Pinta-alan laskeminen

Transkriptio

1 Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin määrätt integrli nt pintln vstluvun, eli f = A. A = f Määrätt integrli on leisesti rvoiltn äärettömän pienistä termeistä eli integrointilkioist muoostettu ääretön summ. Tähän ien nojutuen sekä pint-ln että tilvuuen määrittämisessä lsketn eli summtn hteen pint-lkioit = f, missä funktio f riippuu muuttujst. Tilvuuslkioit V = A, missä pint-lfunktio A riippuu muuttujst. Sovelluksiss (fsiikk) lsketn määrättjä integrle- Huomutus j 1 Ω, missä Ω on infinitesimlinen integrointilkio j Ω on funktio, jok riippuu muuttujst. Muuttujhn voi oll mös muu kuin. 1

2 Pint-ln määrittäminen Pint-l-lkion = f merkki riippuu funktion f rvost f, eli f > f Jos funktio viht merkkiä +/-, niin jetn integroimisväli osiin funktion nollkohtien mukn: Esimerkki Väritett l on A = f = A 1 f = A + f = A 3, joss siis määrätt integrli f A 1 nt negtiivisen reliluvun j siksi miinus trvitn eteen (pint-l ei voi oll negtiivist, määrätt integrli voi). Khen kärän väliin jäävä pint-l vstvll tvll. Nt pint-llkion korkeus sn erotuksest f g, kun f g. Esimerkki Lske kärien = sin j = os khen peräkkäisen leikkuspisteen välisten krien rjoittmn lueen pint-l. Piirretään kuv A A 3

3 Leikkuspisteiksi sn π, 5π, 9π, 13π, j toislt mös 3π, 7π 11π, 15π, (kun rtkistn htälö = eli htälö sin = os, jost seur htälö tn = 1). Välillä π, 5π pätee sin os, joten A = π 5π 5π/ sin os = / os sin =... =,83. π/ = os = sin Vstvsti välillä 5π, 9π pätee os sin, joten 9π 9π/ A = os sin = / sin + os =... =,83. 5π 5π/ J näin on kät kikki mholliset tpukset, sillä jksollisuus toistuu. = sin = os 3

4 Yleisesti kärät j = g voivt leikt usesti, joten khen kärän välisen pint-ln, välillä,, nt määrätt integrli f g, missä integroinnin voi suoritt funktion h = f g nollkohtien määräämien osvälien mukn (ei ole trvett, s tehä). Huomutus Funktio h = f g on in ei-negtiivist, joten määrätt integrli nt suorn pint-ln, vrt. kirjn kuvt kpl.3. f = sin g = Etäisstulkint! f g Pltn vielä lähtöruutuun. Miksi pint-l sn niin kuin se sn? Määritelmän kutt OK, mutt hvitse, että f = f, jolloin funk- f, j kllä nollfunktiokin ihn hvä = f tio on! g Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt inte- grli nt suorn pint-ln, eli f = A. Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin määrätt integrli nt pintln vstluvun, eli f = A. A = f A = f

5 Integrointi -kselin suhteen Trkstelln tehtävää. Peritteess ostn määrittää lt A 1 j A, mutt muoostuu hstvi integrlej, eli = =...? A 1 A AA A 1 = 1 = + 1 Entäpä näin: Muoostetn portt (suorkulmiot) -kselin suhteen. Mikä on portien korkeus? Nt muuttuj on riippumton j = on :n funktion riippuv. Integrointirjt sn kärien leikkuspisteistä, lrj, lärj? = + 1 Eli mitä tässä on teht? = 1 = + 1 5

6 = + 1 = + 1 = 1 Eli kierretään j peiltn, sn -kseli pstkseliksi j -kseli vk-kseliksi. Nt hvitn, että olln tutuss tilnteess j pint-llle sn integrli = lä funktio l funktio = + 1 = 1 Integroin: = / = = = 9 =,5 Lsketn vielä, kun jko on teht muuttujn suhteen (lkuperäine tilnne) = / / + / =... = = 9 =,5, OK / + 1 6