π π = + n π ti = π + n π π π = + n π ti = + n π π = + n π 8 epätosi n π = + n π, π< < π 8 π 8 kelp π π + π = 8 8 ei kelp π 5π π = 8 8 kelp π π π = 8 8 ei kelp Vstus π 5π = ti = 8 8

72 78 Rtkisut voidn yhdistää, sillä kehäpisteet ovt π :n välein. sin = sin cos sin tn = sin π tn =, + nπ cos sin sin cos = cos ( ) cos sin cos sin = sin cos = π π Vstus = nπ ti = + n, n 79 ) sin + sin = sin = sin sin ( α) = sinα = = sin ti cos cos = cos =± sin = sin ( ) sinα = sin β α = β + n π ti α = β + n π ti α = π β + n π = nπ π cos = j cos = ti cos = π cos = = + n π ti = π ( ) + n π 5 = n π ti = π + n π π = n 5 ti = π + n π eli = π + n π, n b) cos + cos5 = π π =± + n π ti =± + n π cos = cos5 cos( π α) = cosα cos = cos( π 5) cosα = cosβ α = ± β + n π 7

73 =± ( π 5) + n π = π 5+ n π ti = π + 5+ n π π π + = + + nπ c) 6 = π + n π ti = π + n π π π π π = + n ti = + n, n 6 π π π + + nπ eli + nπ j π π 6 tn + + tn = π π + nπ eli nπ π π tn + = tn tn( α) = tnα π π tnα = tn β tn + = tn + α = β + nπ 8 ) π = + nπ 6 π π π = + n, n + nπ j nπ 6 kelp + π + n π eli + tn = + π + n π eli π + n π + tn = + π tn = tn = 8 7

74 + π = + n π 8 π + = + n π π = + n π π + n π kelp b) ) π π π + n π j π + n π 6 π π π tn + tn ( π ) = + n π j + n π 6 π π π + n j + n π π tn = tn ( π ) tn ( α) = tnα 6 π tn = tn ( π + ) tnα = tn β α = β + n π 6 π = π+ + n π 6 π = π+ n π 6 5π π π π = + n π + n j + n π 6 n 5π = + n π, π 6 5π 6 ei kelp 5π π + π = 6 6 kelp 5π 6) 7π + π = 6 6 kelp 5π 6) π + π = > π 6 6 ei kelp 5π π < 6 ei kelp 7 Vstus ) π = + n π, n b) π 7π = ti = 6 6

75 8 Vstus 8 ) () + y = y = = = + y = y = = y = () y+ = ( ) 5 6y+ = + 6y 8= 5 6y + = Sijoitetn yhtälöön (). b) 6y = y + = 6y = y = : ( 6) 6y = 7 6y = 7 Siis kikki suorn 6= 7 pisteet toteuttvt yhtälöprin. 6y = 7 6y = 7 7 y = 6 7 Siis y =, 6 c) 8 () y = Sijoitetn yhtälöön ( ). 7 y = = 8 = 8 = 7 epätosi, joten ei rtkisu + = = Sijoitetn yhtälöön (). ( ) y+ = y = y = Merkitään Punisen plikn pituus = Vihreän plikn pituus = y Sinisen plikn pituus = z Siis = y = 75

76 7+ y = 5 5y+ z = 5 + y+ z = 5 () y = 5 7 Sijoitetn yhtälöihin ( ) j ( ). 5y+ z = 5 + y+ z = 5 55 ( 7) + z = 5 + ( 5 7) + z = 5 Vstus 8 Puninen plikk 6 cm Vihreä plikk 8 cm Sininen plikk 5 cm Merkitään hintoj seurvsti: Snkirj (mk) Tietosnkirj y (mk) Levysem z (mk) Sdn yhtälöryhmä 5 5+ z = z = 5 5+ z = ( ) + z = 5 5 z = + + z = 5 5 = 5 = 6 Sijoitetn yhtälöön (). y = y = 5 y = 8 Sijoitetn yhtälöön ( ). () + z = 9 y+ z = 8 ( ) + y + z = y z = y + z = = 8 Sijoitetn = 8 yhtälöön (), jolloin sdn 8 + z = 9 z = 5 Vstus Levysemn hint on 5 mk z = 5 z = 5 z = 5 76

77 85 Lhjrht, y j z mk I ehdot () + y+ z = y z kllein lhj y ( ) y kllein lhj y z II ehdot () + y+ z = = y z ( ) 5 Sijoitetn yhtälöstä () z = z ( 5 ) z kllein lhj z y Tpukset symmetrisiä, joten riittää trkstell yhtälöä () sekä epäyhtälöitä () j (). Lsketn puolittin yhteen () j (). y+ z y+ z : y+ z 5 Sijoitetn yhtälöstä () y+ z = Vstus 86 Jos, niin Kllein lhj on enintään 5 mk. Kksi yhtä kllist lhj voivt oll enintään mk. () + y+ = ( ) + y + = y = + + y+ = ( ) y+ = ( ) y = :( ) y = = Sijoitetn yhtälöön (). 77

78 () + + = = Jos = eli =, niin () + y+ = + y + = in tosi m+ n+ = 5 m+ n+ = ) ) m n+ = m n+ = 5 ( ) m+ n+ = 5 5) m+ n+ = + + m+ n = m+ n = 5 n = n = n = 5 n = Yhtälöprin rtkisuj ovt kikki lukuprit (,y), joiss Vstus 87 + y+ = y = =, kun j, kun = y = y = Kosk m j n ovt kokonislukuj, ovt myös m+ n+ j m n+ kokonislukuj. Tällöin sdn seurvt vihtoehdot m+ n+ = 5 m+ n+ = ) ) m n+ = m n+ = 5 m+ n+ = 5 m+ n+ = ) ) m n+ = m n+ = 5 5 Sijoitetn n = n = yhtälöön 5. m + ( ) + = m = m+ n+ = 5 m+ n+ = ) ) m n+ = m n+ = 5 ( ) 6) m+ n+ = 5 m+ n+ = + + m+ n = m+ n = 5 n = n = n = n = 5 Sijoitetn 5 n = n = yhtälöön 6. m + ( ) + = 5 m = Vstus ( mn, ) = (, ) ti ( mn, ) = (, ) 78

79 Luku 8 b r 8 b r b h,, ) Säännöllinen kuusikulmio voidn jk 6 smnliseksi tskylkiseksi kolmioksi. Kolmion huippukulm on α = = 6 j kntkulmt ovt β = = 6, joten 6 kuusikulmion kulmt ovt β = 6 =. b) Olkoon tskylkisen kolmion kylki r j knt 8. Huippukulm 6 j kntkulmt myös 6, joten kolmio on tssivuinen j sen sivujen pituus on 8. Keskipisteen etäisyys on sm kuin tssivuisen kolmion korkeus h. Sdn yhtälö h h sin β = sin 6 = h = 8sin 6 = 8 =. r 8 c) Pisimmän lävistäjän pituus on r = 8= 6. d) Kuusikulmion pint-l on 8 h A= 6 Akolmio = 6 = 8 = 96. Viisikulmio voidn jk viiteen tskylkiseen kolmioon, joiden 6 huippukulm on α = = 7. 5 Tskylkinen kolmio voidn jk knt vstn piirretyn kork eusjnn (huippukulmn puolittj) vull khdeksi suorkulmiseksi kolmioksi. Suorkulmisest kolmiost sdn knnn puolikklle yhtälö sin 6 = =, sin 6 = 7,5... ( cm), Kysytty sivun pituus on =, sin 6 =,68..., (cm). Vstus, cm n( n ) n-kulmion lävistäjien lukumäärä on j sivujen lukumäärä n. n( n ) > n n n> n n 5n > Nollkohdt 79

80 n 5n = 5 n( n 5) + + = 5 R - n = ti n = 5 5 Kuvjn perusteell n 5n >, kun n< ti n > 5. Kosk on oltv n, niin sdn rtkisuksi n 6. Vstus Monikulmioll, joss on vähintään kuusi kulm. c b L 5 N Tp Rtkistn etäisyys kosiniluseell. = 5 m + 5 m 5 m 5 m cos =± = 5 m 5 m cos 9,86... m 9 m 6 ) Hypotenuusn pituus sdn Pythgorn luseell: c c = + 6 = = 5 =± = = 5 7, b) Kolmion kulmille sdn yhtälöt tnα = = α = tn =,696..., tn β = = β = tn = 56, , Kolms kulm on 9,. 6 c) Kolmion l on A = =. Tp Kolmio LRN on tskylkinen, joten jkmll kolmio khdeksi suorkulmiseksi kolmioksi huippukulmn puolittjn vull sdn yhtälö = sin eli = 5 m sin. 5 m Etäisyys on = 5 m sin = 9,86... m 9 m. Vstus 6 6 Suunnistj oli 9 m päässä rstist. 5 8

81 Siniluseen vull sdn yhtälö = sin 5 sin 6 = sin6 = = sin 5 = Vstus g ) Pienin kulm γ on lyhintä sivu vstss. Kosiniluseell sdn 7 = + 6 6cosγ b Kolmion piiri on + b+ 5 = 6. Pythgorn luseen mukn on Sdn yhtälöpri + b = 5. + b+ 5 = 6 = b Sijoitetn lempn + b = 5 + b = 5 ( b) + b = 5 b+ b + b = 5 ± ( ) 6 b b+ 6 = b= b= 9 j = 9 = ti b= j = = 9 Vstus 9 cm j cm cosγ = = = = γ = cos = 5,... 5, 5 b) Kolmion l on 7 A= bsinγ = b cos γ = = 6 = 6 = = = 55 = 6 55 (,5) Vstus ) 5, b) Al on 6 55

82 9 C Olkoon ympäri piirretyn ympyrän säde R j sisään piirretyn ympyrän säde r. Medinien leikkuspiste jk medinit suhteess : kärjestä lukien, joten R = r. Ympyröiden pint-lojen suhde on A P B Medinien leikkuspiste jk medinit : kärjestä lukien. Olkoon 8 nnetun medinin pituus, jolloin = = 7. Osien pituudet ovt kärjestä lukien = 7 = 5 j = 7. Vstus 5 j 7 kärjestä lukien. R r r 6 6 Tssivuisen kolmion medinit, kulmnpuolittjt j kylkien keskinormlit yhtyvät, joten sisään j ympäri piirrettyjen ympyröiden yhteinen keskipiste on edellä minittujen jnojen yhteisessä leikkuspisteessä. A ympäri πr π( r) π r = = = = = % A πr πr πr sisä Siis ympäri piirretty ympyrä on sisään piirrettyä ympyrää % % % = suurempi. Kolmion pinopiste sijitsee medinien leikkuspisteessä. Hypotenuusn pituus sdn Pythgorn luseell: c = + b = = = Olkoon kysytty etäisyys h. Merkitään hypotenuusn päihin piirrettyjen medinien pituuksi kirjimill j y. A y c 8 M h D F b C E B G Lsketn ensin pinopisteen etäisyydet kteeteist. Yhdenmuotoisist kolmioist ABE j AFM sekä DBC j MGC sdn verrnnot 6 8

83 y b 8 = = j = b = y Kysytty etäisyys h sdn kolmion pint-ln vull jttelemll lkuperäinen kolmio jetuksi medinien vull kolmeen kolmioon, joiden korkeudet ovt, b j h. Sdn yhtälö b h h A = + + = = h h = = = Vstus Kysytty etäisyys on. 5 + y+ z = + b+ c = + b+ c y+ z = ( + b+ c) = (, + 5, +,7), =,85 α r α tn = r = tn Käytetään kosinilusett. b + c = b + c bc cosα cosα = =, bc 5,78... α = 5, ( 5, ) j r =,85 tn, cm i) Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on yhtä kukn kolmion kyljistä, joten keskipiste sijitsee kulmnpuolittjien leikkuspisteessä. Tp Tulukkokirjn kvll sdn r = ( p )( p b)( p c) p + b+ c p =, + 5, +,7 = = 7,5 b = 5, z r r r z =, y (7,5,)(7,5 5,)(7,5,7) = =, 6..., (cm) 7,5 ii) Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste sijitsee yhtä kukn kolmion kärjistä, joten keskipiste sijitsee kylkien keskinormlien leikkuspisteessä. c =,7 y 8

84 b = 5, R R c =,7 Käytetään sinilusett R =,, R = R,8 cm sinα = sinα = sin 5, Kulm α voidn selvittää kosiniluseell kohdn i) tp mukisesti. Vstus i), cm ii),8 cm b = + joten b= ( ± ) = = Alojen suhde on Ab b = = = = = A Vstus : Neljäkkään lävistäjät ovt kohtisuorss toisin vstn. Pythgorn luseen vull sdn yhtälö + = 5 5 = 5 = 5 = ( ± ) 5 b b Neljäkkään pint-l on A= = = 5= (cm ). b b 5 Olkoon ulommn neliön sivun pituus. Sisemmän neliön sivun pituus b sdn Pythgorn luseell: b 6 y h

85 Suunnikn korkeus: h sin 6 = h = sin 6 = = Suunnikkn toinen kulm on β = 8 6 =. Pidempi lävistäjistä on kulmn vstinen lävistäjä. Sen pituus sdn Pyhgorn luseell: y = ( 5+ y) + h cos6 = y = hcos6 h 9 ( 5 cos6 ) = + + = 5+ + =± = = 5+ + = + = = = Vstus Lävistäjän pituus on 7. 6 Kosk korkeus on 7 < 9, on pidemmän knnn oltv pisin sivu. Kosk korkeus 7 > 6, on lyhyemmän knnn oltv lyhin sivu Puolisuunniks voidn jk khteen kolmioon lävistäjän vull. Stujen kolmioiden lt ovt A = j A = Alojen suhde on 9 7 A = = = A Vstus 9 : 6 7 c b Olkoot suorkulmion lyhyempi sivu j pidempi sivu b. Sdn yhtälöpri 6 b = b = 6 eli : b= :9 = b 9 6 = eli = , jolloin b 9 9 =± = = = = = Lävistäjän pituus c sdn Pythgorn luseell. c = + b = + 9 = = 97

86 8 9 b r r b ) = π 5 = π = π (,) A OAB b) 6 α = = j β = 6 = c) Kosiniluseen mukn kolmiost OCB sdn OC = OB + CB OB CB cos( OBC) r = r + CB r CB cos = CB r CB cos CB ( CB r cos ) = CB = ti CB = r cos = 5 cos = cos 9, Vstus ) π (,) b) α = j β = 6 c) CB = cos ( 9,) b A Olkoon ympyrän säde r, jolloin A= π r eli r = π Ympäri piirretyn neliön pint-l on, joss on neliön sivu. Selvästi = r j ympäri piirretyn neliön l on A A Aympäri = = r = r = = π π Sisään piirretyn neliön pint-l on b, joss b on neliön sivu. Pythgorn luseell sdn: b b b b r = + = = b = r A A Asisään = b = r = = π π Vstus Ympäri piirretyn neliön l on πa j sisään piirretyn neliön l on πa. 86

87 8 5 8 r r r Segmentin l sdn vähentämällä vstvn sektorin lst kolmion l. 5 Asegm = Asektori Akolmio = π sin5 6 = 8 π 8 = 8π = 8π 6 (,5) 8 58 m ) Mllikuvst huomtn, että Onki-Konstn j sren päiden voidn jtell sijitsevn smll ympyrän kehällä j sri on tämän ympyrän hlkisij. Siis Onki-Konst näkee sren 9 kulmss (puoliympyrän sisältämä kehäkulm on suor). b) Suorkulmisest kolmiost sdn yhtälö 58 + = 97 = ( ± ) = Vstus ) 9 b) 78 m Olkoon kysytty kulm α. Suorkulmisest kolmiost sdn yhtälö α 6 6 sin = = α = 56, α =, h -,5,

88 Kolmion korkeus on h: h + = = ± = 9 8 eli h 8 9 Yhdenmuotoisist kolmioist (kk) sdn verrnto,5,5 = eli = 8 =,88... ( m) 8 5 ), mm = 5 =, mm 5 = mm = m Vstus m b), mm = A 5 A = 5, mm = 5 mm m² 9 m A h c) = 5 m, h y = 6,9 m 5 7 m Mittkv on k =. Pienoismllin mston pituus on h j purjeen l A. Yhdenmuotoisuuden perusteell sdn verrnnot h 9 = h = =,75,7 (m) 9,75 m A = k A = k = = = Vstus Msto 7 cm j purje, dm 6,9 m y = =,8 m =,8 mm, mm 5 Vstus ) m b), h c), mm Pitojen pint-lt ovt keskenään yhdenmuotoiset j kulunut lnkmäärä on suorn verrnnollinen pint-ln. 88

89 8 Mittkv on k =. 58 Sdn verrnto m58 A = = m58 = m8 = 8 g 58 g m A Vstus Lnk kuluu noin 58 g 8 b b 7 g d +,5 h +,5 6 β = 5, γ = 6 α, δ = = 5 8 Nelikulmion kulmien summ on 6, joten sdn yhtälö β γ δ 6 5 ( + + = + 6 α ) + 5 = 6 Kuvn merkinnöillä sdn yhtälö α = 6 α = 7 ( +,5) + = 5 +, + = 5 =, (cm) Pythgorn luseen vull sdn kolmion korkeus: + = + + = h (,5), h 5,5 9 h = = h = ± 5,5, 6, 5 6, 5 5, (cm) h Kolmion pint-l on h, 5,... A = = =, (cm ) 6 89

90 Kolmion kikki kulmt ovt 6. Sdn yhtälö h sin 6 = h = sin 6 = h Pint-l on A= = = Vstus korkeus h =, l A= y 8 5 ) Kolmion kolms kulm on α = 8 5 = 5. Siniluseen vull sdn 8 y = = sin5 sin sin 5 8 8sin 5 7 y = = = sin5 ( 6 + ) ( 6 + ) ) 7 6 6( ) = = = = 8 8 (,) + + b) Kolmion pint-l on A= bsinγ = 8 y sin = 8 (8 8) 8 8 = ( ) = 8 8 ( 59, ) Vstus ) Sivut ovt , j 8 8, b) Al on ,. 6 jost rtkistn sivut j y: 8 6 ) 8sin 6 = = = sin5 ( 6+ ) 6+ 6( 6 ) = = ( 9,) 6 h h 76 On määritettävä puolisuunnikkn korkeus h. 9

91 = h + = h + ( 76 6 ) = h + + = h ( 5 ) = ( 5 ) 7 = = = Puolisuunnikkn korkeus on h =± = =. Al on A = =. Kun ympyrän ympäri piirretty 8-kulmio jetn khdeksn tssivuiseen kolmioon, on tällisen kolmion korkeus r j kylki R. Tssivuisten kolmioiden huippukulm on 6 = 5. 8 Jos tssivuisen kolmion korkeus on r j huippukulm 5, niin kylki R sdn yhtälöstä 5 cos r r r = R = = R 5 cos cos,5 Sisään j ympäri piirretyt 8-kulmiot ovt yhdenmuotoiset, joten niiden lojen suhde on As r r = k = = = cos,5 = ( + ) A r u R cos,5 - r r R + Kolmion sivut ovt suuruusjärjestyksessä, j +. Hypotenuusn on siis oltv + j sdn Pythgorn luseen vull yhtälö ( + > j > j >, joten > ) ( + ) = ( ) = + + Olkoon ympyrän säde r. Kun ympyrän sisään piirretty 8-kulmio jetn khdeksn tssivuiseen kolmioon, on tällisen kolmion kylki r. 9 = ( ) = = ti = = Siis on oltv =, jolloin kolmion sivut ovt, j 5. Kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde voidn määrittää helposti,

92 kun huomtn, että puoliympyrän sisältämä keskuskulm on in suor. 5 Kosk kolmio on suorkulminen, on sen hypotenuusn oltv 5 ympyrän hlkisij, joten säde on r = =. Vstus C =, säde on D Kulmnpuolittj jk vstisen sivun viereisten sivujen suhteess. Sdn verrnto B y A 9 DC BC = eli = DA BA y Toislt 8 + y = Sdn yhtälöpri = y = y 8 + y = 8 + y = = + 9 = = = = ( ± ) = 8 8 Kteetin AC pituus on AC = + DC = + = = 6 5 P 5,7 7 5,6 M M

93 ' = 7 = 6 6 tn,5 = tn,5 + 5 Kosiniluseell sdn yhtälö 7 =,6 + 5,7,6 5,7cos 6 7 =,6 + 5,7,6 5,7cos = 5,8... 5,8 ( km) 6 Vstus 5,8 km ( + 5) tn,5 = tn,5 tn,5 + 5 tn,5 = tn,5 tn,5 tn,5 = 5 tn,5 tn,5 tn,5 = 5 tn,5 5 tn,5 = = 7,5... 5( m) tn,5 tn,5 6 B h,5,5 5 m A T Ktseluetäisyydet ovt siten = 5 m j + 5 = 75 m j tornin korkeus on 5 tn,5 h = tn,5 = 76, ( m) tn,5 tn,5 Vstus Tornin korkeus 76 m, ktseluetäisyydet 5 m j 75 m. 7 Olkoon ktselupikt A j B. Etäisyydet on ilmoitettu metreinä. Sdn yhtälöpri h tn,5 = h tn,5 = + 5 ) A C r r 6 r O B Ylemmästä yhtälöstä sdn h = tn,5 Sijoitetn tämä lempn yhtälöön, jolloin sdn. D 9

94 b) Kolmio AOB on tssivuinen, joten krt ACB vstv keskuskulm on 6. Kehäkulm on puolet vstvst keskuskulmst, joten krt 6 ACB vstv kehäkulm on α = =. Krt ADB vstv keskuskulm on 6 6 =. Tätä vstv kehäkulm on siten 5 = A Kolmioiss D 7 - ECB j AED = BEC F E AED on B C ristikulmt DAB = DCB krt BFD vstvt kehäkulmt joten ΔECB ΔAED (kk). Yhdenmuotoisten kolmioiden vstinsivut ovt suorn verrnnolliset, joten AE DE 7 = = ( ) = 7 CE BE = =. 9 ± ( ) 8 ± < < = = = ± 6 = 6 Hlkisijn toinen os on = 6 = + 6. Vstus ) j 5 b) 6 j A E () D () Pinopiste P jk medinin CD suhteess :. Kolmioiss ABC j EFC on ACB = ECF P C F B l yhteinen kulm CEF = CAB smnkohtiset kulmt j l AB joten ΔABC Δ EFC (kk). CP Piste P on medinien leikkuspiste, joten PD = j siis CP = CD. Kosk yhdenmuotoisten kolmioiden vstinsivut ovt verrnnolliset mittkvn :, on lojen suhde

95 AEFC = =. AABC 9 Merkitään AABC = A, joten AEFC = A. 9 5 Puolisuunnikkn ABFE l on AABFE = A A= A. 9 9 A AEFC Alojen suhde on = 9 =. AABFE 5 A 5 9 Vstus Suor jk kolmion ln suhteess :5. 9 h = m + m = m. Pythgorn luseell sdn + = = 9 = =± = = Al on A kolmio = m = m Vstus C = 596,5... m 5, h > 5, h Ei s rkent. O () () m Lsketn pienimmän kolmion l, jolle s rkent eli joss rkennus on metrin päässä rnnst. Piirretään tssivuisen kolmion sisään ympyrä, jonk säde on m. Ympyrän keskipiste on kulmnpuolittjill, mutt tssivuisess kolmioss kolmion merkilliset pisteet yhtyvät, joten voidn lske medineill. Medinit leikkvt toisens suhteess :, joten kolmion korkeus on A B Kosk jänteiden välissä on suor kulm, niin BC on ympyrän hlkisij, sillä puoliympyrän sisältämä kehäkulm on suor. Ympyrän l on Aymp = π r. BC OA r r Kolmion ABC l on AABC = = = r. Jänteiden erottmn suurimmn lueen ln suhde ympyrän ln on r πr π A A π ABC + A r + r + + iso puoliymp + π = = = = = A A πr πr π π ymp ymp 95

96 c 5 β = 8 α α = 8 α = 8 6, = 69,9... α joten kolmio ei voi oll tskylkinen. Siis rvo c = 5 ei kelp. 8 Siniluse: 8 5 = sin α sinα 8sinα = 5sin α b 8sinα = 5 sinαcosα 8sinα sinαcosα = sin α ( 5cos α) = sinα = ti 5cosα = cosα = α = cos 6,9 5 5 Kolmion kolms sivu sdn kosiniluseell: cosα = = 8 + c 8 c cosα c c+ 9= 5 6 ± ( 6) c 6c+ 95 = c = c = = 5 ti c = = = 7 5 Jos c = 5, niin kolmio on tskylkinen. Kulm Vstus α = 6,9, kolms sivu on,5 5 h Kuvn merkinnöillä sdn yhtälöpri: h tn 5 = + h tn,5 = tn 5 = h+ 7 ( tn,5 ) tn,5 = h+ 5 tn 5 tn5 tn,5 = htn,5 7tn,5 + tn 5 tn,5 = htn 5 + 5tn 5 = h tn,5 7 tn,5 + htn 5 + 5tn 5 96

97 htn,5 htn 5 = 5 tn 5 7 tn,5 h tn,5 tn 5 = 5 tn 5 7 tn,5 Vstus 5tn 5 7 tn,5 h = = 9,5... 9, (m) tn,5 tn 5 9, m D m C 88 m 5 7 b A z Nelikulmion kulmien summ on 6, joten neljäs kulm on α = = 55 Lsketn nelikulmion lävistäjä AC kosiniluseell: y B 7 β = sin,58... =, β = 7, = 7,9... Siniluseell sdn sivu CB: y sin β y 9 sin β = sin 55 = sin 55 Siniluseell sdn sivu AB: z = sin(8 β 55 ) sin 55 sin(5 β) 85, sin(5 7,9... ) z = = sin55 sin55 z = 5, (m) Vstus Neljäs kulm on 55 j kksi muut sivu 6 m j 9 m. = cos5 = 57,9... =± = 57, , Siniluseell sdn kulm = sin(7 β ) sin5 CAB : sin5 sin5 sin(7 β ) = = =, , y A A A A y y 97

98 Yhdenmuotoisuudest sdn y y y = y y = A-rkin l on Sdn yhtälö m = cm y= > y = = = = cm Puolitus tphtuu neljä kert peräkkäin, joten A-rkin sivut ovt y j eli y 5 =, ( cm ) j = = 9,7( cm) 6 Lyhyempää krt vstv keskuskulm on α = =. α Vstvn sektorin l on Asektori = πr = πr = πr 6 6 Keskuskolmion l on Akolmio = bsinγ = r sin = r = r Pienemmän segmentin l on siten Apieni segmentti = Asektori Akolmio = πr r = r π Koko ympyrän l on A ympyrä Suuremmn segmentin lksi sdn A = A A iso segmentti ympyrä pieni segmentti = πr.. Vstus 5 A-rkin sivut ovt, cm j 9,7 cm. () r r = πr r π = r π+ Segmenttien lojen suhde on A pieni segmentti A iso segmentti ) r π π = = r π + π + π = =,9..., 8π + () 98 Vstus Alojen suhde on π,. 8π +

99 6 Merkitään suorkulmion sivuj kirjimill j y ( > j y > ), jolloin pint-l on A= y = (m ) j piiri p = + y (m). 7 b h Olkoon suorkulmisen kolmion hypotenuusn pituus + 7 =, korkeus h j kteetit j b. On määritettävä kteettien pituuksien suhde = tnα. b h Toislt on tn α = j tnα =. Sdn yhtälö 7 h h> j > h = h = 7 = h = = 7 h Siis ) = tnα = = = = = = b h 7 Vstus : 7 Tutkitn funktiot p = + y y= y= 6 = + = + j selvitetään, millä ehdoll p. Sdn epäyhtälö Nollkohdt: ± ( ) + = = = 6 ± 6 = 6 6,6 ti = , >, kelpvt Kuvj: A = m² y Kosk y =, j funktio on idosti vähenevä trksteluvälillä, niin kteetin y pituuden suurin rvo on 99

100 6+ 6) y = = = = AEB = AED = 9 AE on yhteinen sivu j pienin rvo on 6 6) y = = = = j kteetti y s kikki rvot suurimmn j pienimmän rvons välillä. Vstus Sivujen pituudet metreinä ovt välillä 6 6, Oletus: Nelikulmio ABCD on suunniks (jolloin sen lävistäjät puolittvt toisens j vstkkiset sivut ovt keskenään yhtä pitkät). Väite: Jos lävistäjät ovt kohtisuorss toisn vstn, niin suunniks on neljäkäs. Todistus: D C E BE = DE joten kolmiot ABE j ADE ovt yhtenevät. Yhtenevien kolmioiden vstinsivut ovt yhtä pitkät, joten AB = AD. Suunniks on siis neljäkäs. Tp A y D b E b Merkitään = AB = DC j y = AD = BC. Osoitetn, että = y. Pythgorn luseell sdn yhtälöpri B y C A B + b = + b = y >, y> = y = ± y = y Osoitetn, että AB = AD. Kolmioiss ABE j ADE on Suunniks on siis neljäkäs.

101 9 5 Väite: Kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on R =, sinα missä on kolmion mielivltinen sivu j α on sen vstinen kulm. Todistus: A D P E R b C F R B ) Olkoon särmän pituus. Sdn = 8 dm eli = 8 dm = dm =, m b) Kuution pint-l on A= 6 = 6 (, m) =, m c) Kuution vruuslävistäjän pituus on d = =, m =, 6... m,5 m 5 Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on yhtä kukn kolmion kärjistä, joten keskipiste sijitsee sivujen keskinormlien leikkuspisteessä. Ympyrän kehäkulm α vstv keskuskulm on β = α. Sivun CB keskinormli jk tskylkisen kolmion PBC khteen yhtenevään suorkulmiseen kolmioon. β Suorkulmisest kolmiost PFC sdn sin = =. R R β Kosk α =, niin sdn sinα = eli R =. R sinα Olkoon kuution särmä j kysytty kulm α. Sivuthkon lävistäjä on

102 + = = = > 5 Kuution vruuslävistäjä on = + = = = > j Suorkulmisest kolmiost sdn Säännöllisen oktedrin kikki vruuslävistäjät ovt yhtä pitkiä. Säännöllinen oktedri muodostuu khdest vstkkin setetust neliöpohjisest pyrämidist, sivuthkoin tssivuiset kolmiot, sivun pituus 9, cm. Tällisen pyrmidin pohjn lävistäjä on oktedrin vruuslävistäjä d. cosα = = α = cos 5,7 5 Olkoon tetredrin sivu. Tilvuudelle sdn luseke V =, dl V =, dl =,dl, dm,97... dm, dm = = = Vstus cm Sdn yhtälö d = + = = 9, cm d =± = 9, cm 55,5... cm 55, cm 5 6 cm r p 6 cm Pohjn piiri on p = π r = π, cm = 6,π cm = 88, cm 89 cm

103 Tilvuus on V = A h= πr h= π, cm 6, cm p 56 = 5 π cm = 5π dm = 5π l = 69, l 7 l 8 cm Vstus 55 Levyä trvitn vähintään 89 cm. Lieriön tilvuus on 7 l. ) V cm 6 cm =,6 m, m,8 m =,9 m l d b) A =,6 m, m +,6 m,8m +, m,8m =,555 m,6 m h Lieriön tilvuus on r d π π V = Ah = r h = h. c) P =,6 m+, m+,8 m= 6,6 m 6, m d) 57 D =,6 m +, m +,8 m =,95... m 9 cm Rrkistn tästä pohjn hlkisij: d V d V V 5, = = d = =,7 ( dm) πh πh πh π, Vstus Hlkisij on 7 cm. r = 7 cm h 5 cm Pois porttu kpple on vino ympyrälieriö, jonk korkeus on 5 cm.

104 Voidn jtell, että tämän vinon lieriön toisest päästä siiretään sopiv kohtisuorn leikttu pl toiseen päähän j sdn vinous tsoitettu. Sdn ikn suor ympyrälieriö, jonk hlkisij on cm eli säde on 7 cm. Korkeus sdn yhtälöstä sin = h = = = 5 h sin Lieriön tilvuus on V = A h = πr h = π 7 5 = 7696,9... (cm ) p Mss on tiheys kert tilvuus: + = = = = = ± = Särmiön tilvuus on 59 V = A h = h = = p r kg 6 m = ρ V = ,9... m = 9,...kg 9 kg m 58 cm s ) Olkoon knnen säde r. Tällöin V = Aph = π r h,8 dl = π r cm Suurimmn särmiön pohj on neliö, jonk lävistäjä on r = =. Pohjneliön särmä sdn yhtälöstä 8 cm 7,8 cm = π r cm r = = cm π cm 7π r 7 7 cm cm,5 cm 7π 7π =± = Knnen hlkisij on d = r =,59... cm = 7,79... cm = 7, cm

105 8 cm Tmmi b) Pperin pint-l on krtion vipn l. 6 A = π rs s = h + r s = ( ± ) h + r v 6, cm 6 = π,59... cm ( cm) + (,59... cm ) = 58, cm 6 cm h cm d 6 cm 6 cm Neliön muotoisen pohjn lävistäjä on d = 6= 6. Pyrmidin korkeus sdn Pythgorn luseell: d 6 h + = h = = 8 h =± 8 9, cm Pyrmidin tilvuus on V = Ap h = 6 8 = 8, cm Vstus korkeus 9, cm j tilvuus cm. 5 6 mm Koko krtion tilvuus on ( V ) = π 6 8 = 6π mm. Krtio j pohjll olev veden täyttämä pikkukrtio yhdenmuotoiset, 6 mm mittkvn k = =, joten vesimäärälle V sdn yhtälö 8 mm π π mm V = k = V = V = = V Tämä vesimäärä st krtion ympyrän muotoisen pohjn lueelle, joten todelliselle sdemäärälle h sdn yhtälö 86 π 86 5 V 5 = π 6 h = π h = =,5 mm 5 π 6 5 Vstus,5 mm 6 Olkoon pllon säde r. Sdn yhtälö 5, cm V = π r = 5, cm r = =, cm π Pint-l on 5, cm A= π r = π = 65, cm 65,9 cm π

106 6 Olkoon Mn säde R j 7. leveyspiirin säde r. Sdn yhtälö km πr = km R = ( 67 km) π Suorkulmisest kolmiost sdn Olkoon pllon säde r. Kotelon sisählkisij on sm kuin pllon hlkisij r. 6 Pllojen tilvuus on Vp = π r = π r. Kotelon tilvuus on V = A h = π r r = 8 π r k p Tilvuuksien suhde on 6 6 V π r p 6 = = = = % 67% = V 8 π r 8 8 k Vstus Pllojen tilvuus on -os kotelon tilvuudest (67 %). 6 r R 7 R r sin = r = Rsin = sin = 77, ( km) R π 7. leveyspiirin pituus on p = π r = π sin km = sin km km π 65 R R R 5 b 5 km korkeudest näkyy plloklotti, jonk mpllon pint pitkin mittun läpimitn pitää oll suurempi, kuin 6 km, jott koko Suomi näkyisi. Kulm α sdn yhtälöstä 67 cos α R = cos 7,55... R 5 α = 6 α = + Kren pituus kilometreinä on α 7,55... b= πr = π 67 = 59, > Vstus Voidn nähdä. 6

107 66 r kpl Merkitään kuution särmän pituutt :ll j siitä vlmistettvien kuulien sädettä r:llä. Tilvuus säilyy, joten sdn yhtälö V kuutio = V pllo = π r r = 6 π V pieni Sdn yhtälö V pieni = V iso, joten =. Viso Olkoon yhdenmuotoisten kppleiden mittkv k j pienoismllin mitt, y j z (kuvss). Tilvuuksien suhde on k, joten sdn yhtälö k = k = =,5,5 Kosk k =, niin =, k =,, 5..., 5 (m)., Smoin y =, k =, 8..., (m) j r = = = (,9) 6π 6π π Kuution pint-l on 6. Kuulien kokonispint-l on 9 π r = 6π ( 7, ) = π π π = Pint-ln ksvu prosenttein on π 6 π π % = π % 8% 6 Vstus 68 z =, k =,66...,66 (m) Pienoismllin leveys on, cm, pituus,5 cm j korkeus 6,6 cm. l 5 cm ½ l d D Litrn mitn pohjn hlkisij D sdn yhtälöstä Viso,,, Vpieni y z V = l V = A h = πr h πr,5 dm = dm r = dm,5π p 7

108 r =± dm joten D = r = dm, 5π,5π Mitt ovt yhdenmuotoisi mittkvn k. Sdn yhtälö = k, joten k = =. d Toislt k =, joten D d = D k = dm =,75... dm 7, cm, 5π 7 r Putken säde r =, j neliön sivu =, p r p r ) Suurin pksuus on r =,, = 8, (mm) Pienin pksuus on r =,,, (mm). b) Putken poikkileikkuksen l on Vippn olevn ympyräsektorin säde r on sm kuin krtion sivujn: r = + 6 = 65 r =± 65 = 6, = 6, (cm) Ympyräsektorin keskuskulm sdn yhtälöstä α p = 6 πr p 6 π 6 6 α = = = = 66, πr π A= πr = π,, = π 576 (mm ) Putken mss on m = ρv = ρah ρ = 7,8 kg m h =,5 m kg 6 = 7,8 π 576 m,5 m m =, 7... kg, kg Vstus α = 66 j r = 6, cm 8

109 7 Olkoon litrn pullon tilvuus V, pint-l A j muovimäärä m. Olkoon litrn pullon tilvuus V, pint-l A j muovimäärä m. Mittkv sdn yhtälöstä V k k k V = = = Kosk muovimäärä m on suorn verrnnollinen pint-ln A, eli m A, sdn m m A ( ) = = k = = 9 =,8...,8 A B r D O r C b r Segmentin ABC korkeus CD on öljyn korkeus. Segmentin pint-l Asegmentti = AsektoriAOB + AkolmioAOB = β π r + r 6 A sin α Lsketn, kuink pljon litrn pulloss on käytetty muovi litr kohti vähemmän kuin litrn pulloss. m m m m % % = % = m m m Vstus 7 = 9 % = %,7% litrn pullon muovimäärä on,8-kertinen. Muovi on,7 % vähemmän litr kohti. Suorn ympyrälieriön tilvuus on V V, r =,8 (m) πh = π, = π r h, joten 9 Kulm α lsketn kolmiost OAD Siis A A,, 8 cosα α 69,98, 8 segmentti segmentti 6 69,98 π, 8 +, 8 sin 69,98 6,7 m Öljyn tilvuus on V = A h,7,,69 (m ) öljy segmentti Völjy,69 l Öljyn hint on Höljy,69,67 mk = 666, mk Yhteishint on H öljy + mk 766, mk > 6 mk Vstus Ostj teki hyvän kupn.

110 7 ) Np-lueet: hn 66,5,5 R R h 66,5 Tulukkokirjst löytyy kv pllovyöhykkeen j klotin pintllle: A = πrh, joss h on korkeus j r on pllon säde. Olkoon Mn säde R. ) Trooppinen lue: R,5 Trooppinen lue koostuu pllovyöhykkeest, jonk korkeuden puoliks h T sdn yhtälöstä ht sin,5 =, jolloin ht = Rsin,5. R ht Trooppisen lueen osuus Mn pint-lst on Np-lueet koostuvt khdest klotist, joiden korkeus on h hn = R h sin 66,5 = eli h = Rsin 66,5 R = R Rsin 66,5 = R ( sin 66,5 ) Np-lueiden osuus Mn pint-lst on A A N M πr hn = = sin 66,5 =, % πr Vstus trooppinen lue %, np-lueet 8 % 7 r s s A πr h h Rsin,5 = = = = sin,5 % A R R T T T M πr s R s

111 s Olkoon kuution särmä s, jolloin krtion pohjympyrän säde on R =. Ison krtion j pikkukrtion pohjympyröiden pint-lojen suhde on Apieni = = k, joten säteiden suhde eli j siten mittkv on A iso r k = = =. R Pikkukrtion korkeus olkoon, jolloin ison krtion korkeus on s+. Sdn = = s+ ( ) = s. s+ ) s + s + Siis = = = s Krtion korkeus on siten h = s+ = s+ + + s = s Krtion tilvuus on s + + Vkrtio = π R h = π s = πs Krtion j kuution tilvuuksien suhde on + V π s krtio + = = π (,6) V s kuutio Vstus + π 75 6 h 5 6 Keskuskulm α : α 5 = π 6 6 Vstus α = = 5, π cos α = eli 6 + h = 6 + h cosα 6 h = 6 = 756, (km) cosα vähintään 8 km K R 6 5 R R E8 b I h

112 Keskuskulm: 5 α = 6 5' ' = 5' = + =,85 6 ) Mtk pitkin isoympyrää 8 itäistä pituutt: α,85 b = π 67 km = π 67 km km 6 6 r () R () R r b) Tunnelin pituus sdn kosiniluseell: = cosα =± 67 cos,85 =,5... km Mtk lyhenee 9,77 km,5 km =,69 km 5 km c) Trvittv korkeus sdn suorkulmisest kolmiost: cosα = 67 + h = 67 + h cosα 67 h = 67 9 ( km) cos,85 Vstus ) km b) 5, km c) 9 km 77 r r Kosk kolmio on tssivuinen, niin sen sisään piirretyn ympyrän keskipiste on pitsi kulmnpuolittjien leikkuspiste, niin myös medinien leikkuspiste j keskinormlien leikkuspiste. Mediniluseen perusteell hvitn, että kolmion korkeus on h = R. Sdn yhtälö ( r) = ( R) + r eli r = 9 R eli r = R Tilvuuksien suhde on 78 V V P K πr πr πr = = = = = πrh πr R π R R 9 C Olkoon pllon säde R. Piirretään poikkileikkuskuv. Päädytään tilnteeseen, joss tssivuisen kolmion (sivu r) sisään on piirretty ympyrä, jonk säde on R. r R h r E R A r O r B

113 Kolmiost ADC sdn: r + h = ( r) eli h = ( r) r = r h =± r R = h = r Puoliympyrän sisältämä kehäkulm on suor, joten kolmiot ADC j DEC ovt yhdenmuotoiset (kk, kulm α yhteinen j molemmiss suor kulm), joten vstinjnojen suhde on vkio. Sdn verrnto DC AC DC r = DC = EC AC EC = = = r EC DC AC r AE r r r Kysytty jkosuhde on = = = =. EC r r Vstus 79 : knnst lukien Pllon tilvuus on π r. Lsketn, kuink mont prosentti krtion tilvuus on pllon tilvuudest. π r Vkrtio 8 = % = % = 8,5% 8% V pllo π r 8 Vstus 8 Krtio on 8 % pllon tilvuudest. ) On lskettv vruuslävistäjä suorkulmiselle särmiölle, jonk mitt ovt 8 cm, cm j cm = 7 cm : d = =,99... ( cm) b) Piirretään ltikko tsoon siten, että ulko- j sisäpuolet ovt näkyvissä (ikään kuin ltikon reunt olisivt kksinkertiset). r r ½r h=,5r Krtion pohjympyrän säde sdn yhtälöstä > + r = r eli = r = r Krtion tilvuus on Ap h = π r = π r r = π r r = πr 8 Muurhisen lyhin mtk knnen reiälle on joko LR ti LR :

114 LR = cm + 8 cm + cm = cm lyhin LR = cm + 8 cm + cm = 5 cm Lyhin reitti knnen reiältä ulkopuoliseen lnurkkn on joko RT ti RT. R T = = 6 R T = 6 = 6, l R S = = R S = =,65... Lyhimmän reitin pituus on LR+ RS = cm +,65... cm 7 cm Vstus ) cm b) 7 cm 8 A E D G C F Tetredrin sisään jäävä os on tssivuinen kolmio, joten se on yhdenmuotoinen tetredrin thko ABC knss (myös tssivuinen kolmio). Mittkv sdn yhdenmuotoisist tetredreist ABCD j ED EFGD: k = =. Määritetään thkon ABC l: AD B Korkeus: h = h + = h + h =, h =± = = > Pint-l: AABC = h = = Tsost tetredrin sisään jäävän os l A EFG : AEFG = k, joten AEFG k A = ABC = = A 6 8 D ABC C A H F I B.

115 ) Olkoon kuution särmä s. Kosk khden vierekkäisen pyrmidin huiput j vstvien thkojen leikkussärmät ovt smss tsoss, syntyy seurvnlinen leikkuskuvio, kun monithoks leiktn tsoll, jok kulkee kuution keskipisteen j pyrmidin khden huipun kutt. D E s C G F s B B H s F HI on kuution särmä s I -kohdn kuv pun käyttäen sdn CF tskylkisestä suorkulmisest kolmiost EFC. C C CF = s + s A Symmetrin perusteell pisteet A, B, C j D ovt pyrmidin huippuj. G on kuution keskipiste. Kolmioiss GBC j EFC CGB = CEF = 9 C yhteinen joten ΔGBC ΔEFC ( kk). Kolmio GBC on tskylkinen, joten myös kolmio EFC on tskylkinen. Siten pyrmidin korkeus on EC = EF = s. Pyrmidin korkeuden j kuution särmän suhde on s:s = :. b) Monithokkn thkojen sivut ovt yhtä pitkät, joten thkot ovt neljäkkäitä. Siten thkojen lävistäjät ovt kohtisuorss toisin vstn j puolittvt toisens. s E s F Siten neljäkkään sivu HC sdn yhtälöstä C s CF CF = + ( ) s HC = s + s HC = s = s HC = + ( ) s H s F Tskylkisestä kolmiost HIC sdn 5

116 s b C H s F s s I s cosα = = s α = 5, Tetredrin särmä Pohjn keskipiste F Tetredrin keskipiste E Sidoskulm α D Toinen kysytyistä thkon kulmist on siten α = 9, Toinen kysytyistä kulmist on β = 8 α = 7, c) Pyrmidin tilvuus on Vpyrmidi = Ah = s s = s Rombidodekedrin tilvuus on siten Vrombi = Vkuutio + 6 Vpyrmidi = s + 6 s = 6s Rombidodekedrin j kuution tilvuuksien suhde on V V rombi kuutio 6s = = 8s Vstus ) : b) 9 j 7 c) : C E B G F A Pohjkolmio ABC on tssivuinen, joten sen korkeusjn j medini yhtyvät. Määritetään kolmion ABC korkeus CG. CG + = CG = = CG = ± = Piste F jk jnn CG suhteess : kärjestä lukien. Sdn CF = CG = = Tetredrin korkeus h sdn kolmiost FCD. 6

117 h F D Keskipisteen E etäisyys kärjestä sdn kolmiost FCE. E h- F D C 6 h = = = 9 9 h =± = C 6 6 h + = h h+ + = 6 + h + h = + h = = h 6 + = = 6 6 Sidoskulm α sdn yhtälöstä α 6 α sin = = = 5,75... α 9, 7 6 Vstus Sidoskulm on 9,7 8 E G D C H F A B Olkoon pyrmidin pohjsärmä. Sivuthkon korkeusjn h sdn kolmiost HFE. cos = eli h = h cos Sivusärmä s sdn Pythgorn luseell kolmiost FCE. 7

118 s = + h = + = + cos cos s =± + cos E G B F C Kolmioiss FCE j GCB on EFC = BGC ( = 9 ) j C yhteinen joten ΔFCE ΔGCB ( kk). Kosk yhdenmuotoisten kolmioiden vstinsivut ovt verrnnolliset, sdn tskylkisen kolmion DBG kylki BG = verrnnost BG BC = eli = EF EC h s h cos cos > = = = = s + cos + cos cos cos + = + cosα 8 = cosα 8 = ( cosα) = cosα cosα = ( cosα = cosα = cos + ) cos + cosα = cos =, α 5,9 Vstus Kulm on 5,9 Kulm α voidn lske esimerkiksi kosiniluseell: 8

119 Luku ) Jnn AB pituus on AB = ( ) + [ 9 ( 5) ] = =, b) Jnn AB keskipisteen koordintit ovt c) = = j y = = Keskipiste on siis (, ). b) Kun = j y =, niin yhtälön y = 5+ 6y vsen puoli on = 8 7 = 9 j oike puoli on 5 ( ) + 6 = 5+ 8 = Siis piste (, ) ei ole käyrällä. Lsketn suorien leikkuspiste. y 6= ( ) 6+ y+ = + 5 y 6 5 y+ 6= + = + 8 = = y 6= y = = 6 Leikkuspiste on siis ( 8,6 ). Lsketn pisteen etäisyys origost. Piste B on jnn AC keskipiste, joten sdn yhtälöpri + = + = = eli eli 5 + y 5 + y = 8 y = 9 = Piste C on siis (, ) ) Kun = j y =, niin yhtälön y = 5+ 6y vsen puoli on ( ) = = j oike puoli on ( ) = 5 =, on käyrällä. Siis piste 9 ( 8 ) + ( 6 ) = 6 = 8 Leikkuspisteiden lskemiseksi sdn yhtälöpri () y = + y = Sijoitetn yhtälöön (). = + + = 5 5± ( 5) = = ti =

120 Kun =, niin y = =. Kun =, niin y = =. Leikkuspisteet ovt siis, j (, ). 6 Piste on käyrällä, jos sen koordintit toteuttvt käyrän yhtälön. Sdn yhtälö = + = 5 9 ± 9 5 ( ) = = ti = Suorn kulmkerroin on y ( ) 6 k = = = = 5 6 Suuntkulmn α lskemiseksi sdn yhtälö Täydennetään kuvio suorkulmiseksi kolmioksi ABC. CD = = ( ) = AD = y = ( ) = 5 BK = y = = BC = = = Kolmion l on 5 5 AABC = AADC ( ABDC + AADB ) = + = tnα = tn ( 5 ) = α = 5 Vstus Kulmkerroin on - j suuntkulm on 5. 8 ) Suorn kulmkerroin on y 6 k = = = 7 j yhtälö on ( 7 8 ) y = y = y =

121 b) Jnn AB pituus on Suorien kuvjt: AB = ( ) + ( 6) = 5 = 5 7, c) Jnn AB keskipisteen koordintit ovt ( ) = = j y = = ) -kselin suuntisen suorn kulmkerroin on noll, joten suorn yhtälö on y = ( ) y = b) y-kselin suuntisell suorll ei ole kulmkerroint, joten suorn yhtälö on =. c) Suorn kulmkerroin on k = tn ( 5 ) = Suorn yhtälö on y = + y = y = + d) Suorn + y = eli y = kulmkerroin on. Kohtisuorien suorien kulmkertoimien tulo on, joten suorn kulmkerroin sdn yhtälöstä k ( ) = k = Suorn yhtälö on y = ( ) y = + ( y+ = ) Tp ) Suorn yhtälön rtkistust muodost suuntvektori s = i + k j = i + j b) Eräs suorn normlivektori on Tp y = (, ) y = 5 + y = n = i j, kosk s n = + ( ) = Esitetään suorn yhtälö yleisessä muodoss. 7 y = + 8 y+ = y + = y (, ) + y = 7 y = + sdn eräs

122 ) Tällöin eräs suorn suuntvektori on s = i 8 j s = bi j b) Eräs suorn normlivektori on n = 8i j n = i + bj i j i j Vstus ) i + j ( i 8 j) b) ( 8 ) ) Lsketn kolmion kärkipisteet eli suorien leikkuspisteet. Piste A: y = y = = = y = = Siis A = (,). Piste B: + y = y A B y = y = C Piste C: y = + y = = = 6 6+ y = y = Siis piste C = ( 6, ). b) Kolmion sivujen pituudet ovt AB = ( ) + ( ) = 5 (,) AC = ( 6 ) + ( ) = 5 = 5 ( 6,7) BC = ( 6 ) + ( ) = 5 = 5 ( 7,) Vstus ) Kärkipisteiden koordintit ovt (, ),(, ) j ( 6, ). b) Sivujen pituudet ovt 5, 5 j 5. + y = y y = y = + y = + = = y = = y = Siis piste B = (, ).

123 ) Suorn yhtälö on y ( ) = y = y = b) Kulmkerroin k on k = tn = Suorn yhtälö on Suor leikk -kselin pisteessä, jonk y-koordintti on. Sdn yhtälö = + = = Piste on siis,. Määritetään suorn yhtälö y = y = y = ( ) 5 c) Suor on suorn + y 5= eli suorn y = + suuntinen, joten niillä on sm kulmkerroin. Suorn kulmkerroin on siis j yhtälö on y = y = + ( + y + = ) 5 Suor L on suorn + y = 5 eli suorn y = + suuntinen, joten niillä on sm kulmkerroin. Suorn L kulmkerroin on siis j yhtälö on y = ( ) y = y = y = y = + Lsketn suorn j y-kselin leikkuspiste. = : y = + = Siis suor leikk -kselin pisteessä 5,. Suorn y = kulmkerroin on, joten sitä vstn kohtisuorn suorn kulmkerroin on. Suorn yhtälö on y = y = + + y 5= Suor leikk -kselin, kun y =, joten sdn yhtälö

124 = + = 5 OB AD = = 5 = 5 = y = = Kolmion l on A OBA 5 = = 5. 5 = + + = j kolmion l on 5. Vstus Suor on y ( y 5 ) 6 Lsketn suorn + 5y+ c = j koordinttikselien leikkuspisteet. c = : + 5y+ c = y = 5 c Suor leikk y-kselin pisteessä, 5. y = : c = = c Suor leikk -kselin pisteessä,. Vkion c merkin perusteell sdn kksi tpust, sillä rvoll c = ei muodostu kolmiot. c Kummsskin tpuksess syntyy suorkulminen kolmio OAB, jonk c c kteetit ovt OA = j OB =. 5 OA OB Kolmion pint-l on. Kosk kolmion l on 5, sdn yhtälö c c 5 = 5 c Jos b, niin = = b = b ti = b. > c c = ti = c = ti c = < c =± ei rtkisu Vstus Kolmion l on 5, kun c = ti c =.

125 7 Tp Piste C = (, y) on suorll = suorn yhtälön. Siis C (, y) (, y ), joten sen koordintit toteuttvt = =. Kulm ACB on suor, joten pisteiden A j C sekä B j C kutt kulkevt suort l j l ovt kohtisuorss toisin vstn. Määritetään suorien kulmkertoimet. y y y + l: k = = = y y y y 5 : k = = = = l Kosk l l, on k k =. Sdn yhtälö y + y = y yo + y = ± 6 y + y + 6= y = y = ti y = ( ) Piste C on siis (, ) ti (,). o 5 Puoliympyrän sisältämä kehäkulm on suor, joten pisteet ovt suorn = j jn AB hlkisijn piirretyn ympyrän leikkuspisteet. K =, y koordintit ovt Ympyrän keskipisteen 5 = + = j y = + = j säde on r = AB = ( 5 ) + [ ( ) ] = 5 Ympyrän yhtälö on 5 + y = Ympyrän j suorn = leikkuspisteet sdn yhtälöprist = 5 ( ) + y = 5 ( ) + y = y y 6=

126 ± ( ) ( 6) y = y = ti y = Piste C on siis (, ) ti (, ). Vstus Pisteet (, ) j (, ). 8 Määritetään suorien kulmkertoimet j vkiotermit muuntmll suorien yhtälöt rtkistuun muotoon. s : + y + = y = ) Jos, suorn yhtälö voidn jk luvull. y = :, y =, joten k j b = = Tpus = on tutkittv erikseen s : + y+ = y =, joten k = j b = ) Suort ovt kohtisuorss toisin vstn, kun ( ) = = b) Suort ovt yhdensuuntiset, mutt eivät yhdy, kun k = k j b b (in tosi) = ( ) = = = ) Jos =, niin lkuperäisten suorien yhtälöt ovt s : = eli y kseli s : y+ = eli y = Suor s on pystysuor j suor on vksuor, joten suort ovt kohtisuorss toisin vstn, kun =. Kohtien ) j ) perusteell suort ovt kohtisuorss toisin vstn, kun = ti = j ne ovt yhdensuuntiset, mutt eivät yhdy, kun =. Vstus ) = ti = b) = 9 6

127 Tp Korkeus h on pisteen A etäisyys knnst eli pisteiden B j C kutt kulkevst suorst. Suorn kulmkerroin on y ( ) k = = = 5 Suorn yhtälö on y ( ) = ( ) y = Pisteen (, ) etäisyys suorst y = on h = = = =, + ( ) ) Korkeusjnn pituus on siis,. Tp Knt j korkeusjn ovt kohtisuorss toisin vstn, joten pisteiden B j C kutt kulkev suor l on kohtisuorss pisteiden A j K kutt kulkev suor l vstn. kulmkerroin k =. Suorn l yhtälö on y ( ) = ( ) y = Suorn l yhtälö on y = ( ) + y 7= Suorien l j l leikkuspiste K sdn yhtälöprist y = 9 y = + y 7 + = + y 7= = = y = y = Piste on siis K = (,). Korkeusjnn pituus on AK = ( ) + ( ) =, Suorn yhtälö on y = [ ( ) ] y+ = Piste on -kselill, joten merkitään sitä (, ). Sdn yhtälö Suorn l kulmkerroin on k y ( ) = = =, joten suorn l 5 7

128 + + = = ( ) + = 6 = b = b ti = b + = 6 ti + = 6 = ti = 9 Piste on siis ( 9, ) ti (,). l l : k : k y = = = ( ) 5 Suuntkulm α sdn yhtälöstä tn α =, joten α = 9, y = = = ( ) 5 Vstus Pisteet ( 9, ) j (,) Tp Lsketn kolmion kulmt kolmion sivuj pitkin kulkevien suorien vull. Suorien suuntkulmt sdn yhtälöstä tnα = k, joten selvitetään ensin suorien kulmkertoimet. Suuntkulm α sdn yhtälöstä tn α =, joten α = 5, Suorien l j l välinen kulm on l, l = α + α = 9 5,79... = 7, , Suorien l j l välinen kulm on l, l = α α = 9 9, = 6, ,5 Suorien l j l välinen kulm on l, l = α α = 9, , , Kolmion kulmt ovt siis 7, ;6,5 j 5,. l : Suorll ei ole kulmkerroint, sillä suor on pystysuor suor =. Suuntkulm on α = 9. Huomutus: Vin suorien l j l välinen kulm olisi voitu lske yhtälöstä tnα k k kk =, sillä suorll l ei ole kulmkerroint. 8

129 Tp d = d + y = + y + y = 5 y + y = 5 y = b = b ti = b Lsketn kolmion kulmt geometrisesti. DC = = 5 DA = y = DB = y = γ ( α β) = 8 + = 5, , Kolmion kulmt ovt siis 7, ;6,5 j 5,. y Suorn + = yhtälö yleisessä muodoss on + y =. Tp Kulmnpuolittjn mielivltinen piste (, ) y on yhtä etäällä kulmn kyljistä + y = j y =. Sdn yhtälö d = d + y = + y + y = 5 y + y = 5y Kolmiost ADC sdn DC 5 tn α = =, joten α = 7, , DA Kolmiost DBC sdn DC 5 tn β = =, joten β = 6, ,5 DB Kolmiost ABC sdn + y = 5 y ti + y = 5y y = ti + 8y = y = 6 ti y = + Siis kulmnpuolittjsuort ovt y = 6 j y = +. Suorn + y = j -kselin välisen terävän kulmn puolittj 9

130 on lskev suor, joten kysytty suor on + y =. Tp y = + eli Suor + y = rjoitt positiivisten koordinttikselien knss suorkulmisen kolmion, jonk kteetit ovt j. Hypotenuus = + = 5. Kolmion kulmn puolittj jk vstisen sivun viereisten sivujen suhteess, joten sdn yhtälö Muunnetn ympyrän yhtälö keskipistemuotoon neliöksi täydentämällä. y + 7= + + y 7= ( ) ( y ) + = 7+ + y = 8 y = y 5 5y = y 8y = y = Kulmnpuolittjsuor leikk siis y-kselin pisteessä y Suorn kulmkerroin on k = = =. Suorn yhtälö on y = + eli + y =.,. Ympyrän keskipiste on (, ) j säde on 8 =. Ympyrän yhtälö keskipistemuodoss on [ ( ) ] + ( y 5) = r ( 5) + + y = r + y + y+ 9= r Piste (, 7) sijitsee ympyrällä, joten se toteutt ympyrän yhtälön. Sdn yhtälö + ( 7) + ( 7) + 9 = r r = 69 Ympyrän yhtälö on siis y y y y = = Vstus y y ( ) ( y ) + + = =

131 5 Ympyrän yhtälön yleinen muoto on + y + + by + c =. Kunkin pisteen koordintit toteuttvt ympyrän yhtälön. Sdn yhtälöryhmä Piste ( 6,6 ): b+ c = Piste (, ): b c + + = Piste ( 5, ): b+ c = () 6+ 6b+ c = 7 b c 8 ( ) + = 5 b + c = 6 6 6b c = 7 + b c = b+ c = 8 5 b+ c = 6 8b = 6 ( 5) + b = 8 ( ) b= 6 ( ) b= 6 b= 6 ( 5) + + b = 8 6+ b= 6 5 = = Sijoitetn = yhtälöön (). () b= 6 b= 6 Sijoitetn = j b= 6 yhtälöön (). () ( 6) + c = 7 c = Ympyrän yhtälö on 6 y y = y 6y+ = ( ) ( y ) + + = 5 Lsketn ympyrän keskipiste j säde. Keskipisteen koordintit ovt = = j y = = 5 Hlkisijn pituus on AB = ( ) + ( 9) = 8 = 5, joten säde on 5. Ympyrän yhtälö on siis [ ( ) ] + ( y 5) = ( 5) ( ) ( y ) = y y = y y = Ympyrän yhtälö on yksikäsitteinen, joten on oltv =, b= j c= 6.

132 7 Muunnetn ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. y y y y + + = = 5 + y = 8 Siis keskipiste on, j säde on r =. Keskipiste K = (, y) on suorll y+ =, joten sen koordintit toteuttvt suorn yhtälön. Siis K (, ) Tp = +. Pisteen ( 6, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä 5 ( 6 ) d = + + = 6+ = > r Siis pisteen ( 6, ) etäisyys ympyrän kehästä on 5 = d r = =, on Säde on kohtisuorss ympyrän tngentti y = eli y = vstn, joten keskipisteen j pisteen L = ( 6,) kutt kulkevn suorn n kulmkerroin on k n =. y + Toislt kn = = =, joten sdn yhtälö 6 6 = = + 6 = 6 Keskipiste on siis K (,). Säde on r = KL = ( 6 ) + ( ) = = 5,5 Vstus Keskipiste on,, säde on j etäisyys on.

133 Tp Ympyrän yhtälö on ( ) K (, ) y + y y = r. Säde on keskipisteen = + etäisyys suorst =, joten + r = = + ( ) 5 Ympyrän yhtälö on siis Piste on siis ympyrän kehällä j tngenttej on yksi. + + = 5 ( ) y ( ) Piste L = ( 6,) on ympyrällä, joten se toteutt ympyrän yhtälön. ( 6 ) ( ) + = = = = 5 6 = 6= = Keskipiste on siis (, ) j säde on 9 r = KL = ( 6 ) + ( ) = = 5,5 Ympyrän keskipiste on (, ) j säde 5. Tutkitn, onko piste P = (,) ympyrän kehällä eli toteuttko se ympyrän yhtälön. Kun = j y =, niin yhtälön vsen puoli on ( ) + ( + ) = 5 j oike puoli on 5 Tp Lsketn ympyrän keskipisteen O = (, ) j pisteen P = (,) kutt kulkevn suorn kulmkerroin. k OP y = = = ( ) Kosk tngentti on kohtisuorss sädettä vstn, tngentin kulmkerroin on k T =. Tngentin yhtälö on Tp y = [ ( ) ] y = + 7 Pisteen (,) kutt kulkevn tngentin yhtälö on y = k[ ( ) ] k y+ k + = Ympyrän keskipiste on (, ) j säde on 5. Keskipisteen etäisyys tngentist k y + k + = on siis 5. Sdn yhtälö

134 k ( ) + k + k + = 5 = 5 k + ( ) k + + = + = = k 5 k Jos j b, niin b b. k + = 5 k = + + = 6k k 9 5k 5 9k k 6 ( k ) = k = k = Tngentin yhtälö on siis y+ + = y+ 7 = Ympyrän keskipiste on (, 5) j säde 5. Pisteen ( 8, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä on d = [ 8 ( ) ] + [ ( 5) ] = 5 > 5, joten piste ( 8, ) on ympyrän ulkopuolell. Tngenttej on siis kksi. Olkoon tngentin kulmkerroin k. Tngentin yhtälö on [ ] y = k 8 k y+ 8k = Ympyrän keskipiste (, 5) on säteen etäisyydellä tngentist, joten sdn yhtälö k ( ) ( 5) + 8k 7k + = 5 = 5 k + ( ) k + + = + = = 7k 5 k Jos j b, niin b b. ( ) 7k + = 5 k + 9k + k + = 5k = + = k k k 7k 7± 7 ( ) k = k = ti k =

135 Tngentin yhtälöt: Kun k =, niin tngentti on y+ 8 = y+ 8= y = + Kun k =, niin tngentti on y+ 8 = + y+ = y = ( ) = = = 6 = 6 ± ( 6) ( ) = = 7 ti = Muunnetn ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. Suor + y+ = sivu ympyrää + y + + 6y =, jos niillä on täsmälleen yksi yhteinen piste. Lsketn suorn j ympyrän yhteiset pisteet. () + y+ = + y + + 6y = Rtkistn y yhtälöstä () j sijoitetn stu rvo yhtälöön (). + y+ = y = ( + ) 6 ( ) = ( ) = ( 6 8) + 9 = y y = y + 6y+ + = ( ) ( y ) = Ympyrän keskipiste on ( 5, ) j säde on. Pisteen (, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä on d = ( 5 ) + ( ) = >, joten origo on ympyrän ulkopuolell. Tngenttej on siis kksi. Toisen steen yhtälöllä on yksi rtkisu, kun diskriminntti D =. Sdn yhtälö 5

136 Olkoon tngentin kulmkerroin k. Tngentin yhtälö on y = k ( ) y = k k y = Ympyrän keskipiste ( 5, ) on säteen etäisyydellä tngentist, joten sdn yhtälö k 5 ( ) 5k + = = k + ( ) k + Muunnetn yhtälö keskipistemuotoon neliöksi täydentämällä. y y = + + ( ) ( ) + y 6y+ ( ) ( ) = + + y = 9 + = + = = 5k k Jos j b, niin b b. ( ) 5k + = k + 5k + k + 9 = k + ± 5 ± k + k + 5 = k = = k = ti k = k k Tngenttien välinen kulm α sdn yhtälöstä tnα = : + kk tnα = = tnα = = 56 α =,96..., Huomutus: Kulmn olisi voinut määrittää myös trigonometrisesti α α sin = =,59... α, 6 Yhtälö esittää ympyrää, jos 9 >. Nollkohdt: 9 = = ± ( ) ( ) = = ti = Siis yhtälö esittää ympyrää, kun < ti >. Ympyrän keskipiste on (, ), joten sdn yhtälöpri = = y = y = y = = = Ympyrän keskipiste sijitsee siis suorll y =.

137 Kun <, sdn > eli > Kun >, sdn < eli < Kun =, on y = = Kun =, on y = ( ) = Ympyrän keskipisteiden joukko on siis suor y =, mistä on poistettu jn pisteestä (,) pisteeseen,. Vstus < ti > Ympyröiden keskipisteet piirtävät suorn y =, jost on poistettu jn pisteestä (,) pisteeseen,. Muunnetn ympyräprven yhtälö keskipistemuotoon. + y y = y y+ = 5 ( + y = 5 + ) Prven mielivltisen ympyrän keskipiste on siis (, ) j säde 5, ( ). Jos =, niin yhtälön kuvj on piste (, ). On vielä osoitettv, että piste (, ) on yhteinen kikille prven ympyröille. Kun = j y = ympyräprven yhtälön vsen puoli on + = 5 j oike puoli on 5 Ympyräprven ympyröiden keskipisteet (, ) ovt suorll y =, joten piste (, ) on ympyröiden ino yhteinen piste. Ympyräprven ympyrät siis sivuvt toisin pisteessä (, ). y y = (, ) = = = + y = 5 7

138 5 = = ) Prbeli y = + 5 uke ylöspäin, joten sen kseli on pystysuor. Huipun koordintit ovt Huippu on siis (, ) j kseli on =. b) Prbeli = 6y y uke vsemmlle, joten sen kseli on vksuor. Huipun koordintit ovt 6 y y ( ) = = = + = 5 6 = = ( ) = = 6 9 Huippu on siis ( 9, ) j kseli on y =. Prbelin yhtälö on siis y =. b) Prbelin yhtälö huippumuodoss on 7 = y = y Piste (, ) on prbelill, joten sdn yhtälö = ( ) = Prbelin yhtälö on siis = y. Prbelin yhtälö huippumuodoss on y ( ) = [ ( ) ] y+ = ( + ) Piste ( 6,6 ) on prbelill, joten sdn yhtälö 6 + = ( 6 + ) 7 = 8 = Prbelin yhtälö on ( ) y+ = + y+ = y = + + ) Prbelin yhtälö huippumuodoss on y = y = Piste (, ) on prbelill, joten sdn yhtälö 8

139 8 9 Prbelin yhtälö perusmuodoss on y by c = + +,. Pisteet (, ),(,6 ) j ( 5,9) toteuttvt prbelin yhtälön, joten sdn yhtälöryhmä () = 6+ b+ c ( ) = 6+ 6b+ c ( ) () 5= 8+ 9b+ c = 6 b c = 6 6b c + + = 6+ 6b+ c 5= 8+ 9b+ c = + b 9= 5+ b () = + b ( 5) = 5+ b ( ) = + b = + b ( 5) + = 5 + b ( ) = 5 b 5= 5 = Sijoitetn = yhtälöön (). () = ( ) + b b= Sijoitetn = j b= yhtälöön (). () = 6 ( ) + + c c = Prbelin yhtälö on y y = +. Prbelien y = 5 j y = leikkuspisteet sdn rtkisemll yhtälöpri Kun Kun = 5 y = y 5 6 = = ± ( ) 6 ( ) = = ti = 6 =,niin =,niin Leikkuspisteet: + y = y = + 8 y = =.Leikkuspiste on 9 y = =.Leikkuspiste on ( ) + + = = ( ) ( ) + ( ) = ryhmittely ( )( + ) = yhteinen tekijä, 8, 9 9

140 ( )( + ) = tulon nollsääntö = ti = ti Kun =, niin Kun =, niin Kun = +, niin + = ( ) = ± ± = = = ± y = + =. Leikkuspiste on (, ). y = + =. Leikkuspiste on (, ). y = ( 7+ ) + ( + ) = =. Leikkuspiste on ( +,). ± ( ) = = ti = ( ) Kun =, niin y = =. Leikkuspiste on A =,. Kun =, niin y = = 8. Leikkuspiste on B = (,8). Kun =, niin y = ( 7 ) + ( ) = =. Leikkuspiste on (,). Leikkuspisteet: y+ = y = + = + + = Suorn l kulmkerroin k = = 8 Suorn l kulmkerroin k = = Kosk kk = on l l. Siis jn AB näkyy origost 9 kulmss. Tngentti on y = k. Ylöspäin ukevn prbelin y = 6 kseli on pystysuor. Suor y = k ei ole pystysuor, kosk sillä on kulmkerroin. Se on prbelin tngentti täsmälleen silloin, kun sillä

141 j prbelill on vin yksi yhteinen piste. Leikkuspiste: y = k y = 6 k = 6 ( 6+ k ) = Kun y =, niin =. Leikkuspiste on (, ). Pisteet toteuttvt prbelin yhtälön, joten sdn yhtälöpri = + b + c c = c = = ( ) b+ c b= 6+ c b= Toisen steen yhtälöllä on yksi rtkisu, kun diskriminntti D =. Sdn yhtälö ( 6+ k) = ( 6+ k) = k = 6 Tngentin yhtälö on siis y = 6 eli 6+ y =. Vstus b= j c =. Merkitään kysyttyä pistettä kirjimell C. Pisteet C (, y) prbelill y =, joten ne ovt muoto c = ( ), o = ovt Sdn yhtälö Suorn j ympyrän leikkuspisteet: y = = y + y + y = + y + y = y y y y y y y + + = + = + = y = ti y = = = + 5 = 5 ti = 5 + 9= = Kun y =, niin =. Leikkuspiste on (,).

142 ± ( ) 9 ± ( ) ( ) = ti = 8 8 ei rtkisu Kun =, niin Kun =, niin = ti = y = =. Piste C = (,). y = =. Piste C =, 6 6. Vstus Pisteet ovt, j (,). 6 5 y = y = + = + + = ± 9 ± = = = ti = Kun =, niin y = = =. 8 8 Piste B on siis B =, 8. Jnn AB pituus on ) AB = + + = + = Säteen kutt kulkevn suorn kulmkerroin k AB =. Tngentin yhtälö on y = ( ) y = + Leikkuspiste B: k OA = =, joten 8 9 = 5 = 5, Suor on prbelin tngentti täsmälleen silloin, kun suorll j prbelill on vin yksi yhteinen piste j suor ei ole prbelin kselin suuntinen. Tp Prbelin kseli on vksuor. Suor y = 6 on lskev, joten se ei ole prbelin kselin suuntinen. Leikkuspiste: y = 6 y = 6 y y = =

143 Sijoittmll sdn 7 y y = 6 y + y+ = y + y+ = ( y ) + = y = Vin yksi leikkuspiste, joten suor y = 6 on prbelin y = tngentti. Tp Prbelin kseli on vksuor. Suor se ei ole prbelin kselin suuntinen. Leikkuspiste: y = 6 on lskev, joten Ylöspäin ukevn prbelin y = kseli on pystysuor. Suor y = k ei ole pystysuor, kosk sillä on kulmkerroin. Se on prbelin tngentti täsmälleen silloin, kun sillä j prbelill on vin yksi yhteinen piste. Leikkuspiste sdn yhtälöprist y = k y = k = + ( k ) + = Toisen steen yhtälöllä on yksi rtkisu, kun diskriminntti D =. Sdn yhtälö ( k) = k + k + = k( k + ) = k = ti k = Grfinen trkistus: y = 6 = + = y = D = ( 6) 6 = Täsmälleen yksi relirtkisu, sillä D =. Siis suor on prbelin tngentti. Vstus k = ti k =.

144 8 9 Piirretään mllikuv, joss yksikkönä on metri. Funktion t kuvj on lspäin ukev prbeli, joten lämpötiln korkein rvo sdn prbelin huipuss.,6 t = = 5,5( h) (,) Pienin rvo on joko kohdss t = ti t =. =, +,6 +,=, ( C) (pienin) ( ) =, +,6 +, = 7, ( C) Alspäin ukevn prbelin yhtälö nollkohtmuodoss on ( y = +, < y = 9) Prbelin piste on (,7 ), joten sdn yhtälö 7= ( 9) = 9 Prbelin yhtälö on 7 y 7 9 = + 7. Lsketn ukon korkeus, kun = 7 8 h = + = < Tvrjun ei siis mhdu käyttämään tunneli, sillä pelkkä konttikn ei mhdu siitä. Lämpötil on korkeimmilln, kun t = 5,5h eli kun kello on 5:5. Lämpötil on mtlimmilln, kun t = h eli kun kello on :. 5 Prbelin pisteessä ( y, ) (, ) = + koordinttien summ on f = +. Funktion f ( ) kuvj on ylöspäin ukev prbeli, joten pienin rvo sdn huipuss. = = = y = + = = Piste on siis,.

145 5 Lsketn suorn ( + ) + ( ) y = j koordinttikselien leikkuspisteet. = : ( + ) + ( ) y = y = y = : ( + ) + ( ) = = + Leikkuspisteet ovt, j,, < < + Kolmion pint-l on 6 = = 5 f = = Pienin l on Vstus 5 A = =. 5 5 =. Pienin l on 5. A = OA OB = < < + = = ( + )( ) + 6+ ) Suorn kuolmkerroin on y k = = = j suorn yhtälö on y = ( ) y = + ( y+ 5= ) Al on mhdollisimmn pieni, kun nimittäjä f ( ) = + 6+ on mhdollisimmn suuri. Funktion kuvj on lspäin ukev prbeli, joten suurin rvo sdn huipuss. b) Piste (, ) on suorll, jos se toteutt suorn yhtälön. Kun = j y =, niin yhtälön vsen puoli on j oike puoli on + =, joten piste ei ole suorll. y = + 5

146 5 5 ) Suorn kulmkerroin on y k = = = = 7 ( ) 9 Suorn yhtälö on y ( ) = ( 7) y+ = y 5= y = + 8 b) Lsketn suorn j koordinttikselien leikkuspisteet. = : + y 5= y = 8 Suor leikk y-kselin pisteessä, 8. y = : + 5= = 6 Suor leikk -kselin pisteessä 6,. Sivujen pituudet ovt y = 8 = 8 = 6 = 6 6 Suuntvektori on s = 5i + j, joten b= 5 b= 5 = = Suorn yhtälö on + 5y+ c =. Suor kulkee pisteen (, 5), joten sdn yhtälö c = c = Suorn yhtälö on siis y = 5y+ = y = Lsketn suorien kulmkertoimet. k k k 5 = = 5 = = 6 = = 5 Suort ovt kohtisuorss, jos kulmkertoimien tulo on ti toinen suor on pystysuor j toinen vksuor. Suort ovt vinoj j minkään kulmkerroinprin tuloksi ei tule,

147 joten kolmio ei ole suorkulminen. Huomutus: Rtkisun olisi myös voinut tehdä k k lskemll suorien väliset kulmt kvll tnα = + kk lskemll sivujen pituudet j käyttämällä Pythgorn lusett selvittämällä kolmion sivuin olevt vektiorit j tutkimll niiden pistetulo. Vstus 56 Ei ole. Muunnetn ympyrän yhtälö keskipistemuotoon neliöksi täydentämällä. y y = y y = + 9+ ( ) + ( y+ ) = Siis BAC = α = 6 =. Huomutus k k Kulmn olisi voinut lske myös kvll tnα =. + kk Tällöin olisi pitänyt ensin selvittää pisteet B j C sekä säteiden AB j AC kutt kulkevien suorien kulmkertoimet. 57 b Prbelin huipun -koordintti on =, joten sdn yhtälö b = b= Sijoitetn prbelin yhtälöön huipun koordintit, jolloin sdn = = = b= = = 9 Ympyrän keskipiste on siis A = (, ) j säde. Vstus = j b= 9 Sdn cos α = = eli α = 6. Prbelin j suorn leikkuspisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. = y = + y = + = 7

148 ± ( ) ( ) ± = = = + ti = Kun = +, niin y = + + = +. Leikkuspiste on A = ( +, + ). Kun =, niin y = + = Leikkuspiste on B = (, ). Leikkuspisteiden välinen etäisyys on AB = ( ) ( + ) + ( ) ( + ) = + = = ( ) ( ) 6,9 b= 9,9 9, 9, 9,9668 9,,659 b) Jos lämpömittri näyttää oikein lämpötilss, sdn yhtälö =,9668+,659,87 =,659 = 8,7... 8, Vstus ) y =,96+,65 b) 8, C 6 Vstus Leikkuspisteet ovt ( +, + ) j (, ). Näiden välinen etäisyys on 6,9. 59 ) Oiken lämpötiln y j mittun lämpötiln välinen yhteys on linerinen eli muoto y = + b. Sijoittmll nnetut pisteet sdn yhtälöpri. 9, = 9,+ b ( ) 9, = 9, b + 8, = 8,5 + b 8, = 8,5 + b 8, = 7, 7, =,9668 8, 8 5 Suorn 5 y+ 6 = eli y = + 8 kulmkerroin on 5, joten normlin kulmkerroin on. Normlin yhtälö on 5 y ( ) = ( 8) + 5y = 5 Suorien leikkuspiste B:

149 Piste A: + 5y = 5 + 5y 55 = + 5 y+ 6 = ( ) + y = + 5 = = Piste B = (, ). = : + 5y = y = 5 Piste A =, 5 Piste C: 6 y = : 5 + 6= = 5 6 Piste C =, 5 9 y 87 = Jnojen pituudet ovt 6 6 BD =, CD = =, OA =, OD = Al on A 5 OABC = ABCD + AOABC = + = + = y = Ympyrän säde r sdn rtkisemll keskipisteen (, ) etäisyys suorst y = + eli suorst y+ =. + r = = + ( ) Ympyrän yhtälö on siis + y = y y+ = 8 y y = Suor on suorn y = eli y = suuntinen, joten sen yhtälö on y = + c, c. Pisteen (, ) etäisyys suorst y+ c= on 5, joten sdn yhtälö ( ) + c 7+ c = 5 = 5 7+ c = 5 + ( ) c = 5 ti 7 + c = 5 c = ti c = Suort ovt siis y = j y =. ( y = ) ( y = ) 9

150 6 Nämä suort ovt symmetriset origon suhteen, joten ne ovt yhtä etäällä origost. Määtitetään tämä etäisyys. Tp Suorn etäisyys origost on kolmion ABC knt AB vstn piirretty korkeusjn h. AB = 6 + = 6 = Kolmion l on, joten korkeus h sdn yhtälöstä Suorn 5y = yhtälö rtkistuss muodoss on 5y = = 5 Suorn kulmkerroin on siten 5. Suor y = + b leikk -kselin kohdss b= = b Kolmion knt on Sdn yhtälö 5 b b 5 b j korkeus b, joten l on 5 bb 5 5 = b = 6 b = 6 b = 6 b= ± 6 Suort ovt siis y = + 6 j y = h 5 = h = h = 5, 7 Tp Pisteen (, ) etäisyys suorst y = 6 eli suorst 5 5y = on 5 5 d = = = 5, + ( 5) 7 5 Vstus 7 6 5, ) Vlitn suorprvest kksi suor j lsketn niiden leikkuspiste. k = : y = k = : y+ = Leikkuspiste sdn yhtälöprist

151 y = = y = y+ = y = y = Leikkuspiste on (, ). Osoitetn vielä, että suorprven kikki suort kulkevt pisteen (, ) kutt. Kun = j y =, suorprven yhtälön vsen puoli on k 6k+ + 5k = j oike puoli on. Kikki suort kulkevt siis pisteen (, ) kutt. 66 -kselill y =, joten sdn yhtälö ( + ) + ( + ) =. Prbeli sivu -kseli, jos yhtälöllä on vin yksi juuri eli toisen steen yhtälön diskriminntti D on noll. D= [ ( + ) ] ( + ) = + + = 8 Rtkistn yhtälö 8 = ( 8) = = ti = 8 Vstus (, ). 65 On oltv, kosk nollll ei voi jk. = y+ Leikkuspiste sdn yhtälöprist = y sijoittmll y = : Vstus = ti = 8 67 Keskipiste on suorll y =, joten keskipiste on muoto (, ). Ympyrän säde on keskipisteen etäisyys -kselist, joten r =. = = = = ( ) = = = Vstus = Ympyrä sivu suor + y =, joten keskipiste on säteen etäisyydellä suorst. 5

152 + + = = 5 > =± 5 6 = ti 6 = = ti = kelp kelp Keskipiste on siis ( 8, ) j säde on ti keskipiste on on. Ympyrän yhtälö on siis = ti y + y =, j säde ( + y 6 8y+ 6 = ti + y 6 y+ 9 = ) Tällöin etäisyys on Vstus 69 d = =,8 =, etäisyys on,8 Origon etäisyys suorst on + ( ) + ( ) d = = + ( ) + Etäisyys d s suurimmn rvons, kun jkj + on pienin. Jkjn pienin rvo sdn ylöspäin ukevn prbelin y = f( ) = + huipuss. Prbelin huippu on = = f = + = Suor y = on vino, joten se ei voi oll prbelin kseli. Prbeli y = + on kokonn suorn y = lpuolell, joten prbelill j suorll ei ole leikkuspisteitä. Määritetään siten ettei yhtälöprill = + y y = ole rtkisu. Sijoittmll sdn + = + =. Toisen steen yhtälöllä + b + c = ei ole juuri, jos diskriminntti D= b c<. Sdn epäyhtälö 5 ( ) < < 5 < 5

153 7 Suor t+ y + t = on ympyrän + y = tngentti, jos niillä on täsmälleen yksi yhteinen piste. Ympyrän j suorn yhteiset pisteet sdn yhtälöprist y = t+ t + ( t+ t) = + y = + ( ) = t t t t t + t + t+ t + + t t = ( ) t + + t t + t t = ( ) Yhtälöllä on yksi rtkisu, kun diskriminntti D =. Sdn yhtälö ( ) ( ) t t t + t t = 6 6 ( ) t t + t t t + t t = t + 6t = t(t+ ) = t = ti t = Tp 9 + ( ) = + = Jos j b, niin = b = b 9 = (5 + 9) = = = 9 ± 9 ( 8) 5 = = ti = 6 Suor y = sivu ympyrää + y =, jos niillä on täsmälleen yksi leikkuskoht. Lsketn leikkuskohdt: () y 9 = + = () y. 7 Tp Muunnetn ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y = + + y = + ( ) + ( y ) = 5 Ympyrän keskipisteen (, ) etäisyys tngentist y 9= on 5. Sdn yhtälö Rtkistn y yhtälöstä () j sijoitetn stu rvo yhtälöön (). 9 y 9= y = = + = = (9 ) (58 8) 65 Toisen steen yhtälöllä on yksi rtkisu, kun diskriminntti D =. 5

154 Sdn yhtälö [ ] (58 + 8) (9 + ) 65 = = m m m k = = =. m Kulm OPA on suor, jos k k = eli m = m= ( 77) ± + = = 8 5 = 6 ti = 7 Vstus = j m= 7 Muunnetn prbelin yhtälö huippumuotoon. b = + + = + y b y b b b b b y = + + y 6 = 8 8 Prbelin huippu on siis b b, + 8. Kolmion knt on OA = j korkeus PC = m, joten sdn yhtälö m= m =. Pisteissä O j A sijitsevt kulmt eivät selvästikään ole suori, joten suor kulm voi sijit vin pisteessä P. m Jnn OP kutt kulkevn suorn kulmkerroin on k = = m j jnn AP kutt kulkevn suorn kulmkerroin b b Kun = j y = +, niin yhtälön y = + 8 b vsen puoli on + j 8 b b oike puoli on + = + 8 Nämä ovt yhtä suuret, joten huippu sijitsee prbelill y = + kertoimen b rvost riippumtt. 5 Vstus Huippu on pisteessä b b, + 8.

155 7 Prbelin = + + huipun (, y ) koordintit ovt y y = = j = + + = + Kun y = j = +, niin yhtälön vsen puoli on oike puoli on + = + y = Nämä eivät ole smt, joten huippupiste ei sijitse käyrällä y =. 75 Rtkistn luksi suorn j y = eli y = j ympyrän + y = leikkuspisteet. Sdn yhtälöpri y = + y = + ( ) = + + = = ( ) = = ti = y = eli y = = ti y = = Leikkuspisteet ovt siis (, ) j (,). Pienempi l: π A = Aneljännesympyrä Akolmio = = π Suurempi l: A = Akoko ympyrä A = π π = π + Suhde: Vstus 76 A A (π ) π = = =,999..., π + (π + ) π, π + ) Täydennetään yhtälö keskipistemuotoon = y y = y y + y = + 55

156 Yhtälö esittää ympyrää, jos r = + >. Nollkohdt: ± 8 + = = = ti = + Epäyhtälön + > rtkisun on < < + b) Al on suurin, kun ympyrän säde on suurin mhdollinen eli prbelin y = + huippukohdss 77 = =. ( ) Ympyrän säteen neliö on r = ( ) ( ) + =. Al on A = πr = π = π. Vlitn prbeliprvest kksi prbeli j lsketn niiden leikkuspiste. m = y = : m = : y = Leikkuspiste sdn yhtälöprist y = = = = y = y = = Leikkuspiste on,. Osoitetn vielä, että kikki prbelit kulkevt pisteen, kutt. Kun = j y =, niin yhtälön y = m+ m vsen puoli on j oike puoli on m + m = Kikki prbelit kulkevt siis pisteen, kutt. Vstus 78, Tp Muodostetn ympyrän yhtälö eri prmetrien j b rvoill j etsitään näiden leikkuspiste., : 5 5 = b= + y = + y =, : 5 = b= + y y+ = + y = =, b= : + y = ( ) + y = Rtkistn ensimmäisen j toisen ympyrän leikkuspisteet. Sdn yhtälöpri 56

157 + y = ( y ) 5 + = y y y y y + = = = y = 5 = 5 = = ± Leikkuspisteet ovt (, ) j (,). Kun = j y =, yhtälön + y = vsen puoli on + = 6+ = 7 j oike puoli on Siis piste (,) ei ole kolmnnell ympyrällä + y =. Osoitetn vielä, että ympyräprven kikki ympyrät kulkevt pisteen (, ) kutt. Kun = j y =, niin yhtälön y by b = = y by b = 5 y by b b b = y by b b b + y b = + b On siis oltv = j y =, joten piste (, ) toteutt yhtälön kikill prmetrien j b rvoill. 79 Kolmion suorn kulmn kärki sijitsee prbelin y = huipuss, joten se sijitsee origoss. Olkoon kolmion muut pisteet A j B. Kosk myös pisteet A j B sijitsevt prbelill, on niiden oltv muoto, j b, b. vsen puoli on + b+ + b 5= + 5= j oike puoli on. Kikki ympyrät kulkevt siis pisteen, kutt. Tp Muunnetn prven yhtälö keskipistemuotoon. Jnn OA kutt kulkevn suorn kulmkerroin koa = =. Vstvsti jnn OB kutt kulkevn suorn kulmkerroin on 57

158 b kob = = b. Kosk suorn kulmn kärki sijitsee origoss, on b koa kob = b= b= B =, Jnn AB kutt kulkevn suorn kulmkerroin on ( )( ) + kab = = = = ( + ) + Suorn yhtälö on y = ( ) y = +. Prbelin kselin eli y-kselin j suorn y = + leikkuspiste: = : y = + = Leikkuspiste on siis (, ), jok on riippumton vkiost. Jokisen kolmion hypotenuus siis leikk prbelin kselin smss pisteessä. 8 Puoliympyrä sisältämä kehäkulm on suor, joten pisteet sijitsevt sen ympyrän kehällä, jonk hlkisij on AB, lukuun ottmtt hlkisijn päätepisteitä. Ympyrän keskipiste on jnn AB keskipiste, joten keskipisteen koordintit ovt + 5 = = j y = = Säde on ( ) ( 5) AB 5 r = = + + = Vstus Piste on (, ). Ympyrän yhtälö on ( ) + ( y+ ) = 5 + y + y = Vstus Ympyrän ( ) + ( y+ ) = 5 ( + y + y = ) pisteistä lukuun ottmtt pisteitä (, ) j (, 5). 58

159 8 + + y+ + y = + y Merkitään käyrän pistettä P = (, y). ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( y ) = + + y + 8+ ( + y) + y + 8 ( + y) = ( + y ) ( + y + 8) 6( + y) = ( + y ) ( + y ) + 6( + y ) + 6 6( + y) = ( + y ) 6 + y + ( + y) = y y y y y + + = = = Sdn yhtälö d d = d d d + d = 6 ( ( + ) + ( y+ ) ) + ( ( ) + ( y ) ) ( + ) + ( y+ ) ( ) + ( y ) = y y y ( ) ( y ) ( ) ( y ) 6 y = Vstus Käyrä on y = y = 8 Olkoon (, y ) prbelin mielivltinen piste. Pisteen (, y ) etäisyys suorst = 5 eli suorst + 5= on d + 5 = = + 5 j etäisyys polttopisteestä (, ) on d = ( ) + ( y ) Kosk d = d, sdn yhtälö 59

160 + 5 = ( ) + ( y) + 5 = ( ) + ( ) y = y + y 8 = y 6y = y y 8 Prbelin yhtälö on siis 8 ) =. 8 y y Jos j b, b b niin = =., y : Rtkistn suorn + yy = j ympyrän + y = leikkuspisteet. Sdn yhtälöpri + y = + y = + yy = y = + y y Sijoittmll y = y + y j käyttämällä oletust eli y = ympyrän + y = yhtälöön sdn + y = y y y y y + + = + + = + y = ( ) y + + = y + = + = = = y = + = + = + y + = y y y y y Leikkuspiste on siis (, y ). Kosk leikkuspisteitä on vin yksi, on suor ympyrän tngentti., y = : ) + y = = ± Suorn yhtälö on ± + y = eli = ±. Nämä ovt ympyrän =, y : ) + y = pystysuort tngentit. + y = y =± Suorn yhtälö on ± y = eli y = ±. Nämä ovt ympyrän =, y = : ) + y = vksuort tngentit. Tämä ei ole mhdollist, sillä ehto Suor + yy = on siis ympyrän j y rvoill. y + = ei toteudu. + y = tngentti kikill Vstus Sivumispiste on (, ) y. 6

161 8 On oltv j b, sillä muuten yhtälöt y + = j + y by = eivät esitä ympyrää. Vlitn kummstkin ympyräprvest mielivltinen edustj (, b ) j täydennetään yhtälöt keskipistemuotoon. leikkvt toisens kohtisuorsti. Olkoon toinen leikkuspiste C. Kolmioss ABC on AC =, BC = b j AB = c. AB = c = ( ) + ( b ) = + b + y = + + y = ( ) + y = Vstvsti ympyrän + y b = b. y by + = yhtälö keskipistemuodoss on Ympyrän + y = keskipiste on A = (,) j säde on. Vstvsti ympyrän + y b = b keskipiste on B = (, b) j säde on b. Siis c = + b eli AB = AC + BC, joten kolmio ABC on suorkulminen kolmio, missä ACB = 9. Ympyrät leikkvt toisens kohtisuorsti myös pisteessä C. Huomutus Kulmn ACB suuruus sdn selville myös totemll, että kolmiot AOB j ACB ovt yhteneviä. Tällöin ACB = AOB = Jnn AC suuntisen suorn kulmkerroin on k AC = =. 6 Näin ollen B on suorll S, jonk yhtälö on muoto y = + b eli y+ b= Suorkulmion ABCD kikki kulmt ovt suori j AC on sen lävistäjä. Kosk puoliympyrän sisältämä kehäkulm on in suor, on kärjen B oltv sellisen ympyrän kehällä, jonk hlkisij on AC. Ympyrät leikkvt toisens khdess pisteessä, joist toinen on origo. Ympyrät leikkvt toisens origoss kohtisuorsti, sillä ympyröille origoon piirretyt tngentit ovt koordinttikselit j ne 6

162 y y y y y 6 y + + y y + Epäyhtälöryhmän rtkisun on lue, joss jokinen epäyhtälö on voimss. Suort y =, y =, y = + j y = + kuuluvt lueeseen. Suorkulmion l on suurin, kun kolmion ABC l on suurin. Kosk knt AC on kiinteä, on pisteen B oltv ympyrän kehällä mhdollisimmn kukn jnst AC. Piste B on siis puoliympyrän kren keskikoht. Tällöin sen etäisyys jnst AC on säde 6 r = AC = + = Kosk S on jnn AC suuntinen, on pisteen A = (, ) etäisyys suorst S myös. Sdn yhtälö + b = b = b= ± + ( ) Suorn yhtälö on y = ti y+ = y = ti y = + 86 Muoktn epäyhtälöryhmää Suorien leikkuspisteet: A: y = y = + + = = A= (, ) B: y = + + = + y = + = y = + =, joten B = (,) 6

163 y = + C: + = = y = y = ( ) =, joten C = (, ) y = D: D = (, ) y = Pint-l on ADABC = ADAB + ADBC = AD BD + DB CE Vstus = + = + = Al on 87 y y + < ( y ) ( y ) < ( )( y ) < Selvitetään tulon merkki tekijöiden merkkien vull. Epäyhtälö on tosi, kun tulon tekijät ovt eri merkkisiä. Siis on oltv < > ti y > y < < > ti y > y < Epäyhtälöprien rtkisun on lue, joss kumpikin epäyhtälö on voimss. Suort = j y = eivät kuulu lueeseen. Vstus Väritetty lue, reunsuort eivät kuulu lueeseen. 6

164 Luku 5 5 Olkoon O origo. AB = AO + OB = + b = b BC = BO+ OC = b + c = c b CA = CO + OA = c + = c Summvektori on AB + BC + CA = b + c b + c =. 5 ) Yhdensuuntisten thkojen lävistäjävektorein HA = GB AG + HA = AG + GB = AB = ) ( b) b) ( c) c) ( b c) α =, = 8 β =, = 5 γ =, = = 7 5 ) BD = BA + AD = BA+ AC = + b BH CE BA AE EH CB BA AE b) = + + ( + + ) 5 = + b + c ( c + b) = + b + c + c + b = c Vektorien välistä kulm määritettäessä siirretään vektorit smn lkupisteeseen. b) + b Jkosuhdevektori p + AE = = + b v = qb p + q Toisin AE = AB + BE = AB + BC BC = AC AB 5 = + b = + b = + b

165 55 Oletus: b Väite: Vektorit 8 b j 6b 5 ovt vstkkissuuntiset. Todistus: Merkitään u = 8 b j v = 6b 5. Vektorit u j v ovt vstkkissuuntiset täsmälleen silloin, kun on olemss sellinen reliluku r, että u = rv, r<. Sdn yhtälö 8b = r( 6b 5) 8b = 6rb 5r b Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten r = = = 5r 5 8= 6r 8 r = = 6 Siis r = <, joten ehto u = rv, r< toteutuu. Näin ollen vektorit 8 b j 6b 5 ovt vstkkissuuntiset. 56 Vektorit u = + t tb j v = t b ovt yhdensuuntiset täsmälleen silloin, kun on olemss sellinen reliluku rr,, että u = rv. Sdn yhtälö + t tb = r( t b) ( + t ) tb = tr rb b 65 Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten () + t = tr + t = tr t = r t = r Sijoitetn yhtälöön (). + r = r r r = ± ( ) ( ) ± 5 r = = r = ti r = Kosk r = j r =, niin sdut r:n rvot kelpvt. Siis myös t = j t = kelpvt, kosk t = r. Vstus 57 t = ti t =. =, b = j, b = 5 ) b = b cosα = cos5 = = 6 b) = 5 b j =. Kosk = 5b, niin = 5b = 5 b = 5b = 5 b b = = cos8 = ( ) = b = b cos α b, joten, b = 8

166 58 5 = k, b = j, b = b = b cosα = k k cos = k = k 59 ) = 5, b = j b = b = b cosα b cosα = = b 5 cos α =, joten α = 6 b) b cos α = = =, joten α = b 5 5 ) Neljäkkään lävistäjät ovt kohtisuorss toisin vstn, joten b =. b) Neljäkkään lävistäjät puolittvt toisens, joten AD = + b. Siis AD BD = + b b = b + b b b =, b = = b = = 6= 8 66 ( + b) ( b) = b + b b b = 6 b + b b = b b = b = b =, b = b = b = b = b = 6 Vektoreiden j b pistetulo on b = b cosα, joten b 6 cos α = = eli cosα =, joten α = b Huomutus: Vektorit j b ovt smnsuuntiset, j lisäksi Vstus = b, joten b =. b, = 5 Olkoon AB = j AC = b. ) Kosk kolmio ABC on tssivuinen, niin A = 6. Siis AB AC = b = b cos6 = 88 =

167 b) Kosk tssivuisen kolmion korkeusjn j keskijn yhtyvät, niin AD =. Siis CD = AD AC = b. Kuvion mukn BC = b j ( CD, BC ) = 8 = 5. Pythgorn luseen vull sdn AD + CD = AC + CD = 8 CD = 8 CD = ± 8 = Siis CD BC = CD BC cos5 = 8 = 8. Toinen tp CD BC = b b = b b b + b = b b b =, = b = 8 = 6 6 = 8 6 = 8 () t = rt t = r Sijoitetn r = t yhtälöön (). t = t t t = t t + t = ± 9 ( ) ± 5 t = = t = ti t = Kun t =, niin r =, joten vektorit ovt tällöin smnsuuntiset. Siis t = kelp. Kun t =, niin r =, joten vektorit ovt tällöin vstkkissuuntiset. Siis t = ei kelp. Vstus t = 5 Kntvektorein ovt b, j c. On etsittävä selliset reliluvut r, s j t, että 5 Vektorit t + tb j t b ovt smnsuuntiset, jos j vin jos on olemss sellinen positiivinen reliluku, että t + tb = r ( t b ) ( t ) + tb = rt rb ( t ) + tb = rt rb b w= r( + b) + s( b) + t( c) w= r + rb + s sb + t tc w= ( r+ s+ t) + ( r s) b tc Toislt w= 9 + b 7c, joten sdn vektoriyhtälö 9 + b 7c = ( r+ s+ t) + ( r s) b tc Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten sdn yhtälöpri 67

168 () 9 = r+ s+ t = r s 7 = t Sijoitetn t = 7 yhtälöön (). 9= r+ s+ 7 r+ s = + = r s r s = r = 6 56 r = Yhtälöstä () sdn s = r = =. Vstus w= ( + b) ( b) + 7( c) 55 Kulmnpuolittj jk vstisen sivun viereisten sivujen suhteess, joten AD : DC = :8. Kulmnpuolittjvektori BD on Vstus 5 BD = BA+ AD = + AC = + b BD = + b 9 68 Kosk M on kolmion ABC pinopiste, niin AE on medini j piste E jk sivun BC suhteess :. Siis jkosuhdevektoriluseen mukn AB + AC AE = + = AB + AC = b + ( c ) = b + c = b + c DM = DA + AM AM = AE = + AE AE = b + c = + b + c = + b + c + b + c = + b + c = + b + c Vstus DM =

169 57 Kosk b = j j b, niin vektorien j b välinen kulm on 9. Merkitään CD = j CAB =α. Kosk CD on medini, niin D on sivun AB keskipiste. Siis AD =. AB AC = 8 AB AC cosα = 8 6 cosα = 8 cosα = Kosiniluseen mukn = + cosα = 6+ 9 b, = 9. Vstus 59 Tp ) Summvektori + y sdn, kun vektorin loppupiste on vektorin y lkupiste. Kosk vektoreill, y j + y on sm pituus, niin ne muodostvt tssivuisen kolmion ABC. Siirretään vektori lkmn pisteestä B. = 7 =± 7 Kosk >, niin kelp = 7. Vstus CD = 7 58 ( + b) ( + b) = ( b) ( b) + b = b Jos j b, niin = b = b. + b = b Tällöin (, y) = α = 8 6 = b) Erotusvektori y sdn, kun vektoreill j y on yhteinen lkupiste. Kosk vektoreill, y j y on sm pituus, niin ne muodostvt tssivuisen kolmion. + b + b = b + b b = b = 69 Siis (, y ) = 6

170 Tp, y = α j α 8 ) Merkitään = = y = + y, joten = =, = y = y y j = + y Toislt + y = + y + y = + y + y + y y = + y + y = y = y cosα = = y =, joten α =. 5 Oletus: b + c =, joss b, j c ovt smst pisteestä lähteviä vektoreit. Väite: Vektorien b, j c loppupisteet ovt smll suorll. Todistus: Olkoon vektoreiden b, j c päätepisteet A, B j C sekä lkupiste O. Vstus Vektorien j y välinen kulm on. b) Merkitään b= = y = y, joten b = y y = y y + y y Siis b = b y = b y + b b y = b y cos α = = =, joten α = 6 y b b b = = y y. Toislt Vstus Vektorien j y välinen kulm on 6. Pisteet A, B j C ovt smll suorll silloin j vin silloin, kun on olemss reliluku r, r, että AB = rac AB = AO+ OB, AC = AO+ OC () b = r( c ) Yhtälöstä b + c = rtkistn vektori c = + b j sijoitetn yhtälöön (). b = r( + b ) b = r + rb b Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten r = = r = r r = 7

171 Siis on olemss luku C ovt smll suorll. r =, että AB = rac, joten pisteet A, B j 5 5 Merkitään OA =, OB = b j OC = c. Olkoon AD jokin kolmion ABC keskijnoist. Tällöin OD = OC + CD = c + CB = c + b c = b + c Siis OP = OA + AP = OA + AD = OA + ( OD OA) = OA + OD OA = OA + OD = + b + c = + b + c = ( OA+ OB+ OC) Vektori OP ei siis riipu siitä, miltä keskijnlt piste P on vlittu. Näin ollen keskijnt leikkvt smss pisteessä P. Tämä leikkuspiste jk jokisen keskijnn suhteess : kärjestä lukien. OP = OA + OB + OC Kolmion kikki keskijnt leikkvt in smss pisteessä. Vstus 7 Korkeusjnvektori BC on BC = BP+ PC = b + r Kosk BC on kolmion korkeusjn, niin BC PC, joten BC PC = b + r r = rb + r = r b + r = r b + r = b + r = ti r =, jok ei kelp b r = b r= b b Siis BC = b + = b. 5 Olkoon origo O j kolmion kärkipisteet A, B j C. Merkitään kärkipisteiden pikkvektoreit vstvsti b, j c. Pisteen P pikkvektori olkoon p.nämä pikkvektorit toteuttvt yhtälöprin

172 ( p ) ( b c) ( p b) ( c ) = = Näytetään, että piste P on myös sivulle BA piirretyllä korkeusjnll ti sen jtkeell. Toisin snoen osoitetn, että CP BA =. Kosk CB = c + p = p c j BA = b + = b, niin sdn ( p c) ( b) = eli tehtävässä esitetty väite. Oletus: ( p ) ( b c) ( p b) ( c ) = = Kosk AP = + p = p, CB = c + b = b c, BP = b + p = p b j AC = + c = c AP CB = niin yhtälöpri sdn muotoon BP AC =. Siten vektorit AP j CB ovt kohtisuorss toisin vstn. Siis piste P on kolmion sivulle CB piirretyllä korkeusjnll ti sen jtkeell. Vstvsti vektorit BP j AC ovt kohtisuorss toisin vstn. Siten piste P on kolmion sivulle AC piirretyllä korkeusjnll ti sen jtkeell. Siis piste P on khden korkeusjnn ti niiden jtkeiden leikkuspiste. Väite: ( p c) ( b) = Todistus: Pistetulon ominisuuksien mukn ( p c) ( b) = p p b c + b Vstvsti oletuksest sdn yhtälöpri p b p c b + c = + p c p b c + b = b = b p b p + c b c = ( ) p b + p c + b c = p ( b) c ( b) = ( p c) ( b) = Siis väite on tosi. 7 Vstus Piste P on kolmion khden korkeusjnn ti niiden jtkeiden leikkuspiste. Kolmion korkeusjnt ti niiden jtkeet leikkvt smss pisteessä.

173 5 A= (, 7 ) j B = (,) ) AB = ( ) i + ( y y ) j (, y ) = (, 7 ), (, y ) = (,) = ( ) i + [ ( 7) ] j = 6i + 8j AB = + y = = = = b) Jnn AB keskipiste,, 7 y y y = + + M =,, y =, + ( ) 7+ =, =, Pisteen M pikkvektori on OM = i j Vstus ) AB = 6i + 8j, AB = b) Keskipisteen pikkvektori on i j 55 ) Olkoon A= ( 5, ) j AB = i j Pisteen B pikkvektori on OB = OA + AB = 5i + j + i j = i + j joten piste B = (,) 7 b) 56 Olkoon A= ( 5, ) j CA= 9i + 5 j Pisteen C pikkvektori on OC = OA + AC = OA + ( CA) joten piste C = (, ). Merkitään v = i 5j. Vektori v jetn komponentteihin, joist toinen on 5i + j j toinen on vektorin u = i j knss yhdensuuntinen. On siis etsittävä sellinen reliluku r, että v = 5i + j + r i j i 5j = 5i + j + ri rj i 5j = ( 5+ r) i + ( r) j i j Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten sdn yhtälöpri = 5+ r r = 9 r = 5= r r = 6 r = Siis r = = 5i + j + 9i 5j = i j Vstus i 5j = 5i + j + ( i j)

174 57 = i + j j b = i j ) b = + yy = + = 6= b) 58 + b = i + j + i j = j b = i + j i + j = i + 5j ( b) ( b) + = + 5= 5 = i j j b = i b + cosα = = = = = b + α = 59 Olkoon suunnikkss ABCD AB = j AD = b sekä AC = c j BC = d. Merkitään lävistäjien välisiä kulmi α :ll j β :ll. Siis AC = + b = c j BD = + b = d c = + b = 8i + i + 5 j = i + 5 j j c = + 5 = d = + b = 8i + i + 5 j = i + 5 j j d = = c d ( ) cos β = = = (, 76) c d β = 6,... 6 α = 8 β 7 Jnojen (suorien) välisellä kulmll trkoitetn pienintä syntyneistä kulmist. Vstus Lävistäjien välinen kulm on 7. 7

175 5 = 8i 6 j j = 8 + ( 6) = ) Vektorin knss smnsuuntinen yksikkövektori on 8i 6j = = = i j 5 5 b) Olkoon b = i + yj yksikkövektori, jok on kohtisuorss vektori vstn. Siis b = = 8i 6 j j b = i + yj b = () 8 6y = + y = Yhtälöstä () sdn y = j sijoitetn se yhtälöön (). Jos =, niin y = = Siis b = i + j ti b = i j Vstus ) = i j 5 5 b) Vektori vstn kohtisuorss olevt y-tson vektorit ovt i + j j i j = ti tj i = ( t ) i tj j b = ti + tj j = ti + ( t ) j Lsketn vektoreiden pistetulo. b = t t+ t t = t t t + t = Kosk j b, niin ehdost b = seur, että b t:n rvost riippumtt. Jos + = 5 Jos j b, niin = 9 = b = b. 5 9 = = = ± =, niin y = = Vstus Vektorit j b ovt in kohtisuorss toisin vstn. 5 Puolisuunnikkss ABCD on DA = i j j CB = 8i j. Olkoon knnn AB keskipiste E j knnn DC keskipiste F. Merkitään DA = j CB = b. 75

176 u = i + y j = + i + y j FA + FB FE = ΔABF, jkosuhdevektoriluse Kuviost sdn FA = FD + DA = FD + j FB = FC + CB = FC + b Siis FD + + FC + b FD = FC, kosk F on FE = sivun DC keskipiste FC + + FC + b + b = i j = = b = 8i j i j + 8i j i j = = = i j Vektorin FE pituus on FE = + ( ) = + = = Vstus Kntojen keskipisteiden yhdysjnn pituus on. 5 Merkitään vektorin u loppupistettä (, y ):llä. Kosk vektorin u lkupiste on, 5 5, niin 76 u = + + y u = u + u 5 5 Toislt u = 6, joten y Jos j b, niin + + y = = b = b + + y = Kosk vektorit u = + i + y j j v = i + j ovt 5 5 yhdensuuntiset, on olemss sellinen reliluku r, r, että + i + y j = r i + j 5 5 ( ) + i + y j = ri + rj i j 5 5 Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten sdn yhtälöpri + = r 5 y = r 5 Rtkistvn on siis yhtälöryhmä

177 () + + y = = r 5 y = r 5 Sijoitetn yhtälöt () j () yhtälöön (). ( r) + ( r) = 6 9r + 6r = 6 5r = 6 r 6 6 = r = ± Sijoitetn r =± yhtälöihin () j (). 5 + = r = r 5 5 y = r y = r+ 5 5 Sdn piste ( y), =, 5 5 Vstus Loppupiste on (,5 ) ti, Olkoon A= (, ) j B = (, ) sekä piste P = (, y), jok on suorll y = +. P(, y ) AP = i + y j y = r = : = = = = y = + = + = = r = : = = = = y = + = + = = Sdn piste ( y, ) = (,5) = ( ) i + j BP = + i + y j y = + = ( + ) i + ( ) j Vektorit AP j BP ovt kohtisuorss toisin vstn, joten AP BP = + + = + = = 77

178 ± ( ) ( ) ± = = = ti = Kosk y = +, niin y = ti y =. 56 A= (, ), B = (, ) j C = ( 5,). Vstus P = (, ) ti P =, 55 Vektoreiden j b yhteinen lkupiste on A = (, ), vektorin loppupiste on B = (, ) j vektorin b loppupiste on C = (,). Siis (, y) = (,) = AB = ( ) i + ( y y) j, y =, = ( ) i + ( ) j = i j b = AC = i + y y j (, y ) = (,) (, y ) = (,) = i + j = 7i + j Pistetulo b = + yy = 7 + = = 7 Olkoon O origo. Pisteet A, B j C ovt smll suorll silloin j vin silloin, kun on olemss reliluku r, r, että AB = r AC A=, y =,, B =, y =, j (, ) ( 5,) C = y = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) i y y j r i y y j [ ] [ ( ) ] i + [ ( ) ] j = r ( 5 ( ) ) i + ( ( ) ) j i + j = 7ri + rj i j Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten r = = 7r 7 in epätosi, kosk = r 7 r = Siis ei ole olemss sellist reliluku r, että AB = r AC. Pisteet A, B j C eivät näin ollen ole smll suorll. Vstus Pisteet eivät ole smll suorll. 78

179 57 Oletus: Nelikulmio ABCD, joss AB = i + j, BC = i + j j DA = j Väite: Nelikulmion ABCD lävistäjät ovt kohtisuorss toisin vstn. Todistus: Merkitään AB =, BC = b j DA = c. Nelikulmion lävistäjävektorit ovt AC = AB + BC = i + j + i + j = 6i + j BD = BA+ AD = AB DA= i j + j = i + j Pistetulo on AC BD = 6 ( ) + = + = Kosk AC BD =, niin AC BD. Siis nelikulmion lävistäjät ovt kohtisuorss toisin vstn, joten väite on tosi. 58 A= (, ) j B = (, ). Olkoon piste P = (, y). Merkitään = PA j b = PB. Jn AB näkyy pisteestä P suorss kulmss, joten P(, y) A(,) j P(, y) B(, ). 79 Kohtisuoruusehto on PA PB = b = = ( ) i + ( y y ) j (, y ) = (, y), (, y ) = (,) ( ) ( ) = i + y j b = ( ) i + ( y y ) j (, y ) = (, y), (, y ) = (, ) ( ) ( ) = i + y j Ehto b = + y y = Vstus + y+ y+ y = + y = täydennetään neliöksi + + y = ( ) + y = 5 Jn AB näkyy suorss kulmss ympyrän + y = 5 kehän pisteistä lukuun ottmtt pisteitä A= (, ) j B = (, ).

180 59 Kolmioss ABC on AB = i j j AC = i + j. 5 Olkoon suunnikn ABCD sivuvektorein j b = i + j sekä smst kärjestä lähtevänä lävistäjävektorin c = i + j. Merkitään A = α. Kosk CD on kolmion korkeusjn, niin piste D on sivull AB ti sen jtkeell. Näin ollen AD = r AB, r AD AB = r i j = ri rj Korkeusjnvektori CD on CD = CA + AD CA = AC = i + j + ri rj = i j + ri rj = ( + r) i + ( r) j AD CD AD CD = r ( + r) + ( r) ( r) = r+ 9r + r+ r = r + 5r = 5r( r+ ) = 5r = ti r+ = r = ti r = ( ) ei kelp kelp Siis AD = i j = i + j 8 + b = c = c b = i + j i + j = i + j Lävistäjä BD jk suunnikkn khteen yhtenevään kolmioon, joten Asuunniks = Akolmio = bsinα = bsin α, joss = = + = 5 j b= b = + = 5 Pistetulo on b = b cosα, jost sdn b cosα = = i+ j j b = i+ j b + = = Trigonometrin peruskvn mukn

181 sin α + cos α = sin α = cos α sin 9 α = sinα = ± 5 5 Kosk < α < 8, niin sinα >, joten Siis A suunniks = 5 5 = 5 sinα =. 5 Vstus Suunnikkn l on. 5 Vektorien AB j CD päätepisteet ovt A= (, ), B = ( 7, ), C = (, ) j D = (, ) AB = i + y y j = ( 7 ) i + ( ) j = i + j CD = i + y y j (, y ) = (,) (, y ) = ( 7,) (, y ) = (,) (, y ) = (, ) = ( ) i + ( ) j = i 6j Merkitään AB = j CD = b. Siirretään vektori b smn lkupisteeseen kuin. Pistetulo on b b = b cos α, joten cosα = b b = + 6 = 6 = 8 Siis = + = 6+ = = 5 b = + 6 = = 5 = 8 7 cosα = = α = 5, , 5 65 Vstus Vektorien välinen kulm on 5,. y D ( ) C B (7, ) 8

182 5 5 Vektori = i j j vektorin b pituus b = 5 Kosk vektorit j b ovt vstkkissuuntiset, niin b = r, r < b = r = r Oletus: Väite: Todistus: Suunnikkn lävistäjinä ovt vektorit d = i + 8 j j e = i 6 j Suunniks on neljäkäs = + = + = = Siis 5 5= r r = r = ± Kosk pitää oll r < niin r =, joten b = i j = i + j Vektorin b loppupiste: OB = OA + AB B = (, 7) = i + j + i + j = i + 7 j,joten Vstus Vektori b = i + j j loppupiste on (, 7 ). 8 Näytetään, että suunnikkn erisuuntiset sivuvektorit j b ovt yhtä pitkät. Kosk suunnikkn lävistäjät puolittvt toisens, niin sivuvektorit ovt = d e = ( i + 8 j) ( i 6 j) = 6i + j i + j = i + 7 j b = d + e = ( i + 8 j) + ( i 6 j) = 6i + j + i j = 8i + j Sivuvektoreiden pituudet ovt = + 7 = 65 j b = 8 + = 65 Kosk kyseessä on suunniks, niin vstkkiset sivut ovt yhtä pitkät. Lisäksi osoitettiin, että erisuuntiset sivut ovt yhtä pitkät. Suunniks on siis neljäkäs.

183 5 Olkoon nnetun vektorin i j + t( i + j) loppupiste P (, y) =. Kosk vektori lk origost, on sen pikkvektori OP = i + yj Toislt OP = i j + t + j, t = i j + ti + tj = ( + t) i + ( + t) j Sdn yhtälö i + yj = ( + t) i + ( + t) j i j Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten () = + t y = + t ( t ) t = Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + ( ) y = + yleinen muoto A + By + C = Vstus y 5=. 55 Olkoon v = i + 7 j, = i + j j b = 7i + 6j. On etsittävä selliset luvut r j s, että v = r + sb i + 7j = r i + j + s 7i + 6j i + 7j = ri + rj 7si + 6sj i + 7j = ( r 7s) i + ( r+ 6s) j i j Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen,joten Siis () = r 7 s.6 6 = r s + 7 = r+ 6s 7 9 = r+ s 55 = r 5 7= + 6s 6s = s = 5 v = + b 5 Vstus i + 7j = ( i + j) + ( 7i + 6j) 55 5 Sijoitetn r = = yhtälöön ( ). 8

184 56 Vektori OA = = 7i + 9j on tson vektori. Merkitään AB = b = i + yj. Lisäksi on voimss ehdot b = j OAB = 9 eli b OA = = = b = Toislt b = i + yj, joten b = + y. Siis + y =. Kosk b, niin b = = 7i + 9 j, b = i + yj 7+ 9y = 7 y = 9 Sdn yhtälöpri () 7 y = Sijoitetn yhtälöön ( ). 9 + y = 7 Jos j b, niin + = 9 = b = b. 8 I 9 + = = 8 5 = = 5 = =± 5 I II Vstus =, joten y = = Siis AB = b = i + j =, joten y = = 9 Siis 9 7 AB = b = i j OB = OA + AB 9 7 = 7i + 9j i + j 5 5 = i + j. II 9 7 OB = 7i + 9j + i j = i + j 5 5 OB = i + j ti OB = i + j

185 57 Origost lkvn vektorin i A= (, ) j B = ( 7,). + j loppupiste P on jnll AB, joss Kun () r = + 6s r = s Sijoitetn yhtälöön (). ( s) = + 6s 6 s = + 6s 5 9s = 5 s =, s 9 5 s =, niin r =, jok toteutt ehdon r. 9 9 Vektori OP on yhdensuuntinen vektorin i + j knss täsmälleen silloin, kun on olemss sellinen reliluku rr,, että OP = r i + j = ri + rj Toislt OP = OA + AP AP = sab, s = OA + sab AB = ( 7 ) i + ( ) j = 6i j 5 Näin ollen AP = s AB = AB, joten 9 5 AB AP 5 Siis = 9 = PB. AB 9 PB = AB. 9 Vstus Piste P jk jnn AB suhteess 5:. 58 Pisteestä P = (, ) lähtevät vektorit = i + j j b = i + 5j ovt suunnikn sivuin. Lävistäjien leikkuspiste on Q. = i + j + s 6i j = i + j + 6si sj = + 6s i + s j Siis ri + rj = ( + 6s) i + ( s) j i j. Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten Jkosuhdevektoriluseen mukn 85

186 + b + b i + j i + 5j PQ = = = Pikkvektori i + 9j 9 = = i + j 9 OQ = OP + PQ = i j + i + j 9 7 = i j i + j = i + j = i + j joten Q =,. Vstus 59 PQ = j, i + j Q = Olkoon origost lähtevä vektori = i + yj. Määritetään j y niin, että vektori on vektorin b = i j pituinen j kohtisuorss sitä vstn. Kosk = b, sdn yhtälö + y = + y = Jos j b, niin = b = b Kosk b, niin b = b = + y y y =. Rtkistn yhtälöpri () + y = y = Sijoitetn = y yhtälöön (). 69 y + y = y = y = y =± = ( ± ) =± Siis i j ( i j) =± ± =± +. Vstus Vektorit ovt i + j j i j = + y b = + ( ) = + 69 = 86

187 55 Määritetään b, kun tiedetään, että + b = 6. + b = ( + b) ( + b) = b + b b Sdn yhtälö = b + b =, b = = 9+ 6 b + 9= 8+ 6 b b = 6 6 b = 8 b = Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten sdn yhtälöpri r+ s = ( ) r + s = ( ) r+ s = r s = r s = r+ s = s = 5 r = 7 s = 5 r = 7 Vstus = 7e 5e Tällöin + b = ( + b) ( + b) = + b + b b = + b + b =, b =, b = = + + = Siis + b =, joten + b =. 55 Kntvektorit ovt e = i + j j e = i + j. Vektori = i j. Määritetään reliluvut r j s niin, että = re + se i j = r i + j + s i + j 55 Olkoon kulmn kärkipiste A = (, ). Pisteet B = (, ) j C = (,6) ovt kulmn kyljillä. AB = ( ) i + ( ) j = i 5 j AB = + ( 5) = AC = ( ) i + ( 6 ) j = i + j AC = + = 5 CB = ( ) i + ( 6) j = 9i 9 j i j = ( r+ s) i + ( r+ s) j i j 87

188 Tp Tp Kulmnpuolittj AP jk kulmn A vstisen sivun viereisten sivujen suhteess, joten piste P jk vektorin CB suhteess 5: CP = CB = ( 9i 9j ) = i j 8 8 AP = AC + CP = i + j + i j = i + j + i j = i + j Siis AP = + = Vektorin AP knss smn suuntinen yksikkövektori on AP i + j AP = = = ( i + j ) AP +. + kelp. Vstus Yksikkövektori on ( i j) Myös ( i j) 88 p + qb Jkosuhdevektoriluseen v = mukn sdn p + q 5 + b v = = i 5 j, b = i + j 5+ Siis 5 i 5 j + i + j 99i + 7 j = = = i + j 8 8 v = + = Vektorin v knss smn suuntinen yksikkövektori on v v = = ( i + j) v Vstus Yksikkövektori on ( i + j) + kelp. Myös ( i j)

189 Tp d = d d = y+ 5+ y 9 y+ 5+ y 9 = = + ( ) y+ 5+ y 9 =± 5 Siis kulmnpuolittjsuorien yhtälöt ovt + by + c + b Määritetään suorien s j s yhtälöt. y y k = 6 5 s: k = = s : k = = 5 y = ( ) y = ( ) y 6= y = 5+ 5 y+ = 5+ y 9= Kulmnpuolittj on niiden pisteiden (, y ) joukko, jotk ovt yhtä etäällä kulmn kyljistä. Sdn yhtälö 9 7 y = + j y = + Kulmnpuolittjist kelp vin se, jonk kulmkerroin on 9 positiivinen eli suor y = +. Kosk kulmkerroin on k =, on eräs puolittjsuorn suuntvektori s = i + j j vstv yksikkövektori on s i + j i + j s = = = s + Vstus Yksikkövektori on ( i + j) + kelp. Myös ( i j) 89

190 55 Vektorin v kärki piirtää ympyrän + y = 6. Olkoon vektorin v lkupiste A = (,) j loppupiste B = ( b, ). Vektorin keskipiste P on + y+ y P =,, y =,,, y =, b + + b =, =, b Kosk kärkipiste B = ( b, ) piirtää ympyrän () + b = 6 Merkitään keskipiste P (, y) =. + y = 6, niin = = + b = y y = b y = ( + ) + y = Sijoitetn yhtälöön (). + + y = y = y = + + y = Vstus Vektorin keskipiste piirtää ympyrän + + y =. 55 ) v = i + j + k j u = i + 6 j Vektorit ovt kohtisuorss toisin vstn, jos niiden pistetulo on noll. v u = (i + j + k) ( i + 6 j) = ( ) = Siis u v. b) = i rj k j b= ri rj+ k b = Pikkvektori OP = i + yj. Toislt OP = i + b j. (i r j k) ( ri r j + k) = ( r) r ( r) = Sdn yhtälö i yj + = i + bj i j Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten 9 r+ r = r r =

191 555 ± ( ) ( ) ± r = = r = ti r = 556 = i + j k j b = i j + k On määritettävä vektori u = i + y j + zk niin, että u j u b sekä u =. = 6i + j + tk j b = i + tj + 6k j b ovt yhdensuuntiset, kun on olemss reliluku r niin, että = rb. 6i + j + tk = r(i + t j + 6 k) 6i + j + tk = ri + rt j + 6rk Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten () 6 = r : () = rt () t = 6r () r = Sijoitetn yhtälöön (). = t : ( ) t = 8 Myös yhtälön () tulee toteutu. Sijoitetn r = j t = 8 yhtälöön (). vsen puoli on ( 8) = oike puoli on 6() = Siis r = j t = 8 toteuttvt yhtälöt (), () j (). Ehdoist sdn yhtälöt u = ( i + y j + zk) ( i + j k) = u b = ( i + y j + zk) ( i j + k) = u = + y + z = () + y z = () y + z = () + y + z = Muodostetn yhtälöpri yhtälöistä () j (). () + y z = () y + z = + y z = + y + z = y+ z = y = z + z z = = = Sijoitetn = j y = z yhtälöön (). Sijoitetn yhtälöön (). Vstus t = 8 9

192 + z + z = z = z = ± Sdn y = z = ± j u = ± j ± k = ± ( j + k) Vstus ± ( + ) 557 j k Muodostetn suorien AB j AC suuntvektorit. 558 Määritetään tsojen normlivektoreiden välinen kulm, sillä tsojen välinen kulm ( ( T, T) 9 ) on normlivektoreiden välinen kulm ti sen suplementtikulm. A= (,,), B = (,,) C = (,,) AB = i + j + k AC = i + j + k Määritetään vektoreiden AB j AC välinen kulm. AB AC ( i + j + k ) ( i + j + k ) cos ( AB, AC) = = AB AC + + ( ) = = = cos = 6, Siis ( AB, AC ) = 6, Tson + y+ z = eräs normlivektori on n = i + j + k. Tson y+ z = eräs normlivektori on n = j + k. sdn yhtälö n n ( i + j + k) ( j + k) + cos ( n, n) = = = n n Siis ( n, n ) = 9, = cos = 9,

193 559 Siis = i + j + k j = + ( ) + = 6 Suorkulmisen särmiön erisuuntiset särmät ovt kohtisuorss toisin vstn. Sdn yhtälöt b = ( i j + k) ( i + j + k) = c = ( i j + k) ( i + yj + zk) = b c = ( i + j + k) ( i + yj + zk) = () + = () y + z = () + y + z = () = eli = Sijoitetn yhtälöön (). ( ) + y+ z = () + y+ z = b = i + j + k j b = ( ) + + = 7 7 c = i j + k j c = ( ) + + = 66 Suorkulmisen särmiön tilvuus V = b c = 6 66 = Vstus =, y =, z = j tilvuus on 56 Rtkistn y j z yhtälöistä () j ). () y+ z = + () + y+ z = + z = z = + y + = y = 7 Sijoitetn yhtälöön (). ) y-tsoss z =, joten pisteen P = (,, ) kohtisuor projektio y-tsoss on P = (,, ). Siten P:n etäisyys y-tsost on PP = =. 9

194 b) yz-tsoss =, joten P:n kohtisuor projektio yz-tsoss on P = (,, ). Siten P:n etäisyys yz-tsost on PP = =. c) Vstvsti P:n etäisyys z-tsost on =. d) -kselill y = j z =, joten pisteen P = (,, ) kohtisuor projektio -kselill on Q = (,,). Siten P:n etäisyys -kselist on PQ = + ( ) + =. e) y-kselill = j z =, joten pisteen P = (,, ) kohtisuor projektio y-kselill on R = (,, ). Siten P:n etäisyys y-kselist on PR = + + = 5. f) Vstvsti P:n kohtisuor projektio z-kselill on S = (,, ) j etäisyys on PS = + ( ) + =. = + rs y = y + rsy ( r ) z = z + rsz s = = r y = ( r ) z = + r (, y, z ) = (,,) s s y z = = Tutkitn, toteuttko pisteen P koordintit tämän suorn yhtälön. = r r = = = r = + r = Vstus ) b) c) d) e) 5 f) 56 Tp AB = ( ) i + ( ) j + ( ) k = i + k = ( i + k ) Vlitn suorn suuntvektoriksi i + k. Pisteen A = (,,) kutt kulkevn vektorin i + k suuntisen suorn esitys koordinttimuodoss on Yhtälöryhmä toteutuu, kun r =. Siis piste P on suorll. Vstvsti tutkitn, toteuttko pisteen Q koordintit suorn yhtälön. = r = = + r Yhtälöryhmällä ei ole rtkisu, sillä. Siis piste Q ei ole suorll. Tp Piste P on pisteiden A j B määräämällä suorll, jos AP AB eli jos on olemss sellinen reliluku r, että 9

195 AP = r AB ( ) i + ( ) j + ( ) k = r ( ) i + ( ) j + ( ) k i k = ri + rk = r eli r = = r 56 Siis P on suorll. Vstvsti Q on pisteiden A j B määräämällä suorll, jos AQ AB eli jos on olemss sellinen reliluku s, että AQ = s AB ( ) i + ( ) j + ( ) k = s( i + k) i + j + k = si + sk = s = = s Yhtälöryhmällä ei ole rtkisu, sillä. Siis Q ei ole suorll. Vstus Piste P on suorll, mutt piste Q ei ole. Olkoon piste P )(, y, z) pisteen P kohtisuor projektio suorll AB. Tällöin on olemss sellinen r, r, että AP = r AB j PP AB. Sdn yhtälö A = (,, ), AP = r AB B = (6, 5, ) P = (, y, z) [ ( ) ] i + [ y ( ) ] j + ( z ) k = r [ ] [ ] 6 ( ) i + 5 ( ) j + ( ) k ( + ) i + ( y+ ) j + ( z ) k = 8ri + 6r j rk Kosk komponenttiesitys on yksikäsitteinen, sdn yhtälöryhmä + = 8 r () = 8r y+ = 6 r () y = 6r z r () = z = r+ PP AB, joten 95

196 ( ) i + y j + ( z ) k (8i + 6j k) = P = (,,) PP AB = P = (, y, z) AB = 8i + 6j k = 8r 8 + 6y z+ = y = 6r z = r+ PP = ( ) i + j + ( ) k = i + j k PP = ( ) + + ( ) = 9 = Vstus 56 8(8r ) + 6(6r ) ( r+ ) 8= 6r 6 + 6r 6 + 6r 8 8 = 6r = 58 r = Piste P on = 8 = y = 6 = z = + = Sdn sijoitetn yhtälöihin (), () j () ) A= (,,), B = (,,), C = (,,) AB = ( ) i + ( ( ) ) j + ( ) k = i + j + k AC = ( ) i + ( ( ) ) j = i + j Vektorit AB j AC ovt erisuuntiset, joten ne muodostvt tson knnn. Piste D on tsoss ABC täsmälleen silloin, kun on olemss reliluvut r j s niin, että AD = r AB + s AC A= (,, ) j D = (,, ) AD = ( ) i + ( ( ) ) j + ( ) k = i + j + k Sdn yhtälö 96

197 AD = r AB + s AC i+ j+ k = r i+ j+ k + s i+ j i+ j+ k = ( r s) i+ ( r+ s) j+ rk Vektorin AD kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten () r s = () r+ s = () r = Sijoitetn r = yhtälöön (). s = s = Trkistetn, toteuttvtko r = j s = yhtälön (). AD = r AB + s AC A= (,, ) j D = (7,,) AD = ( 7 ) i + ( ( ) ) j + ( ) k = 5i + k Sdn yhtälö AD = r AB + s AC 5i+ k = r i+ j+ k + s i+ j 5i+ k = ( r s) i+ ( r+ s) j+ rk Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen, joten () r s = 5 () r+ s = () r = r+ s = + = Kosk kikki yhtälöt eivät toteudu, niin ei ole olemss relilukuj r j s niin, että AD = r AB + s AC. Piste D ei siis ole pisteiden A, B j C määräämässä tsoss. b) Alku kuten -kohdss. Piste D on tsoss ABC täsmälleen silloin, kun on olemss reliluvut r j s niin, että Sijoitetn r = yhtälöön (). + s = s = Trkistetn, toteuttvtko r = j s = yhtälön (). r s = ( ) = 5 tosi Yhtälöryhmällä on siis rtkisu r = j s =, joten AD = AB AC j piste D on pisteiden A, B j C määräämässä tsoss. Vstus ) eivät ole b) ovt 97

198 Olkoon A= (,, ) j B = (,, ) sekä A pisteen A projektio yz-tsoll j B pisteen B projektio yz-tsoll. Siis A = (,, ) j B = (,, ), sillä yz-tsoss =. A = (,, 5), u = i 8j + 6k, v = i j + k Kysytty kulm on suorien AB j AB välinen kulm. Muodostetn vektorit AB j A B sekä lsketn niiden välinen kulm. AB = ( ) i + ( ) j + ( ) k = i + j + k AB = i + ( ) j+ ( ) k = j+ k AB A B ( i + j + k ) ( j + k ) cos ( AB, A B ) = = AB A B = = = = cos = 5, Siis ( AB, A B ) = 5, Pisteen B pikkvektori OB = OA + AB = OA + u = j + 5k + i 8j + 6k = i 7j + k Siirtymä v i j + k BC = 5v = 5 = 5 v + ( ) + 5 = ( i j + k ) = 5 i j + k Pisteen C pikkvektori on OC = OB + BC = i 7 j + k + 5i j + k = 9i 7 j + k Siis piste C = (9, 7, ). Tutkitn, onko piste C suorll eli toteuttko sen koordintit suorn yhtälön. 98

199 9= + t t = 7 = t t = 9 epätosi t = + t = 9 Kosk yhtälöryhmällä ei ole rtkisu, ei piste C ole suorll. 566 ) () + y+ z = () y + z = () 5y z = 7 () + y+ z = () y+ z = ( ) () y+ z = ( ) () 5y z = 7 + y+ z = + y 6z = y z = 5y z = 7 () 5y+ z = (5) y 7z = Muodostetn yhtälöpri sduist yhtälöistä () j (5). () 5y+ z = 7 (5) y 7z = 5y+ 7z = + y 7z = y = y = Sijoitetn yhtälöön (). 5 + z = z = 99 Sijoitetn y = j z = yhtälöön (). + + ( ) = = 5 = 5 Siis y = on tsojen z = + y+ z = y + z = leikkuspiste. 5y z = 7 b) Rtkistn esimerkiksi tuntemttomt j y tuntemttomn z suhteen. + y z = + y z = + y+ z = ( ) + y+ z =.( ) + y z = + y z = + + y z = y z = z = y 5z = = z+ y = 5z = + r + y z = Siis y = 5 r ( r ) on tsojen + y + z = z = r leikkussuor, jok kulkee pisteen (,, ) kutt j jonk suuntvektori on i 5j + k.

200 567 ) = + r+ s Eliminoidn r. y = + r + s z = + r s () r = s+ Sijoitetn yhtälöihin ( ) j ( ). y = + r + s z = + r s y = + ( s+ ) + s z = + ( s + ) s Olkoon X pisteen P kohtisuor projektio tsoss ABC. Piste X on tsoss ABC, jos on olemss selliset rs,, että AX = rab+ sac AB = ( ( ) ) i + ( ( ) ) j + ( ( ) ) k = i + j + k AC = ( ( ) ) i + ( ( ) ) j + ( ( ) ) k = i + j k Pisteen X ( yz,, ) = pikkvektori on i + yj + zk = OA + AX AX = r AB + AC i + yj + zk = OA+ rab + sac ( ) ( ) i + yj + zk = i j k + r i + j + k + s i + j k i + yj + zk = ( + r+ s) i + ( + r+ s) j + ( + r s) k Kntvektoriesitys on yksikäsitteinen. 5 y = s+ z = s + y = 6+ s + z = s+ y+ z = y+ z+ = Siis tson yhtälö on y+ z+ = b) Tson y+ z+ = eräs normlivektori on n = i j + k Suor, jok kulkee pisteen P = (,, ) kutt j on tso vstn kohtisuorss eli n :n suuntinen on ( ) = + t ( 5) y t ( t ) = ( 6) z = + t Tämän suorn j tson leikkuspiste sdn yhtälöryhmästä

201 ( ) = + t ( 5) y = t Sijoitetn, 5 ( 6) z = + t j ( 6 ) yhtälöön ( 7 ). ( 7) y+ z+ = ( + t) ( t) + t+ = 9t + 9= 568 Piste X on siis = = y = + = z = = t = Pisteen P = (,, ) etäisyys tsost on PX = ( ) + ( ( ) ) + ( ( ) ) = + + = 9 = Sijoitetn yhtälöihin (,5 ) j ( 6. ) Olkoon kolmio OAB tetredrin pohj j CD tetredrin korkeus. Olkoon OB pohjkolmion knt j AA sitä vstn piirretty korkeus. Siten OA = rob, r, r. Pohjkolmion l: OB = + + = 6 AA = AO + OA = AO + rob = i j r i j + k = ( r) i rj + ( + r) k Kosk AA OB sdn yhtälö AA OB = [( r) i rj + ( + r) k] ( i j + k) = + r+ r + r = 6r = r = Siis AA = AO = i k j AA = ( ) + ( ) = 5. OB AA 6 5 Kolmion OAB l on = =.

202 Piste D (, y, z) = on pohjkolmion tsoss, kun on olemss s, t niin, että OD = soa + tob. Sdn yhtälö ( ) ( ) i + yj + zk = s i + k + t i j + k ) 5) ) 5) D = ; ; + = ; ; ) CD = + i + + j + k = i j k i + yj + zk = ( s t) i tj + ( s+ t) k Siis D = ( s, t t,s+ t). CD on tetredrin korkeus j siten CD OA j CD OB. CD = [ s t ( ) ] i + [ t ( ) ] j + ( s + t ) k = ( s t+ ) i + ( t+ ) j + ( s+ t ) k CD OA = j CD OB = [( s t+ ) i + ( t+ ) j + ( s+ t ) k] ( i + k) = [( s t+ ) i + ( t+ ) j + ( s+ t ) k] ( i j + k) = s t + + s+ t = s + t 6+ t + s + t = s = 5s = 5 6t = 8 t = D = ( s, t t,s+ t) Siis 5) CD = + + = = Tetredrin tilvuus V = Apohjh = = Vstus 569. Olkoon OA = i, OB = j j OC = k. Kolmion sivuvektorit ovt tällöin AB = AO+ OB = i + j AC = AO+ OC = i + k = Kolmion l on A= bsinγ. Vektorien AB j AC virittämän kolmion l on siis

203 AB AC sin AB, AC = + + sin AB, AC sin, = AB AC = + cos, ( AB AC) sin α + cos α =, kolmioss sinα > AB AC = ( )( ) + + = cos AB, AC AB AC = AB AC = + = + = ( ) + + = + = + = + ( + ) + Sdn yhtälö + = Vstus 57 + =, + > in > > + = 6 = 5 5 =± > 5 = = = =. Suorn yhtälö prmetrimuodoss (, y, z ) = (,,7) = + rs = + r s = y = y y r + rs y = + s y = z = z + rsz z = 7 + r s = z Leikkuspisteen koordintit toteuttvt tson yhtälön. Sdn yhtälö

204 + y+ z = + r+ ( + r) + 7+ r = + r+ 6+ r+ 7+ r = Siis leikkuspisteessä 7 8r = r = 7 r = j leikkuspiste on 7 ) = + = = = ) 7 5 y = = = 7 ) 7 z = 7+ = 7 = = CD = ( 5) i + ( ) j + ( ) k = i j + k CE = ( 5) i + ( ) j + ( ) k = i j + k Muodostetn pistetulot AB CD = ( i j k ) ( i j + k ) = 8+ = AB CE = ( i j k ) ( i j + k ) = + 9= Siis AB CD j AB CE. Kosk suorn suuntvektori on kohtisuorss tson kntvektoreit vstn, se on kohtisuorss koko tso vstn. Siten myös suor on kohtisuorss tso vstn. 57 Siis leikkuspiste on,,. 57 Todistus: Pisteiden A=,, j B =,, kutt kulkevn suorn suuntvektori on AB i = + j + ( ) k = i j k Pisteiden C = ( 5,, ), D = (,, ) j E = (,,) määräämän tson kntvektorit ovt CD j CE Piste (,, ) on tsoss, joten sdn yhtälö () + b+ c = Suor y = eli y = on y-tsoss. Tällä suorll ovt esimerkiksi pisteet = = y = j y = z = z = Nämä pisteet ovt nnetuss tsoss, joten sdn yhtälöt

205 + b ( ) + c = b = b + + c = b = b = Sijoitetn yhtälöön ( ). b= Sijoitetn + = eli = + c = c = = j b= yhtälöön (). Tson yhtälö on siis y+ = 57 = i + j + k, b = i j + k j c = t i + j + k Kolmion sivut ovt AB = + b = i j k AC = + c = ( t ) i + ( t ) j k BC = b + c = ( t ) i + ( t + ) j ) ) ) AB AC = ti AB BC = ti AC BC = AB AC = i j k t i + t j k = t+ t+ + = AB BC = ( i j k) [( t ) i ( t ) j] + + = t+ t = 7t = 7t = 5 t = 7 t = 7 AC BC = ( t ) i ( t ) j k [( t ) i ( t ) j] = t t t+ + t + t t = t 7t+ = 7± ( 7) 7± t = = Kolmio on suorkulminen, jos joko 5

206 Vstus Kolmio on suorkulminen, kun n AB = 7± t = ti t = ti t =. n AC = 7 7 ( i + yj + zk ) [ ( ) i + ( ) j + ( ) k ] = 57 ( i + yj + zk ) [ ( ) i + ( ) j + ( 6 ) k ] = Tson pisteitä ovt A = (,, ) j + y + z = kun t =, sdn B = (,, ) + y + z 5 = kun t =, sdn C = (,,6) y + 7 = + y + 5z = () y = z Sijoitetn yhtälöön ( ). + y + 5z = + ( z) + 5z = Tson normlivektori n = i + yj + zk on kohtisuorss vektoreit AB j AC vstn. Sdn yhtälöt = z Sdn n = zi zj + zk = z i j + k, z. Siis tson eräs normlivektori on i j + k. 6

207 Luku 6 6 ) = b) 5 5! = =! 5! 7 Viisi oikein -ruudukoit on = Kuusi oikein -ruudukoit on = 6. 6 Olkoon osnottjien määrä. Sdn yhtälö )! =,65... =,65! b) Kolme tyhjää pupetti voidn vlit 6 = =! 7! tvll. Istumjärjestyksiä on! = 9... = =,8...,. 7! c) vuosi = 65,5 6 6 s = s. Tietokoneell kuluu! s 8,5... 8, s = vuott ! Erilisi 7 rstin ruudukoit on = = 7!! 7 Neljä oikein -ruudukoit on = 7 6. Lehtirtikkelin luku on siis oike. eri! ( ) ( )! = = =! ( )!! ( )! = 66 = ± ( ) ( ) = = ti = Siis osnottji oli. 65 Kusskin kiinteässä pikss on kksi mhdollisuutt, piste ti ei 6 pistettä. Tällöin eri mhdollisuuksi on kikkin = 6. Kuitenkin tilnne, joss missään pikss ei ole pistettä, ei kelp. Siis eri merkkejä on kikkin 6 = ! ) (7) 5 = = = 5! 7

208 b) Jos Liis istuu päädyssä, niin Mijll on silloin 5 mhdollist istumpikk j muill sen jälkeen 5 = 6eri vihtoehto. L M LM 5 5 = 6 68 ) b) P(ensimmäinen kymppiin j muut ei kymppiin) =,8 (,8) =,8,9 =, ,7 % P(inkin yhdellä osuu) = P(ei osu millään tikll) 67 Jos Liis ei istu päädyssä, niin Mijll on silloin mhdollist istumpikk j muill 5 = 6eri vihtoehto. L M Liis Kikkin vihtoehtoj on siis 6 + = 8. ) P( molemmt toimivt) = P(kello A toimii j kello B toimii) b) P( vin toinen toimii) =,98,85 =,8 = P("kello A toimii j kello B ei toimi" ti "kello A ei toimi j kello B toimii") =,98 (,85) + (,98),85 =,6 LM 55 = c) P( kumpikn ei toimi) = P( kello A ei toimi j kello B ei toimi) =(,98) (,85) =, c) 5 5 = (,8) =,9 =,9... % 5 P( täsmälleen yksi osuu) =,8 (,8) 5,8,9, % = = 5 69 ) P( molemmt musti) = P(ensimmäinen must j toinen must) = =,5 5 5 b) P(inkin toinen on kuv ti ässä) = P("ensimmäinen kuv ti ässä j toinen mikä vn" ti "ensimmäinen ei kuv eikä ässä j toinen on kuv ti ässä") = + =,

209 6 b) 6 5 A = A osuu, B = B osuu, C = C osuu 5 P( tsn kksi osuu) = P(" A j B j C" ti " A j B j C" ti " A j B j C") = P( A j B j C) + P( A j B j C) + P( A j B j C) =,8,6,6+,8,,+,,6, =,6 6 ) 6 5. heitto 5 6. heitto 7 P (inkin toisell priton) = = 6 6 ). heitto heitto P (ero korkeintn ) = = 6 5 P ( pistesumm > 8) = =, heitto heitto b) P (. heitoll pistesumm > 8 j. heitoll pistesumm > 8) = =,77 8 8

210 P (. heitoll suurempi silmäluku kuin. heitoll)= =, heitto 5 6. heitto P(. heitoll suurempi silmäluku kuin. heitoll j. heitoll suurempi silmäluku kuin. ehdoll, että. heitoll tulee silmäluku ) = P(. heitoll yli j. enemmän kuin toisell) = =, heitto 5 6. heitto ) P(:ssä heitoss yhtä mont kruun j klv ) = P(:ssä heitoss tsn kruun) binomitn =,75 = = = 8 b) P (:ss heitoss yhtä mont kruun j klv ) 65 ) = P(:ss heitoss tsn kruun) binomitn 6 89 =,76 = = 6 P(5:stä tsn kuutost) 5 binomitodennäköisyys =,6 = = b) P(5:stä vähintään kuutost) = P(5:stä korkeintn kuutonen) = P("5:stä tsn kuutonen" ti "5:stä tsn kuutost") = = + =,

211 66 Olkoon nähtyjen kyykäärmeiden määrä. P(inkin yksi tumm kyy) = P(ei yhtään tumm kyytä) = P(kikki hrmit kyitä) =,7 Sdn epäyhtälö lg,7< lg id. ksvv,7 >,9,7 >,,7 <, lg,7 < lg, lg,7 < lg, lg, > > 6,55... lg,7 5 lg < 6 lg id. ksvv >,6 >, <, lg, lg < lg, lg < lg, > > 5, lg 6 Siis rpoj on ostettv vähintään ) 5 P (. kirjin vokli, eli A, E, I, O, U, Y, Å, Ä ti Ö) = = b) P( vin yksi kolmest vokli) = P( VVV ti VVV ti VVV) Vstus vähintään 7 67 ) P(inkin voitto) = P(ei yhtään voitto) binomitn 5 =,8 = b) Olkoon ostettujen rpojen määrä. P(inkin yksi voitto) = P(ei yhtään voitto) 5 = = Sdn epäyhtälö = + + =, Toisin: P( vin yksi kolmest vokli) = =, c) P( kirjimist voidn muodost sn ILO) = P( ILO ti IOL ti LIO ti LOI ti OIL ti OLI) = = 6 =, 9 8

212 Toisin:!( ) P( voidn muodost sn ILO) = =, = P( ABC ti ACB ti BAC ti BCA ti CAB ti CBA) = (,6,,+,6,,+,,6,+,,,6+,,6,+,,,6) = 6,6,,=,89 P(inkin toinen vpn) = P( molemmt vrttuin) 8 min 8 = =,5 6 min 5 Toisin: P(inkin toinen vpn) = P( A ti B vpn ) 6 = P( A vp ) + P( B vp ) P( A j B vp ) min min 8 min = + 6 min 6 min 6 min 8 = + =,5 5 5 P( A) =,6, P( B) =, j P( C) =, P(inkin yksi jää esiintymättä :sti heitettäessä) = P(kikki sennot A, B j C esiintyvät) P( kruun ) =, P( klv) =, X Bin 5, ) 5 p 5 5 = = = = = =

213 6 ) b) 5 μ = np = 5 = =,75 5 σ = npq = 5 =,97 Huomutus: Voidn käyttää myös määritelmien kvoj p i i j pi ( i ), mutt binomijkumn μ = σ = μ kvt μ = np j σ = npq ovt helpompi käyttää. +, kun f = muulloin b) + b A= puolisuunniks A= h + ( + ) = + ( + ) = = = (kelp) Siis =., f = muulloin P( X < ) = = Tiheysfunktio ei s koskn negtiivisi rvoj, joten pitää oll, kosk muutoin f () < P < = = =,9 8 6 Toislt tiheysfunktion j -kselin rjmn lueen l on in, joten sdn yhtälö

214 6 P( X = ) = Rusinpussin pino ) b) X N( μ, σ ), joss μ = g j σ = 8 g. 8 g g P( X < 8 g) = P Z< P( Z <,7) 8 g =Φ(,7) = Φ(,7),76 =, 89 5 g g P( X > 5 g) = P Z > P( Z >,79) 8 g = P( Z,79) = Φ(,79),96 =,67 c) P( X = g) = 6 Työhönottohstttelun pituus X N(5, σ ). Sdn yhtälö 65 5 P( X ) =,95 P Z =,95 σ 5 5 P Z =,95 Φ =,95 σ σ 5, 69,69σ 5 σ, σ Lukio A: μ = 7, σ = 9,, Alin 8 p A Lukio B: μ = 7, σ = 6,8, Bertt 8 p B A B 8 7 Alinn tuloksen normitettu rvo on z A =,9. 9, 8 7 Bertn tuloksen normitettu rvo on z B =,8. 6,8 Kosk zb > za, niin Bertt menestyi premmin omn lukions tsoon verrttun. Kosk P(7< XB < 8) = P < ZB < 6,8 6,8 P( > Z <,8) =Φ(,8) Φ(),88,5 B =,8 8 % niin lukioss B menestyi 8 % opiskelijoist keskitso premmin, mutt Bertt huonommin. Kosk

215 8 7 P( X A > 8) = P ZA > P( ZA >,9) 9, = P( Z, 9) = Φ(, 9),86 =,79 % A niin lukioss A menestyi % opiskelijoist Alin premmin. 66 Pistemäärä X N( μ, σ ), joss μ = 7,6 j σ =,. 67 [ ] = P( Z <,6) = Φ(,6) = Φ(,6) =Φ(, 6),896 89,6 % niin kokelist hyväksyttiin 89,6 %. Tulpn kesto X N( 5 km, km), joten μ = 5 km j σ = km. ) 7,6 P( X ) = 5 % P Z =,5, 7,6 P Z <,5, = 7,6 P Z < =,95, On määriteltävä kestorj km siten, että km 5 km P( X km) = 95 % P Z,95 km = 5 5 P Z =, 95 P Z < =,95 7,6 Φ,95, = 7,6,69, 7,6,77 7, 777 Siis ludturin lin pistemäärä on 8 p. b) Kosk 7,6 P( X ) = P Z P( Z,6), 5 5 P Z <,5,5 = Φ = < <,5 5 Φ =,5 Φ 5 =,95 5, ,8 7, Vstus 7 km 5

216 68 6 X N(,) ) P( X ) =,99 Φ ( ) =,99,6 P X =,99 P( X ) =,99 b) 69 [ ] Φ( ) Φ( ) =,99 Φ( ) Φ ( ) =,99 Φ( ) =,99 Φ ( ) =,995,5758 % ) v ikä μ = 6,8 6 Kosk rvosnt ovt suuruusjärjestyksessä, 5, 6, 8, 9, 9 j niitä on prillinen määrä, niin medini on 6 ti 8 ti näiden keskirvo = 7. Tunnusluvut voivt prntu enintään seurviksi: Keskirvo μ = 7, 7 Kosk rvosnt ovt suuruusjärjestyksessä, 5, 6, 8, 9, 9, j niitä on priton määrä, niin medini on Md = 8. 6 i 5 kg +,5 kg μ = = = 6 kg n 5 6 b) 6 v c) 5 v d) % 7 % = 6 % e) Lääkäreiden määrä. Sdn 6 Tp,,5 % = %,5! 8 = =! 8!. vioprin ninen kättelee muit, kättelyjä 8. vioprin mies kättelee muit, kättelyjä 8

217 . vioprin ninen kättelee muit, kättelyjä 6. vioprin mies kättelee muit, kättelyjä 6. vioprin ninen kättelee muit, kättelyjä. vioprin mies kättelee muit, kättelyjä 9. vioprin ninen kättelee muit, kättelyjä 9. vioprin mies kättelee muit, kättelyjä. vioprin ninen kättelee muit, kättelyjä. vioprin mies kättelee muit, kättelyjä Tp Plindromej on siis 9 = 9kpl, joten 9 P ( plindromi) = = =, 9 Plindromin ensimmäinen numero voidn vlit 9 eri tvll, toinen eli keskimmäinen numero eri tvll j kolms eli viimeinen numero vin tvll, joten tuloperitteen mukn plindromej on kikkin 9 = 9kpplett. Kättelyjä kikkin = ( ) = ( ) ritmeettinen summ =, d=, n= = 9 = 8 Alkeistpuksi eli lukuj,,,, 999 on kikkin = kpplett. Näistä luvuist plindromej ovt,,,,, 9,,,,, 9 6 Kolminumeroisen luonnollisen luvun ensimmäinen numero voidn vlit 9 eri tvll, toinen numero j kolms numero tvll, joten kolminumeroisi luonnollisi lukuj on kikkin tuloperitteen mukn 9 = 9 kpplett. 9 P plindromi = = =,. 9 Tällöin P(puolisot sm veriryhmää) = P("A j A" ti " B j B" ti " AB j AB" ti "O j O") = P(A j A) + P( B j B) + P( AB j AB) + P(O j O) =,,+,7,7+,8,8+,, =,5 =,5 % 99, 99, 99, 99,, 999 7

218 65 67 P( lite toimii) = P( A toimii j B toimii j C toimii) = (,) (,7) (,5) =,9965 P(lite ei toimi) = P(lite toimii) =,9965 =,6685,66 Jos C khdennetn, niin P( lite toimii) = P( A toimii j B toimii j inkin toinen C toimii) = (,) (,7) P( inkin toinen C toimii) [ P C ] =,99,99 ( molemmt rikki) [ P C C ] =,99,99 ( rikki j rikki) =,99,99 (, 5,5) =,9865 P(lite ei toimi) = P(lite toimii) =,9865 =,987675,9 66 Olkoon oppilit. Tällöin rvosnojen keskirvo oli μ =, +, ,58 6 +, 7 +, 8 +, 9 +, 6 7,9 = = 7,9 7,5 8 tänään pout,8, huomenn pout st,8,,,6 ylihuomenn pout st pout st P( ylihuomenn st tänään st ) =,8, +,,6 =,8 = 8 % 68 Jos luokss on oppilst, niin jokinen nt ( ) kuv, jolloin kuvi nnetn kikkin ( ) kpl. Sdn yhtälö ( ) = = ± ( ) ( ) ± 67 = = = ti = Siis luokll oli oppilst. Tp Jos oppilit on kpplett, niin oppilist voidn muodost khden hengen jonoj ( ) kpplett (AB, BA, AC, CA, ). Jokinen jono vst yhden kuvn vihto, joten sdn yhtälö ( ) =... = ti =

219 Siis luokll oli oppilst. Tp Olkoon oppilit kpl. Sdn yhtälö! = =! ( )! ( ) ( )! ( )! = ti = = ( ) = 6 6 P( viesti oikein) = =, P( viestissä tsn yksi virhe) = 6 = 8 =, P( koulu päättyy luntin) Siis luokll oli oppilst. 69 = P(.5. on lunti ti sunnunti) =,9 7 6 P P kpple villinen =, j kpple ehjä =, =,97 P( toinen nostettu pllo on vlkoinen) = P("vlkoinen j vlkoinen" ti "must j vlkoinen") 5 = + =, Tutkitn kpplett. P inkin yksi villinen,9 ( ) P kikki ehjiä,9 ( ) P. ehjä j. ehjä j... j. ehjä,9 ( ) P. ehjä. ehjä.... ehjä,9,97,97...,97,9 kpl 9,97,9,97,

220 lg id. ksv.,97, lg,97 lg, lg, lg,97 lg, lg,97 75,59... = 76, 77, 78,... Tp Olkoon X = ei A eikä B. P(A j B eri työryhmissä) = P("A/B j X j X j X j X" ti " X j A/B j X j X j X" Vstus vähintään 76 6 Olkoon veljekset A j B. Jos muodostetn viiden henkilön työryhmä, niin vlintmhdollisuuksi on 5. Tällöin viiden henkilön työryhmäprej on 5, kosk vlittess viisi henkilöä :stä, muodostuu in ko. ryhmälle vstinpri vlitsemtt jääneistä henkilöistä. Jos muodostetn viiden henkilön työryhmä, joss on mukn joko A 8 ti B, niin vlintmhdollisuuksi on tuloperitteen mukn. Tällöin viiden henkilön työryhmäprej, joiss A j B ovt eri 8 ryhmissä on Tällöin P ( A j B eri työryhmissä) = = =, ti... ti " X j X j X j X j A/B") = = 5 =, Keksipkkuksen mss X N( μ, σ ), joss μ = g j σ = 6 g. g g P( X < g) = P Z < (,67) 6 g P Z < =Φ(,67) = Φ(,67),786 =, 5 5 % g g g g P( g X g) = P Z 6 g 6 g P(,67 Z ) =Φ() Φ(,67) [ ] =Φ() Φ (,67) =Φ() +Φ(,67),8 +,786 =, %

221 65 n =,,,..., on idosti vähenevä. P sipuli itää = p =,7 Olkoon istutettvien sipulien lukumäärä n. Tällöin itävien sipulien lukumäärä X BIN ( n, p). P( X ) >,99 P( X = ti X = ) >,99 P( X = ) + P( X = ) >,99 P( X = ) P( X = ) >,99 n n n n,7,,7, >,99 n n n, n,7, >,99 n, +,7n,,<, n =,,,... g( n) Stu epäyhtälöä ei void rtkist muuttujn n suhteen, joten tutkitn funktion f =, +,7,,, >, kulku. f ' =, ln,+,7, +, ln,,7 =, (,ln,+,7 +,7ln, ), > > in Kosk lisäksi g(6),9 > j g(7),6 <, niin g( n) <, kun n = 7, 8, 9... Siis sipuleit on istutettv vähintään 7. Huomutus: Epäyhtälö voidn rtkist myös seurvsti ilmn derivtt: P( X ) >,99..., n n,7, n >,99 selvästi idosti ksvv siis tämäkin idosti ksvv Näin ollen epäyhtälö voidn rtkist kokeilemll, milloin epäyhtälön vsen puoli ensimmäisen kerrn ylittää rvon, p p p = P( kukn siemen itää) =,95 = P( siemen on rikkruohon siemen) =,5 = P( siemen on kukn siemen) =,95 p = P siemen on kukn siemen, jok itää = p p =,95 p = P siemen on kukn siemen, jok ei idä = p p =,75 5 Derivtt on negtiivinen, kun,ln,+,7+,7ln,<,7ln,<,ln,,7 >,... Siis f ' <, kun, joten f on idosti vähenevä, kun. Tällöin myös funktio n n g( n) =, +,7n,,,

222 P ( vähintään 9 kukn tint) = P ( "9 itävää kukn siementä j rikkruohon siemen" ti "9 itävää kukn siementä j itämätön kukn siemen" ti " itävää kukn siementä" ) = P ( 9 itävää kukn siementä j rikkruohon siemen) + P ( 9 itävää kukn siementä j itämätön kukn siemen) P ( itävää kukn siementä) = p p... p p + p p... p p + p p... p = p p + p p + p 9 9 =,95,5 +,95,75 +,95, P( vähintään rikkruohon siemen) = P( kukn siementä) + v = i + b j = ( ) i + ( y ) j = ( + ) i + ( y ) j Tällöin [ ] Kun >, niin + > eli >. Tphtumn A= " > " todennäköisyys eli P( > ) =, kosk neliön kikiss sisäpisteissä >. Kun b >, niin y > eli y >. Tphtumlle B = " b> " suotuis lue on neliöstä suorn y = yläpuolell olev os. Tphtumn B todennäköisyys on geometrisen todennäköisyyden mukn Neliön sivujen pituus on Asuotuis P( b> ) = Aneliö (5 ) + (5 ) = 8 = = =, ( 8) 8 9 = p p... p = p =,95,6 67 Olkoon neliön sisäpiste (, y ). Vstus, 9

223 68 65 mss X N( μ, σ ), joss σ = 5 g g μ P( X > g) =,95 P Z > =,95 5 g g μ g μ P Z,95 P Z,5 5 g = = 5 g g μ g μ Φ,5,5 5 g = Φ = 5 g < <,5 g μ g μ Φ,95, 5 g = 69 5 g ( [ ]) g μ,675 g μ,675 g g, 5 g Vstus 69 tänään 5 g P( ylihuomenn st tänään pout ) ) ) st = huomenn st pout = = ylihuomenn st pout st pout 5 = + = + =, 6 65 P( luku > 5) = P( 5X ti 6X ti 5XX ti 6XX ) = =, {,,,,5,6} j y {,,,,5,6} Esitetään stunnismuuttujn y y rvot 6 6 tulukoss. y 5 p = = = = = = Odotusrvo on μ = p i i = i= = = =,

224 65 65 P(inkin kksi miestä kolmest) = P( MMN ti MNM ti NMM ti MMM ) = =, Pllon tilvuus on V = πr, joten sdn V V V = π r r = r = π π Tällöin pllon hlkisij on V d = r =. π V = 5 l = 5 dm d, 57 dm, cm V = (5 65) l = 95 dm d, dm, cm V = (5 + 65) l = 565 dm d,7 dm, cm Hlkisijn poikkem X N( μ, σ ), joss μ = cm j σ =,75 cm. Ääripoikkemt: d d d,9 cm d,95 cm Tällöin hyväksyttäviä säiliöitä syntyy todennäköisyydellä 65 P(,9 cm X,95 cm),9 cm cm,95 cm cm = P Z,75 cm,75 cm P(,5 Z,5) =Φ(,5) Φ(,5) [ ] =Φ(,5) Φ (,5) =Φ(,5) +Φ(,5),6985 +,79 =, % ruske, 6 must, 8 sinistä 655 P( kuoret smnväriset) = P("R j R " ti "M j M" ti "S j S") = + + =, ), kun <, kun < 5 f = +,kun < 5 5, kun 5 y

225 b) 656 n P ( ) = 5 = P( minuutiss n puhelu ) = e n! P( minuutiss inkin 5 puhelu ) = P(minuutiss,,, ti puhelu ) [ P P P P P ] = () + () + () + () + () P( < ) = + = = e + e + e + e + e!!!!! = e =,85 6 8e 657 { } f = p + + p j p,,,, 5, 6 5 P ( > ) = = 5 Funktion f kuvj y = p + + p on ylöspäin ukev prbeli, joten funktion pienin rvo on yhtä suuri kuin huipun y -koordintti. o Pienin rvo on b = = = p p (, y ) yo = f ( o ) = f p p p = + p p 5 p p = + = p p p p

226 Sdn ehto p > p > p p p > p p = = < ei kelp 659 p = = 7> kelp p = = > kelp p = = 7 > kelp p = = > kelp p = = 9 > kelp Todennäköisyys, että pienin rvo on suurempi kuin, on 5 P =, Alle olivt luvut,,, 9, joit on 9. Yli 7 olevt luvut ovt 7, 7,,, joit on 7 = 5. P( toinen luku lle j toinen yli 7) = P("ensimmäinen lle j toinen yli 7" ti "ensimmäinen yli 7 j toinen lle ") = + =, A Jott 6 siirron jälkeen A:ss vlkoist pllo, niin A:st on jok siirroll siirryttävä must pllo B:hen j B:stä vlkoinen pllo A:hn. 66 P B ( A:ss lopuss vlkoist pllo) = P( M AVBM AVBM AVB ) = =, 8 vlkoist j must pllo P(eri väriset) = P("vlkoinen j must" ti "must j vlkoinen") = + = P ( vlkoinen j vlkoinen) = = 5 P ( must j must) = = 5 6

227 66 Olkoon ostettujen rpojen määrä. P(inkin yksi voitto) >,5 P(ei yhtään voitto) >, >,5 >,5 kpl lg id. ksvv 9 9 <,5 lg < lg,5 9 lg,5 lg < lg,5 > >, lg Vstus vähintään 66 j b log (+ b) > + b> ti b log (+ b) > log log idosti ksvv + b> 66 5 P ( log (+ b) > ) = =, 8 K : + y + y = + y + y + = ( ) ( y ) + + = ( ) + y ( ) = keskipiste (, ) j säde b> + 7

228 K : + y y+ 8= y y + + 8= keskipiste ( 5, ) j säde ( ) ( y ) 5 + = k ( ) k s : = k = k + k + ( ) k 6k = k( k ) = k = ti k = k = k + 6k + 6k = k + Pisteen P kutt kulkev suor leikk ympyrän K, kun k. k 5 k s : = k = k + k + ( ) k = k + k k + = k + k = Pisteen P kutt kulkev suor leikk ympyrän K, kun k. Määritetään suorien s j s suuntkulmt α j α. Pisteen P = (,) kutt kulkevien suorien yhtälö on muoto y = k( ) k y k = Ympyrän keskipisteen etäisyys ympyrän tngentist on yhtä suuri kuin ympyrän säde. Pisteen P kutt kulkevn j ympyröitä K j K leikkvn suorn kulmkerroin on siis välillä k. Näiden suorien suuntkulm on välillä tn α tn eli 6, α 5,... Kosk suorn suuntkulm on in välillä ] 9, 9 ], sdn geometrisen todennäköisyyden mukn 8 5,... 6, ,6... P = =,9 9 ( 9 ) 8

229 Kilpiluun osllistuji. Jott kksi prst A j B olisivt loppuotteluss, he eivät s kohdt ennen loppuottelu. Kosk jokisell kierroksell puto puolet peljist pois, on. kierroksell pelji,. kierroksell 6,. kierroksell 8,. kierroksell j loppuotteluss. ( j B loppuotteluss) P A ( = P " A:n vstustj. kierroksell joku muu kuin B" j " A:n vstustj. kierroksell joku muu kuin B" j " A:n vstustj. kierroksell joku muu kuin B" j " A:n vstustj. kierroksell joku muu kuin B") 6 6 = =,5 5 7 Huomutus: Tehtävän rtkisuss on oletettu, että A j B voittvt (kosk ovt prhit) vstustjns kierroksill,, j. Tämä ei ole luontev oletus, sillä prskin pelj voi hävitä joskus otteluns. Oletus johtuu tehtävännnon epämääräisyydestä. Kosk todennäköisyys ei voi oll pienempi kuin % eikä suurempi kuin %, niin sdn kksoisepäyhtälö R( v) (%) ln id.,v,v ksvv,v e e ln e ln in tosi > > ln e= ln,vln e ln v v,5..., ( ), Siis mlli ei voi vstt todellisuutt, kun v >,. Kun v =,5, niin Kun R = 5 (%), sdn yhtälö ln id.,v ksvv,,,5 R(,5) = e =,95...,9 (%). e = 5 ln e = ln5,v ln e = ln5 ln5 v = =,65..., ( ), v Vstus Mlli ei voi vstt todellisuutt, kun v >,. Todennäköisyys on,9 %, kun v =,5 ( ). Veren lkoholipitoisuus on,, kun todennäköisyys on 5 % P (silmäluvut eri suuret ) = =,

230 667 P( kikki poiki) = p p p p = p P( kikki tyttöjä) = t t t t = t, jos p = t = = 6,5768,58, jos p =,5 j t =, 9 P(inkin yksi tyttö) = P(kikki poiki) = p ) P ( kikki tyttöjä inkin yksi tyttö) P(kikki tyttöjä j inkin yksi tyttö) = P(inkin yksi tyttö) ) Vstus P( poik j inkin tyttöä ) P( poik inkin tyttöä ) = P(inkin tyttöä ) P( poik) 6t p = = P(inkin tyttöä ) 6t p + t p+ t 6,555, jos p = t = =, ,557, jos p =,5 j t =, 9 6 ; ;,68;,557 5 Huomutus Tpus p = t = voidn lske klssisell todennäköisyydellä: P(kikki tyttöjä) t = = P(inkin yksi tyttö) p, jos p = t = = 5,68...,68, jos p =,5 j t =,9 P(inkin tyttöä) = P( tyttöä ti tyttöä ti tyttöä) = P( tyttöä ) + P( tyttöä ) + P( tyttöä) = t p + t p+ t = 6t p + t p+ t P( poik) = p t = 6t p Perheessä inkin yksi tyttö E = { tppp, ptpp, pptp, pppt, ttpp, tptp, tppt, pttp, ptpt, pptt, tttp, ttpt, tptt, pttt, tttt P(kikki tyttöjä inkin yksi tyttö) = 5 Perheessä inkin tyttöä E = { ttpp, tptp, tppt, pttp, ptpt, pptt, tttp, ttpt, tptt, pttt, tttt} 6 P( poik inkin tyttö) = }

231 668 Pituus X N ( 75cm, 5cm) j älykkyys N (, ) X. A i = hlön i pituus yli 9 cm j älykkyys yli, i =,,..., 6 5. P( Ai ) = P( X > 9cm j X > ) ( 9cm) P( X ) = P X > > 9cm 75cm = P Z > P Z 5cm > = P Z > > ( ) P( Z,7) P( Z ) = P Z,7 669 Kosk henkilön pituus j kengän numero eivät ole toisistn riippumttomi muuttuji, edellä olev päättelyä ei void sovelt tähän tpukseen. -lkuisi puhelinnumeroit on kikkin =. Lsketn, kuink moni näistä on sellinen, joss esiintyy inkin kerrn luku. + = + = [ ] = Φ Φ(,7),9987,999 =, 6 + = 99 P (inkin henkilön pituus yli 9 j älykkyys yli ) = P ei kenenkään pituus yli 9 j älykkyys yli ( 65) = P A j A j A j... j A ( ) ( ) ( 65 ) = P A P A... P A ( 65 ) = P A P A... P A 6 65 =,,7 + = = 98 Suotuisi puhelinnumeroit on siis = 97. Tällöin P = = =,97

232 67 Todistus. Vrinssin määritelmän mukn ( μ) ( n μ) σ = n 67 Pino μ+ μ + + n nμ+ μ ( )... ( ) = n + + n μ + + n + μ + + μ (... ) (... ) (... ) = n + + n + + n μ (... ) (... ) n = μ + n n n = ( ) + = ( ) n n n μ μ μ n μ X N( μ, σ ), joss σ = 8, g. g μ g μ Φ,95,69 8, g = 8, g g μ,59 g μ,59 g Vstus 67 g Plutusten lukumäärä X Bin(5;,). Tällöin X N( μ, σ ), joss μ = np = 5, = 75 j σ = npq = 5, (,) =,75, jolloin σ = npq =,75 = 5, P( X ) = P Z 5,68... P( Z,6) g μ P( X g) =,95 P Z, 95 8, g = g μ g μ P Z <,95 P Z,5 8, g = < = 8, g Φ( ) = Φ( ) g μ g μ Φ,5,5 8, g = Φ = 8, g < <,5 = P( Z <,6) = Φ(,6),95 =,58 5,5 %

233 Luku 7 7 ) f ( ) = ( ) + ( ) + = b) c) 7 ) 9 g = + + = = = + + ± + = = ± 5 = = ti = + 6> Nollkohdt: ± 6 + 6= = ± 7 = = ti = Käyrä y = + 6 on ylöspäin ukev prbeli, joten + 6 >,kun < ti >. b) 7 ± + = = ± = = ti = Kosk < ti >, niin funktion f nollkoht on =., g ) g = f ( ) = ( ) ( ) = M = b) c) g = f ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) ( ) = ( )( + ) ( + ) = = + 5, M g = g = f ( ) = ( ) ( ) = = =, M \ g = [ ] d) g = f = { } {} ( ) j Siis M = \ ;. g

234 7 Funktion f = + + kuvj on lspäin ukev prbeli. Tällöin f ( ) < in, jos funktioll f ei ole nollkohti eli D< eli ( ) ( ) < eli + <. Nollkohdt: ± + = = ± 8 = = ti = 6 Käyrä y = + on ylöspäin ukev prbeli, joten 75 + <, kun 6< <. + y = y( ) = + y y = + y + y = y + ( y ) = y + = y y Siis f ( y) = +. y y + Kosk >, niin > eli y + > eli y y y + ( y ) > eli y+ y+ > eli y y y 5 > eli y > eli y >. y y + Näin ollen f ( y) =, y >. y Lisäksi 76 ) f ( f ) = f = + ( + ) + ( ) 5 = = =,kun >. + ( ) 5 5 f + f = + = + = Kosk f ( 5 ) =,niin f f f ( 5) f + f = + =, j f ( + ) =, + Kun j, niin f + f = f ( + ), kun + + = = ( + ) = = = ( + ) = epätosi < Siis f + f f ( + ) kikill,.

235 77 f = y ( )( ) = ( ) ( ) = + = + = + = = =, Funktion kulkukvio: f + f Kosk f on jtkuv j idosti ksvv sekä f 6 6 j f 6 = + = =, niin [, 6] Kosk f on idosti ksvv j f [, 6] käänteisfunktio :,6 [ ] [,] f. Määritetään käänteisfunktion luseke. A =. f A =, niin funktioll f on y = y = y = ( y) 8± 8 6 8± y = = 78 Todistus. Funktio f = on polynomifunktion jtkuv j derivoituv j f = 6 = ( ) Derivtn nollkohdt: ( ) = = ti = = ti = ± Derivtll ei siis ole nollkohti välillä ], [. 5 8± y = = ± y Kosk j y 6, niin = y =± y Kosk, niin = y. Siis käänteisfunktio on f y = y, y 6. Merkitään muuttuj kirjimell, jolloin sdn [ ] [ ] f :,6,, f =

236 79, < f = +, b) f :, f =. Funktio f on jtkuv. :ssä, kun kikill + + lim f = lim ( ) = = lim f = lim ( + ) = + = f () = + = Funktio ei ole jtkuv kohdss =, kosk rj-rvo ole olemss. 7, kun < ) f = +, kun f on selvästi jtkuv, kun f on jtkuv myös kohdss =, jos lim f = lim f = f. + lim f = lim ( ) = 9 lim f = lim (+ ) = f () = + = 6+ Siis 9 = 6+ 7 = 7 =. lim f ( ) ei 7 ) b). Kun =, niin. Siis = ei kelp.. Kun, niin kikill D< ( ) < + < in epätosi, kun. > Siis ei kelp. Vstus ) = b) ei rtkisu ( + ) ( ) lim = lim ( ) = lim = lim = ( ) lim + + = lim + + = lim = lim = = ( )

237 7 7 ) b) lim 9 ( + ) ( ) lim = lim 6 ( + ) 6 = = = lim ( + 9) 8 = lim = lim ) Kosk nimittäjän rj-rvo lim ( ) =, niin rj-rvo 6 + lim voi oll äärellinen vin, jos myös osoittjn rj-rvo on noll. lim 6 + = 6 + = = Tällöin = = lim ( + ) + ( + + 9) = = = = = ti = lim = lim 6+ = 7 + lim + ( + ) + 6 = lim = lim ( ) Kosk lähestyy luku, voidn [ ] rjoittu välille,, jolloin + = + j = +. > < ( ) ( )( + ) = lim = lim = lim ( ) ( + ) = b) = ti = ( )( ) ( ) ( ) = lim = lim = = ( + )( ) + + Vstus = j rj-rvo on + lim = Kosk nimittäjän rj-rvo ( ) voi oll olemss vin, jos myös osoittjn rj- + lim + rvo on noll. lim =, niin rj-rvo 7

238 lim ( + ) = + = = Kun =, niin sdn + + = = ti = lim = = ti = ( ) ( ) = lim = ( + ) ( ) Siis = kelp. 75 ) Kosk f = < j f = > sekä f jtkuv suljetull välillä [, ], niin funktioll f on inkin yksi nollkoht voimell välillä ], [ (Bolznon luse). Kosk f (, ), < j f (, ) 8,6 > sekä f on jtkuv suljetull välillä [,;, ], niin funktioll f on (inkin yksi) nollkoht voimell välillä ],;, [ (Bolznon luse). Tämä nollkoht on, khden desimlin trkkuudell. c) Kosk nimittäjän rj-rvo + + lim rj-rvo on noll. lim ( ) =, niin rj-rvo voi oll olemss vin, jos myös osoittjn lim + + = = ± ( 8) ± 6 = = = ti =. Tpus = + + ( ) ( + ) lim = lim = 6. Tpus = + 6 ( + ) ( ) lim = lim = b) Merkitään f = + + f = + > in, joten f on idosti ksvv. Kosk f ( ) = < j f = > sekä f on jtkuv suljetull välillä [, ], niin funktioll f on inkin yksi nollkoht välillä ], [ (Bolznon luse). Kohtien j perusteell funktioll f on täsmälleen yksi nollkoht, jok on smll yhtälön + + = ino relijuuri. > < sekä f on jtkuv Kosk f (,68) j f (,685) suljetull välillä [,685;,68], niin f :n ino nollkoht j smll yhtälön + + = ino relijuuri on neljän desimlin trkkuudell,68. Vstus Juuren likirvo on,68. Vstus = j rj-rvo on 6 = j rj-rvo on 8

239 c) Merkitään f = Kosk f = > j f ( ) = < sekä f on jtkuv 76 suljetull välillä [, ] niin f :llä on inkin yksi nollkoht voimell välillä ], [ (Bolznon luse). Kosk f ( ) = < j f ( ) = > sekä f on jtkuv suljetull välillä [, ] niin f :llä on inkin yksi nollkoht voimell välillä ], [ (Bolznon luse). Kosk väleillä ], [ j ], [ ei ole yhteisiä pisteitä, niin f :llä on inkin kksi nollkoht, jotk ovt smll yhtälön = eli + 6 = relijuuri. + b Funktio f = +, sdn jtkuvksi kohdss ( ) =, jos voidn määritellä f () = lim f. Määritetään j b siten, että lim f ( ) on olemss. + b lim f = lim + ( ) ( ) + + b + + b = lim = lim ( ) + Kosk nimittäjän rj-rvo ( ) lim + =, niin rj-rvo + + b lim voi oll olemss vin, jos osoittjn rj-rvo + on myös noll. 9 lim ( + + b) = + + b= b=. Kun b =, niin sdn = lim = lim ( ) + ( ) + lim + tulukkokirjst: ( ) = ( )( + + ) ( )( + + ) + ( ) ( ) ( ) = lim = lim Kosk nimittäjän rj-rvo on lim ( ) =, niin myös osoittjn rj-rvo pitää oll noll, jott rj-rvo lim voi oll olemss. Sdn lim ( ) = = = Kun = j b=, niin sdn ( ) lim = lim = lim = lim ( ) = Annettu funktio siis jtkuv myös pisteessä =, kun, = j b=. Tällöin + f = ( ), = Vstus = j b=

240 77 Funktio f :, f = on priton, kosk f ( ) = = f kikill ksvv, kosk f = > kikill Funktio f :, f = y y = on priton, kosk f ( ) = ( ) = = f kikill ei ole ksvv, kosk f () = j f = < Jos funktio f on priton, niin f = f ( ) eli f = f ( ) eli f = eli f () =. Jos funktio f on lisäksi jtkuv, niin sdn lim f = f =. 78 ) f = 5= ± ( ) ( 5) ± 9 = = b) f = = = c) Derivtn f = kuvj on suor, jok kulkee pisteiden (, ) j (,) kutt. 79 f = + = ± ( ) ± 8 = = = ti = f =, + ( ) ( ) f = = ( + ) = = ( ) ( + + ) + = = = ±

241 7 ) f = = = = ± b) f = ( ) ( )( ) = Tp ) f f () f = lim = lim ( ) = lim = lim = lim = ( ) ( ) c) ( ) ( ) + 6( ) ( ) = ( ) [( ) + ( ) ] = 9 ( )( 5 9) = = ti = ti = 5 ( ) ( )( ) f = ( ) + = =, ( ) ( ) Kosk > j ( ) >, kun, niin f >,kun. Derivtll ei siis ole nollkohti. 7 t y =,joten y = j k = y = = Tngentin yhtälö: y 8 = ( ) eli y = 6 y-kselill =, joten y = 6 = 6. Siis leikkuspiste on (, 6). Kun y = 8, niin 8 = 6 eli =. Al on A = =. 7 ( + h) ) f + h f f = lim = lim + h h h h h ( + h) h = lim = lim = lim = h h( + h) h h( + h) h ( + h) 7 Määritetään käyrien leikkuskoht: 6= + 6= Yhtälön juuri on = sillä + 6=. Yhtälöllä ei ole muit juuri, sillä funktio f = + 6 on idosti ksvv: Derivtn f = + kuvj on ylöspäin ukev

242 prbeli j derivtll ei ole nollkohti, kosk D = ( ) = <. Näin ollen derivtt f on in positiivinen j f on idosti ksvv. Määritetään käyrien y = 6 j y = tngenttien kulmkertoimet leikkuskohdss. y = k = = y = k = = 5 Käyrien väliselle kulmlle α sdn k k 5 7 tn α = = =, joten α 6,5. + kk c) Funktio on vkio, kun k =. Sdn yhtälö ( 9) = = ± 76 ( 9) < 9< < < Kosk kolmnnen steen polynomi on nollkohtien vull lusuttun p = ( )( )( ), niin sdn p = = ( ), 75 f = ( 9) + Funktion f kuvj on suor, jonk kulmkerroin on ( ) k = 9. ) Funktio on ksvv, kun suor on nousev ti vksuor eli kun k. Sdn epäyhtälö ( 9) 9 ti b) Funktio on idosti vähenevä, kun suor on lskev eli kun k <. Sdn epäyhtälö Tällöin p ( ) = ( ) + ( ) ( ) Sdn yhtälöpri p = 5: ( ) = 5 () p = : ( ) + ( ) ( ) = = 5 + = : ( ) = 5 + = eli = Tällöin = 5 6 = = 6.

243 Siis 77 ) b) p = (6 )( ) = (6 )( + ) = = f = D (+ 5) = 6(+ 5) = (+ 5) f = D( ln ) = ln + = ln +, > f = D 5e = 5 e = e c) d) f = D = D( ) e) ( ) = = = ( ) ( ) f = D(sin ln ) = cos ln + = cos ln, > f) f = D + = D + = + ) = = = 78 ) D ( + e ) = e + e ( + ) = e ( + + ) b) Funktio f = e on derivoituv kikill. 79 f e = D = e = e > in Derivtn merkin määrää luseke, joten f <, kun < >. Vstus f = e j f <, kun > ln ( 8 6 ) f = D + ( ) = ( 6) f = = = = 5 5 5

244 7 7 7 = + = = = 7 7 ( ) = = = = ( ) = = ± = ± 9 9 = = ti = ( ) = = = = 7 idosti 8 ksvv 8 < ( ) < < 99 < < < < ) b) sin sin sin sin f Siis f :n suurin rvo on j pienin Funktion f nollkohdt: f = sin = sin = π π π sin = sin = + n π ti = π + n π π 5π = + n π ti = + n π ( n ) π π π tn = + n π + n tn = tn = ti tn = tulukkokirj π π tn = tn ti tn = tn π π = + n π ti = + n π π π π π juuret voidn = + n ti = + n 8 8 yhdistää π π π π = + n, n + n 8

245 7 76 log y log y = log y log y = log y = log y ) + b) ln e + ln e = + ln e ln e = + = ) + y = = y = y y 8 ( y y = = ) = y y y = = = = y y = y y = 5 c) ln + ln5 ln ln = ln + ln5 ln ln( 5) = ln + ln5 ln (ln + ln5) = ln+ ln5 ln ln5= 75 ) b) c) d) = = = = = = = = ± e = e = e = e = e = e + + = + + = = ti + + = ± = ti = ± = ti = = ti = ± = = 5 5 y = y = 5 5 b) > < ti > ln ln( + ) < + > > ( ) ( ) Siis >. ln ln + < ln e ln < ln e ln idosti ksvv ( + ) > ln < ln e < e( ) < e e+ e < e+ e < e+ <, e e+ Siis < <. e 5

246 77 ) f = sin+ b joten f = cos f = sin + b= b= f = cos = = b) b) f = Ae + Be, joten 78 f = Ae + Be = Ae Be f = A+ B = A= B f = A B = B B = A B = A = B = B = ) C- pitoisuus elävässä hiss olkoon m j puoliintumisten lukumäärä. Sdn yhtälö,5 m =,9m,5 =,9 lg,5 = lg,9 lg,9 lg,5 = lg,9 = =, lg,5 Hin hmpn ikä on siis, vuott. 79 y = 5 eli y = 5 5, : = = 5 Siis 8 y = +, joten k T = 5 + = y = Kosk tn α =, niin α 57, k T Pllo puto reikään 58, kulmss vktsoon nähden. y = sin + cos, joten y = sin + cos =. Ehto y = on siis tosi. Kosk y = cos sin, niin y + sin = y cos sin + sin = sin + cos sin = sin in tosi 6

247 7 f = + j f = + f = =, f ( ) + ( ) joss f = eli + = eli ( f ) ( f ) = inut, kosk :llä käänteisfunktio Siis () = =. + 7 ) D + + = + Derivtn kuvj on lspäin ukev prbeli, joten suurin rvo on sm kuin huipun y-koordintti j derivtt s myös kikki tätä pienemmät rvot. Huipun -koordintti: b ( ) = = = j y = ( ) ( ) + = ( ) Siis derivtt s rvot välillä ],]. D + + = + + b) 7 ) Derivtn kuvj on ylöspäin ukev prbeli, joten derivtt on kikkill positiivinen, jos derivtll ei ole nollkohti eli D< < 6< < 9 < <. y = + Kun y =, niin = + =. Tngentti j normli kulkevt siis pisteen (, ) kutt. y = D + = + = + Tngentin kulmkerroin on kt = y = = j yhtälö 5 y ( ) = ( ) eli y =. Normlin kulmkerroin kn = = j yhtälö k y ( ) = [ ( ) ] eli y =. T 7

248 b) y = + Tngentin kulmkerroin käyrän pistessä (, ) y on kt = y = 6+. Tngentti lskee jyrkimmin, kun sen kulmkerroin on pienin (negtiivinen). Kosk kt = 6+, on se pienin, kun b 6 = = = j tällöin k T = 6 + = <. Kun =, niin y = ( ) + ( ) =. Siis käyrän pisteeseen (, ) piirretty tngentti lskee jyrkimmin. = pisteeseen c) Prbelille y, y piirretyn tngentin kulmkerroin on kt = y =. Kosk k T = tn 5, niin = eli =. Tällöin 5 5 y = =. Vstus, d) Käyrien yhteiset pisteet: y y = y = + y = = + y = + = + y + = = + 6+ e) = y = + y = = ( ) = y = 9 Siis käyrät leikkvt vin pisteessä, 9. y = + +, joten y = + j kt = y = y = +, joten y = j kt = y = Kosk k = k, niin käyrillä on yhteinen tngentti inoss T T yhteisessä pisteessä, 9. Tngentin yhtälö on 7 y = eli y = + eli y = f = e +, joten f = e + = e +. Tngentin kulmkerroin on () kt = f = e + = 5 j yhtälö y = 5( ) eli y = 5. Tngentti leikk y-kselin, kun A =, j -kselin, kun y = eli pisteessä on = eli pisteessä B =,. Jnn AB pituus AB = + ( ) = = =

249 f) y = =, joten y = = Tngentin kulmkerroin on k T = y = j yhtälö y = ( ) eli y = +. Tngentti leikk y-kselin, kun = eli pisteessä, j -kselin, kun y = eli kun + = eli kun + = eli kun = eli pisteessä (,). Kolmion l on A = = = =. g) Funktion f kuvjn pisteeseen (, ) kulmkerroin on k = f ( ). Tngentin T f piirretyn tngentin 5 5 y+ 5 = eli y = + kulmkerroin on k T =, joten 5 f () = k T =. Määritetään funktion f kuvjn y = j suorn y = yhteiset pisteet: y =, joten = + = y = ± ( ) ± 7 = = ei relijuuri 9 h) 7 Siis y = j y = eivät koht, joten y = ei voi oll kuvjn tngentti. + y = 6 y = 6 y =± 6. Käyrä y kulkee pisteen (, ) kutt eli y () =, joten y = 6 pisteen = lähellä. Kosk y = D 6 = D 6 ( 6 ) ( ) = = 6 niin tngentin kulmkerroin on () kt = y = = j 6 tngentin yhtälö on y ( ) = ( ) eli y =. Tngentti leikk -kselin, kun y = eli pisteessä (, ). ln ln ln ) e e e f ln = = = = = ln ln ln + e + e + e + 5 Rtkistn yhtälö f ( ) =. 6 e = 6e = + e 5e = + e 6 e = = ln = ln5 = ln5 5 5

250 b) ( f g) = ( g f )( ) f ( g ) = g( f ( )) f ln = g e > e+ ± ( e+ ) e e+ ± e e+ t = = e+ ± ( e ) e+ ± e e+ ± ( e ) t = = = e ln = lne ln e = lne = = ( ) = e ln = ln e = 7 e+ + e e+ e+ t = ti t = t = e ti t = t = e e = e ti e = e e idosti ksvv = ti = c) = ti = > = e + e e = e e + e = e ( > ) e (e ) + e ee e = t = e t t + e et t = ( e+ ) t+ e= ) y y = ( ) (, y ) = (, ) y = ( + ) (, y) =, = ( + ) eli = y = + eli y = + + eli Siis y = + Polynomi on P = + j sen derivtt on P =. 5

251 y 75 ) y = ( )( 5) y 5 = y = 5 b) y = + f = + b + c, Olkoon A= (, y) j B = (, y ) funktion f kuvjn kksi pistettä, jolloin. Suorn AB kulmkerroin on ( ) + ( ) ( ) ( ) ( + )( ) y y + b + c + b + c k = = b b = = + = + b= ( + ) + b= + + b b) k = y = 5 T Toislt k T = tn = Siis 5 = =. 5 Prbelin yhtälö on siten y = +. 5 Kun = 5, niin y = ,. 5 Vstus 7, m. y = ( )( 6) y = 6 (, y) = ( 5,) Kosk f = + b, niin = + b + + b f + f + + b = = = + + b = + + b = Prbelin yhtälö on siten y = + j y = Prbelille piirretyn origon kutt kulkevn tngentin 5

252 76 8 kulmkerroin on k T = y =. 5 8 Toislt tn α = k T eli tnα =, joten α 7. 5 ) C- pitoisuus elävissä eliöissä olkoon m j puoliintumisten lukumäärä. Tällöin eliön kuoltu on C- pitoisuus,5 m. 75 vuott sitten kuolleen eliön C- pitoisuus on siten 75,557 m =,68... m C- hiilen määrä on silloin vähentynyt m,68... m, m % = m m Hiilen määrä on lentunut prosenttiin, kun lg idosti ksvv % 59,6 %,5 m =,m,5 =, lg,5 = lg, lg, lg,5 = lg, = =, lg,5 Aik on kulunut silloin, vuott eliön kuolemst eli vuott lisää. Vstus 59,6 %; 5 vuott. b) Jos ineen määrä luss on m j puoliintumisten lukumäärä, niin inett on jäljellä,5 m. Tällöin viiden puoliintumisen jälkeen 5 inett on jäljellä,5 m =,5m eli noin % ) Aineest on poistunut 99 %, kun,5 m =,m,5 =, lg,5 = lg, lg, lg,5 = lg, = = 6, lg,5 Aik on tällöin kulunut 6,685 5 h 6, h eli h h. log E =,8 +,5M E =,8+,5 M,8+,5 6,8 Jos M = 6,8, niin E = =. Jos tämä ksv 5 %, niin E =,5, jolloin sdn log (,5 ) =,8 +,5M eli log,5,8 M = = 6, ,9,5 b) Nukutusinett on oltv leikkuksen lopuss vielä mg = 6 mg. Jos nukutusinett on ennen leikkust mg, niin jn t kuluttu t sitä on,5h mg. Sdn yhtälö h5min h 6,5 mg = 6 mg = = 6 mg,5h,5 h

253 78 k g = De f + f e k ) Funktio f = e 6e + 5 on derivoituv j f = e 6e + 5 Derivtn nollkohdt: e 6e + 5= e = t t 6t+ 5= 6± 6 5 6± t = = ei rtkisu Kosk käyrä joll ei ole nollkohti, on y = t 6t+ 5 on ylöspäin ukev prbeli, t 6t+ 5> in. 79 = ke f + f e [ ] = e kf ( ) + f ( ) > k > k > k f > k f kf + f > Siis g > kikill, joten funktio g on (idosti) ksvv koko :ssä. ) f ksv likimin linerisesti välillä [,9995;,5 ], joten tällä välillä f + b. Sdn yhtälöpri Siis myös f = e 6e + 5> kikill, joten funktio f on idosti ksvv koko : ssä. f f =, b,7585 (,5) =,75866,5+ b,75866 b) Oletus: f > k f, k k Väite: Funktio g = e f on ksvv :ssä., b,55 f,, joten f, Todistus: Funktion g derivtt on b) ( ) ( ) y = = + = = ( ) ( y = )( ) = + ( ) 5

254 y ( ) = ( ) ( ) = + = ( ) + ( ) y = + = + + = + + ( ) ( ) Tällöin 75 ) tn L = π π,6956 L + = π,69 L + = π L + = π L + = ( y ) ( y + )( y ) = + + ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = Jott y () =, niin = ( ) ( ) ( ) = ( ) + = = =± (kelp) π 5 ei pysty lskemn L + π tn tn tn Kosk L = = π π f = tn erotusosmäärä. Tällöin π lim L = f = = = π cos π, niin L( ) on funktion Aluss lsketut likirvot näyttävät siis luksi lähestyvän rjrvo lim L, mutt viimeistä likirvo lskin ei pysty π 5

255 lskemn, kosk lskin pyöristää nimittäjän nollksi, kun vuoksi. π rvon π 5 = +, rjllisen lskenttrkkuutens b) f jtkuv origoss, joten lim f f =. g g f f g = lim = lim = lim f = f ± q + + q= = ± q ± q ± q = = = 6 6 Funktio f on siten vähenevä välillä q + q,, q < b) V () t = 5( t) () l j q() t = V () t ( l / min) 75 Funktio f = + on jtkuv origoss, joten siihen voidn g = f = + =.) sovelt tulost. (Näin ollen ) Polynomifunktio f = + + q+ on vähenevä välillä I, jos j vin jos sen derivtt f tällä välillä. Derivtn f = + + q kuvj on ylöspäin ukev prbeli, joten se on negtiivinen vin nollkohtiens välissä. Näin ollen derivtll on oltv kksi nollkoht j, jolloin f on vähenevä välillä [, ]. Derivtll on kksi nollkoht täsmälleen silloin, kun D > q> q< Säiliö on tyhjä, kun () V t = 5 t = t = t = Siis säiliö on tyhjä min kuluttu. Funktion () V t = 5 t+ t = 5t 8t+ 8 kuvj on ylöspäin ukev prbeli, jonk ino nollkoht oli t =. V(t) Tällöin nollkohdt ovt t 55 V (t) = 5( t)

256 Funktio g() t = V () t = 5 ( t)( ) = t+ 8, t q t Kosk f > kikill >, on funktio f idosti ksvv. Siis sillä on käänteisfunktio. Käänteisfunktion derivtt kohdss = on f = f () = f f = = = = f () = = f ( + ) q(t) = 8 t Funktion g kuvj on lskev jn, joten sen suurin rvo sdn, kun t =. Tyhjenemisnopeus on siis suurin tyhjentämisen lkuhetkellä ( t = ). 75 Funktion f = derivtt on + ( + ) ( + ) f = = > > > + + = >, kun > ( + ) > 56 = Vstus 75 f = ) Funktio f :, f = on injektio: Kun y, niin f f ( y) Funktio f :, f = ei ole injektio: Kun y, niin f = f ( y) ( = ) Funktion f = määrittelyjoukko on M =, joten se on funktio :ssä. f Funktion f derivtt on f = + = ( + ) = ( ) Kosk f in j f = vin yksittäisessä kohdss =, niin funktio f on idosti ksvv ts. in, kun < y, niin

257 f < f ( y). Näin ollen f on injektio :ssä, sillä kikill, y on voimss : Kun y, niin f f ( y). Funktio f :, f = e on idosti ksvv, kosk f = e > kikill. Näin ollen se on injektio. Funktio f( ) = e > kikill, joten se ei ole surjektio. Esimerkiksi, kun y =, niin ei ole olemss sellist reliluku, että =, eli että y = f. e b) Funktio f on jtkuv, kun =, joten f f = on voimss kikill. lim f = f (). Ehto Tutkitn erotusosmäärän oikenpuolist rj-rvo kohdss =. f () f ( ) = f f () lim f () = + f () = lim + f ( ) Kun >, niin f f ( ) >, jolloin f ). Näin ollen, kun >, niin f = lim f f = + f f ( ) = = f = f ( ) Kosk lim = j lim f ( ) = f () =, niin rj-rvo + + lim ei ole olemss. Siis erotusosmäärällä ei ole rjrvo kohdss =, eikä funktio f ole derivoituv kohdss + f ( ) =. Esimerkkifunktioksi kelp f =, sillä f = on jtkuv kohdss = j f f ( ) = = = = e = 9 (e ) = 9 e = ± 9 e = ) Siis + = + = + = + =. e e e (e ) 7 b) Rtkistn y nnetust yhtälöstä. Kun >,, y > j y, niin ln ln y log y = log y = (ln ) = (ln y) ln y ln ln =± ln y ln = ln y ti ln = ln y ln idosti ksvv ln = ln y ti ln = ln y = y ti = y y = ti y =

258 Siis pisteet (, y ) muodostvt joukon (, y) >,, y = ti y =. Pistejoukko muodostuu käyristä 755 ) y =, >, j y =, >, f ( + h) f f + f ( h) f f = lim = lim h h h h f ( h) = lim, h h f ( h) Kosk ehdon ) nojll lim on olemss, niin f on h h derivoituv kikill. y y = y = 756 ) Kosk funktion f derivtt kohdss on k, niin f ( + h) f ( ) f ( ) = lim = k h h Tällöin f ( + h) f ( h) lim h h f ( + h) f ( ) f ( h) + f ( ) = lim h h [ ] f ( + h) f ( ) f ( h) f ( ) = lim h h f ( + h) f ( ) f ( h) f ( ) = lim lim h h h h f ( + h) f ( ) f ( h) f ( ) = lim + lim h h h h Merkitään f ( + h) f ( ) f ( h) f ( ) u = h, = lim + lim h h h h jolloin u, b) f = + + f ( ) f f () f () = lim f () = + + f () = f ( + h) f ( ) f ( + u) f ( ) = lim + lim h h u u = f ( ) + f ( ) = f ( ) = k kun h. + + f ( ) = lim = lim + f( ) = + = 58

259 b) f ( ) f( ) lim 757 Kosk f ( ) = f kikill, niin f ( ) f () f ( ) + f () = lim f ( ) f () f ( ) f () = lim f ( ) f () f ( ) f () = lim f ( ) f () f ( ) f () = lim + f ( ) f () f ( ) f () = lim + lim f ( u) f () f ( t) f () = lim + lim u u t t = f () + f () = f () Sijoitetn u = Kosk f on derivoituv kohdss =, niin f f () lim = f. j t =. Kun, niin u j t. Df( ) = Df us ( ) f ( ) D( ) = f u ( s ) s f ( ) = f, Kohdss = sdn 758 s = j u = f u = f f () = f () f () = f () = Merkitään f = cos j g = cos(cos ). º f = + sin in, kosk sin j f = vin π yksittäisissä kohdiss, kun sin = eli = + n π. Siis f on idosti ksvv j sillä on korkeintn yksi nollkoht. º Kosk f ( ) < j f () > sekä f on jtkuv suljetull välillä [, ], on funktioll f on inkin yksi nollkoht (Bolznon luse). Kohtien º j º perusteell funktioll f on täsmälleen yksi nollkoht =, joten yhtälöllä cos = on täsmälleen yksi juuri =. 59

260 º g = + sin(cos ) ( sin ) = sin sin(cos ). Kosk sin j cos j sin on idosti ksvv välillä [, ], niin sin sin(cos ) sin < sin sin(cos ) sin > Näin ollen < sin sin(cos ) <, joten g > in. Funktio g on siten idosti ksvv j sillä on korkeintn yksi nollkoht. º Kosk g( ) < j g() > sekä g on jtkuv suljetull välillä [, ], on g :llä inkin yksi nollkoht (Bolznon luse). Kohtien º j º perusteell funktioll g on täsmälleen yksi nollkoht =, joten yhtälöllä cos(cos ) = on täsmälleen yksi juuri =. Kosk f ( ) = cos =, on = cos. Toislt g( ) = cos(cos ) = cos =, joten =. Siis nnetuill yhtälöillä on yhteinen juuri, jok lisäksi on molempien yhtälöiden ino juuri. 759 f = 7 +, joten f = 7 Derivtn nollkohdt: 7= = 9 =± Derivtn kuvj on ylöspäin ukev prbeli, joten f, kun ti j tällöin f on ksvv f, kun j tällöin f on vähenevä. 76 f =, 9 Funktio f on jtkuv suljetull välillä [, ] j derivoituv voimell välillä ],[, joten f s suurimmn j pienimmän rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). ( 9) 6 f = = 9 9 ( 9) in ( 9) + = Kosk 8 () f = = 6j f = = 5, niin f :n suurin rvo 5 8 on 6 j pienin f = 8 f = =, Derivtn nollkohdt: 8+ = = ti = Derivtn nollkoht on siis =. 6

261 Kulkukvio: Kulkukvio: f + f f ( ) = ( + 6 6) = f ( ) = ( + 9) = 8 pienin rvo lim f = + = 6 > f + + f minimi- koht mksimi- koht minimikoht Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell minimit ovt Funktion f pienin rvo on 8 j suurint ei ole. 76 f f ( ) = ( ) + ( ) ( ) = j () = + = 5 f = + f = + Derivtn nollkohdt: + = + = = ti + = ± ± = = = ti = 6 mksimi on f = 76 f = ln Määrittelyjoukko: > > < < ti > + + y = + + tulo f = ( ) = + +

262 Derivtn nollkohdt: = = =± ±,6 M f Siis =. Kulkukvio: y = f f + + Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell ino äärirvokoht on =, jok on mksimikoht. Mksimi on ) f = ln = ln + = ln = ln,95 9 Vstus Määrittelylue on < < ti >. Mksimi on ln = ln ln =, > Osoitetn, että funktioll f = ln, > ei ole nollkohti, jolloin yhtälöllä ln = ei ole relijuuri. ) f = =, > Kulkukvio: + f + f + + Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell sen pienin rvo on f = ln,6>. Näin ollen f ( ) > kikill > eikä funktioll f ole siis nollkoht. 765 h + r =, r = h ( V = πr h = π h ) h π π V h = h h, h π V ( h) = πh y = +

263 Derivtn nollkohdt: π πh = h = h =± < h< Siis derivtn nollkoht on h =., j derivoituv voimell Kosk V on jtkuv suljetull välillä [ ] välillä ], [, niin V s suurimmn rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). V = π π V, ( suurin rvo) = = V = Pystytyskulm on tällöin: sin α = =, joten α 5, Vstus 5,5 ; m V = πr h = π h h π V ( h) = π h h, h π V ( h) = π h Derivtn nollkohdt: π π h = h = h =± < h< Siis derivtn nollkoht on h = =. Kosk V on jtkuv suljetull välillä [, ] j derivoituv voimell välillä ], [, niin V s suurimmn rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). V = 766 r + h = V = ) π π π π V = π = = ( suurin rvo) r + h = r r h = = h Siis 6 h = j r = = = = =. 6

264 Lieriön j pllon tilvuuksien suhde on π π Vstus 767 π = = π korkeus, säde 6, suhde f = 6, Funktio f on jtkuv suljetull välillä [, ] j derivoituv voimell välillä ], [, joten V s suurimmn rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). f = 6 = 6( + ) f = +, ) f = 9 = ( ) Derivtn nollkohdt: = ti = < < Kulkukvio: y = 9 f + + f minimi- koht mínimikoht mksimi- koht mksimi- koht Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell mksimit ovt f = j f = Derivtn nollkohdt: 6( + ) = = ti = < < Derivtn nollkohdt ovt siis =. f ( ) = ( ) 6 ( ) = 6= f = 6 = ( suurin) f () = 6 = 6= 8 ( pienin) Globli mksimi eli suurin rvo on minimit ovt f ( ) = j f = 8. Globli minimi eli pienin rvo on 8. y = 9 + y Vstus Suurin rvo on, pienin 8. 6

265 b) Käyrän y = f tngentin kulmkerroin 769 kt = f = 9,. Kulmkertoimen kuvj on os ylöspäin ukev prbeli y = 9, jonk huipun -koordintti on b 9 = = = [, ] j y-koordintti on y 7 = 9 = pienin rvo Kosk k = f ( ) = ( ) 9 ( ) = j T kt = f = 9 =, niin tngentin kulmkertoimen suurin rvo on. Vstus ) suurin rvo, pienin 8 b) suurin rvo, pienin ) f =, Funktio f on jtkuv suljetull välillä [, ] j derivoituv voimell välillä ], [, joten V s suurimmn rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). f = 6 6 = 6( ) Derivtn nollkohdt: = ti = < < Siis derivtn nollkoht on =. f = = f () = = ( pienin rvo) f = = 6 = ( suurin rvo) 7 65 b) g = +, Kosk g = f +, joten -kohdn mukn funktion g pienin rvo on g() = f () + = +. Siis + = eli =. Funktion g suurin rvo on silloin g = f + = =. Vstus ) suurin rvo, pienin b) =, suurin rvo 77 f =,, sillä in f = = = ( + + ) ( + ) ( + + ) ( + + ) ( + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( ) ( + )( ) ( + + ) ( + + ) = =

266 Derivtn nollkohdt: + = = ti = ± Kulkukvio: ( ) Funktio f on idosti vähenevä, kun. Näin ollen kosk > j b> j < b, niin f ( ) > f ( b). Vstus f ( ) f f + + y = + y = Kulkukvio: Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell globli minimikoht on = j globli minimirvo (pienin rvo) on f = + =. Globli minimipiste on siis (, 7). 77 ( + ) f f + 7 f = f = ( jtkuv ) globli minimikoht y = f = +, Derivtt on negtiivinen in lukuunottmtt yksittäistä rvo =, jolloin derivtt on noll. Tällöin funktio f on idosti vähenevä eikä sillä ole äärirvoj. f = ( ) ( ) = ( ) ( ) = + + Derivtn nollkohdt: = ti = Kosk g = +, niin g = + > in. Funktio g on siten idosti ksvv eikä sillä ole äärirvoj. Summfunktion Derivtt on h = f + g = + + = + h = 9 +. Derivtn nollkohdt: 9 + = = = ± 9 66

267 Kulkukvio: h + h Funktio h on jtkuv, joten kulkukvion perusteell ) minimi on h = = = 9 9 ) mksimi on h = + = + = 9 9 Vstus minimi, mksimi mksimi- koht minimikoht - - Funktio f = ln ( + ) + on jtkuv suljetull välillä j derivoituv voimell välillä < <, joten se s suurimmn rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). ( ) + + f = + = + = Derivtt f =, kun < <, joten derivtll ei ole + nollkohti. Kosk () f = j f = ln + = ln (,9), niin suurin rvo on ln f = e j f = e Derivtn nollkohdt: e = e = = Kulkukvio: Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell funktion f pienin rvo on f = e =. 775 f + f f = e, < < e f = e + e = e + globli minimikoht ( ) = e Derivtn nollkohdt: > in Derivtn nollkoht on siis =. f jtkuv f + e = = ti =

268 Kulkukvio: e f f + e globli minimikoht Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell f:llä ei ole suurint rvo j pienin rvo on () f = e =. + + b+ c d + = 6 = b c+ d b c+ d = + b c+ d = + b+ c+ d + = + b+ c+ d = + b+ c+ d = + b+ c+ d = b+ c d = b= c d b+ d + 5= b+ d = 5 7b c+ 5d + = 7b c+ 5d = 5 c d 5 = c = d + c 6d = c 6d = Vstus pienin rvo on, suurint ei ole d + 5 6d = 776 P = + b + c + d + e, P = + b + c + d P ( ) = 6 b+ c d + e= 6 P = + b c+ d = P = e = P () = + b+ c+ d + e= P () = + b+ c+ d = Vstus 5 c = d + = 5 d = 5 b= c d = 5 5 = b c+ d + 5 = e = P =

269 f = Määrittelyjoukko: Nollkohdt: 6± = = = ti = 5 ( ) Kuvj: y = Määrittelyjoukko on 5. f = cos + sin, Trigonometrin peruskvn mukn cos = sin, joten f = sin + sin Merkitään t = sin, t Määritetään siis funktion () g t = t + t, t suurin j pienin rvo. Funktion g kuvj on os lspäin ukev prbeli y = t + t+, jonk huipun t-koordintti on b t = = = [,]. ( ) 5 Funktion g suurin rvo on siten g = + =. Kosk () g( ) = ( ) = j g = + =, niin g:n pienin rvo on. Funktio f on pienin, kun + 6 5, 5 on suurin eli kun + 5 = =. Pienin rvo on f = = Funktio f on suurin, kun + 6 5, 5 on pienin eli kun = ti = 5. Suurin rvo on () f = f ( 5) = =. + Vstus Suurin rvo on j pienin. Huomutus Tehtävässä olisi voinut käyttää myös Fermt n lusett. Vstus Suurin rvo on 5 j pienin. Huomutus Funktion f jksollisuuden perusteell olisi voitu rjoittu tutkimn esimerkiksi suljettu väliä [,π ], jolloin suurin j pienin rvo voidn määrittää Fermt n luseen vull. 69

270 f = +, < < j f = ln Derivtn nollkohdt: ln = = = log ln ln ln ln = log ln =,5 ln Kulkukvio: f + f ln ln ln globli mksimikoht Kosk lim f = + = + lim f = + = j f on jtkuv f jtkuv f,,9 niin kulkukvion perusteell on f ( ) > kikill < <. + Osoitetn, että funktioll f = ln, > ei ole nollkohti, jolloin yhtälöllä ln = ei ole relijuuri. f = =, > Derivtt s rvon noll, kun = eli =. Kulkukvio f jtkuv f + f globli minimikoht f Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell funktion pienin rvo on f = ln>, joten funktioll f ei ole nollkohti. 78,5 Osoitetn, että funktioll nollkoht, jolloin yhtälöllä ( ) f = + on täsmälleen yksi + = on täsmälleen yksi relijuuri. f = + =

271 Derivtn nollkohdt: 6± 6 6± + 6+ = = = 6 + =, ti =,58 Funktion f kulkukvio: f + + f + Kosk funktio f on jtkuv j f +,6 > sekä f ( ) = 5<, niin kulkukvion perusteell funktioll f on täsmälleen yksi nollkoht. 78 π Osoitetn, että funktio f = tn, < <, on π negtiivinen, jolloin :n rvoill < < on tn <. cos f = = cos cos y = f Derivtn nollkohdt: cos = cos = cos =± π π Kosk < <, niin cos = = Kulkukvio: Kosk cos + cos f + f + + π π mksimi- minimikoht koht minimikoht f ( ) + + f jtkuv f,5 lim = lim tn = tn = π π π lim = lim tn = tn = < f ( ) π π f on jtkuv niin kulkukvion perusteell f ( ) <, kun + π < < 7

272 78 f = D( ) = ( ).( ) =, < Pisteeseen (, ) piirretyn tngentin yhtälö on y = f ( )( + ) y = ( + ) + y = y = + Osoitetn, että käyrä y = f on tämän tngentin lpuolell, kun,, eli osoitetn, että h = f + on negtiivinen, kun,. h = + = = Derivtn nollkohdt: = = = = Kulkukvio: h jtkuv h h + h + Kulkukvion perusteell jtkuvn funktion h suurin rvo on + h = = = =, joten h <, kun, Vstus Tngentin yhtälö on + y =. 78 Osoitetn, että funktio f = e + e + ei s negtiivisi rvoj. f = e + e + = e e + f = e e = e + e > in, joten f on idosti ksvv. Kosk lisäksi f = e e + = + =, niin derivtn f ino nollkoht on = sekä f <, kun < j f >, kun >. Funktion f kulkukvio: f + f globli minimikoht Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell funktion f pienin rvo on f = e + e + = + + =. Kosk f in, niin e + e + in. 7

273 785 Osoitetn, että funktioll kksi nollkoht. 7 f = e + e on täsmälleen 5 f = e + e = e + e ( e e ) f = e + e + e = + + > in > > > Siis f on idosti ksvv, joten sillä on korkeintn yksi nollkoht. Kosk lisäksi f = e + e = < f () = e + e = e> f on jtkuv suljetull välillä [, ] niin f : ll on inkin yksi nollkoht (Bolznon luse). Siis funktioll f on täsmälleen yksi nollkoht ] [, sekä f <, kun < j f >, kun >. Funktion f kulkukvio f + f Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion mukn f :llä on korkeintn kksi nollkoht. Kosk 7 f =,> 5 f (,),< 7 () 7 f = e + e,> 5, f on jtkuv suljetull välillä [ ] on f :llä inkin yksi nollkoht välillä ] ;, [ j inkin yksi nollkoht välillä ],; [ (Bolznon luse). Kosk välit ] [ ;, j ],; [ ovt erilliset, niin f :llä on inkin kksi nollkoht. Kohtien j perusteell f :llä on täsmälleen kksi nollkoht, jotk ovt smll yhtälön 786 Osoitetn, että 7 e + e = inot relijuuret. 5 f = e, kun. ln e e e e e t idosti ksvv ln e e ln ln + Osoitetn siis, että g = ln +, kun. g = ln+ = ln Kosk g = ln >, kun > g () = ln= niin g on idosti ksvv. Kosk lisäksi g() = ln + =, niin g, kun. Kosk e = ln + =, niin edellisen nojll

274 yhtäsuuruus pätee vin, kun =, kosk g = ln + on idosti ksvv j g () =. 787 y+ = 8,6( cm) 788 Suorn yhtälö on y = k( ), k < y = 8,6 V = π y = π ( 8,6 ) = π 8,6 Rjt: j y eli j 8,6 eli j 9, eli 9, Funktio V on jtkuv suljetull välillä [ ; 9, ] j derivoituv voimell välillä ] ; 9, [,joten se s suurimmn rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). V = π 7, 6 = π 6, V = = ti = 6, V = ( 6,) 5 ( suurin rvo) V V 9, = Suor leikk -kselin, kun y = eli = k( ) eli = eli k = ( > ) k y-kselin, kun = eli y = k( ) eli y = k + ( > ) Kolmion l on siten 6 ( k + ) 9k + + k Ak = = k 9 8 = k +, k < k A ( k) = + 8 ( ) k = + k A ( k) = + = = k = k = ± k k A k =, kun k = k <. 9 Siis Vstus 6, cm; 5 cm 7

275 Kulkukvio: A ( k) + Ak globli minimikoht A jtkuv k A ( k) + A on jtkuv, joten kulkukvion perusteell sen pienin rvo on Vstus A = + 8 = kulmkerroin, l Suorn j -kselin leikkuspiste ( y = ) : = k = k k k = k > Kolmion l: k 9 Ak = ( k+ ) = k+, k< k k k A k = + 9 k = + = k k Derivtn nollkohdt: 9 k + 9= k = k = ± k < Derivtn nollkoht on siis k =. Kulkukvio: A ( k) + Ak globli minimikoht Suorn yhtälö on y = k( ), k < Suorn j y-kselin leikkuspiste ( = ) : y = k( ) y = k + ( > ) Funktio A on jtkuv, joten kulkukvion perusteell l s pienimmän rvons, kun k =. Tällöin l on A = + = 6 = j kysytty suor on 75

276 y = ( ) y 6= y = Derivtn nollkohdt: A = = = ti Vstus Suor on + y = j l on. 79 Määritetään käyrän y = e,, pisteeseen ( b, ) piirretyn tngentin yhtälö: Tngentin kulmkerroin kt = y ( ) = e,. Tngentin yhtälö T e e y b= k y = y = e + e + e y = e + e +, Tngentin j y-kselin leikkuspiste ( = ) : y = e + > Tngentin j -kselin leikkuspiste ( y = ) : e ( + ) = e + e ( + ) = = + ( > ) e Tngentin j koordinttikselien muodostmn kolmion pint-l on A = + e + = e ( + ) Aln derivtt on A ( ) = e ( )( + ) + ( + ) e = e + e + + = + ( ) ( ) ( )( ) Derivtn nollkoht on siis = ( ). Kulkukvio: Kosk e > in, niin derivtn merkin määräävät tekijät + j A ( ) A + globli mksimikoht Funktio A on jtkuv, joten kulkukvion perusteell kolmion l on suurin, kun =. Tätä vstv tngentti on y e = + e + y = + e e Aln suurin rvo on () A = e ( + ) = (,7). e Vstus Tngentin yhtälö on y = + j e e kolmion ln suurin rvo (,7). e

277 79 79 Tpus : Os seinästä on ituksen sivun. Kolmion l on y A = = y = 6 = 6, Funktio A on jtkuv suljetull välillä, j derivoituv voimell välillä,, joten se s suurimmn rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). A = 6 Derivtn nollkohdt: 6 = ± Derivtn nollkoht on siis = ( < < ). A = A = 6 = 8 suurin rvo A ( ) = Vstus 8 6 ( ) A = ( ) y y = = 8+ Tpus : Vstus = 8 + = + 8 8, < Seinä on sivun osn. 6 ( + ) A = ( ) y y = = 8 = ( + )( 8 ) = + 8 8, < 8 Suurin mhdollinen l on 8m. 77

278 79 vikutus V D mss m etäisyys lohikäärmeestä r V = k m., k > r Kokonisvikutus K = k md + k mn = k mn + km N ( ) N Derivtn nollkohdt: = = ( ) ( ) 6 = = = ± ( ) = ti = ( ) = ti = + = 8,6... ti = 57,... km = N +, < < ( ) > Kokonisvikutus on pienin, kun f = +, < < on pienin. ( ) f = D + D ( ) = 6 = + Derivtn nollkoht on siis = 8,6... ( < < ). Kulkukvio: f + f 8,6 f jtkuv f 5 Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell se s pienimmän rvons, kun 8,6 (kyynärää). Vstus 9 kyynärää Drgost. + 78

279 79 y = 7 y = 7 = 7 = = ti = ± 7 y = = 7 y = 7 = = ti = ± Kulkukvio: y + + y y = y = 7 = =, Käyrän pisteen (, y) (, 7 ) y = eli y = on = etäisyys suorst d = = + ( ) 7 Tutkitn mitä rvoj s funktio f = f = + + Derivtn nollkohdt: + + =. Helposti hvitn, että = on derivtn nollkoht, kosk + + =. Tällöin + + = + b+ c + + = + b + c b c Sdn = = b = b = 8 c b= c = c = Siis derivtn nollkohdt: + + = 8 = 8± ± = ti = = ti = 8 79

280 Kulkukvio: f f + + Funktio f on jtkuv, On etsittävä nnetun ympyräkrtion sisään piirretyistä ympyräkrtioist suurin. f < j f = <, joten kulkukvion perusteell f kikill. Tällöin etäisyyden d pienin rvo on =, jok sdn, kun =. 7 7 Tällöin käyrän piste on (, ) (, 7 ) (, ) Vstus y = 7 y y = y = =.,,, ΔABC ΔFEC (kk) Vstinjnojen suhde on vkio: H R = H h r Hr = R ( H h) H( R r) h = R H( R r) πh V( r) = πr h = π r = ( Rr r ), r R R R Funktio V on jtkuv suljetull välillä r R (välin päätepisteet vstvt krtion surkstuneit erikoistpuksi) j derivoituv voimell välillä < r< R. Tilvuuden suurin rvo sdn välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). Derivtn nollkohdt: πh ( ) πh V r = Rr r = r( R r), < r < R R R R V ( r) = r = ti r =

281 R Derivtn nollkoht on siis r = ( < r < R). V = V ( R) = R πh R R V = R R πh 8 πhr = R = R Kysytty tilvuuksien suhteen suurin rvo on ulko suurin Vsisä πhr πr H πhr = : = = V πr H π π V = 9+ 6 = 6+ 9 ( ) ( ) Derivtn nollkohdt: 6± = = = ti = ( ) Derivtn nollkoht on siis = ( < < ). V = Vstus () π ( π V = 9 )( + ) =,5 suurin V = π,5 796 Krtion korkeus h. Krtion tilvuus on h = + π V = r h r = 797 ) Olkoon pllon säde r, pyrmidin korkeus h ( r) j pohjsärmä. Leiktn pyrmidi pitkin tso, jok kulkee huipun j pohjn khden vstkkisen kärjen kutt. π V = 9 + ( V = π ), Funktio V on jtkuv suljetull välillä [, ] j derivoituv voimell välillä ], [, joten se s suurimmn rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). 8

282 Suorkulmisest kolmiost Δ AFG sdn + ( h r) = r + h hr+ r = r = h + hr, r h r b) Pyrmidin tilvuus on V h = h = h + hr h = h + rh, r h r r j derivoituv r,joten se s suurimmn rvons välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). 8 V h = h + rh = h h+ r = Derivtn nollkohdt: h = ti h = r Derivtn nollkoht on siis h = r ( r < h< r). V = Funktio V on jtkuv suljetull välillä [ r, ] voimell välillä ] r, [ 6 V r = r + r r = r 8 V( r) = Suurimmn pyrmidin j pllon tilvuuksien suhde on 6 V r pyrmidi 6 6 = 8 = = (,9) Vpllo 8 π 7π π r suurin V = y + R = y + R ΔEFG ΔEHJ ( kk ), joten GF EG R R = = = JH EJ y y + R + y ( + R) + y ( + ) R R R ( + R) + R y = y y = R R + R R + R V = ( + R) =, > R R ( R) 8

283 R + R R R + R V = 9 R ( + ) ( ) ( + ) R R R R = 9 ( R) ( + )( ) R R R =, > R ( R) Derivtn nollkohdt: = R ( > R). 798 AB = km v v km = h km = 5 h Kulkukvio: R ( + R) + + R + ( R) + + V + V R R globli minimikoht V on jtkuv, joten kulkukvion perusteell sen pienin rvo on R ( R+ R) R 6R R V ( R) = = = ( R R) 6R V pllo πr R πr π Suhde = : = = V R 8 pyrmidi + R + R 8 Suunnistj kulkee suon reun pitkin pisteeseen P j siitä suorint reittiä kohtn B. Kri AP: α = π = ( km) π Jänne PB: y β sin β = sin = y β π α π α α Siis y = sin = sin = sin = cos (km) Käytetty ik: α α cos y α t( α) = t + t = + = + = α + cos, α π v v 5 5 Funktio t on jtkuv suljetull välillä [, π ] j derivoituv voimell välillä ], π [, joten t s pienimmän rvons välin

284 päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss (Fermt n luse). α α t ( α ) = + sin = sin 5 Derivtn nollkohdt: 799 α α α π sin = sin = sin = sin 6 α π α π = + n π ti = π + n π 6 6 π 5 α = + n π ti α = π + n π π α =. Välille ], π [ kuuluu vin Lsketn funktion t rvot välin päätepisteissä j derivtn nollkohdiss: t = + cos= =, 5 5 π π π t = + cos,5 5 6 π t ( π) = π+ cos,57 pienin 5 Siis keskuskulmn on oltv oikokulm π. Vstus Knntt juost koko mtk suon reun pitkin kovll mll. Suurin niistä plloist, jotk jäävät kokonn vedenpinnn lle on se, jonk pint sivu vedenpint. Trvitsee siis tutki tpuksi, joiss pllon yläreun jää krtion yläreunn tslle ti sen yläpuolelle. Olkoon r pllon säde j sen pllosegmentin korkeus, jok jää vedenpinnn lle. Krtion korkeus on h =, 6,6 = 8,8 (cm). ΔABC ΔAED r 8,8 + r = 6,6, kk, joten r = 58,8 6,6 + 6,6r r =,,5 Pllon syrjäyttämä vesimäärä on (pllosegmentin tilvuuden kv tulukkokirjst) 8

285 V = π r = π, 6 V = π, π = π + 6,π 6 6 = π + 6, Derivtn nollkohdt: = ti =,8 Kulkukvio: V + V,8 globli mksimikoht + -,8 - Funktio V on jtkuv, joten kulkukvion perusteell tilvuus on suurin, kun =,8. Tällöin pllon säde on r =,,5,8 = 6, ( cm) Vstus Pllon säde on 6, cm. 85

286 Luku Derivtt f = = 9 6+, joten 7 F = 7+ d = + + C ) ( ) F = d = d us ( ) b) ( = ) + C 8 s f = 9 6+ d = + + C Ehdost f = sdn yhtälö + + C = C = 5 Siis f = + 5 j f = + 5= 9 f derivointi integrointi f c) F = d = d 9 9 s us ( ) ln = 9 C + > U ( s ) ( ) = ln 9 + C 8 ( ) F = + d = + + C Ehdost F = sdn yhtälö C = 6+ + C = C = Siis F = ) F = e d = ( )e e d = + C s us ( ) Ehdost F = sdn yhtälö e + C = + C = C = Siis F = e b) ( F = ) d = d us ( ) s = ( ) + C = ( ) + C 9 U ( s ) Ehdost F = sdn yhtälö

287 85 + C = + C = C = 8 C = 9 9 Siis 5 F =, joten > 9 9 ( ) 5 = 9 9 Integrlifunktio on F = + d = + + C. Integrlifunktion kuvj kulkee pisteiden (, ) j (,8) joten sdn yhtälöpri + + C = ( ) C = C = C = = 5 Vstus = 86 sin sin ) F = cos e d = e + C s us ( ) Ehdost F = sdn yhtälö sin e + C = + C = C = kutt, = b) F = sin cos d = sin cos d = sin d = sin ( cos ) cos d = + C = + C s us ( ) U ( s ) Ehdost F = sdn yhtälö cos + C = + C = C = Siis F = cos + sin c) F = d = ( sin ) ( cos ) d cos s us ( ) 87 ) = ( cos ) + C = + C cos U( s ) Ehdost F = sdn yhtälö cos + C = + C = C = Siis F = cos e d = e d = e + C s us ( ) Siis sin F = e 87

288 + d = d 5 + s us ( ) b) c) 88 ( ) = C = C U ( s ) ( + )( ) d = d = d = + C ) b) tn tn e d = e + C cos s us ( ) d ( ) ( = ) d = + C s us ( ) U ( s ) ) F = e d = 8 e e 8 d = + C 8 s us ( ) e b) ( ) F = d = e e + d ( e + ) us ( ) s ( ) = e + + C = + C e + U ( s ) + + c) F = d = d = d 9 ( + )( ) c) = + C ( ) = + C e + e e e d = + e e e < <, joten > = e d + e d = e 5 e d + d 5 s u( s ) s us ( ) + 5 = e + e + C 5 d = ( ) ln d = + C s us ( ) = ln ( ) + C <, joten < 8 Jos f = g kikill, niin funktio f on funktion g integrlifunktio. 88

289 ( ) f = D e sin Df g = f g+ g f C = C = 6 ( ) = De sin+ Dsin e = e sin+ cos e = g kikill f derivointi integrointi f Täten 7 F = Vstus 8 Funktio f on siis funktion g integrlifunktio. ( ) F = + d = + + C F( ) on polynomifunktion jtkuv j derivoituv. Tutkitn derivtn F = f = + merkkiä. Derivtn nollkohdt: ± + = = = ti = F + + F mksimi- koht minimi- koht Pikllinen minimi on kohdss =, joten sdn yhtälö () F = + + C = +, kun f = + =, kun < Funktio on jtkuv, joten sillä on integrlifunktio. + + C, kun F = + D, kun < Integrlifunktio on jtkuv kohdss =, joten lim F = lim F + F = + D = + D Kosk lim lim ( ) F = + + C = + C, j lim lim ( ) + + niin sdn yhtälö + D = + C D = C y =

290 + + C, kun F = + C, kun < Ehdost F = sdn yhtälö + + C = 8+ + C = C = + +, kun Siis F = +, kun < F ( ) = ( ) ( ) + = + + = 8 ) / 5 d = 5 8 = = + = c) 8 +, kun < =, kun d = ( + ) d + ( ) d / / ( ) ( ) = + + ( 9 ) = = 6 d d ) / / y = = = = = = + b) π π π sind = sin cos d = / π π us ( ) s π U( s ) π = cosπ cos = = 8 π π π / U s b) cos d = cos sin d = s u( s ) ( ) π = sin sin = =,5 9

291 c) 85 ) b) +, kun =, kun > d= ( + ) d+ ( ) d / / ( ) ( ) = + + = = 9 d d = = us s d / / = ( ) = = = U( s ) e d = e e ( e ),86 d = = us ( ) s U( s ) / y = + 86 Rtkistn yhtälö 87 / d = = = = 8 9 = = 8± 8 ( 9) = = ti = ( 9) 9 Rtkistn yhtälö / ( ) ( ) 6+ d = + = + + = + = + = ti = ± ( ) = = ti = Vstus =, = ti = 9

292 88 ) / (e + A ) d = e + A = e + A e + A = e+ A + = A= e A= e = ( ) = 5 = ( 5),55 e e e e / b) + d = d d ( ln ) + = + = + = e+ ln e ( + ln) = e+ + = e+,7 b) ( A B ) d B / A B + = + + = B + A A + B = B+ + B = B+ A = j B voi oll mikä thns reliluku. Vstus ) A = e b) A= j B 89 d ) = ( ) = ( ) d = us ( ) s U ( s ) d / / = ( ) = / 9 8 / + d = + = + + = + Rtkistn nollkohdt: + = ± ( ) = = ti = Täten 8 + ( + )( ) lim ( + ) d = lim = lim = lim ( ) = = / = ( ) = ( ) F t dt t t = = 8+

293 Trkstelln funktion F derivtn merkkiä: F = 8 +, joten F = 8 8 Derivtn nollkohdt: 8 8= = Funktion F kulkukvio: / I = sintdt= sin tdt= ( cos t) = cos ( cos) = cos b) π < π Funktio F on jtkuv, joten kulkukvion perusteell funktion minimikoht on =. Huomutus Tehtävän rtkisuss olisi voinut käyttää myös nlyysin peruslusett. 8 sin t F + F sin t, kun t π = sin t, kun π < t π ) π minimikoht y = π I = sin tdt= sin tdt+ ( sin t) dt= ( cos t) ( cos t) π π = cosπ + cos ( cos + cosπ) = cosπ + cos cosπ = cos + π / / cos, kun π Siis I = cos +, kun π < π Käyrä y = I on välillä [,π ] jtkuv j nousev. Käyrän piirtämiseksi lsketn muutm piste. I π π cos = π cosπ = π π cos + = π cosπ + = y π y = I() π π π 9

294 8 Funktio on määritelty välillä. t, kun t + t = + t, kun t > y = + t + t ) < eli < Kosk j integroimisväli on t, trkstelu on jettv khteen osn. ) eli Siis / f ( ) t dt ( t ) dt = + = + = t + t = + = +, kun f =, kun < y f = + t dt = ( t) dt + ( + t) dt y = f () / / = t t + t + t = + + = + 9 Funktio on jtkuv suljetull välillä [, ] j derivoituv välillä ], [ joten se s pienimmän rvons derivtn nollkohdiss ti välin päätepisteissä.

295 , kun < Funktion derivttfunktio on f =, kun < <. Derivtn nollkoht: = = Funktion rvot välin päätepisteissä j derivtn nollkohdiss: f = + = f = + = ( pienin) f = ( t t) dt = ( + t t) dt + ( t t) dt ) > : / / ( ) = dt+ t dt = t + t t = + = 7 f () = + = f = = ( suurin) Funktion pienin rvo on f = j suurin rvo on f =. 8 t, kun t t = + t, kun t > Jetn trkstelu khteen osn ) : y = t + t f = ( t t) dt = ( t t) dt+ ( + t t) dt / / = t dt+ dt = t t + t [ ] = + = 7, kun Siis f =, kun > 95

296 85 Pint-l on Esimerkiksi kelp ( f = 6 ) Tällöin funktio on polynomifunktion jtkuv j f f ( ) = 6 = () ( ) = 6 = f d = 6 d = 6 = 6 = 6 = 6 / ( ) A = da = yd = + d / = + = + = + = b) Funktion nollkohdt: ( ) = = =± Kun =, on y = ( ) = Huomutus Funktion voi oll myös esimerkiksi f = 5πsin π 86 ) Funktion nollkohdt: ± + = = = ti = Käyrä on symmetrinen y-kselin suhteen, joten pint-l on A= da= yd = ( ) d = ( + ) d 5 6 = / + = + = =

297 87 88 Vsemmlle ukevn prbelin = y nollkohdt: Funktio f = e > kikkill. y = y = y =± Pint-l on ( ) A= da= dy = y dy / = y dy = y y Prbeli on symmetrinen kselin suhteen 8 = = 8 = Pint-l on 89 A = da = yd = e d = e d us ( ) s / ( = e = e e ) = e,7 Funktion f = 9 nollkohdt: 9 = 9 = = ti = 9 = ti = ± 97

298 Funktio f = 9 on jtkuv, joten se voi viht merkkiään vin, kun ohitetn nollkoht. Selvitetään funktion merkki testipisteiden vull. f + 8 Välillä on < j >, joten <. Pint-l on Funktio on priton, sillä f ( ) = f. Pint-l on siis ( ) A = da = y d = 9 d / 9 9 = = 8 8 = = A = da = ( y) d = d ( ) = d + d = d + d ( ) / / / = + = 98

299 8 = ( 6) = = Funktion f = cos nollkohdt välillä π : π cos = cos = = = π Funktio f = cos on jtkuv, joten se voi viht merkkiään vin, kun ohitetn nollkoht. Selvitetään funktion merkki testipisteiden vull. f π π + 99 Pint-l on π π π π π A= da= ( y) d+ yd = cos d+ cos d π π π π π π / / = cos d cos sin sin d = π π s u ( s ) π π π = sin sin sin + sin = ( + ) = 8 Huomutus Tehtävän olisi voinut rtkist myös käyttäen funktion prittomuutt: 8 π π A= da= y d =... = 8 Funktion f = nollkohdt välillä : idosti ksvv = = = Funktio f = on jtkuv, joten se voi viht merkkiään vin, kun ohitetn nollkoht. Selvitetään funktion merkki testipisteiden vull. f +

300 vsemmll puolell. Pint-l on Pint-l on ( ) ( ) A= da= y d+ yd = d+ d / / = + ln ln = + ln ln ln ln = =, ln ln ln ln ln 8 e e e A = da = ( ) dy = ln y dy ln d = ln + C e / Huomutus 8 ( y y y) = ln = e ln e e ln = e e + = Tehtävän olisi voinut rtkist myös vihtmll muuttujt j y keskenään. Käyrä y = e on idosti ksvv j käyrä y = e on idosti vähenevä, joten niillä on korkeintn yksi leikkuspiste. e = j e =, joten leikkuspiste on (, ). y = e = ln y = ln y Funktio ln f y = y on jtkuv j f () = ln= sekä f ( e) = lne=, joten välillä y e käyrä sijitsee y-kselin

301 y = y + = + = = = ti = Käyriä y = + j y = + vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteen vull. y = + y = + kommentti y y,kun Pint-l on ( e e ) A= da= y y d = d = e e + d = e e / + s us ( ) s us ( ) = + + = + e e e e e e 8 8 e + e e e + e = = = e e e 6 85 ) Lskevn suorn y = + j lspäin ukevn prbelin y = + leikkuskohdt: Pint-l on ( ) A= da= y y d = + + d / = + d = + = + = 6

302 b) Alspäin ukevien prbelien leikkuskohdt: y = j y = y = y = 6 = = = = ± Käyriä y = j y = vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteen vull. y = y = kommentti y y,kun 86 Pint-l on siis ( ) A= da= y y d = + d = d = = = 8 ) Ylöspäin ukevien prbelien y = j y = + leikkuskohdt: / y = y = ( + ) = = ± ( ) ( ) = = ti = Käyriä y = j y = ( + ) vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteen vull. Funktiot f = j g = ovt prillisi f = f j g = g. funktioit, sillä y = y = ( + ) kommentti 9 y y,kun

303 5± 5 5+ = = = ti = ( kelp) ( ei kelp) ) : y = y = + = = = ti = ( kelp) ( ei kelp) Pint-l on A= da= y y d = + d / ( ) ( ) d = Käyriä y = j y = + vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteiden vull. y = y = + kommentti y y,kun y y,kun = ( ) + ( ) + 9 ( ) = b) +, kun y = =, kun > y = + Käyrien y = j y = + leikkuskohdt: ) > : y = y = + Prbelin y = + huippu on kohdss = =, joten molemmt funktiot ovt symmetrisiä suorn = suhteen.

304 Pint-l on siis ( ) ( ) A= da= y y d = + d ( ) ( ) = + d = + d 87 / = + = + = 6 y +, kun y g( y) = y y = + y, kun y > y, käyrä on symmetrinen suorn y = suhteen, joten pint-l on Lisäksi välillä [ ] A = da = ( ) dy + dy = ( ) dy + dy Funktion f ( y) y = nollkohdt välillä y 5: y = y = y = y =± y = ti y = y = ti y = Funktio f ( y) = y on jtkuv, joten se voi viht merkkiään vin, kun ohitetn nollkoht. Selvitetään funktion merkki testipisteiden vull. y f y + 5 = y dy+ y dy 5 = ( y) dy + ( y ) dy s us ( ) / / 5 y ( ) y y y = + + = = = + 8 =

305 88 ) Käyrien j y = y = leikkuskohdt: y = y = + = ( + ) = = ti = Käyriä y = j y = vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteen vull. = = y y kommentti y y,kun 8 Pint-l on 89 / ( ) A= da= y y d = + d = + = = Käyrien y = sin j y = sin leikkuskohdt välillä y = y sin = sin sin cos = sin sin ( cos ) = sin = ti cos = π = ti = ± Sinikäyrä on symmetrinen origon suhteen, sillä sin Pint-l on siis π π. A= da= da π π π, : = sin. Käyriä y = sin j y = sin vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteiden vull. 5

306 y = sin y = sin kommentti π π y y,kun 5π π π 6 + y y,kun π π cos cos cos cos / / = π π = cos + cos cos + cos π π π π + cos + cosπ cos + cos = = = = Pint-l on π π π A= da= y y d+ y y d π π π = ( sin sin ) d + ( sin sin ) d π 8 Prbelin f = nollkohdt: = = = = ± ±,8 Käyrä y = on ylöspäin ukev prbeli, joten välillä (, ) käyrä on -kselin lpuolell. Lisäksi käyrä on symmetrinen y-kselin suhteen. π π = sin sin d+ sin sin d π s us ( ) 6

307 8 Funktio f = + > kikkill, joten pint-l on ( ) A= da= yd = + d Pint-l on siis ( ) A= da= da= y d = d / = = = 6 Sdn yhtälö 6 = + = 6+ + = = ( ) = + + = + = ti + = ± = ti = < < ( ei kelp) = ti = ( ei kelp) ( kelp) / + = + = ( ) = = = + + Sdn yhtälö + + = + = 8 Käyrien ± ( ) = = ti = y = k j y = leikkuskohdt: y = y k = k = = ti = k Käyriä y = k j y = vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteen vull. Vstus = 7

308 ) k > : y = k y = k k k kommentti y y,kun k ) k < : Pint-l on k k ( ) / k k k 6 k A= da= da= k d = = Sdn yhtälö k = 6 k = 6 k = 6 k < 6 ( kelp) Pint-l on k k k ( ) A= da= y y d = k d k / k k k k = = = 6 Sdn yhtälö k 6 = 6 k = 6 k = 6 k > ( kelp) 8 8 Vstus k =± 6 π y = j ympyrän 6 + y = = y. Alspäin ukevn prbelin ( ) + y = leikkuskohdt: Sijoittmll prbelin yhtälöön sdn π π π y = y y y = y y = y = ti y = > y π ( kelp) ( ei kelp)

309 Leikkuspisteessä y = = ± = ± 8 π Prbeli ( y = ) on symmetrinen y-kselin suhteen, joten 6 sen j -kselin rjoittmn lueen l on π ( A ) p = da= yd = d 6 / π π π = = = 8 8 Yksikköympyrän pint-l on π = π, joten suuremmn lueen π π π pint-l on A = Apuoliympyrä + A p = + = π π π j pienemmän lueen l on A = Apuoliympyrä A p = =. π π Suhde on siis A : A = : = : Tilvuus on V = dv = πy d = π + + d ( ) = π d ( ) = π d / 5 = π π = π = π + =

310 = y y = Tilvuus on V = dv = πy d = π + d 6 7 π ( ) = + + d = π / π = π = π + = Tilvuus on V = dv = πy d = π d 5 5 / π π = d + = + π 5 6 π 8 7 π = 6 + = =

311 87 88 Kun =, niin y = + = Kun = 5, niin y = 5 + = y = + = y = y Alspäin ukevn prbelin y = nollkohdt: = = = ± Tilvuus on V = π dv = π dy = π y dy = π y y+ dy = π y y + y = π π = π + + = 6 / Käyrä on symmetrinen y-kselin suhteen, joten tilvuus on V = dv = dv = πy d = π d 8 5 = π d = π = π 6 + = π π = π = 5 5 /

312 89 Ylöspäin ukevien prbelien y = 5 j y = leikkuskohdt: y = y 5= = = = ± 85 = π d = π 9 + d = π = π + = π ( 6 + ) 6 = π = 8π 5 Ylöspäin ukevn prbelin y prbelin = y leikkuskohdt: () y = Sijoitetn yhtälöön ( ). = y / = j oikelle ukevn Kppleen tilvuus sdn khden pyörähdyskppleen tilvuuksien erotuksen. Lisäksi prbelit ovt symmetrisiä y-kselin suhteen, joten tilvuus on V = V V = dv dv = dv dv ( ) = πy d πy d = π 5 d π d π ( 5) = + d π + d 6 ( ) ( ) = = = = = ti = = ti = Käyriä y = j y = vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrien järjestys voidn selvittää testipisteen vull. y = y y = 6 kommentti y y,kun

313 y (, y ) (, y ) y = y = y = e y = e kommentti e e y y,kun d Tilvuus on siis π π V = V V = dv dv = = y d y d ( ) ( ) = π d π d = π d 85 / 5 π = π = π =,9 5 5 Käyrien y = e j y = e leikkuskohdt: e ( ) = = = > y = y e = e e e = Käyriä y = e j y = e vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrien järjestys voidn selvittää testipisteen vull. Siis tilvuus on π π V = V V = dv dv = = y d y d = π e d π e d = π e π e d d s us ( ) / π = e π e d Osittisintegroimll kksi kert sdn e d = e e d = e e + e d

314 = e e + e = e e + e Tilvuus on siis = y = y kommentti = =,kun y / / π π V = e e e + e π( ) π = e e e e + + π π e π e = e e + = = 5, 85 Käyrien j y = y = leikkuspisteet: y = y = = = ti = Kun =, niin Kun =, niin y = = y = = Leikkuspisteet ovt siis (, ) j (, ). Kpple pyörähtää y-kselin ympäri, joten tilvuuslkio y = = y = y = = = y j y y y y dv = π dy Käyriä = = vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrien järjestys voidn selvittää testipisteen vull. Tilvuus on π π V = V V = dv dv = = dy dy = π y dy π ydy π y = y dy / 5 5 = π y y = π 5 5 π = π =, 5

315 85 ) y = = y+ = y+ Käyrä pyörähtää suorn = ympäri, joten tilvuuslkio dv = πr dy, missä r = = π = π + + = π 8 b) Kppleen tilvuus sdn khden pyörähdyskppleen tilvuuksien erotuksen. Tilvuus on π π ( ) V = dv = r dy = y+ dy = π 9 6 y + + y+ dy = π 6 y+ + y dy / = π y 6 ( y+ ) + y - Kun suor = pyörähtää suorn = ympäri, on kpple suor ympyrälieriö j sen tilvuus on V [ ] = πr h = π = π Tilvuus on -kohdn perusteell siis V = V V = π π = 8π 5 y ( y ) y / = π + + 5

316 85 Ylöspäin ukevn prbelin y = leikkuspisteet: y = + j käyrän y = y + = + = 8 + = 7± ( 7) 7 + = = 8 Kun, on y y j käyrät ovt symmetrisiä y-kselin suhteen, joten tilvuus on ( ) ( ) ( π π ) V = V V = dv dv = y d y d = π + d Käyrä = ti = = ± ti = ± y = on origokeskeinen puoliympyrä, missä säde on. ( ) = π d 5 7 π ( 7 ) = + d = π + 5 / 5 7 = π = π = π = π = 9, 6

317 855 ) Funktion f = määrittelyjoukko: b) Tilvuuslkio on dv = π dy, joten lsketn : y = = y = y Kun =±, niin y = ( ± ) = Kun =, niin y = = Käyrä y = on y-kselin suhteen symmetrinen, joten tilvuus on ( π π ) V = dv = y d = d = π d = π d = π π = π =, / Tilvuus on V = dv = π dy = π y dy = π y y π = π =, Huomutus Syntynyt pyörähdyskpple on puolipllo, jonk säde on. Sen tilvuus on siis V = π = π / Huomutus Syntynyt pyörähdyskpple on pllo, jonk säde on. Sen tilvuus on siis V = π = π 7

318 856, kun < y = = +, kun + +, kun > - +, kun < y = =, kun +, kun > Ylöspäin ukevn prbelin y = nollkohdt: = = = ti = Alspäin ukevn prbelin y = + nollkohdt: + = + = = ti = Tilvuus on π π V = V + V = dv + dv = y d+ y d = π d + π + d 9 = π + d+ π + d / / = π + + π + / = π = π = π π = π + = π + =,

319 Käyrän y = + yhtälö on määritelty, kun + eli Kun =, on y =, joten lue muodostuu välille =±, on y = ± + =. Kun Ylöspäin ukev prbeli y = + > in. y = + = y Tilvuus on V = dv = πy d = π + d / = + d = π + = π ( ) + ( ) = π = π Sdn yhtälö > π = π = = ± = ) Vetoisuus on vesitil V = dv = π dy / = π ( y ) dy = π y y = π [ ] ( ) = π 5 + = π cm 9

320 b) Mljkon ulkotilvuus on Vlieriö = Apohj h = π = 9π Lsin tilvuus on ( ) Vlsi = Vlieriö Vvesitil = 9 π π = 58π 8 cm kg kg kg c) Lsin tiheys on = =,, joten m dm dm kg 58π mlsi = δ lsi Vlsi =, dm,55kg dm 859 ) + sin d= d+ sin d= cos + C π π π s us ( ) sin cos b) ( tn ) d = d d cos = = cos cos π π π π π π π π π π π = tn tn, = + = π / d) Merkitään veden yläreunn korkeus on h. Tällöin veden tilvuus on h / h dv = π y y = π h h + Sdn yhtälö π π h h+ = h h+ = 6 h h = h h 8= ± 8 ± 8 h = = h = + > ti h = < ( kelp) ( ei kelp) Veden korkeus on siis h = + 7,6( cm) 86 ) Rtkistn yhtälö + + ( ) + d = + = ( ) = / = + = = b) Rtkistn yhtälö ( ) + d = + = + + = = = = 8 /

321 86 ) F = F d = + d = + ln + C < = + ln ( ) + C Ehdost F ( ) = sdn yhtälö + ln[ ( ) ] + C = C = Siis F = + ln ( ) + b) F ( ) sin cos = sin cos d = d cos d 86 s us ( ) ( = cos tn + C = sin ) tn + C = + C sin tn π π Funktio F on välillä, jtkuvien funktioiden erotuksen jtkuv. Ehdost F = sdn yhtälö C sin tn+ = = Siis F = sin tn + ( F = cos tn + ) C f derivointi integrointi f f = + cos cos+ sin ( sin) Kosk f = g,kun, on funktio f funktion g( ) integrlifunktio. 86 Funktion f ( y) y ( y ) = cos + sin = cos + cos = cos = g, = nollkohdt: y y = y = ti y = Funktio f on jtkuv, joten funktion merkki voidn selvittää testipisteen vull. f y 8 f derivointi integrointi f Funktio f = + sin cos on funktion g = cos integrlifunktio, jos f = g kikill.

322 Pint-l on A = da = dy = y y dy = y y dy = y y / 86 = = = y = y = = y+ Käyrien = y + y j = y+ leikkuskohdt: = y + y = y+ y y = ± ( ) y = y = ti y = Käyriä = y + y j = y+ vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteen vull. y = y + y = y+ kommentti, kun y Pint-l on ( ) ( ) A= da= dy = y+ y y dy ( ) = y + y+ dy = y + y + y = = = = ) ( + ) = ( + ) / cos sin sin cos d sin cos sin cos d = = sin cos d = sin + C us ( ) s

323 b) 866 Käyrän 6 ( )( + ) ( d = d = ) d + + = d d = + C = + C ln ln s us ( ) y = + nollkohdt: + = ( + ) = = ti = Funktio f = + on jtkuv, joten sillä on integrlifunktio. +, kun f = + =, kun < < +, kun + + C, kun F = + D, kun < < + + E, kun Integrlifunktio on derivoituvn funktion jtkuv kohdiss = j =, joten y = ) Koht = : Kosk lim F = lim + + C = + C j lim F = lim + D = + D, + + niin sdn yhtälö + C = + D D= C+ 8 ) Koht = Kosk lim F = lim + D = D j lim F = lim + + E = E, + + niin D= E + + C, kun Siis F = C, kun < < C, kun lim F = lim F j lim F = lim F + +

324 867 Oikelle ukevn prbelin y leikkuskohdt: 8 8 = j ympyrän = + = + y = 8 ± ( 8) = = ti = Vin = kelp, sillä prbelin = y huippu on origoss. Kun =, niin y = y =± Leikkuspisteet ovt siis (, ) j (, ). Segmentin l on 9 A segmentti = Asektori Akolmio OAB = π 8 8 = π 6 Pienemmän osn l on 8 Apieni = Asegmentti + A= π + = π + Suuremmn osn l on Asuuri = Aympyrä Apieni = π 8 π + = 6π A π + pieni π Suhde on + = =,. A suuri 6π 9π 868 Prbelin y tt piirretyn tngentin kulmkerroin on k = D =, joten tngentin yhtälö on y t = t( t). Tngentti kulkee pisteen (, ) kutt, joten sdn yhtälö = pisteeseen (, ) t = t( t) t t = t( t ) = t = ti t = Prbelin j -kselin rjoittmn lueen pint-l A 8 = da = yd = d = d = = = Kolmio OAB on suorkulminen, sillä OB + OA = AB. Prbelin ympyrästä erottmn segmenttiä vstv keskuskulm on siis 9. / Tngentit siis sivuvt prbeli origoss j pisteessä (, ). Toinen tngentti on suor y = ( ) y = j toinen on suor y = ( ) y =. Suor y = leikk -kselin kohdss: = =.

325 869 ) sin cos d d d cos cos tn sin = sin = sin sin = sin d sin ( cos ) sin d cos = + s us ( ) [ ] = cos cos + C = + cos + C cos Pint-l sdn määrittämällä prbelin j -kselin välisen lueen l j vähentämällä siitä kolmion ABC l. Pint-l on siis A 8 = d AB BC = = = / Huomutus: Pint-ln olisi voinut lske myös seurvsti: ( ) ( ) A = d + d = d + + d / / = + + = = = b) 87 d = [ ln ( + ) ] d = ln ln ( + ) + C ( + ln ) ( + ) + ( ) / s us ( ) t t 6 dt = t t 6t = = Sdn yhtälö 6 = 8 = ( ± 8 8) = = ti = = ti = 6 ti = 5

326 87 Prbelin y = j suorn y = leikkuskohdt: y = y = = = ti = Kun =, on Kun =, on y = =, joten leikkuspiste on (, ). y =, joten leikkuspiste on (, ). Käyriä y = j y = vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteen vull. y = y = kommentti y y, kun S = da= y y d= d / Prbelin on = = = 6 y = pisteeseen (, ) k D = = j tngentin yhtälö on piirretyn tngentin kulmkerroin y = ( ) y = + y = Tngentti leikk -kselin pisteessä: = = = Toinen tngentti kulkee pisteen (, ) kutt, joten sen yhtälö on y = ( ) y = Prbelisegmentin pint-l S on Kolmion pint-l T sdn vähentämällä kolmion OAB lst kolmion CAB pint-l eli 6

327 T = AOAB ACAB = = S Suhde 6 eli S: T : T = = 6 = = 87 Ylöspäin ukevn prbelin y = ( > ) nollkohdt: = = = ± Prbelin huipun koordintit ovt = = j y = = Pint-l on 87 A= da= y d = d = = = = = ω π + k k ω π + k k k sin k+ ω d = cos k+ ω ω s us ( ) ω U( s ) k ω π ω = cos k + + ω + cos k + ω k k k / = cosπ + cos = ( ) + = Vkio k supistuu sijoituksess, joten lusekkeen rvo ei riipu vkiost k. 87 / ln d = ln d ln ln ( ) ln = = us ( ) s k / [ ] = [ ln ( ) + ln ] [ ln ( ) ln ] = [ ln + ln + ln ][ ln + ln ln ] = ln + ln ln = ln + ln ln = ln ln 7

328 Sdn yhtälö ln idsti ksvv ln ln = ln = ln = ln > = = = ± Kosk >, niin kelp vin rvo 875 Alspäin ukevn prbelin + = = = ti = =. y = + nollkohdt: Pint-l on A= da= yd = + d = + = + = + = 6 Sdn yhtälö 876 / kelp 6 = = = = Täten / ( ) d = ( ) = = + lim lim ( ) d= ( + ) ( ) ( ) ( )( ) = lim = lim ( ) = = = lim 8

329 877 y = ( + )( )( ) Kosk vsen puoli on ei-negtiivinen, pitää oikenkin puolen oll einegtiivinen. Muodostetn oiken puolen merkkikvio. Nollkohdt: ( + )( )( ) = + = ti = ti = = ti = ti = tulo + + Oike puoli on siis ei-negtiivinen, kun ti. Umpininen silmukk muodostuu välille [,], sillä lue ei ole umpininen Tilvuus on 878 V = dv = πy d = π y d [ ] [] ( = π + d = π )( ) d = + d = π + / = π + π + 8 5π = π = 5 Kosk funktioll f on tngentin kulmkerroin kikill, on f derivoituv j f = k f = e ( ) f = e d = d+ e ( ) d us ( ) s e = + + C f derivointi integrointi f 9

330 Funktion f pienin rvo on derivtn nollkohdss: f = e = e = e idosti ksvv e = e = = + y = y = 5+ 9 ( + ) + y = Ympyrän keskipiste on siis (, ) j säde. Funktion f kulkukvio: f jtkuv Funktio f on jtkuv, joten kulkukvion perusteell pienin rvo on f =. Sdn yhtälö + e + C = + C = C = Täten f = + e Ympyrän f + f minimikoht = j suorn y = leikkuskohdt: y = = ± = = = ti = Ympyrän yhtälö keskipistemuodoss: f + Leikkuspisteiden välisen ympyrän osn pyörähtäessä -kselin ympäri syntyy puolipllo, jonk säde on. Pienemmän segmentin l sdn vähentämällä puolipllon tilvuudest sen kppleen tilvuus, jok syntyy suorn y = pyörähtäessä -kselin ympäri. Tilvuus on siis V = V puolipllo πy d= π π d π 6π = 8 π d π + + = + + 6π π = π 6π 8π = π 9 9 π 8, + + = = /

331 88 88 sin cos j cos cos sin, joten + = = π π π π I + I = cos d + sin d = cos + sin d = d Funktio F = = Aln + + Bln on funktion f integrlifunktio, jos F = f f derivointi f = + 6 π / π π = = = π π π cos sin ( cos sin ) I I = d d = d + I I = I π π = cosd = cosd = sin = π I + I = ( sin π sin ) = π π = I = π I I = I = I = π / integrointi A B A + B + A A+ B+ B F = + = = + ( + )( ) + 6 ( A+ B) + ( A+ B) = 6 Sdn yhtälöpri A+ B = B = A A+ B = A+ B = A+ ( A) = A+ 8 A= 5A= A= = j B = A= = = π π Vstus I+ I =, I I = j I = I =

332 88 Esimerkiksi kelp f = 6, jok on polynomifunktion jtkuv. f () = 6= 6,joten funktio s rvon 6 pisteessä. / f d = ( 6) d = ( 6 6) = 6 6 = Kosk jtkuv funktio f on positiivinen josskin kohdss [,] sisältämä väli I = [ b, ], joss f on niin on olemss pisteen posiviivinen. b Tällöin f d >,, joten funktio f s myös negtiivisi rvoj, kosk f d =. Funktio f s siis välillä [ ] että negtiivisi rvoj, joten välillä [ ] in myös rvon., sekä positiivisi, jtkuvn funktion f s Ehdon f ( ) = täyttävä jtkuv funktio f ( ) s rvon jossin pisteessä in. 88 y y y = ln + ln + = y + = e = e Kun =, niin y = ln ( + ) = Kun = e, niin y = ln( e + ) = Tilvuus on y y ( y ) V = dv = π dy = π e dy = π e e + dy / y y ( ) y = π e e + = π e e+ e e + = π e e+ + = π e e+ 5,76 88 y =, kun + =, kun <, kun + C, kun f = + = F =, kun < D, kun < Funktio f on jtkuv, joten sillä on integrlifunktio. Integrlifunktio on derivoituvn funktion jtkuv kohdss =, joten lim F = lim F. +

333 Kosk niin C ( lim F = lim D = D j lim F = lim + C) = C + + = D. Ehdost F () = sdn yhtälö + C = C = Derivoimll sdn Toislt [ f = D ln + ln ] = + dt = t dt ( ) + = + s us ( ) +, kun Siis F = j F( ) =., kun < Osoitetn, että F = f : F F F = lim F F lim = lim = j F F + lim = lim = lim = Toislt f =, joten F = f +, kun Vstus F = j F( ) =, kun < 885 / / = ( + ) = =, + t + joten väite on tosi. 886 ) : dt ( f = ) = + t dt + t s us ( ) / = + t = ( ) = + = ( + ) dt / f = = ln ( + t) = ln ( + ) ln + t

334 y, kun < [ ] =, kun < Siis f = [ + ( ) ] =, kun [ + ( )] =, kun > ) = : 887 f() =, kun, kun > f = f d= + d= + ln + C f derivointi f dt f = = dt = + t Sivumispisteessä on oltv f = j f =. Siis + = = =. integrointi, kun < Täten f =, kun, kun > Toislt f ( ) =, joten + ln + C = eli C =. Siis f = + ln +. Kosk ] [, eli <, on =, joten f = + ln ( ) +

335 888 Funktio on määritelty välillä. t, kun t t, kun t t = j t = t, kun t < t+, kun t <, / f = t t dt = dt = ( t) = ) < joten, kun t < t t = t, kun t <, kun t Kosk j integroimisväli on t, trkstelu on jettv kolmeen osn. ) < f = t t dt = t dt = t t = / ) = ( ) = ( ) + ( ) f t t dt t t dt t t dt 5

336 / / ( = t dt+ dt = t t) + t =, kun eli f =, kun <, kun < Funktio on jtkuv suljetull välillä [, ] j derivoituv välillä ], [, joten se s pienimmän rvons derivtn nollkohdiss ti välin päätepisteissä. Funktion derivttfunktio on 889 y y y = + = = Käyrä pyörähtää suorn = ympäri, joten tilvuuslkio dv = πr dy, missä r =, kun f =, kun <, kun < Derivtn nollkoht on = =. Funktion rvot välin päätepisteissä j derivtn nollkohdiss: f = = f ( ) = ( ) = f = f () = = ( pienin) f = = ( suurin) Funktion pienin rvo f = j suurin rvo f =. 6 Tilvuus on ( π π ) V = dv = r dy = y dy 9 = π ( y ) 6( y ) 9 + dy 9 / 5 9 = π ( y ) ( y ) + 9y π π ( ) ( ) = π = + = π 8 π

337 89 Määritetään ympyrän yhtälö: + y y = r, y on ympyrän keskipiste j r säde. Ympyrä kulkee Ympyrän yhtälö keskipistemuodoss on missä (, ) pisteiden (, ) j (,) kutt, joten sdn yhtälöpri ( ) ( ) + y = r y = r + y = r + + = y r = r y = r y = 8 = = Ympyrä kulkee myös pisteen (, ) kutt, joten y r r y y eli r y y + = = + = +. Sijoittmll ympyrän + ( y y ) = r yhtälöön sdn yhtälö Säde on y, = (,) + y = r + y = y + y y = 9 5 r = y + y = + + = Ympyrän yhtälö on siis y+ = y+ =± y = ± Tilvuus on 89 5 V = dv = πy d = π + d. Funktio () g t = + t on jtkuv, joten sillä on integrlifunktio G() t. Anlyysin perusluseen mukn Tällöin / f = g() t dt = G() t = G G f = D[ G G ] = DG DG = G G () t = g() t = + Siis f 7 = + 7 = 5 = 5 = 5. 7

338 89 89 Funktio () g t = t + on jtkuv, joten sillä on integrlifunktio G() t. Anlyysin perusluseen mukn / f = g() t dt = G() t = G G. Tällöin f = D[ G G ] = DG( ) DG us ( ) = G () () G G t = g t u ( s ) s = + + = Derivtn nollkohdt: = 9 + = = = + 8 = 8 ei rtkisu > < Kosk funktio on jtkuv j derivoituv, eikä derivtll ole nollkohti, funktioll ei ole äärirvoj. ) G () = D f t dt D f () t dt D f () t dt = + = f () t dt f f f () t dt + = = [ f G ] ) Osoitetn, että G f, jos f on ksvv. Funktio f on jtkuv j ksvv sekä t, joten f () t f. Täten eli f ( t) dt f dt = f dt / = f t = f ( ) = f f () t dt f : ( > ) f f () t dt = G Siis G f, jos f on ksvv. Vstus f = Funktioll ei ole äärirvoj. 8

339 ) Osoitetn, että tällöin G on ksvv. Funktio G on ksvv, jos sen derivtt G. Kohtien ) j ) mukn G = [ f G ] Derivtt G on ei-negtiivinen kikill, joten G on ksvv. > [ f ] f 5 f =± π 5 f =,< π 5 = π y y = π 5 89 Tilvuus on 5 [ ] ] ] V = π f ( t) dt =,, 895 [ ] [ ] Merkitään g() t = f () t dt, jolloin g () t = f () t Sdn π () π[ ] π π / g t = g g = g g = vkio Derivoidn puolittin g () t () = f t πg = 5 π f = 5 [ ] Poikkileikkust kuvvn lspäin ukevn prbelin yhtälö huippumuodoss on y y =, <. o Huippu on (, ), joten y = y = +. Kun =, niin y =, joten = + = 9

340 Prbelin yhtälö on siis y = +. Prbeli on symmetrinen y-kselin suhteen, joten poikkileikkuksen l on A da yd d 9 = = = = + = + = + + = m 9 9 Vllin tilvuus on siis ( V = A h = 55 = 66 m ) / y = sin y = sin π π y y,kun π π y y,kun π Vstus Täyttömt trvitn 66m. 896 Käyrien y sin j y sin,π : = = leikkuskohdt välillä [ ] y = y sin = sin sin = sin cos sin ( cos ) = sin = ti cos = π = ti = π ti = Käyriä y = sin j y = sin vstvt funktiot ovt jtkuvi, joten käyrät voivt viht järjestystä vin leikkuskohdiss. Selvitetään käyrien järjestys testipisteiden vull. Pint-l on π π π ( y ) A= da= y y d+ y d π = ( sin sin ) d+ ( sin sin ) d π cos cos cos cos = π π π / / π π

341 π π = cos + cos cos + cos π π + cosπ + cosπ cos + cos = = + + = Tuholueen pint-l on,5km = 5h. Korvus on tällöin 5 5 = 875,9( Mmk) = r dr = r r 6 6 = =, 96, 6 b) Merkitään P( osuu 9 ti ) = p,, jolloin P( ei osu 9 ti ) = q= p,7 Tällöin P ( 9 ti inkin kert) = P ( osuu 9:ään ti :een ti ti 5 kert) / Vstus 897 ) Al on,5km j korvus on 875mk,9Mmk = p q p q p q ,,7 + 5,,7+,,6 P( osuu 9 ti ) = P( ) f ( r) = dr

342 Rsin lyhyempi sivu pitenee rvost 7 rvoon eli se ksv yksikköä korkeuden 8 yksikön ikn. Siten korkeudell z lyhyemmän sivun pituus on ksvnut z verrn, joten korkeudell z z on lyhyemmän sivun pituus 7 +. Vstvsti pidempi sivu ksv rvost 5 rvoon 9 eli myös neljä z yksikköä. Pidemmän sivun pituus korkeudell z on siten 5 +. Astin vksuor poikkileikkus on suorkulmio, joten korkeudell z sen pint-l on z z 7z 5z z z A= = = + z+ 5 Yhtälön juuret ovt reliset, kun diskriminntti D. Sdn epäyhtälö p q p q q p q= p Rsin tilvuus sdn integroimll pint-l kikkien mhdollisten korkeuksien z rvojen yli. Siten tilvuus on z 5 5 / V = Adz = + z+ dz = z + z + z 5 7 = + + = = + 9 = Tilvuus on siis 7 cm cm =, l p+ q = p eli p j q eli q Geometrisen todennäköisyyden mukn sdn P ( juuret reliset) neliö m( A) A = = m( E) A suotuis neliö A suotuis = p dp = + p dp = + p A ( ) = 8+ = 9 6 = = Siis P = = =, /