Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012"

Transkriptio

1 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012

2 Sisältö 1 Integrointitekniikoit Osittisintegrointi (Integrtion by prts) Sijoitus (Method of Substitution) Käänteinen sijoitus (Inverse Substitution) Rtionlifunktion integrli Epäoleellinen integrli (Improper integrl) Numeerinen integrointi Integrlilskennn sovelluksi Kppleen tilvuus Pyörähdyskppleen tilvuus Käyrän krenpituus j pinnn pint l Pyörähdyspinnn pint l Mss, momentti j msskeskipiste Pistemäiset msst Ei-pistemäiset msst Homogeenisen tsokppleen pinopiste eli keskipiste Prmetriset käyrät Krteesisen muodon käyristä prmetrisiin esitysmuotoon Sileät prmetriset käyrät Prmetristen käyrien tngentti- j normlisuort Krenpituus j pint-l Krenpituus Pyörähdyskppleen pint-l Tso-lueen pint-l Npkoordintit j npkäyrät Npkoordintit Npkäyrät Etenemisnopeus prmetrisell käyrällä Jonot j srjt(sequences) Lukujonot j suppeneminen Srjt (Series) Srjn suppenemisest yleisesti Erityyppisiä srjoj Positiivisten srjojen suppenemistestejä Itseinen j ehdollinen suppeneminen Potenssisrjt Tylorin j Mclurinin srjt Vektorit j kolmiulotteinen geometri Anlyyttistä geometri 3 ulottuvuudess Vektoreiden peruskäsitteet Stndrdikntvektorit Pistetulo Ristitulo R 3 :ss Suort R 3 :ss Tsot

3 6 Kompleksiluvuist Tust Peruskäsitteitä Kompleksitso Kompleksilukujen lskutoimituksi Kompleksifunktiot

4 1 Integrointitekniikoit 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts) Jos integroitv funktio voidn esittää khden funktion U j V tulon, voidn hyödyntää tulon derivoimissääntöä d (U(x)V (x)) = U(x)dV dx dx + V (x)du (1) dx Integroidn molemmt puolet j järjestellään termejä, jolloin sdn eli lyhyesti U(x) dv dx = U(x)V (x) dx UV = UV V (x) du dx (2) dx U V (3) Integrointivkio mukn vst viimeisen integroinnin jälkeen Usein knntt kokeill seurv: Jos integroitv funktio on muoto polynomi eksponentti, sini ti kosinifunktio, vlitn U = polynomi Jos integroitvss funktioss on mukn funktio, jok on helposti integroitviss, vlitn tämä funktio = V Esimerkki 1.1. Osittisintegrointi käyttäen osoit integrlille I n = x n e x dx oikeksi reduktiokv I n = x n e x + ni n 1 j lske sen vull mitä on I 4 kun x = 0. Osittisintegrointi toimii myös määrätyn integrlin knss: UV = / b UV U V (4) Esimerkki 1.2. Olkoon I n = π/2 sin n (x)dx. Osoit todeksi reduktiokv I 0 n = n 1I n n 2 j lske sen vull mitä on I 3 j I Sijoitus (Method of Substitution) Yhdistetyn funktion derivtt määritellään d dx f(g(x)) = f (g(x)) g (x) (5) Integroimll puolittin, sdn f (g(x)) g (x) dx = f(g(x)) + C (6) Erityisesti jos sisäfunktio g(x) on monimutkinen luseke, voi edellisen kvn käyttö tuntu joskus hnkllt. Tekemällä sijoitus u = g(x) (j täten du = g (x) dx) sdn kv yksinkertisempn muotoon f (g(x)) g (x) dx = f (u)du + C = f(g(x)) + C (7) 2

5 Määrätyn integrlin knss pitää ott huomioon, että sijoituksess integroimisrjt muuttuvt. Olkoon g() = A j g(b) = B: f (g(x)) g (x) dx = B A f(u) du (8) Esimerkki 1.3. Lske integrli e 3 e 2 1 t(ln(t)) 4 dt käyttäen sijoitust u = ln(t). Neliöksi täydentäminen on eräs suorn sijoituksen yleisimmistä käyttötilnteist: stetn luseke Ax 2 + Bx + C muotoon ( Ax 2 + Bx + C = A x + B ) 2 4AC B2 + (9) 2A 4A j sijoitetn u = x + B 2A. 1 Esimerkki 1.4. Integroi funktio käyttäen hyväksi tieto että 16x 2 +16x 2 D(cos 1 (x)) = 1 1 x Käänteinen sijoitus (Inverse Substitution) Sijoitetn integrliin x = g(u), jolloin sdn x=b x= f(x)dx (10) f (g(u)) g (u)du (11) Näin stu integrli voi näyttää vikemmlt kuin lkuperäinen, mutt on joskus helpommin rtkistviss. Muutmi perusvinkkejä sijoituksiksi: Jos integrliss on tekijä 2 x 2, se sdn usein yksinkertisempn muotoon sijoituksell x = sin θ eli θ = sin 1 x (käänteinen sinisijoitus, inverse sine substitution). Jos integrliss on tekijä 2 + x 2 1 ti, se sdn usein yksinkertisempn muotoon sijoituksell x = tn θ eli θ = tn 1 x (käänteinen tngenttisijoitus, inverse tngent x + 2 substitution). Jos integrliss on tekijä x 2 2 ( > 0), se sdn usein yksinkertisempn muotoon sijoituksell x = sec θ eli θ = sec 1 x (käänteinen seknttisijoitus, inverse secnt substitution). Kosinin j sinin rtionlifunktio sdn joissin tpuksiss muutettu x:n rtionlifunktioksi sijoituksell x = tn θ 2, eli θ = tn 1 x. Esimerkki 1.5. Integroi luseke 1 x 2 x

6 1.4 Rtionlifunktion integrli Trkstelln integrlej, jotk ovt muoto P (x) dx, (12) Q(x) missä P j Q ovt muoto n x n + n 1 x n x x + x 0 (13) olevi polynomej, missä n on polynomin ste.osmäärää P (x)/q(x) kutsutn rtionlifunktioksi Jos P :n ste on sm ti suurempi kuin Q:n, voidn suoritt jkolsku, jonk tuloksen sdn polynomi + R(x)/Q(x), missä R:n ste on pienempi kuin Q:n. Trkstelln siis integrlej R(x) dx, (14) Q(x) joiss R:n ste on pienempi kuin Q:n. Jos Q:n ste = 1 (linerinen nimittäjä), Q(x) = x + b, missä < 0. Tällöin R(x):n ste on oltv 0, ts. R(x) = c j R(x)/Q(x) = c/(x + b). Sijoituksell u = x + b sdn c x + b dx = c du u = c ln u + C = c ln x + b + C (15) Neliöllinen nimittäjä: xdx x = 1 2 ln(x2 + 2 ) + C xdx x 2 2 = 1 ln 2 x2 2 + C dx x = 1 tn 1 x + C dx = 1 x 2 x 2 2 x+ + C (16) Kolme ensimmäistä sdn sdn johdettu suorll sijoituksell j viimeinen käyttämällä osmurtohjotelm: Oletetn, että Q voidn jk n:ään lineriseen tekijään: Q(x) = (x 1 )(x 2 ) (x n ), (17) missä i j, jos i j, 1 i, j n. Tällöin P (x)/q(x):n osmurtohjotelm voidn kirjoitt muotoon P (x) Q(x) = A 1 + A 2 A n + (18) x 1 x 2 x n Jos Q sisältää jottomn 2. steen tekijän x 2 + px + q, muodostetn osmurtoluku Ax + B x 2 + px + q (19) Huom. Tätä muoto voidn käyttää vikk tekijä x 2 + px + q ei olisikn joton. 4

7 Jos jokin Q(x):n linerinen ti neliöllinen termi toistuu m kert, trvitn P (x)/q(x):n hjotelmss m murtoluku vstmn ko. tekijää: esimerkiksi jos Q:ll on tekijä (x ) m, trvitn osmurtokehitelmään termit A 1 x + A 2 (x ) 2 + A m (x ) m (20) Esimerkki 1.6. Integroi osmurtokehitelmän vull lusekkeet 6x2 +10x+2 3x+1. (x 1)x 2 x j 2 1 x(x 2 +3x+2) x 4 2x 3 2x 1 j 1.5 Epäoleellinen integrli (Improper integrl) Määrätty integrli, jok on tyyppiä I = f(x)dx, (21) missä integroitv funktio f on jtkuv suljetull, äärellisellä välillä [, b], s äärellisen rvon. Tällist integrli kutsutn oleelliseksi integrliksi (proper integrl). Jos otetn huomioon myös seurvt mhdollisuudet 1. Joko = ti b = ti molempi 2. f ei ole rjoitettu, kun x lähetyy :t ti b:tä ti molempi puhutn epäoleellisist integrleist. Ensimmäisessä tpuksess on kyseessä tyypin I, jälkimmäisessä tyypin II epäoleellinen integrli. Määritellään nämä seurvksi hiemn täsmällisemmin. Tyypin I epäoleelliset integrlit: Jos f on jtkuv välillä [, [, määritellään Smoin jos f on jtkuv välillä ], b] R f(x)dx = lim R f(x)dx (22) f(x)dx = lim R R f(x)dx (23) Jos yo. rj rvot ovt olemss, epäoleellinen integrli suppenee (konvergoi), jos eivät, se hjntuu (divergoi). Tpuksess f(x)dx integrli jetn khteen osn f(x)dx = 0 f(x)dx + missä integrli suppenee, jos molemmt yo. integrlit suppenevt. 0 f(x)dx, (24) Tyypin II epäoleelliset integrlit: Jos f on jtkuv välillä ], b] j voi oll rjoittmton :n lähellä, määritellään f(x)dx = lim c + 5 c f(x)dx. (25)

8 Vstvsti jos f on jtkuv välillä [, b[ j voi oll rjoittmton b:n lähellä, f(x)dx = lim Esimerkki 1.7. Osoit että jos 0 < < c b c f(x)dx. (26) j 0 x p dx x p dx {suppenee kohti luku 1 p p 1, jos p > 1 hjntuu kohti :, jos p 1 {suppenee kohti luku 1 p 1 p, jos p < 1 hjntuu kohti :, jos p 1 (27) (28) Integrlin suppenemist voidn rvioid vertmll sitä tunnettuun integrliin: Oletetn, että < b j funktiot f j g ovt jtkuvi välillä (, b) j toteuttvt ehdon 0 f(x) g(x). Tällöin jos g(x)dx suppenee, niin myös f(x)dx suppenee j f(x)dx g(x)dx. (29) Smoin, jos f(x)dx divergoi kohti ääretöntä, niin tekee myös g(x)dx. Esimerkki 1.8. Osoit että 1 dx divergoi kohti ääretöntä j että sin(e x )dx 1 2+cos(xe x ) 1 konvergoi kohti jotin reliluku. 1.6 Numeerinen integrointi Numeerist integrointi voidn trvit mm. kun Määrätyn integrlin I = lskeminen on oll vike ti mhdotont f(x)dx (30) f:n lusekett ei ole stvill. Esim. jos on vin mittustuloksi y i jnhetkinä x i eli jotk ovt tuntemttomn funktion f rvoj f(x i ). Käytännössä numeerinen integrointi voidn toteutt tietokoneell ti lskimell. Tutustumme seurvksi muutmn numeeriseen integroimismenetelmään. Puolisuunnikssääntö (Trpezoidl rule): Oletetn, että f(x) on jtkuv välillä [, b]. Jetn väli [, b] n:ään smnpituiseen osväliin, välien pituus h = (b )/n käyttäen n + 1 pistettä x 0 =, x 1 = + h, x 2 = + 2h,, x n = + nh = b. (31) Oletetn myös että f(x):n rvot näissä pisteissä tunnetn, eli y 0 = f(x 0 ), y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ),, y n = f(x n ). (32) 6

9 Approksimoidn integrli f(x)dx käyttäen em. pisteiden välisiä suori viivoj: summtn näin stujen puolisuunnikkiden pint lt j käytetään näin stu pint l integr- lin likirvon. Puolisuunnikssäännön ntm likirvo T n integrlille f(x)dx on ( 1 T n = h 2 y 0 + y 1 + y 2 y y n ) 2 y n ( ) = h n 1 y y j + y n 2 j=1 (33) (34) Yksinkertisuudestn huolimtt puolisuunnikssääntö on melko tehoks menetelmä. Trkstelln esimerkiksi integrli 2 1 I = x dx. 1 Tämän integrlin rvo tunnetn, se on ln 2 = Lsketn se puolisuunnikssäännöllä j trkstelln tuloksen suppenemist: I T 4 = = I T 8 = = I T 16 = = Keskipistesääntö: Oletetn jälleen, että f(x) on jtkuv välillä [, b]. Jetn väli [, b] n:ään smnpituiseen osväliin j muodostetn Riemnnin summ sellisten suorkiteiden pint loist, joiden korkeudet on lskettu n:n osvälin keskipisteissä. Jos h = (b )/n j oletetn m j = + (j 1 )h, kun 1 j n. Tällöin keskipistesäännön 2 ntm likirvo M n integrlille f(x)dx on n M n = f (f(m 1 ) + f(m 2 ) + + f(m n )) = h f(m j ). (35) j=1 Simpsonin sääntö: Oletetn edelleen, että f(x) on jtkuv välillä [, b] j jetn väli [, b] n:ään smnpituiseen osväliin. Approksimoidn f:n kuvj nyt prbelin krill. Vlitn kolme vierekkäistä pistettä ( h, y L ), (0, y M ) j (h, y R ) j sijoitetn nämä pisteet prbelin yhtälöön: y L = A Bh + Ch 2 y M = A (36) y R = A + Bh + Ch 2 7

10 Tällöin A = y M, 2Ch 2 = y L 2y M + y R j h h ( (A + Bx + Cx 2 )dx = h h Ax + B 2 x2 + C x3) = 2Ah Ch3 = h ( 2y M + 1(y 3 L 2y M + y R ) ) = h 3 (y L + 4y M + y R ) (37) Oletetn, että käytettävissä on sm dt kuin puolisuunnikssäännön tpuksess, jolloin sdn (oletten myös, että n on prillinen) x2 x 0 f(x)dx h 3 (y 0 + 4y 1 + y 2 ) x4 x 2 f(x)dx h 3 (y 2 + 4y 3 + y 4 ) xn x n 2 f(x)dx h 3 (y n 2 + 4y n 1 + y n ) (38) Lskemll nämä yhteen sdn Simpsonin säännön ntm likirvo integrlille f(x)dx:. f(x)dx S n = h 3 (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y y n 2 + 4y n 1 + y n ) = h 3 (y ends + 4y odds + 2y evens ) (39) Virherviot; Kikki edellä esitellyt menetelmät ovt käyttökelpoisi, virhervioiden olless seurvt: K(b ) f(x)dx T n h 2 K(b )3 = 12 12n 2 K(b ) f(x)dx M n h 2 K(b )3 = 24 24n 2 K(b ) f(x)dx S n h 4 K(b )5 = (40) n 4 Kksi ensimmäistä virherviot olettvt että f:n toinen derivtt on rjoitettu j viimeinen että f:n neljäs derivtt on rjoitettu välillä [, b]. 2 Integrlilskennn sovelluksi Määrättyjä integrlej voidn sovelt mm. kppleiden tilvuuksien, käyrien pituuksien, pintojen pint lojen, voimien, energioiden jne. lskemiseen. Tässä kppleess esitellään näistä muutmi. 8

11 2.1 Kppleen tilvuus Kppleen, jonk poikkileikkuspint l pikss x on A(x), tilvuus V välillä x =, x = b on V = A(x)dx (41) Voidn myös kirjoitt V = x=b dv, missä dv = A(x)dx on tilvuuselementti. x= Esimerkki 2.1. Määritä integroimll sellisen ympyräpohjisen (vinon) krtion tilvuus jonk korkeus on 10 metriä. Esimerkki 2.2. Määritä integroimll R-säteisen pllon tilvuus Pyörähdyskppleen tilvuus Kpplett, joll on jotin kseli vstn kohtisuorss suunnss ympyränmuotoinen poikkileikkus, kutsutn pyörähdyskppleeksi. Esittelemme nyt kksi eri tp lske pyörähdyskppleen tilvuus: 1. Jos lue R, jot rjoittvt y = f(x), y = 0, x = j x = b pyörähtää x kselin ympäri, kppleen poikkileikkuksen pint l on A(x) = π(f(x)) 2 j pyörähdyskppleen pint l on V = π (f(x)) 2 dx (42) 2. Sylinterin kuori menetelmä: Tsolue R, jot rjoittvt 0 y f(x), 0 < x < b pyörähtää y kselin ympäri, jolloin tilvuus V = 2π xf(x)dx (43) Huom. Jos voidn rtkist y yhtälöstä y = f(x) niin silloin myös ensimmäistä menetelmää voidn käyttää y-kselin ympäri pyörähtävän kppleen tilvuuden lskentn. Esimerkki Käyrän krenpituus j pinnn pint l Hhmottelln esin tp joll kren pituus voidn lske likimääräisesti. Olkoon AB pisteiden A j B välinen lyhin etäisyys. Oletetn, että pisteiden A j B välillä on käyrä C j vlitn käyrältä pisteet A = P 0, P 1, P 2,..., P n 1, P n = B j pproksimoidn A:n j B:n välisen viivn pituutt monikulmiopproksimtioll, eli yhdistämällä pisteet P 0, P 1 jne. suorill viivoill. Käyrän pituus tässä pproksimtioss on L n = P 0 P 1 + P 1 P 2 + P n 1 P n = n P i 1 P i. (44) i=1 Tällöin on voimss määritelmä: Käyrän C krenpituus pisteestä A pisteeseen B on pienin reliluku s siten, että jokiselle monikulmiopproksimtion ntmlle pituudelle L n pätee L n s. Käyrä, jonk krenpituus on äärellinen on suoristuv. Esimerkki 2.4. Määrittele välille [0, 1] sellinen funktio jonk kuvj ei ole suoristuv. 9

12 Olkoon f välillä [, b] määritelty jtkuv funktio, joll on jtkuv derivtt f ko. välillä. Jos käyrä C on funktion f kuvj, ts. yhtälön y = f(x) kuvj, tämän käyrän krenpituus on ( ) 2 s = 1 + (f dy (x)) 2 dx = 1 + dx (45) dx Krenpituus voidn esittää myös krenpituuselementtien vull: missä s = x=b x= ds, (46) ds = 1 + (f (x)) 2 dx. (47) Esimerkki 2.5. Kivi heitetään pisteestä ( 1, 0) j se tippuu pisteeseen (1, 0). Oletetn että lentort noudtt yhtälöä y = x 2 1. Kuink pitkän mtkn kivi lensi? Esimerkki 2.6. Oletetn että rotkon ylittävä köysisilt noudtt n.k. "ketjukäyrän"yhtälöä f(x) = 0.1 cosh(x). Kuink pitkä kyösisilt on jos sen lkupiste on pisteessä (0, f(0)) j päätepiste pisteessä (1, f(1)) Pyörähdyspinnn pint l Kun tsokäyrää kierretään käyrän tsoss olevn viivn suhteen, sdn pyörähdyspint. Pyörähdyspinnn pint l sdn kiertämällä käyrän krenpituuselementtejä nnetun viivn suhteen. Jos kierron säde on r, sdn nuh, jonk pint l on ds = 2πrds (48) Jos f (x) on jtkuv välillä [, b] j käyrää y = f(x) kierretään x kselin ympäri, sdun pyörähdyspinnn l on S = 2π x=b x= y ds = 2π Vstvsti kierrettäessä y kselin ympäri S = 2π x=b x= x ds = 2π Esimerkki 2.7. Lske säteisen pllon pinnn pint l. f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. (49) x 1 + (f (x)) 2 dx. (50) Esimerkki 2.8. Prbelin y = x 2 + 2x + 10 x-kselin yläpuoleinen os pyörähtää x-kselin ympäri muodosten "kpselin". Mikä on tämän kpselin pint-l? Esimerkki 2.9. Käyrä y = x, 1 x 0 pyörähtää y-kselin ympäri. Mikä on pyörähdyspinnn pint-l? Joskus tsokäyrä on helpompi ilmist y:n kuin x:n funktion. Tällöin edellisissä kvoiss voidn yksinkertisesti viht y:n j x:n roolit: Jos g (y) on jtkuv välillä [c, d] j käyrää x = g(y) kierretään y kselin ympäri, sdun pyörähdyskppleen pint l on S = 2π y=d y=c x ds = 2π d c 10 g(y) 1 + (g (y)) 2 dy.

13 Vstvsti kierrettäessä x kselin ympäri S = 2π y=d y=c y ds = 2π d c y 1 + (g (y)) 2 dy. Esimerkki Käyrä x = e y väliltä 0 y ln(2) pyörähtää x-kselin ympäri. Mikä on syntyvän pyörähdyspinnn pint-l? 2.3 Mss, momentti j msskeskipiste Oletetn, että kppleen tiheys pisteessä P on δ(p ) j δ(p ) on jtkuv kppleen kikiss pisteissä P. Jetn kpple pieniin tilvuuselementteihin j oletetn, että tiheys δ on likimäärin vkio elementin sisällä. Tällöin tilvuuselementissä V, jok sisältää pisteen P, olev mss M on j koko kppleen mss Integrlimuodoss; msselementti dm = δ(p )dv m = dm = m δ(p ) V (51) m = m δ(p ) V (52) δ(p )dv. (53) Edellisessä kvss mss on yleisessä muodoss j integroiminen hnkl (P R 3 jdv on kolmiulotteinen "elementti"!) Pistemäiset msst Keskitytään nyt yksinkertistettuun 1-ulotteiseen tilnteeseen joss mss on keskittynyt pelkästään x-kselille tiettyyn pisteeseen: x kselill pikss x olevn mssn m momentti pisteen x = 0 suhteen on xm j pisteen x 0 suhteen (x x 0 )m. Jos useit mssoj m 1, m 2,... m n pikoiss x 1, x 2,... x n, kokonismomentti pisteen x = x 0 suhteen on yksittäisten momenttien summ: M x=x0 = (x 1 x 0 )m 1 + (x 2 x 0 )m (x n x 0 )m n = n (x j x 0 )m j. (54) Msssysteemin msskeskipiste on piste x, jonk suhteen kokonismomentti on noll, ts. n n n 0 = (x i x)m j = x j m j x m j (55) Msskeskipiste on siis j=1 x = j=1 n j=1 x jm j n j=1 m j = M x=0 m Yleistetään seurvksi tilnnett 2-ulotteiseen tpukseen: mss m 1 on pisteessä (x 1, y 1 ), m 2 pisteessä (x 2, y 2 ) jne. Msssysteemin momentti y kselin (x = 0) suhteen on M x=0 = x 1 m 1 + x 2 m x n m n = 11 j=1 j=1 (56) n x j m j (57) j=1

14 j x kselin (y = 0) suhteen M y=0 = y 1 m 1 + y 2 m y n m n = n y j m j (58) j=1 Msskeskipiste xy tsoss on siis piste ( x, ȳ), missä x = M x=0 m = n j=1 x jm j n j=1 m j ȳ = M y=0 m = n j=1 y jm j n j=1 m j (59) Esimerkki Puust rkennetun ympyrän muotoisen kynttelikön (säde R = 30 cm, pino 3 kg) msskeskipisteen thdottisiin olevn keskellä ympyrää, mutt puun epähomogeenisuuden vuoksi msskeskipiste ei olekkn hvitn että msskeskipiste onkin 3 cm ympyrän keskipisteestä. Minkä kokoinen (pistemäinen) mss pitäisi kiinnittää ympyrän kehälle jott msskeskipiste siirtyisi ympyrän keskipisteeseen? Ei-pistemäiset msst Yleistetään seurvksi tilnnett siten että mss on vin x-kselill, mutt ei esiinny pistemäisenä. Oletetn, että mss on jkutunut x kselille siten, että tiheys δ(x) on jtkuv funktio välillä [, b]. Tällöin pituuselementissä dx pikss x on mss dm = δ(x)dx j sen momentti pisteen x = 0 suhteen on dm x=0 = xdm = dδ(x)dx. Kokonismomentti on j kokonismss joten msskeskipiste M x=0 = m = x = M x=0 m = xδ(x)dx (60) δ(x)dx, (61) xδ(x)dx δxdx. (62) Esimerkki Suorn johdon pituus on L cm j sen tiheus etäisyydellä s cm johdon toisest päästä on δ(s) = sin(πs/l) g/cm (johto jtelln siis yksiulotteiseksi kppleeksi). Lske johdon mss. Missä on johdon msskeskipiste? Seurv esimerkki yleistää edelliset tulokset 2-ulotteiseen (erikois)tpukseen. Esimerkki Esim. lueess x b, 0 y f(x) olevn levyn, jonk tiheys pisteessä (x, y) on δ(x), mss on j momentit m = M x=0 = M y=0 = 1 2 δ(x)f(x)dx (63) xδ(x)f(x)dx δ(x)(f(x)) 2 dx. (64) Ann perustelu jälkimmäiselle kvlle sekä määritä msskeskipiste ( x, ȳ). 12

15 2.3.3 Homogeenisen tsokppleen pinopiste eli keskipiste Oletetn eo. kvoiss tiheys vkioksi, δ(x) = 1, sdn tsolueen x b, 0 y f(x) pinopisteeksi (centroid) ( x, ȳ), missä x = M x=0 A, ȳ = M y=0 A (65) A = f(x)dx, M x=0 = xf(x)dx M y=0 = 1 2 (f(x)) 2 dx (66) Esimerkki Osoit että kolmion, jonk kärkipisteet ovt (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) j (x 3, y 3 ) pinopiste on ( x1 + x 2 + x 3 ( x, ȳ) =, y ) 1 + y 2 + y 3 (67) 3 3 Esimerkki Ympyrän neljänneksen muotoist levyä kuv xy-tson pistejoukko {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2, x 0, y 0}. Jos levy on tspksu j homogeeninen niin mikä on levyn pinopiste? Keskipisteen vull sdn lskettu kätevästi myös pyörähdyskppleiden tilvuuksi j pint-loj (Pppusin luse): Jos tsolue R kierretään suorn L suhteen siten, että muodostuu pyörähdyskpple, sdun kppleen tilvuus on V = 2π ra, (68) missä A on lueen R pint l j r on R:n keskipisteen etäisyys L:stä. Jos tsokäyrä C kierretään viivn L suhteen siten, että muodostuu pyörähdyspint, sdun pinnn pint l on S = 2π rs, (69) missä s on käyrän C pituus j r on C:n keskipisteen etäisyys L:stä. Esimerkki xy tson neljännkesen tsolue, jonk keskipiste on pisteessä (10, 8), pyörähtää x-kselin ympäri. Näin muodostuneen pyörähdyskppleen tilvuudeksi stiin on 10 kuutiometriä. Mikä olisi ollut sellisen pyörähdyskppleen pint-l jok muodostuisi kun sminen tsolue pyörähtäisi y kselin ympäri? Esimerkki Pisteitä (1, 0)j (0, 1) yhdistävä jn pyörähtää suorn x = 2 ympäri j muodost kiinteän kppleen. Lske Pppuksen luseen vull kppleen vipn pint-l. 3 Prmetriset käyrät 3.1 Krteesisen muodon käyristä prmetrisiin esitysmuotoon xy-tson tsokäyrä on krteesisess muodoss jos se on nnettu suorn x:n j y:n lusekkeen, esimerkiksi x 2 + y 2 = 4 ti y = x 2 ti y + sin(yx) = e x. Vihteluväliä x:lle j y:lle voidn trvittess rjoitt (esim. puoliympyrä). Krteesisess muodoss olev käyrä voi oll joskus hyvinkin vike nlysoid ti edes hhmotell krkesti. Toislt on hyvin helppo todet onko nnettu (x, y) pistepri käyrällä. 13

16 Esimerkki 3.1. Jos kiven lentordn ennustetn noudtvn käyrää y = x niin osuuko se pisteessä (2,5) olevn kohteeseen? Tsoss olev käyrä C on prmetrinen, jos käyrään kuuluvt pisteet ovt muoto (f, g), missä f j g ovt funktioit jotk on määritelty smll välillä I. Yhtälöitä x = f(t), y = g(t), kun t I (70) kutsutn käyrän C prmetrisiksi yhtälöiksi ti prmetrisoinniksi. Riippumton muuttuj t on prmetri. Yleensä funktiot f j g ovt jtkuvi j vrsin usein prmetri t merkitsee ik. Prmetriksi voidn tietysti vlit jokin muukin symboli. Prmetrisen käyrän suunt on suunt, johon t ksv. Suunt esitetään käyrän kuvjss yleensä nuolell. Esimerkki 3.2. Hhmottele krkesti prmetrinen käyrä x = t 2, y = t + 1 välillä t [ 1, 2]. Hhmottele myös prmetrinen käyrä x = 2 sin(α), y = cos(α) kun α [0, 2π]. Prmetrisen käyrän pluttminen krteesiseen muotoon on usein mhdotont mutt joskus se onnistuu. Esimerkki 3.3. Plut prmetriset käyrät i) x = t 2, y = t+1 kun t [ 1, 2] j x = 2 sin(α), y = cos(α) kun α [0, 2π] tkisin krteesiseen muotoon. Krteesisess muodoss olevn käyrän prmetrisointi on yhtälill hnkl ongelm. Kun prmetrisointi on olemss, on sille lisäksi in useit eri vihtoehtoj j sopivn vlint voi riippu käytännön vtimuksist. Esimerkki 3.4. Etsi kksi oleellisesti erilist prmetrisoitu esitysmuoto suorlle y = x Sileät prmetriset käyrät Tsokäyrä on sileä, jos sillä on tngenttisuor jokisess pisteessä P j tngentti kääntyy jtkuvll tvll, kun P liikkuu pitkin käyrää. Oletetn nyt että prmetrisen esitysmuodon funktiot f j g ovt jtkuvi j derivoituvi pisteen t läheisyydessä. Sileydestä voidn tällöin todet: Tsokäyrä on sileä pisteessä (f( t), g( t) mikäli joko f ( t) 0 ti g ( t) 0. Jos f ( t) = 0 j g ( t) = 0 niin tsokäyrän sileydestä pisteessä (f( t), g( t) ei näiden tietojen perusteell void päätellä mitään. Tässä tpuksess derivttojen trkempi tutkiminen voi utt. Esimerkki 3.5. Osoit että seurvt käyrät ovt vrmsti sileitä kun t 0 i) x = f(t) = t 2, y = g(t) = t 3, ii) x = f(t) = t 3, y = g(t) = t 6. Tutki myös ovtko ne sileitä vi eivät pisteessä t = Prmetristen käyrien tngentti- j normlisuort Jos f (t) 0 välillä I, C on sileä j sillä on jokisell t:n rvoll tngenttisuor, jonk kulmkerroin on dy dx = g (t) f (t). (71) 14

17 Jos f (t) = 0 j g (t) 0, silloin tngenttti on pystysuor. Toislt jos g (t) 0 välillä I, C on sileä j sillä on jokisell t:n rvoll normlisuor, jonk kulmkerroin on dx dy = (t) f g (t). (72) Jos g (t) = 0 j f (t) 0, silloin normli on pystysuor (eli tngentti on vksuor). Jos f j g ovt jtkuvi j inkin toinen on nollst poikkev t 0 :ss, prmetriset yhtälöt { x = f(t 0 ) + f (t 0 )(t t 0 ) (73) y = g(t 0 ) + g (t 0 )(t t 0 ), missä < t <, esittävät käyrän x = f(t), y = g(t) tngenttisuor pisteessä (f(t 0 ), g(t 0 )). Vstvsti normlisuorn yhtälö on { x = f(t 0 ) + g (t 0 )(t t 0 ) (74) y = g(t 0 ) f (t 0 )(t t 0 ), missä < t <. Molemmt suort kulkevt pisteen (f(t 0 ), g(t 0 )) kutt, kun t = t 0. Esimerkki 3.6. Etsi ne pisteet väliltä t [0, 2π] joiss käyrällä x = cos(t), y = cos(e t ) on vksuor ti pystysuor tngentti. Määritä myös tngentti j normlisuorn kulmkertoimet pisteessä t = π/4. Muodost lisäksi prmetriset muodot tngentti j normlisuorn yhtälöille. 3.4 Krenpituus j pint-l Krenpituus Olkoon C sileä prmetrinen käyrä, jonk yhtälö on x = f(t), y = g(t), t b siten, että f (t) j g (t) ovt jtkuvi välillä [, b], eivätkä ole yhtik nolli. Tällöin käyrän krenpituuselementti on (ds ds = ds ) 2 (dx ) 2 ( ) 2 dy dt dt = dt = + dt (75) dt dt dt j krenpituus s = t=b t= ds = Esimerkki 3.7. Lske prmetrisen käyrän pituus Pyörähdyskppleen pint-l (dx ) 2 + dt x = e t cos t, y = e t sin t, (0 t 2) ( ) 2 dy dt (76) dt Jos sileä prmetrinen käyrä, jonk yhtälö on x = f(t), y = g(t), t b kierretään x kselin ympäri, sdun pinnn pint l on s = 2π t=b t= y ds = 2π Vstvsti y kselin ympäri kierrettäessä Esimerkki 3.8. s = 2π t=b t= x ds = 2π 15 g(t) (f (t)) 2 + (g (t)) 2 dt (77) f(t) (f (t)) 2 + (g (t)) 2 dt (78)

18 3.4.3 Tso-lueen pint-l Mtemtiikk A1 kurssill integroidess (x-muuttujn suhteen) opittiin että pint-l tulkint pätee sellisenn vin jos integroitv funktio on koko jn x-kselin yläpuolell. Jos funktio käy välillä x-kselin lpuolell, pitää integrli jk osiin jos pint-l on se mikä kiinnost. Sm pätee myös prmetristen käyrien yhteydessä. Lisäksi se mihin suuntn käyrä on kulkemss vikutt määrätyn integrlin rvoon. Tutkitn seurvksi hiemn erilisi tpuksi Käyrän C yhtälö on x = f(t), y = g(t), t b, missä f on differentioituv j g jtkuv välillä [, b]. Jos f (t) 0 j g(t) 0 välillä [, b], niin C:n j x kselin väliin jäävän pinnn pint ln pint lelementti on da = ydx = g(t)f (t)dt j pint l A = Jos f (t) 0 j g(t) 0 välillä [, b], niin A = g(t)f (t)dt Jos f (t) 0 j g(t) 0 välillä [, b], niin A = g(t)f (t)dt g(t)f (t)dt (79) Jos f (t) 0 j g(t) 0 välillä [, b], niin A = g(t)f (t)dt, missä A on C:n, x kselin j pystysuorien suorien x = f() j x = f(b) rjoittmn lueen pint l. Yhdistämällä kksi edelliset, sdn A = g(t)f (t)dt = A 1 A 2, (80) missä A 1 on C:n j x kselin sen osn, jok koostuu pisteistä x = f(t) siten, että g(t)f (t) 0, väliin jäävä lue j A 2 on vstv lue, jok koostuu pisteistä, joille g(t)f (t) < 0. Esimerkki 3.9. Määritä käyrän x(t) = t 3 4t, y(t) = t 2, t [ 2, 2] silmukn pint-l. 3.5 Npkoordintit j npkäyrät Npkoordintit Jos on trpeen tietää ti määritellä, kuink kukn j missä suunnss origost piste on, npkoordinttit ovt usein luonnollinen vlint krteesisten koordinttien semest. Npkoordintisto voidn määritellä origon O j siitä vksuorn oikelle ulottuvn np kselin vull. Tällöin pisteen P npkoordintit ovt r j θ, missä r on O:n P :n välinen etäisyys j θ on jnn OP j np kselin välinen kulm. Npkoordinttej merkitään yleensä hksuluill [r, θ] ti krisuluill (r, θ). Merkintätvst riippuen, seknnuksen vr lukuvälien ti krteesisen koordintiston pisteiden knss on ilmeinen j merkinnän ymmärtäminen jääkin usein siyhteydestä kiinni. Npkoordinttiesitys ei ole myöskään yksikäsitteinen, ts. npkoordintit [r, θ 1 ] j [r, θ 2 ] esittävät sm pistettä, jos θ 2 = θ 1 + 2nπ, missä n = 0, ±1, ±2,.... Npkoordinteille pätee myös [r, θ] = [ r, θ + π] Npkoordinttien j suorkulmisten koordinttien välinen muunnos: x = r cos θ x 2 + y 2 = r 2 (81) y = r sin θ tn θ = y x (82) 16

19 3.5.2 Npkäyrät Npkäyrät ovt erikoistpus prmetrisoidust käyrästä. Kun npkoordinteiss koordintti r sidotn koordinttiin θ, eli kirjoitetn jtelln r:ää θ:n funktion, r = f(θ), sdn Funktiot f(θ) kutsutn funktion f npkäyräksi. x = f(θ) cos(θ) x 2 + y 2 = r 2 (83) y = f(θ) sin(θ) tn θ = y x. (84) Npkäyrän määritelmästä seur suorn useit ominisuuksi: Npkäyrä, jonk yhtälö on r = f(θ θ 0 ) on käyrä r = f(θ) kierrettynä kulmn θ 0 verrn origon suhteen. Npkäyrä r = f(θ) lähestyy origo suunnst, joss f(θ) = 0. Olkoon piste P (ei origo) käyrällä r = f(θ). Tällöin kulm, jonk origost pisteeseen P kulkev suor j käyrän tngentin suuntinen suor muodostvt, sdn kvst tn Ψ = f(θ) f (θ) (85) Erityisesti jos f (θ) = 0, kulm Ψ = π/2. Jos f(θ 0 ) = 0 j käyrällä on tngenttisuor pisteessä θ 0, tngenttisuorn yhtälö on θ = θ 0. Käyrän r = f(θ) j suorien θ = α j θ = β, (α < β) rjoittmn lueen pint l on A = 1 2 Käyrän r = f(θ) krenpituuselementti on (dr β α (f(θ)) 2 dθ (86) ds = dθ ) 2 + r 2 dθ = (f (θ)) 2 + (f(θ)) 2 (87) Esimerkki Mt kiertävän stelliitin kiertortn korjtn korkeudelt 100 km korkeudelle 110 km. siten että korjus tehdään viiden kierroksen ikn j korkeus nousee tsisesti stelliitin kiertokulmn nähden. Määritä npkäyrä jot pitkin stelliitti kulkee. Esimerkki Lske krdioidin r = (1+cos θ) rjoittmn lueen pint l j reunviivn kokonispituus. 3.6 Etenemisnopeus prmetrisell käyrällä Edellä prmetrin on usein käytetty ik j käyrä nnettu muodoss x = f(t), y = g(t), t I. Jos jtelln että (f(t), g(t)) kertoo kppleen pikn xy-koordintistoss jnhetkellä t, niin x-kselin suuntinen liikenopeus on f (t) 17

20 y-kselin suuntinen liikenopeus on g (t) kppleen vuhti on (f (t)) 2 + (g (t)) 2 Tämä joht siihen että vuhti joll käyrällä liikutn voi vihdell pljonkin eri jnhetkinä. Esimerkki Kpple liikkuu pitkin ellipsiä x(t) = 4 sin(t), y(t) = 40 cos(t). Määritä kppleen vuhti jnhetkinä t = 0 j t = π/2. Jos kppleen etenemisnopeutt thdotn muutt, niin voidn kirjoitt x 1 = f(h(t)), y 1 = g(h(t)) (88) jolloin liikutn pitkin sm käyrää kuin lunperinkin, mutt vuhdill (f (h(t))) 2 + (g (h(t))) 2 h(t). Mikäli rvojoukko R(h) = I, niin (x 1, y 1 ) pisteet muodostvt täsmälleen smn joukon kuin pisteet (x, y). Esimerkki Kpple kulkee pitkin suor x = 2t + 1, y = 4t siten että sen vuhti on suorn verrnnollinen lähdöstä kuluneeseen ikn, luss kpple on origoss j vksuunnss se kulkee positiivisen x-kselin suuntn. Asettmll vtimuksi etenemisnopeudelle ennlt setetull käyrällä, joudutn helposti tilnteisiin joiss vditn numeerisi rtkisuj. Esimerkki Kpple kulkee vkionopeudell pitkin käyrää y = x 2, x [0, 1]. Minkälinen prmetrisointi kuvisi kppleen pikk jnhetkellä t? Vrsin tyypillisiä ovt tilnteet joiss kppleen vk- j pystysuuntinen nopeus on nnettu j kppleen liikert kiinnost. Esimerkki Kpple liikkuu pystysuunnss nopeudell sin(t) j vksuunnss nopeudell 4 cos(2t). Mikä on kppleen liikert kun jnhetkellä t = 0 se on pisteessä (2,3)? Myös tämäntyyppisistä tehtävistä tulee hyvin helposti sellisi että ne vtivt numeerisi rtkisumenetelmiä. Esimerkki Ajnhetkellä t 0 kppleeseen vikutt vksuunnss voim te t j pystysuunnss voim sin(t). Määritä kppleen vk- j pystysuuntiset nopeudet jnhetkellä t kun hetkellä t = 0 kpple on origoss levoss. Kppleen Vksuuntisen koordintin trkk rvo ei pysty yleisesti lskemn mutt hhmottele krkesti kppleen liikert. 4 Jonot j srjt(sequences) 4.1 Lukujonot j suppeneminen Lukujono on ääretön jono lukuj peräkkäin kirjoitettun, esim. {1, 2, 3, 4, 5,...}. Lukujono voidn määritellä esimerkiksi seurvill tvoill 1. Luettelemll muutm ensimmäinen termi (jos on ilmeistä, miten jono jtkuu) 2. Antmll yleinen termi n n:n funktion, esim. { n 1 n }, jost sdn lukujono {0, 1 2, 2 3, 3 4, 4 5,...} 3. Antmll kv, jost n voidn lske ikisempien termien vull. 18

21 Esimerkki 4.1. Määritä lukujonen { i } i=1 viisi ensimmäistä termiä kun tiedetään että 1 = 3, 2 = 2 j i+2 = i+1 2 i. Seurvksi käydään läpi lukujonoihin liittyviä käsitteitä. Lukujono n on: Alhlt rjoitettu, lrjn L, jos n L kikill n = 1, 2, 3,..., ylhäältä rjoitettu, ylärjn M, jos n M kikill n j rjoitettu, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu. Tällöin on olemss K siten, että n K kikill n = 1, 2, 3,.... Positiivinen, jos lrj on noll, ts. n 0 kikill n = 1, 2, 3,... j negtiivinen, jos n 0 kikill n. Ksvv, jos n+1 n kikill n = 1, 2, 3,... j vähenevä, jos n+1 n kikill n. Jono on monotoninen, jos se ei ole ksvv eikä vähenevä. Vuorottelev, jos n n+1 < 0 kikill n = 1, 2, 3,..., ts. peräkkäiset termit ovt vstkkismerkkisiä. Lukujonojen suppeneminen: Lukujono { n } suppenee kohti rj rvo L, merkitään lim n n = L, jos jokist positiivist reliluku ɛ vst kokonisluku N siten, että jos n > N, n L < ɛ. Jos lukujono ei suppene, se hjntuu. Jos lukujono { n } suppenee, niin se on rjoitettu. Jos lukujono { n } on ylhäältä rjoitettu j ksvv, niin se suppenee. Vstvsti jos lukujono { n } on lhlt rjoitettu j vähenevä, niin se suppenee. Vrsin usein lukujonot muodostuvt kun funktioist otetn "näytteitä". Lukujonojen lkioiden voidnkin myös jtell muodostvn funktion f(n) = n. Kun lukujonon suppenemist tutkitn, voidn se tehdä normlin funktion rj-rvon trkstelun, eli: Jos lim x f(x) = L j n = f(n), niin lim n n = L. Esimerkki 4.2. Onko seurvt lukujonot ) { n n+1 rjoitettuj? Lske rj-rvot. } n=1 b) { n 3 n Esimerkki 4.3. Lske seurvn lukujonon rj-rvo ) { n e n } n=1 b) { (n+1)(n+2) 2n 2 } n=1 } n=0 monotonisi j/ti 4.2 Srjt (Series) Päättymätön srj (ti pelkästään srj) sdn summmll äärettömän mont termiä. Esim. jonon { n } termien summn sdn srj = n (89) n=1 Esim. n=1 1 n = (90) 19

22 Summus voidn loitt jostin muustkin indeksistä kuin 1, esim. n = (91) n=0 Määritellään seurvksi ossummien jono s n : s 1 = 1 s 2 = s = s 3 = s = s n = s n 1 + n = n = n j=1 j. Hiemn epäoleellisen integrlin hengessä, srjn n=1 n rvoksi määritellään se rvo, jot kohti ossummien jono suppenee, siis s = lim n s n = Srjn suppenemisest yleisesti n. (92) Srj n=1 n suppenee jos j vin jos sen ossummien jono {s n } suppenee. (Huom! Kyseessä siis ossummien jono {s n }, ei srjn termien jono { n }. n=1 lim n n = 0 ei tk srjn suppenemist (vert 1 1 dx). x lim n n 0 tk srjn hjntumisen (vert 0 sin(x)dx). Jos n=1 n suppenee, lim n n = 0. Srj n=1 n suppenee jos j vin jos n=n n suppenee kikill kokonisluvuill N 1 (eli siis vin srjn lopullinen (ultimte) käyttäytyminen rtkisee sen suppeneeko srj vi ei). Jos { n } on (lopult) positiivinen, srj n=1 n joko suppenee (ossummt ylhäältä rjoitettuj) ti hjntuu kohti ääretöntä (ossummt eivät ylhäältä rjoitettuj). Jos srjt n=1 n j n=1 b n suppenevt, niille pätee n c i = c i=1 n i (93) i=1 n i ± i=1 n b i = i=1 n ( i ± b i ) (94) i=1 20

23 4.2.2 Erityyppisiä srjoj Muoto n=1 rn 1 = + r + r 2 + r 3 + olev srj, jonk n:s termi on n = r n 1 on geometrinen srj. Jos r 1, geometrisen srjn n:s ossumm on Geometrinen srj n=1 rn 1 suppenee kohti noll, jos = 0 s n = + r + r r n 1 = (1 rn ). (95) 1 r suppenee kohti luku, jos r < 1 1 r hjntuu kohti :tä, jos r 1 j > 0 hjntuu kohti :tä, jos r 1 j < 0 hjntuu, jos r 1. Sisäkkäin menevä srj (telescoping series), eli srj joss peräkkäiset termit kumovt toisin Hrmoninen srj (Hrmonic series) n=1 1 n = (96) hjntuu kohti ääretöntä. Hrmonist srj voidn hyödyntää trksteltess muiden srjojen suppenemist. Esimerkki 4.4. Suppeneeko srj 3 2n 5 1 n? Jos suppenee lske srjn summ. n=1 Esimerkki 4.5. Osoit että suppenee kohti rj rvo lim n s n = 1. n=1 1 n(n + 1) (97) Positiivisten srjojen suppenemistestejä Srjn suppenemist ei usein void tutki ossummien vull (ossummn "sievennetty"luseke voi oll mhdotont muodost). Tällöin trvitn testejä, joiden vull voidn selvittää, suppeneeko srj. Trkstelln nyt vin positiivisi srjoj, ts. srjoj, jotk ovt muoto missä n 0 kikill n 1. n = , (98) n=1 21

24 Integrlitesti: Olkoon n = f(n), missä f(x) on positiivinen, jtkuv j ei ksvv välillä [N, ) jollin positiivisell kokonisluvull N. Tällöin n=1 n j joko molemmt suppenevt ti hjntuvt kohti ääretöntä. N f(t)dt (99) Vertilutesti: Olkoot { n } j {b n } positiivisi lukujonoj, joille on olemss positiivinen vkio K siten, että jostin n:n rvost lähtien 0 n Kb n. Tällöin 1. Jos srj n=1 b n suppenee, myös n=1 n suppenee. 2. Jos srj n=1 n hjntuu kohti ääretöntä, myös n=1 b n hjntuu kohti ääretöntä. Rj rvon vertilutesti: Olkoot { n } j {b n } positiivisi lukujonoj j n lim = L, (100) n b n missä L on joko ei negtiivinen äärellinen luku ti +. Tällöin 1. Jos L < j n=1 b n suppenee, myös n=1 n suppenee. 2. Jos L > 0 j n=1 b n hjntuu kohti ääretöntä, myös n=1 n hjntuu kohti ääretöntä. Suhdetesti: Oletetn, että n > 0 j ρ = lim n n+1 n on olemss ti on +. Tällöin 1. Jos 0 ρ < 1, n=1 n suppenee. 2. Jos 1 < ρ, niin lim n n = j n=1 n hjntuu kohti ääretöntä. 3. Jos ρ = 1, testi ei nn informtiot. Juuritesti: Oletetn, että n > 0 j σ = lim n ( n ) 1/n on olemss ti on +. Tällöin 1. Jos 0 σ < 1, n=1 n suppenee. 2. Jos 1 < σ, niin lim n n = j n=1 n hjntuu kohti ääretöntä. 3. Jos σ = 1, testi ei nn informtiot. Esimerkki 4.6. Suppeneeko/hjntuuko srj ) n=2 1 ln(n) b) n 2 (2n 1)!? n= Itseinen j ehdollinen suppeneminen Edellisessä kppleess tutkittiin vin srjoj joiden termit ovt positiivisi. Ljennetn nyt hiemn käsitteitä: Srj n=1 n suppenee itseisesti, jos srj n=1 n suppenee. Jos srj suppenee itseisesti, se suppenee. Jos srj suppenee, muttei itseisesti, se suppenee ehdollisesti. Srjlle jonk jok toinen termi on negtiivinen j jok toinen positiivinen, vrsin yksinkertiset ehdot tkvt srjn suppenemisen: Jos 22

25 1. n 0, kun n = 1, 2, 3, n+1 n, n = 1, 2, 3, lim n n = 0, niin vuorottelev srj ( 1) n 1 n = (101) n=1 suppenee. Huom ettei tämän, kuten muidenkn srjojen knss, ole väliä loitetnko summus indeksistä 1 vi mistä thns muust positiivisest indeksistä. Esimerkki 4.7. Tutki itseistä j ehdollist suppenemist srjoille ) c) ( 1) n, d) n 3 n=3 n=3 ( 1) n ln(n)? n=1 9 n ( 2) n+1 n b) n=3 ( 12) n Virhervio vuorotteleville srjoille: Jos lukujono { n } täyttää vuorottelevien srjojen testi ehdot niin että srj n=1 ( 1)n 1 n suppenee kohti summ s, niin kikill n 1, srjn n:s ossumm s n toteutt epäyhtälön s s n n+1, (102) ts. tehty virhe on pienempi kuin ensimmäinen poisjätetty termi. Huom että positiivisten srjojen kohdll tämä rvio ei toimi!!! Esimerkki 4.8. Kuink mont srjn ( 1) n n=1 termiä trvitn, jott ossumm poikke 1+2 n srjn summst vähemmän kuin 0.001? Huom! Kosk srjn rvo on määritelty ossummn rj-rvon, ei srjn termejä voi uudelleenjärjestellä kosk srjn rvo mhdollisesti muuttuisi (kosk ossummien lusekkeet muuttuisivt!). Tämä on itsesiss tärkeä syy sille miksi määritelmässä käytetään ossummi: ei olisi hyvä jos lskun tulos riippuu lskujärjestyksestä. Itseisesti suppenevn (ti positiivitermisen) srjn kohdll termien uudelleenjärjestely ei kuitenkn vikut lopputulokseen Potenssisrjt Muoto n (x c) n = (x c) + 2 (x c) (x c) 3 + (103) n=0 olevi srjoj kutsutn x c:n potenssisrjoiksi ti potenssisrjoiksi pisteen c läheisyydessä. Vkioit 0, 1, 2,... kutsutn potenssisrjn kertoimiksi, piste c on suppenemiskeskus. Niillä x:n rvoill, joill srj suppenee, sen summ määrittelee x:n funktion, esim. välillä 1 < x < x + x 2 + x 3 + = 1 (104) 1 x Tätä srj kutsutn funktion potenssisrjesitykseksi. Jokiselle potenssisrjlle n=0 n(x c) n pätee yksi seurvist ehdoist: 23 n

26 1. Srj suppenee vin kun x = c 2. Srj suppenee millä thns reliluvull x 3. On olemss positiivinen reliluku R siten, että srj suppenee kikill x, joille x c < R j hjntuu, kun x c > R. Päätepisteissä x = c R j x = c + R srj voi supet ti hjntu. Väli, joll potenssisrj suppenee (välin keskipiste x = c) on sen suppenemisväli. Suppenemisväli voidn löytää seurvsti: Oletetn, että L = lim n+1 n n on olemss ti on. Tällöin potenssisrjn n=0 n(x c) n suppenemissäde on R = 1/L. (Jos L = 0, niin R = ; jos L =, niin R = 0.) Suppenemisväli on tällöin vähintään ]c R, c + R[. Päätepisteet täytyy tutki erikseen. Esimerkki 4.9. Tutki potenssisrjojen n=0 3n(x + 1)n j 1 n=0 ((x + n 2)/2)n suppenemist. Potenssisrjojen suppenemist voidn tutki usein hjoittmll ne pienempiin osiin kertoimiens suhteen: Olkoot n=0 nx n j n=0 b nx n potenssisrjoj, joiden suppenemissäteet ovt R j R b j c on vkio. Tällöin Srjn n=0 (c n)x n suppenemissäde on R j (c n )x n = c n x n (105) Srjn n=0 ( n + b n )x n suppenemissäde R min{r, R b } j n=0 ( n + b n )x n = n=0 n=0 n x n + n=0 b n x n (106) n=0 Tulo missä ( ) ( ) n x n b n x n = c n x n, (107) n=0 n=0 n=0 n c n = 0 b n + 1 b n n b 0 = j b n j (108) j=0 Jos srj n=0 nx n suppenee kohti summ f(x) välillä ( R, R), missä R > 0, ts niin f(x) = n x n = x + 2 x x 3 +, ( R < x < R) (109) n=0 f(x) on differentioituv välillä ( R, R) j f (x) = n n x n 1 = x x 2 +, ( R < x < R) (110) n=1 f(x) on integroituv millä thns välin ( R, R) suljetull lvälillä 24

27 Jos x R, niin x 0 f(t)dt = n=0 n n + 1 xn+1 = 0 x x x3 + (111) termi termiltä derivoidull j integroidull srjll on sm suppenemissäde kuin lkuperäisellä srjll. Jos srj suppenee myös jommsskummss ti molemmiss päätepisteissä R j R, niin f on myös jtkuv näihin päätepisteisiin skk. Esimerkki Etsi potenssisrjesitys funktiolle f(x) = ln(1 + x) Tylorin j Mclurinin srjt Tylorin j Mclurinin srjt ovt itsesiss vin yleistys Tylorin polynomist (ktso A1), missä polynomin steluvun nnetn ksv kohti ääretöntä: Jos funktioll f(x) on kikkien kertlukujen derivtt pisteessä x = c niin funktion f(x) Tylorin srj pisteessä x = c on srj k=0 f (k) (c) k! (x c) k = f(c) + f (c)(x c) + f (c) 2! (x c) 2 + f (3) (c) (x c) 3 +. (112) 3! Jos Tylorin srjn kehityspiste c = 0, kutsutn srj Mclurinin srjksi. Nyt voi herätä kysymys siitä millä kikill x:n rvoill kyseinen srj suppenee? Tylorin polynomin virhetermihän voi "levitä käsiin"mikäli derivtt ksvvt holtittomsti. Tämä nlyysi voidn tehdä potenssisrjojen hengessä: Jos srj suppenee välillä I, niin funktio f voidn esittää muodoss f (k) (c) f(x) = (x c) k, x I (113) k! Esimerkki Määritä Mclurinin srjt seurville funktioille k=0 1 1 x, 1, ln(1 + x), 1 < x < 1 (114) (1 x) 2 Tylorin j Mclurinin srjojen sovelluksi ovt mm.: Funktioiden likirvojen lskeminen Määrättyjen integrlien likirvojen lskeminen Rj rvojen määrittäminen Vihtuvtermiselle srjlle on edellä esitetty rvio virheelle mikä tphtuu jos summ ktkistnkin, eli lsketn vin äärellinen määrä termejä. Jos kyseessä on Tylorin srj, sdn rvio ikiseksi, oli srj sitten vihtuvterminen ti ei: Jos P n (x) = n k=0 f (k) (c) (x c) k, (115) k! 25

28 j funktioll f on (n + 1):n kertluvun derivtt välillä, jok sisältää c:n j x:n, pisteen x = c ympäristössä, pätee f(x) = P n (x) + E n (x) (116) missä jollin X:llä jok on c:n j x:n välillä. E n (x) = f (n+1) (X) (n + 1)! (x c)n+1 (117) Esimerkki Käytä Mclurinin srjn ensimmäistä kolme ensimmäistä termiä lskeksesi likirvo integrlille x 0 e t2 dt. Ann myös luseke joll virheen suuruutt voisi rvioid. 5 Vektorit j kolmiulotteinen geometri 5.1 Anlyyttistä geometri 3 ulottuvuudess Kolmiulotteisess vruudess pisteen pikn määrää kolme luku. Nämä luvut ilmoitetn yleensä etäisyyksinä origost, mitttun kolmen toisin vstn kohtisuorn kselin suunnss. Näitä kseleit kutsutn x, y j z kseleiksi, j ne muodostvt krteesisen koordintiston. Pisteen P koordintit 3 ulotteisess vruudess muodostvt järjestetyn kolmikon (x, y, z), missä reliluvut x, y j z ovt pisteen etäisyydet origost x, y j z kselin suunnss. Kolmiulotteist vruutt merkitään symbolill R 3. Vstvsti 2 ulotteist tso merkitään symbolill R 2. On syytä huomt että kolmiulotteiseen vruuteen voidn tso sett moness eri sennoss, eli pelkkä merkintä R 2 ei välttämättä kerro kikke mhdollist informtiot. Yleisiä tson yhtälöitä esitellään myöhemmin. Pisteen P = (x, y, z) etäisyys origost määritellään on r = x 2 + y 2 + z 2 (118) Smoin pisteiden P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) j P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) välinen etäisyys on s = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 (119) Esim. pllon, jonk keskipiste on (h, k, l) j säde r, yhtälö on (x h) 2 + (y k) 2 + (z l) 2 = r 2 Yhtälöiden geometrinen merkitys riippuu siitä kuink korkedimensioisess vruudess niitä jtelln. Esim. R 3 :ss yhtälö x = 0 esittää kikki pisteitä, joiden koordintit ovt (0, y, z), ts. yz tso. R 2 :ss tällinen yhtälö esittää suor (y kseli) j R 1 :ssä pistettä. Esimerkki 5.1. Hhmottele R 2 :ss yhtälö (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4. Tee sm myös R 3 :ss. 5.2 Vektoreiden peruskäsitteet Vektori on suure, joll on suunt j suuruus (koko, pituus). Geometrinen esitys: nuoli lkupisteestä loppupisteeseen. Vektori pisteestä A pisteeseen B merkitään v = AB (120) 26

29 Käsin kirjoitettess voidn merkitä myös v (ti v jos ei ole vrn sekoitt n.k. "kompleksikonjugttiin", jok esitellään myöhemmin kurssill). Vrsin tvllist on myös käyttää vin merkintää v, j jättää lukijn vstuulle ymmärtää kontekstist onko kyseessä vektori vi ei. Vektorin v suuruus = "nuolen"pituus, merkitään v ti AB. Vektorit u j v ovt yhtäsuuri, jos niillä on sm pituus j suunt. 2 ulotteiset vektorit xy tsoss ovt smt, jos niillä on smt x j y komponentit. Esimerkki 5.2. Piirrä vektorit u j v siten että niiden suunt on sm j u on tuplsi pidempi kuin v. Voidnko vektorit piirtää usemmll eri tvll? Vektorien u j v summ sdn settmll vektorin v häntä vektorin u kärkeen. Summvektori u + v on vektori u:n lkupäästä v:n kärkeen. Sklrill kertominen: Jos v on vektori j t on sklri, sklrimonikert tv on vektori, jonk pituus on t kert v:n pituus j suunt sm kuin v:llä, jos t > 0 j vstkkinen suunt, jos t < 0. Jos t = 0, pituus on noll, kyseessä on nollvektori, merkitään Stndrdikntvektorit Määritellään R 2 :ss vektorit i j j seurvsti: i on vektori origost pisteeseen (1, 0) j j origost pisteeseen (0, 1). Nämä vektorit ovt stndrdikntvektorit tsoss. Jokinen vektori r origost pisteeseen (x, y) voidn ilmist vektorien i j j vull: r = xi + yj. (121) Vikk vektorin merkintä itsessään ei sisälläkkään yleisesti tieto vektorin lkupisteestä, usein oletmme että se lk origost. Jos tätä thdotn korost, voidn puhu pikkvektorist. Pikkvektorin r pituus on r = x 2 + y 2 Vektorien u = u 1 i+u 2 j j v = v 1 i+v 2 j summ j sklrill kertominen komponenttien vull: u + v = (u 1 + v 1 )i + (u 2 + v 2 )j (122) Nollvektori: 0 = 0i + 0j tu = (tu 1 )i + (tu 2 )j (123) Vektori jonk pituus on 1 kutsutn yksikkövektoriksi. Mistä thns vektorist v voidn muodost yksikkövektori ˆv jkmll se pituudelln: ( ) 1 ˆv = v (124) v Kikki edelliset määritelmät yleistyvät suorn R 3 :n vektoreille suorviivisesti. Kolmiulotteisess vruudess stndrdiknnn muodostvt vektorit i, j j k, ts. vektorit origost pisteisiin (1, 0, 0), (0, 1, 0) j (0, 0, 1). Kikki R 3 :n vektorit voidn esittää kntvektorien linerikombintioin, esim. pikkvektori pisteeseen (x, y, z) r = xi + yj + zk (125) x, y j z ovt r:n komponentit. r:n pituus r = x 2 + y 2 + z 2 (126) 27

30 Vektori v = P 1 P 2 pisteestä P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) pisteeseen P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) voidn esittää kntvektorien vull: v = P 1 P 2 = (x 2 x 1 )i + (y 2 y 1 )j + (z 2 z 1 )k (127) Pistetulo R 2 :n vektorien u = u 1 i + u 2 j j v = v 1 i + v 2 j pistetulo u v määritellään u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 (128) Vstvsti R 3 :ss vektorien u = u 1 i + u 2 j + u 3 k j v = v 1 i + v 2 j + v 3 k pistetulo Pistetulon ominisuuksi: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 (129) u v = v u u (v + w) = u v + u w (tu) v = u (tv) = t(u v) Jos θ on vektorien u j v välinen kulm (0 θ π), niin Vektorin u sklriprojektio vektorin v suuntn on u u = u 2 (130) u v = u v cos θ (131) s = u v v Vektorin u vektoriprojektio u v vektorin v suuntn on = u cos θ (132) u v = u v v ˆv = u v v 2 v (133) Vektorit n ulotteisess vruudess R n voidn ilmist yksikkövektorien e 1, e 2,, e n vull muodoss x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x n e n (134) Esimerkki 5.3. Olkoon u = 1i + 2j j v = 3i + 3j. Lske j piirrä ) vektorin u vektorij sklriprojektio vektorin v suuntn. b) vektorin v vektori- j sklriprojektio vektorin u suuntn. Esimerkki 5.4. Olkoon u j v kuten edellisessä esimerkissä. Onko mhdollist määritellä kolmtt vektori w siten että vektoreiden u j v vektoriprojektiot ovt smn suuntisi? Ristitulo R 3 :ss R 3 :n vektorien u j v ristitulo u v on vektori, jok toteutt ehdot (u v) u = 0 j (u v) v = 0 u v = u v sin θ, missä θ on vektorien u j v välinen kulm u, v j u v muodostvt oikekätisen järjestelmän. 28

31 Edellisistä ehdoist voidn joht ristitulolle suor lskentkv: Olkoon u = u 1 i + u 2 j + u 3 k j v = v 1 i + v 2 j + v 3 k. Tällöin u v = (u 2 v 3 u 3 v 2 )i + (u 3 v 1 u 1 v 3 )j + (u 1 v 2 u 2 v 1 )k (135) HUOM! Ristitulolle ei päde ivn smt säännöt kuin tvlliselle relilukujen kertolskulle ti vektoreiden pistetulolle: u v = v u j u (v w) (u j v) w Edellä minittuj poikkeuksi lukuunottmtt ristituloll on joukko smnlisi ominisuuksi kuin tvllisell tuloll Esimerkki 5.5. Jos u v = i + 2j 3k, niin mitä on 4u 7v? Ristitulon geometrisi ominisuuksi: Vektorien u j v virittämän nelikulmion pint l on u v. Vstvsti kolmion pint l on u v 2. Jos vektorit u, v j w ovt särmiön sivuj, särmiön tilvuus on V = u (v w). Lusekett u (v w) kutsutn sklrikolmituloksi. Sklrikolmitulolle pätee u (v w) = v (w u) = w (u v) (136) Esimerkki 5.6. Krtion (vino ti ei) tilvuus V = Ah/3, missä A on pohjn pint-l j h on korkeus. Jos krtion pohj on kolmion muotoinen j krtion kärkipisteet ovt (0, 1, 0), (1, 2, 0), (0, 1, 1) j (0, 0, 4), niin mikä on krtion tilvuus? Entä pint-l? Ristitulon sovelluksi: Pisteessä r olevn kppleen, jok pyörii kulmnopeudell Ω origon suhteen, nopeus v = Ω r. Plneetn, jonk mss on m kulmliikemäärä sen kiertäessä uringon ympäri nopeudell v on h = r mv, missä r on plneetn pikkvektori suhteess urinkoon, jok on origoss. Hiukknen, jonk vrus on q, kulkee mgneettikentässä, jonk mgneettivuon tiheys on B, nopeudell v. Kentän hiukkseen kohdistm voim on F = qv B. Voimn F pisteeseen P (pikkvektori r) kohdistm vääntömomentti pisteen P 0 (pikkvektori r 0 ) suhteen on T = P 0 P F = (r r 0 ) F (137) Ristitulo on kätevä määritellä determinntin vull. Ensin on kuitenkin määriteltävä determinntit: 2 2 determinntti määritellään b c d = d bc (138) Vstvsti 3 3 determinntti b c d e f = ei + bfg + cdh gec hf idb (139) g h i 29

32 3 3 determinntti voidn myös kirjoitt 2 2 lideterminnttien vull b c d e f g h i = e f h i b d f g i + c d e g h (140) Determinnttien ominisuuksi: Nämä ominisuudet seurvt suorn determinntin määritelmästä Jos determinntin khden rivin pikk vihdetn, determinntin merkki vihtuu: d e f b c g h i = b c d e f (141) g h i Jos determinntin kksi riviä ovt yhtäsuuret, determinntin rvo on noll: b c b b g h i = 0 (142) Jos determinntin johonkin riviin lisätään toisen rivin monikert, determinntin rvo ei muutu: b c d e f g h i = b c d + t e + tb f + tc (143) g h i Ristitulo voidn esittää determinnttin: i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = u 2 u 3 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k (144) Kikki ristituloj sisältävät kvt voidn tietysti näinollen muunt determinnttien vull lusutuiksi. Esimerkki 5.7. Määrittele sklrikolmitulo ristitulo determinnttej hyväksi käyttäen Suort R 3 :ss Suor voidn määritellä ntmll jokin piste P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) suorlt j suorn suuntvektori v = i + bj + ck. Jos piste P 0 nnetn pikkvektorin r 0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k niin pikkvektori r = (r 0 + tv), (145) määrittää kikki suorn pisteet kun t R. Jos prmetrin t rvot rjoitetn välille [, b] niin muodostuu jn. Esimerkki 5.8. Määrittele suor jok kulkee x kselin suuntisesti j kulkee pisteen (3, 1, 2) kutt. Määrittele myös edellä minitult suorlt jn jonk pituus on 5 j keskipiste (3, 1, 2). Jos merkitään vektori r = xi + yj + bk j trkstelln yhtälössä (145) jokist kolme komponetti erikseen, sdn suorn (sklri) esitysmuoto x = x 0 + t y = y 0 + bt ( < t < ) (146) z = z 0 + ct 30

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset BM20A5820 Integrlilskent j sovellukset Jouni Smpo 16. helmikuut 2016 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution)..........................

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset BMA58 Integrlilskent j sovellukset Jouni Smpo 6. helmikuut 7 Sisältö Integrointitekniikoit. Osittisintegrointi (Integrtion by prts)....................... Sijoitus (Method of Substitution)..........................

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot