lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

Transkriptio

1 Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) lim + lim lim (p) o jtkuv myös pisteessä + + lim (p) lim (p) b) Lusekkee täytyy supistu (-):ll, jote osoittj ollkoht o 0 + eli ) Itegroi fuktio f ( ) e b) Käyrä y, - kseli j suor 0 rjm äärettömä pitkä lue pyörähtää - kseli ympäri Lske sytyee pyörähdyskpplee tilvuus ) Fuktio f ( ) e e f g fg fg, derivoid osittisitegroitikvll missä f ( ) e j g ( ), jolloi g ( ) j f ( ) e d e d e + C, e jote smme e - e d e 4 e + C Vstus: e 4 e + C e - 4 e d e - 4 e + C b) Tilvuus lim ( ) d lim d lim / 0 ( ) (0 ) Vstus: lim / ) ( 0 lim ( ( )) 0 + b + c, < Fuktio f ( ) c, Millä ehdoll fuktio f () o + b, > ) jtkuv kohdss j b) derivoituv kohdss?

2 ) Fuktio f () o jtkuv kohdss, jos lim f ( ) lim f ( ) + f (), jote sd + b + c c + b, jost + b + c c + b, jost sd yhtälöryhmä + b + c c + b 0 + b 0 + b + c + b c 0 c 0 c + b + b c b) Fuktio f () o derivoituv kohdss, ku () fuktio f () o jtkuv j () + b, < f ( 0) f + (0) Derivoid f (), ku, sd f ( ), jote ehdost, > () sd f ( ) f () + b + b 0 Ehto () o )- kohd muk + + b 0 + b 0 Yhdistämällä ehdot () j () sd eli huomt, että tässä c 0 c 0 tpuksess jtkuvuusehto j derivoituvuusehto ovt smt Ehto + b 0 c 0 void muokt muotoo b c 0 Vstus: ) R b b c 0 b) c 0 R R 0 4 ) Lske ( ) d (Käytä sijoitust t ) 0 b) Suppeev geometrise srj summ o j peräkkäiste jäsete suhdeluku q Lske kuude esimmäise jäsee summ 0 Teemme sijoitukse t, jolloi t +, jote, ku 0, ii t j ku, ii t - Lisäksi smme d d( t + ) dt + 0 dt ) Smme ( ) d (( t + )( t) ( dt) ( t t ) dt / ( t t ) 0 ( ( ) ( ) ) ( () () ) Vstus: b) Srj esimmäie jäse sd kvst s Sijoittmll s j q q sd , jote j j j j , jote kuude esimmäise jäsee summ o Vstus: Kuude esimmäise jäsee summ o

3 5 Määrää fuktio f () symptootit Mitä rvoj fuktio s? Pystysuor symptootti o suor - 0, sillä 0 Jkmll fuktio f () lim + + j 0 + lim jkokulmss sd villiiseksi osmääräksi + j jkojääökseksi, jolloi f () + + Kosk lim ( f ( ) ( + )) lim(( + + ( + )) lim( ) 0, ii vio symptootti o suor y + Fuktio f () sd () o määritelty, ku Fuktio f () 4 ( ) ( ( ) ) f derivttfuktioksi 4, jost derivt ollkohdt ovt ( ) 0 Kosk f ( ) > 0, f ( ) 6 < 0, f ( ) 6 < 0 j f ( ) > 0, smme merkki- j kulkukvioksi Kohdss fuktio f () 0 ei ole määritelty f f m mi Kulkukviost huommme, että mksimi o f ( 0) 0 j miimi f ( ) 8 Kulkukvio perusteell void piirtää fuktio kuvj, jost huommme, että ku <, ii fuktio f () s kikki rvot väliltä ] ],0 j ku >, ii fuktio f () s kikki 8, jote fuktio s rvot f ( ) 0 ti f ( ) 8 rvot väliltä [, [

4 8 y s s f()(^)/(-) s mi 6 4 s m Vstus: Pystysuor symptootti o suor - 0 Vio symptootti o suor y + Fuktio s rvot f ( ) 0 ti f ( ) 8 6 Lukujoolle ( ) o voimss sekä lim 0 + ( + ) 0, missä,,, Määrää Lukujoo ( ) toie jäse ( + ) ( + ) j kolms jäse ( + ) ( + ) ( + ) Kerrot yhtälö + ( + ) lusekkeell 0, jolloi sd , 0 jost ottmll rj-rvo lim( 0 lim( + 0) sd 0 lim lim + + ) lim +0 Jos rj-rvo lim o olemss, ii myös lim, jote 0 +0, jost Vstus: Rj-rvo lim 700, jost vi positiivie kelp 0 +

5 7 Millä muuttuj rvoill päättymätö geometrie srj + + suppeee? Mikä o tällöi srj summ y S()? Piirrä käyrä y S() kuvj ( ) ( ) ( ) Preli 0 Suhdeluku q Oltv q < eli < < p Sd < 4 j >, jost < < j > ti < Yhdistämällä ehdot sd < < ti < < +p Srj summ kv S q ojll ) ( ) S +p ( Käyrä y S() o symmetrie y-kseli suhtee, sillä S ( ) S( ) Välillä < < o S ( ) < 0, jote S o tällä välillä ( ) idosti väheevä Lisäksi lim S( ), S ( ) 0 j + lim S( ) Symmetri ojll tehdää vstvt hviot välille < < +p Kuvio +p

6 8 ) Määritä sellie kerroi, että, b) Oko fuktio f() tällöi derivoituv kikkill? c) Lske lim YO K 0, o jtkuv kikkill 9 Lukujoo ( ) termit ovt muoto,,,, ) Näytä, että 0 < <,,,, b) Näytä, että + >, ku,,, c) Määritä lim YO S 0

7 0, 0 0 Määritä sellie kerroi, että fuktio o erää, 0 stuismuuttuj X tiheysfuktio Mikä o tällöi kertymäfuktio luseke? Lske P(X t), ku t 0 YO S 00