5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

Transkriptio

1 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät tekokuut j ehkäpä oikekin kuu löydetään ellipsin muotoiselt rdlt, jonk toisess polttopisteessä M on. Kuten ympyrä j preli myös ellipsi voidn määritellä urkäsitteen vull: ******************************************************************** MÄÄRITELMÄ 3: Ellipsi on tson niiden pisteiden joukko, joihin khdest kiinteästä pisteestä, polttopisteestä, mitttujen etäisyyksien summ on vkio. ******************************************************************** P = (x,y) d 1 d F 1 F Kyseisen ehdon täyttäville pisteille sdn yksinkertisin yhtälö, kun vlitn polttopisteet x-kselilt symmetrisesti origon suhteen. Merkitään F1 = ( c, 0) j F = ( c, 0), missä c > 0. Tällöin polttopisteiden väli F1 F = c. Merkitään edelleen etäisyyksien (polttosäteiden) summ d1 + d = PF1 + PF =, missä > 0. Määritelmää trkoin sovelten tson mielivltinen piste on ellipsillä täsmälleen silloin, kun edellä kirjoitettu ehto PF1 + PF = d1 + d = toteutuu. Vkioille j c on voimss 0 < c <, sillä mtk polttopisteestä toiseen on pisteen P kutt pitempi kuin suorint tietä ts. c <. Ellipsin rjtpuksil-

2 le sllitn joskus yhtäsuuruusmerkitkin tämän sivun ensimmäisellä rivillä kirjoitetuss kksoisepäyhtälössä. Stt oll, että c = 0, jolloin polttopisteet yhtyvät origoss j tällöin on kyseessä ympyrä. Jos ts käy niin, että c =, urehdon toteuttv pistejoukko on x-kselill olev jn pituudeltn. Näytetään ennen vrsinisen uryhtälön johto, että ellipsin pisteelle P = (x,y) on in voimss ehto x, kosk näyttöprosessist irto sellist oheistieto, jok on välttämätöntä vrsinisen uryhtälön täsmällisessä johtmisess. d1 = ( x + c) + y = x + cx + c + y d = ( x c) + y = x cx + c + y jost vähentämällä yhtälöt puolittin sdn d1 d = ( d1 d)( d1 + d) = 4xc (*) Ken nyt tit hyvin geometri, luultvsti tuntee sellisen tuloksen, että kolmioss in on khden sivun summ suurempi, mutt erotus pienempi kuin kolms sivu. Niinpä on jälkimmäisen ominisuuden nojll kolmioss F1 F P F1 P F P c, missä yhtäsuuruusmerkin mukinen mukinen rjtpus ei oikestn enää kolmio olekn. Siispä on d1 d c. Jetn yhtälö (*) luvull 4 j otetn oikest (cx) puolest itseisrvo ei-negtiivisuuden vrmistmiseksi. Jos nimittäin piste P sijitsee y-kselin vsemmll puolell, niin cx < 0. d1 d d1 d ( d1 + d) c cx = = = c <, kosk c <. Kosk edellisen mukn cx c j c > 0, sdn jkmll c:llä tulos x. Ellipsin uryhtälölle sdn määritelmän mukn luksi ( x + c) + y + ( x c) + y =, jost neliöjuuri poistuu, kun ennen neliöönkorottmist neliöjuurilusekkeist toinen siirretään yhtäsuuruusmerkin toiselle puolelle. Tämän siirron jälkeen

3 yhtälön molemmt puolet ovt ei-negtiiviset. Lähtöyhtälön vsemmll puolell olevt kksi neliöjuurt ovt molemmt ei-negtiiviset (kosk neliöjuuri ei koskn ole negtiivinen), j kun khden ei-negtiivisen summ on > 0, niin on myöskin :n j toisen neliöjuuren erotus ei-negtiivinen. Siirretään siis toinen neliöjuuri j korotetn yhtälö toiseen: ( x + c) + y = ( x c) + y ( ) x + cx + c + y = 4 4 ( x c) + y + x cx + c + y 4 ( x c) + y = 4 4cx : 4 ( x c) + y = cx Viimeksi kirjoitetun yhtälön molemmt puolet ovt edelleen ei-negtiiviset, sillä edellä stiin cx < c <. Korotetn uudelleen neliöön: 4 ( x cx + c + y ) = cx + c x 4 x cx + c + y = cx + c x ( c ) x + y = ( c ) Sijoitetn viimeksi kirjoitettuun muotoon = c : x + y = :, jolloin sdn lopult x y + = 1 ( ** )

4 Viimeksi kirjoitetust yhtälöstä nähdään heti, että jos piste P = (x,y) on ellipsin piste, niin myös pisteet ( x,y), (x, y) j ( x, y) toteuttvt ellipsin yhtälön. Kuvj on siis symmetrinen sekä origon että kummnkin koordinttikselin suhteen. Origo voidn sno ellipsin keskipisteeksi. Ellipsi leikk x-kselin pisteissä (,0) j (,0), j näiden pisteiden välinen jn, pituudeltn on nimeltään ellipsin isokseli. Vstvsti ellipsi leikk y- kselin pisteissä (0, ) j (0,), joiden välinen jn, pituudeltn, on ellipsin pikkukseli. Kosk yhtälössä ( ** ) vsemmll puolell kumpikin termi on ei-negtiivinen, ei kumpikn niistä voi oll yli ykkösen. Tästä seur pitsi jo johdnnoss tiedoksi putkhtnut tulos x myös se, että y 1 y y y Ellipsi x y + = 1 sijitsee näin ollen kokonisuudessn sen suorkulmion sisällä, jot rjoittvt suort x = ± j y = ± sivuten sen sivuj niissä pisteissä, joiss ellipsi koht koordinttikseleit. c c

5 Esim. 1 Määritä ellipsin 9x + 5y = 5sijinti, polttopisteet j piirrä se. Annettu yhtälö ei ole muoto ( **), mutt tähän päästään jkmll molemmt puolet luvull 5. Tällöin sdn x y + = j nähdään, että ellipsi sijitsee ltikoss x = 5j y = 3. Kosk + c =, niin c = 4. Polttopisteet ovt siis ( 4,0) j (4,0). Edellä olevien tietojen perusteell pystyt helposti pääpiirtein piirustmn ellipsin vihkoosi!!! Suorit piirtäminen!!!! x y Esim. Määrää ellipsin + = 1 sisään piirretyn neliön sivun pituus. P = (x,y) Symmetrin nojll origo on ellipsin sisään piirretyn neliön keskipiste j suor y = x tämän neliön toinen lävistäjä. Kun vlitn koordintiston I neljänneksestä piste P = (x,y), missä suor y = x leikk ellipsin, niin ovt tämän pisteen molemmt koordintit positiiviset. Itse siss on kyseessä piste (x,x), jonk koordintit sdn selville rtkisemll ellipsin j suorn muodostmst yhtälöprist muuttuj x > 0. Neliön sivun pituus on tällöin x.

6 Kun ellipsin yhtälöstä poistetn nimittäjät, niin päädytään yhtälöön x + y = j kun tähän sijoitetn y = x, sdn edelleen x + x = ( + )x =, jonk positiivinen rtkisu x = j neliön sivun pituus siis on x =. + + Jos ellipsi x y + = 1 siirretään niin, että sen keskipisteeksi tulee origon sijst piste ( xo, yo), kuitenkin niin, etteivät kselien suunnt muutu j kun muistetn prelin siirron yhteydessä tutut koordintistomuutokset, uuden ellipsin yhtälö ilmeisesti on ( x xo) ( y yo) + = 1. Jos tämä stetn polynomin muotoon suoritten potenssiin korotukset j nimittäjien poistminen, sdn muoto Ax + By + cx + dy + e = 0 olev yhtälö. Tämä ero ympyrän yhtälöstä vin siinä, että toisen steen termien kertoimet ovt erisuuret, kun ne ympyrän yhtälössä ovt in smt. Neliöksi täydentämällä tällinen yleistä muoto olev yhtälö voidn stt ns. keskipistemuotoon, jost ellipsin keskipiste näkyy j pystytään helposti määrittämään se ltikko, jonk sisällä ellipsi sijitsee. Mikäli ellipsin kselit eivät ole koordinttikseleiden suuntiset, yhtälöön tulee toisen steen sektermi (kuten prelin yhtälössäkin käy ellei johtosuor ole kummnkn koordinttikselin suuntinen). Tällisest yhtälöstä on vike nlysoid, mitä tsokäyrää se esittää vi esittääkö mitään. Ellipsin määritelmän nojll tällisi yhtälöitä voidn kyllä jo lukiokurssinkin nojll joht.

7 ****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: Hypereli on tson niiden pisteiden joukko, joihin khdest kiinteästä pisteestä, polttopisteestä, mitttujen etäisyyksien erotus on vkio. ****************************************************************** Ellipsin j hyperelin määritelmät erovt toisistn vin yhdellä snll! y P = (x,y) d 1 d F 1 = ( c,0) F = (c,0) Sijoitetn hypereli koordintistoon luksi ivn smll tvll kuin ellipsikin; polttopisteet x-kselille symmetrisesti origon suhteen, siis pisteisiin ( c,0) j (c,0), missä c > 0 j olkoon polttosäteiden erotus tässäkin. Osoitetn kuitenkin ennen uryhtälön johto, että hyperelin jokisen pisteen x-koordintti toteutt ehdon x, kun ellipsin tpuksess epäsuuruusmerkki oli toisin päin. Onp si vielä niinkin, että hyperelille 0 < < c. Minkähän tki? d = ( x + c) + y = x + cx + c + y d = ( x c) + y = x cx + c + y 1 jost vähentämällä yhtälöt puolittin sdn d d = ( d d )( d + d ) = xc (***) Tsen pitää muistell kolmion sivujen suuruussuhteit, ts. sitä, että kolmioss on khden sivun summ suurempi kuin kolms sivu. Sovelletn tätä tieto kolmioon F1 F P j todetn, että PF1 + PF F1 F. Tämä trkoitt sitä, että d1 + d c. Kun vielä itse määritelmästä sdn kuvss käytetyin merkinnöin d1 d =,

8 missä itseisrvot ovt trpeen, kosk kyseinen erotus on negtiivinen pisteen P sijitess y-kselin vsemmll puolell, niin muokten yhtälöä (***) cx = d1 d ( d1 d)( d1 + d d1 d ( d1 + d) c = = = c, jost c:llä jkmll tulos jo näkyykin. Suoritettu lskelm näet sisältää tiedon cx c x. Hyperelin yhtälön johto lähtee määritelmän mukisesti edellisen sivun kuvn merkinnöin ehdost PF1 PF = d1 d =, missä itseisrvoj ei trvit, jos P sijitsee y-kselin oikell puolell. Jos P sijitsee y-kselin vsemmll puolell, on d pitempi kuin d1. Tällöin määritelmän mukinen ehto on ilmn itseisrvoj kirjoitettviss muotoon PF PF1 = d d1 = PF1 PF = d1 d = ( x + c) + y ( x c) + y = x + c + y = x c + y ± ( ) ( ) missä otetn +, jos P on y-kselin oikell puolell j sitten, jos P on y- kselin vsemmll puolell. Tällä vrmistetn se, että yhtälön molemmt puolet ovt positiiviset ennen neliöönkorotust. Kun sellinen toimenpide suoritetn, sdn ( ) ( ) ( ) x + cx + c + y = x cx + c + y ± 4 x c + y + 4 4cx 4 = ± 4 x c + y cx = ± x c + y Kun neliöjuuren edessä on plus-merkki, on P iemmin sovitun mukisesti y-kselin oikell puolell ts. x > 0, jolloin cx = cx >, jolloin viimeksi sdun

9 yhtälön molemmt puolet ovt positiiviset. Jos ts P sijitseekin y-kselin vsemmll puolell, siis x < 0, on neliöjuuren edessä miinus-merkki j tällöin yhtälön molemmt puolet ovt negtiiviset, eivät siis inkn toistens vstlukuj. Kerrotn nyt yhtälö ennen uutt neliöönkorotust ( 1):llä ti ei, jok tpuksess tämä opertio ei tuo vierst km mukn j sdn 4 c x cx + = ( x cx + c + y ) 4 c x cx + = x cx + c + y ( ) = ( ) x c y c Kosk hyperelille c >, merkitään c =, j kun tämän sijoituksen jälkeen yhtälö jetn : ll, tulln muotoon x y = 1 ( **** ) Kuten todettiin, ellipsin j hyperelin määritelmät erosivt toisistn vin yhdellä snll. Nyt voidn hvit, että niiden yhtälöissäkään ei ole kuin yhden merkin ero. Yhtälöiden kuvjt erovt toisistn silti vrsin huomttvsti. Toki luss kuvtull tvll koordintistoon sijoitettu hypereli on ellipsin tvoin symmetrinen origon j koordinttikseleiden suhteen. Se leikk x-kselin pisteissä (,0) j (,0) j näitä kht pistettä snotn hyperelin huipuiksi. Huippujen välinen jn = polttosäteiden erotus, on nimeltään hyperelin poikittiskseli. Pisteiden (,0) j (,0) välistä jn kutsutn hyperelin liittokseliksi. Jos hyperelin puolikselit j ovt yhtäsuuret, hypereli on tssivuinen. Ellipsin tpuksess tällinen ei oikestn ollut mhdollist j jos olikin, silloin ktseltiin jo ympyrää. Vikk hyperelille (****) onkin voimss x, ltikoll x = j y = on kuvjn knnlt vrsin huomttv merkitys. Kun piirretään minittu suorkulmio j sille lävistäjäsuort y = x j y = x, niin hypereli voidn piirtää sivumn suorkulmiot huippupisteissään (,0) j (,0) j lähestymään minittuj lävistäjäsuori itseisrvoltn suurill x:n

10 rvoill. Hypereli koostuu siten khdest erillisestä krest, jotk ovt keskenään yhteneväiset. Se, että hypereli x: n ksvess todellkin lähestyy suorkulmion lävistäjien määräämiä suori j sivu niitä äärettömän kukn, voidn perustell rvioimll smss neljänneksessä olevn lävistäjäsuorn j hyperelin kren y-koordintin erotust. Symmetrisyistä riittää tutki tilnne koordintiston I neljänneksessä. Lsketn mielivltiseen x:n rvoon (> 0) liittyvä jnn AB pituus j ktsotn miten tälle käy x:n rjttomsti ksvess. Kosk jn AB on y-kselin suuntinen, sen pituus sdn suorn päätepisteiden y-koordinttien erotuksen. A B Ilmeisesti tämä erotus on positiivinen, kun pisteen A y-koordintist vähennetään pisteen B y-koordintti:

11 AB = x x x x x x x x = ( + )( = x + x = x x + =. x + x x + x Stu jnn AB pituuden ntv luseke on määrätylle hyperelille ( j vkioit) osoittjns puolest vkio eli ei linkn riipu muuttujst x. Kun x sitten rjttomsti ksv, eli x, niin lusekkeen nimittäjä ksv yli kikkien rjojen. Sellinen murtoluseke, missä osoittj on vkio, j nimittäjä hirmuisen suuri (j molemmt positiiviset) on rvoltn likimin noll j siis jnn AB pituus on sitä pienempi, mitä suurempi on x. Näin on voitu sitovsti osoitt, että itseisrvoltn suurill x:n rvoill hypereli on sitä lähempänä puheen olleen suorkulmion lävistäjäsuor, mitä suurempi x on. Tällisi, tvllisimmin suori viivoj, joit jonkun funktion tikk tsokäyrän kuvj (jok ei välttämättä ole funktion kuvj!) sivu äärettömän kukn, snotn o. funktion ti käyrän symptooteiksi. Näihin pltn murtofunktioiden tutkimisen yhteydessä differentililskennss. Asymptooteill onkin murtofunktioiden kuvjien piirtämisessä ivn keskeinen merkitys. Hyperelin symptoottein ovt in suort x y = 1 y = ± x Jos hypereli sijoitetn koordintistoon toisin, polttopisteet F 1 = (0, c) j F = ( 0, c) kiinnitetään siis y-kselille, niin tälle sdn urmääritelmästä lähtien johdetuksi yhtälö y x x y = 1 = 1. Tätä snotn liittohypereliksi. Sen poikittiskselin pituus on j liittokselin. Kummllkin hyperelillä on smt symptootit, yhtä suuret polttopisteiden välit, polttovälit (=c) j ne sivuvt edellä monesti minittu suorkulmiot huipuissn.

12 Esim. 3 Määritä hyperelin 4x 9y = 36 puolikselit, polttopisteet j symptootit. Stetn yhtälö muotoon (****) jkmll 36:ll: 4x 9y x y 4x 9y = 36 = 1 = Nähdään välittömästi, että puolikselit ovt = 3 j =. Näin ollen x symptootit ovt y = ±. 3 Kosk hyperelille c = +, niin c = 3 + = 13. Vstus: Puolikselit: = 3 j = Asymptootit y = ± x j polttopisteetf1 = ( 13,0)jF = ( 13,0) 3 Kuvion piirtämistä vrten on lskettu, että kun x = ± 4,niiny ± Yhtälö (x x ( y y ) o ) o = 1 o, o. Tämän hyperelin polttopisteet sijitsevt suorll y = y o j pisteen ( xo, yo ) kutt kulkevt, suorien y = ± x suuntiset suort, siis suort ( y yo ) = ( x xo) ovt hyperelin symptootit. esittää hypereliä, jonk symmetrikeskus, keskipiste on ( x y ) Esim. 4 Hyperelin käyttö merenkuluss. Olkoot F 1 j F kksi kiinteää pistettä j X luksen sijintipikk. Rdiosemt pisteissä F 1 j F lähettävät yhtäikispulssi, joiden lukselle spumisen ikero nt etäisyydet XF 1 j XF. Kun myöskin semien välinen etäisyys (= c = erään hyperelin polttoväli) tunnetn, pystytään määrittämään, millä hyperelillä lus sijitsee. Minitut rdiosemt sijitsevt tämän hyperelin polttopisteissä. Olkoot 3 F kolms kiinteä piste, joss niin ikään sijitsee jotkin rdiotjuussignli lähettävä sem. Aluksen on tietenkin pystyttävä erottmn, miltä

13 semlt mikin signli spuu. Jos esimerkiksi oletetn että lindeksillä 3 vrustettu sem lähettää signlin eri tjuudell, kuin F, mutt että sem F 1 : ss lähettää sekä F : n että F3 :n tjuutt. Kun tunnetn väli F 1F3 j tämän jnn päätepisteissä olevien semien lähettämien signlien lukselle spumisen ikero, sdn määritetyksi myös mtk XF 3, niin silloin tiedetään luksen sijitsevn eräällä toisell hyperelillä. Näin ollen lus sijitsee minittujen hyperelien josskin leikkuspisteessä. Toivottvsti niistä vin yksi on merellä!!!