SUORAKULMAINEN KOLMIO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "SUORAKULMAINEN KOLMIO"

Transkriptio

1 Clulus Lukion Täydentävä ineisto ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen

2 Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili koko kiken sen keskeisen ineiston, jok lukio-opinnoiss liittyy suorkulmiseen kolmioon. iepiiri soveltuu yvin myös omtoimiseen opiskeluun kurssin M yteydessä ti koko oppimäärää kerrttess. Kolmioiden luokittelu Kolmiot voidn luokitell sivujen mukn kulmien mukn tssivuinen tskylkinen erisivuinen (kikki sivut ytä pitkiä) (kksi ytä pitkää sivu) (kikki sivut eri pituisi) teräväkulminen tylppäkulminen suorkulminen (kikki kulmt teräviä) (yksi kulm tylppä) (yksi kulm suor) Suorkulmisen kolmion suorn kulmn viereisen sivun nimi on kteetti j vstisen ypotenuus. Kolmioss suurint kulm vst pisin sivu, joten ypotenuus on suorkulmisen kolmion pisin sivu. Kolmioss kikkien kulmien summ on 80. Tämän nojll suorkulmisen kolmion terävien kulmien summ on 90. Ne ovt siis toistens komplementtikulmi. ypotenuus kteetti β kteetti

3 Suorkulminen kolmio Pytgorn luse Tunnetuin suorkulmiseen kolmioon liittyvä luse on Pytgorn luse. Pytgors oli kuuluis kreikklinen mtemtikko j filosofi, jok kuoli 99-vuotin vuonn 469 e. Suorkulmisen kolmion kteettien neliöiden summ on ytä suuri kuin ypotenuusn neliö. Oeisen kuvn mukn + eli +. Pytgorn luse tunnettiin jo muinisess Mesopotmiss, ekä jo froiden jn Egyptissäkin. Mutt Pytgors, jok toi todistuksen mtemtiikkn, lienee ensimmäisenä todistnut luseen. ikojen kuluess näitä todistuksi on esitetty runssti erilisin versioin. Seurvss on niistä kolme esimerkkiä. Todistus Oeisiss kuviss on kksi neliötä, joiden kummnkin sivun pituus on +. Neliöt on jettu osiin niin, että kummsskin neliössä on neljä ytenevää suorkulmist kolmiot, joiden kteetit ovt j j ypotenuus. Oikenpuoleiseen kuvn syntynyt nelikulmio on neliö, kosk kikki sivut ovt ytä pitkiä j jokinen kulm 80 ( + β) Kun molemmist lkuperäisistä neliöistä väennetään neljä smnsuuruist kolmiot, sdn ytä suuret pint-lt eli tulos +. β β Todistus Viereisessä kuvss on neljä smnlist suorkulmist kolmiot sijoitettu neliön muotoon. Keskelle jäävän pienemmän neliön sivun pituus on kteettien erotus j l ( ). Kuvss ole- vn -sivuisen neliön l voidn nyt esittää seurvsti: 4 + ( ) (-) Todistus Suorkulmisen kolmion ypotenuusn vstinen korkeus jk kolmion kteen oskolmioon, jotk ovt ydenmuotoisi sekä keskenään että lkuperäisen kolmion knss ytenevyys- Mtemtiikn kielessä jotkin lyennetyt ilmisut vkiintuvt. Tässä yteydessä neliö trkoitt toist potenssi j kteetin neliö kyseisen sivun pituuden toist potenssi.

4 Suorkulminen kolmio luseen kk nojll. Kosk ydenmuotoisten kuvioiden lojen sude on mittkvn eli vstinjnojen suteen neliö, sdn oeisen kuvn merkinnöin j. Lskemll ytälöt yteen sdn. Kosk , niin, jost +. Pytgorn luseen käänteisluse Mille tns kolmiolle pätee kosiniluse + os γ, joss j ovt kulmn γ viereisiä sivuj j on kulmn γ vstinen sivu. Jos kolmion sivut toteuttvt ytälön +, Niin 0 os γ, jolloin os γ 0 j näin ollen γ 90. Tällinen kolmio on siis suorkulminen. γ Jos kolmioss kden sivun neliöiden summ on kolmnnen sivun neliö, niin kolmio on suorkulminen. Kun kolmion suorkulmisuutt testtn yllä olev lusett käyttäen, tulee "kolmnneksi sivuksi" eli mdolliseksi ypotenuusksi vlit luonnollisesti kolmion pisin sivu. Esimerkki Suorn kulmn konstruointi pituuden mittuksill perustuu Pytgorn luseen käänteisluseeseen. Millä pituuden rvoll vrmistuu oeisess tilnteess rkennusten seinälinjojen kotisuoruus? mm 7 00 mm Rtkisu: Seinälinjt ovt toisin vstn kotisuorss trklleen silloin, kun Sdn , jost Vstus: mm Esimerkki Kolmion sivujen pituudet ovt ), 5 j, ), 5 j 7. Selvitä, onko kolmio suorkulminen. Rtkisu ) + 05 j 5 5. Kosk + 5, kolmio ei ole suorkulminen. Huomutus: Kosk 5 > +, on pääteltävissä, että pisintä sivu vstv kulm on tylppä, eli kolmio on tylppäkulminen. Kosiniluseen vull sdn kulmn likirvoksi 99,.

5 Suorkulminen kolmio 4 ) j Kosk + 5 7, kolmio on suorkulminen. Vstus: ) Ei ole. ) On. Tetäviä. Kolmion sivujen pituudet ovt ) 5, j 5, ) 9, 40 j 4 Selvitä, onko kolmio suorkulminen.. Kolmion kden sivun pituudet ovt 5 j 7. Määritä kolmnnen sivun pituus, kun kolmio on suorkulminen.. Suorkulmisen kolmion ypotenuus on 4 m pitempi kuin toinen kteetti. Toisen kteetin pituus on 7 m. Kuink pitkä on ypotenuus? 4. Viereisessä kuvss esitetyn neliön sivun pituus on. Kuink pitkiä ovt kirjimell merkityt jnt? 5. ) Osoit, että luvut n +, n + n j n + n + ovt Pytgorn lukuj (eli toteuttvt Pytgorn ytälö), kun n on luonnollinen luku. ) Määritä kikki selliset Pytgorn luvut, jotk ovt peräkkäisiä luonnollisi lukuj. 6. Viereisessä kuvss olevien ydenmuotoisten lueiden pint-lt ovt, j. Osoit, että +. *7. Pytgorlisten mukn koko milmnkikkeus rkentui luonnollisten lukujen mllin mukn. Tämän jttelutvn tuosi seurv uomio: ei ole kt sellist luonnollist luku, joist toisen neliö olisi kksi kert toisen neliö. Osoit tämä todeksi epäsuorsti lätemällä ytälöstä n m, joss n j m ovt luonnollisi lukuj. Ydenmuotoiset suorkulmiset kolmiot Kolmioiden ydenmuotoisuusluseist sss, sks, kk j ssk esiintyy kikkein useimmin luse kk: Jos kolmion kksi kulm ovt ytä suuret kuin vstinkulmt toisess kolmioss, kolmiot ovt ydenmuotoiset. Kun on todistettv kksi suorkulmist kolmiot ydenmuotoisiksi, riittää osoitt, että niissä kummsskin on smnsuuruinen terävä kulm. Siitä seur välittömästi, että toisetkin terävät kulmt j smll kolmioiden kikki vstinkulmt ovt ytä suuri.

6 Suorkulminen kolmio 5 Edellä todettiin Pytgorn luseen yteydessä, että suorkulmisen kolmion ypotenuusn vstinen korkeus jk kolmion kteen oskolmioon, jotk ovt ydenmuotoisi sekä keskenään että lkuperäisen kolmion knss. Kosk ydenmuotoisten kuvioiden vstinjnojen suteet ovt ytä suuret, sdn seurv tulos: p Hypotenuusn vstinen korkeus on kteettien ypotenuusll olevien projektioiden q keskiverto*. p Kteetti on ypotenuusn j ypotenuusll olevn projektions keskiverto. q p p q q Seurus: Jälkimmäisestä luseest sdn ytälöt p j q, joist yteen lskemll seur. Kysymyksessä on jälleen erilinen tp todist Pyt- tulos + p + q ( p + q ) gorn luse. Esimerkki Lske oeisen suorkulmion BCD lävistäjän osn olevn jnn EF pituus. Rtkisu: D 60 Pytgorn luseen mukn C Merkitään CF. Kosk 68 kteetti on ypotenuusn j sillä olevn projektions keskiverto, pätee, jost Kosk E CF, niin EF Vstus: EF 7 7 E F C B *) Verrntoon liittyvät nimitykset Kun kksi sudett merkitään ytä suuriksi, sdn verrnto. Verrnnoss suureet,, j d ovt verrnnon jäseniä niin, että on ensimmäinen, toinen, kolms j d neljäs jäsen. Suureet j d ovt äärimmäisiä d j j keskimmäisiä jäseniä. p Edellä sduss suorkulmisen kolmion verrnnoss keskimmäiset jäsenet ovt smt. Tällöin snotn, että on äärimmäisten jäsenten p j q keskiverto. Kosk verrnnoss keskimmäisten jäsenten tulo on q ytä suuri kuin äärimmäisten jäsenten tulo, sdn ytälö pq, jost edelleen pq. Stu neliöjuurilusekett kutsutn p:n j q:n geometriseksi keskirvoksi.

7 Suorkulminen kolmio 6 Tetäviä C 8. Tiedetään, että kolmioss BC on y j. Osoit, että kolmio BC on suorkulminen. y B 9. Oeiseen kolmiokuvioon on merkitty kirjimin kuuden eri jnn pituudet. Määritä tuntemttomt pituudet seurviss tpuksiss. ) 6 j 0 ) 6 j ) j 5 q p 0. Suorkulmisen kolmion ypotenuusn vstinen korkeus jk ypotenuusn osiin, joiden pituudet ovt 4,8 m j, m. Lske kolmion pint-l. 4 Ympyrään liittyvä suor kulm Tngentti on suor, joll on ympyrän knss trklleen yksi yteinen piste, sivumispiste. Voitisiin myös määritellä, että t tngentti on suor, jok on kotisuorss sädettä vstn keällä olevss päätepisteessä, ti r tngentti on suor, jok on säteen etäisyydellä keskipisteestä. Kun näistä määritelmästä vlitn yksi, toisi voidn pitää tngentin ominisuuksin. Keäkulm on kulm, jonk kärki on ympyrän keällä j kyljet leikkvt ympyrää. Keäkulmn toisen kylkenä voi oll myös ympyrän tngentti. Viereisessä kuvss kulm on kren BC sisältämä keäkulm, krt BDC vstv keäkulm. Kulm β on keäkulm vstv keskuskulm. Tiedetään, että keäkulm on puolet vstvst keskuskulmst. Siitä seur erityisesti, että jos keskuskulm on 80, keäkulm on silloin 90. Tässä tilnteess keäkulm on puoliympyrän sisältämä j on voimss luse: B β D C Puoliympyrän sisältämä keäkulm on suor.

8 Suorkulminen kolmio 7 Esimerkki Oeisen kuvn ympyrälle on piirretty tngentti pisteeseen P. Määritä kren PRS steluku sekä kulmien j y suuruudet, kun keäkulm 58. Rtkisu: Kulm y on myös keäkulm, j kosk sitä j kulm vst sm kri PRS, niin y. Kulm vstv keskuskulm on, j kosk on puolet siitä, niin. Keskuskulmll j sitä vstvll krell on sm steluku, joten kren PRS steluku on Vstus: y 58, kren PRS steluku on 6 P y S R Esimerkki nnettu jn ypotenuusn on sitä toiseen pikkn siirtämättä piirrettävä suorkulminen kolmio, jonk toinen kteetti on tunnetun jnn suuruinen. Rtkisu: Olkoot jnn päätepisteet j B. Piirretään jn B lkisijn ympyräviiv. Tämän jälkeen piirretään piste keskipisteenä j jn säteenä ympyräviiv. Se leiktkoon ensin piirrettyä ympyrää pisteessä C. Ydistetään piste C pisteisiin j B. Kolmio BC on vdittu kolmio. Se on suorkulminen, sillä sen kulm C on puoliympyrän sisältämä keäkulm. Tetävä voidn rtkist, mikäli jn on lyyempi kuin jn. Kuink mont eri rtkisu on mdollist sd? C B Esimerkki Osoit geometrisesti, että kden positiivisen luvun j geometrinen keskirvo on enintään + ytä suuri kuin smojen lukujen ritmeettinen keskirvo eli. Rtkisu: Olkoot j kden jnn pituudet. Merkitään smoill kirjimill myös itse jnoj. Erotetn joltkin suorlt peräkkäin jnt j j piirretään puoliympyrä, jonk lkisijn pituus + on +. Puoliympyrän säde on silloin. Piirretään puoliympyrään suorkulminen kolmio, jonk kteettien projektiot ovt j. Silloin kolmion korkeus on näiden projektioiden keskiverto eli jnojen j r geometrinen keskirvo. Kosk suorkulmisen kolmion kteetti on in lyyempi kuin ypotenuus, on kuvn korostetuss oskolmioss < r eli <. Siinä erikoistpukses- + s, että, on r, jolloin geometrinen j ritmeettinen keskirvo ovt ytä suuri.

9 Suorkulminen kolmio 8 Tetäviä. Viereisessä kuvss on puoliympyrälle piirretty tngentti. Kuink suuri on kulm? 6 D. Oeisen nelikulmion BCD ympäri voidn piirtää ympyrä. Mieti tpoj, kuink löydetään tämän ympyrän keskipiste. C. On nnettu jnt j. Merkitään smoill kirjimill myös jnojen pituuksi. On piirrettävä jn, jok on jnojen j geometrinen keskirvo. B 4. Tunnetn kuutio, jonk särmä on. Miten löydetään geometrisesti sellisen neliön sivu s, jonk pint-l on ytä suuri kuin kuution vipn l? (Oje: s 6 ) 5. Suorkulmisen kolmion korkeutt koskev ytälö p (ks. s 5) voidn esittää muodoss pq. Osoit tämä ytälö oikeksi soveltmll luksi Pytgorn lusett oeisess kuvss korostettuun oskolmioon. q p r q 5 Suorkulmisen kolmion trigonometri Kolmioiden ydenmuotoisuusluseest kk seur, että kikki selliset suorkulmiset kolmiot ovt ydenmuotoisi, joiss on smnsuuruinen terävä kulm. Niissä kolmioiss sivujen suteet ovt ytä suuret. ' ' eli ytäpitävästi ' ' ' ' ' ' Vstvsti j. ' ' ' Sivujen sude riippuu vin terävän kulmn suuruudest eikä linkn kolmion koost. Näitä sivujen suteit snotn terävän kulmn trigonometrisiksi funktioiksi, j ne ovt nimeltään sini, kosini, tngentti j kotngentti. Funktioiden määritelmät ovt seurvt: sin os tn ot

10 Suorkulminen kolmio 9 Määritelmistä voidn jot trigonometrin peruskvt. Tässä yteydessä käytetään vkiintuneit merkitsemistpoj ) (sin sin j (os ) os. + sin + os + sin : tn os ot tn sin + os sin tn os ot tn Kun suorkulmisen kolmion toinen terävä kulm on, toinen on sen komplementtikulm β 90. Näiden kulmien välille sdn seurvt trigonometriset yteydet: sin β os tn β ot osβ sin ot β tn β 90 - Ensimmäisen ytälön mukn kulmn kosini on ytä suuri kuin komplementtikulmn sini. Kosinin j kotngentin nimissä olev etutvu ko onkin tullut komplementtikulm-snn lust. Esimerkki Suorkulmisen kolmion kteettien pituudet ovt 48 j 55. Määritä kolmion pienimmän kulmn trigonometristen funktioiden trkt rvot j pienin kulm steen kymmenesosn trkkuudell. Rtkisu: Pienin kulm on lyimmän sivun vstinen kulm. Pytgorn luseen nojll Sdn tulokset sin, os, tn j ot Lskimell sdn 4, Sivun 8 määritelmissä ot on vin tn:n käänteisluku. Joskus, vikk vieläkin rvemmin, esiintyvät myös sinin j kosinin käänteisluvut "kosekntti" j "sekntti". Ne määritellään ytälöin ose j se. Lskimiss esiintyvät nykyisin yleensä vin sini, kosini j tngentti. Lskimi edeltävänä ikn trigonometristen funktioiden rvot stiin tätä trkoitust vrten ldituist tulukkokirjoist esimerkiksi viiden desimlin trkkuudell.

11 Suorkulminen kolmio 0 Muistikolmiot Neliön lävistäjä jk neliön kteen tskylkiseen suorkulmiseen kolmioon, joiss kntkulmien suuruus on 45. Jos neliön sivun pituus on, lävistäjän pituus on +. Kolmion sivujen suteet ovt siis :: Tssivuisen kolmion korkeus jk kolmion kteen suorkulmiseen kolmioon, joiden terävien kulmien steluvut ovt 0 j 60. Kun lyyemmän kteetin pituus on, ypotenuusn pituus on j toisen kteetin pituus. Sivujen suteet ovt näin ollen : : Näitä kolmioiden erikoistpuksi kutsutn muistikolmioiksi. Moniss sovelluksiss on eduksi muist niiden sivujen suteet : : j : :. Käänteisesti voidn päätellä kolmio muistikolmioksi, mikäli sillä on minitut sivujen suteet. Esimerkki Muistikolmioon, jonk ypotenuusn pituus on 0, piirretään suuremmn terävän kulmn puolittj. Kuink pitkiin osiin se jk leikkmns kteetin? Rtkisu: Lyyemmän kteetin pituus on 5 j pitemmän 5. Kulmn puolittj jk kolmion oskolmioiksi, joist toinen on muistikolmio j toinen tskylkinen kolmio. Jos pienemmän muistikolmion lyyempi kteetti on, ypotenuus on, jolloin tskylkisen kolmion toinen kylki on myös. Sdn ytälö + 5, jost. Tällöin Vstus: j Tetäviä. 6. Määritä muistikolmioiss esiintyvien terävien kulmien trigonometristen funktioiden trkt rvot. 7. Kuink pitkä on tskylkisen suorkulmisen kolmion kteetti, kun ypotenuusn pituus on 6? 8. Mäen jyrkkyys ilmistn usein prosentulisesti nousun j vksuunnss edetyn mtkn suteen. Määritä tien kltevuus stein, kun jyrkkyydeksi on liikennemerkillä ilmoitettu %.

12 Suorkulminen kolmio 9. Suorkulmisen kolmion terävän kulmn sini on 0,6804. Määritä kyseisen kulmn kosinin j tngentin rvot viidellä desimlill. 0. Minkä leveyspiirin pituus on 000 km? Mpllon säde on 6 70 km.. Lske oess kuvtun rkennuksen kton kltevuus j korkeus. Räystään pituus on 60 m. 5,8 m 0,0 m. Kksi korkeuskäyrää sijitsee krtll 4 mm:n päässä toisistn. Mston kltevuus kyseisessä kodss on 8,4. Kuink suuri on käyrien välinen korkeusero, kun krtn mittkv on : 0 000?. Neljäkkään lävistäjien pituudet ovt 64 m j 8 m. Määritä neljäkkään kulmt j sivujen pituudet. 64 m 8 m 4. Järven rntn rkennetn puoli kilometriä pitkä ptovlli, jonk poikkileikkus on oeisen kuvn mukinen. Kuink pljon m-inest rkentmisen trvitn? 7,0 m ,0 m 5. Lske oeisess kuutioss esiintyvien kulmien j β suuruudet steen kymmenesosn trkkuudell. β

13 Suorkulminen kolmio Vstuksi. ) Ei ole. ) On.. 8 ti 54, 7. 0 m 4. 0 pituusyksikköä 4 5. ) + ( n + ) + (n + n) 4n + 4n + + 4n + 8n + 4 n 6. 4 ) 4n + 4n + + 4n + n + n (n + n + ) n + ( n + ) ( n + ) n + n + n + n + 4n + 4 n n 0 n ti n inot peräkkäiset Pytgorn luvut ovt, 4 j 5. j + +. Lskemll ytälöt yteen sdn +, jolloin +. *7. Olkoon n m, joss n, m N. Voidn rjoituksett olett, että n j m ovt keskenään jottomi, kosk yteiset tekijät voitisiin jk ytälöstä pois. Jos n on priton, myös n on priton, mutt tämä on mdotont, kosk on prillinen. Jos ts n on prillinen esimerkiksi, niin m n k 4k m eli k m, jolloin m olisi prillinen. Näin ei voi oll, kosk n j m ovt keskenään jottomi. Jotopäätös on, että ytälöä n m eivät toteut mitkään luonnolliset luvut y + ( y + ) 9. 4 ) 8, p, q 6, ) 0, 5 ) 5, p, q, m. 58. Lyin tp: jnn C keskipiste 5. r ( r )( r + ) pq ,4 9. os tn 0, , 9,,4 m. 40 m. Kikki sivut 5 m, kulmt 76 j noin m 5. 5, j β 54, 7 p, 0 8 q, 0 6 0

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset.

205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset. Lisätetäviä Peruskäsitteitä 0. ) Kulm on smnkotinen kulmn knss, joten kosk s j l ovt ydensuuntiset, on. b on :n ristikulm, joten myös b. b) b on smnkotinen kulmn 0 knss j kosk s j l ovt ydensuuntiset,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot