Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa"

Transkriptio

1 Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn osiot knntt suoritt numerojärjestyksessä, sillä ne rkentuvt loogisesti toistens vrn. Kusskin osioss on pieni johdnto, joss perustelln ti nnetn tehtävien rtkisemisess trvittvt tiedot. Tehtävissäkin on teori eteenpäin vieviä todistmisi. Os tehtävistä voi luksi tuntu vikeilt, mutt tee ensin helpoimpi j kysy trvittess neuvo opettjlt. Eräitä vtivmpi tehtäviä on vrustettu tähtimerkinnällä. Niiden suorittmtt jättäminen ei häiritse kokonisuuden ymmärtämistä, mutt ne ovt erityisen hyödyllisiä mtemtiikn oppimisen knnlt. Pidempää pohdiskelu vtivt tehtävät kehittävät mtemtiikn oppimisess vdittv sitkeyttä! Mtemtiikss trvitn lskutidon lisäksi myös päättelytito 1. Alkeisgeometri on oiv väline sen hrjoittelemiseen. Koulumtemtiikss päättelyjen pohjksi kelpvt tietyt näköhvintoon perustuvt sit, jotk todistetn myöhemmin eräistä geometrin perusoletuksist lähtien. Tässä pidetään perustn kikki kouluss opittu suoriin, pisteisiin, kulmiin j kolmioihin liittyvä tieto. On siis selvää, että kulmn j sen vieruskulmn summ on oikokulm, tskylkisen kolmion kntkulmt ovt yhtäsuuret j tämän kolmion knt vstn piirretty korkeusjn puolitt knnn sekä huippukulmn. Näihin sioihin pltn lukion pitkässä mtemtiikss. Joisskin hrjoituksiss käytetään kirjimi lukujen symbolein. Niillä lsketn smoin säännöin kuin luvuill. Näin sdn kvoj, jotk ovt voimss kikill kirjinten tillle sijoitetuill tilnteen knnlt mielekkäillä luvuill. Kirjimill lskemiseen voit perehtyä käymällä läpi Solmun diplomisivult lusekkeit j yhtälöitä sekä osittelulki käsittelevät oheiskirjoitukset. Solmun diplomisivult löytyvät Väisälän Geometri j Algebr ovt erittäin suositeltv oheislukemisto! Tehtävien rtkisemisess trvitn perustiedot potensseist, neliöjuurist, lusekkeiden käsittelystä j ensimmäisen steen yhtälöistä. Myös vihdntlkej + b = b +, b = b, osittelulki (b + c) = b + c, j niihin perustuvi binomikvoj ( ± b) 2 = 2 ± 2b + b 2 j ( + b)( b) = 2 b 2 trvitn muutmiss yhteyksissä. Rkentvt kommentit j prnnusehdotukset ovt tervetulleit. Niitä voi lähettää Solmun toimituksen osoitteell. { } 1 Ks. myös

2 Sisällys Sisällys: 1. Pint-loist 1 2. Kolmion kulmien summ 3 3. Pythgorn luse 5 4. Suorkulminen särmiö 7 5. Yhdenmuotoisuudest 9 6. Ympyröistä Kehä- j keskuskulmist Mikä on ste? Trigonometri Avruusgeometri 19 Liite 1: Toiminnllist mtemtiikk 21 Liite 2: Vstuksi j rtkisuohjeit 22

3 Pint-loist 1. Pint-loist Teori Suorkulmion pint-l on knnn j korkeuden pituuksien tulo. b A = b Lävistäjä puolitt suorkulmion pint-ln, joten suorkulmisen kolmion b A = b 2 pint-l on kteettien pituuksien tulon puoliks. Tämän vull johdetn kolmion pint-l yleisesti (teht.1) khden suorkulmisen kolmion pintln summn ti erotuksen. Kolmion pint-ln vull johdetn edelleen (teht. 2 j 3) suunnikkn j puolisuunnikkn pint-lojen kvt. Teori rkentuu näin muutmist perussioist lähtien. Hrjoituksi 1. Todist, että kolmion pint-l on knnn j korkeuden pituuksien tulon puoliks. Ohje: Käsittele erikseen terävä- j tylppäkulminen kolmio. Merkitse knnn j korkeusjnn pituuksi :ll j h:ll, j tylppäkulmisess kolmioss knnn jtkett c:llä. Merkitse teräväkulmisess kolmioss u:ll j v:llä osi, joihin korkeusjn jk knnn. 2. Johd suunnikkn pint-ln kv. Ohje: Lävistäjä puolitt suunnikkn, siis myös sen pint-ln. 1

4 Pint-loist 3. Osoit, että puolisuunnikkn pint-l on sen kntojen pituuksien keskirvon j korkeuden pituuden tulo. 4. Neliön sivun pituus on. Neliöstä leiktn pois suorkulmio, jonk h korkeus on h. Lske jäljelle jäävän osn pint-l. 5. Osoit, että jos nelikulmion lävistäjät ovt kohtisuorss toisin vstn, niin sen pint-l on puolet lävistäjien pituuksien tulost. Ohje: Aloit pukuvion piirtäminen lävistäjistä. 6. Muodost luseke kuvss ) n x m b) d c d b y olevn kuvion pint-ln lskemiseksi. 7. Kuink mont prosentti kolmio peittää ruudukon pint-lst? 2

5 Kolmion kulmien summ 2. Kolmion kulmien summ Teori Kolmion ABC kulmt ovt α, β j γ. Nokkeläin (kuvioss nuoli) lähtee pisteestä C j kiertää kerrn vstpäivään kolmion ABC ympäri plten β β B C γ γ α A α lkusemns. Kärjessä A eläin kääntyy kulmn α, kärjessä B kulmn β j kärjessä C kulmn γ. A: Kuink mont stett eläin kääntyy kikkin, eli kuink suuri on summ α + β + γ? B: Täydennä: α = 180, β = 180, γ = 180. C: Osoit edellisten kohtien vull, että Hrjoituksi α + β + γ = Määritä suorkulmisen kolmion terävien kulmien summ. 9. Osoit, että kolmioss khden kulmn summ on yhtäsuuri kuin kolmnnen kulmn vieruskulm. 10. Kolmioss on kksi yhtäsuurt kulm j kolms kulm on neljäsos yhtäsuurien kulmien summst. Määritä kolmion kulmien steluvut. 11. Todist, että kolmioss on vähintään kksi terävää kulm. Ohje: Osoit, että vstoletus, jonk mukn teräviä kulmi on enintään yksi, joht ristiriitn. 3

6 Kolmion kulmien summ 12. Monikulmio on kuper, jos sen mitkä thns kksi sisäpistettä yhdistävä jn on kokonn monikulmion sisällä. ) Mikä kulmi koskev ehto on voimss, jos monikulmio on kuper? b) Määritä nokkeläimen vull kupern i) 4-kulmion, ii) 5-kulmion, iii) n-kulmion kulmien summ. c) Miten nokkeläimen vull lsketn ei-kupern monikulmion kulmien summ? 13. Missä monikulmioss kikkien kulmien steluku on 156? 14. Lsitehtll vlmistetn suorkulmion muotoisi lsiruutuj. Toisinn ruudun sisään jää pieniä ilmkupli, jolloin ruutu ei kelp lkuperäiseen trkoitukseen. Villiset ruudut ploitelln toisin leikkmttomin viivoin kolmioiksi siten, että ilmkuplt j ruudun kärjet ovt kolmioiden kärkinä. Kuvss olevst ruudust, joss on kolme ilmkupl, sdn khdeksn kolmiot kuvn leikkustvll. Tee kolmiointi jollkin muull tvll. Huomt, että kolmioiden määrä pysyy smn, vikk leikkustp muutetn. ) Päättele kokeilemll yleinen sääntö kolmioiden lukumäärälle, kun ruuduss on n kupl. b) Todist löytämäsi sääntö oikeksi. 15. Julkisten rkennusten seinille ilmestyy toisinn viisiskrisi tähtiä. Tämän j muun töhrimisen korjminen vie vuosittin yhteiskunnlt pljon verorhoj. Kuvioon ei luonnollisestikn liity mitään mystisiä voimi. Se on kuitenkin sikäli mielenkiintoinen, että vikk se voidn piirtää äärettömän monell eri tvll, niin skrkulmien summ on in sm vkio. Määritä tämä vkio. Ohje: Huom, että kuvion keskelle muodostuu viisikulmio j että kuvioss on kolmioit, joiden kulmin on sekä skrkulmi että viisikulmion kulmi. 4

7 Pythgorn luse 3. Pythgorn luse Teori Pythgorn luseen mukn suorkulmisen kolmion kteeteille piirrettyjen neliöiden pint-lojen summ on sm kuin kolmion hypotenuuslle piirretyn A c A A b neliön pint-l. Siis A + A b = A c. Tämän luseen tunsivt jo muiniset bbyloniliset yli 4000 vuott sitten, mutt tiettävästi Pythgors oli ensimmäinen, jok pystyi sen todistmn. Nykyisin sille tunnetn yli 360 erilist todistust. Seurvss on eräs yksinkertisimmist. Olkoot suorkulmisen kolmion kteetit j hypotenuus, b j c. Muodostetn neljästä tällisest kolmiost neliö, jonk sivun pituus on + b. Hypotenuusist muodostuu neliön sisään nelikulmio. b c c b b c c b A: Miksi c-sivuinen nelikulmio on neliö? B: Lske ison neliön pint-l sivun pituuden + b vull. C: Lske ison neliön pint-l pienemmän neliön sekä kolmioiden vull. D: Merkitse edellisissä kohdiss lskemsi pint-lt yhtäsuuriksi, j johd näin smstsi yhtälöstä Pythgorn luse. 5

8 Pythgorn luse Lukion mtemtiikss todistetn myös Pythgorn luseen käänteisluse, jonk mukn kolmio on suorkulminen, jos sen khden sivun neliöiden summ on kolmnnen sivun neliö. Tätä tulost voit jo nyt käyttää kolmion suorkulmisuuden totemiseen. Hrjoituksi 16. Suorkulmisen kolmion hypotenuusn pituus on 13 j toisen kteetin pituus on 12. Lske toisen kteetin pituus. 17. Kolmion sivujen pituudet ovt 11, 2 j 7. Onko kolmio suorkulminen? 18. Piirrä ruutupperille neliö, jonk kärjet ovt ruudukon viivojen leikkuspisteissä j jonk l on ) 4, b) 2, c) 5, d) 10. Vihje: Hyödynnä trvittess Pythgorn lusett. 19. Miksi ruutupperille ei voi edellisen tehtävän tpn piirtää neliötä, jonk l on 3? 20. Tssivuisen kolmion sivun pituus on. Lske kolmion l. Ohje: Korkeusjnn j kolmion sivun leikkuspiste puolitt sivun Suorkulmisen kolmion kteetit ovt ) 2 j 3, b) j b. Lske hypotenuus vstn piirretyn korkeusjnn pituus. 22. ) Jnojen pituudet ovt, b j c. Mitkä kolme pituuksi koskev ehto tulee oll voimss, jott jnoist voidn muodost kolmio? b) Lukion geometrin kurssill osoitetn, että jokisen kolmion sisällä on piste, jok on yhtä etäällä kolmion kikist sivuist. Lske tämä etäisyys, kun kolmion sivujen pituudet ovt 5, 6 j 7. Ohje: Lske luksi kolmion pint-l. 23. Suorkulmion knnn j korkeuden summ on s j lävistäjä on d. Lske suorkulmion pint-l. 6

9 Suorkulminen särmiö 4. Suorkulminen särmiö Teori Suorkulmisen särmiön sivupintoj kutsutn thkoiksi, thkojen leikkusviivoj särmiksi (kuvioss, b j c) j särmien yhteisiä pisteitä kärjiksi. l c b Vstkkisi kärkiä yhdistävä särmiön sisällä olev jn (kuvioss l) on särmiön vruuslävistäjä. Seurviss hrjoituksiss käsitellään särmiöön j sen osiin liittyviä perussioit. Hrjoituksi 24. Miten särmiön tilvuus V lsketn, kun särmät, b j c tunnetn? Kert trvittess nämä sit ikisemmist diplomeist (diplomi V). 25. Määritä särmiön pint-l A, kun särmät ovt, b j c. 26. Suorkulmisen särmiön särmät ovt, b j c. Lske särmiön vruuslävistäjän l pituus. Ohje: Lske luksi pohjthkon lävistäjän pituuden neliö. 27. Yllä olev särmiötä venytetään (ti kutistetn) kertomll sen kikki särmät positiivisell vkioll k. Lske näin sdun särmiön tilvuus, k kb l kc pint-l j vruuslävistäjä sekä niiden suhteet lkuperäisen särmiön vstviin suureisiin. 7

10 Suorkulminen särmiö 28. Kuution ) thkon lävistäjän, b) vruuslävistäjän pituus on 6 pituusyksikköä. Lske kuution tilvuus j pint-l. 29. Kuution särmän pituus on. Tästä kuutiost on leikttu pois suorh kulminen särmiö, jonk korkeus on h. Lske jäljelle jääneen osn tilvuus. 30. Suorkulmisen särmiön sivuthkojen lt ovt 2, 3 j 6 pint-lyksikköä. Lske särmiön tilvuus. 31. Suorkulmisen särmiön muotoisen kymmenen metriä pitkän hllin päätyseinät ovt neliöitä, joiden sivun pituus on viisi metriä. Toisen päätyseinän keskikohdss ktonrjss on piste A, j toisen päätyseinän keskikohdss lttinrjss on piste B. Kuink pitkä on muurhisen lyhin reitti A:st B:hen? Vihje: Oike vstus ei ole 15 m. 32. ) Olkoot, b j c ei-negtiivisi relilukuj. Miksi 2 + b 2 + c 2 + b + c? b) Olkoot, b j c ei-negtiivisi relilukuj. Milloin 2 + b 2 + c 2 = + b + c? c) Keksi esimerkki luvuist, b j c, joille 2 + b 2 + c 2 > + b + c 33. Onko olemss suorkulminen särmiö, jonk vruuslävistäjän sekä särmien pituudet ovt kokonislukuj? 8

11 Yhdenmuotoisuudest 5. Yhdenmuotoisuudest Teori Rkennuksen pohjpiirros on usein tehty mittkvss 1 : 100, mikä trkoitt sitä, että 1 cm piirroksess vst 100 cm eli yhtä metriä rkennuksess. Rkennuksen sivu- j päätyseinät ovt kohtisuorss toisin vstn, j nämä suort kulmt ovt myös piirroksess. Siis piirroksess olevien jnojen pituuksien suhde rkennuksess oleviin vstinpituuksiin on in sm 1 : 100 j näiden jnojen väliset kulmt ovt smt piirroksess j rkennuksess. Piirros j rkennuksen pohj ovt yhdenmuotoiset mittkvss 1 : 100 j niiden pint-lojen suhde on 1 : Yhdenmuotoisiss kuvioiss j kppleiss siis vstinsivujen pituuksien suhde on vkio j vstinkulmt ovt yhtäsuuret. Jtkoss rjoitutn tpuksiin, joiss yhdenmuotoisuus on ilmeistä. Pllot, vikk niissä ei kulmi olekn, ovt keskenään yhdenmuotoisi, smoin ympyrät, neliöt j kuutiot. Kuvion särmiöt ovt yhdenmuotoisi, b l c k kb l kc sillä niissä vstinpituuksien suhde on k j vstinkulmt ovt smt. Hrjoituksi 34. Kuutioiden särmien pituudet ovt ) 3 m, j 5 m, b) j b. Lske kuutioiden pohjien pint-lojen suhde j kuutioiden tilvuuksien suhde. 35. Kun A4-rkki puolitetn pitempää sivu vstn kohtisuorll leikkuksell, sdn lkuperäisen rkin knss yhdenmuotoinen A5-rkki. Lske A4:n lyhyempi sivu, kun pitemmän sivun pituus on? 36. Kksi A4-rkki liitetään A3-rkiksi, jok on yhdenmuotoinen A4-rkin knss. Kuink pitkiä ovt A3:n sivut, kun A4:n sivut ovt edellisessä tehtävässä nnetut? 37. Osoit, että kikki prbelit y = x 2 ( > 0) ovt yhdenmuotoisi prbelin y = x 2 knss. 9

12 Ympyröistä 6. Ympyröistä Teori Ympyrät ovt keskenään yhdenmuotoiset. Vstinpituuksi ovt esimerkiksi p r r p r r d = 2r d = 2r hlkisijt d j d sekä kehien pituudet p j p. Jos mittkv on k, niin d d = k j p mistä seur d d = p p, j edelleen p d = p d. p = k, (ks. hrjoitus 1. ll.) Näemme, että kehän pituuden suhde hlkisijn yhdessä ympyrässä on sm kuin kehän pituuden suhde hlkisijn toisess ympyrässä, joten tämä suhde on ympyrän koost riippumton vkio eli se on sm kikiss ympyröissä. Suhde merkitään kreikklisell π-kirjimell (luetn pii ). Smme yhtälön p = π eli p = πd, j kosk d = 2r, on p = 2πr. d Ympyrän kehän pituus eli piiri on siis p = 2πr. Nykyisin tiedetään, että π on irrtionliluku j se on lskettu miljrdien desimlien trkkuudell. Yleisesti käytetty likirvo on π 3,14. Leikkmll ympyrä prilliseksi määräksi sektoreit j kokomll näin stu plpeli kuvsrjn mukisesti, sdn sitä trkemmin suorkulmio, mitä pienempiin sektoreihin ympyrä jetn. Tämän suorkulmion korkeus r πr A = πr 2 r on r j knt on puolet ympyrän kehästä, siis πr. Niinpä ympyrän l on A = r πr = πr 2. Arkhimedes 1 päätteli ympyrän ln tällä tvll noin 2200 vuott sitten! 1 Ks. rkhimedes 10

13 Ympyröistä Hrjoituksi 38. Osoit, että verrnto d d = p p voidn kirjoitt muotoon p d = p d. 39. Piirrä ympyrä. Vlitse kehältä piste j siitä lken säteen mittisi jänteitä vstvi kri. Kuink moneen osn ympyrän kehä jkutuu? 40. ) Osoit kuvioss olevien ympyrän sisään piirretyn säännöllisen kuusir kulmion ympyrän j ympyrän ympäri piirretyn neliön piirejä vertilemll, että 3 < π < 4. b) Osoit, että jos yksikköympyrän (säde on 1) sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion sivun pituus on n, niin smn ympyrän sisään piirretyn 2n-kulmion sivun pituus on 2n = n n Miten tästä sdn menetelmä π:n likirvon määrittämiseksi? 41. Päättele keskuskulm α vstvn r-säteisen sektorin l A s j tätä b α r keskuskulm vstvn kren pituus b. Osoit, että A s = 1 2 br. 11

14 Kehä- j keskuskulmist 7. Kehä- j keskuskulmist Teori Kuvioss α j β ovt sm krt AB vstvt kehäkulm j keskuskulm, B C O α β A j BC on ympyrän hlkisij. Kren AB steluku on sm kuin krt vstvn keskuskulmn steluku. Tehtäväsi on perustell, miksi kehäkulmn steluku on puolet vstvn keskuskulmn (kren) steluvust. Mieti ensin, A: miksi yllä olevss erikoistpuksess kulm OAC = α, B: j miksi β = 2α? Hrjoituksi 42. Perustele ylläolevn erikoistpuksen vull, miksi β = 2α. α β 43. Miksi β = 2α llolevss kuvioss? Mitä tphtuu kulmlle α B A α β C j sen kyljille, kun piste B liukuu pisteen A päälle? 44. Olkoon AB erään ympyrän hlkisij j P ( A, B) kehäpiste. Osoit, että P A P B. 12

15 Mikä on ste? 8. Mikä on ste? Teori Edellä on käytetty stett kulmn suuruuden mittn, mutt tätä yksikköä ei ole vielä määritelty. Se määritellään ympyrän kren vull. Kulmn kärki keskipisteenä piirretyn 1-säteisen ympyrän eli yksikköympyrän krest jää os kulmn kylkien väliin. Tämän osn pituus sopii hyvin 1 kulmn mittluvuksi. Historillisist syistä (muininen Bbyloni, joss käytettiin 60-järjestelmää) yksikköympyrä on tpn jk 360:een osn, j yksi tällinen os on ste, jok merkitään 1. Kosk yksikköympyrän kehän pituus on 2π, on siis 360 = 2π, eli 1 = π 180. Kulmn kylkien väliin jäävän yksikköympyrän kren pituutt snotn kulmn rdiniluvuksi, mikä toisinn lyhennetään rd. Hrjoituksi 45. Täydennä tulukko nnettujen kulmien rdiniluvuill Täydennä tulukko nnettujen kulmien steluvuill. π/8 3π/4 3π/2 π/10 1 0, Kuink mont ) stett, b) rdini kellon tuntiosoitin kääntyy seitsemässä minuutiss? 13

16 Trigonometri 9. Trigonometri Teori Pidetään selvänä, että jos khdess kolmioss vstinkulmt ovt smt, niin kolmiot ovt yhdenmuotoiset. Khden vstinkulmprin yhtäsuuruus tietenkin riittää, sillä kolmnnet kulmt ovt tällöin yhtäsuuret kulmsummluseen perusteell. Tämä tulos on nimeltään kolmioiden yhdenmuotoisuusluse kk. Kuvion suorkulmiset kolmiot ovt yhdenmuotoiset, sillä niillä on suort α c b kulmt j yhteinen terävä kulm α. Kosk sdn verrnnot = b b = c c c b = b b, = c c (= suurennussuhde), j b b = c c, mistä seur = b b, = b j = b c c c c. Siis esimerkiksi kulmn vstisen kteetin suhde viereiseen kteettiin on kolmion koost riippumton. Se riippuu vin kulmn suuruudest. Jos pidetään kulmn viereinen kteetti vkion j vihdelln vstisen kteetin pituutt, niin kulmkin muuttuu. Vstvsti kulmn vstisen kteetin suhde hypotenuusn j kulmn viereisen kteetin suhde hypotenuusn ovt kolmion koost riippumttomi, yksinomn kulmlle ominisi lukuj. Nämä kolmion koost riippumttomt suhteet nimetään seurvsti: sin α = vstinen kteetti, hypotenuus viereinen kteetti cos α =, hypotenuus vstinen kteetti tn α = viereinen kteetti. 14

17 Trigonometri Kuvion c α b kolmioss siis sin α = c, cos α = b c j tn α = b. Suhteiden nimet ovt suomeksi sini, kosini j tngentti. Niitä snotn kulmn α trigonometrisiksi funktioiksi, j niiden (liki)rvot sdn lskimest. Hrjoituksi 48. Lske tämän kolmion tuntemttomiksi merkityt ost. y x Kolmion sivujen pituudet ovt 3, 4 j 5. Osoit, että kolmio on suorkulminen j määritä sen terävät kulmt steen trkkuudell. (Tutustu lskimen ohjekirjst trigonometristen funktioiden käänteiseen käyttöön.) 50. Neliön lävistäjä puolitt suorn kulmn j tssivuisen kolmion korkeusjn puolitt kolmion kulmn j sen vstisen sivun. Täydennä tämän perusteell (lskimett) tulukko trkoill rvoill, esim. sin 45 = sin cos tn 15

18 Trigonometri 51. Olkoot kolmion terävän kulmn α kyljet j b. Osoit, että A = 1 b sin α Piirrä ympyrä. Vlitse sen kehältä piste j piirrä se keskipisteenä ympyrän keskipisteen kutt kulkev kri, jok leikk ympyrän kehää khdess pisteessä. Toist menettely käyttäen nyt keskipisteinä äsken piirtämäsi kren j ympyrän kehän leikkuspisteitä. Jtkmll näin st lopult lkuperäisen ympyrän sisään kuusiterälehtisen kukn. Kuink mont prosentti se peittää ympyrän lst? (Trkk rvo j likirvo.) 53. Suorkulmisen kolmion kteetit ovt j b. Kolmion sisään setetn neliö, jonk kksi sivu yhtyvät kteetteihin j yksi kärki on hypotenuusll. Lske neliön l. 54. Neliön kärjen kutt on piirretty kksi suor, jotk jkvt neliön ln kolmeen yhtäsuureen osn. Lske suorien välinen kulm steen trkkuudell. 55. Olkoot α j γ kolmion terävät kulmt j sekä c niiden vstiset sivut. Osoit, että sin α = c sin γ. 56. Lske lskimell 39 :een kulmn sinin j kosinin neliöiden summ (sin 39 ) 2 + (cos 39 ) Edellisen tehtävän tulos ei ollut sttum, vn yhtälö sin 2 α + cos 2 α = 1 on voimss kikill kulmill α. Todist tämä väite teräville kulmille. Ohje: Sovell Pythgorn lusett. (Trigonometristen funktioiden potenssej merkitään lyhyesti sin 2 α, cos 7 2t, tn n 4z jne....) 16

19 Trigonometri 58. Lske kulm α steen trkkuudell. α 59. Osoit, että tn α = sin α cos α. 60. Tiedetään, että sin α = 1. Määritä (lskimett) cos α j tn α Tiedetään, että tn α = 7. Määritä (lskimett) sin α j cos α. 62. ) Helsinki sijitsee 60:llä (pohjoisell) leveyspiirillä, eli mpllon keskipisteestä Helsinkiin piirretty jn muodost 60 :een kulmn Päiväntsjn tson knss. Kuink pitkä tämä leveyspiiri on? Mpllon ympärysmitt on km. N Helsinki 60 Päiväntsj S b) Lentokone lentää erästä pohjoist leveyspiiriä pitkin uringonlsku kohti nopeudell 780 km/h. Millä leveyspiirillä lennetään, kun Aurinko pysyy koko jn horisontiss? 17

20 Trigonometri 63. Olkoot suorkulmisen kolmion kteetit j hypotenuus, b j c, sekä terävät kulmt α j β kuvion mukisesti. Hypotenuus vstn b β h α α p c q β piirretty korkeusjn h jk kolmion khdeksi lkuperäisen kolmion knss yhdenmuotoiseksi kolmioksi. Korkeusjnn j hypotenuusn yhteinen piste jk hypotenuusn osiin p j q. Täydennä yhtälöketjut ) sin α = c = =, b) cos α = b c = =, c) tn α = b = =, d) sin β = b c = =, e) cos β = c = =, f) tn β = b = =. g) Osoit kohtien f vull, että h = pq. h) Todist kohtien f vull Pythgorn luse. 64. Kulmn α kotngentti cot α on α:n tngentin käänteisluku. Osoit, että tn α + cot α = 1 sin α cos α. 18

21 Avruusgeometri 10. Avruusgeometri Teori Yläkouluss kppleiden tilvuuksien j osin pint-lojenkin kvt nnetn vlmiin. Niiden mtemttisiin johtmisiin päästään vst lukion integrlilskennn yhteydessä. Niinpä otmme tässä lähtökohdiksi vlmiit tilvuusj pint-lkvt. Merkitään seurvss suorn lieriön j krtion pohjn pint-l A:ll j korkeutt h:ll. Pllon säde olkoon r. Seurvt kvt ovt voimss: V lieriö = Ah, V krtio = 1 3 Ah, V pllo = 4 3 πr3, A pllo = 4πr 2. Suorn lieriön vipp suoristuu tsoon suorkulmioksi, kun se leiktn uki pohj vstn kohtisuor viiv pitkin. Suorn ympyräpohjisen krtion vipp suoristuu tsoon ympyräsektoriksi. Pllon pint ei suoristu tsoon. Vikk siitä leikkisi kuink pienen osn thns, osss säilyy in pllolle omininen kuperuus. Siitä huolimtt pllon pint-l on voitu määrittää. Pint-lkv johdetn jkmll pllon pint äärettömään määrään äärettömän pieniä plsi j lskemll plsten lähes tsomiset pint-lt yhteen. Tämä vikesti ymmärrettävä jtus toteutunee lustvsti lukion integrlilskennss. Se täsmentyy myöhemmin yliopistollisill mtemttisen nlyysin kursseill. Hrjoituksi 65. Osoit, että jos suorn ympyräpohjisen lieriön vipp j pohjt sivuvt pllo, niin lieriön vipn j pllon pint-lt ovt yhtäsuuret. 66. Mpllo voidn projisoid lieriön pinnlle. Näin sdn yksilehtinen krtt koko pllost. Mitkä ost pllost kuvutuvt lähes oikein? Mitkä ost vääristyvät phsti. Miten kuvutuvt nvt, meridinit j leveyspiirit? 19

22 Avruusgeometri 67. Poistmll pllost nvt j niitä yhdistävä isoympyrän kri sdn yksi-yhteen kuvus pllon pinnlt reunttomlle suorkulmiolle. Yksiyhteen trkoitt sitä, että jokist ukileiktun pllopinnn pistettä vst täsmälleen yksi reunttomn suorkulmion piste j kääntäen, jokist reunttomn suorkulmion pistettä vst täsmälleen yksi ukileiktun pllopinnn piste. Molemmill pinnoill on siis yhtä pljon pisteitä. Voisi kuvitell, että tällinen vstvuus johtuisi siitä, että plloll j sitä ympäröivällä lieriön vipll on sm pint-l. Miksi näin ei kuitenkn ole? Ohje: Tutki kuvion välipohjll vrustettu krtiot. 68. Osoit sopivll geometrisell konstruktioll, että kikiss voimiss relilukuväleissä ]0, r[ on yhtä pljon lukuj. 69. Olkoot n pllo suorss ympyräpohjisess lieriössä, jonk vipp sivu plloj j pohjt päätyplloj. Kuink suuren osuuden pllot täyttävät lieriöstä? 70. Sm kysymys kuin edellisessä tehtävässä, mutt nyt lieriön päät on n pllo pyöristetty päätypllojen pintoj myötäileviksi. Mitä tilvuuksien suhteelle tphtuu, kun n ksv suureksi? 20

23 Toiminnllist mtemtiikk Liite 1: Toiminnllist mtemtiikk Pllon tilvuus Pllon tilvuus on verrnnollinen säteen kuutioon j kertoimen on myös π smll tvll kuin ympyrän pint-ln kvss. Voimme siis olett, että V pllo = k πr 3, (1) missä k on toistiseksi tuntemton vkio. Sen määrittämiseksi täytyy tehdä mittuksi. Otetn siis trksteltvksi sopivn kokoinen pllo, vikkp isohko kuullkerin kuul. Mittn työntömitll sen hlkisij. Tilvuus määritetään ktsomll pllon mittlsiss syrjäyttämä vesimäärä. Kosk sekä tilvuus että säde nyt tunnetn, sdn k rtkistu yhtälöstä (1). Pllon pint-l Pllon pint-ln määrittäminen kokeellisesti onnistuisi prhiten pingispllon vull, jos olisi stvill smst mterilist tsomist levyä. Mittn luksi pingispllon hlkisij d työntömitll. Leiktn sitten levymäisestä mterilist suorkulmio, jonk sivut ovt d j πd. Jos mittukset on tehty huolell, niin pllo j suorkulmio pinvt yhtä pljon. Niiden pintlt ovt siis smt. Suorkulmion pint-l on πd 2 = 4πr 2, mikä siis on myös pllon pint-l. Peruslgebr Kun pllon tilvuus tunnetn, voidn sen pint-l joht myös peruskoulun lgebr sovelten. Trkstelln smnkeskisiä plloj, joiden säteiden erotus on h. Olkoon isompi pllo r-säteinen jolloin pienemmän pllon säde on r h. Pienemmän pllon pint-l A h lähestyy isommn pllon pint-l A, kun h lähestyy noll. Pllojen tilvuuksien erotus on pllon kuori, jonk pksuus on h. Ajtelln kuori jetuksi moneen hyvin pieneen osn, jotk levitetään tsoon. Kosk ost ovt pieniä, ne ovt lähes tsomisi. Ne ovt h:n korkuisi lieriöitä, joiden tilvuuksien summ on A h h. Toislt tämä tilvuus on myös 4 3 πr3 4 3 π(r h)3. Niinpä A h = 4 3 π r3 (r h) 3 h Selvästi = 4 3 π 3r2 h 3rh 2 + h 3 h A h 4 3 π 3r2 = 4πr 2, kun h 0. = 4 3 π( 3r 2 3rh + h 2). 21

24 Vstuksi j rtkisuohjeit Liite 2: Vstuksi j rtkisuohjeit 1. Ohjeess nnetuin nimityksin vsemmnpuoleisess tpuksess pintl on 1 2 uh vh = 1 2 (u + v)h = 1 2 h j oikenpuoleisess tpuksess pint-l on 1 ( + c)h 1ch = 1h + 1ch 1ch = 1h Lävistäjä jk suunnikkn khdeksi kolmioksi, joiden yhteinen korkeus on yhdensuuntisten sivujen välinen etäisyys h. Näiden kolmioiden knnt ovt myös yhtäsuuret, sillä suunnikkn vstkkiset sivut ovt yhtä pitkät. Jos tämä pituus on, niin suunnikkn l A = 2 1 h = h Olkoot puolisuunnikkn yhdensuuntiset sivut j b sekä niiden välinen etäisyys h. Lävistäjä jk puolisuunnikkn khdeksi kolmioksi, joiden lojen summ on kysytty pint-l. Siis A = 1h + 1 +b bh = h A = 2 h = ( h). 5. Lävistäjien u j v leikkuspiste jk v:n osiin h j v h. Lävistäjä u jk nelikulmion khdeksi kolmioksi, joiden yhteinen knt on u j korkeudet h j v h. Pint-l on siis A = 1 2 uh u(v h) = 1 2 u(h + v h) = 1 2 uv. 6. ) mx + (n m)y, b) b c( 2d) %. (Vähennä neliön lst kolmen suorkulmisen kolmion lt.) Olkoot kolmion kulmt α, β j γ j γ:n vieruskulm δ. Tällöin δ + γ = 180. Toislt myös (α + β) + γ = 180. Siis α + β = δ. 22

25 Vstuksi j rtkisuohjeit 10. Kulmt ovt α, α j 1 (α + α). Sdn yhtälö 4 α + α (α + α) = 180, jost α = 72. Kolms kulm on Jos teräviä kulmi on enintään yksi, niin suori ti tylppiä kulmi on vähintään kksi. Niiden summ on vähintään oikokulm, joten sdn ristiriit. Siis kolmioss on vähintään kksi terävää kulm. 12. ) Jokinen kulm on oikokulm pienempi. b) Kupern n-kulmion vieruskulmien summ on 360, mistä seur, että sisäkulmien summ on (n 2) 180. c) Sovitn vstpäivään tphtuvt kierrot positiivisiksi j myötäpäivään tphtuvt negtiivisiksi. Jos monikulmioss on kover kulm α, niin eläimen suorittm kääntö on negtiivinen 180 α. Kiertojen summ on edelleen 360, joten n-kulmion kulmien summksi sdn (n 2) 180 smll tvll kuin kupern kulmion tpuksess. 13. Olkoon kyseessä säännöllinen n-kulmio. Smme yhtälön jonk rtkisu n = 15. (n 2) 180 n = 156, 14. Kikkien kolmioiden kikkien kulmien summ on n = (n + 1) 360 = (2n + 2) 180, joten kolmioit on 2n + 2 kpplett. 15. Skrkulmt ovt vstpäiväisessä kiertojärjestyksessä α k, k = 1, 2, 3, 4, 5, j Σ niiden summ. Kuvion sisään jäävän kupern 5-kulmion kulmt olkoot vstpäiväisessä kiertojärjestyksessä A, B, C, D, j E siten, että kuvioss on kolmio, jonk kulmt ovt α 1, A j α 4. Smme yhtälöryhmän α 1 + A + α 4 = 180 α 2 + B + α 5 = 180 α 3 + C + α 1 = 180 α 4 + D + α 2 = 180 α 5 + E + α 3 = 180, 23

26 Vstuksi j rtkisuohjeit jonk yhtälöiden summ 2Σ + (A + B + C + D + E) = Kosk A + B + C + D + E = 3 180, sdn tästä Σ = Olkoon kysytty kteetti. Pythgorn luseen mukn joten = 13 2, 2 = = ( ) (13 12) = 25 1 = 25. Siis 2 = 25 j = ±5. Kosk > 0, vin = 5 kelp vstukseksi. 17. Sivujen pituudet toteuttvt Pythgorn yhtälön, joten kolmio on suorkulminen = = 11 = 11 2, 18. Jott neliön pint-l olisi 5 ruutu, olisi sivun pituuden oltv 5. Siirtymällä yhdestä leikkuspisteestä yksi ruutu oikelle j kksi ruutu ylös päädyt toiseen leikkuspisteeseen, j näin stujen pisteiden välinen etäisyys on 5. Vdittu neliö löytyy nyt helposti. Lisäkysymys: Ruutupperille on helppo piirtää viivston leikkuspisteet kärkinä olev neliö, jonk pint-l on 100 ruutu. Miten piirretään neliö, jonk kärjet ovt leikkuspisteitä j pint-l on 101 ruutu? 19. Tiedetään, että 2 < 3 < 2. Piirrä leikkuspiste keskipisteenä ympyrä, jonk säde on 2. Sen sisään ei selvästikään jää yhtään leikkuspistettä, jonk etäisyys keskipisteestä olisi ) 6 13, b) b/ 2 + b ) On oltv + b > c, b + c >, c + > b. 24

27 Vstuksi j rtkisuohjeit b) Pituudet 5, 6, 7 toteuttvt -kohdn ehdot. Lsketn luksi kolmion pisintä sivu vstvn korkeusjnn pituus soveltmll Pythgorn lusett korkeusjnn lkuperäisestä kolmiost erottmiin oskolmioihin. Kolmion pint-l on 6 6. Kysytty etäisyys r toteutt yhtälön 5r 2 + 6r 2 + 7r 2 = 6 6, joten r = Olkoot suorkulmion sivujen pituudet u j v, jolloin pint-l A = uv. Tehtävässä nnetujen tietojen mukn u+v = s j u 2 +v 2 = d 2. Niinpä smme s 2 = (u + v) 2 = u 2 + v 2 + 2uv = d 2 + 2A, joten A = 1 2 (s2 d 2 ). 24. V = bc. 25. A = 2(b + bc + c). 26. l = 2 + b 2 + c V : V = k 3, A : A = k 2 j l : l = k. 28. ) Jos sivuthkon lävistäjän pituus on 6, niin särmän pituus on 6/ 2 = 3 2. Pint-l A = 6 (3 2) 2 = 108. Tilvuus V = ( 3 2 ) 3 = = b) Jos vruuslävistäjän pituus on 6, niin särmän pituus on 6/ 3 = 2 3. Pint-l A = 6 (2 3) 2 = 72. Tilvuus V = ( 2 3 ) 3 = = h = 2 ( h). 25

28 Vstuksi j rtkisuohjeit 30. Olkoot särmien pituudet u, v j w. Tällöin V = uvw. Sivuthkojen pint-l uv = 2, vw = 3, wu = 6. Kertomll nämä yhtälöt keskenään sdn jost seur V = = uv vw wu = (uvw) 2 = V 2, ,58 m. Ohje: Leikk huone uki j levitä se tsoon. 32. ) Suorkulmisess särmiössä vruuslävistäjän pituus on pienempi kuin särmien pituuksien summ. b) Yhtäsuuruus vllitsee, jos luvuist, b, c enintään yksi on positiivinen. c) Epäyhtälö on voimss, jos + b + c < Jos esimerkiksi särmien pituudet ovt 2, 3 j 6, niin vruuslävistäjän pituus on ) A 3 : A 5 = ( 3 5 )2 j V 3 : V 5 = ( 3 5 ) / b) A : A b = ( b )2 j V : V b = ( b ) Kertomll yhtälö y = x 2, ( > 0), :ll sdn y = (x) 2. Merkitsemällä x = x j y = y yhtälö tulee muotoon y = x Tvoite svutetn kertomll verrnto d d = p p nimittäjien tuloll j jkmll näin stu yhtälö hlkisijoiden tuloll. 39. Ympyrän kehä jkntuu kuuteen yhtäsuureen osn. Tämän tunsivt mm. muiniset Bbyloniliset yli 4000 vuott sitten. 26

29 Vstuksi j rtkisuohjeit 40. ) Kuvion merkinnöillä smme piireistä kksoisepäyhtälön mistä väite seur. 6r < 2πr < 8r, b) Piirrä säde, jok on kohtisuorss n-kulmion sivu n vstn. Leikkuspiste puolitt sivun n sekä tätä sivu vstvn kren. Yhdistä sivun n j säteen päätepisteet jnll. Sen pituus on 2n. Säde jkutuu osiin x j 1 x. Sovell Pythgorn lusett kuvion suorkulmisiin kolmioihin j eliminoi yhtälöistä x. Lähtemällä rvost n = 6 st kvst 12-kulmion sivun pituuden j siitä edelleen 24-, 48- j 96-kulmion sivut. Arkhimedes lski tähän sti, mutt voit jtk lskimell pidemmällekin. π:n likirvoj ovt monikulmioiden piirien puolikkt eli π n 2n. 41. Selvästi A s = α 360 πr2 j b = α 360 2πr. Eliminoimll näistä yhtälöistä α sdn A s = 1br Ohje: Piirrä α:n kärjen kutt ympyrän hlkisij. 43. Ks. edellisen tehtävän ohje. 44. Väite seur edellä johdetust tuloksest: Kehäkulm on puolet vstvst keskuskulmst. Tässä tpuksess keskuskulm on oikokulm, joten kehäkulm on suor. 45. Kosk täysi kulm on sekä 360 että 2π, smme π π/2 π/4 π/6 π/3 2π/3 46. Kuten edellä smme π/8 3π/4 3π/2 π/10 1 0, , /π 11,25 /π 47. ) 3,5, b) 3,5π

30 Vstuksi j rtkisuohjeit 48. x = 10 tn 35 0,7 j y = 10 cos 35 12, Luvut 3, 4, 5 toteuttvt Pythgorn yhtälön. Terävien kulmien steluvut ovt noin 36,9 j 53, Näitä kolmioit kutsutn muistikolmioiksi. sin cos tn 30 1/2 3/2 1/ / 2 1/ /2 1/ Ohje: Piirrä toisen kyljen vstinen korkeusjn. 52. Kukn pint-l on (2π 3 3)r 2 j prosenttiosuus ympyrän lst 2π 3 3 π 100% 34,6%. 53. Neliön l A = ( ) b 2. + b Ohje: Sovell tehtävän 51 tulost. 56. Summ on Pythgorn luseen mukn 2 + b 2 = c 2. Jkmll tämä yhtälö luvull c 2 sdn ( c ) 2 + ( b c ) 2 = 1, mikä on kysytty yhtälö. 28

31 Vstuksi j rtkisuohjeit 58. α = Jos α:n vstinen kteetti on, viereinen kteetti b j hypotenuus c, niin tn α = b = /c b/c = sin α cos α. 60. cos α = , tn α = Kosk tn α = 7, on sin α = 7 cos α. Yhtälöprist seur (sin α > 0, cos α > 0) { sin α = 7 cos α sin 2 α + cos 2 α = 1 cos α = 1 50 = j sin α = ) km, b) 62 pohjoist leveyttä. 63. Lskemll tn α pienistä kolmioist sdn verrnto, jost seur h 2 = pq j edelleen h = pq. Lskemll sin α oikenpuoleisest pikkukolmiost sekä lkuperäisestä sdn verrnto, jost seur 2 = qc. Lskemll cos α vsemmnpuoleisest pikkukolmiost sekä lkuperäisestä sdn verrnto, jost seur b 2 = pc. Niinpä 2 + b 2 = qc + pc = (q + p)c = cc = c tn α + 1 tn α = sin α cos α + cos α sin α = sin 2 α sin α cos α + cos2 α sin α cos α = sin2 α + cos 2 α sin α cos α = 1 sin α cos α. 29

32 Vstuksi j rtkisuohjeit 65. Lieriön vipn j pllon pint-lt ovt yhtäsuuret: 2πr r A vipp = 2πr 2r = 4πr 2 = A pllo 2r 66. Päiväntsjn seutu kuvutuu lähes oikein, np-lueet litistyvät pystysuunnss j levenevät vksuunnss. Meridinit kuvutuvt ukileiktulle viplle tsvälisiksi pystysuoriksi j leveyspiirit l- j yläreun kohti tiheneviksi vksuoriksi. Nvt kuvutuvt ukileiktun vipn l- j yläreunksi. 67. Krtion huipust piirretyt pohj leikkvt puolisuort määrittelevät yksi-yhteen kuvuksen krtion pohjn j välipohjn välille, vikk näiden pohjien pint-lt ovt selvästi erisuuret. Silti näissä pohjiss on yhtä pljon pisteitä. 68. Osoitetn, että on olemss yksi-yhteen kuvus väliltä ]0,1[ välille ]0,r[ kikill r R +. Jos r = 1, niin si on selvä. Jos r 1, niin pisteiden (0,1) j (1,r) määräämä suor ei ole x-kselin suuntinen vn leikk sen eräässä pisteessä. Tämän pisteen kutt piirretyt y-kselin välin ]0,1[ kohtvt puolisuort määrittelevät vditun kuvuksen. 69. V pllot : V lieriö = 2 : Tässä tpuksess tilvuuksien suhde ei ole n:stä riippumton, vn Supistmll n:llä nähdään, että V pllot = 2n V putki 3n 1. V pllot V putki = n 2, kun n

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset.

205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset. Lisätetäviä Peruskäsitteitä 0. ) Kulm on smnkotinen kulmn knss, joten kosk s j l ovt ydensuuntiset, on. b on :n ristikulm, joten myös b. b) b on smnkotinen kulmn 0 knss j kosk s j l ovt ydensuuntiset,

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot