Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka
|
|
- Jukka-Pekka Toivonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %. Kuinka monta prosenttia pitää kurssin iltapäivällä vielä nousta, jotta päivän päätöskurssi olisi avauskurssin tasolla? b) Määritä funktion f ( x) = cosx+ kaikki nollakohdat.. a) Olkoon x f ( x) = e + e. Laske funktion derivaatan arvo kohdassa x =. b) Laske määrätty integraali tarkkuudella. π cos x dx. Tarkka arvo ja likiarvo kahden desimaalin 4. Suunnikkaan ABCD kärkipisteet ovat A = ( 6,), B = (, 4) ja C = (4, ). Määritä suunnikkaan kärkipiste D ja laske lävistäjien pituudet. 5. Mimmiliigan mestaruusottelu päättyy rangaistuspotkukilpailuun, jossa joukkueen A kärkipelaajat Tuuli, Iida ja Suvi laukovat kukin yhden potkun. Heidän maalitodennäköisyytensä ovat valmentajan mukaan 78 %, 77 % ja 76 %. Laske todennäköisyys, että joukkueen A kokonaismaalimäärä on vähintään kaksi. 6. Osoita, että kaikki paraabelit y a= x ( a ) x, missä vakio a R, kulkevat saman pisteen kautta. Mikä tämä piste on? Määritä tästä paraabeliparvesta ne paraabelit, joka sivuavat suoraa y =. 7. Tasakylkisen kolmion kanta on a ja kylki. Mihin osiin kantakulmanpuolittaja jakaa kyljen? Määritä kantakulmanpuolittajasta kolmion sisään jäävän osan pituus. 8. Plutoniumin puoliintumisaika on noin 4 vuotta. Kuinka monta prosenttia plutoniumista hajoaa vuodessa. Missä ajassa plutoniumista hajoaa 5 %? KÄÄNNÄ! Sivu / MAA preliminääri 9
2 9. Yksikkösäteisen pallon sisään piirretään suora ympyräpohjainen kartio. Olkoon kartion pohjan etäisyys pallon keskipisteestä = x. Osoita, että tällöin kartion vaipan A alaa kuvaa funktio A( x) = π ( + x) ( x), missä x <. Määritä kartion korkeus, kun kartion vaipan pinta-ala on suurin mahdollinen.. Käyrän y = 4 x kuvaajan ja koordinaattiakselien rajoittama alue pyörähtää x -akselin sekä y akselin ympäri. Laske syntyneiden pyörähdyskappeleiden tilavuuksien suhde.. a) Esitä kymmenjärjestelmän luku binäärilukuna. b) Muunna binääriluku heksadesimaalijärjestelmän luvuksi. ln x. Jyrkkää rinnettä kuvaa likimäärin funktio f ( x) = x välillä x. Arvioi rinteen kaltevuuskulmaa asteen tarkkuudella kohdassa x = 5 soveltaen numeerisia derivoimismenetelmiä. Käytä muutoksen h arvoa,.. Määritä lausekkeen n n k+ lg( ) lg( ) raja-arvo, kun n kasvaa rajatta. n n k = k *4. Funktio f toteuttaa seuraavat ehdot: f ( a+ b) = f( a) + f( b), kun ab, R. f( a ) >, kun a >. f () = 5. 4 funktio on määritelty kaikkialla. a) Määritä f (). ( p ) b) Miten määritellään pariton funktio, entä aidosti kasvava funktio? ( p ) c) Osoita, että funktio f on pariton ja aidosti kasvava. ( p ) d) Määritä f ( 4). ( p ) *5. a) Osoita, että x + y, dx < y kun. x + y > ( 4p ) b) Ratkaise yhtälö t x dt =, kun x. ( 5p ) Sivu / MAA preliminääri 9
3 Ratkaisut ja pistesuositus. Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b). 8 a) Kertomalla ristiin saadaan 4( x ) = x, josta 7 x = 8 eli x = = p b) Saadaan x( x) >, josta paraabelin nollakohdat x = tai x =. p Paraabelikuvion nojalla < x <. +p c) Saadaan + = + p ( a b) (a b)(a b) ( a 4ab 4 b ) (4a 9 b ) = a 4ab + b. +p Vastaus: a) x = b) < x < c) 7 a 4ab + b. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %. Kuinka monta prosenttia pitää kurssin iltapäivällä nousta, jotta päivän päätöskurssi olisi avauskurssin tasolla? b) Määritä funktion f ( x) = cosx+ kaikki nollakohdat. a) Olkoon osakkeen alkukurssi a. Tällöin tilanne on kurssilaskujen jälkeen (,4)(,56) a =,994a. p Tulkoon kurssi iltapäivällä k-kertaiseksi, jolloin asetetaan yhtälö k,994a = a, +p k = =, ,7%. Siten kurssinousun on oltava noin 9,7 %. +p,994 Ratkaisut Sivu / MAA Preliminääri 9
4 π b) Saadaan cos x = cos x = cos p π x = ± + n π, n on kokonaisluku. p+p Vastaus: a) 9,7 % π b) x = ± + n π, n on kokonaisluku. a) Olkoon x f ( x) = e + e. Laske funktion derivaatan arvo kohdassa x =. b) Laske määrätty integraali tarkkuudella. a) Derivaatta b) π π cos x dx. Tarkka arvo ja likiarvo kahden desimaalin ( ) x x = + =. p+p f x e e ( ) f ( ) = e = e = e 5,4. +p π cos x dx = / ( sin x) p = (sin π sin 4) = sin 4 =,784...,8. p+p Vastaus: a) e 5,4 b) x = sin 4, 8 4. Suunnikkaan ABCD kärkipisteet ovat A = ( 6,), B = (, 4) ja C = (4, ). Määritä suunnikkaan kärkipiste D ja laske lävistäjien pituudet. Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa, joten lävistäjien leikkauspiste E on janan AC ( ) keskipiste. Pisteen E koordinaatit ovat siten E = (, ) = (, ). p Ratkaisut Sivu / MAA Preliminääri 9
5 Olkoon D= ( x, y). Koska piste E on myös janan BD keskipiste, niin saadaan yhtälöpari +p x + =. y + 4 = Täten x = ja y = eli D = (, ) +p Lävistäjävektori AC = (4 + 6) i + ( ) j = i j, josta pituus AC = + ( ) = 9,4. Vastaavasti lävistäjävektori DB = ( + ) i + (4 + ) j = 4i + 7 j, josta pituus DB = = 65 8,. ++p Vastaus: Piste D = (, ) ja pituudet AC = 9,4 ja BD = 65 8, +p 5. Mimmiliigan mestaruusottelu päättyy rangaistuspotkukilpailuun, jossa joukkueen A kärkipelaajat Tuuli, Iida ja Suvi laukovat kukin yhden potkun. Heidän maalitodennäköisyytensä ovat valmentajan mukaan 78 %, 77 % ja 76 %. Laske todennäköisyys, että joukkueen A kokonaismaalimäärä on vähintään kaksi. P("vähintään kaksi") = P("kaksi tai kolme ") +p Vastaus: 87 % = P(" T ja I ja ei S tai T ja ei I ja S tai ei T ja I ja S") + P (" T ja I ja S ") +p = [,78,77,4+,78,,76+,,77,76] +,78,77,76 =,865688,87. +p 6. Osoita, että kaikki paraabelit y a= x ( a ) x, missä vakio a R, kulkevat saman pisteen kautta. Mikä tämä piste on? Määritä tästä paraabeliparvesta ne paraabelit, joka sivuavat suoraa y =. Valitaan paraabeliparvesta jotkut edustajat, vaikkapa a = ja a =. Tällöin saadaan paraabelit y = x + x ja y = x +. Niiden leikkauspiste saadaan yhtälöparista y = x + x + = + = x x x x. y = x + Parven ainoa ehdokaspiste on siten (, ). Tällöin y =. p Osoitetaan, että tämä piste on jokaisella paraabelilla Saadaan a ( a ) a a. y a x ( a ) x =. = = = Tämä on aina identtisesti tosi. +p Ratkaisut Sivu / MAA Preliminääri 9
6 y a= x ( a ) x Asetetaan yhtälöpari x + ( a) x+ ( a ) =. Tämän yhtälön y = diskriminantin pitää olla nolla, jotta saadaan vain yksi ratkaisu. +p Saadaan yhtälö ( a ) 4 ( a ) ( a )[( a ) 4] a = = = tai a = 5. +p Vastaavat paraabelit ovat y = x + tai y x x = p Vastaus: Piste on (, ). Paraabelit ovat y = x + tai y x x = Tasakylkisen kolmion kanta on a ja kylki. Mihin osiin kantakulmanpuolittaja jakaa kyljen? Määritä kantakulmanpuolittajasta kolmion sisään jäävän osan pituus. Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten suhteessa. +kuvio p Olkoon osan DC pituus x, jolloin CB osa on x. Kulmanpuolittajalauseen nojalla saadaan x verranto =. + p x a Täten xa = x x( a + ) = x =, jolloin toinen osa a + a x = =. a+ a+ a Osat ovat siten ja. +p a + a + Kolmiosta ABD saadaan kosinilauseen nojalla yhtälö a = + cosα ja kolmiosta ACD vastaavasti d = + ( ) cos α. Ensimmäisen yhtälön nojalla a+ a+ a cos α =. +p Täten d a ( a+ ) + ( a+ )( a ) a ( a+ ) = + = =. ( a+ ) a+ ( a+ ) ( a+ ) a Täten kysytty pituus d = a+. a + Vastaus: Osien pituudet ovat a + a a ja. Kysytty pituus d = a+ a + a + +p Ratkaisut Sivu 4 / MAA Preliminääri 9
7 8. Plutoniumin puoliintumisaika on noin 4 vuotta. Kuinka monta prosenttia plutoniumista hajoaa vuodessa. Missä ajassa plutoniumista hajoaa 5 %? Olkoon Plutoniumin alkumäärä a ja Plutoniumin määrä tulkoon vuodessa k-kertaiseksi. 4 Tällöin puoliintumistiedon nojalla saadaan yhtälö a k = a, josta k = =, p 4 Plutoniumin määrään ajan funktiona kuvaa siten malli 4 t 4 t Nt () = a ( ) = a. +p 4 Täten vuoden kuluttua määrä on N() = a =,78... a 7,8 % alkumäärästä, joten Plutoniumista on hajonnut noin 9, %. +p x lg,85 4 Asetetaan yhtälö a k =,85a x =, missä k =. lg k Vastaus: 9, % ja 5 7 vuodessa = 565, vuotta. +p 9. Yksikkösäteisen pallon sisään piirretään suora ympyräpohjainen kartio. Olkoon kartion pohjan etäisyys pallon keskipisteestä = x. Osoita, että tällöin kartion vaipan A alaa kuvaa funktio Ax ( ) = π ( + x) ( x) missä x <. Määritä kartion korkeus, kun kartion vaipan pintaala on suurin mahdollinen. Ratkaisut Sivu 5 / MAA Preliminääri 9
8 Oheisen kuvion merkinnöillä olkoon kartion pohjaympyrän säde r = AB, OA = x, ja kartion korkeus h= AC = OA + OC = x+. Olkoon vielä sivujana BC = s. Suorakulmaisista kolmioista OBA ja BAC saadaan Pythagoraan lauseella r + x = ja r ( x ) s s r ( x ) ( r x ) x + + = = + + = p Edelleen saadaan s = + + x = + x = + x +p Vaipan ala A rs x x x x = π = π + = π ( + ) ( ), x. < +p Koska luku π on positiivinen vakio ja neliöjuurifunktio on aidosti kasvava, niin voidaan rajoittua tutkimaan vain sisäfunktiota f x x x x ( ) = ( + ) ( ), <. Derivaatta ( ) = ( + ) ( ) + ( )( + ) = ( + )( ) = ( + )( ), < x <. f x x x x x x x x x Derivaatan ainoa tällä välillä oleva nollakohta on x =. +p+p 7 Derivaatan arvoista f ( ) = > ja f ( ) = < päätellään, että kohta x = antaa siten 6 4 sekä funktion f ( x ) että funktion A( x ) absoluuttinen maksimiarvon. Tällöin kartion korkeus 4 on h = + =. +p Vastaus: h =. Käyrän y = 4 x kuvaajan ja koordinaattiakselien rajoittama alue pyörähtää x -akselin sekä y akselin ympäri. Laske syntyneiden pyörähdyskappeleiden tilavuuksien suhde. Yhtälöstä y = 4 x saadaan y = 4, kun x = ja x = 6, kun y = Vx = A( x) dx= π rx dx= π y dx p (6 8 x x) dx / (6 x x x ). = π + = π + = π ++p Ratkaisut Sivu 6 / MAA Preliminääri 9
9 (4 y) 4 Vy = A y dy = r dy = x dy = y dy = = ( ) π y π π (4 ) π / π. ++p Täten kysytty suhde Vx Vastaus: 5:4 V = y V V x y 8 π 5 = =. +p 4 π 4 5. a) Esitä kymmenjärjestelmän luku binäärilukuna. b) Muunna binääriluku heksadesimaalijärjestelmän luvuksi. a) Kymmenjärjestelmän luku = p = p = binäärijärjestelmässä. +p b) Paikan numero on järjestysluvun eksponentti Täten = kymmenjärjestelmässä +p Vastaus: a) b) ED 6 = = 7 = = p = ED. 6 Tämä on siis heksadesimaalijärjestelmän luku ED. +p ln x. Jyrkkää rinnettä kuvaa likimäärin funktio f ( x) = x välillä x. Arvioi rinteen kaltevuuskulmaa asteen tarkkuudella kohdassa x = 5 soveltaen numeerisia derivoimismenetelmiä. Käytä muutoksen h arvoa,. Derivaatan approksimaatio keskeisdifferenssin avulla f ( x+ h) f( x h) f ( x) p h Täten f (5) f(5 +,) f(5,), +p ln5, ln 4,999 5, 4,999 = +p, = 8, Tämä on siis approksimaatio kohtaan x = 5 piirretylle tangentin kulmakertoimelle. +p Ratkaisut Sivu 7 / MAA Preliminääri 9
10 Kaltevuuskulma saadaan yhtälöstä tanα = 8,588..., josta α = tan (8,588...) = 8, p Vastaus: 8. Määritä lausekkeen n n k+ lg( ) lg( ) raja-arvo, kun n kasvaa rajatta. n n = k k Summa n= ( n) on aritmeettinen p + n = ( n ) = n( n+ ). +p Summa n k = k+ 4 n n+ lg( ) = lg + lg + lg +...lg + lg k n n 4 n n+ = lg[... ] n n +p = lg( n + ). +p Siten saadaan nn ( + ) ( n+ ) lg lg( n+ ) = lg lg( n+ ) n n n ( n + ) = lg lg ( n + ) n ( n+ ) n+ n = lg = lg = lg ( + ) lg =. n( n+ ) n n +p+p Vastaus: *4. Funktio f toteuttaa seuraavat ehdot: f ( a+ b) = f( a) + f( b), kun ab, R. f( a ) >, kun a >. f () = 5. 4 funktio on määritelty kaikkialla. a) Määritä f (). ( p ) b) Miten määritellään pariton funktio, entä aidosti kasvava funktio? ( p ) c) Osoita, että funktio f on pariton ja aidosti kasvava. ( p ) d) Määritä f ( 4). ( p ) Ratkaisut Sivu 8 / MAA Preliminääri 9
11 a) f() = f( + ) = f() + f() = f() f() =. p b) Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen ts. kaikilla muuttujan x arvoilla pätee f ( x) = f( x). +p Aidosti kasvavan funktion arvot suurenevat, kun muuttujan x arvot kasvavat ts. jos h >, niin myös f ( x) < f( x+ h) kaikilla muuttujan x arvoilla. +p c) ) = f () = f( x+ ( x)) = f( x) + f( x), joten f ( x) = f( x). +p ) Olkoon muutos h>. Tällöin f( x+ h) = f( x) + f( h) > f( x) ominaisuuden nojalla +p d) f (4) = f( + ) = f() + f() = f() + f(+ ) = f() + f() = f() + f() + f() = 4 f(). +p Toisaalta funktio f ( x ) on pariton, joten f( 4) = f(4) = 4 f() = 4 5 =. +p Vastaus: a) f () = b) f ( 4) = *5. a) Osoita, että x + y, dx < y kun. x + y > ( 4p ) b) Ratkaise yhtälö t x dt =, kun x. ( 5p ) a) Olkoon y > vakio, jolloin voidaan tutkia yhden muuttujan funktiota x + y f( x) = suljetulla välillä [,]. +p x + Ratkaisut Sivu 9 / MAA Preliminääri 9
12 Derivaatta ( ) ( ) ( ) xx + xx + y x y f ( x) = = <, ( x + ) ( x + ) sillä y > ja < x <. Täten funktio on aidosti vähenevä koko suljetulla välillä [,]. +p Siten + y f x f y + ( ) () = =. Täten pätee arvio f ( x ) dx y dx = / y x = y. +p Integraalin pinta-ala tulkinnan nojalla saadaan tarkempi arvio f ( x) dx< y, sillä funktio on aidosti vähenevä tarkasteluvälillä. +p b) Integroimismuuttuja t on välillä [,], joten on erotettava tapaukset ) x > ) x. z z ) t x dt = ( t+ x) dt = /( t + xt) = + x. Saadaan yhtälö + x =, josta x =. +p+p z zx z x x ) t x dt = ( t + x) dt + ( t x) dt = /( t + xt) + /( t xt) = x x +. x Saadaan yhtälö x x+ = eli ( x- ) =, josta x = ±. Näistä kumpikaan ei ole välillä x. Täten annetun yhtälön ainoa ratkaisu on x =. +p+p Vastaus: x = Ratkaisut Sivu / MAA Preliminääri 9
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Pythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Ratkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Ratkaisut A. a) Sievennä (x ) (x )(x + ). 7 b) Laske ( ) π + sin( ). c) Ratkaise yhtälö (x 5x ) = 5. Ratkaisu: a) (x ) (x )(x + ) = 4x x + 9 (4x 9) = x + 8 + 7 b) ( ) π π + sin( ) = ( ) + sin( + π ) 5
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
MAA preliminääri 2018
MAA preliminääri 018 Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Kirjoita A-osion ratkaisut alla olevaan ruudukkoon. Vastausta voi tarvittaessa jatkaa erillisellä puoliarkilla. Osiossa A EI SAA
Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Koontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
a b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Integrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat
Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.
MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Hyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].
7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä
MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka
Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi
Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.
Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =