1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2, ,95

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95"

Transkriptio

1 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: t 60,0 + Rtkisu: =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää: steet, rdiit j uusisteet. Ku lsket yo.tehtävä, ii tee se esimerkiksi seurvsti: : (t ) Siis käytä sulkeit jkomerki jälkee. Toie mhdollisuus o käyttää lskime muistipikkoj. Huom: Lskimie oppist löytyy ohjeit. Jos ohjekirj ei ole, ii Iteretistä löytyy ohjeit eri lskimille. Esimerkiksi TI-srj lskimille löytyy ohjeit osoitteest Lske lskimell Rtkisu: 4,67,, 48,85 4,67, =,95...,9, 48,85 Huom: Kirjoit lskimee seurvsti: (4.67.) : (.48.85). Ku lskimell lsket, ii välituloksi ei s pyöristää. Pitkissä lskuiss ktt käyttää lskime muistipikkoj. Merkitä trkoitt pyöristämättömiä rvoj. Jos luku,95 trvittisii myöhemmi toisee tehtävää, ii se ktt sijoitt lskime muistipikk. Edellä tulos o ettu kolme umero trkkuudell. Void myös so, että tulos o ilmistu khde desimli trkkuudell. Jos likirvotehtävässä esiityy sekä yhtee-, väheys-, kerto- j jkolskuj, ii yleesä vstus et heikoimm lähtörvo umeroide muk. Edellä luku,48 o ilmistu kolme umero trkkuudell.

2 (9). Lusekkeide sievetämie.. Sieveä lusekkeet: ) x y [ x x y ] b) Rtkisu: 4 b c 6b c { ( ) } ) x { y [ x (x y) ]} = x { y [ x x + y] } = x { y [ x + y] } = x { y + x y} = x x = x b) 4 b c = 6b c c Huom: Lskujärjestys: Suoritettess yhtee-, väheys-, kerto- j jkolskuj edetää vsemmlt oikelle. Esiksi suoritet kerto- j jkolskut j sitte yhtee- j väheyslskut ellei sulkeet toisi määrää. Erityisesti o huomttv, että sulkeit poistettess etumerkit vihtuu: ( b) = + b = b Huom: Luseke o i yhtäsuuri kui joki toie luseke. Se sij esimerkiksi yhtälöitä rtkistess pyritää yhtälö muuttm loogisesti yhtäpitävää muotoo. Lusekett ei s kerto millää luvull! Huom: Klle Väisälä vhss keskikouluu trkoitetuss oppikirjss o pljo si mm. lusekkeide sievetämisestä, yhtälöistä je. Nämä sit läpikäydää ykyää peruskouluss, mmtti-istituuteiss j lukioss. O huomttv, että em. oppikirjss puhut mrkoist j mm. jkokulm o vh.

3 (9).. Sieveä lusekkeet ) 4 b) ( ) + ( ) Rtkisu: ) 4 ( + )( ) = = + Huom: Kvoj: b b b = ( + )( ) ( ± b) = ± b + b Huom: Vi tulomuodoist void supist. Esimerkiksi lusekkeest supist mitää. Vert esimerkiksi = 6 + b ei void b) ( ) + ( ) = 8 ( 6 ) + ( ) 8 = = 6 Huom: Potessikvoj o trkllee 5: ) (b) = b ) = b b ) m = m 4) m m + = 5) ( m) = m Näissä o mikä ths kokoisluku eli Z = 0, ±, ±,... }. Negtiivie potessi määritellää seurvsti =, 0. { Potessi 0 0 ei voi määritellä. Kvt ) 5) pätevät myös kikille reliluvuille, mikäli kvoje molemmt puolet ovt määritellyt j lisäksi ktluvut ovt positiivisi. Jos kvoiss ekspoetit ovt murtolukuj, ii sd juurille vstvt kvt. Neliöjuuri määritellää potessi, mikäli > 0.

4 (9) Murtopotessi määritellää vi, jos ktluku o positiivie. Se sij juuret määritellää seurvsti: x =,x 0, jos o prillie = x x =, jos o prito Juuri void muutt murtopotessiksi: = Esimerkiksi kv s muodo b = b.. Sieveä luseke 4 xy x y (x, y > 0) x ( y ) Rtkisu: xy 4 y x y = = xy x x x y x y x Huom: Neliöjuure sisältä void poist termejä, mikäli sd tulotekijäksi potessi. Esimerkiksi o seurv: 8 = =. Termejä ei voi poist mite sttuu. Mm. ik yleie virhe + b = + b Joki kv voi osoitt vääräksi yhdellä vstesimerkillä: + + =, sillä vsepuoli o + = 5, 4 j oikepuoli o.

5 (9). Yhtälöt j yhtälöryhmät.. Rtkise yhtälö 5( x ) 5 = x +. Rtkisu: 5(x - ) - 5 = x + 5 x -0-5 = x + 5 x -5 = x + 5x - x = x = 8 x = 8/4 = 4 Huom: Merkki trkoitt, että esim. edellie yhtälö o loogisesti yhtäpitävä jälkimmäise yhtälö kss. Luet silloi j vi silloi ku ti jos j vi jos... Rtkise yhtälöt ) Rtkisu: ) x = 0x b) t + = x = 0x x 0x = 0 x(x 0) = 0 x = 0 (x 0) = 0 x c) 0 = 000 x = 0 x = 0 b) c) ( ) t t t + = t + = + = = = 0 x = x = 0 x = x = Huom: Tulo b = 0 = 0 b = 0. Merkki o ti, mikä mtemtiikss o s. molemmt vihtoehdot hyväksyvä ti. S j mtemtiikss usei korvt merkillä. Huom: )- kohd yhtälöä ei kt rtkist toise stee yhtälö rtkisukvll: b b ± 4c x + bx + c = 0 x =

6 (9) Tässä tieteki oletet, että 0. O kuiteki huomttv, että jos esimerkiksi x(x + ) =, ii ei pidä pikks, että x = ti x + =. Tällie yhtälö o rtkistv em. kvll: ± 4 4 ( ) ± 6 ± 4 x(x + ) = x + x = 0 x = = = eli yhtälöllä o rtkisu x = ti x = -. O muistettv myös, että esimerkiksi 4 =, mutt yhtälöllä x = 4 o kksi rtkisu x = ± 4 = ±. Huom: Yhtälö korottmie toisee potessi o luvllist( eli loogisesti yhtäpitävää) vi j iost silloi, ku molemmt puolet ovt ei egtiivisi. Huom4: Jos yhtälö o verrtomuotoie, ii sitä o helppo käsitellä. Oletet, että,b,c,d > 0. c = d = bc b d Verrolle void tehdä moelisi opertioit. Edellä o iistä keties tärkei eli ristiikertomie... Rtkise seurvist kvoist sulkeiss miittu kirji. Oletet, että kikki kirjimet ovt positiivisi. ) U R = ( I =?) b) I + b A = h (h =?) c) L T = π (g =?) g h d) V = ( A + 4Q + B) (A =?) e) s gt 6 = (t =?) f) E R + = r (r =?). e r Kohdss f oletet, että E e Rtkisu: ) U R = RI = U I = I U R b) + b A A = h A = ( + b)h ( + b)h = A h = + b

7 (9) c) L L 4 π L T = π ( ) T = 4π gt = 4π L g = g g T h 6V 6V V = A + 4Q + B 6V = h A + 4Q + B A + 4Q + B A = 4Q B 6 h h d) ( ) ( ) e) s s s s = gt s = gt t = t = ±, t > 0 t = g g g E R + r Re = Er = e R + r = er + er Er er = Re E e r = Re r = e r E e f) ( ) ( ).4. Rtkise yhtälöpri 5x y = 8 x + 4 y = 4 Rtkisu: 5x y = 8 + x + 4y = 4 x = x = 5x y = 8 + x + 4y = 4 ( 5) 8 4 y = 8 y = = Vstus: x = 4 y = Huom: Edellä o käytetty molemmille tutemttomille yhteelskukeio. Toie tp o sijoituskeio: Rtkist esimerkiksi jälkimmäisestä yhtälöstä x j sijoitet se esimmäisee yhtälöö: 8 4 x = 4 4y 5( 4 4y) y = 8 0 0y y = 8 y = 8 y = =, jolloi x = 4 4y = 4 4 = 4 + = =.5. Pullo j korkki mksvt yhteesä 5. Pullo mks 0 eemmä kui korkki.pljoko mks korkki? Rtkisu: Olkoo korki hit x, jolloi pullo hit o 0 + x. Siis x x = 5, jote x = 5 eli x =,5. Siis korki hit o,5.

8 (9) Huom: Tämä tehtävä o peräisi kuuluisst Klle Väisälä Algebr oppi-j esimerkkikirjst I. Aiost mrkt o muutettu euroiksi..6. Atti o 7 vuott vhempi kui Alis. Kuik vh o Alis, ku khde vuode kuluttu Atti o kksi kert, ii vh kui Alis? Rtkisu: Olkoo Alis ikä x, jolloi Ati ikä o x + 7. Khde vuode kuluttu Alis ikä o x + j Ati x + 9, jolloi sd yhtälö x + 9 =(x + ) eli x + 9 = x + 4. Rtkisemll yhtälö sd x = 5. Siis Alis o 5 vuotis..7. Klevi si meä isäsä kuorm-utoss sillä ehdoll, että olisi koto,5 tui kuluttu. Hä otti polkupyörä muks uto lvlle. Mite pitkä mtk hä si oll kuorm-utoss, jos uto keskiopeus oli 60 km/h j polkupyörä km/h? s Rtkisu: Merkitää Klevi kuorm-utoss kulkem mtk kirjimell s. Kosk v =, t s s s ii t =. Kuorm-utoll j polkupyörällä kuljettu ik o + =,5, missä s: ltu o v 60 km. Nimittäjie piei yhteie jettv eli pyj o 60. Kerrot yhtälö luvull 60, jolloi 60,5 sd s + 5s = 60,5 6s = 60,5 s = = 5. Siis vstus o 5 km Letokoee opeus oli vsttuulee 00 km/h j myötätuulee 400 km/h. Kuik suuri oli tuule opeus? Rtkisu: Olkoo letokoee opeus x j tuule y. Silloi sd yhtälöpri x + y = 400 x y = 00 Vähetämällä ylemmästä yhtälöstä lempi sd y = 00, jolloi y = 50. Siis tuule opeus o 50 km/h..9. Millä p: j q: rvoill yhtälö t + pt + q = 0 juuret ovt 0 j -40? Rtkisu: Sijoitet luvut 0 j 40 t: piklle, jolloi sd yhtälöpri 0 + 0p + q = p + q = 0 ( 40) 40p + q = p + q = 0 Vähetämällä ylemmästä yhtälöstä lempi sd

9 (9) p = 0 p = 0 Sijoittmll p esimmäisee yhtälöö sd q = 0 q = = Prosetti Prosetti o sdsos j promille o tuhesos. 4.. Lske ) Tuottee hit o 480. Jos ostj s 5 % leukse, ii mikä o hit? 5 Rtkisu: 480 = 0, = p Huom.. Yleisesti p % luvust o p sdsos luvust eli. Yleesä ktt 00 käyttää prosettikerroit. Esimerkiksi 5% = 5 = 0,5. 00 b) Motko luku 0 o suurempi kui luku 0? Motko % prosetti luku 0 o pieempi kui luku 0? Rtkisu: % = 00%. Siis 0 o 00 % suurempi kui % = 50%. Siis 0 o 50 % pieempi kui 0. 0 b Huom: Yleisesti, jos > b, ii 00 ilmoitt kuik mot prosetti o suurempi b b kui b j 00 ilmoitt kuik mot prosetti b o pieempi kui. c) Mikä luku o 0 % suurempi kui luku 5? 0 Rtkisu: Olkoo kysytty luku x. Tällöi x = = 6. Prosettikerroit käyttäe 00 sd vstus helpommi: x =, 5 = 6.

10 (9) 4.. Auto mtkmittri äyttää 6 prosetti liik. Mikä o mittri lukem 85 km vstv todellie mtk? Rtkisu: Olkoo x todellie mtk. Silloi 85, 06x = 85 x = = 768,8 769,06 Siis todellie mtk o oi 769 km. 4.. Erää tuottee hit ousee khte peräkkäiseä vuote 5 % j 0 %. Pljoko hit ousee äide khde vuode ik? Rtkisu: Olkoo tuottee lkuperäie hit x. Khde vuode ik hit ousee,05,0 x =,65x,7x. Hit ousee oi 7 %. Huom: Helposti jtell, että hit ousee 5 %. Mikä o vääri! 4.4. Oletet, että huoee lämpötil pieetämie yhdellä steell lskee lämmityskustuksi 5 %. Kuik pljo kuude stee lskemie let äitä kustuksi? Rtkisu: Olkoo lämmityskustukset ee lämpötil letmist H. Yhde stee lämpötil lsku jälkee kustukset ovt 0,95H j kuude stee letmise jälkee Kustukset leevt (00 74) % =6 %. 5. Geometri j trigoometri 0, 95 6 H = 0, 75...H 0,74H 5.. Kuik mot kuutiometriä lut o poistettv, ku hlut tehdä ympyrärek muotoie luistelulue järve jäälle? Ympyrärek sisählkisij d o 750 metriä j leveys s o 5 metriä. Oletet, että mere jää o tsie j sitä peittää koko lueell 0,50 metri korkuie lumikerros. s d

11 (9) Rtkisu: Ympyrärek pit-l o π (d + s) πd A = =, m, 4 4 jolloi lume määrä V = Ah, missä h = 0,50 m. Siis V =, m,8 0 4 m πd Huom: Ympyrä pit-l sd kvoill A = = π r, missä d o ympyrä hlkisij 4 j r o ympyrä säde. Suor ympyrälieriö ti syliteri tilvuus V = Ah, missä A o pohj pit-l j h o korkeus. 5.. Kuik suuri o kulm α oltv, jott ympyräsektori l olisi 9,5 cm? Säde r = 0,0 cm. Rtkisu: α A 60 9,5 60 A = πr α = = =,6,4. 60 πr π 0, Lske oheise suorkulmise kolmio l, jos kteettie AC j AB suhde = :. Hypoteuus BC = 5,0 m. Rtkisu: Olkoo x o kteeti AC pituus, jolloi kteeti AB pituus o x. Pythgor lusee ojll o x + ( x) = 5 x + 4x = 65 5x = 65 x = 5.

12 (9) Siis x = 5 =, Tällöi kteeti AB pituus x = 5 =,06..., jolloi pitl o A = x x = x = ( 5) = 5. Siis vstukseksi sd 5m. Huom: Yleesä ktt meetellä, ii että yksikköjä eli edellise esimerki tpuksess metriä m ei litet lskuu. Toislt yksikköje käyttö lskuiss o siiä mielessä järkevää, että vstuksest ähdää oike yksikkö. Huom: Suorkulmisess kolmioss o voimss Pythgor luse: c = + b. Edellee trigoometriset fuktiot (teräville kulmille) määritellää seurvsti: b b si α =, cos α =, t α =, cot α = c c b Siis kulm olless välillä 0 α 90 huomt, että esimerkiksi 0 si α j 0 cosα. Trigoometrisi fuktioit käyttäe edellie esimerkki void lske toisi: t α = α = 6, Kosk α + β = 90, ii β = 90 α = 6,44... Jälkimmäise kulm rvo ei itse siss trvit: = si α = c si α c b = cos α b = c cos α c

13 (9) Kolmio pit-l o A = b = c si αcosα = 5 Sd sm vstus: Pit-l o 5m. Huom: Merkitä si α trkoitt si(α). Smoi tulo b trkoitt sitä, että lukuje j b kertolsku o suoritettu: b = b. Erityisesti esimerkiksi si α si α. Erityisesti lskime kss pitää oll trkk mm. kulmyksikköje suhtee. Ellei mitää yksikköä ole miittu, ii silloi trkoitet bsoluuttist kulmyksikköä eli rdii. Absoluuttie kulmyksikkö o lduto luku: Absoluuttisiss kulmyksiköissä kulm α määritellää site, että piirretää r säteie b ympyrä kri, jolloi α =. Käsite o hyvi määritelty, sillä kikki ympyrä sektorit, r joille kulm α o vkio ovt yhdemuotoiset. Jos α o täysi kulm eli steiss seksgesimlijärjestelmä muk 60 stett, ii rdieiss 60 stett o π r = π (rd). r 5.4. Tssivuise kolmio piiri pituus o 8 cm. Lske se korkeus. Rtkisu: Tssivuisess kolmioss kikki sivut ovt yhtäsuuri, jolloi myös kikki kulmt ovt yhtäsuuri eli 60 stett. Merkitää sivu pituutt kirjimell s, jolloi s = 8 eli s = 6. Kolmio huippupisteestä piirretty korkeusj puolitt ktsivu

14 (9) Pythgor lusee perusteell Tämä perusteell Siis korkeus o 5, cm. s s 4s s s s h = s = s = = = s 6 h = = = = 5, , Huom: Lisää tieto mm. kolmioist löytyy sivult: Erää järve pit-l o 500 eliökilometriä. Kuik suuri se o krtll, jok mittkv o :00 000? A vstus kolme umero trkkuudell eliösettimetreiä. Rtkisu: Yhdemuotoisiss kuvioiss vstijt ovt verrolliset. Jos mittkv o k, ii vstijoje suhde = k j vstipit loje suhde o mittkv eliö. Olkoo järvepit-l A luooss j K krtll. Merkitää mittkv kirjimell k. Tällöi A A = k K =, km, 75cm K = = 5.6. Pyrmidi vipp muodostuu eljästä tssivuisest kolmiost. Lske pyrmidi tilvuus, ku kolmio sivut ovt 50,0 cm. Rtkisu: Olkoo särmä pituus. Tällöi pohj pit-l o A = j pohjeliö lävistäjä d =. Edellee pyrmidi korkeus h = (d / ) = / = Pyrmidi tilvuus o V = Ah = = = 946,7cm 9500cm = 9,500dm....

15 (9) Vstus : Tilvuus o oi 9,5 kuutiodesimetriä. 6. Alyyttie tsogeometri 6.. Lske suorie x + y = j 4x y = 5 leikkuspistee koordittie trkt rvot. Piirrä myös molempie suorie kuvj xy-koorditistoo. Rtkisu: x = x + y = 7x = 7 + 4x y = 5 y = x 9 y = = 7 7 Kuvjt: Esimmäie yhtälö void stt muotoo y = -x j toie y = 4x 5: suor( x) suor( x) x Huom: Edellisessä kuvss suor(x) = -x j suor(x) = 4x 5. Kuvj o piirretty ohjelmistoll MthCd, mutt suorie kuvjt pitää ost piirtää käsi. Ao.likissä o joitki esimerkkejä, jotk o tehty em. ohjelmistoll: Huom: Jos suor o ettu muodoss y = kx + b, ii k o suor kulmkerroi j suor leikk y kseli pisteessä (0,b). Huom: Jos suor kulkee xy-tsoss pisteide (x, y) j (x,y) kutt, ii suor yhtälö sd i muotoo

16 (9) y y y y = (x x), mikäli x x. x x 6.. Määritä prbeli y = y(t) = t t + j suor t + y = 0 leikkuspisteide koordittie trkt rvot. Piirrä myös kuvjt. Rtkisu: Rtkist suor yhtälöstä y t: vull j sijoitet se prbeli yhtälöö. Kosk y = -t +, ii t + = t t + t t = 0 t t = 0 t = 0 t = ( ) Siis t = 0 j t =. Sijoittmll ämä suor yhtälöö sd y = j y =. Leikkuspisteet ovt (0,) j (,). Kuvjt: 0 8 prbeli( t) suor( t) 6 4 Huom: Prbeli 0 t y = y(t) = t t + huippu sd esim. eliöksi täydetämällä: y = y(t) = t t + = t + y = t ( ) ( ) Tästä ähdää, että huipu koorditit ovt (,). Lisäksi prbeli kseli o pystykseli suutie j prbeli uke ylöspäi. Yleisesti prbeli y = x + bx + c kseli o pystykseli suutie. Huippu sd eliöksi täydetämällä. Jos > 0, ii prbeli uke ylöspäi. Jos < 0, ii suut o lspäi. 6.. Määritellää fuktio ku 0 < x < f (x) = 0 muulloi

17 (9) vull fuktio g(x) = f (x ) Lske g() j g(0, ). Piirrä lisäksi fuktio g(x) kuvj välillä 0 x 5. Rtkisu: Fuktio g(x) s rvo trkllee silloi ku o voimss: 0 < x < < x <. Muulloi rvo o 0. Siis g() = 0 j g(0, ) =. Kuvj: g( x) x 7. Loogie päättely 7.. ) Määritä lukujoo puuttuvt luvut:,,, 5, 8,,?,? b) Mikä o lukujoo,, 4, 8, kymmees jäse? c) Oletet, että lukujooss khde perättäise jäsee erotus o d. Mikä o joo, +d, + d,.. sds jäse? Rtkisu: ) Jooss jäse o khde edellise jäsee summ. Siis? = 8 + = j? = + = 4. Huom: Kyseessä o Fibocci lukujoo. Aiheest lisää löytyy mm. o.likistä:

18 (9) b) Esimmäie jäse o 0, toie Huom:Ktt tutki o. likkiä: c) Sds jäse o +99d. 7.. Rtkise Sudoku je. Siis kymmees jäse o 9 = Huom: Sudoku: Trkoitukse o täyttää ruudut umeroill -9 ii että jokisell pysty- j vkrivillä esiityy kuki umero kerr. Lisäksi jokisess x-tulokoiss täytyy oll umerot -9 kerr. Huom: Sudoku-peleihi j muihi vstvii löytyy ohjeit Iteretistä:

19 (9) 7. Mikä ll olevist kuvioist ei kuulu joukkoo? Rtkisu: C ei kuulu joukkoo. Miksi? A B C D E Huom: Erilisi testejä löytyy mm. Mes sivuilt.

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan. 2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot . Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli,

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET

Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET Lujuusopi jtkokussi III. III. LAATTARAKENTEET Lttketeet tti Lähteemäki Lujuusopi jtkokussi III. JOHDANTO Tsopitketee kuomitus void jk keskipi suutisee j sitä vst kohtisuo kuomituksee eli lev- j lttkuomituksee.

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro Ehdot 3. Mksu suoritet se m vluutss, mistä objektiivi o ostettu. Mksu suoritet 4 viiko kuluess cshbck-dokumettie spumisest. 4. Objektiivi tulee oll Focus Nordici mhtuom j se tulee oll ostettu virllise

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset.

205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset. Lisätetäviä Peruskäsitteitä 0. ) Kulm on smnkotinen kulmn knss, joten kosk s j l ovt ydensuuntiset, on. b on :n ristikulm, joten myös b. b) b on smnkotinen kulmn 0 knss j kosk s j l ovt ydensuuntiset,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

1.1A 1.2A 1.4A 1.3A = + = + = + = = = ) = + 1 = = ) 2) = = =

1.1A 1.2A 1.4A 1.3A = + = + = + = = = ) = + 1 = = ) 2) = = = .A.A ) b) c) 8 8 + + 6 6 ) ) + + + : + 6 6 ) 6) + + 6 6 6 ) 9 8 8 9 + + 7 7 ) ) 7 8 9 8 9 + + 7 + 6 9 + 6 ) b) : + 6 ) ) ) + + 6 + + 6 ) 7 : ) ) 7 : 9 6 7 : 7 7 : ( 7) 7 ( 7).A.A ) + + + + + + 9 6 + +

Lisätiedot

Menetelmiä formuloinnin parantamiseen

Menetelmiä formuloinnin parantamiseen Meetelmiä formuloii prtmisee Mikko Korpel Dimitris Bertsims & Robert Weismtel, 2005, Optimiztio over Itegers, ch 2.-2.5 S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri-

Lisätiedot