θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

Transkriptio

1 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2 j krevuussäde R on positiivinen, kosk vlon kulkusuuntn kuljettess krevuuskeskipiste sijitsee tittvn pinnn tkn. θ A α l β θ 2 γ P' P n n 2 C s R s' uv : Vlon tittuminen pllopinnll Pisteestä P lähtee kksi vlonsädettä, joist pistettä A kohti kulkev säde tittuu j koht suorn kulkevn säteen pisteessä P, ts. piste P kuvutuu pisteeksi P. Oletetn, että kulmt α, β, θ j θ 2 ovt pieniä. Tällöin tittumislki (ks. työ 2) n sinθ =n 2 sinθ 2 () voidn pproksimoid kvll n θ = n 2 θ 2. (2) uvn mukn kolmioiss PAC j P AC on θ = α+ β β =θ 2 + γ. (3) ulmt θ j θ 2 voidn nyt eliminoid yhtälöstä (2), jok muuntuu muotoon n α + n 2 γ = β ( n 2 n ). (4) delleen kuvn geometrist seur kren pituuden l vull β = l R α l s, (5) γ l s jok sijoitettun yhtälöön (4) nt n s + n 2 s' = n 2 n R. (6)

2 Trkstelln sitten linssiä, jok muodostuu khdest pllopinnst (kuv 2). nsimmäisellä pllopinnll (R > 0) yhtälö (6) voidn kirjoitt kuvn 2 merkinnöin n + n 2 = n 2 n, (7) s s R j se kuv vlon kulku ineest ineeseen 2 kupern pinnn läpi. P R b R C b C s' b P' s t s' -s b uv 2: Vlon tittuminen linssissä, jot rjoitt kksi krevuussäteeltään erilist pllopint nsimmäisen pllopinnn muodostm kuv toimii esineenä toiselle pllopinnlle (R b ). On syytä huomt, että etäisyydet mittn nyt linssin tkpinnst ts. -s b =s -t. Jos linssi on ohut, voidn pproksimoid s b =-s, j toisen pllopinnn kuvusyhtälöksi tulee n 2 + n = n n 2. (8) s s b R b Yhtälö (8) kuv säteen kulku ineest 2 ineeseen kovern pinnn läpi, jolloin krevuussäde R b on negtiivinen. Yhdistämällä kvt (7) j (8) sdn linssille kuvusyhtälö n s + n s b, = n 2 n ( ) R R b. (9) Trkstelln linssiä yhtenä kokonisuuten, jolle esineen etäisyys on s = j kuvn etäisyys s b = b. Määritellään polttopiste kuvn pikksi b silloin, kun esine on äärettömän kukn linssistä ( = ). Linssin polttopisteen nt nyt yhtälö n ( ) = n 2 n R R b, (0) jot käyttäen linssin kuvusyhtälö sdn muotoon + b =. () Tätä Gussin linssiyhtälöä johdettess on oletettu seurvt merkkisäännöt: - esineen etäisyys on positiivinen, kun esine on sillä puolell linssiä, jost vlo tulee - kuvn etäisyys b on positiivinen, kun kuv on sillä puolell linssiä, jonne vlo menee Näitä merkkisääntöjä on käytettävä yhtälöä () sovellettess. Tässä lbortoriotyössä määritetään eri menetelmillä yhtälöä () sovelten erilisten linssien j linssijärjestelmien polttoväli.

3 Nämä ohuille linsseille johdetut lusekkeet edellyttävät, että linssin pksuus on noll. äytännössä näin ei tietenkään ole, j tämä vikutt esineen j kuvn mitttuihin etäisyyksiin. Ohuill linsseillä etäisyydet voidn mitt joko linssin pinnst ti linssin keskipisteestä. Teorin yleispätevyyttä kuv se, että linssillä, jonk pksuus on n. 5% polttovälistä, edellä esitetty teori vst kokeit 0.%:n trkkuudell.

4 22.2 Ohuen kupern linssin polttoväli Peilimenetelmä Peilimenetelmässä koejärjestely on kuvn 3 mukinen. upern linssin L polttotso on PT, linssin polttoväli on, on esine, kuv j P peili. un esine on linssin polttotsoss, esineestä lähtevät vlonsäteet ovt linssin toisell puolell yhdensuuntiset. Jos vlonsäteen tielle setetn peili, vlonsäteet heijstuvt tkisin j tittuvt linssissä jälleen polttotsoon. Tutkittv linssi setetn esineen j peilin väliin, j linssille etsitään pikk, joss esineen kohdll näkyvä ylöslisin olev kuv on terävin. PT L P kuv () esine () uv 3: Ohuen kupern linssin polttovälin määrääminen peilimenetelmällä Besselin menetelmä Besselin menetelmässä käytetään kuvn 4 mukist koejärjestelyä. on esine j on vrjostin, jolle kuv syntyy. un esineen j vrjostimen välimtk on riittävän suuri (>4), esineen j vrjostimen väliltä on mhdollist löytää linssille sem L(), joss vrjostimelle syntyy suurennettu kuv j sem L(2), jolloin vrjostimelle syntyy pienennetty kuv. uvn 4 mukn on nyt + b = d b = e (2) jost seur = d e 2 b = d + e. (3) 2 un nämä rvot sijoitetn linssiyhtälöön (), sdn polttoväliksi = d 2 e 2 4d. (4)

5 Polttovälin lskemiseksi voidn siis mitt :n j b:n sijst etäisyydet d j e. Tämä on perusteltu vrsinkin sellisiss tpuksiss, missä kuvn j esineen pikk on jostin syystä hyvin tunnettu. L() L(2) b d e b uv 4: Ohuen kupern linssin polttovälin määrääminen Besselin menetelmällä

6 22.3 Linssijärjestelmän polttoväli j päätsot uvn muodostuminen linssijärjestelmässä Trkstelln kuvn 5 kht linssiä (polttovälit j 2 ), jotk noudttvt linssiyhtälöä (). Tällöin ensimmäiselle linssille pätee + b =. (6) uvss 5 on linssin L muodostm kuv piirretty punisten viivojen vull käyttäen linssin kumpkin polttopistettä, j hvitn, että todellinen kuv syntyy etäisyydelle b linssin tkse. uv on merkitty hrmll nuolell. Toiselle linssille sdn d b + b 2 = 2, (7) sillä ensimmäisen linssin ntm kuv toimii toisen linssin esineenä j 2 = d b. uvss 5 linssin L 2 virtulisest esineestä muodostm kuv on piirretty sinisillä viivoill käyttäen linssin kumpkin polttopistettä. Huom, että kvoiss (6) j (7) etäisyydet mittn eri linsseistä. Toislt kht linssiä voidn jtell myös yhdistelmälinssinä, jolle voidn kirjoitt kv (). Tällöin on yhdistelmälinssin polttoväli j etäisyydet j b on mitttv jostin yhdistelmälinssiin reerenssipisteestä. b L L 2 2 d b uv 5: uvn muodostuminen khden linssin muodostmss linssijärjestelmässä. Linssi L iheutt esineestä etäisyydelle b kuvn, jok toimii linssin L 2 esineenä j iheutt lopullisen kuvn etäisyydelle b 2 linssisstä L 2. Linssisysteemin polttoväli voidn joht käyttämällä lusekkeit (6) j (7) j määrittämällä polttopisteiden pikt olettmll esineen ti kuvn olevn äärettömän kukn. Mikäli linssien välinen etäisyys on pieni verrttun linssin polttoväleihin, sdn linssijärjestelmän polttovälille luseke [] = + d. (8) 2 2 [] Leo Levi, Applied Optics: Guide to opticl system design (Wiley, New York)

7 Mikäli linssit ovt niin lähellä toisin, että d 0, sdn edellisestä likirvoluseke = + 2. (9) Pääpisteet, polttopisteet j polttoväli Tutkittess pksuj linssejä ti linssijärjestelmiä on trpeellist määritellä linssin pääpisteet, joist linssiyhtälöä käytettäessä etäisyydet mittn. Pääpisteiden kutt kulkevi linssin kseli vstn kohtisuori tsoj kutsutn päätsoiksi. uvn 5 kksi kuper linssiä on esitetty kuvss 6 linssijärjestelmänä, jonk polttovälit ovt j =- j joss pääpisteet ovt A j A j päätsot H j H. Hhmoteltess kuvn muodostumist linssijärjestelmissä säteet eivät enää käänny linssien keskipisteen kohdll vn päätsojen kohdll. Lisäksi on huomttv, että yhteen polttopisteeseen liittyy vin yksi päätso. uvss 6 ylempi säde on piirretty päätson H j polttopisteen F vull j lempi säde päätson H j polttopisteen F vull. dellä esitetyn vull voidn ohueksi linssiksi määritellä linssi, joss molemmt pääpisteet yhtyvät geometriseen keskipisteeseen. Pksun linssin pääpisteet ovt toisistn erillään. Linssijärjestelmälle päätsot voivt jossin erikoistpuksess yhtyä, mutt yleisesti ne ovt toisistn erillään. Ne voivt sijit jop linssien ulkopuolell, kuten kuvss 6 on tilnne. un etäisyydet mittn pääpisteistä, on Gussin linssiyhtälö () edelleen voimss. Jos sen sijn etäisyydet mittn polttopisteistä, voidn linssiyhtälö kirjoitt yksinkertiseen muotoon x x = 2, (20) jok tunnetn Newtonin linssiyhtälönä. H b L x A A' F x' F' ' H' L 2 uv 5: Linssijärjestelmän pääpisteet j -tsot

8 22.4 Mittukset Lbortoriotyössä linssijärjestelmän (linssit L j L 2 ) polttopisteet, polttoväli j päätsot etsitään seurvsti. nsimmäisessä viheess (kuv 6) käytetään pun tunnettu kuper pulinssiä L 3, jonk polttopisteeseen 3 tuodn esine. Tällöin kuv syntyy L 3 :n etäisyydestä riippumtt linssijärjestelmän L L 2 polttopisteeseen, j polttopisteen etäisyys linssisysteemin mielivltisest kiintopisteestä M voidn mitt. Tämän jälkeen esine j pulinssi siirretään vstkkiselle puolelle linssijärjestelmää, jolloin sdn selville toisen polttopisteen F etäisyys s kiintopisteestä M. L 3 L 2, F F' M L H' H 3 s' s uv 6: Linssijärjestelmän L L 2 polttopisteiden määrääminen tunnetun kupern pulinssin L 3 vull Toisess viheess (kuv 7) pulinssi poistetn j etsitään linssijärjestelmän esineestä ntmn kuvn pikk. Mittn esineen j kuvn etäisyydet kiintopisteestä M eli kuvn 7 mukn etäisyydet x+s j x +s. Linssijärjestelmän polttoväli sdn lskettu Newtonin linssiyhtälön vull. Suureet s, s j määräävät pääpisteiden A j A sijinnin pisteeseen M nähden. L L 2 F' M F H' H x' s' s x uv 7: Linssijärjestelmän esineestä ntmn kuvn pikn määrääminen