c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2."

Helmi Maija-Liisa Pesonen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 MAA4 Koe Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Ratkaise. a) 3 5 b) 5 5y 3 3y 6 c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat -akselin kohdissa =- ja =. 6p a) Suora kulkee pisteen (6, 8) kautta ja on yhdensuuntainen suoran 3 5y = 11 kanssa. Muodosta suoran yhtälö. b) Määritä suoran 3 5y = 11 etäisyys pisteestä (6,8) 6p 3 a) Selvitä, onko piste (4,9) ympyrällä y 4y 60 0, vai sen ulkopuolella tai sisäpuolella. b) Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (5,5) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 3y5 0 vastaan? 6p 4 Kolmion kärkipisteet ovat kohdissa A(-5, 10 3 ), B(,-1) ja C(11 3,8). a) Määritä kolmion kulmat asteen kymmenesosan tarkkuudella. b) Laske kolmion pinta-ala yhden desimaalin tarkkuudella. 6p 5 Määritä ympyrälle y 5 pisteestä (10,10) piirrettyjen tangenttien yhtälöt 6p 6 a) Määritä ympyröiden + y 6 + y 3 = 0 ja + y + 6 y 7 = 0 leikkauspisteet. b) Mikä on pisteen (4, 3) lyhin etäisyys ympyrästä + y y + 3 = 0? 6p 7 Määritä paraabelin yhtälö, kun paraabeli kulkee pisteiden (, ),(,8) ja (, ) kautta p 8 a) Määritä vakion a arvo niin, että ympyrä + y 6 y = a sivuaa - -akselia - y-akselia. b) Osoita, että origosta ympyrälle + y 6 y + 9 = 0 piirretyt tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ota tämä lappu mukaan kokeesta poistuessasi, ja kirjaa vaikka vastauksesi tähän ylös. Oikeat ratkaisut voit tarkistaa tänään n. klo 1:00 osoitteesta: 6p

6p a) Suora kulkee pisteen (6, 8) kautta ja on yhdensuuntainen suoran 3 5y = 11 kanssa. Muodosta suoran yhtälö.

2 Ratkaisut: 1. a) 3 5. On määritelty, kun tai 3 (5 ) tai. Jälkimmäinen ei sovi määrittelyjoukkoon, joten =5/! 5 y y6 b) lasketaan alekkain yhteen. => 3y y y36, y. Sijoitetaan jompaankumpaan yht. => c) koska huippu on y-akselilla, paraabelin yhtälö on muotoa y a c ja vakiotermi c on käytännössä huipun korkeus, eli c=5. Nyt tiedetään, että paraabeli kulkee esim. pisteen (,y)=(,0) kautta. Joten: a 6 0 4a 6 4a 6 a 4 3 y 6. a) Muutetaan suoran yhtälö normaaliin muotoon, jotta nähdään kulmakerroin: y 11 y k (yhdensuuntaisilla suorilla on samat kulmakertoimet!) Pisteen (6,8) kautta kulkevan suoran yhtälö on: y 8 ( 6) y y d b)suoran yhtälö muotoon 35y11 0. Etäisyys d on 3 ( 5) a) Ratkaisu: y 4y 60 0 y 4y 4 64 ( 0) ( y ) 8. Ympyrän keskipiste on (0, ) ja säde 8. Pisteen (4, 9) etäisyys keskipisteestä on Tästä käy ilmi, että piste sijaitsee ympyrän ulkopuolella. Vastaus: ympyrän ulkopuolella (4 0) (9 ) b) Ratkaisu: Suora 3y 5 0 y k. Nyt 1, k k on alkuperäistä suoraa vasten kohtisuorassa olevan suoran normaalin kulmak. Nyt y 5 3( 5) y 3 0 on normaalin yhtälö.

Nyt tiedetään, että paraabeli kulkee esim. pisteen (,y)=(,0) kautta. Joten: 6 3 0 a 6 0 4a 6 4a 6 a 4 3 y 6.

3 4. a) Määritetään janojen AB, AC ja BC suuntaisten suorien kulmakertoimet: ( 1) y1 y 13 AB: k 3 3 AB AC: k 3 3 AC ( 1) 9 7 BC: k BC k1 k Suorien välinen kulma: tan 1 kk AB ja AC välinen kulma alfa: tan 1 13 tan 60,1. Vastaavasti ( ) AB ja BC välinen kulma beta: tan 1 5 tan 68, 7. Tällöin viimeinen ( ) 1 5 kulma gamma = ,1-68,7=51,. b) Lasketaan sivujen AB ja AC pituus kahden pisteen välisen etäisyyden kaavalla: AB ( 5 ) ( ( 1)) 7 ( ) AC ( 5 ) ( 8) ( ) ( ) Nyt tiedetään kolmiosta kahden sivun pituus ja niiden väliin jäävän kulman suuruus, joten A ab sin sin 60,1 35,1yksikköä Mallikuva:

Tällöin viimeinen 13 7 1 ( ) 1 5 kulma gamma = 180-60,1-68,7=51,.

4 Ajatellaan vaikkapa oikeanpuolista tangenttia suorana, joka kulkee pisteen (10,10) kautta ja jolla on jokin kulmakerroin k. Muodostetaan väkisin suoran yhtälö: ( y 10) k( 10) y 10 k 10k Tämän suoran ja ympyrän leikkauspiste saadaan yhtälöparista: y k 10k 10 y k 10k 10 sijoitetaan y! y 5 ( k 10k 10) 5 k 10k 10k 10k 100k 100k 10k 100k ( k 1) ( 0k 0 k) (100k 00k 95) 0 Muodostuu toisen asteen yhtälö, jolla pitäisi olla vain yksi ratkaisu k:lle, koska yhdellä suoralla ei voi olla kahta eri kulmakerrointa! Toisen asteen yhtälöllä on yksi ratkaisu jos ja vain jos ratkaisukaavassa neliöjuuren sisusta, eli determinantti=0: ( 0k 0 k) 4( k 1)(100 k 00k 95) k 800k 400k 400k 800k k 800k 380k 0 380k 800k Ratkaistaan tästä k, niin saamme molempien tangenttien kulmakertoimet: 380k 800k : 0 19k 40k ( 19) ( 19) k Koska sievennyksestä ei tule mitään nättiä, otetaan tästä likiarvot, eli kulmakertoimet ovat: k=1,4 ja k=0,7 Tangenttien yhtälöt: y10 1, 4( 10) ja y1,4 4 y10 0,7( 10) y0,73 6. a) Määritä ympyröiden + y 6 + y 3 = 0 ja + y + 6 y 7 = 0 leikkauspisteet.

y 5 ( k 10k 10) 5 k 10k 10k 10k 100k 100k 10k 100k 100 5 0 ( k 1) ( 0k 0 k) (100k 00k 95) 0 Muodostuu toisen asteen yhtälö, jolla pitäisi olla vain yksi ratkaisu k:lle, koska yhdellä suoralla ei voi

5 Ratkaisu + y 6 + y 3 = 0 + y + 6 y 7 = 0 Vähennetään yhtälöt puolittain 8 8 y 4 = 0 8 y = 8 4 : 8 y = 3 Sijoitetaan toiseen ympyrän yhtälöön y = 3 ja ratkaistaan leikkauspisteiden -koordinaatit + ( 3) 6 + ( 3) 3 = = 0 10 = 0 : 5 = 0, josta = 0 tai = 5 y = 3, josta, josta y = 3 tai y = Vastaus: (0, 3) ja (5, ) b) Mikä on pisteen (4, 3) lyhin etäisyys ympyrästä + y y + 3 = 0? Ratkaisu Merkitään ympyrän säde r ja pisteen (4, 3) etäisyys ympyrän keskipisteestä d Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon ( ) + (y + 3) = 10 Keskipiste on (, 3) ja r = 10 Jos piste on ympyrän ulkopuolella, on sen lyhin etäisyys ympyrästä d r d r = Vastaus: 10 ( 4 ) (3 3) 10 = = = Muodostuu yhtälöryhmä a=, b=-6 ja c=4, joten a b 4c 6 4a b c 8 4a 6b 9c 80 y 6 4 Ratkaistaan a,b ja c 8. a) Ratkaisu Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon + y 6 y = a y y + 1 = a ( 3) + (y 1) = a + 10 = r a) Ympyrä sivuaa -akselia, kun säde on sama kuin keskipisteen y-koordinaatin itseisarvo 10 a = 1 a + 10 = 1, josta a = 9 b) Ympyrä sivuaa y-akselia, kun säde on sama kuin keskipisteen -koordinaatin itseisarvo 10 a = 3 a + 10 = 9, josta a = 1 Vastaus: a) a = 9 b) a = 1 b) Ratkaisu

0? Ratkaisu Merkitään ympyrän säde r ja pisteen (4, 3) etäisyys ympyrän keskipisteestä d Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon ( ) + (y + 3) = 10 Keskipiste on (, 3) ja r = 10 Jos piste on

6 + y 6 y + 9 = 0 y = k Sijoitetaan y:n lauseke suoran yhtälöstä ympyrän yhtälöön + k 6 k + 9 = 0 (1 + k ) 6 k + 9 = 0 Ratkaistaan tangenttien kulmakertoimet diskriminantin nollakohtayhtälöstä. D = 7 k k 36 k = 36, josta k = ± 1 Kulmakertoimien tulo on 1 ( 1) = 1 Vastaus: Tangentit ovat kohtisuorassa, koska niiden kulmakertoimien tulo on 1

Samankaltaiset tiedostot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse