4 Pinta-alasovelluksia

Transkriptio

1 Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion f kuvj. Tämä kuvj on välillä [, 5] -kselin yläpuolell. Lsketn tämän lueen pint-l. Rtkistn funktion f nollkohdt. 65 ti ( )d ( 6 5)d A f 5 /( 5 ) ( ) (( ) ( 5 )) Vstus: Pint-l on.

2 . Lsketn ensin nollkohdt, jott sdn selville rjt eli integrointirjt. ( ) ti ti ti Pint-l muodostuu khdest eri lueest, joist toinen on -kselin yläpuolell j toinen lpuolell. Yläpuolell olevn lueen pintl A voidn lske suorn määrättynä integrlin. ( )d /( A ) 5 ( ) ( ( ) ( ) ( ))

3 -kselin lpuolell olevn lueen pint-ln A lskemiseksi peiltn lue -kselin yläpuolelle. Peilttu kuvj vstv funktio on f ( ) ( ). ( ) ( )d A ( )d /( ) ( ) ( ) Kysytty pint-l on siis A A.

4 . Funktion kuvjn rjmn lueen pint-l YDINTEHTÄVÄT. ) f() = Nollkohdt: Kosk f() välillä [, ], pint-l on f ( )d. A ( )d ( ) ( ) ( ) / b) f() = Nollkohdt: ( ) ti Välillä [, ] on f(), joten pint-l on f ( )d. A ( )d ( ) / ( 6 ) ( )

5 . f() =. Nollkohdt = ( ) = = ti = = ± Välillä on f() j välillä on f(). Pint-l on f ( )d ( f ( )d ). A ( )d ( ( )d ) /( ) ( ) / ( ( )) (( ) )

6 . ) Funktion f() = 5 nollkohdt. 5 ( ) ( ) ( 5) ti 6 Kuvj on ylöspäin ukev prbeli. Prbelin huippu on nollkohtien puolivälissä, eli kohdss =. Tässä kohdss funktio s rvon f() = 5 = 9. Kuvjll on pisteet (, ), (, 9) j (5, ). b) Kosk f(), kun, lueen pint-l on ( 5)d /( 5 ) (( 5) ) 5 6 Pint-l on 6.

7 . ) Funktion f() = sin kuvj. b) / sin d ( cos )d cos( ) ( cos) ( ) c) Nollkohdt: sin n ti n eli yhdistettynä n. Välillä ], [ on nollkoht =. Välillä [, ] sin j välillä [, ] sin. Pint-l välillä [, ] on A sin d ( sin d ) / / ( cos )d ( cos )d ( cos ( cos)) ( cos ( cos)) Pint-l on.

8 5. Funktion f() = cos kuvj j rjoittm lue välillä [, ]. Kosk cos suurin rvo on, on luseke cos in negtiivinen. Alueen pint-l on A (cos )d (sin ) ((sin ) (sin)) (( 6) ) 6 6. f() = + Nollkohdt: ( ) ti, ti Välillä [, ] on f(), joten pint-l on / f ( )d. A 8 ( )d / ( ) 6 ( 8) Välillä [, ] on f(), joten pint-l on f ( )d. A 5 ( )d / ( ) Koko pint-l on

9 7. Suor + y 8 = on rtkistuss muodoss y = + 8. Prbeli y =. Piirretään kuv. Alue koostuu prbelin j -kselin väliin jäävästä osst A sekä suorn j -kselin väliin jäävästä osst A. Määritetään lueen rjt leikkuskohdist. Prbelin j -kselin leikkuskoht: =, kun =. Suorn j prbelin leikkuskoht: + 8 = + 8 = ( ) ( ) 8 6 ( ) j Näistä ensimmäisessä neljänneksessä on =. Suorn j -kselin leikkuskoht: + 8 = =. Alueen A pint-l: A 8 d/. Alueen A pint-l: A ( 8)d ( 8 ) 8 ( 8) 6. Koko pint-l on 8 6. /

10 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 8. A = A = 5 A = ) b) c) f ( )d A f ( )d A f ( )d A A d) funktion f integrlifunktion F rvojen muutos välillä [, ] on F() F() f ( )d A e) funktion f rvojen muutos välillä [, ] on f() f() = =.

11 9. ) f() = e -kselin leikkuskoht: e e ln. Kuvj on -kselin lpuolell. Alueen pint-l: ln ln A ( e )d ( e ) ln (( e ln ) ( e )) ( ln ) ln / b) f( ) -kselin leikkuskoht: j. Kuvj on -kselin lpuolell. Alueen pint-l on A ( )d / (ln ) (ln (ln)) (ln ) ln

12 . Piirretään kuv. Kuvjien leikkuspiste sdn yhtälöstä. Määrittelyehto: eli j + eli. Kun ehdot yhdistetään, sdn. (), ti Näistä määrittelyehdon täyttää vin =. Alueen A lrj on suorn y = + j -kselin leikkuskoht = j ylärj käyrien leikkuskoht =. / A ( )d ( ) ( 99) Alueen A lrj on = j ylärj käyrän y j -kselin leikkuskoht =. A d ( ) d ( ) ( ) 6 Koko pint-l on A + A = + 6 = 7. /

13 . Piirretään kuv Pint-l koostuu khdest lueest. Käyrien leikkuspisteeseen sti luett rj suor y j leikkuskohdst eteenpäin käyrä y 8. Alueen rjt sdn käyrien leikkuskohdst j käyrien j -kselin leikkuskohdst. -kselin leikkuskohdt: 8 j 8 8. Käyrien leikkuspisteen -koordintti: 8 ( ), j 8 8 ti 8. Näistä määrittelyehdon täyttää =. d / 8 8 A A 6 8d / (8 ) ( (8) ) Koko lueen pint-l on

14 . Pint-l koostuu khdest lueest. Kohdst = käyrien leikkuspisteeseen sti luett rj käyrä y = e j leikkuskohdst kohtn = käyrä y = e. Leikkuskoht: e = e = = = d / A e e e e e A e d / e ( e e ) e e Koko lueen pint-l on A A. e e e. Suorkulmion pint-l on =. Pitää osoitt, että käyrän y = cos j -kselin väliin jäävän lueen pint-l suorkulmion sisällä on. Määritetään käyrän y = cos nollkohdt: cos n : n Nollkohdist välillä [, ] ovt Pint-l on: j. / A cos d sin (sin sin( )) ().

15 . Funktion tulee oll sellinen, että välillä [, ] sen rjmt -kselin ylä- j lpuolelle jäävät pint-lt ovt yhtä suuret (jott f ( )d ) j pint-lltn (jott pint-l olisi ). Tällinen on esimerkiksi f() = + ti f() =. 5. Koko lueen pint-l on cos d sin sin / sin. Puolet pint-lst, eli välillä [, c] olev pint-l on. ) c,5 b) c cos d c sin / sin c sin sin c c n ti c n 6 6 c n ti c 5 n 6 6 Rtkisuist välillä [, ] on vin,56 6.

16 6. ) y = ( ),5 ti,5 b) y = ( ) Prbeli voi oll ylös- ti lspäin ukev, riippuen prmetrin rvost. Jos >, prbeli on ylöspäin ukev j kysytty lue on - kselin lpuolell. Jos <, lue on -kselin yläpuolell. Kuvjn j -kseli leikkuskohdt: = ( ) = = = =. Jos >, prbelin j -kselin väliin jäävä lue on -kselin lpuolell. Pint-l on tällöin: A ( )d ( ) ( ) /. Alueen pint-ln on oltv. Rtkistn. :

17 Jos <, lue on -kselin yläpuolell. Pint l on tällöin: A ( )d ( ) ( ) ( ) /. Rtkistn. :( ). Prmetrin tulee oll ti. 7. ) Suorkulmion pint-l on A = =. Käyrän y = lle jäävä pint-l välillä [, ] on A d ( ) /. Käyrän yläpuolelle jäävän lueen pint-l on A AA. Pint-lojen suhde on A :. A b) Suorkulmion pint-l on A = = Käyrän y = lle jäävä pint-l välillä [, ] on A d / ( ) Käyrän yläpuolelle jäävän lueen pint-l on A AA. Pint-lojen suhde on A :. A

18 8. A pohj Vlli on muodoltn lieriö, jonk pohj on prbelin muotoinen. Lieriön tilvuus lsketn V = A pohj h, missä h on pohj vstn kohtisuor korkeus. Asetetn prbeli koordintistoon, joss yhden ruudun leveys on m. Prbelin nollkohdt ovt = j =, jott leveys olisi 6 m j prbelin huippu on pisteessä (, ), jott korkeus olisi m. Määritetään prbelin yhtälö nollkohtien vull. y = ( )( + ) Piste (, ) toteutt prbelin yhtälön: = ( )( + ) = Prbelin yhtälö: y ( )( ) y. h Lsketn prbelin j -kselin väliin jäävä pint-l välillä [, ]. A ( )d ( ) / 9 ( ) ( ( ) ( )) 9 9 ( 9) ( 9)

19 Vllin poikkileikkuksen pint-l on m j tilvuus m 55 m = 66 m.

20 9. Piirretään kuv. Määritetään pisteiden P j Q -koordintit. P on kuvjien leikkuspiste. sin sin n ti n n 5 n n n 5 5 Rtkisuist välillä ovt = j = 5. Q on kuvjn y = sin j -kselin leikkuspiste. sin n n Välillä on =. Välillä [, ] lue on kuvjn y = sin j -kselin väliin jäävä lue j 5 välillä [, ], kuvjn y = sin j -kselin väliin jäävä lue. 5

21 Pint-l: 5 5 A (sin )d ( cos ) cos / cos A (sin )d / ( cos ) cos( ) cos( ) ( ) ) ) A A A Pint-l on Funktion kuvj on nyt prbeli y-kselin suhteen. Rtkistn prbelin j y-kselin leikkuspisteet. y y y y ti y ( ) Kosk prbeli on y-kselin vsemmll puolell, missä :n rvot ovt negtiivisi, sd pint-l integrlist A ( y y)d y/ ( y y y) (( ) ( ( ) ( ) ( ))) 9. Pint-l on.

22 . Kosk kysytty pint-l on käyrän j y-kselin väliin jäävä lue, rtkistn yhtälö muuttujn y suhteen. y y Kysytty pint-l on: y dy / y. Pint-l on. Huomutus: pint-l voidn lske myös vähentämällä suorkulmion pint-lst ( 8 = 6) käyrän y lle välillä [, 8] jäävä pint-l.. Käyrät rjvt -kselin knss lueen, jonk pint-l lsketn khdess osss. Määritetään kummnkin käyrän j -kselin leikkuskoht Käyrien leikkuskoht: 6 ( ), määrittelyehto ( j) Toteutt määrittelyehdon.

23 Käyrien j -kselin rjmn lueen pint-l: A 6 d / 6 6 A 6 d (6 ) d 6 (6 ) 6 / A A. 9 9 Käyrien j y-kselin rjm pint-l: TAPA: Rtkistn käyrän y 6 j - kselin väliin jäävä pint-l A välillä [, 6 ] j vähennetään -kohdss stu pint-l tästä. 6 6 A 8 6 d / (6 ) A

24 TAPA: Lsketn pint-l integroimll y-kselin suhteen. Rtkistn kuvjien yhtälöt muuttujn suhteen. y 6 y y 6 y j 6 y y 6 y Kuvjien j y-kselin leikkuskohdt y 6 y j y 6 y y Kuvjien leikkuspisteen -koordintti on =, joten y-koordintti on y A 8 y dy / y A 6 6 ( y )d y ( ) / y y ( ) ( ) Käyrien j y-kselin rjm pint-l on A 8 6 A Molempien lueiden pint-l on 9 9

25 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT. Kirjoitetn funktio f() = ploittin määriteltynä. = = ( ), kun, kun ( ( )), kun, kun Määritetään funktion nollkoht: = = Pint-l välillä [, ]: / A ()d ( )d Pint-l välillä [, ]: A ( )d ( ) /. 6 Pint-l välillä [, ]: / 5 A ( )d ( ). Kysytyn lueen pint-l on ) )

26 . f() = ln, kun. Pint-l on A ln d. Logritmifunktiolle ei ole esitetty tässä kurssiss integrointisääntöä. Alueen pint-l voidn määrittää funktion kuvjn j y-kselin väliin jäävän pint-ln vull. Rtkistn kuvjn yhtälö muuttujn suhteen. y = ln = e y Kun =, y = ln = j kun =, y = ln. Määritetään pint-l: ln d ln / ln. A e e e e Kun lueet yhdistetään, syntyy suorkulmio, jonk sivut ovt pituudeltn ln j. Suorkulmion pint-l on ln. Vähennetään suorkulmion pint-lst äsken stu pint-l A, niin sdn kysytty pint-l A = ln.

27 5. ) Origokeskisen yksikköympyrän os. Käyrän yhtälö y voidn kirjoitt muotoon y = eli + y =, missä y. Tämä on origokeskinen ympyrän, jonk säde on. b) d on yksikköympyrän neljänneksen pint-l. A. c) Rtkistn y ellipsin yhtälöstä. y y y y Vlitn os, joss y : y. Ellipsin neljänneksen pint-l on A d d d. ) koht Koko ellipsin pint-l on. )

28 d) Rtkistn y ellipsin yhtälöstä. y b y b b y b ( ) ( ) b b y ( ) Vlitn os, joss y : b y. Ellipsin neljänneksen pint-l on A b d b d. Kosk y on origokeskeisen -säteisen ympyrän -kselin yläpuolisen osn yhtälö, on neljänneksen pint-l Tällöin. b b b A d. -säteisen ympyrän Koko ellipsin pint-l on b b.

29 6. Piirretään kuv. Rtkistn suorn y = j käyrän leikkuskohdt: ( e e ) e e e e e e e e ( e ) e Tehdään sijoitus e = t. t t 6 t e ti e ln( ) ti ln( ) A (ln( ), ) j B (ln( ), ) Pint-l sdn integrlin: ln( ) ln( ) ln( ) ( e e )d ( ) / e e Pint-l on. ln( ) ( ln( ) ln( ) ( ln( ) ln( ) e e e e )) ( ( )) ) ( ) ( ) ( )

30 7. ) y = Rtkistn y yhtälöstä: y. Kuvj on symmetrinen sekä - että y-kselin suhteen. Määritetään käyrän -kselin yläpuolisen osn j -kselin väliin jäävän lueen pint-l. Nollkohdt: ti. Alueen pint-l sdn, kun lsketn käyrän j -kselin välillä [, ] rjoittmn lueen pint-l j kerrotn se neljällä. A d ( ) ( ) / (() ) / Koko lueen pint-l on.

31 b) Kuvj on symmetrinen y-kselin suhteen. Lsketn y-kselin oikenpuolisen lueen pint-l j kerrotn se khdell. = y(y ) y( y) ( y) y ( y y y) Kun =, = y(y ), jost y =. 5 ( y y y)d y ( y y ) 5 Pint-l on /

32 8. ) b) d / ln ln ln ln d/ ln lnlnln ln d/ ln ln8lnln ln d/ ln lnlnln ln d/ ln ln6lnln ln jne n n n n d/ ln ln n ln n ln ln n n d/ ln lnlnln ln d/ ln ln8lnln ln jne. n n n n d/ ln ln nln n ln ln n n c) Käyrän y j -kselin välillä [, b] rjoittmn lueen pint-l riippuu vin suhteest b, eli jos suhde on vkio, myös pint-l on vkio. Tämä johtuu logritmin ominisuuksist, sillä pint-l välillä [, b] on ln lnb ln. b Sääntö: jos pint-loj rjoittvien -kselien pisteiden suhde on vkio, niin hyperbelin rjoittm pint-l on vkio.

33 9. Merkitään f( ). Funktio f on ksvv, kun >. Luseke dilmoitt käyrän y lle jäävän pint-ln. Arvioidn käyrän lle jäävää pint-l settmll sen lpuolelle suorkulmioit. Välillä [, ] käyrän lpuolell on suorkulmio, jonk korkeus on f (). Suorkulmion pint-l on. Vstvsti välillä [, ] käyrän lpuolell suorkulmio, jonk pint-l on. Smoin voidn jk koko väli [, ] vstviin suorkulmioihin, jolloin suorkulmion korkeus on sm kuin funktion f rvo lrjn kohdll j leveys on in. Kosk funktio f on ksvv, kyseiset suorkulmiot jäävät kokonn käyrän lle, joten niiden peittämä pint-l on pienempi kuin käyrän lle jäävä pint-l välillä [, ].

34 . Khden käyrän rjmn lueen pint-l YDINTEHTÄVÄT. ) Leikkuskoht:,5,5,5,5 5 Kosk leikkuspisteen -koordintti on 5, on y-koordintti 5 =. Leikkuspiste on (, 5). b) Kuvn perusteell suor y =,5 +,5 on ylempänä välillä [, ]. Suorien rjoittmn lueen pint-l on A ((,5,5) ( ))d (,5,5)d /(,5,5 ) (,56,5) (,5,5),75.

35 . ) Leikkuskohdt: 57 : 6 ( 6) 5 ti. Leikkuspisteiden y-koordintit: y = 7 ( ) = j y = 7 =. Leikkuspisteet ovt (, ) j (, ). Jtkuvien funktioiden kuvjt eivät voi viht järjestystään muull kuin leikkuskohdss. Vlitn leikkuskohtien väliltä testipiste =. Lsketn molempien kuvjien y-koordintti testipisteessä. Testipisteessä y = + 5 = 5 j y = 7 = 7. Kosk 7 > 5, on lspäin ukev prbeli y = 7 välillä [, ] ylöspäin ukevn prbelin y = + 5 yläpuolell. b) Prbelien rjoittmn lueen pint-l on A (7 ) ( 5)d ( )d ( / ) 5. 8 ( ( ) ( ) ( ))

36 . ) Leikkuskohdt: = = ( ) = = ti = = ti =. Leikkuskohdt ovt =, = j =. b) Välillä ], [ kolmnnen steen käyrä f on suorn g yläpuolell, kosk esimerkiksi f(,5) > g(,5) j välillä ], [ suor g on käyrän f yläpuolell, kosk esimerkiksi g() > f(). c) Käyrien rjoittmn lueen pint-l on A ( f ( ) g( ))d ( g( ) f( ))d (( ) )d ( ( ))d ( )d ( )d / / ( ) ( 8 ) 7 7

37 . 7 7 f( )d g ( )d f( )d g ( )d 5 ) b) c) A f ( ) g( )d f( )d g( )d A f ( ) g( )d f( )d g( )d ( 5) ( f ( ) g( ))d ( f( ) g( ))d ( f( ) g( ))d 886

38 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT. ) Leikkuskohdt: 6 6 ti. ( 6) 5 Pint-l: A (( 6) )d ( 6 / ) ( 9 89) ( 8 ) b) Pint-l: A ( 6) d d / ( 6 ) 6 6 / (8 6) 8

39 5. ) Kuvjien leikkuskohdt: ( ) ti ti. Koko välillä ], [, lukuun ottmtt origo, suor y = on käyrän y yläpuolell. Pint-l on A (( ) ( ))d ( )d 5 ( / ) 5 5 / ( ) 6 ( 6 ) ( ( ) ( ) )

40 b) Kuvjien leikkuskohdt: ( ), ( ) ti. Välillä [, ] y = yläpuolell. on käyrän y = Käyrien rjoittmn lueen pint-l on A ( )d / ( ) Leikkuskoht e = e = = = Välillä ], [ f() = e > g() = e, kosk e,5 > e =. Käyrien rjoittmn lueen pint-l on A ( e e )d / ( e e ) e e e e e e e e ( e ) e

41 7. ) b) Oikenpuoleinen lue on suorn y = j prbelin y = välillä [, ] rjm lue. Suorn j prbelin rjmn lueen pint-l on ( )d / ( ). 6 Vsemmnpuoleinen lue on suorn y = j prbelin y = väliin jäävä lue välillä [, ] sekä suorien y = j y = väliin välillä [, ] jäävä lue. Alueen pint-l on ( )d ( )d ( ) ( / ) / 7. 6 Pint-lojen suhde on 6 : 7 6 = : 7.

42 8. ) Leikkuskohdt: sin cos : cos, n sin cos tn n. Leikkuskohdist välillä on =. Alue koostuu khdest osst. Välillä rjmst osst j välillä [, ] osst. Käyrien rjoittmn lueen pint-l on (sin )d (cos )d ( cos ) (sin ) / / ( cos cos) (sin sin ) ( ) ( ) ). [, ] käyrän sin j -kselin käyrän cos j -kselin rjmst

43 b) Käyrien j y-kselin väliin jäävä lue on käyrien y = sin j y = cos väliin välillä [, ] jäävä lue. Käyrien väliin jäävä pint-l on A (cos sin )d (sin cos ) / (sin cos ) (sin cos) ) ( ) (). 9. Prbelin yhtälö on nollkohtien vull ilmoitettun muoto y = ( )( ). Piste (, ) on prbelill, joten se toteutt prbelin yhtälön. = ( )( ) = =. Prbelin yhtälö on y = ( )( ) = +. Suorn kulmkerroin on, joten suorn yhtälö on y = ( ) eli y = 6. Prbelin j suorn rjoittmn lueen pint-l on

44 A ( )d (( ) (6))d ( )d ( 6)d /( ) ( 6 ) / ( ) ( ) Ruutuj on n. kpl. Yhden ruudun pint-l on m m = m. Pint-l on noin m = 6 m =,6 h. b) Käyrien leikkuskohdt:, +,7 +, =,( ) =,999 ti = 9,9, +,7 +, =,6 6,8 =,56 ti = 8,5 =,( ) =,6 6,8 =,66 ti = 7,69. A: =,999 B: =,66 C: = 8,5

45 Määritetään pint-lt integrlin: Väli A-B,66 A ((,, 7,) (, ) )d,59,999 Väli B-C 8,5 ((,,7,) (,66,8))d6,76,66 Pint-l on yhteensä,59 + 6,76 = 7,57. Kosk krtn yksikkö on m, on todellinen pint-l 7,57 m m = 75,7 m 7 m,7 h.

46 . Leikkuskohdt: sin sin n ti n n ti n n n. Rtkisuist on välillä [, ] =, = j =. Välillä [, ] kuvj y = sin on ylempänä j välillä [, ] kuvj y = sin on ylempänä. Käyrien rjoittmien lueiden pint-l on: A (sin sin )d (sin sin )d ( cos cos ) ( cos / cos ) / cos( ) cos cos cos cos cos cos cos ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( )) 5

47 . ) Suorn yhtälö: y + = jost y =. f( ), kun, kun Leikkuskohdt ( ) ti Pint-l välillä [, ]: A ( ( ))d ( )d ( ) /. Pint-l välillä [, ] ( )d ( )d ( ) / A Koko pint-l on + =.

48 b) Leikkuskohdt:,, ( ) ( ) ( ti) ( ti) ( ) ( ) ( ) Prbeli on funktion f kuvjn yläpuolell välillä ], [. Pint-l on A ( ( ))d ( )d /( ) ( ) / ( ) ( ) 7.

49 . Appletill rvioiden b,. Kun suor on prbelin lpuolell, lueen pint-l on: A ( ( b ))d ( b )d ( ) / b b b b. Rtkistn b, kun pint-l on 8. b 8 b : b

50 Appletill rvioiden b,7. Kun suor on prbelin yläpuolell, lueen pint-l on: A( b( ))d ( b)d / ( b) b b b. Pint-ln tulee oll 8. b 8 b 8 b Vstus: b = ti b =.

51 . Merkitään f() = e. Tngentin sivumispisteessä = j f() = e = e. Sivumispiste on (, e ). Kohtn = piirretyn tngentin kulmkerroin on f (). f () = e f () = e = e Tngentin yhtälö: y (e ) = e( ) y = e. Tngentin j -kselin leikkuskoht: e = = e. Kysytty pint-l: e e A ( e )d ( e ( e))d ( e )d ( e e)d e e e / ( e ) e / e e e e e e ( e ) e e e e e e e e e e e e e e e e e. e e

52 5. Suor y =, käyrät y j y sekä suort = j =. Käyrä y on käyrän y yläpuolell. Käyrän y j suorn y = väliin välillä [, ] jäävä pint-l: ( )d /( ( ) ) A ( ) ( ). Suorn y = j käyrän y väliin välillä [, ] jäävä pint-l: A ( )d ( )d ( ( ) ) ( ) ( ). Pint-lt ovt yhtä suuret, eli lojen suhde on :. /

53 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 6. Kuvjien leikkuskohdt: k k k ( ) ti k. k Käyrien väliin jäävän lueen pint-l on k k / k k k k k ) ) d d. 6k k 8k Rtkistn k ehdost, että pint-ln tulee oll. 8k 8k k k k Kosk k >, niin k.

54 7. Ympyrän + y = keskipiste on (, ) j säde r =. Ympyrän -kselin lpuolisen osn, eli puolikkn pint-l on. Prbelin j -kselin väliin jäävä pintl välillä [, ] on ( ) d / ( ) Prbelin ympyrästä erottmn prbelin lpuolell olevien lueiden pint-l yhteensä on 8. 6 Kysytty lue on puolet tästä pint-lst, eli 8 : ) Alueen leveys on =. Jos funktioiden f j g väliin jäävän lueen korkeus on jok kohdss, on pint-l =. Alueen korkeus on, jos funktioiden f j g erotus on, eli g() = f() +. Tällöin funktioiksi käyvät esim. f() = j g() = +. b) Funktion f jokin integrlifunktio on F. Eri integrlifunktiot erovt toisistn vkion verrn. Alueen leveys on b j korkeus jok kohdss on F F = F + C (F + C ) = C C, joten pint-l on b C C. Funktion f khden eri integrlifunktion kuvjien pystysuor etäisyys on niiden lusekkeiden vkioiden erotuksen suuruinen. Tämä on kuvjien rjoittmn lueen korkeus..

55 9. Piirretään kuv. Alue voidn jk osiin millä thns tvll: esimerkiksi suorll, jok voi oll nousev, lskev, -kselin suuntinen ti y-kselin suuntinen. Myös muut käyrät ti tvt kelpvt. Vlitn suorksi pystysuor suor =. Alueen pint-l välillä [, ] tulee oll sm kuin välillä [, ]. ( e e )d ( e e )d / / ( e e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) e e e e e e e e e e e e e e e ( )

56 Yhtälön voi rtkist sijoituksell e = t. Rtkistn symbolisen lskennn ohjelmll.,7 ti,7 Kosk lue on välillä [, ], rtkisuksi käy,7, eli suor =,7. Jko voidn tehdä myös vinoll suorll, jok kulkee pisteen (, ) kutt: y = +. Suor on käyrä y = e lpuolell j käyrän y = e yläpuolell välillä [, ]. Sdn yhtälö ( e ( ))d (( ) e )d /( e ) ( ) / e e ( e ) e ( e ) e e e e e e e Myös vino suor osn. e y e jk lueen khteen yhtä suureen e

57 5. Funktiot f() = sin j g() = cos Käyrien leikkuskohdt sin cos : cos, n sin cos tn n. Peräkkäisten smnlisten lueiden rjt ovt [, 5 ] j [ 9, ] = [ +, 5 + ] sekä [ 5, 9 ] j [,7 ] = [ 5 +, 9 + ]. Rjt ksvvt siis in. Tällöin pint-lt ovt 5 n 5 n A (sin cos )d ( cos sin ) n n ( cos( 5 n ) sin( 5 n )) ( cos( n ) sin( n ) ( cos 5 sin 5 ) ( cos sin ) 5 (sin cos )d /

58 j 9 n 9 n A (cos sin )d (sin cos ) 5 5 n n sin( 9 n ) cos( 9 n ) (sin( 5 n ) cos( 5 n ) sin 9 cos 9 (sin 5 cos 5 ) 9 cos sin d 5 / Pint-l on kikill vkion n rvoill.