Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Transkriptio

1 MAA8 Koe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske kikki tehtävistä Sievennä. 3 y y : 4 y 8 y 3 3 lg( y ) lg(10y). Rtkise yhtälöt: = e 4p 4p 3. Derivoi. f() = ln (3 + 5) 4 1 g( ) e 4 1 4p

2 B-osio. MAOLi j lskint s käyttää. Vlitse neljä tehtävistä Määritä funktion f ( ) ln pienin rvo. 6p 5. Olkoon f ( ) 3e. 6.. Osoit derivtn vull, että funktioll f() on käänteisfunktio Määritä käänteisfunktio f 1 ( ). 6p. Käyrälle y = kulmkerroin? e piirretty tngentti kulkee origon kutt. Mikä on tämän tngentin e Osoit, että funktio f () = ln on kikkill ksvv. 6p e 1 7. Länsi itä-suuntisen päätien vrress on 1,6 km etäisyydellä tlot A j B. Tismlleen puolest välistä 1,6 km mtk lähtee 1, km mittinen sivutie etelään, jonk päässä on tlo C. Suunnittele tien vrress sijitsev pikk muuntjlle, jost tloihin A, B j C luotisuorn mhn kivmll vedettävien sähkölinjojen yhteiskustnnukset ovt mhdollisimmn hlvt. Tien vrteen kivminen mks 8 /m j metsään kivminen 11 /m. 6p Kuv tehtävään 7 8. Rvintoliuoksess olevien bkteerien lukumäärää N(t) jn funktion kuv yhtälö t N( t) N 0e, missä t on ik sekuntein j on juuri tämän bkteeriknnn lisääntymiseen liittyvä vkio. N 0 on bkteerien määrä lkuhetkellä. Liuoksess olevien bkteerien määrän todettiin olevn luksi 3000 kpl j 4 h 40 min myöhemmin kpl.. Määritä bkteeriknnn lisääntymiseen liittyvä vkio :n trkk rvo. Määritä pljonko bkteerej on 10 h kuluttu. Ilmoit trkk rvo j 3 desimlinen likirvo. c. Määritä mikä on bkteeriknnn ksvunopeus 15 tunnin kuluttu. 6p

3 RATKAISUT y y : y 8 y = lg( y ) lg(10y) 1 3y3 83 y 1 4 y = y = 3 y3 y 4 +1 y y = 5 6y 5 6 = 5 6 = ( 5 y ) 6 6 = y y 5 6 = y = +lg +lg y +lg +lg y (1+lg +lg y) = = = lg 10+lg +lg y lg 10+lg +lg y 1+lg +lg y = + 3 Määrittely: , kuvjst ylöspäin ukev prbeli. Nollkohdt lskemll. steen yht. rtkisukvst: =-3 ti =1/ eli 3 ti 1 lisäksi Kun nämä yhdistetään, =3 ti 1 Yhtälön rtkisu: = + 3 () = ( + 3) = = 0 Rtkisut. steen yhtälön rtk. kvst: = -3 ti =4. Molemmt sopivt määrittelyjoukkoon!

4 3.. f() = ln (3 + 5) f () = 4 ln(3 + 5) = 4 ln(3 + 5) g( ) e 4 1 = e 4 1 (4 1) 1 4. g () = 4e (4 1) 1 4e 4 1 = e 4 1 ( ) 5.. Funktioll on käänteisfunktio, jos se on monotoninen koko määrittelyjoukossn: Osoitetn tämä derivoimll. f () = 3e = 6e > 0 Muutosnopeus on siis in posit. => Alkuperäinen f() on siis in ksvv. Se on monotononinen => Sillä on siis käänteisfunktiof 1 (). m.o.t. f() = e y = e y + = e ln ln (y + ) = lne ln (y + ) = lne ln(y + ) ln(y + ) = : = f 1 ln( + ) () = 6.. Käyrälle y = e piirretty tngentti kulkee origon kutt. Mikä on tämän tngentin kulmkerroin? Merkitään kysytty kulmkerroin k

5 y = e y = Pisteeseen (, e ) piirretyn tngentin yhtälö: y e = e ( ) y = e + e + e Rtkistn yhtälöstä e + e = 0 e ( + 1) = 0 e = 0, ei rtkisu + 1 = 0 = 1 Sijoitetn rvo kulmkertoimen lusekkeeseen: k = e 1 = e Vstus: e e f () = ln e 1 e 1 e e ( e 1) 7. = 1 e 1 e e 1 e ( e 1) e e f () = e ( e 1) f () > 0 kikill muuttujn rvoill, joten f () on kikkill ksvv Vstus: Väite on osoitettu oikeksi = Kolme eri vihtoehto: 1) Kivetn pelkästään tien vrtt pitkin, jolloin kpeli menee yhteensä,8 km hintn 8 /m = 800 m 8 /m = 400 ) Kivetn suorn metsien läpi reitit AC=BC Lsketn pythgorll AC:n pituus AC = 1, + 0,8 AC = 1, + 0,8 = AC + BC = = Nyt siis kivmist yhteensä,884 km hintn 11 /m = 884m 11 /m=

6 3) Vlitn päätieltä koht, jost oikistn tlolle C. Metsän läpi oikistvksi mtkksi tulee tällöin y = Mtk y on kpl. Tien vrtt pitkin kuljettv mtk on yhteensä Kustnnukset :n funktion: K() = m 11 /m + (1600 )m 8 /m = (1600 ) = Kustnnusten minimi derivtn nollkohdist: K () = Derivtn nollkohdt: 171,6m Ei ole mhdollinen, kosk päätie on inostn 1,6 km pitkä tlojen A j B välissä!! Suunnitelln oikisu toisinpäin: Nyt kustnnukset K() = m 11 m + (100 )m 8 m = Kustnnusten minimi derivtn nollkohdist: K () = Derivtn nollkohdt:

7 31,3m Osoitetn että tämä on minimikoht: Eli merkkikvio: Eli kohdss = ,3m vihtoehdon 3 kustnnukset min! 1 Lsketn kustnnukset sijoittmll tämä :n rvo kustnnusfunktioon K. Joten K ( ) 5995,1 19 Huomtn, että vihtoehto 3 on hivenen klliimpi kuin vihtoehto 1. Vihtoehto oli kikist kllein. Eli knntt rkent pelkästään tien vrtt pitkin! 8. t N( t) N 0e =3000e t. 4h 40 min = 16800s Nyt N(16800) = 9000 = 3000e rtkistn :

8 10 h = 36000s N(36000) = 3000e ln (3) = kpl c. 15 h = 54000s Muutosnopeus = derivtt => Lsketn N (54000)! N(t) = 3000e ln (3) t Eli N (54000) 6,7 Suomeksi tämä trkoitt sitä, että 15 h kohdll bkteerien määrä ksv nopeudell noin 7 bkteeri/sekuntti.