763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

Transkriptio

1 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin kulmss olevst pisteestä lsketn vin 1/8 kopin sisälle). Osoit lisäksi, että sinkkivälkerkenteess molempi tomej on yhtä pljon. ) Yksinkertisen kuutiollisen rkenteen yksikkökopiss on 8 kulmpistettä. Jokisest kulmpisteestä lsketn 1/8 kopin sisälle, joten yksikkökoppi sisältää 8 1/8 = 1 pistettä. b) Tkk:ss on yksinkertisen kuutiollisen rkenteen lisäksi yksi hilpiste, jok sijitsee yksikkökopin keskellä. Siten yksikkökoppi sisältää = pistettä. c) Pkk on yksinkertinen kuutiollinen rkenne vrustettun kuudell thkopisteellä. Thkopisteistä yksikkökoppiin otetn puolet. Yksikkökoppi sisältää siis / = 4 pistettä. Timnttirkenne on pkk, johon on lisätty neljä lisäpistettä yksikkökopin sisälle. Yhteensä yksikkökopiss on siis 4+4 = 8 pistettä. Sinkkivälke ZnS on timnttirkenne, joss rikin (S) pkk-hiln on lisätty sinkkiä (Zn) timnttirkenteen mukisesti. Siten molempi lkuineit on yksikkökopiss yhtä pljon.. Tehtävä: Osoit, että suurin mhdollinen suhteellinen tilvuus, jok voidn täyttää koviksi plloiksi oletetuill tomeill, on ) yksinkertisess kuutiollisess rkenteess 5%, b) tkk-rkenteess 68% j c) pkk-rkenteess 74%. (Vihje: Määritä ensin pllojen mksimisäde j käytä sen jälkeen edellistä tehtävää.) ) Yksinkertisess kuutiollisess rkenteess suurin mhdollinen säde on, missä on hilvkio. Yksikkökopin tilvuus on 3 j yhden pllon tilvuus on V = 4 ( ) 3 3 π π = 6 3. Yksikkökoppiin mhtuu 1 pllo (kts. edellinen tehtävä) j se täyttää kopist V 3 = π 6 5%. b) Tkk:ss kulmpistettä lähin npuri on yksikkökopin keskellä olev piste. Etäisyys niiden välillä on 3 R =.

2 Suurin mhdollinen säde on R, jolloin yhden pllon tilvuus on V = 4 ( 3 π 3 ) 3 3π 4 = Kosk yksikkökopiss on pllo, niin pllot täyttävät kopist 3π 68%. 8 c) Pkk:ss lähin kulmpisteen lähin npuri on thkon keskellä olev piste. Etäisyys niiden välillä on R =. Suurin mhdollinen säde on R, jolloin yhden pllon tilvuus on V = 4 ( ) 3 3 π π = 1 3. Kosk yksikkökopiss on 4 pllo, niin pllot täyttävät kopist π 3 74%.

3 3. Tehtävä: Alumiinin tiheys on 700 kg/ j sen tomimss on 6.98 u. Mikä on lumiinikiteen hiukkstiheys, ts. kuink mont Al-tomi kiteessä on 1 :ssä? Alumiinin kiderkenne on pkk. Päättele näistä tiedoist hilvkion rvo j vert sitä mitttuun rvoon = nm. Olkoon lumiinin tiheys ρ = 700 kg/ j tomimss M = 6.98 u (1u = kg). Hiukkstiheys on siis n = ρ M = 700 kg kg 8 tomi = tomi Hilvkio :n rvo? Pintkeskisen kuutiollisen rkenteen yksikkökopin tilvuus on 3 j siihen mhtuu tehtävän c-kohdn mukn 4 hilpistettä: n 3 = 4 4 = = m 0.405nm 4. Tehtävä: Olettmll, että tomit käyttäytyvät kuin kovt pllot, lske optimlinen pllojen säteiden suhde N + Cl -rkenteelle. Lähde siitä, että isommt pllot (Cl ) ovt niin kuin kopin koko sllii j määritä sen jälkeen suurin mhdollinen väliin mhtuvn pllon (N + ) säde. Ntriumkloridin kide rkenne on yksinkertinen kuutiollinen, joss N- j Cltomit vuorottelevt. Khden lähimmän smn lkuineen tomin etäisyys on d =, joten isommn lkuineen säde voi oll mksimissn R = /. Pienemmän tomin säde on tässä tpuksess suurimmilln r = ( 1)/. Säteiden suhde on siis R r =

4 5. Tehtävä: Osoit, että pkk-rkenne on Brvis-hil. Tätä vrten vlitse sopivt 1, j 3 siten ett luseke r = n n + n 3 3, missä n 1, n j n 3 ovt kokonislukuj, nt kikki pkk-rkenteen hilpisteet yksikkökopin sisällä mutt ei näytä synnyttävän ylimääräisiä pisteitä. Vlitn origoksi jokin hilpisteistä. Trkstelln pkk-hiln yksikkökoppi (kts. kuv). Vlitn lkeisvektorit Todetn ensin, että 1 = (î + ĵ), = (î + ˆk), 3 = (ĵ + ˆk). î = 1 + 3, ĵ = , ˆk =. Hiln muut yksikkökopit sdn siirtämällä vlitun yksikkökopin hilpisteet vektoreill ˆt = (m 1 î + m ĵ + ˆk), missä mi :t kokonislukuj (tote!). Esimerkiksi, jos (m 1, m, ) = (, 0, 3), niin trkstelln yksikkökoppi, jok on :n hilvkion päässä lkuperäisestä x-suunnss j 3:n z-suunnss. Tämän vuoksi riittää trkstell yhtä yksikkökoppi.

5 Osoitetn ensin, että yksikkökopin jokinen piste voidn esittää muodoss r = n n + n 3 3. Ensin hvitn, että yksikkökopin kulmt sijitsevt pisteissä (0, 0, 0) = , (, 0, 0) = 1 + 3, (0,, 0) = 1 + 3, (0, 0, ) = + 3 1, (,, 0) = 1, (, 0, ) =, (0,, ) = 3, (,, ) = Lisäksi thkojen pisteet sijitsevt kohdiss (,, 0) = 1, (, 0, ) =, (0,, ) = 3, (,, ) = 1 +, (,, ) = 1 + 3, (,, ) = + 3. Nähdään siis, että jokinen yksikkökopin piste on muoto r = n n + n 3 3, missä n i :t ovt kokonislukuj. Todetn että muit pisteitä ei näytä tulevn yksikkökopin sisälle, sillä esim. kopin keskipistettä (/, /, /) ti särmien keskustoj, (/, 0, 0) jne., ei void esittää vdituss muodoss. pkk-hil on Brvis-hil.