BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset
|
|
- Matti Uotila
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 BMA58 Integrlilskent j sovellukset Jouni Smpo 6. helmikuut 7
2 Sisältö Integrointitekniikoit. Osittisintegrointi (Integrtion by prts) Sijoitus (Method of Substitution) Käänteinen sijoitus (Inverse Substitution) Rtionlifunktion integrli Epäoleellinen integrli (Improper integrl) Numeerinen integrointi Integrlilskennn sovelluksi. Kppleen tilvuus Pyörähdyskppleen tilvuus Käyrän krenpituus j pinnn pint l Pyörähdyspinnn pint l Mss, momentti j msskeskipiste Pistemäiset msst Ei-pistemäiset msst Homogeenisen tsokppleen pinopiste eli keskipiste Prmetriset käyrät 6 3. Krteesisen muodon käyristä prmetrisiin esitysmuotoon Sileät prmetriset käyrät Prmetristen käyrien tngentti- j normlisuort Krenpituus j pint-l Krenpituus Pyörähdyskppleen pint-l Tso-lueen pint-l Npkoordintit j npkäyrät Npkoordintit Npkäyrät
3 Integrointitekniikoit Tässä kppleess esiteltävät eriliset integroimistekniikt ovt tärkeässä rooliss mm. kun Kehitetään tpoj lske integrlej "käsin" (kvkirjojen kvt, tietokoneiden symbolinen lskent) Thdotn muotoill integrli eriliseen muotoon mhdollisesti tehokkmp rtkisu/lskent vrten Thdotn muunt olemss olevi integrleihin liittyviä kvoj erilisiin koordintistoihin Integrleille lsketn likirvoj numeerisesti Useimmt tässä kppleess esitetyt menetelmät eivät kuitenkn kuulu kurssin ydinlueeseen vn esitellään lähinnä yleissivistykseksi. Myöhemmissä kppleiss j hrjoitustehtävissä erityisesti sijoitukset integrleiss j epäoleelliset integrlit tulevt esiintymään usemmin, muit tekniikoit ei välttämättä juuri trvitse jos hllitsee ihn lukion perusintegroinnin j kvkirjojen käytön. Numeerinen integrointi on erittäin tärkeä ihe sinänsä, mutt kosk sille on omt kurssins niin se lähes ohitetn tällä kurssill.. Osittisintegrointi (Integrtion by prts) Jos integroitv funktio voidn esittää khden funktion U j V tulon, voidn hyödyntää tulon derivoimissääntöä d (U(x)V (x)) U(x)dV + V (x)du () Integroidn molemmt puolet j järjestellään termejä, jolloin sdn eli lyhyesti U(x) dv U(x)V (x) UV UV Integrointivkio mukn vst viimeisen integroinnin jälkeen Usein knntt kokeill seurv: V (x) du () U V (3) Jos integroitv funktio on muoto polynomi eksponentti, sini ti kosinifunktio, vlitn U polynomi Jos integroitvss funktioss on mukn funktio, jok on helposti integroitviss, vlitn tämä funktio V Osittisintegrointi toimii myös määrätyn integrlin knss: UV / b UV U V (4) Esimerkki.. Osittisintegrointi käyttäen osoit integrlille I n x n e x oikeksi reduktiokv I n x n e x + ni n j lske sen vull mitä on I 4 kun x. Esimerkki.. Olkoon I n π/ sin n (x). Osoit todeksi reduktiokv I n n I n n j lske sen vull mitä on I 3 j I 4.
4 . Sijoitus (Method of Substitution) Yhdistetyn funktion derivtt määritellään d f(g(x)) f (g(x)) g (x) (5) Integroimll puolittin, sdn f (g(x)) g (x) f(g(x)) + C (6) Erityisesti jos sisäfunktio g(x) on monimutkinen luseke, voi edellisen kvn käyttö tuntu joskus hnkllt. Tekemällä sijoitus u g(x) (j täten du g (x) ) sdn kv yksinkertisempn muotoon f (g(x)) g (x) f (u)du + C f(g(x)) + C (7) Määrätyn integrlin knss pitää ott huomioon, että sijoituksess integroimisrjt muuttuvt. Olkoon g() A j g(b) B: f (g(x)) g (x) B A f(u) du (8) Neliöksi täydentäminen on eräs suorn sijoituksen yleisimmistä käyttötilnteist: stetn luseke Ax + Bx + C muotoon ( Ax + Bx + C A x + B ) 4AC B + (9) A 4A j sijoitetn u x + B A. Esimerkki.3. Lske integrli e 3 dt käyttäen sijoitust u ln(t). e t(ln(t)) 4 Rtkisu: u ln(t) du dt t dt du t d dt Näin smme integrlin muotoon: te 3 te te 3 te / te te 3 / te 3 te t(u) 4 t du u 4 du 3 u 3 3 (ln(t)) 3 3 (ln(e3 )) (ln(e ))
5 Esimerkki.4. Integroi funktio käyttäen hyväksi tieto että 6x +6x D(cos (x)) x. Esimerkki.5. Lske integrli I xe x cos(3e x ) Rtkisu: Merkitään jolloin integrlin s muotoon g(x) 3e x g (x) 6xe x I 6 6xex cos(3e x ) 6xe x cos(3e x ) 6 Huomtn, että integrli on muoto f (g(x))g (x) missä f (x) cos(x) g(x) e x g (x) 6xe x Tällöin voimme käyttää kv (7) j smme integrlist I 6 sin(3ex ) + C.3 Käänteinen sijoitus (Inverse Substitution) Sijoitetn integrliin x g(u), jolloin sdn xb x f(x) () f (g(u)) g (u)du () Näin stu integrli voi näyttää vikemmlt kuin lkuperäinen, mutt on joskus helpommin rtkistviss. Muutmi perusvinkkejä sijoituksiksi: Jos integrliss on tekijä x, se sdn usein yksinkertisempn muotoon sijoituksell x sin θ eli θ sin x (käänteinen sinisijoitus, inverse sine substitution). Jos integrliss on tekijä + x ti, se sdn usein yksinkertisempn muotoon sijoituksell x tn θ eli θ tn x (käänteinen tngenttisijoitus, inverse tngent x + substitution). Jos integrliss on tekijä x ( > ), se sdn usein yksinkertisempn muotoon sijoituksell x sec θ eli θ sec x (käänteinen seknttisijoitus, inverse secnt substitution). 4
6 Kosinin j sinin rtionlifunktio sdn joissin tpuksiss muutettu x:n rtionlifunktioksi sijoituksell x tn θ, eli θ tn x. Esimerkki.6. Integroi luseke x x. Rtkisu: Vlitn sijoitus x sec(θ) Tällöin Smme integrlin muotoon: cos(θ) cos(θ) x d dθ dθ (cos(θ)) ( sin(θ)) dθ sin(θ) cos (θ) sin(θ) cos (θ) dθ sin(θ) ( cos(θ) ) ( cos(θ) ) cos (θ) dθ sin(θ) dθ ( cos(θ) ) sin(θ) dθ ( ) cos (θ) sin(θ) dθ cos (θ) sin(θ) sin(θ) sin(θ) cos (θ) cos (θ) sin (θ) cos (θ) sin(θ) cos(θ) dθ dθ dθ cos(θ) dθ { cos(θ) dθ, θ ], π [ cos(θ) dθ, θ ] π, π[ { sin(θ) + C, θ ], π[ sin(θ) + C, θ ] π, π[ Tiedetään, että x > j > jolloin x R\[, ] 5
7 Vlitn θ ], π[\ π j rtkisemll θ:n smme x cos(θ) cos(θ) x θ cos ( x ) Jolloin smme vstukseksi { sin(cos ( x ))+C, x ], [ sin(cos ( x ))+C.4 Rtionlifunktion integrli, x ], [ Trkstelln integrlej, jotk ovt muoto P (x), () Q(x) missä P j Q ovt muoto n x n + n x n + + x + x + x (3) olevi polynomej, missä n on polynomin ste.osmäärää P (x)/q(x) kutsutn rtionlifunktioksi Jos P :n ste on sm ti suurempi kuin Q:n, voidn suoritt jkolsku, jonk tuloksen sdn polynomi + R(x)/Q(x), missä R:n ste on pienempi kuin Q:n. Trkstelln siis integrlej R(x), (4) Q(x) joiss R:n ste on pienempi kuin Q:n. Jos Q:n ste (linerinen nimittäjä), Q(x) x + b, missä <. Tällöin R(x):n ste on oltv, ts. R(x) c j R(x)/Q(x) c/(x + b). Sijoituksell u x + b sdn c x + b c du u c ln u + C c ln x + b + C (5) Neliöllinen nimittäjä: x x + ln(x + ) + C x x ln x + C x + tn x + C x ln x x+ + C (6) Kolme ensimmäistä sdn sdn johdettu suorll sijoituksell j viimeinen käyttämällä osmurtohjotelm: Oletetn, että Q voidn jk n:ään lineriseen tekijään: Q(x) (x )(x ) (x n ), (7) 6
8 missä i j, jos i j, i, j n. Tällöin P (x)/q(x):n osmurtohjotelm voidn kirjoitt muotoon P (x) Q(x) A + A A n + (8) x x x n Jos Q sisältää jottomn. steen tekijän x + px + q, muodostetn osmurtoluku Ax + B x + px + q (9) Huom. Tätä muoto voidn käyttää vikk tekijä x + px + q ei olisikn joton. Jos jokin Q(x):n linerinen ti neliöllinen termi toistuu m kert, trvitn P (x)/q(x):n hjotelmss m murtoluku vstmn ko. tekijää: esimerkiksi jos Q:ll on tekijä (x ) m, trvitn osmurtokehitelmään termit A x + A (x ) + A m (x ) m () Esimerkki.7. Integroi osmurtokehitelmän vull lusekkeet 6x +x+ 3x+. (x )x x j x(x +3x+) x 4 x 3 x j Esimerkki.8. Integroi funktio f(x) x. x(x ) Rtkisu: Muodostetn ensin osmurtohjotelm. Osoittjn nollkohdt ovt x, x (kksinkertinen). Nyt voimme sd funtion muotoon f(x) A x + A x + A 3 (x ) A (x ) + A x(x ) + A 3 x x(x ) x x(x ) A (x ) + A x(x ) + A 3 x x Tästä smme yhtälöprin x A ( ) + A ( ) + A 3 x A ( ) + A + A 3 x A ( ) + A ( ) + A 3 4 A 3 A A + A + A 3 A 7 Täten j f(x) 7 x + x + (x ) f(x) ln( x ) + 7 ln( x ) (x ) + C 7
9 .5 Epäoleellinen integrli (Improper integrl) Määrätty integrli, jok on tyyppiä I f(x), () missä integroitv funktio f on jtkuv suljetull, äärellisellä välillä [, b], s äärellisen rvon. Tällist integrli kutsutn oleelliseksi integrliksi (proper integrl). Jos otetn huomioon myös seurvt mhdollisuudet. Joko ti b ti molempi. f ei ole rjoitettu, kun x lähetyy :t ti b:tä ti molempi puhutn epäoleellisist integrleist. Ensimmäisessä tpuksess on kyseessä tyypin I, jälkimmäisessä tyypin II epäoleellinen integrli. Määritellään nämä seurvksi hiemn täsmällisemmin. Tyypin I epäoleelliset integrlit: Jos f on jtkuv välillä [, [, määritellään Smoin jos f on jtkuv välillä ], b] f(x) lim R f(x) R lim R R f(x) () f(x) (3) Jos yo. rj rvot ovt olemss, epäoleellinen integrli suppenee (konvergoi), jos eivät, se hjntuu (divergoi). Tpuksess f(x) integrli jetn khteen osn f(x) f(x) + missä integrli suppenee, jos molemmt yo. integrlit suppenevt. f(x), (4) Tyypin II epäoleelliset integrlit: Jos f on jtkuv välillä ], b] j voi oll rjoittmton :n lähellä, määritellään f(x) lim c + c f(x). (5) Vstvsti jos f on jtkuv välillä [, b[ j voi oll rjoittmton b:n lähellä, f(x) lim c b c f(x). (6) Integrlin suppenemist voidn rvioid vertmll sitä tunnettuun integrliin: Oletetn, että < b j funktiot f j g ovt jtkuvi välillä (, b) j toteuttvt ehdon f(x) g(x). Tällöin jos g(x) suppenee, niin myös f(x) suppenee j f(x) g(x). (7) Smoin, jos f(x) divergoi kohti ääretöntä, niin tekee myös g(x). 8
10 Esimerkki.9. Osoit että jos < < {suppenee x p kohti luku p p, jos p > hjntuu kohti :, jos p j x p {suppenee kohti luku p p, jos p < hjntuu kohti :, jos p Esimerkki.. Osoit että divergoi kohti ääretöntä j että sin(e x ) +cos(xe x ) konvergoi kohti jotin reliluku. Esimerkki.. Rtkise integrli x. Rtkisu: x R lim x R / R x lim R Esimerkki.. Lske x. Rtkisu: R (R lim ) x lim x R R / x R R lim lim R +( R ).6 Numeerinen integrointi Numeerist integrointi voidn trvit mm. kun Määrätyn integrlin I lskeminen on oll vike ti mhdotont 9 f(x) (8)
11 f:n lusekett ei ole stvill. Esim. jos on vin mittustuloksi y i jnhetkinä x i eli jotk ovt tuntemttomn funktion f rvoj f(x i ). Käytännössä numeerinen integrointi voidn toteutt tietokoneell ti lskimell. Tutustumme seurvksi muutmn numeeriseen integroimismenetelmään. Puolisuunnikssääntö (Trpezoidl rule): Oletetn, että f(x) on jtkuv välillä [, b]. Jetn väli [, b] n:ään smnpituiseen osväliin, välien pituus h (b )/n käyttäen n + pistettä x, x + h, x + h,, x n + nh b. (9) Oletetn myös että f(x):n rvot näissä pisteissä tunnetn, eli y f(x ), y f(x ), y f(x ),, y n f(x n ). (3) Approksimoidn integrli f(x) käyttäen em. pisteiden välisiä suori viivoj: summtn näin stujen puolisuunnikkiden pint lt j käytetään näin stu pint l integr- lin likirvon. Puolisuunnikssäännön ntm likirvo T n integrlille f(x) on ( T n h y + y + y y y n + ) y n ( ) h n y + y j + y n j (3) (3) Yksinkertisuudestn huolimtt puolisuunnikssääntö on melko tehoks menetelmä. Trkstelln esimerkiksi integrli I x. Tämän integrlin rvo tunnetn, se on ln Lsketn se puolisuunnikssäännöllä j trkstelln tuloksen suppenemist: I T I T I T Keskipistesääntö: Oletetn jälleen, että f(x) on jtkuv välillä [, b]. Jetn väli [, b] n:ään smnpituiseen osväliin j muodostetn Riemnnin summ sellisten suorkiteiden pint loist, joiden korkeudet on lskettu n:n osvälin keskipisteissä. Jos h (b )/n j oletetn m j + (j )h, kun j n. Tällöin keskipistesäännön ntm likirvo M n integrlille f(x) on n M n f (f(m ) + f(m ) + + f(m n )) h f(m j ). (33) j
12 Simpsonin sääntö: Oletetn edelleen, että f(x) on jtkuv välillä [, b] j jetn väli [, b] n:ään smnpituiseen osväliin. Approksimoidn f:n kuvj nyt prbelin krill. Vlitn kolme vierekkäistä pistettä ( h, y L ), (, y M ) j (h, y R ) j sijoitetn nämä pisteet prbelin yhtälöön: y L A Bh + Ch y M A (34) y R A + Bh + Ch Tällöin A y M, Ch y L F y M + y R j h h ( (A + Bx + Cx ) h h Ax + B x + C x3) Ah Ch3 h ( y M + (y 3 L y M + y R ) ) h 3 (y L + 4y M + y R ) (35) Oletetn, että käytettävissä on sm dt kuin puolisuunnikssäännön tpuksess, jolloin sdn (oletten myös, että n on prillinen) x x f(x) h 3 (y + 4y + y ) x4 x f(x) h 3 (y + 4y 3 + y 4 ) xn x n f(x) h 3 (y n + 4y n + y n ) (36) Lskemll nämä yhteen sdn Simpsonin säännön ntm likirvo integrlille f(x):. f(x) S n h 3 (y + 4y + y + 4y 3 + y y n + 4y n + y n ) h 3 (y ends + 4y odds + y evens ) (37) Virherviot; Kikki edellä esitellyt menetelmät ovt käyttökelpoisi, virhervioiden olless seurvt: K(b ) f(x) T n h K(b )3 n K(b ) f(x) M n h K(b )3 4 4n K(b ) f(x) S n h 4 K(b )5 (38) 8 8n 4
13 Kksi ensimmäistä virherviot olettvt että f:n toinen derivtt on rjoitettu j viimeinen että f:n neljäs derivtt on rjoitettu välillä [, b]. Integrlilskennn sovelluksi Määrättyjä integrlej voidn sovelt mm. kppleiden tilvuuksien, käyrien pituuksien, pintojen pint lojen, voimien, energioiden jne. lskemiseen. Tässä kppleess esitellään näistä muutmi.. Kppleen tilvuus Kppleen, jonk poikkileikkuspint l pikss x on A(x), tilvuus V välillä x, x b on V A(x) (39) Voidn myös kirjoitt V xb dv, missä dv A(x) on tilvuuselementti. x Esimerkki.. Määritä integroimll sellisen ympyräpohjisen (vinon) krtion tilvuus jonk korkeus on metriä. Esimerkki.. Määritä integroimll R-säteisen pllon tilvuus. Rtkisu: r(x) R R Pllon yhtälö on muoto x + y R y ± R x Tällöin pllon pint-l on A(x) πr(x) π( R x ) π(r x )
14 Tilvuus sdn pint-ln integrlist eli V R R R R / R R A(x) π(r x ) π(r x x3 3 ) π(r R R3 3 ) π(r ( R) ( R)3 ) πr3.. Pyörähdyskppleen tilvuus Kpplett, joll on jotin kseli vstn kohtisuorss suunnss ympyränmuotoinen poikkileikkus, kutsutn pyörähdyskppleeksi. Esittelemme nyt kksi eri tp lske pyörähdyskppleen tilvuus:. Jos lue R, jot rjoittvt y f(x), y, x j x b pyörähtää x kselin ympäri, kppleen poikkileikkuksen pint l on A(x) π(f(x)) j pyörähdyskppleen pint l on V π (f(x)) (4). Sylinterin kuori menetelmä: Tsolue R, jot rjoittvt y f(x), < x < b pyörähtää y kselin ympäri, jolloin tilvuus V π xf(x) (4) Huom. Jos voidn rtkist y yhtälöstä y f(x) niin silloin myös ensimmäistä menetelmää voidn käyttää y-kselin ympäri pyörähtävän kppleen tilvuuden lskentn. R(x) x x b Kuv : V π xb x [R(x)] 3
15 dy y d R(y) y c Kuv : V π yd yc [R(y)] dy R(x) x x b Kuv 3: V π xb x xr(x) y d dy y c R(y) Kuv 4: V π yd yc yr(y)dy Esim. Käyrä f(x) e x pyörähtää väliltä x [, ] y-kselin ympäri. Lske sen kppleen tilvuus, jok jää y-kselin j pyörähtäneen käyrän väliin. 4
16 Rtkisu: y f(x) x Kuv 5: Tp Tp yksi: Rtkistn säteen funktio y:n olless muuttuj j integroidn normlisti käyttämällä jo opittu tilvuudeen kv. Rtkistn y. Sijoitetn tämä tilvuuden kvn jolloin V π y e x x ln(y) R(y) e e (R(y)) dy π e (ln(y)) dy 5
17 y h x Kuv 6: Tp Tp kksi: Lsketn :n pksuisi pylväitä yhteen. Tällöin pieneksi tilvuus lkioksi sdn yhtälö dv πxh V πxh πx(e e x ) Esim. Alue jot rjoittvt käyrät y (x ) (x ), x j y 4 pyörähtää suorn x ympäri. Lske pyörähdyskppleen tilvuus Rtkisu: y (x ) y 4 h x x x 6
18 Tp yksi: Tällöin Tp kksi: Kysytty tilvuus on V h 4 (x ) dv π(x )h V 4 4 π(x )(4 (x ) ) π(r(y) ) dy V 4 4 dy 4π V V V π( y + ) dy. Käyrän krenpituus j pinnn pint l Hhmottelln ensin tp joll kren pituus voidn lske likimääräisesti. Olkoon AB pisteiden A j B välinen lyhin etäisyys. Oletetn, että pisteiden A j B välillä on käyrä C j vlitn käyrältä pisteet A P, P, P,..., P n, P n B j pproksimoidn A:n j B:n välisen viivn pituutt monikulmiopproksimtioll, eli yhdistämällä pisteet P, P jne. suorill viivoill. Käyrän pituus tässä pproksimtioss on L n P P + P P + P n P n n P i P i. (4) i Tällöin on voimss määritelmä: Käyrän C krenpituus pisteestä A pisteeseen B on pienin reliluku s siten, että jokiselle monikulmiopproksimtion ntmlle pituudelle L n pätee L n s. Käyrä, jonk krenpituus on äärellinen on suoristuv. Olkoon f välillä [, b] määritelty jtkuv funktio, joll on jtkuv derivtt f ko. välillä. Jos käyrä C on funktion f kuvj, ts. yhtälön y f(x) kuvj, tämän käyrän krenpituus on s + (f (x)) + Krenpituus voidn esittää myös krenpituuselementtien vull: ( ) dy (43) missä s xb x ds, (44) ds + (f (x)). (45) Esimerkki.3. Määrittele välille [, ] sellinen funktio jonk kuvj ei ole suoristuv. Esimerkki.4. Kivi heitetään pisteestä (, ) j se tippuu pisteeseen (, ). Oletetn että lentort noudtt yhtälöä y x. Kuink pitkän mtkn kivi lensi? 7
19 Rtkisu: Kiven lentämä mtk on käyrän f(x) x pituus. Tällöin smme yhtälön s + (f (x)) + (x) jost rtkistun smme s.96 Esimerkki.5. Oletetn että rotkon ylittävä köysisilt noudtt n.k. "ketjukäyrän"yhtälöä f(x). cosh(x). Kuink pitkä kyösisilt on jos sen lkupiste on pisteessä (, f()) j päätepiste pisteessä (, f()). Esim. Mikä on käyrän x e y kren pituus välillä y [, 4]? Rtkisu: Tp yksi: Merkitään g(y) e y tällöin Sijoittmll tämän kvn smme s 4 4 g (y) e y + (g (y)) dy + (e y ) dy Tp kksi: Rtkistn käyrä x:n olless muuttuj smme Tällöin s y ln(x) e 8 e 4 f(x) + (f (x)) missä f (x) x Esim. Määritä käyrien y x j y x 3 rjoittmn lueen reunkäyrän pituus Rtkisu: 8
20 y s s x Etsitään ensin leikkuspisteet Tällöin käyrien pituudet ovt j x x 3 x ( x) s s Kysytty si on näiden käyrien summ eli.. Pyörähdyspinnn pint l x x + (x) + (3x ) s s + s Kun tsokäyrää kierretään käyrän tsoss olevn viivn suhteen, sdn pyörähdyspint. Pyörähdyspinnn pint l sdn kiertämällä käyrän krenpituuselementtejä nnetun viivn suhteen. Jos kierron säde on r, sdn nuh, jonk pint l on ds πrds (46) Jos f (x) on jtkuv välillä [, b] j käyrää y f(x) kierretään x kselin ympäri, sdun pyörähdyspinnn l on S π xb x y ds π Vstvsti kierrettäessä y kselin ympäri S π xb x x ds π 9 f(x) + (f (x)). (47) x + (f (x)). (48)
21 Joskus tsokäyrä on helpompi ilmist y:n kuin x:n funktion. Tällöin edellisissä kvoiss voidn yksinkertisesti viht y:n j x:n roolit: Jos g (y) on jtkuv välillä [c, d] j käyrää x g(y) kierretään y kselin ympäri, sdun pyörähdyskppleen pint l on S π yd yc x ds π Vstvsti kierrettäessä x kselin ympäri S π yd yc y ds π d c d c g(y) + (g (y)) dy. y + (g (y)) dy. Esimerkki.6. Käyrä x e y väliltä y ln() pyörähtää x-kselin ympäri. Mikä on syntyvän pyörähdyspinnn pint-l? Esimerkki.7. Lske säteisen pllon pinnn pint l. Esimerkki.8. Prbelin y x + x + x-kselin yläpuoleinen os pyörähtää x-kselin ympäri muodosten "kpselin". Mikä on tämän kpselin pint-l? Rtkisu: Merkitään f(x) x + x + Rtkistn missä kohdiss f(x) leikk x-kselin: x + x + x ± 4 ( ) ( ) x x + Nyt sijoittmll kvn tiedot smme pint-ln yhtälöksi: S π + x + x + + ( x + ) Esimerkki.9. Käyrä y x, x pyörähtää y-kselin ympäri. Mikä on pyörähdyspinnn pint-l? Rtkisu: Tiedämme, että x y x y g(y) Sijoittmll tiedot kvn smme: S π π g(y) + (g (y)) dy y + ( y) dy Esim. Suor f(x) x + 4 pyörähtää suorn y x ympäri välillä [ 4, ]. Määritä muodostuvn sylinterin tilvuus Rtkisu:
22 y R(x) x dw dy j Tällöin Tilvuuslkio on muoto p p + 4 p 3 p 3 R(x) ( 3) + (4 ) 3 dv π(r(x)) dw Rtkistn, mitä on dw. Kosk suorien kulmkertoimet ovt smt, dy jolloin Tällöin smme tilvuudeksi (dw) () + (dy) (dw) () dv π(3 ) V 8π 4 / 4 dw 8π 8π x 8π ( 4) 7π.3 Mss, momentti j msskeskipiste Oletetn, että kppleen tiheys pisteessä P on δ(p ) j δ(p ) on jtkuv kppleen kikiss pisteissä P. Jetn kpple pieniin tilvuuselementteihin j oletetn, että tiheys δ on likimäärin vkio elementin sisällä. Tällöin tilvuuselementissä V, jok sisältää pisteen P, olev mss M on m δ(p ) V (49) j koko kppleen mss m m δ(p ) V (5)
23 Integrlimuodoss; msselementti dm δ(p )dv m dm δ(p )dv. (5) Edellisessä kvss mss on yleisessä muodoss j integroiminen hnkl (P R 3 j dv on kolmiulotteinen "elementti"!)..3. Pistemäiset msst Keskitytään nyt yksinkertistettuun -ulotteiseen tilnteeseen joss mss on keskittynyt pelkästään x-kselille tiettyyn pisteeseen: x kselill pikss x olevn mssn m momentti pisteen x suhteen on xm j pisteen x suhteen (x x )m. Jos useit mssoj m, m,... m n pikoiss x, x,... x n, kokonismomentti pisteen x x suhteen on yksittäisten momenttien summ: M xx (x x )m + (x x )m + + (x n x )m n n (x j x )m j. (5) Msssysteemin msskeskipiste on piste x, jonk suhteen kokonismomentti on noll, ts. j n (x i x)m j j n n x j m j x m j (53) j j Msskeskipiste on siis x n j x jm j n j m j M x m (54) Yleistetään seurvksi tilnnett -ulotteiseen tpukseen: mss m on pisteessä (x, y ), m pisteessä (x, y ) jne. Msssysteemin momentti y kselin (x ) suhteen on M x x m + x m + + x n m n n x j m j (55) j j x kselin (y ) suhteen M y y m + y m + + y n m n n y j m j (56) j Msskeskipiste xy tsoss on siis piste ( x, ȳ), missä x M x m n j x jm j n j m j ȳ M y m n j y jm j n j m j (57) Esimerkki.. Puust rkennetun ympyrän muotoisen kynttelikön (säde R 3 cm, pino 3 kg) msskeskipisteen thdottisiin olevn keskellä ympyrää. Puun epähomogeenisuuden vuoksi msskeskipiste ei olekkn missä pitäisi, vn hvitn että msskeskipiste onkin 3 cm ympyrän keskipisteestä. Minkä kokoinen (pistemäinen) mss pitäisi kiinnittää ympyrän kehälle jott msskeskipiste siirtyisi ympyrän keskipisteeseen?
24 .3. Ei-pistemäiset msst Yleistetään seurvksi tilnnett siten että mss on vin x-kselill, mutt ei esiinny pistemäisenä. Oletetn, että mss on jkutunut x kselille siten, että tiheys δ(x) on jtkuv funktio välillä [, b]. Tällöin pituuselementissä pikss x on mss dm δ(x) j sen momentti pisteen x suhteen on dm x xdm xδ(x). Kokonismomentti on j kokonismss joten msskeskipiste M x m x M x m xδ(x) (58) δ(x), (59) xδ(x). (6) δ(x) Esimerkki.. Suorn johdon pituus on L cm j sen tiheus etäisyydellä s cm johdon toisest päästä on δ(s) sin(πs/l) g/cm (johto jtelln siis yksiulotteiseksi kppleeksi). Lske johdon mss. Missä on johdon msskeskipiste? Seurv esimerkki yleistää edelliset tulokset -ulotteiseen (erikois)tpukseen. Esimerkki.. Esim. lueess x b, y f(x) olevn levyn, jonk tiheys pisteessä (x, y) on δ(x), mss on j momentit m M x M y δ(x)f(x) (6) xδ(x)f(x) δ(x)(f(x)). (6) Ann perustelu jälkimmäiselle kvlle sekä määritä msskeskipiste ( x, ȳ)..3.3 Homogeenisen tsokppleen pinopiste eli keskipiste Oletetn eo. kvoiss tiheys vkioksi, δ(x), sdn tsolueen x b, y f(x) pinopisteeksi (centroid) ( x, ȳ), missä A f(x), M x x M x A, ȳ M y A xf(x) M y (63) (f(x)) (64) Keskipisteen vull sdn lskettu kätevästi myös pyörähdyskppleiden tilvuuksi j pint-loj (Pppusin luse): Jos tsolue R kierretään suorn L suhteen siten, että muodostuu pyörähdyskpple, sdun kppleen tilvuus on V π ra, (65) missä A on lueen R pint l j r on R:n keskipisteen etäisyys L:stä. 3
25 Jos tsokäyrä C kierretään viivn L suhteen siten, että muodostuu pyörähdyspint, sdun pinnn pint l on S π rs, (66) missä s on käyrän C pituus j r on C:n keskipisteen etäisyys L:stä. Esimerkki.3. Osoit että kolmion, jonk kärkipisteet ovt (x, y ), (x, y ) j (x 3, y 3 ) pinopiste on ( x + x + x 3 ( x, ȳ), y ) + y + y 3 (67) 3 3 Esimerkki.4. Ympyrän neljänneksen muotoist levyä kuv xy-tson pistejoukko {(x, y) R x + y, x, y }. Jos levy on tspksu j homogeeninen niin mikä on levyn pinopiste? Esimerkki.5. xy tson neljännkesen tsolue, jonk keskipiste on pisteessä (, 8), pyörähtää x-kselin ympäri. Näin muodostuneen pyörähdyskppleen tilvuudeksi stiin on kuutiometriä. Mikä olisi ollut sellisen pyörähdyskppleen pint-l jok muodostuisi kun sminen tsolue pyörähtäisi y kselin ympäri? Esimerkki.6. Pisteitä (, ) j (, ) yhdistävä jn pyörähtää suorn x ympäri j muodost kiinteän kppleen. Lske Pppuksen luseen vull kppleen vipn pint-l. Esim. Ympyräpohjinen krtio on m korke j krtion mterilin tiheys korkeudell x on ( x) 3 kg. Mikä on koko krtion mss? m 3 Rtkisu: x R R y Fysiikst tiedämme, että m ρv Korkeudelt x leiktun pksuisen kiekon tilvuus on x R y y (x ) ( R ) 4
26 Nytten dv π((x ) ( R )) Sijoittmll tämän smme dm ( x) 3 π((x ) ( R )) m ( x) 3 π((x ) ( R )) Esim. Mikä on sellisen kuution mss, jonk tiheys on x syvyydellä x kuution pinnst? Rtkisu: L x L Ajtelln, että kuutio kootn phviltikoist joiden pksuus on. Jos ltikon sivun pitus on s niin kuoren tilvuus on 6s dv toislt s ( L x) jolloin dv 6(( L x)) Näin olleen smme msslle lusekkeen dm 6(( L x)) ( x) m L ( x) 6(( L x)) Esim. Mikä on puoliympyrän kehän msskeskipiste? Rtkisu: y R R 5
27 Etsitään se vksuor suor, jonk suhteen kren momentti on noll. Ympyrän yhtälö on muoto x + y R y R x f(x) Nyt j L f(x) Integroimll smme Jost R R R R M R dm g(f(x) )dm dm g(f(x) )ds R g(f(x) ) + (f (x)) f(x) + (f (x)) + (f (x)) f(x) R + (f (x)) R R f(x) + (f (x)) R R + (f (x)) R + (f (x)) Käyrän keskipiste siis (, ) 3 Prmetriset käyrät 3. Krteesisen muodon käyristä prmetrisiin esitysmuotoon xy-tson tsokäyrä on krteesisess muodoss jos se on nnettu suorn x:n j y:n lusekkeen, esimerkiksi x + y 4 ti y x ti y + sin(yx) e x. Vihteluväliä x:lle j y:lle voidn trvittess rjoitt (esim. puoliympyrä). Krteesisess muodoss olev käyrä voi oll joskus hyvinkin vike nlysoid ti edes hhmotell krkesti. Toislt on hyvin helppo todet onko nnettu (x, y) pistepri käyrällä. Tsoss olev käyrä C on prmetrinen, jos käyrään kuuluvt pisteet ovt muoto (f, g), missä f j g ovt funktioit jotk on määritelty smll välillä I. Yhtälöitä x f(t), y g(t), kun t I (68) kutsutn käyrän C prmetrisiksi yhtälöiksi ti prmetrisoinniksi. Riippumton muuttuj t on prmetri. Yleensä funktiot f j g ovt jtkuvi j vrsin usein prmetri t merkitsee ik. Prmetriksi voidn tietysti vlit jokin muukin symboli. Prmetrisen käyrän suunt on suunt, johon t ksv. Suunt esitetään käyrän kuvjss yleensä nuolell. 6
28 Esimerkki 3.. Jos kiven lentordn ennustetn noudtvn käyrää y x + niin osuuko se pisteessä (,5) olevn kohteeseen? Esimerkki 3.. Hhmottele krkesti prmetrinen käyrä x t, y t + välillä t [, ]. Hhmottele myös prmetrinen käyrä x sin(α), y cos(α) kun α [, π]. Prmetrisen käyrän pluttminen krteesiseen muotoon on usein mhdotont mutt joskus se onnistuu. Esimerkki 3.3. Plut prmetriset käyrät i) x t, y t+ kun t [, ] j x sin(α), y cos(α) kun α [, π] tkisin krteesiseen muotoon. Rtkisu: i) Rtkistn y:n lusekkeest t j sijoitetn se x:n lusekkeeseen jolloin y t + t y x (y ), x [, 4] Krteesisess muodoss olevn käyrän prmetrisointi on yhtälill hnkl ongelm. Kun prmetrisointi on olemss, on sille lisäksi in useit eri vihtoehtoj j sopivn vlint voi riippu käytännön vtimuksist. Esimerkki 3.4. Etsi kksi oleellisesti erilist prmetrisoitu esitysmuoto suorlle y x+. Esim. Onko piste (, ) käyrällä x t + t, y t 3? Rtkisu: Rtkistn t:n rvo toisest yhtälöstä j sijoitetn toiseen. Sijoitetn tämä x:n lusekkeeseen smme eli piste ei ole käyrällä t 3 t 3 ( 3 ) Sileät prmetriset käyrät Tsokäyrä on sileä, jos sillä on tngenttisuor jokisess pisteessä P j tngentti kääntyy jtkuvll tvll, kun P liikkuu pitkin käyrää. Oletetn nyt että prmetrisen esitysmuodon funktiot f j g ovt jtkuvi j derivoituvi pisteen t läheisyydessä. Sileydestä voidn tällöin todet: Tsokäyrä on sileä pisteessä (f( t), g( t) mikäli joko f ( t) ti g ( t). Jos f ( t) j g ( t) niin tsokäyrän sileydestä pisteessä (f( t), g( t) ei näiden tietojen perusteell void päätellä mitään. Tässä tpuksess derivttojen trkempi tutkiminen voi utt. Esimerkki 3.5. Osoit että seurvt käyrät ovt vrmsti sileitä kun t i) x f(t) t, y g(t) t 3, ii) x f(t) t 3, y g(t) t 6. Tutki myös ovtko ne sileitä vi eivät pisteessä t. 7
29 3.3 Prmetristen käyrien tngentti- j normlisuort Jos f (t) välillä I, C on sileä j sillä on jokisell t:n rvoll tngenttisuor, jonk kulmkerroin on dy g (t) f (t). (69) Jos f (t) j g (t), silloin tngenttti on pystysuor. Toislt jos g (t) välillä I, C on sileä j sillä on jokisell t:n rvoll normlisuor, jonk kulmkerroin on dy (t) f g (t). (7) Jos g (t) j f (t), silloin normli on pystysuor (eli tngentti on vksuor). Jos f j g ovt jtkuvi j inkin toinen on nollst poikkev t :ss, prmetriset yhtälöt { x f(t ) + f (t )(t t ) (7) y g(t ) + g (t )(t t ), missä < t <, esittävät käyrän x f(t), y g(t) tngenttisuor pisteessä (f(t ), g(t )). Vstvsti normlisuorn yhtälö on { x f(t ) + g (t )(t t ) (7) y g(t ) f (t )(t t ), missä < t <. Molemmt suort kulkevt pisteen (f(t ), g(t )) kutt, kun t t. Esimerkki 3.6. Etsi ne pisteet väliltä t [, π] joiss käyrällä x cos(t), y cos(e t ) on vksuor ti pystysuor tngentti. Määritä myös tngentti j normlisuorn kulmkertoimet pisteessä t π/4. Muodost lisäksi prmetriset muodot tngentti j normlisuorn yhtälöille. 3.4 Krenpituus j pint-l 3.4. Krenpituus Olkoon C sileä prmetrinen käyrä, jonk yhtälö on x f(t), y g(t), t b siten, että f (t) j g (t) ovt jtkuvi välillä [, b], eivätkä ole yhtik nolli. Tällöin käyrän krenpituuselementti on (ds ds ds ) ( ) ( ) dy dt dt dt + dt (73) dt dt dt j krenpituus s tb t ds Esimerkki 3.7. Lske prmetrisen käyrän pituus. ( ) + dt x e t cos t, y e t sin t, ( t ) ( ) dy dt (74) dt Esim. Ajtelln käyrää y y(t) t j x x(t) t 3 +, t [, ] Mikä on käyrän pituus? Rtkisu: Tp yksi: Rtkistn mitä on y j sijoitetn se x:n lusekkeeseen eli y t t y 8
30 Sijoitetn Tällöin käyrän pituus on Tp. Tiedetään, että s ds s x t 3 + x ( y) 3 + g(y) + (g (y)) dy + ( 3 y ) dy ( dt ) + ( dy dt ) dt ( dt ) + ( dy dt ) dt (3t ) + (t) dt 3.4. Pyörähdyskppleen pint-l Jos sileä prmetrinen käyrä, jonk yhtälö on x f(t), y g(t), t b kierretään x kselin ympäri, sdun pinnn pint l on s π tb t y ds π Vstvsti y kselin ympäri kierrettäessä s π tb t Tso-lueen pint-l x ds π g(t) (f (t)) + (g (t)) dt (75) f(t) (f (t)) + (g (t)) dt (76) Integroidess (x-muuttujn suhteen) pint-l tulkint pätee sellisenn vin jos integroitv funktio on koko jn x-kselin yläpuolell. Jos funktio käy välillä x-kselin lpuolell j kuvjn j kselin välinen pint-l kiinnost niin pitää integroid funktion itseisrvo (jok käsin lskien joht integrlin osiin jkmiseen). Sm pätee myös prmetristen käyrien yhteydessä. Lisäksi se mihin suuntn käyrä on kulkemss vikutt määrätyn integrlin rvoon: Käyrän C yhtälö on x f(t), y g(t), t b, missä f on differentioituv j g jtkuv välillä [, b]. Jos f (t) j g(t) välillä [, b], niin C:n j x kselin väliin jäävän pinnn pint ln pint lelementti on da y g(t)f (t)dt j pint l A Jos f (t) j g(t) välillä [, b], niin A g(t)f (t)dt Jos f (t) j g(t) välillä [, b], niin A g(t)f (t)dt g(t)f (t)dt (77) Jos f (t) j g(t) välillä [, b], niin A g(t)f (t)dt, missä A on C:n, x kselin j pystysuorien suorien x f() j x f(b) rjoittmn lueen pint l. Esimerkki 3.8. Määritä käyrän x(t) t 3 4t, y(t) t, t [, ] silmukn pint-l. 9
31 Esim. Olkoon x(t) t + j y(t) t 3, t [, ] Mitä on käyrän rjoittm pint-l? Rtkisu: Merkitään y f(x) Tällöin A Rtkistn, mitä on. Tiedämme, että f(x) x t + dt t tdt d dt Sijoitetn tämä pint-ln lusekkeeseen jolloin A / t 3 t dt t 4 dt 5 t5 5 Esim. Määritä se pint-l, jot rjoittvt käyrät x(t) (π t) cos(t), y(t) (π t) sin(t), t [, π ] j koordinttikselit Rtkisu: Tp. cos(t) (π t) sin(t) dt ( cos(t) (π t) sin(t))dt A Tp. xπ x π/ y (π t) sin(t) (cos(t) (π t) sin(t)) dt 3
32 y da t π dt R(t) t x (x(t)) + (y(t)) (π t) (sin (t) + cos (t)) (π t) }{{} Tällöin (π t) R(t) x(t) R(t) cos(t) y(t) R(t) sin(t) Nyt da dt π π(r(t)) da (R(t)) dt A π π / R(t)) dt (π t)3 6 6 ((π )3 π 3 ) Esim. Olkoon x(t) cos(t)e t j y(t) sin(t)e t, t [, π] hhmottele käyrän kuvj j määritä pint-l jot tämä käyrä j x-kseli rjvt. 3
33 Rtkisu: Lsketn derivtt j derivttojen nollkohdt. x (t) sin(t)e t + cos(t)e t e t ( sin(t) + cos(t)) sin(t) + cos(t) sin(t) cos(t) t π 4 + πn t 5π 4 + πn y (t) cos(t)e t + sin(t)e t e t (cos(t) + sin(t)) cos(t) sin(t) t 3π 4 Ltimll kulkukvion smme: π 4 3π 4 t x (t) + y (t) + + J kuvv: y A A x Pint-l sdn A j A summn. missä j A A e 3π 4 e 3π 4 e 3π 4 (cos(t)e t ( e 3π 4 ) dy cos(t)e t + e 3π 4 dy e t (sin(t) + cos(t))dt ( e 3π 4 dy cos(t)e t ) e t (sin(t) + cos(t)) dt }{{} dy 3
34 3.5 Npkoordintit j npkäyrät 3.5. Npkoordintit Jos on trpeen tietää ti määritellä, kuink kukn j missä suunnss origost piste on, npkoordinttit (eli polrikoordintit ovt usein luonnollinen vlint krteesisten koordinttien semest. Npkoordintisto (eli polrikoordintisto) voidn määritellä origon O j siitä vksuorn oikelle ulottuvn np kselin vull. Tällöin pisteen P npkoordintit ovt r j θ, missä r on O:n P :n välinen etäisyys j θ on jnn OP j np kselin välinen kulm. Npkoordinttej merkitään yleensä hksuluill [r, θ] ti krisuluill (r, θ). Merkintätvst riippuen, seknnuksen vr lukuvälien ti krteesisen koordintiston pisteiden knss on ilmeinen j merkinnän ymmärtäminen jääkin usein siyhteydestä kiinni. Npkoordinttiesitys ei ole myöskään yksikäsitteinen, ts. npkoordintit [r, θ ] j [r, θ ] esittävät sm pistettä, jos θ θ + nπ, missä n, ±, ±,.... Mikäli hyväksyttäisiin negtiivinen pituus r:lle, eli origost lähdettäisiin θ:n osoittmn suuntn nähden vstkkiseen suuntn niin npkoordinteille pätee myös [r, θ] [ r, θ + π] Trigonometristen funktioiden määritelmästä seurvi npkoordinttien j suorkulmisten koordinttien välisiä yhteyksiä: 3.5. Npkäyrät x r cos θ x + y r (78) y r sin θ tn θ y x (79) Npkäyrät (eli polrikäyrät) ovt erikoistpus prmetrisoiduist käyristä. Kun npkoordinteiss koordintti r sidotn koordinttiin θ, eli kirjoitetn jtelln r:ää θ:n funktion, r r(θ), sdn x r(θ) cos(θ) (8) y r(θ) sin(θ). (8) Npkäyrä koostuu siis yllä olevist (x, y) pisteistä, j kosk funktio r(θ) määrää nämä pisteet yksikäsitteisesti niin npkäyrä ilmistn usein pelkästään ntmll tämä funktio.. Npkäyrän määritelmästä seur suorn useit ominisuuksi, mm. Jos npkäyrää r (θ) thdotn kiertää θ kulmn verrn origon suhteen vstpäivään niin tämän "kierretyn"käyrän r yhtälö on r (θ) r (θ θ ) Käyrän r(θ) j suorien θ α j θ β, (α < β) rjoittmn sektorin pint l on A β α (f(θ)) dθ (8) Käyrän r(θ) krenpituuselementti on (dr ) ds + r dθ dθ (r (θ)) + (r(θ)) dθ (83) 33
35 Esimerkki 3.9. Mt kiertävän stelliitin kiertortn korjtn korkeudelt km korkeudelle km. siten että korjus tehdään viiden kierroksen ikn j korkeus nousee tsisesti stelliitin kiertokulmn nähden. Määritä npkäyrä jot pitkin stelliitti kulkee. Esimerkki 3.. Lske krdioidin r (+cos θ) rjoittmn lueen pint l j reunviivn kokonispituus. 34
BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset
BM20A5820 Integrlilskent j sovellukset Jouni Smpo 16. helmikuut 2016 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution)..........................
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotJouni Sampo. 28. marraskuuta 2012
A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotPintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
Lisätiedotfunktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.
I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt
LisätiedotLYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
LisätiedotMATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Hrjoitustehtävien rtkisut Ari Tuomenlehto - 0 - Hrjoitustehtävien rtkisut 1.
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotLuku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa
Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio
Lisätiedot.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8
Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa III
Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 5 op
jouko.teeriho@lpinmk.fi Differentili- j integrlilskent 5 op Moodle: Differentili j Integrlilskent R5R5S Avin: syksy6 Sisältö. jkso Derivtn määritelmä rj-rvon Derivoimiskvojen käyttö Derivtn sovelluksi
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan
A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotA-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotItseopiskeluohje to
Itseopiskeluohje to 5.1.2018 Yleistä Torstin 5.1.2018 luennoitsijnne on Mtemtiikn päivillä Joensuuss vetämässä sessiot mtemtiikn opetuksest. Näin ollen luento ei pietä, vn trkoitus on itse käyä läpi kksi
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
Lisätiedot