missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

Transkriptio

1 S Fysiikk IV (Sf), I Välikoe Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä on ron leveyden d oltv, jott vrjostimelle muodostuv diffrktiokuvio olisi leveydeltään ienin mhdollinen? Määritä ron leveys, kun elektronien energi on 1, ev j D on 1, m Vlitn koordintisto siten, että -kseli on elektronisuihkun lkueräiseen suuntn Poikittisess suunnss elektronin ikn j liikemäärän eätrkkuuksille ron kohdll ätee Heisenbergin eäyhtälö y y y y Tässä yo on elektronin ikn eätrkkuus ron kohdll mitttun ron keskikohdst (suihkun kselist) Oletetn, että elektronin liikemäärän y-komonentill on Heisenbergin eäyhtälön mukinen ienin rvons Silloin osum-lueen leveys vrjostimell mitttun mksimist ensimmäiseen minimiin on y y= y + t = y + t, m m y missä t on mtkn rost vrjostimelle kuluv ik Jos suihkun elektronien liikemäärä - sunnss on,on m y= y + D= y + D m y y Tietyllä y :n rvoll y :llä on minimi Se löydetään derivoimll yo yhtälö y :n suhteen d y 1 D = D= ymin = d y y ( ) ( ) ymin Vstv y on ymin = ymin + = ymin y min D Kysytty ron leveys on d min = y min = Sijoittmll E = 1, ev, D = 1, m d min 11 µ m = me 1,78 1 kg smme s 4 m Jos tiedämme trkkn suureen Lz rvon, emme voi smnikisesti tietää kulmliikemäärän muiden komonenttien rvoj Voimme kuitenkin määrätä trkkn suureen L + Ly rvon Määrää tämän suureen rvo kvnttilukujen l j m vull Mikä on tämän suureen merkitys? + y = z = + l L L L L l l m,joten + y = + l L L l l m

2 Ly L + on kulmliikemäärävektorin y-tson sunntisen rojektion itseisrvo Sen suurin rvo svutetn kun mgneettinen kvnttiluku m l = Tällöin kulmliikemäärävektorin z- komonentti on noll, joten vektorin rojektion itseisrvo y- tsoss on y L + L = l l+ = L 3 ) Atomin ltess viritetystä tilst erustiln fotoniemissioll hvittiin emittoituvn sektriviivn leveydeksi E 1, 1 6 ev Mikä oli tiln elinik? b) Lske vetytomin rekyylienergi sähköisessä diolitrnsitioss 3d ) Heisenbergin yhtälöstä 1 t = / E = 66 1 s b) Atomin sm rekyylienergi lsketn energin j liikemäärän säilymislkien Ei Ef = hν + M = vull Fotonin liikemäärälle ätee = hν / c, joten ensimmäisestä yhtälöstä smme Mv v Ei Ef = c+ = c+ Atomin sm rekyylinoeus on ljon ienemi M kuin vlon noeus, sillä vikk koko trnsitioss vutuv energi nnettisiin tomille niin näin stu energi on vin häviävä os tomin leoenergist Voimme siis kirjoitt suurell trkkuudell = ( E E )/ c= E / cj sijoittmll rekyyylienergin lusekkeseen smme suurell trkkuudell ( E / c) M i f Trnsitioenergi on vetytomin 3d siirtymälle 1 1 E = E = 19eV Rekyylienergiksi sdn sijoittmll 1,9 1 ev 4 Elektronit, joiden energit ovt 1 ev, 3 ev js 9 ev, törmäävät 1 ev:n otentilivlliin (kynnykseen) isteessä = Lske missä -kselill kunkin elektronin todennäköisyystiheys on udonnut kymmenenteen osn sen rvost kynnyksen kohdll Alueess > ltoyhtälö on ( E < E )

3 d y m - k y =, missä k = ( E E) d Rtkisu on muoto k - k y = Ae + Be, missä A =, muuten ltofunktio divergoi eikä ole normitettviss Rjinnll y ( = ) = B - k Vllin sisällä y ( ) = B e Ehto todennäköisyystiheyden ienennemiselle kymmenenteen osn on ψ ( ) k ln1 ln1 = e = 1 = = ψ ( = ) k m E E ( ) Numerorvoiksi sdn E 1eV,75Å 3eV,85Å 9eV,5Å 5 Olkoon elektronin ltofunktion llokoordintiston kulmst φ riiuv os f - f y ( f) = A e i 1 i + 8 e Œ, ) Mitkä ovt yksittäisessä mittuksess stvt L z e j f :n mhdolliset rvot tälle elektronille? b) millä todennäköisyydellä ne sdn? c) Mikä on kulmliikemäärän z-komonentin odotusrvo? Auneuvo: Voidn osoitt, että llokoordintistoss L " z =- i Määrää normitusvkio f z A siten, että yf ( ) d f= 1 Aloitmme yleisillä trksteluill Voidn osoitt, että llokoordintistoss L " z =- i f, missä f on kiertokulm z-kselin ymäri Seurviss trksteluiss emme kuitenkn trvitsellokoordintiston ominisuuksi

4 f - 3f Merkitään c1( f)= ei j c( f)= e i Kokeilemll huommme, että L" c c z 1 = 1, kyseessä on siis L " z ominisfunktio ominisrvoll toislt L " z c =- 3 c, kyseessä on siis L " z ominisfunktio ominisrvoll -3 Lisäksi huomtn, että * * c1( f) df = c( f) df = 1 j cc 1 df= cc 1df= Tällisi funktioit snotn ortonormeertuiksi ) Normitusvkion lskeminen : π π * * z z (1) ( 1 )( 1 ) ψφ ( ) dφ= π A χ + 8χ χ + 8χ dφ π * * * * ( ) = π A χ χ + 8 χ χ + 8χ χ + 8χ χ dφ = 1 d i =484 5 Yhtälöiden (1) erusteell smme suorn A + 8 = 1fi A= 34 Vlitsimme tässä A :n reliseksi, sillä ltofunktion mhdollisell komleksisell vkiovihetekijällä ei ole vikutust hiukksen fysiklisiin ominisuuksiin (on helo esimerkiksi hvit, että L z :n odotusrvo ei muutu, jos kerromme ltofunktion millä thns vihetekijällä e id missä d ei riiu kulmst f ) b) Yksittäisissä mittuksiss mhdollisi rvoj ovt " L z :n ominisrvot Kirjoittmll Lz = c1 + c -3 f huommme, että L z :n ominisrvo on L " z :n ominisrvojen tekijöillä c 1 j c inotettu keskirvo Yksittäisessä mittuksess smme tulokseksi todennäköisyydellä c 1 j -3 todennäköisyydellä c c) Merkitään nyt c1 = A j c = 8 A Tällöin lkueräinen ltofunktio voidn kirjoitt y = c1c 1+ cc j lisäksi c1 + c = 1 Lz " :n odotusrvoksi smme : (huom, että jkjn olev integrli =1, kosk ltofunktio on jo normitettu) F HG I * Lz = y -i d = c + c c Lz + c Lz d = fkj y f c * c * " c " c f d id i * * dc1c1 + cci c1 c1+ c( - 3 ) c df = c1 + c - 3 f () missä ts käytimme yhtälöä (1) Sijoittmll louksi kertoimet c 1, sdn L z =

5 VAKIOITA e n m = 9, kg m = 1, kg m = 1, kg mu = 1, kg e = 1, 61 1 C c =, m / s = 1, Js m B = 9, 73 1 JT e = 8, C N m Ke = 1 / 4e m = 1, mkgc Km = m / g = 6, 67 1 Nm kg N = 6, 5 1 mol R = 8,3143 JK mol k = 1,385 1 JK A