Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Transkriptio

1 Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja y ovat kääntäen verrannollisia Kuinka monta prosenttia y kasvaa, jos pienenee 0%? Ratkaise yhtälö: = 4 Afrikan väkiluku oli 999 lopussa 784 miljoonaa Se on kasvanut vuosittain n, % Minä vuonna väkiluku sivuttaa 000 miljoonan rajan, jos kasvu jatkuu samanlaisena? 5 Järven vesikerroksen läpi pyrkivän valon voimakkuus pienenee vesikerroksen paksuuden funktiona Yhden desimetrin paksuinen vesikerros päästää lävitseen 85% valosta Laske valon voimakkuus 9 dm:n syvyydessä, kun se järven pinnalla on 400 l Jos pimeys määritellään l valaistuksella, niin missä syvyydessä on pimeää? 6 Jaa polynomi tekijöihin 7 (V) Yhtälössä + a a = 0 vakio a on positiivinen ja = on yksi juurista Määritä muut juuret 8 Ratkaise epäyhtälö: > 0 9 Kansainvälinen pysyvästi miehitetty avaruusasema ISS otettiin käyttöön marraskuussa 000 Asema kiertää Maata noin 400 kilometrin korkeudella Kuinka kauan siltä kuluu yhteen kierrokseen maapallon ympäri, kun tiedetään, että Kuun kiertoaika on 7, vuorokautta ja sen keskietäisyys Maasta on noin km? Maan säde on 6 70 km Kiertoajat noudattavat Keplerin kolmatta lakia: T r =, missä T = kiertoaika ja r = kiertoympyrän säde T r Geometriaa 0 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kylki on Kuinka suuriin osiin kantakulman puolittaja jakaa vastaisen kyljen? Neliön, jonka sivun pituus on 8,0 cm, sivujen keskipisteet nimetään myötäpäivään A, B, C ja D A keskipisteenään piirretään ympyräkaari BD ja C keskipisteenään piirretään ympyräkaari DB Laske kaarten väliin jäävän alueen pinta-alan osuus koko neliön alasta Sadevesimittarina käytetään kärjellään seisovaa suoraa ympyräkartiota, jonka korkeus on 5 cm ja pohjan säde 0 cm Sateen jälkeen mittarissa on vettä 7,0 cm:n korkeudella Kuinka monta millimetriä oli sademäärä?

2 Kolmiossa 0 o ja 0 o kulmat, ja suurinta kulmaa vastaava sivu on 0 Laske kolmion ala 4 (V) Moottori pyörittää säteeltään,0 cm hihnapyörää Isomman hihnapyörän, jonka säde on, m, akseli on,5 m pienemmän hihnapyörän akselista Hihna on pingotettu kummankin hihnapyörän ympäri (se ei kulje ristiin pyörien välissä) Moottori pyörii 600 kierrosta minuutissa Laske isomman hihnapyörän pyörimisnopeus ja hihnan pituus Vektorioppi ja trigonometria 5 Ratkaise vektori yhtälöstä ( ) b + a = 4 b 6 Onko u v, kun u = a b ja v = a + 4b 7 Osoita, että vektorit a = i + j k ja b = j k ja c = i + k ovat samassa tasossa 8 Tunnetaan vektorit a = i 4j ja b = i mj Millä reaaliarvolla m on a) a b b) a b 9 Ratkaise yhtälö cos α = cosα 0 Perustele yksikköympyrän avulla, että sin <, kun π 0 < < Missä pisteessä pisteiden A(6,4,7), B(0,-4,-7) ja C(-,0,4) määräämä taso leikkaa - akselin? Suora L kulkee pisteiden A(-,0,) ja B(,,) kautta Taso T kulkee pisteiden C(4,,), D(,8,) ja E(7,5,5) kautta Osoita, että suora L on kohtisuorassa tasoa T vastaan Analyyttinen geometria Osoita, että piste (, 7 ) on käyrällä 4 Suorien kulmakertoimet ovat ( ) y = + 4 ja Määritä suorien välinen suurempi kulma 5 Käyräparven 5 a + ay 4y 4a+ 5= 0 eri käyrät kulkevat kaikki saman pisteen kautta Määritä yhteinen piste ja osoita, että se on ainoa yhteinen piste 6 (V) Paraabeli y = + + erottaa suoralta y = 4+ 9 jänteen AB Missä paraabelin pisteestä jänne AB näkyy suorassa kulmassa? Differentiaalilaskenta 7 Tutki, missä funktio g= ( ) 00 + on monotoninen reaalilukujoukossa Määritä funktion h ( ) = 5 suurin ja pienin arvo 9 Laske funktion = + nollakohdat, ääriarvot ja suurin arvo välillä [ 0, π ] f ( ) sin sin

3 0 Akvaarion tueksi rakennetaan alumiinikulmalistasta suorakulmaisen särmiön muotoinen kehikko Akvaarion syvyys on puolet sen pituudesta Mitkä ovat akvaarion mitat ja tilavuus, kun sen tilavuus on suurin? Alumiinikulmalistaa on käytettävissä 9,0 m Lammikkoon asennettu suihkulähde pumppaa vesisuihkun paraabelin muotoiselle radalle Suihku ulottuu 5 metrin korkeudelle ja putoaa alas 4 metrin päässä lähtöpaikasta Laske kulma, jonka lähtevä suihku muodostaa veden pinnan kanssa Missä pisteissä käyrät y = ja y = + sivuavat toisensa? 4 7 (V) Olkoon f ( 0) = ja f ( 0) = Määritä f ( h) + lim h 0 h ja f (h) + lim h 0 h 4 (V) Määritä käyrien y = ja y = yhteiset tangentit 5 (V) Tiedetään, että ( ) = Määritä f (), kun käyrälle f () piirretyn tangentin yhtälö on + y = f y = pisteeseen (,) 6 (V) Osoita, että funktio ( ) ( ) ( ) k k k f = + k on kasvava, kun > 0 ja k > 7 (V) Kuution muotoisessa astiassa on pallonmuotoinen kivi Astiaan kaadetaan vettä siten, että kivi juuri ja juuri peittyy Minkä kokoisen kiven peittämiseen kuluu eniten vettä ja minkä verran vettä silloin kuluu? Kuution särmä on m Integraalilaskenta 8 Onko F( ) = ( 5) funktion f( ) = 0 integraalifunktio? 9 Määritä ( 7) d ja ( 4 t) dt d 40 Integroi ( ) ja vielä summa ( ) ( ) + + d d 4 Määritä käyrän y = 4 ja -akselin rajaamien äärellisten alueiden pinta-alat 4 Käyrät y = ( p ) ja y = ( p ) rajaavat kumpikin erikseen - akselin kanssa alueen, joiden pinta-alat ovat vastaavasti A ja B Määritä parametrin p arvot, joilla alat ovat yhtä suuret: A = B 4 (V) Paraabelit y = ja = y leikkaavat toisensa origossa ja pisteessä P P:stä piirretään normaalit kumpaakin koordinaattiakselia vastaan Osoita, että paraabelin kaaret jakavat muodostuvan suorakulmion kolmeen yhtä suureen osaan

4 44 (V) Määritä käyrän y pinta-ala =, kun [ 0, ] Lukujonot 45 Laske ensimmäisen kolmella jaollisen luvun summa, y-akselin ympäri pyörähtäessään rajaaman kappaleen 4 46 (V) Millä muuttujan arvoilla sarja suppenee ja millä :n arvolla sarjan summa on 9 8? 47 (V) Laina maksetaan takaisin neljässä vuodessa ja neljässä yhtä suuressa maksuerässä Kuinka suuri tulee maksettavan erän olla, jotta laina ja siitä syntyvä korko tulee maksettua viimeisellä kerralla kokonaan? Lainan suuruus on euroa ja korko on 7,5% Todennäköisyyslaskenta 48 Oletetaan, että joka toisella ihmisellä on puhelin mukanaan Millä todennäköisyydellä kolmella seuraavalla henkilöllä on ainakin yksi puhelin? 49 Jenkkipurukumityynyt valmistetaan liottamalla ja kuivaamalla ne vuorotellen niin kauan, että syntyy tunnusomainen muoto Tapa synnyttää lukuisia valmistusvirheitä, jotka karsitaan punnitsemalla jokainen tyyny erikseen Tyynyn paino on normaalisti jakautunut keskiarvolla 6,78 g ja keskihajonnalla 0,7 g Jos lajittelija jättää kaikki painoltaan 5,9 g - 7,6 g, montako prosenttia jenkkityynyistä jää jäljelle? Millä hyväksyttävällä virhemarginaalilla hylkäysprosentti olisikin vain 0%? 50 Lentokoneeseen, jossa on tilat 70 matkustajalle, myydään tietyssä lentoyhtiössä jopa 74 lippua Tiedetään, että lentomatkan varanneista 9% saapuu varaamalleen vuorolle Millä todennäköisyydellä paikat riittävät kaikille saapuville? Funktiot 5 Olkoon f ( ) = Osoita, ettei ( ) 5 Määritä f g ja g f, kun f ( ) = ja g( ) = + f + ole sama kuin f ( ) + f() ja että f ( ) f( ) 5 Määritä funktion h = + käänteisfunktio välillä ],0] ( ) 6 54 (V) Miten olisi rajoitettava funktion aidosti kasvava käänteisfunktio? f( ) = määrittelyjoukkoa, että funktiolla olisi

5 Pitkä matematiikka - vastaukset Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) n = 9 = - > 4% = eli 0,7 vuotta 5 9 l, 6,866 dm eli 7 dm =,7 m 6 ( + 0)( - ) 7 ± 8 > tai < <0 9 h min 0 ja 57 % 0,508 cm 5mm,97 p a y 4 7,8 m ja 90 kier min = 6 tu = v V: ei ole 5 ( a b) 7 c = sa + tb ja s = ja t = - V 8 i ( ) ab= + 4 m= 0 m=,5 8 a = tb t =, 5 ja m = 9 α = n π 0 ei mahdu tähän (,0,0) AB CD = 0 ja AB CE = 0 Sijoita =, y = , o 5, 5 6 (, ) 7 Ei ole, koska monotoninen ainoastaan,0 tai [ 0, [ välillä ] ] 8 Derivaatta > 0 aina, määritelty kun 5, joten aidosti kasvava Pienin arvo h (5) = 0 eikä suurinta arvoa ole 9 Nollakohdat tulon nollasäännöllä: = 0 tai = π tai = π π π Derivaatan nollakohdat: = tai = tai,990 ja 5, 45 Suurin arvo, kun π π π f = sin + sin = 5 0 Mitat: 50 cm, 00 ja 75, tilavuus 75 lit, 4 ja 9 4 Leikkauspiste:, ja derivaatat = 4 kyseisessä pisteessä, joten käyrät sivuavat 78,7 o ( ) Vinkki: Tutki derivaatan kulkua derivaatan derivaatasta 7 r = π π 40cm V 0,5m π = π F ( ) = 5 = f( ) = 0 8 ( ) 9 7+ C, 4t t + C ja + + C + C 4 V: 8 40 Esim ( ) 4 4 p = 4 y = ja y = 8 6

6 44 p = π r eli 4 π A= π ydy =, < 0, 9 = =, = - 47 Rekursiivinen kaava; 94,70 euroa 48 p = 0,5, P = - P(ei puh) = 8 0, %, 5,6 7,95 50 P = 0, ( ) f ( ) = = = 8 f( ) = 5 ( ) ( ) 5 y ( ) ( ) f g ( ) = f g = + = 6+ = + 6 tulee =± y 6, joten ( ) = 6, koska ],0] h 54 0 < <