Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Transkriptio

1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon pinopiste on selvästi pllon keskipiste. Jos ts-ineisell kppleell on symmetrikseli, niin pinopiste on kselill j jos kppleell on usempi symmetrikseleit, niin pinopiste on niiden leikkuspiste. Tutkimme pinopisteen lskemist siinä tpuksess, että kppleell on yksi symmetri-kseli. Ongelm joht integrlilskentn j trjo minioit mhdollisuuksi sovelt lukioss opittu lskutekniikk. Trvittvn perusfysiikn kertmiseksi tutkimme luksi suorll sijitsev diskreettiä mssjkum. Pistemäiset msst m 1,..., m n, joiden summ on m, sijitkoot x-kselin pisteissä x 1,..., x n. Mssjkumn pinopiste µ sijitsee josskin väleistä [x k, x k+1 [. Mssjkum on µ:n suhteen tspinoss jos pisteisiin x i vikuttvien voimien µ:n suhteen lskettujen momenttien summ on noll. Kosk msst ovt suorll, voimme merkitä µ:n molemmin puolin lskettujen momenttien itseisrvot keskenään yhtäsuuriksi. x 1... x k µ x k+1... x n m 1 g m n g Kuv 1. Smme yhtälön jost edelleen k n (µ x i )m i g = (x i µ)m i g, i=k+1 µ = 1 n x i m i. (1) m 1 ( )

2 Perehdymme seurvksi kppleisiin, joiden mssjkum on jtkuv. Integrlilskennn perusiden kertmiseksi ktsomme luksi, miten kppleen tilvuus lsketn. Olkoot j b kppleen ääripäiden projektiot x-kselill. Jos kpplett leiktn x-kseli vstn kohtisuorill tsoill j tunnetn leikkuskuvion pint-l A(x) jokisess pisteessä x [, b], niin kppleen tilvuus voidn lske. A(x) x Kuv 2. b Kohdss x olev tilvuuslkio on dv = A(x)dx j kppleen tilvuus sdn summmll välillä [, b] olevt tilvuuslkiot: V = dv = A(x)dx. Oletmme nyt, että kiinteällä kppleell on yksi symmetri-kseli, jonk vlitsemme x-kseliksi. Kppleen ääripäät sijitkoot pisteissä j b. Määritämme kppleen pinopisteen momenttiehto soveltmll. Jetn kpple x-kseli vstn kohtisuorill tsoill levymäisiksi mss-lkioiksi kuvn osoittmll tvll. dm µ dm b Kuv 3. Pisteissä x j x oleviin mss-lkioihin dm j dm vikuttvien voimien momenttilkiot (niiden itseisrvot) µ:n suhteen ovt (µ x)gdm j (x µ)gdm. Summmll ne µ:n molemmin puolin smme yhtälön µ (µ x)gdm = µ (x µ)gdm, 2 ( )

3 jost, merkitsemällä m = dm, edelleen µ = 1 m xdm. (2) Yhtälöt (1) j (2) näyttävät smnkltisilt, mutt niillä on eräs selkeä erovisuus: yhtälö (1) on vlmis lskukv, jonk vull voidn lske diskreetin mssjkumn pinopiste sijoittmll kvn msst j niiden koordintit kun ts yhtälö (2) on pikemminkin toimintohje lskun suorittmiseksi, sillä mss-lkio dm on muodostettv in tpuskohtisesti. Kv (2) toimii myös silloin, kun kppleen tiheys (mss pituusyksikköä kohti) vihtelee. Tiheys on tällöin tunnettv jokisess kohdss x eli on tunnettv tiheysfunktio f, jonk rvo ilmoitt kppleen tiheyden leikkuskohdss x. Jos y = f(x) on tällinen funktio, niin dm = f(x) j siis dx kohdss x olev mss-lkio on dm = f(x)dx. Esimerkki. Määritämme ts-ineisen r-säteisen puolipllon pinopisteen. Olkoon m kppleen mss jolloin tiheys on ρ = m/v, missä V = 2πr 3 /3. Puolipllon symmetri-kseli on hlkisijtso vstn kohtisuor säde. r h 0 x Kuv 4. Kuvn mukn kohdss x olev tilvuuslkio on dv = πh 2 dx = π(r 2 x 2 )dx j sitä vstv mss-lkio on Smme µ = 1 m dm = ρdv = 3m 2r 3 ( r 2 x 2) dx. r 0 xdm = 3 2r 3 r 0 ( r 2 x x 3) dx = 3 8 r. Pinopiste sijitsee siis hlkisijtso vstn kohtisuorll säteellä etäisyydellä 3r/8 hlkisijtsost. 3 ( )

4 Tutkimme vielä diskreettiä mssjkum yleisemmin. Sijitkoot pistemäiset msst m 1,..., m n pisteissä A 1,..., A n mssttomn tukirkenteen knnttelemin j olkoon m mssojen summ. Olkoon edelleen O mielivltisesti vlittu vruuden piste. Yhtälöiden (1) j (2) perusteell rvmme pinopisteen G sijinnin seurvsti: OG = 1 m n m i OAi. (3) Näemme G:n mssjkumn pinopisteeksi osoittmll, että pisteisiin A i vikuttvien voimien G:n suhteen lskettujen momenttien GA i m i ḡ summ on 0. Jätämme tämän hrjoitustehtäväksi. G A i m i ḡ O Kuv 5. Pisteen G sijinti riippuu näennäisesti myös pisteestä O, mutt voidn osoitt, että jos O G = 1 n m i O A i, (4) m niin G = G. Myös tämän yksityiskohtisemmn käsittelyn jätämme hrjoitustehtäväksi j totemme, että yhtälö (3) määrittelee pisteen G yksikäsitteisesti. 4 ( )

5 Pohdittv Seurvss muutmi si vlisevi jttelu- j lskutehtäviä. 1. Hhmottele muutmi kolmiulotteisi kppleit, joill on vähintään kksi symmetri-kseli. 2. Miksi ts-ineisest levystä leiktun tsokolmion pinopiste on kolmion medinien leikkuspiste? Ohje: Ajttele kolmio viiploiduksi jonkin sivun suuntisin leikkuksin. Missä sijitsevt viipleiden pinopisteet? Minkä jnn pinopisteet muodostvt? 3. Määritä ts-ineisest mterilist tehdyn mielivltisen nelithokkn pinopiste. Ohje: Voit hyödyntää edellisen tehtävän tulost viiploimll thokkn sopivsti. 4. Suorit yksityiskohtisesti yhtälöiden (1) j (2) johtminen tekstissä nnetuist momenttiehdoist lähtien. 5. Ts-ineisest mterilist vlmistetun pyörähdysprboloidin pohjn säde on r j korkeus on h. Määritä kppleen tilvuus j pinopiste. (0, h) (r, h) (r, 0) 6. Määritä ts-ineisest mterilist vlmistetun korkeusjnns suhteen symmetrisen krtion pinopiste. Mikä korkeusjn vstn kohtisuor leikkus jk krtion khteen yhtäsuureen osn? 7. Määritä ts-ineisest levystä tehdyn puoliympyrän pinopiste. 5 ( )

6 8. Oletetn, että x-kselin välissä [0, [ on lnk, jonk mssn tiheyden pisteissä x [0, [ ilmoitt tiheysfunktio f(x) = e x. Lske lngn mss sekä pinopiste. 9. Osoit, että jos G on yhtälön (3) määräämä piste, niin n GA i m i ḡ = 0. Osoit edelleen, että jos yhtälöt (3) j (4) ovt voimss, niin G = G. ( ) 6 ( )