Tekijä Pitkä matematiikka

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tekijä Pitkä matematiikka"

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin on k 1 a = = = 1. x 1 Suoran b kulmakerroin on k b = 0. y Suoran c kulmakerroin on k c = = =. x 1 Vastaus k a = 1, k b = 0, k c =

2 Tekijä Pitkä matematiikka Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa. y Suoran p kulmakerroin on k 1 p = =. x 4 y Suoran q kulmakerroin on k 5 5 q = = =. x Suoran r kulmakerroin k r ei ole määritelty. Vastaus k 1 p =, k 5 q =, k r ei ole määritelty 4

3 Tekijä Pitkä matematiikka a) Suora kulkee pisteiden (5,) ja (7,11) kautta. k = y x y Sijoitetaan y = 11, y1 =, x x = 7 ja x = = 11 = 8 = b) Suora kulkee pisteiden (,) ja (4, 9) kautta. y y Sijoitetaan y 1 = 9, y1 =, k = x x1 x = 4 ja x1 =. = 9 4 ( ) = 1 4+ = 1 = 6

4 c) Suora kulkee pisteiden (5,7) ja (8,) kautta. y y Sijoitetaan y 1 =, y1 = 7, k = x x x = 8 ja x = = = 4 = 4 Vastaus a) 4 b) c) 4

5 Tekijä Pitkä matematiikka a) Suora kulkee pisteiden ( 4, ) ja ( 1,5) kautta. y y Sijoitetaan y 1 = 5, y1 =, k = x x1 x = 1 ja x1 = 4. 5 ( ) = 1 ( 4) = 5 + = Kulmakerroin on positiivinen, joten suora on nouseva. b) Suora kulkee pisteiden ( 8,4) ja ( 8, ) kautta. y y Sijoitetaan y 1 =, y1 = 4, k = x x1 x = 8 ja x1 = 8. = 4 8 ( 8) = = 7 Ei määritelty 0 Koska nollalla ei voi jakaa, ei suoralla ole kulmakerrointa. Suora on siis pystysuora.

6 c) Suora kulkee pisteiden (6, 5) ja (5, 5) kautta. y y Sijoitetaan y 1 = 5, y1 = 5, k = x x x = 5 ja x = ( 5) = 5 6 = = 0 = 0 1 Kulmakerroin on nolla, joten suora on vaakasuora. Vastaus a) 7, nouseva b) Ei kulmakerrointa, pystysuora c) 0, vaakasuora

7 Tekijä Pitkä matematiikka a) Pisteet A (,), B(1, ) ja C( 14,11) ovat samalla suoralla, jos suorien AB ja AC kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. kab kac = = 1 1 = 11 = 8 = Kulmakertoimet ovat samat, joten piste C on suoralla AB. b) Pisteet A (,), B(1, ) ja D(165, 78) ovat samalla suoralla, jos suorien AB ja AD kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. k 1 AB = k AD = = Kulmakertoimet eivät ole samat, joten piste D ei ole suoralla AB. Vastaus a) On b) Ei ole

8 Tekijä Pitkä matematiikka Pisteet A (,9), B (7,7) ja C(17, b ) ovat samalla suoralla, jos suorien AB ja AC kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. k AB = = = 7 4 k 9 9 AC = b = b On oltava kab = k. Muodostetaan yhtälö. AC b 9 = 1 14 b 9 = 1 14 b 9= 7 b = Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Vastaus b =

9 Tekijä Pitkä matematiikka Huomaa: Suorien suuntakulmat voi mitata myös geometriaohjelmalla. a) Määritetään suoran kulmakerroin. 4 ( ) k = = ( 5) 4 Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tan a= k. 1 a= tan ( ) = 6, ,9 4

10 b) Määritetään suoran kulmakerroin. k = 7 = 9 4 ( ) 7 Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tan a= k. 1 9 a= tan ( ) = 5, ,1 7

11 c) Määritetään suoran kulmakerroin. k = 0 5 = 5 Ei määritelty 0 Koska nollalla ei voi jakaa, suoralla ei ole kulmakerrointa. Suora on siis pystysuora ja sen suuntakulma on α= 90.

12 d) Määritetään suoran kulmakerroin. k = = 0 = 0 0 ( 4) 4 Koska suoran kulmakerroin on nolla, se on vaakasuora. Tällöin suuntakulma on α= 0. Vastaus a) 6,9 b) 5,1 c) 90 d) 0

13 Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 6 a = tan 1(6) = 80, b) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 5 1 a = tan 1( 5 ) =, c) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. 4 tana = a = tan ( ) = 68, Vastaus a) 81 b) c) 69

14 Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan kulmakerroin yhtälöstä k = tana. k = tan17 = 0, ,06 b) Ratkaistaan kulmakerroin yhtälöstä k = tana. k = tan( 65 ) =, ,14 c) Ratkaistaan kulmakerroin yhtälöstä k = tana. k 4 4 = tan( 0,0 ) =, , = 0,00049 Vastaus a) 0,06 b),14 c) 0,00049

15 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan pisteiden ( a,4) ja (6, a ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k = = y x y x 1 1 a 4 6 a 0 eli 6 a a 6 Toisaalta kulmakerroin voidaan ratkaista yhtälöstä k = tana. k = tan 45 k = 1 Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan vakio a. a 4 = 1 6 a a 4= 6 a a = 10 a = 10 = 1 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Ratkaisu kelpaa, koska a = 1 6. Vastaus a = 10 = 1

16 Tekijä Pitkä matematiikka Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla ja pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa. y Suoran s kulmakerroin on k 1 1 s = = =. x 5 5 y Suoran t kulmakerroin on k 6 t = = =. x Suoran u kulmakerroin on k u = 0. Suoran v kulmakerrointa k v ei ole määritelty. Vastaus k 1 s =, k t =, k u = 0, k v ei ole määritelty 5

17 Tekijä Pitkä matematiikka a) Suora kulkee pisteiden (0,0) ja (, 5 ) kautta. 6 k = y x y x = 6 = 5 : 0 6 = 5 = Sijoitetaan y = 5, y1 = 0, 6 x = ja x1 = 0. Kulmakerroin on negatiivinen, joten suora on laskeva.

18 b) Suora kulkee pisteiden ( 1, 1) 4 9 ja ( 1, 1 ) 9 kautta. Sijoitetaan y = 1, y1 = 1, y y1 9 9 k = x x1 x = 1 ja x 1 1 = = 9 9 = 0 = 0 1 ( 1) Kulmakerroin on nolla, joten suora on vaakasuora.

19 c) Suora kulkee pisteiden ( aa, ) ja (8 a,4 a ) kautta. k = y x y x 1 1 Sijoitetaan y = 4 a, y = a, 1 x = 8a j a x = a. = 4a a 8a a = a a 0 6a = 6 = 1 Kulmakerroin on positiivinen, joten suora on nouseva. 1 Vastaus a) 5, laskeva 4 b) 0, vaakasuora c) 1, nouseva

20 Tekijä Pitkä matematiikka Pisteet A(9, a ), B (, 1) ja C(, 1 ) ovat samalla suoralla, jos 4 6 suorien AB ja BC kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. 1 1 a y y a 1 k AB = = = = a = a x x k BC y y 1 = = 6 = 6 6 = = x x On oltava kab = kbc. 1a 4 = Yhtälö voidaan ratkaista myös laskimella a 4 = a 4 = 1a = 18 a = 18 = 1 Vastaus a =

21 Tekijä Pitkä matematiikka Pisteet A(, b), B(1, b ) ja C (4,) ovat samalla suoralla, jos suorien AC ja BC kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. k AC y y b b x x 4 ( ) 6 1 = = = 1 k BC y y b b x x = = = 1 On oltava kac = kbc. b b = 6 6 b= 6 b 6 0 b b+ = = b b 0 Ratkaistaan saatu. asteen yhtälö laskimella tai ratkaisukaavalla. b= 1 tai b= Vastaus b = 1 tai b =

22 Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 1 a = tan ( ) = 71, b) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 5 a = tan 1( 5) = 59, c) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 1 a = tan 1( 1 ) = 0 Vastaus a) 7 b) 59 c) 0

23 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan pisteiden (, a + 1) ja (4, a ) välinen kulmakerroin. y y1 a ( a+ 1) k = = = a 1 = a 1 = a 1 x x 4 1 Toisaalta kulmakerroin voidaan ratkaista yhtälöstä k = tana. k = tan( 60 ) k = Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan vakio a. a 1 = a = + 1 Vastaus a = + 1

24 Tekijä Pitkä matematiikka a) Määritetään kuvan janojen kulmakertoimet. k AB k BC k CD k DE k FE k GF (40 0) km = = 80 km/h (0,5 0) h (0 40) km = = 80 km/h (1 0,5) h (100 0) km = = 100 km/h ( 1) h ( ) km = = 0 km/h (,5 ) h ( ) km = = 60 km/h (,5,5)h ( ) km = = 0 km/h (4,5,5)h

25 b) Kulmakerroin kertoo, kuinka monta kilometriä tunnissa auto etenee positiivisen y-akselin suuntaan. Kyseessä on siis auton nopeus (eli vauhti ja etenemissuunta). c) AB: edetään vakionopeudella 80 km/h kohti mökkiä (positiivisen y-akselin suuntaan). BC: palataan vakionopeudella 80 km/h mökistä poispäin lähtöpisteeseen (negatiivisen y-akselin suuntaan). CD: edetään kohti mökkiä vakionopeudella 100 km/h DE: puolen tunnin tauko. Auto ei liiku, eli se on parkissa. EF: jatketaan matkaa vakionopeudella 60 km/h. FG: ollaan perillä, auto parkissa. Vastaus a) k AB = 80 km/h k BC = 80 km/h k CD = 100 km/h k DE = 0 km/h k = 60 km/h k = 0 km/h EF FG b) auton nopeuden, eli vauhdin ja etenemissuunnan c) AB: edetään vakionopeudella 80 km/h kohti mökkiä. BC: palataan takaisin lähtöpisteeseen vakionopeudella 80 km/h CD: edetään kohti mökkiä vakionopeudella 100 km/h CD: puolen tunnin tauko, auto parkissa DE: jatketaan matkaa vakionopeudella 60km/h. EF: ollaan perillä mökillä, auto parkissa

26 Tekijä Pitkä matematiikka Kuvataan Eeliksen ja Aapon etenemistä koordinaatistossa, jossa x- akselilla on aika tunteina ja y-akselilla etäisyys kotoa kilometreinä. Koti sijaitsee kohdassa y = 0 ja ajanhetken x = 0 sovitaan olevan Eeliksen lähtöhetki. Eelis lähtee siis kotoa ajanhetkellä 0 h nopeudella 0 km/h. Tällöin Eeliksen etenemistä kuvaava suora kulkee koordinaatistossa pisteen (0,0) kautta ja sen kulmakerroin on 0. Aapo lähtee kotoa ajanhetkellä 1,5 h nopeudella 40 km/h. Aapon etenemistä kuvaava suora kulkee koordinaatistossa pisteen (1,5; 0) kautta ja sen kulmakerroin on 40.

27 Aapo saavuttaa Eeliksen pisteessä (,60). Tällöin Aapo on ajanut h 1,5 h = 1,5 h. Pojat ovat 60 km 0 km = 60 km päässä kotoa. Vastaus Aapo saavuttaa Eeliksen 1,5 h ajon jälkeen 60 km päässä kotoa.

28 Tekijä Pitkä matematiikka Suora on laskeva, jos sen kulmakerroin on negatiivinen. On siis osoitettava, että pisteiden (, a ) ja ( 4, + a ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on negatiivinen kaikilla vakion a arvoilla. Määritetään suoran kulmakerroin k. k = y x y x 1 1 = + a a 4 = a a+ 6 a = + a = a + a 6 Ratkaistaan kulmakertoimen lausekkeen nollakohdat. 1a 1 a = 6 a + a = 0 ± 4 ( 1) ( ) a = ( 1) = ± 9 1 = ±

29 ei ole määritelty, joten kulmakerroin ei saa arvoa nolla. Kuvaaja k = 1a + 1a 1 on alaspäin aukeava paraabeli 6 (. asteen termin kerroin 1 < 0). 6 Koska paraabeli k = 1a + 1a 1 on alaspäin aukeava, eikä sillä 6 ole nollakohtia, kulmakertoimen arvo on aina negatiivinen. Siis osoitettiin, että k < 0 kaikilla vakion a arvoilla.

30 Tekijä Pitkä matematiikka Merkitään janan OA keskipistettä C ja janan OB keskipistettä D. Kaksi janaa ovat yhdensuuntaiset, kun niiden kulmakertoimet ovat samat. On siis osoitettava, että janan CD kulmakerroin on sama kuin kolmion kolmannen sivun AB kulmakerroin. Määritetään janan AB kulmakerroin. k AB = y x y x 1 1 Määritetään janojen OA ja OB keskipisteet C ja D. x1+ 0 y1+ 0 x1 y1 C = (, ) = (, ) x + 0 y + 0 x y D = (, ) = (, )

31 Määritetään janan CD kulmakerroin. k CD y y ( ) = = = = x x 1 x 1 x 1 ( x x ) x x y y1 y y1 y y Huomataan, että kcd = kab. Siis osoitettiin, että kolmion sivujen OA ja OB keskipisteitä yhdistävä jana CD on janan AB suuntainen.

32 Tekijä Pitkä matematiikka ) Suora AB kulkee pisteen K kautta, jos suoran AB kulmakerroin on sama kuin suoran AK kulmakerroin. Määritetään kulmakertoimet. y y1 kab = x x 1 k AK = = = = = y1+ y y1 x1+ x x1 1 y + 1 y y 1 x + 1 x x 1 y 1 y1 1 x 1 x1 1 ( y ) y1 1 ( x ) x1 y y1 x x Siis kab kak =, eli osoitettiin, että K on suoralla AB.

33 ) Ratkaistaan etäisyydet AK ja KB y y x x AK = y + x 1 ( y 1 1 y y 1 1) ( x 1 1 x x1 ) 1 ( y y1) ( x x1) = + = y1+ y x1+ x KB = y + x ( y 1 y 1 1 y) ( x 1 x 1 1 x ) 1 ( y y1) ( x x1) AK = + = + = Siis osoitettiin, että etäisyydet AK ja KB ovat yhtä suuret. Kohtien 1 ja mukaan piste K on suoralla AB ja yhtä etäällä pisteistä A ja B. Siis piste K on pisteitä A ja B yhdistävän janan keskipiste.

34 Tekijä Pitkä matematiikka ya a: 1 xa = Ei määritelty = 0 = 0 x 0 y 1 a yb b: x = xb y = b yc c: 1 x = xc y = 1 = c yd d: 0 xd = = 0 = 1 Ei määritelty x 1 y 0 d y Huomataan, että suhde on sitä suurempi, mitä jyrkempi suora x on. Siksi on luontevaa valita se suoran kulmakertoimeksi. a b c d

35 Tekijä Pitkä matematiikka a) Sijoitetaan pisteen (,1) koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x0 ) Sijoitetaan y0 = 1, x0 =, k = y 1 = ( x ) y 1= x 4 y = x 4+ 1 y = x x y = 0 b) Sijoitetaan pisteen (,1) koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x ) y 1 = ( x ) y 1= x+ 6 y = x y = x+ 7 x+ y 7 = 0 Sijoitetaan y = 1, x =, k = Vastaus a) y = x eli x y = 0 b) y = x+ 7 eli x+ y = 0

36 Tekijä Pitkä matematiikka a) Sijoitetaan pisteen (,6) koordinaatit ja kulmakerroin 5 suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x ) y 6 = 5( x ( )) y 6 = 5( x+ ) y 6 = 5x+ 15 y = 5x y = 5x+ 1 Sijoitetaan y = 6, x =, k = b) Jos suora leikkaa x-akselin kohdassa 7, niin suora kulkee pisteen (7,0) kautta. Sijoitetaan pisteen (7,0) koordinaatit ja kulmakerroin 4 suoran yhtälön kaavaan. y y = k x x y 0 = 4( x 7) y = 4x ( 0) Sijoitetaan 0 0, 0 7, 4 y = x = k =

37 c) Jos suora on vaakasuora, niin sen kulmakerroin on nolla. Sijoitetaan pisteen ( 1, ) koordinaatit ja kulmakerroin 0 suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x ) Sijoitetaan y y = 0( x ( 1)) y = 0 y = =, x = 1, k = 0 Vastaus a) y = 5x+ 1 b) y = 4x+ 8 c) y =

38 Tekijä Pitkä matematiikka a) Suora kulkee pisteiden (,5) ja (9,1) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y k = = 1 5 = x 9 1 x1 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (,5) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y = k( x x ) 0 y 5 = ( x ) y = x+ 7 Sijoitetaan y = 5, x =, k =

39 b) Sijoitetaan pisteen (4, 1) koordinaatit a-kohdassa ratkaistuun suoran yhtälöön. 1 = = 1 0= 0 tosi Siis piste (4, 1) on suoralla. Vastaus a) y = x+ 7 b) Piste on suoralla.

40 Tekijä Pitkä matematiikka a) Suora kulkee pisteiden (,7) ja (7, ) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y k = = 7 = 10 = x x1 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (,7) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y = k x x y 7 = ( x ) y 7= x+ 4 y = x+ 11 y = x =, k = 0 ( 0) Sijoitetaan 0 7, 0

41 b) Suora kulkee pisteiden (4,) ja ( 9,) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y k = = = 0 = 0 x x1 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (4,) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin 0 suoran yhtälön kaavaan. y y = k x x y = x y = 0( x 4) y = 0 y = = k = 0 ( 0) Sijoitetaan 0, 0 4, 0

42 c) Suora kulkee pisteiden ( 8, 15) ja ( 5, 6) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y 6 ( 15) k = = = = 9 = x 5 ( 8) x1 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste ( 8, 15) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x0) y0 = 15, x0 = 8, k = y ( 15) = ( x ( 8)) y+ 15 = ( x+ 8) y+ 15 = x+ 4 y = x y = x+ 9

43 d) Suora kulkee pisteiden (,1) ja (, 6) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y k = = 6 1 = 18 = 18 x ( ) x1 Kulmakerrointa ei ole määritelty. Tällöin suora on pystysuora ja suoran yhtälö muotoa x = x0. Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (,1) ja sijoitetaan pisteen y- koordinaatti pystysuoran yhtälön kaavaan. x = x y = x = 0 0 Vastaus a) y = x+ 11 b) y = c) y = x+ 9 d) x =

44 Tekijä Pitkä matematiikka a) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. x+ y = 0 y = x+ Koska suoran kulmakerroin 1 on negatiivinen, suora on laskeva. Koska vakiotermi on, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,). x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0= x + x = x-akselin leikkauspiste on siis (,0).

45 b) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. 5y 7= 0 5y = 7 y = 7 5 Suoran jokaisen pisteen y-koordinaatti on 7, joten suora on 5 vaakasuora. Suora ei leikkaa x-akselia ja se leikkaa y-akselin pisteessä (0, 7 ) 5.

46 c) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. 4x 1 y+ 5 = 0 1 y = 4x 5 y = 4 x y = 1 x+ 5 1 Koska suoran kulmakerroin 1 nouseva. on positiivinen, suora on Koska vakiotermi on 5, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä 1 (0, 5 ). 1 x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0 = 1 x x = 5 1 x = 5 ( ) 1 x = 5 4 x-akselin leikkauspiste on siis ( 5,0). 4

47 d) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. x 4y = 0 4y = x y = x 4 Koska suoran kulmakerroin on negatiivinen, suora on 4 laskeva. Koska vakiotermi on 0, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,0). x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0 = x 4 x = 0 x-akselin leikkauspiste on siis (0,0).

48 Vastaus a) laskeva, x-akselin leikkauspiste (,0), y-akselin leikkauspiste (0,) b) vaakasuora, x-akselin leikkauspistettä ei ole, y-akselin leikkauspiste (0, 7 ) 5 c) nouseva, x-akselin leikkauspiste ( 5,0), 4 y-akselin leikkauspiste (0, 5 ) 1 d) laskeva, x-akselin leikkauspiste (0,0), y-akselin leikkauspiste (0,0)

49 Tekijä Pitkä matematiikka a) Piirretään suora kulmakertoimen ja y-akselin leikkauskohdan avulla. Suora y = 4x leikkaa y-akselin pisteessä (0, ). Suoran kulmakerroin on 4: kun x-koordinaatti kasvaa yhden yksikön, niin y-koordinaatti kasvaa neljä yksikköä.

50 b) y = 4 Suoran jokaisen pisteen y-koordinaatti on 4, joten suora on vaakasuora ja kulkee pisteen (0,4) kautta.

51 c) Ratkaistaan suoran yhtälöstä y. 6x+ 9 y 18 = 0 9 y = 6x+ 18 y = 6 x y = x+ Suora y = x+ leikkaa y-akselin pisteessä (0,). Suoran kulmakerroin on : kun x-koordinaatti kasvaa kolme yksikköä, niin y-koordinaatti pienenee kaksi yksikköä.

52 d) Ratkaistaan suoran yhtälöstä x. 5x + 0 = 0 5x = 0 x = 0 5 x = 4 Suoran jokaisen pisteen x-koordinaatti on 4, joten suora on pystysuora ja kulkee pisteen (4,0) kautta.

53 Vastaus

54 Tekijä Pitkä matematiikka Vastaus

55 Tekijä Pitkä matematiikka Suoran yhtälön ratkaistu muoto on y = kx + s. Määritetään kuvasta kunkin suoran vakiotermi s ja kulmakerroin k. Suora a leikkaa y-akselin pisteessä (0,1), jolloin suoran vakiotermi on 1. y Suoran a kulmakerroin on k 1 a = = = 1. x 1 Muodostetaan suoran a yhtälö. y = x+ 1 x y+ 1= 0

56 Suora b leikkaa y-akselin pisteessä (0,), jolloin suoran vakiotermi on. Suora b on vaakasuora, jolloin sen kulmakerroin on 0. Muodostetaan suoran b yhtälö. y = 0 x+ y = y = 0 Suora c leikkaa y-akselin pisteessä (0,5), jolloin suoran vakiotermi on 5. y Suoran c kulmakerroin on k c = = =. x 1 Muodostetaan suoran c yhtälö. y = x+ 5 x+ y 5= 0 Vastaus a) y = x+ 1 eli x y+ 1= 0 b) y = eli y = 0 c) y = x+ 5 eli x+ y 5= 0

57 Tekijä Pitkä matematiikka Määritetään suoran x y = 0 kulmakerroin k 1. x y = 0 y = x y = x Siis k 1 =. Määritetään kulmakerrointa k 1 vastaava suuntakulma α 1 yhtälöstä tan a = k. 1 1 tan a 1 = a 1 1 = tan ( ) =, Määritetään suoran x+ y 7= 0 kulmakerroin k. x+ y 7= 0 y = x+ 7 y = 1 x+ 7 Siis k 1 =. Määritetään kulmakerrointa k vastaava suuntakulma α yhtälöstä tan a = k.

58 tan a 1 = a = tan ( ) = 6, Suora x y = 0 on nouseva ja suora x+ y 7= 0 laskeva. Lasketaan suorien välinen kulma., , = 60, Saatu arvo kelpaa suorien väliseksi kulmaksi, sillä 0 α 90. Vastaus 60

59 Tekijä Pitkä matematiikka a) Annetuista tiedoista saadaan kaksi koordinaatiston pistettä (10, 7 1 ) ja (8 1, ). Lasketaan suoran kulmakerroin. 1 y y 7 1 k = = = x x Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kulmakerroin ja pisteen (10, 7 1 ) koordinaatit suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 7 1 = ( x 10) y 7 1 = x 0 y = x,5 b) Sijoitetaan suoran yhtälöön kengännumero y = 6 ja ratkaistaan jalan pituus x. 6 = x,5 x = 9 1 Yhtälön voi ratkaista laskimella. Siis kengännumeroa 6 vastaa jalan pituus 1 9 tuumaa.

60 c) Sijoitetaan suoran yhtälöön jalan pituus x = 7 1 ja lasketaan kengännumero y. y = (7 1 ),5 y = 0 Siis jalan pituutta 1 7 tuumaa vastaa kengännumero 0. Vastaus a) y = x,5 b) 9 1 tuumaa c) 0

61 Tekijä Pitkä matematiikka a) Sijoitetaan pisteen (5, ) koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan y =, x y ( ) = ( x 5) y + = x + 15 y = x + 15 y = x = 5, k = b) Pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa ja sen yhtälö on muotoa x = x0. Sijoitetaan pisteen (4, 5) x-koordinaatti. x = x Sijoitetaan x = 4 x = 4 0 0

62 c) Suora kulkee pisteiden (,7) ja (, 8) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. k = 8 7 = 15 = 5 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (,7) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y = k( x x ) y 7 = ( x ) y 7= x 6 y = x 6+ 7 y = x+ 1 Sijoitetaan y = 7, x =, k = Vastaus a) y = x+ 1 b) x = 4 c) y = x+ 1

63 Tekijä Pitkä matematiikka a) Suora kulkee pisteiden ( 1, ) 6 4 ja (, 1 ) kautta. 8 Määritetään suoran kulmakerroin. 1 y y 1 k = = 4 = x x1 ( 1 ) 8 6 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste ( 1, ) ja sijoitetaan pisteen 6 4 koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan y 1 0 =, x0 =, k = 4 6 y = ( x ( 1 )) 4 6 y = x+ 5 1

64 b) Sijoitetaan pisteen ( 1, 5) koordinaatit a-kohdassa 1 ratkaistuun suoran yhtälöön. 5 = = = 0 1 epätosi Siis piste ( 1, 5) ei ole suoralla. 1 Vastaus a) y = x+ 5 1 b) ei ole

65 Tekijä Pitkä matematiikka a) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. x y+ 1 = 0 y = x 1 : ( ) y = x 1 y = x+ 4 Koska suoran kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva. Koska vakiotermi on 4, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,4). x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0= x + 4 x = 4 x = 4 x = 6 x-akselin leikkauspiste on siis ( 6,0)

66 b) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. 8x+ 5y 4= 0 5y = 8x+ 4 :5 y = 8 x Koska suoran kulmakerroin 8 on negatiivinen, suora on 5 laskeva. Koska vakiotermi on 4, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä 5 (0, 4 ) 5. x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0 = 8 x x = x = x = 1 x-akselin leikkauspiste on siis ( 1,0).

67 Vastaus a) nouseva, x-akselin leikkauspiste ( 6,0), y-akselin leikkauspiste (0,4) b) laskeva, x-akselin leikkauspiste ( 1,0), y-akselin leikkauspiste (0, 4 ) 5

68 Tekijä Pitkä matematiikka Määritetään suoran ja koordinaattiakselien leikkauspisteet. x-akselin leikkauspisteessä y = 0. 4x 0 + 8= 0 x = Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Siis kolmion kanta a = =.

69 y-akselin leikkauspisteessä x = y + 8= 0 y = 8 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Siis kolmion korkeus h = 8 = 8. Lasketaan kolmion pinta-ala. A = 1 ah. A = 1 8 = 8 Vastaus 8

70 Tekijä Pitkä matematiikka a) Piirretään suora kulmakertoimen ja y-akselin leikkauskohdan avulla. Suora y = x leikkaa y-akselin pisteessä (0, ). Suoran 4 kulmakerroin on : kun x-koordinaatti kasvaa neljä yksikköä, 4 niin y-koordinaatti kasvaa kolme yksikköä.

71 b) y + 6= 0 y = 6 Suoran jokaisen pisteen y-koordinaatti on 6, joten suora on vaakasuora ja kulkee pisteen (0, 6) kautta.

72 c) Ratkaistaan suoran yhtälöstä y. x y+ 9= 0 y = x+ 9 y = 1 x+ 9 y = 1 x+ Suora y = 1 x+ leikkaa y-akselin pisteessä (0,). Suoran kulmakerroin on 1 : kun x-koordinaatti kasvaa kolme yksikköä, niin y-koordinaatti kasvaa yhden yksikön.

73 d) Ratkaistaan suoran yhtälöstä x. 4x 8= 0 4x = 8 x = x = 8 4 Suoran jokaisen pisteen x-koordinaatti on, joten suora on pystysuora ja kulkee pisteen (,0) kautta.

74 Vastaus

75 Tekijä Pitkä matematiikka Vastaus

76 Tekijä Pitkä matematiikka Suoran yhtälön ratkaistu muoto on y = kx + s. Määritetään kuvasta kunkin suoran vakiotermi s ja kulmakerroin k. Suora p leikkaa y-akselin pisteessä (0, 1), jolloin suoran vakiotermi on 1. y Suoran p kulmakerroin on k p = =. x Muodostetaan suoran p yhtälö. y = x 1 x y 1= 0 x y = 0

77 Suora q leikkaa y-akselin pisteessä (0,), jolloin suoran vakiotermi on. y Suoran q kulmakerroin on k 5 5 q = = =. x Muodostetaan suoran q yhtälö. y = 5 x+ 5 x+ y = 0 5x+ y 9= 0 Suora r leikkaa x-akselin pisteessä (,0). Suora r on pystysuora, jolloin sillä ei ole kulmakerrointa ja sen x-koordinaatti on sama kaikissa pisteissä. Muodostetaan suoran r yhtälö. x = x = 0 Vastaus p : x y = 0, q : 5x+ y 9= 0, r : x = 0

78 Tekijä Pitkä matematiikka a) Celsiusasteiden y riippuvuutta fahrenheitasteista x kuvaa suora, koska riippuvuus on lineaarinen. Tiedetään, että celsiusasteikolla veden sulamispiste on 0 C ja kiehumispiste 100 C. Annetuista tiedoista saadaan kaksi koordinaatiston pistettä: (,0) ja (1,100). Lasketaan suoran kulmakerroin. y y k = = = 5 x x1 Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kulmakerroin 5 ja pisteen 9 (,0) koordinaatit suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 0 = 5 ( x ) 9 y = 5 x

79 b) Herkon ruumiinlämpö celsiusasteina saadaan sijoittamalla a- kohdassa muodostettuun yhtälöön Herkon ruumiinlämpö fahrenheitasteina x = 10. y = = 50 8,9 C c) Lämpötilat näyttävät samaa lukemaa, kun y = x. Sijoitetaan suoran yhtälöön muuttujan y paikalle muuttuja x. x = 5 x x = x = 40 Yhtälön voi ratkaista laskimella. Siis y = x = 40, eli 40 F = 40 C. Vastaus a) y = 5 x b) 8,9 C c) 40 F = 40 C

80 Tekijä Pitkä matematiikka a) Hinnan y riippuvuutta painosta x kuvaa suora, koska riippuvuus on lineaarinen. Annetuista tiedoista saadaan kaksi koordinaatiston pistettä: (50; 4,50) ja (75; 1,75). Lasketaan suoran kulmakerroin. 1,75 4,50 k = = 0, Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kulmakerroin 0,9 ja pisteen (50; 4,50) koordinaatit suoran yhtälöön y y = k( x x ). 0 0 y 4,50 = 0, 9( x 50) y = 0, 9x+ 10 Yhtälön voi ratkaista laskimella. b) Sijoitetaan a-kohdassa ratkaistuun yhtälöön hinta y = = 0, 9x , 9x = 90 x = 10,44... x 10 Yhtälön voi ratkaista laskimella. Siis sadalla eurolla saa 10 kg perunoita.

81 c) Suureet x ja y ovat suoraan verrannolliset, kun y x = k eli y = kx. Siis a-kohdan yhtälön y = 0,9x+ 10 mukaan perunaerän hinta y ja paino x eivät ole suoraan verrannolliset. Vastaus a) y = 0, 9x+ 10 b) 10 kg c) eivät ole

82 Tekijä Pitkä matematiikka Määritetään suoran x y+ = 0 kulmakerroin k 1. x y+ = 0 y = x+ Siis k 1 =. Määritetään kulmakerrointa k 1 vastaava suuntakulma α 1 yhtälöstä tan a = k tan a = 1 1 a = tan () = 71, Määritetään suoran 4x+ y 1= 0 kulmakerroin k. 4x+ y 1= 0 y = 4x+ 1 y = x+ 1 Siis k =.

83 Määritetään kulmakerrointa k vastaava suuntakulma α yhtälöstä tan a = k. tan a = 1 1 a = tan ( ) = 6,44... Suora x y+ = 0 on nouseva ja suora 4x+ y 1= 0 laskeva. Lasketaan suorien välinen kulma. Suorien välinen kulma α toteuttaa aina ehdon 0 α 90. Suorien väliseksi kulmaksi saadaan α = , ,44... α = 45 Vastaus 45

84 Tekijä Pitkä matematiikka Määritetään suoran x+ y+ 1= 0 kulmakerroin k 1. x+ y+ 1= 0 y = x 1 y = 1 x 1 Siis k 1 1 =. Määritetään kulmakerrointa k 1 vastaava suuntakulma α 1 yhtälöstä tan a = k. 1 1 tan a 1 1 = a = tan ( ) = 6, Määritetään suoran 4x+ y+ = 0 kulmakerroin k. 4x+ y+ = 0 y = 4x Siis k = 4.

85 Määritetään kulmakerrointa k vastaava suuntakulma α yhtälöstä tan a = k. tan a = a = tan ( 4) = 75,96... Suorat x+ y+ 1= 0 ja 4x+ y+ = 0 ovat laskevia. Lasketaan suorien välinen kulma. Suorien välinen kulma α toteuttaa aina ehdon 0 α 90. α = 75, , = 49, Vastaus 49

86 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. y = a x 4x 5 y = ( a 4) x 5 Suoran kulmakerroin on k = a 4. a) Suora on vaakasuora, kun sen kulmakerroin on nolla. k = 0 a 4= 0 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. a = tai a =

87 b) Suora on laskeva, kun sen kulmakerroin on negatiivinen. a k < 0 4< 0 Polynomin a 4 nollakohdat a = ± ratkaistiin a-kohdassa. Polynomin. asteen termin kerroin on positiivinen, joten paraabeli aukeaa ylöspäin. Kulmakerroin a 4< 0 eli suora on laskeva, kun < a <. Vastaus a) a = tai a = b) < a <

88 Tekijä Pitkä matematiikka a) Sijoitetaan yhtälöön vakiolle a arvoja. a = 0 : (0 1) x+ y 0 = 0 x+ y = 0 x y = 0 a = 1 (1 1) x+ y 1 = 0 y = 0 a = ( 1) x+ y = 0 x+ y 6= 0 Piirretään geometriaohjelmalla suorat x y = 0, y = 0 ja x+ y 6= 0. Huomataan, että suorat kulkevat pisteen (, ) kautta.

89 b) Osoitetaan, että kaikki suoraparven suorien pisteet kulkevat pisteen (, ) kautta sijoittamalla pisteen koordinaatit x = ja y = suoraparven yhtälöön. ( a 1) x+ y a = 0 ( a 1) + a = 0 a + a = 0 0= 0 tosi Siis piste (, ) toteuttaa suoraparven yhtälön riippumatta vakion a arvosta. Vastaus a) Suorat kulkevat pisteen (, ) kautta.

90 Tekijä Pitkä matematiikka Merkitään suoran ja y-akselin leikkauspistettä (0, s) ja suoran ja x-akselin leikkauspistettä (a, 0). Kysytyn suoran yhtälö on muotoa y = kx + s (oltava k > 0, koska suora on nouseva). Piste (9, 4) on suoralla, joten tämä piste toteuttaa suoran yhtälön. y = kx + s Sijoitetaan y = 4, x = 9. 4 = k 9 + s Ratkaistaan s. s = 4 9k Suoran yhtälö on siis y = kx + 4 9k.

91 Määritetään x-akselin leikkauskohta a sijoittamalla y = 0. y = kx + 4 9k 0= k a+ 4 9k k a = 4 9k a = 4 9k k Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alan avulla. A =, joten a s = a s = 6 9k k = 6 Ratkaistaan yhtälö laskimella. k 8 k > 0, molemmat k = tai k = 7 ratkaisut kelpaavat Kun k =, niin s = 4 9 =. Kun k = 8, niin s = = Saatiin kaksi mahdollista suoraa. Muodostetaan suorien yhtälöt sijoittamalla saadut k:n ja s:n arvot yhtälöön y = kx + s. y = x tai y = Vastaus y = 8 x+ 4 tai y = x 7

92 Huomaa: Saatu yhtälö voidaan ratkaista myös ilman laskinta. 9k k = 6 k 9k k = 6 k k 9k 4 4 9k = 6 k (9k 4)(4 9 k) = 6k 4 9 k (9 k) k = 6k 81k + 7k 16 = 6k 81k + 7k 16 = 6k tai 81k + 7k 16 = 6k 81k + 66k 16 = 0 tai 81k + 78k 16 = 0 ei ratkaisua tai k = tai k = 8 7 Molemmat saadut k:n arvot kelpaavat, koska ne ovat positiivisia. Kun k =, niin s = 4 9 =. Kun k = 8, niin s = = Muodostetaan suorien yhtälöt sijoittamalla saadut k:n ja s:n arvot yhtälöön y = kx + s. y = x tai y =

93 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan suorien kulmakertoimet. Suora s 1 kulkee pisteiden (7,1) ja (15, 4) kautta. k 1 = 4 1 = 6 = a) Suora s kulkee pisteiden (, 6) ja (4, 1) kautta. k 1 ( 6) = = = 7 4 Koska kulmakertoimet k 1 ja k eivät ole yhtä suuret, suorat s 1 ja s eivät ole yhdensuuntaiset. b) Suora s kulkee pisteiden ( 1, 45) ja ( 1, 9) kautta. k 9 ( 45) = = = 6 = 9 1 ( 1) Koska kulmakertoimet k 1 ja k ovat yhtä suuret, suorat s 1 ja s ovat yhdensuuntaiset. Vastaus a) eivät ole b) ovat

94 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran 6x y+ 7= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 6x y+ 7= 0 y = 6x+ 7 y = 6 x+ 7 y = x+ 7 Suoran 6x y+ 7= 0 kulmakerroin on siis. a) Suoran y = x 11 kulmakerroin on myös. Koska kulmakertoimet ovat yhtä suuret, suora y = x 11 on yhdensuuntainen suoran 6x y+ 7= 0 kanssa. b) Lasketaan pisteiden (4, ) ja (8,6) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. 6 ( ) k = = 6+ = 8 = Koska kulmakertoimet ovat yhtä suuret, pisteiden (4, ) ja (8,6) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen suoran 6x y+ 7= 0 kanssa. Vastaus a) on b) on

95 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon ja tunnistetaan kulmakerroin k. a) y = x 1 Kulmakerroin on k a =. b) x+ y+ 6= 0 y = x 6 Kulmakerroin on k b =. c) y 4= 0 y = 4 Kyseessä on vaakasuora suora, kulmakerroin on k c = 0. d) 4x y = 0 y = 4x y = 4 x y = x Kulmakerroin on k d =.

96 e) 8x 4y = 0 4y = 8x y = 8 x 4 y = x Kulmakerroin on k e =. f) 7x+ 14 y = 0 14 y = 7x+ y = 7 x y = 1 x+ 1 7 Kulmakerroin on k 1 f =. Huomataan, että suorilla a, d ja e on sama kulmakerroin. Ne ovat siis keskenään yhdensuuntaiset. Muilla suorilla ei ole keskenään samoja kulmakertoimia. Vastaus a, d ja e

97 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran 1x+ y 1 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 1x+ y 1 = 0 y = 1x+ 1 y = 4x+ 1 Suoran 1x+ y 1 = 0 kulmakerroin on k 1 = 4. Määritetään pisteiden (8, ) ja ( 4, a) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k y y1 a ( ) = = = a + x x Suorat ovat yhdensuuntaiset, joten niiden kulmakertoimet ovat yhtäsuuret. k = k1 a + = 4 ( 1) 1 a + = 48 a = 46 Vastaus a = 46

98 Tekijä Pitkä matematiikka a) Suoran y = x kulmakerroin on k 1 = ja suoran y = 1 x kulmakerroin k 1 =. Tutkitaan, toteuttavatko kulmakertoimet kohtisuoruusehdon. kk = = 1 1= 1 = 0 epätosi. Siis suorat eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

99 b) Suoran y = 4x+ kulmakerroin on k 1 = 4. Muokataan suoran x+ 4y 4= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ 4y 4= 0 4y = x 4 y = x y = 1 x+ 1 4 Suoran x+ 4y 4= 0 kulmakerroin on k 1 =. 4 Tutkitaan, toteuttavatko kulmakertoimet kohtisuoruusehdon. kk = ( 1 ) = 1 4 1= 1 0= 0 tosi. Siis suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) Eivät ole b) Ovat

100 161 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran 7x y+ 4= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 7x y+ 4= 0 y = 7x 4 y = 7 x+ 4 Suoran 7x y+ 4= 0 kulmakerroin on k 7 1 =. a) Muokataan suoran 1x+ 8y 9 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 1x+ 8y 9 = 0 8y = 1x+ 9 y = 1 x y = x Suoran 1x+ 8y 9 = 0 kulmakerroin on k =. 7 Tutkitaan, toteuttavatko suorien kulmakertoimet kohtisuoruusehdon. kk = ( ) = 1 7 1= 1 tosi Siis suora 7x y+ 4= 0 on kohtisuorassa suoraa 1x+ 8y 9 = 0 vastaan.

101 b) Lasketaan pisteiden (5, 4) ja (, 1) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k y y1 1 ( 4) = = = 1+ 4 = = x x Tutkitaan, toteuttavatko suorien kulmakertoimet kohtisuoruusehdon. kk = ( ) = 1 7 1= 1 tosi Siis suora 7x y+ 4= 0 on kohtisuorassa pisteiden (5, 4) ja (, 1) kautta kulkevaa suoraa vastaan. Vastaus a) on b) on

102 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran x 5y 10 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x 5y 10 = 0 5y = x+ 10 y = 1 x 5 Suoran x 5y 10 = 0 kulmakerroin on 1 5. Merkitään kysytyn suoran kulmakerrointa k. Kysytty suora on kohtisuorassa suoraa x 5y 10 = 0 vastaan, jolloin kohtisuoruusehdon mukaan k 1 = 1 5 k = 5. Kysytty suora kulkee pisteen (4, ) kautta. Sijoitetaan koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 = sekä kulmakerroin k = 5 suoran yhtälöön. y y0 = k( x x0) y ( ) = 5( x 4) y+ = 5x+ 0 5x+ y 17 = 0 Vastaus 5x+ y 17 = 0

103 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan pisteiden (, 7) ja (,1) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k 1 1 ( 7) = = 4 Ratkaistaan normaalin kulmakerroin k kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. 4 k = 1 k 1 = 4 Normaali kulkee pisteen (5,8) kautta. Sijoitetaan koordinaatit x 0 = 5 ja y 0 = 8 sekä kulmakerroin k suoran yhtälöön. y y0 = k( x x0) y 8 = 1 ( x 5) 4 y = 1 x x y+ 7 = x 4 y+ 7 = 0 Vastaus x 4 y+ 7 = 0 eli y = 1 x

104 Tekijä Pitkä matematiikka Määritetään kysyttyjen suorien yhtälöt geometriaohjelman avulla. a) Yhdensuuntaisen suoran yhtälö on x y = 5 eli x y+ 5= 0 eli y = 1 x+ 5. b) Normaalin yhtälö on x+ y = 5 eli x+ y 5= 0 eli y = x+ 5. Vastaus a) y = 1 x+ 5 eli x y+ 5= 0 b) y = x+ 5 eli x+ y 5= 0

105 Tekijä Pitkä matematiikka Normaalin yhtälö on muotoa y = kx + s. Normaali leikkaa koordinaattiakselit pisteissä (0, s) ja (a, 0). Muokataan suoran x+ y = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ y = 0 y = x+ Suoran x+ y = 0 kulmakerroin k 1 =. Normaalin kulmakerroin k saadaan kohtisuoruusehdosta. kk 1 = 1 k = 1 k 1 =

106 Normaalin yhtälö on siis y = 1 x+ s Normaalin ja x-akselin leikkauspisteessä y = 0. 0 = 1 a+ s 1 a = s a = s Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alan avulla. A = 16 a s = 16 s s = 16 s s = s s = s = s = 16 s = ± 16 s = ± 4

107 Saadaan kaksi eri vaihtoehto normaalin yhtälöksi. Kun k = 1 ja s = 4, normaali on y = 1 x+ 4 (eli x y+ 8 = 0). Kun k 1 = ja s = 4, normaali on y = 1 x 4 (eli x y 8 = 0). Vastaus y = 1 x+ 4 tai y = 1 x 4 (eli x y+ 8= 0 tai x y 8= 0)

108 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan suorien kulmakertoimet. Suora s 1 kulkee pisteiden (4, ) ja (,1) kautta. k 1 1 ( ) = = 1+ = 4 = a) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x y = 0 y = x+ y = x Suoran s kulmakerroin on k =. Koska kulmakertoimet k 1 ja k eivät ole yhtä suuret, suorat s 1 ja s eivät ole yhdensuuntaiset.

109 b) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ y = 0 y = x y = x Suoran s kulmakerroin on k =. Koska kulmakertoimet k 1 ja k ovat yhtä suuret, suorat s 1 ja s ovat yhdensuuntaiset. c) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. 8x 1 y+ 1 = 0 1 y = 8x 1 y = 8 x y = x+ 1 1 Suoran s kulmakerroin on k =. Koska kulmakertoimet k 1 ja k ovat yhtä suuret, suorat s 1 ja s ovat yhdensuuntaiset.

110 d) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. 1 x+ 1 y = 0 1 y = 1 x+ y = x+ 4 Suoran s kulmakerroin on k =. Koska kulmakertoimet k 1 ja k ovat yhtä suuret, suorat s 1 ja s ovat yhdensuuntaiset. Vastaus a) eivät ole b) ovat c) ovat d) ovat

111 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan pisteiden ( 5,) ja (4, 8) kautta kulkevan suoran s 1 kulmakerroin. k = = 4 ( 5) 9 Määritetään pisteiden (7, c ) ja ( c,) kautta kulkevan suoran s kulmakerroin. k = c, c 7 0 eli c 7 c 7 Suorat ovat yhdensuuntaiset, joten niiden kulmakertoimet ovat yhtäsuuret. k = k 1 c = 11 c ( c) = ( 11) ( c 7) 7 9c = 11c c 9c = 77 7 c = 50 c = 5 Kerrotaan ristiin Vastaus c = 5

112 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan pisteiden (5, c ) ja ( 8, c) kautta kulkevan suoran t kulmakerroin. k t = c c = c Suoran s kulmakerroin on k = c+. s Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun niiden kulmakertoimet ovat yhtäsuuret. ks = kt c + = c ( 1) 1 1c 6 = c 1c c = 6 14c = 6 : ( 14) c = 6 14 c = 1 7 Vastaus c = 1 7

113 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon ja tunnistetaan kulmakerroin k. a) x+ y = 0 y = x+ Kulmakerroin on k a =. b) x + 7= 0 x = 7 x = 7 Kyseessä on pystysuora suora, jolla ei ole kulmakerrointa. c) 4x 8y+ = 0 8y = 4x y = 4 x+ 8 8 y = 1 x+ 8 Kulmakerroin on k 1 c =.

114 d) x+ 6y+ = 0 6y = x y = x 6 6 y = 1 x 1 Kulmakerroin on k 1 d =. e) y = 0 y = y = Kyseessä on vaakasuora suora, kulmakerroin k e = 0. f) x+ y = 0 y = x+ y = x+ y = x+ Kulmakerroin on k f = 1.

115 g) 10x 5y = 0 5y = 10x+ y = 10 x 5 5 y = x 5 Kulmakerroin on k g =. h) x 6y+ 5= 0 6y = x 5 y = x y = 1 x+ 5 6 Kulmakerroin on k 1 f =. Vaakasuora suora b ja pystysuora suora e ovat kohtisuorassa. Huomataan, että kk 1 a c = = 1. Siis suorat a ja c ovat kohtisuorassa. Huomataan myös, että k 1 dk g = = 1. Siis suorat d ja g ovat kohtisuorassa. Vastaus b ja e, a ja c, d ja g

116 Tekijä Pitkä matematiikka a) Muokataan suoran x 5y+ = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x 5y+ = 0 5y = x y = x+ 5 5 Suoran x 5y+ = 0 kulmakerroin on siis 5. Kysytty suora kulkee pisteen ( 4, 7) kautta ja on suoran x 5y+ = 0 suuntainen, eli sen kulmakerroin on 5. Sijoitetaan suoran yhtälöön y y0 = k( x x0) pisteen koordinaatit x 0 = 4 ja 0 7 y y0 = k( x x0) y ( 7) = ( x ( 4)) 5 y+ 7 = ( x+ 4) 5 5 5y+ 5 = x+ 8 x 5y 7 = 0 y = sekä kulmakerroin k =. 5

117 b) Muokataan suoran 4x+ y 9= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 4x+ y 9= 0 y = 4x+ 9 y = 4 x+ Suoran 4x+ y 9= 0 kulmakerroin on siis k 4 1 =. Kysytty suora on tämän suoran normaali, eli sen kulmakerroin k toteuttaa kohtisuoruusehdon. 4 k = 1 4 k = 1 4 k = 4 Kysytty suora kulkee pisteen ( 4, 7) kautta. Sijoitetaan suoran yhtälöön y y0 = k( x x0) pisteen koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 = 7 sekä kulmakerroin k = k =. 4 y y0 = k( x x0) y ( 7) = ( x ( 4)) 4 y+ 7 = ( x+ 4) y+ 8 = x+ 1 x 4 y 16 = 0

118 Vastaus a) x 5y 7 = 0 b) x 4 y 16 = 0

119 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan pisteiden (, 4) 7 ja ( 5, 7 ) kautta kulkevan suoran 4 kulmakerroin k 1. k = 7 = 4 5 ( ) Suoran normaalin kulmakerroin k voidaan määrittää kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. 4 k = k 161 = 4 Kysytty normaali kulkee pisteen (5,9) kautta. Sijoitetaan pisteen koordinaatit x 0 = 5 ja y 0 = 9 sekä ratkaistu kulmakerroin k suoran yhtälöön. y y0 = k( x x0) y 9 = 161 ( x 5) Yhtälö voidaan ratkaista laskimella x 4 y+ 7 = 0 Vastaus 161x 4 y+ 7 = 0

120 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan pisteiden (, 6) ja ( 5, 1) kautta kulkevan suoran kulmakerroin k 1. k 1 1 ( 6) = = Määritetään pisteiden ( 1, a) ja (, a + 1) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k 1 1 = a+ a = a+ ( 1) 4 Suorat ovat yhdensuuntaiset. k = k1 a + 1 = a = 7 7 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Vastaus a = 7 7

121 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran ( k + 1) x 7 y+ = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. ( k + 1) x 7 y+ = 0 7 y = ( k + 1) x y = k + 1 x+ 7 7 Suoran kulmakerroin on k k 1 1 = +. 7 a) Muokataan suoran 5x+ 4y = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 5x+ 4y = 0 4y = 5x+ y = 5 x+ 1 4 Suoran kulmakerroin k 5 =. 4 Jos suoran ( k + 1) x 7 y+ = 0 normaali on 5x+ 4y = 0, niin niiden kulmakertoimet toteuttavat kohtisuoruusehdon. k k = k k 1 1 Sijoitetaan 1 ja. k + 1 ( 5) = k = 5 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella.

122 b) Muokataan suoran kx + 6y + 7= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. kx + 6y + 7= 0 6y = kx 7 y = k x Suoran kulmakerroin k k =. 6 Jos suoran ( k + 1) x 7 y+ = 0 normaali on kx + 6y + 7= 0, niin niiden kulmakertoimet toteuttavat kohtisuoruusehdon. kk 1 = 1 Sijoitetaan k1 ja k. 1 ( k ) 1 k + = 7 6 k = 7 tai k = 6 Vastaus a) k = 5 b) k = 7 tai k = 6 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella.

123 Tekijä Pitkä matematiikka a) Janan AB päätepisteet ovat A(4, 4) ja B (7, ). Määritetään janan keskipiste C sijoittamalla pisteiden koordinaatit kaavaan x1+ x y1+ y (, ). C = ( 4+ 7, 4 + ) = ( 11, 1) Lasketaan janan AB kulmakerroin päätepisteiden A(4, 4) ja B (7,) avulla. k 1 ( 4) = = 7 4. Ratkaistaan keskinormaalin kulmakerroin k kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. k = 1 k 1 =

124 Keskinormaali kulkee pisteen C( 11, 1) kautta ja sen kulmakerroin on 1. Sijoitetaan pisteen koordinaatit x 0 = ja y 0 = 1 sekä kulmakerroin k 1 = suoran yhtälöön y y = k( x x ). 0 0 y ( 1) = 1 ( x 11) Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. x+ 4y 7= 0 b) Keskinormaali leikkaa y-akselin kun x = 0. Sijoitetaan tämä keskinormaalin yhtälöön. 0+ 4y 7= 0 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. y = 7 4 Siis keskinormaali leikkaa y-akselin pisteessä (0, 7 ) 4. Keskinormaali leikkaa x-akselin kun y = 0. Sijoitetaan tämä keskinormaalin yhtälöön. x = 0 Yhtälö voidaan ratkaista laskimel la. x = 7 Siis keskinormaali leikkaa x-akselin pisteessä ( 7,0). 11 Vastaus a) x+ 4y 7= 0 b) ( 7,0) ja (0, 7 ) 4

125 Tekijä Pitkä matematiikka Yhtä etäällä pisteistä A (,) ja B(6, 1) ovat janan AB keskinormaalin pisteet. Määritetään janan AB keskipiste C sijoittamalla pisteiden x1+ x y1+ y koordinaatit kaavaan (, ). C = ( + 6, 1) = (4,1) Lasketaan janan AB kulmakerroin päätepisteiden A (,) ja B(6, 1) avulla. k 1 = 1 = 1 6

126 Ratkaistaan keskinormaalin kulmakerroin k kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. k k = 1 = 1 Siis keskinormaali kulkee pisteen (4,1) kautta ja sen kulmakerroin on 1. Sijoitetaan pisteen koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 = 1 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 1 = 1( x 4) y = x Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Siis suoran y = x pisteet ovat yhtä kaukana pisteistä A ja B. Vastaus suoran y = x

127 Tekijä Pitkä matematiikka Merkitään risteyksen pistettä y-akselilla P(0, y ). a) Määritetään janojen PA ja PB pituudet. PA = ( 0) + (1 y) = 4 + (1 y) PB = (5 0) + (8 y) = 5 + (8 y) Maantien ja mökkiteiden risteys P on yhtä kaukana kummastakin mökistä. PA = PB 4 + (1 y) = 5 + ( 8 y) Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. y = 6 Siis maantien ja mökkiteiden risteys tulee pisteeseen (0,6).

128 b) Sijoitetaan y = 6 janan PA pituuden lausekkeeseen. PA = 4 + (1 y) = 4 + (1 6) = 9 Koska etäisyydet ovat yhtä pitkät, PB = PA = 9. Lasketaan teiden PA ja PB rakentamisen hinta, kun yhden koordinaatiston yksikön 100m rakentaminen maksaa ( PA + PB ) = 500 ( ) = 7696, Siis molemmat tiet maksavat yhteensä noin Vastaus a) (0,6) b) Tiet maksavat yhteensä noin

129 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran 7x+ 9 y 5 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 7x+ 9 y 5 = 0 9 y = 7x+ 5 y = x+ 5 9 Suoran 7x+ 9 y 5 = 0 sekä sen kanssa yhdensuuntaisen suoran kulmakerroin on. Kysytyn suoran yhtälö on y = x + s. Kysytyn suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0, s).

130 Lasketaan suoran ja x-akselin leikkauspiste (a, 0), sijoittamalla suoran yhtälöön y = 0. 0= a+ s a = s a = s Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alan avulla. A = a s = a s = 4 s s = 4 s = 4 s = 1 s = ± 1 = ± Kysytyn suoran yhtälö on y = x+ tai y = x. Vastaus y = x+ tai y = x

131 Tekijä Pitkä matematiikka a) Annetaan vakiolle a arvoja ja ratkaistaan niitä vastaavat suorat suoraparvista. a ( a + 1) x y 9 = 0 x+ ( a + 1) y+ ( a + 1) = 0 0 s 1 : x y 9= 0 t 1 :x+ = 0 1 s :x y 9= 0 t :x+ y+ 6= 0 s :5x y 9= 0 t : x+ 5y Huomataan, että kaikki suorat kulkevat pisteen (0, ) kautta. Huomataan myös, että jokaista vakion a arvoa vastaavat suoraparvien suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

132 b) Sijoitetaan x = 0 ja y = molempiin suoraparvien yhtälöihin. ( a + 1) x y 9 = 0 ( a + 1) 0 ( ) 9 = 0 0= 0 tosi x+ ( a + 1) y+ ( a + 1) = ( a + 1) ( ) + ( a + 1) = 0 0= 0 tosi Siis kaikki suoraparvien suorat toteuttavat pisteen (0, ) koordinaatit kaikilla vakion a arvoilla. Muokataan suoraparvien yhtälöt ratkaistuun muotoon. ( a + 1) x y 9 = 0 y = ( a + 1) x 9 a y = + 1 x x+ ( a + 1) y+ ( a + 1) = 0 ( a + 1) y = x ( a + 1) : ( a + 1) y = x a + 1

133 Tutkitaan, toteuttavatko suoraparvien kulmakertoimet k a 1 1 = + ja k = a + 1 kohtisuoruusehdon. a kk 1 + a + 1 = 1 1 = 1 0= 0 tosi Siis suoraparvien kulmakertoimet toteuttavat kohtisuoruusehdon, eli suoraparvien suorat ovat kohtisuorassa kaikilla vakion a arvoilla. Vastaus a) Kaikki suorat kulkevat pisteen (0, ) kautta. Jokaisella vakion a arvolla suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

134 Tekijä Pitkä matematiikka Olkoon neljäkkään sivun pituus a ja korkeus y. Sijoitetaan neljäkäs koordinaatistoon niin, että yksi kärki on origossa ja toinen positiivisella x-akselilla. Kuvan merkinnöillä kärkipisteiden koordinaatit ovat A (0,0), Ba (,0), Cx ( + a, y) ja Dxy. (, ) Määritetään lävistäjien AC ja DB kulmakertoimet. Kumpikaan lävistäjistä ei voi olla pystysuora, koska kyseessä on neljäkäs: neljäkkään korkeus y > 0, joten x a ja x + a 0. Siis lävistäjien kulmakertoimet ovat aina olemassa. k k AC DB y 0 y = = x+ a 0 x+ a 0 y y y = = = a x a x x a

135 Tutkitaan lävistäjien kulmakerrointen tuloa kac kdb. k AC y y kdb = x+ a x a y = ( x+ a)( x a) = = x x = 1 y a y ( x + y ) y = y ( a + b)( a b) = a b Pythagoras: a = x + y Siis osoitettiin, että neljäkkään lävistäjien kulmakertoimille pätee kohtisuoruusehto kack DB = 1, joten neljäkkään lävistäjät AC ja DB ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

136 Tekijä Pitkä matematiikka a) Suoran yhtälö 6x+ 8y+ 11 = 0 on yleisessä muodossa, joten ax0 + by0 + c voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 6, b = 8 ja c = 11 sekä pisteen (4,) koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 =. ax0 + by0 + c d = a + b = = = Käytetään laskint a.

137 b) Suoran yhtälö 7x+ 4 y 61 = 0 on yleisessä muodossa, joten ax0 + by0 + c voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 7, b = 4 ja c = 61 sekä pisteen (4,) koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 =. d ax0 + by0 + c = a + b = ( 7) + 4 = 17 5 Käytetään laskinta. Vastaus a) b) 17 5

138 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran y = x+ 1 yhtälö yleiseen muotoon, jotta 4 4 ax0 + by0 + c voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b y = x y = x+ 1 x 4y+ 1= 0 a) Sijoitetaan kertoimet a =, b = 4 ja c = 1 sekä pisteen (1, ) koordinaatit x 0 = 1 ja y 0 = etäisyyden kaavaan. ax0 + by0 + c d = a + b = + ( 4) = 4 5

139 b) Sijoitetaan kertoimet a =, b = 4 ja c = 1 sekä pisteen (, 1) koordinaatit x 0 = ja y 0 = 1 etäisyyden kaavaan. d ax0 + by0 + c = a + b 4 ( 1) + 1 = + ( 4) = 14 5 = 4 5 c) Sijoitetaan kertoimet a =, b = 4 ja c = 1 sekä pisteen (,4) koordinaatit x 0 = ja y 0 = 4 etäisyyden kaavaan. d ax0 + by0 + c = a + b ( ) = + ( 4) = 1 5 = Vastaus a) 4 5 b) 4 5 c) 1 4 5

140 Tekijä Pitkä matematiikka a) Piirretään koordinaatistoon suora x y+ = 0 ja piste P(, 5). Piirretään pisteen P kautta normaali suoralle. Merkitään normaalin ja suoran leikkauspiste. Leikkauspiste on A = ( 1,1). Mitataan pisteiden A ja P välinen etäisyys. Etäisyys on AP = 6,71 6,7

141 b) Piirretään koordinaatistoon suora y = 5x+ 18 ja piste P(, 5). Piirretään pisteen P kautta normaali suoralle. Merkitään normaalin ja suoran leikkauspiste. Leikkauspiste on A = (4,5; 4,5). Mitataan pisteiden A ja P välinen etäisyys. Etäisyys on AP =,55,6

142 Vastaus a) ( 1,1), 6,7 b) (4,5; 4,5),,6

143 Tekijä Pitkä matematiikka a) Suoran 6x 4y+ 7= 0 yhtälö on yleisessä muodossa, joten ax0 + by0 + c voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 6, b = 4 ja c = 7 sekä pisteen ( 6, 9) koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 = 9 kaavaan. ax0 + by0 + c d = a + b 6 ( 6) 4 ( 9) + 7 = 6 + ( 4) = 1) 7 1 = = 7 1 6

144 b) Muokataan suoran y = x yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa y = x x y = 0 d = ax0 + by0 + c. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 1, b = 1 ja c = 0 sekä pisteen ( 6, 9) koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 = 9 kaavaan. ax0 + by0 + c d = a + b 1( 6) 1( 9) + 0 = 1 + ( 1) = = = )

145 c) Muokataan suoran y = yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa y = y + = 0 d = ax0 + by0 + c. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 0, b = 1 ja c = sekä pisteen ( 6, 9) koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 = 9 kaavaan. d ax0 + by0 + c = a + b 0 ( 6) + 1 ( 9) + = = 6 d) x-akselilla y = 0. Tämä suoran yhtälö on yleisessä muodossa, ax0 + by0 + c joten voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 0, b = 1 ja c = 0 sekä pisteen ( 6, 9) koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 = 9 kaavaan. d = = = 9 ax + by + c 0 0 a + b 0 ( 6) + 1 ( 9)

146 Vastaus a) 7 1 = b) = c) 6 d) 9

147 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan pisteiden ( 1, ) ja (4, 5) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k = 5 = 8 4 ( 1) 5 Sijoitetaan kulmakerroin ja pisteen ( 1, ) koordinaatit x 0 = 1 ja y 0 = suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y y0 = k( x x0) y = 8 ( x ( 1)) 5 5 5y 15 = 8x 8 8x+ 5y 7= 0

148 Lasketaan pisteen (7,) etäisyys suorasta 8x+ 5y 7= 0 ax0 + by0 + c etäisyyden kaavalla d =. Sijoitetaan kertoimet a = 8 a + b, b = 5 ja c = 7 sekä pisteen koordinaatit x 0 = 7 ja y 0 =. d = = = = = ax + by + c 89 ) 0 0 a + b Vastaus =

149 Tekijä Pitkä matematiikka Muodostetaan lauseke pisteen (1, 4) etäisyydelle suorasta x+ 4y+ k = 0. d 1 a x0 + b y0 + c k 19 + k = = = a + a Muodostetaan lauseke pisteen (1, 4) etäisyydelle suorasta 1x+ 9 y 11 = 0. d 1 a x0 + b y0 + c = = = 1 a + a ( 1) Etäisyydet ovat yhtä suuret. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. d1 = d 19 + k = k = k = 1 k = 44 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. tai 19 + k = 1 k = 70 Vastaus k = 44 tai k = 70

150 Tekijä Pitkä matematiikka Muodostetaan lauseke pisteen ( b,5) etäisyydelle suorasta x + y 9b = 0. d 1 ax0 + by0 + c b b 5 6b = = = a + b Muodostetaan lauseke pisteen ( b,5) etäisyydelle suorasta x 6y 7= 0. d ax0 + by0 + c b b 7 = = = a + b + ( 6) 10 Etäisyydet ovat yhtä suuret. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. d = d 1 5 6b b 7 Yhtälö voidaan = ratkaista laskimella. 5 6b = b 7 (5 6 b) = (b 7) b = 7 10 tai (5 6 b) = b 7 b = Vastaus b = 7 tai b =

151 Tekijä Pitkä matematiikka Etsityn suoran jokaisen pisteen ( xy, ) etäisyys suorasta 6x y+ 4= 0 on 5. Muodostetaan etäisyyden yhtälö ja sijoitetaan a = 6, b =, c = 4, x0 = x, y0 = y ja d = 5. ax + by + c 0 0 a + b 6x y ( ) = d = 5 Sievennetään suoran yhtälöksi. 6x y+ 4 = x y+ 4 = 15 6x y+ 4 = 15 6x y 11 = 0 tai 6x y+ 4 = 15 6x y+ 19 = 0 Vastaus 6x y 11 = 0 tai 6x y+ 19 = 0

152 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = 7 x y = 7x 4 7x 4 y 4 = 0 Pistejoukon kaikkien pisteiden ( xy, ) etäisyys suorasta 7x 4 y 4 = 0 on 5. Sijoitetaan etäisyyden kaavaan ax0 + by0 + c d = arvot a = 7, b = 4, c = 4, x0 a + b = y sekä d = 5. y0 7x 4 y ( 4) = 5 Ratkaisussa voidaan käyttää laskinta. 7x 4 y 4 5 = 5 5 7x 4 y 4 = 15 = x, 7x 4 y 4 = 15 7x 4 y 149 = 0 tai 7x 4 y 4 = 15 7x 4 y+ 101 = 0 Vastaus 7x 4 y 149 = 0 tai 7x 4 y+ 101 = 0

153 Tekijä Pitkä matematiikka Kulmanpuolittajan jokainen piste ( xy, ) on yhtä kaukana kummastakin suorasta. Muodostetaan lausekkeet pisteen ( xy, ) etäisyyksille annetuista suorista. Etäisyys suorasta x y 1= 0 on d 1 x 1 y 1 x y 1 = = + ( 1) 5 Etäisyys suorasta 4x+ y+ 1= 0 on d 4 x+ y+ 1 4x+ y+ 1 = = Etäisyyksien tulee olla yhtä suuret.

154 Muodostetaan etäisyyksistä yhtälö ja sievennetään se suoran yhtälöksi. d1 = d x y 1 4x+ y+ 1 = x y 1= 4x+ y+ 1 (x y 1) = 4x+ y+ 1 (x y 1) = 4x+ y+ 1 4x y = 4x+ y+ 1 4y = y = 4 tai (x y 1) = (4x+ y+ 1) 4x y = 4x y 1 8x = 1 x = 1 8 Vastaus Kulmanpuolittajat ovat y = ja x =

155 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suorien yhtälöt yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää pisteen etäisyyden kaavaa. y = x+ y = x+ 6 x y+ 6= 0 y = x+ y = x+ 6 x y+ 6= 0 Kulmanpuolittajan jokainen piste ( xy, ) on yhtä kaukana kummastakin suorasta. Muodostetaan lausekkeet pisteen ( xy, ) etäisyydelle suorista. Etäisyys suorasta x y+ 6= 0 on d 1 x y+ 6 x y+ 6 = = + ( ) 1 Etäisyys suorasta x y+ 6= 0 on d x y+ 6 x y+ 6 = = + ( ) 1

156 Etäisyyksien tulee olla yhtä suuret. Muodostetaan etäisyyksistä yhtälö ja sievennetään se suoran yhtälöksi. d = d 1 x y+ 6 x y+ 6 = 1 1 x y+ 6 = x y+ 6 1 x y+ 6= x y+ 6 y = x tai x y+ 6 = (x y+ 6) x y+ 6= x+ y 6 5y = 5x+ 1 y = x+ 1 5 Saatiin kaksi suoraa, joista suoralla y = x on negatiivinen kulmakerroin 1, eli se on laskeva suora. Vastaus y = x

157 Tekijä Pitkä matematiikka Suorat ovat yhdensuuntaiset, jolloin niiden välinen etäisyys on kaikkialla sama. Valitaan suoralta 4x y+ 5= 0 jokin piste sijoittamalla esimerkiksi x = 0 yhtälöön. 4 0 y + 5= 0 y = 5 y = 5 Siis (0, 5) on suoran 4x y+ 5= 0 piste. Lasketaan pisteen (0, 5) etäisyys suorasta 8x 6y+ 5= 0. d = = = 5 = ( 6) Vastaus 1

158 Tekijä Pitkä matematiikka Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = x y = x+ 8 x 4 y+ 8 = 0

159 Merkitään etäisyyttä hakkuuaukean reunalta tielle a. Hakkuaukean keskipisteen A(, 6) etäisyys suorasta x 4 y+ 8 = 0 on a + 5. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan kysytty etäisyys a. 4 ( 6) + 8 a + 5 = + ( 4) a + 5 = 58 5 a = 5 Koordinaatiston yksikkönä on 10 m, joten matka hakkuuaukean reunalta tielle on 10m 66m 5 =. Vastaus 66 m

160 Tekijä Pitkä matematiikka a) Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan ax0 + by0 + c käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b y = x+ 5 x+ y 5= 0 Sijoitetaan etäisyyden kaavaan kertoimet a =, b = 1 ja c = 5 sekä pisteen (,7) koordinaatit x 0 = ja y 0 = 7. ax0 + by0 + c d = a + b ( ) = + 1 = = = = 10 ) Ratkaistaan laskimella.

161 b) Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan ax0 + by0 + c käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b y = 5 x y = 5x 4 5x 1 y 4 = 0 Sijoitetaan kertoimet a = 5, b = 1 ja c = 4 sekä pisteen (,7) koordinaatit x 0 = ja y 0 = 7. d ax0 + by0 + c = a + b 5 ( ) = 5 + ( 1) = = Ratkaistaan laskimella. Vastaus a) = 5 b) 118 ( = 9 1 ) 1 1

162 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan pisteiden (, 1) 5 kulmakerroin. ja (, 1) kautta kulkevan suoran 1 1 k = 5 = 9 10 Sijoitetaan kulmakerroin ja pisteen (, 1) koordinaatit x 0 = ja 5 y 1 0 = suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). 5 y y = k( x x ) 0 0 y 1 = 9 ( x ) y = 9( x ) 10y = 9x 18 9x 10y 16 = 0 Voidaansieventää laskimella.

163 Lasketaan pisteen (16 1, 5) etäisyys tästä suorasta etäisyyden ax0 + by0 + c kaavalla d =. Sijoitetaan kertoimet a = 9, b = 10 a + b ja c = 16 sekä pisteen koordinaatit x 1 0 = 16 ja y 0 = 5 kaavaan. d ax0 + by0 + c = a + b ( 5) 16 = 9 + ( 10) = = 181) = = 11 8 Ratkaistaan laskimella. Vastaus 181

164 195 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään koordinaatistoon suorat 6x+ 1y 8 = 0, y = 17 x 7 8 ja x+ 5y+ 1 = 0 sekä piste P(, ). Piirretään pisteen P kautta normaalit suorille. Merkitään normaalien ja suorien leikkauspisteet. Mitataan leikkauspisteiden A, B ja C, sekä pisteen P väliset etäisyydet. Saadaan PA =,94, PB =,7 ja PC =,9. Lyhin etäisyyksistä on PC =,9. Vastaus,9

165 Tekijä Pitkä matematiikka Suora 8x y 18k = 0 on yleisessä muodossa, joten voidaan ax0 + by0 + c käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 8, b = ja c = 18k sekä pisteen ( 1, 6 k) koordinaatit x 0 = 1 ja y0 = 6k. d = = = = = ax + by + c 0 0 a + b 8 ( 1) ( 6 k) 18k 8 + ( ) k 18k d = = 7 7 = ei riipu vakion k arvosta. Osoitettiin, että pisteen ( 1, 6 k) etäisyys suorasta 8x y 18k 0

166 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran y = 4x+ 5 yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = 4x+ 5 4x y+ 5= 0 Kolmion korkeus h saadaan pisteen (6, ) ja suoran 4x y+ 5= 0 välisenä etäisyytenä. Sijoitetaan etäisyyden kaavaan a = 4, b = 1, c = 5 sekä pisteen koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 =. h = d ax0 + by0 + c = a + b ( ) + 5 = 4 + ( 1) = 17 Nyt voidaan määrittää kolmion pinta-ala. A = 1 ah = = Vastaus 16 17

167 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran y = x+ 6 yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = x+ 6 x y+ 6= 0 Muodostetaan lauseke pisteen ( a,7) etäisyydelle suorasta x y+ 6= 0. a x0 + by0 + c d1 = a = 1, b= 1, c = 6, x0 = a, y0 = 7 a + b 1 a = 1 + ( 1) a 1 =

168 Muodostetaan lauseke pisteen ( a,7) etäisyydelle suorasta x+ y 5= 0. d = = = ax + by + c 0 0 a + b' a a + 9 a =, b=, c = 5, x = a, y = Etäisyydet ovat yhtä suuret. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. (Yhtälön voi ratkaista myös laskimella) d1 = d a 1 a+ 9 = a 1 = a+ 9 ( a 1) = a+ 9 ( a 1) = a+ 9 a = a+ 9 0 = 11 Epätosi tai ( a 1) = (a+ 9) a = a 9 4a = 7 a = 7 4 Vastaus a = 7 4

169 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran 5x 1 y = k yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. 5x 1 y = k 5x 1 y k = 0 Muodostetaan lauseke pisteen (, k ) etäisyydelle suorasta 5x 1 y k = 0. ax0 + by0 + c d = a = 5, b= 1, c = k, x0 =, y0 = k a + b 5 1 k k = 5 + ( 1) 15 1k = 1 Etäisyys on vähintään k k k 5 tai 15 1k 5 1k 7 : ( 1) 1k 67 : ( 1) k 7 1 Vastaus k 7 tai k k 67 1

170 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = x y = 6x 7 6x 14 y 7 = 0 Pistejoukon kaikkien pisteiden ( xy, ) etäisyys suorasta 6x 14 y 7 = 0 on 58. Sijoitetaan etäisyyden kaavaan arvot a = 6, b = 14, c = 7, x0 = x, y0 = y sekä d = 58. ax0 + by0 + c a + b = d 6x 14 y ( 14) = 58 6x 14 y 7 58 = x 14 y 7 = 116 6x 14 y 7 = 116 6x 14 y 1 = 0 tai 6x 14 y 7 = 116 6x 14 y+ 109 = 0 Vastaus 6x 14 y 1 = 0 tai 6x 14 y+ 109 = 0

171 Tekijä Pitkä matematiikka Kulmanpuolittajan jokainen piste ( xy, ) on yhtä kaukana kummastakin suorasta. Muodostetaan lausekkeet pisteen ( xy, ) etäisyyksille suorista. Etäisyys suorasta 6x 4y+ 1= 0 on d 1 6 x 4 y+ 1 6x 4y+ 1 = = 6 + ( 4) 1 Etäisyys suorasta x+ y+ = 0 on d x+ y+ x+ y+ = = + 1

172 Etäisyyksien tulee olla yhtä suuret. Muodostetaan etäisyyksistä yhtälö ja sievennetään se suoran yhtälöksi. d1 = d 6x 4y+ 1 x+ y+ = x 4y+ 1= x+ y+ 6x 4 y+ 1 = (x+ y+ ) 6x 4 y+ 1 = (x+ y+ ) 6x 4y+ 1= 6x+ 4y+ 4 8y = y = 8 tai 6x 4 y+ 1 = (x+ y+ ) 6x 4y+ 1= 6x 4y 4 1x = 5 x = 5 1 Vastaus y = tai x = 5 8 1

173 Tekijä Pitkä matematiikka Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Suoran x+ y 7= 0 piste, joka on lähimpänä pistettä P(1, 4), on suoran ja pisteen P kautta kulkevan normaalin leikkauspiste A. Muokataan suoran x+ y 7= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ y 7= 0 y = x+ 7 y = x+ 7 Siis suoran x+ y 7= 0 kulmakerroin k 1 =.

174 Määritetään suoran x+ y 7= 0 normaalin kulmakerroin k kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. k = 1 k = Normaali kulkee pisteen (1, 4) kautta. Sijoitetaan pisteen koordinaatit x 0 = 1 ja y 0 = 4 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön. y y0 = k( x x0) y ( 4) = ( x 1) y+ 4 = x y = x 11 Ratkaistaan suoran ja normaalin leikkauspiste sijoittamalla normaalin yhtälö suoran yhtälöön. x+ y 7= 0 Sijoitetaan y = x 11. x+ ( x 11) 7 = 0 1 x = 47 1 x = 47 1

175 Ratkaistaan vielä leikkauspisteen y-koordinaatti sijoittamalla x = 47 normaalin yhtälöön. 1 y = x 11 = = 1 1 Siis suoran x+ y 7= 0 piste ( 47, 1 ) on lähimpänä pistettä 1 1 (1, 4). Vastaus ( 47, 1 ) 1 1

176 Tekijä Pitkä matematiikka Merkitään suoran x y = 0 pisteitä ( xy., ) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x y = 0 y = x Suoran pisteet ovat siis muotoa ( x, x ). Määritetään pisteiden (7, 1) ja ( x, x ) välinen etäisyys. d1 = ( x 7) + ( x ( 1)) = ( x 7) + (x+ 1) Määritetään pisteen ( x, x ) etäisyys suorasta x+ y 4 = 0. d 1 x+ x 4 10x 4 = =

177 Etäisyydet ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan pisteen ( x, x ) koordinaatit. d = d 1 10x 4 ( x 7) + (x+ 1) = Ratkaistaan laskimella. 10 x = Ratkaistaan vielä pisteen y-koordinaatti. x = 19 = Siis ( x, x ) = ( 19, 57 ). Tämä suoran x y = 0 piste on yhtä kaukana pisteestä (7, 1) ja suorasta x+ y 4 = 0. Vastaus (, )

178 Tekijä Pitkä matematiikka Muodostetaan Rautatiekadun yhtälö ja etsitään molemmat suorat, jotka ovat puolen kilometrin etäisyydellä Rautatiekadusta. Valitaan näistä suorista se, joka kulkee Rautatiekadun eteläpuolella. Rautatiekadun kulmakerroin saadaan suoran pisteiden (0,0) ja (,) avulla. k 1 = 0 = 0 Rautatiekatua kuvaavan suoran yhtälö on y 0 = ( x 0) y = x y = x x y = 0 Olkoon piste (x, y) etsittävän suoran piste. Tämän pisteen etäisyys suorasta x y = 0 on 1.

179 Muodostetaan yhtälö pisteen etäisyys suorasta -kaavan avulla. x y = 1 ( ) x y = x y = 1 x y = 1 tai x y = 1 y = x+ 1 tai y = x 1 y = x 1 tai y = x Saaduista kahdesta suorasta kulkee Rautatiekadun eteläpuolella se, jonka y-akselin leikkauskohta on alempana. Koska y-akselin leikkauskohta 1 < 1, niin Kauppakatua esittää suora 4 4 y = x 1. 4 Vastaus y = x 1 (eli 6x 4 y 1 = 0 ) 4

180 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään tietä esittävälle suoralle normaali, joka kulkee lammen keskipisteen kautta. Lammen säde on 1,5 = (km). Retkeilijän kulkema matka on kuvan merkinnöillä a + b. Etäisyys a tieltä lammen rantaan saadaan laskemalla lammen keskipisteen etäisyys tiestä ja vähentämällä siitä ympyrän säde 1,5 (km). Matka b on puolet ympyränmuotoisen lammen piiristä. Muokataan tien yhtälö normaalimuotoon. y = 1 x y = x 6 x+ y+ 6= 0

181 Lasketaan lammen keskipisteen (1, ) etäisyys tiestä. d = = = ax + by + c 0 0 a + b ( 1) + Lasketaan retkeilijän kulkema matka s. a = 11 1,5 s = a+ b 10 b = 1 p 1,5 = 11 1,5 + 1 p 1,5 10 = 6, (pituusyksikköä) Muutetaan saatu etäisyys metreiksi. s = 6, m = 6690,89... m 6690 m Vastaus 6690 m

182 Tekijä Pitkä matematiikka Tutkitaan vaakasuoraa suoraa. Ratkaisua voidaan havainnollistaa piirtämällä kuva. Etäisyys pisteeseen ( x0, y 0) vaakasuoralta suoralta on lyhin siitä vaakasuoran pisteestä, jossa x-koordinaatti on x = x0. x-akselin suuntaisen suoran yhtälö on by + c = 0, b 0. by + c = 0 by = c y = c b Kaikilla vaakasuoran suoran pisteillä y-koordinaatti on siis y = c. b

183 Määritetään pisteiden ( xy, ) = ( x0, c ) ja ( x0, y 0) välinen b etäisyys. d = ( x 0 x0) + ( y0 ( c)) = ( y c 0 + ) = y c 0 + b b b Pisteen etäisyys suorasta -kaavalla vastaava etäisyys on d 0 x0 + b y0 + c = 0 + b by0 + c = b by0 + c = b = by0 + c b = by0 + c b b = y c 0 + b. Tulos on sama. Siis pisteen etäisyys suorasta -kaava pätee x-akselin suuntaisille suorille.

184 Tutkitaan pystysuoraa suoraa. Ratkaisua voidaan havainnollistaa piirtämällä kuva. Etäisyys pisteeseen ( x0, y 0) pystysuoralta suoralta on lyhin siitä pystysuoran pisteestä, jossa y-koordinaatti on y = y0. y-akselin suuntaisen suoran yhtälö on ax + c = 0, a 0. ax + c = 0 ax = c x = c a Kaikilla vaakasuoran suoran pisteillä x-koordinaatti on siis x = c. a

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot