Kertaustehtävien ratkaisut

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertaustehtävien ratkaisut"

Transkriptio

1 Rtkisuist Nämä Juuri- j logritmiunktiot -kurssin krtusthtävin j -srjojn rtkisut prustuvt oppikirjn titoihin j mntlmiin. Kustkin thtävästä on ylnsä vin yksi rtkisu, mikä i kuitnkn trkoit sitä, ttä rtkisu olisi ino ti ds prs mhdollinn. Vlittu rtkisutp on toivottvsti kuitnkin mhdollisimmn suorviivinn j ymmärrttävä. Rtkisut ovt mllirtkisuj. Niissä rtkisun tnminn on sittty niin trksti j prustlln kuin hyvässä rtkisuss pitää thdä. Hyvään rtkisuun kuuluu rtkisuss käyttyn mntlmän j mrkintöjn snllinn slittäminn. Moniss tämän kurssin thtävissä prustlut thdään unktion kulkukvion vull. Tällöin kulkukvion muodostminn j prustlu on olllinn os thtävän rtkisu. Monsti rtkisujn hhmottmisss trvitn myös unktioidn kuvji. Kuvj on hlppo piirtää grisll lskimll, jotn kuvj knntt piirtää, vikk sitä i välttämättä vdittisikn. Kuvjn vull on myös hlppo trkist thtävän vstus. Rtkisuun kuuluu myös vstuksn ilmoittminn. Miluimmin knntt kirjoitt rillinn vstus, vikk ohisiss rtkisuiss i tiln säästämisksi ol näin thtykään. Rtkisut on kuitnkin ldittu sitn, ttä vstus on rtkisun lopuss. Ylnsä thtävin rtkisuiss trvitn skä snllisi prustluj vtivi välivihit ttä mknisi lskuj, kutn yhtälöidn rtkismist ti kvojn käyttöä. Ohisiss rtkisuiss on snllist prustlut sittty vähintäänkin riittävällä trkkuudll. Myös rtkisuihin liittyvät kuviot on piirrtty, lli thtävässä ol ollut kuviot vlmiin. Monimutkismmiss thtävissä on joistin mknistn vihidn yksityiskohdist ollut joskus pkko tinkiä, jott rtkisujn slkys i kärsisi. Esimrkiksi toisn stn yhtälön rtkisu rtkisukvn vull i ol kirjoitttu näkyviin, vikk tämä täydllisn rtkisuun kuuluukin. Opisklijn pitää kuitnkin omiss rtkisuissn käyttää riittävästi välivihit, kosk tämä prhitn tk virhttömän lopputuloksn. Jukk Kngsho j Wrnr Södrström Oskyhtiö 8

2 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät Krtusthtävin rtkisut. Nliöjuuri on määritlty, kun juurrttv on pängtiivinn. Siis unktio on määritlty, kun. < Määrittlyjoukko on väli ], ]. b Funktio on määritlty, kun juurrttvt ovt pängtiivisi j lisäksi nimittäjä i s oll noll. Siis unktio on määritlty, kun j < > > <. < Siis unktio on määritlty, kun < li unktion määrittlyjoukko on väli ], [. c Kuutiojuuri on määritlty kikill juurttvn rvoill. Siis unktion määrittlyjoukko on R.. Funktio on määritlty, kun. Funktion kuvj on lspäin ukv prbli, jonk nollkohdt ovt j. Siis, kun. Funktion määrittlyjoukko on väli [, ]. b Funktio g on määritlty, kun luskkn nliöjuurt ovt määritllyt j lisäksi nimittäjä i s oll. Siis on oltv > j j < < li <. Funktion g määrittlyjoukko on väli [, [.

3 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Yhtälön molmmt puolt ovt pängtiivist, jotn voidn korott nliöön. b 9 9 : 9 c 9, kun 9. Kosk nliöjuuri on in pängtiivinn, yhtälöllä i ol rtkisu. d Yhtälö on määritlty, kun. 8 8 Rtkisu totutt määrittlyhdon. Voidn korott kolmntn ponssiin. Korottn nliöön.. Määrittlyhto: ti Rtkisukvll. Rtkisut totuttvt määrittly- j nliöönkorotushdot. b 7 Määrittlyhto: 7 7 Nliöönkorotushto: 7 Nliöönkorotushto: ti Rtkisukvll. Rtkisuist totutt määrittly- j nliöönkorotushdot.

4 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät D b D D 7. b 8., Drivoidn., > Drivtt on noll, kun osoittj on noll mutt nimittäjä i ol. Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on. D D D D D D D,, > <

5 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. b Funktio g Drivoidn. on määritlty, kun >. g D D D D Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: g < g g g 9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. 8 Pinin rvo on g. 9., jos j vin jos jokisll. Drivoidn. D Drivtn nollkohdt: > Kulkukvio: Korottn nliöön. <, 9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on, jotn jokisll. 7

6 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Funktio on jtkuv, kun j drivoituv, kun >. Drivoidn., > Drivtn nollkohdt:, Korottn nliöön. Kulkukvio:,, < > Kulkukvion prustll unktio on idosti vähnvä välillä [, ] j ksvv välillä [, [. b Kosk <, unktioll i ol nollkoht välillä [, ]. Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun. Kosk,7 < j >, unktioll on nollkoht välillä [, [. Kosk on välillä idosti ksvv, muit nollkohti i ol. Siis yhtälöllä on tsn yksi juuri. 8

7 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Nliön pint-l on cm, jotn sivun pituus on cm cm. b Nliön pint-l on cm, jotn sivun pituus on cm cm. c Jos nliön pint-l on A cm, niin nliön sivun pituus on s A cm. Pint-l t skunnin kuluttu on t t cm, jotn sivun pituus htkllä t on s t t t t cm. d Sivun pituudn ksvunopus on drivtt s t. t Ksvunopus 8 skunnin kuluttu on s 8, cm/s. 8 Ksvunopus skunnin kuluttu on s, cm/s. 9

8 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. D D D b D D. Suorn j käyrän likkuspistn -koordintti: ti 9 Korottn nliöön. Sijoittmll nähdään, ttä vin totutt yhtälön. Funktion drivttunktio on D. Kuvjll kohtn piirrtyn tngntin kulmkrroin on 9 Suorn y kulmkrroin on, jotn suor on likkuskohdss kohtisuorss tngntti vstn, kosk kulmkrtoimin tulo on. Siis suor y on käyrän normli..

9 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. D D Drivtt on määritlty kikill :n rvoill. Nollkohdt: ti Vin totutt nliöönkorotushdon.. Funktio g on määritlty, kun. Drivoidn: g Drivttunktion nollkoht on. Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktion g suurin rvo on. g Nliöönkorotushto:,,, < > g g g g

10 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Funktio g on määritlty, kun j. Siis määrittlyjoukko on väli [, ]. Drivoidn. g D Drivtn nollkoht on drivtn osoittjn nollkoht. nliöön. Voidn korott Funktio s suljtull välillä [, ] suurimmn rvons päätpistssä ti drivtn nollkohdss. Päätpistrvot: g,, g,7 Arvo drivtn nollkohdss: g Funktion g suurin rvo on, pinin rvo on.

11 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. Nopin ritti on kuvn murtoviiv ACB. B Jos kilomtriin kuluv ik on tillä, niin mtsässä s on. Kokonisik on km AC CB AC CB. C A Aik on lyhin kohdss, joss unktio, s pinimmän rvons. Drivoidn. Drivtn nollkohdt:,, Funktion rvot välin [, ] päätpistissä:,, Funktion rvo drivtn nollkohdss on likimin 8,7. Siis unktio s pinimmän rvons drivtn nollkohdss,. Nopin ritti: Ensin titä pitkin, 7, km j sittn suorn mtsän hlki plopikll.

12 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Krtion tilvuus V π r h, missä r on pohjn säd j h korkus. Pythgorn lusn prustll r h r h. Sijoittn r h tilvuudn luskksn. V π h h π h h, h Drivtn V π h nollkohdt ovt h r j. Päätpistrvot välillä [, ]: V V Arvo drivtn nollkohdss: V π π π π, 9 Suurin tilvuus on π Mrkitään vkrimn pituutt j vinon y m. Tällöin y, jotn y. Khikon korkus h sdn Pythgorn lusll: h y Khikon pint-l on A h, missä. Funktion A päätpistrvot ovt nolli, jotn unktio s suurimmn rvons drivtn A 8 välill ], [ kuuluvss nollkohdss. Suurimmn tulun lvys on, m j korkus h, m.

13 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. 7 Kntluvun potnssin ksponntti. b c d g g. Jos b on luvun k-kntinn logritmi, niin b k. 8 b c d 7 7 log 7. Logritmin määritlmän prustll 7 b log log. k-kntinn logritmi on ksponntti, kun luku sittään luvun k potnssin. lg log b lg log c ln log d ln log,. Kosk lg,, niin.,9 b Kosk lg,9, niin,8.. ln b ln ln ln

14 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. log log log log log log log b log log log log log 9 log 7. log log log log log log log log log log log log log log log log 8 log log 8. Yhtälön log log määrittlyjoukko: > j > > > Molmmt hdot ovt voimss, kun >. log log log log ti Tulon nollsääntö. Rtkisuist kuuluu yhtälön määrittlyjoukkoon. b Yhtälö log log määritlty, kun > li < j > li >. Ehdot ovt yhtä ik voimss, kun < <. log log log log log log 7 ti log Rtkisukvll. Rtkisuist kuuluu määrittlyjoukkoon.

15 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 9. lg lg,, jotn,,,7. Siis Luvuss on suurmpi kuin luku j siis myös luvuss. on numro, kutn myös luvuss,7.,.,7, :, b,7, lg,7 lg, lg,7 lg, lg,, lg,7,98, lg,98 lg, lg,98 lg, lg, lg,98. log 7 b 7 lg lg 7 lg lg 7 lg 7,9 lg log 7 7 lg 7 lg lg 7 lg lg lg 7 lg, lg 7,87. Korkus tul yhdllä kopiokrrll,7-krtisksi j kopioinnill,7 -krtisksi. Kosk korkus pinn jok kopiointikrrll, korkus litt, cm:n rjn, kun,7 8,,,7 8, lg 8 9,7. lg,7 : 8 Siis pitää kopioid vähintään krt. 7

16 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Rtkistn, kosk rj lg lg lg 98,9 lg ylittyy. Kosk suurn, kun suurn, niin nsimmäinn kokonislukupotnssi, jot i voi lsk on 98.. Todnnäköisyys, ttä hnkilö i ol ortodoksi, on,,989. Jos ryhmässä on n hnkilöä, niin: Pinkin yksi ortodoksi Pi yhtään ortodoksi,989 n.,989,989 lg,989 n n n >,9 <, < lg, n lg,989 < lg, : lg,989,8 < lg, n > 8, lg,989 Ryhmässä pitää oll vähintään hnkilöä. 8

17 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 9. D ln ln ln ln b D g g on in positiivinn, sillä > kikill. Siis drivtll i ol nollkohti.. D Siis kikill j vin kohdss, jotn on idosti ksvv kikkill. 7. Funktion drivtt:, kun > Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on. 7 b Funktion g drivtt: g Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio g s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on. 7 g, > < > > < g g g g g ti

18 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Mrkitään 7 j g. Käyrin y j y g yhtisissä pistissä on g : 9 Rtkisukvll sdn. Drivoidn: 7 g Yhtisn pistsn piirrttyjn tngnttin kulmkrtoimt:, g Kulmkrtoimt ovt yhtä suurt, jotn käyrillä on yhtisssä pistssä yhtinn tngntti li käyrät sivuvt toisin.

19 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 9. D D b D D c D D D d D D D 7. Kosk mss vähn 7 %, intt jää jäljll 8 %. Mss tul yhdssä vuorokudss,8-krtisksi, jotn mss tul t vuorokudss,8 t -krtisksi. Siis mss mikrogrmmoin t vuorokudn kuluttu on m t,8 t 7 7,8. Mssn muutosnopus htkllä t on määrän drivtt t m t 7,8 ln,8 µg/vrk. Muutosnopus htkllä t on m 7,8 ln,8 9,. Määrä vähn nopudll 9, µg/vuorokusi. b Muutosnopus htkllä t on m 7,8 ln,8,. Määrä vähn nopudll, µg/vuorokusi. t 7. Drivoidn. on in positiivinn, sillä > kikill. Siis unktio on idosti ksvv kikkill. 7. Funktion drivtt on. Drivtn nollkohdt: ln ln, Kulkukvio: ln, < > Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun ln.

20 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. Funktion drivttunktio on. Drivtn nollkohdt: ln, : Kulkukvio: ln <,9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss ln. ln ln ln ln Pinin rvo on ln Mrkitään. Tällöin. Käyräll y pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on y j yhtälö on. Tngntti kulk origon kutt, kun : ti. Pistt ovt, j,.

21 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. Mrkitään suorkulmion -kslill olvn knnn puolikkn pituutt. Suorkulmion korkus on Suorkulmion pint-l on A, >. Drivoidn. A y. Drivtn ino nollkoht on. Kulkukvion prustll l s kohdss suurimmn rvons. Suurin rvo on A, 7. A A y A, >, A < y

22 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. ln ln ln ln ln ln ln b g ln ln ln ln ln ln ln g c h ln ln ln ln ln ln ln h 77. D ln ln ln, > Drivtn nollkohdt: ln ti ln b ln g D ln ln ln ln, > 8 Drivtn nollkohdt: ln ln ln i klp nollkohdksi 8 ln

23 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 78. Drivoidn unktio g ln ln, >. g Drivtn nollkohdt:, > ti Ngtiivinn juuri i klp nollkohdksi. Nollkoht, kuuluu välill [, ]. Funktion g rvo kohdss : g ln ln,8 Funktion g rvo välin [, ] päätpistissä: g ln g ln ln,9 Funktion g suurin rvo on j pinin ln. 79. Epäyhtälö ln pät, jos j vin jos unktio ln s vin pängtiivisi rvoj, kun >. Drivoidn: ln ln, Drivtn nollkoht on. Kulkukvio:, ln,,9 < ln,9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on ln. Kosk unktion pinin rvo on noll, unktio s vin pängtiivisi rvoj. Siis päyhtälö pät.

24 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Mrkitään ln. Suorn y kulmkrroin on, jotn suor voi oll käyrän y tngntti kohdss, joss drivtt s rvon. Koht on. Vstv suorn pist on,, jotn myös käyrän y pitää kulk pistn, kutt li pitää oll. Siis ln, jotn. Sivumispist on pist,. 8. D ln D b D ln D 8. Funktio ln ln on määritlty, kun > j < li kun < <. Funktion nollkohdt: ln ln ln ln ln ln ti Rtkisukvll. Vin kuuluu unktion määrittlyjoukkoon. b Drivtt on positiivinn unktion määrittlyjoukoss < <, jotn drivtll i ol nollkohti. 8. Funktion ln drivttunktio on. Funktion kuvj likk -kslin kohdss, joss li kohdss. Likkuspist on,. Likkuskulm on tngntin suuntkulm α. Kohtn piirrtyn tngntin kulmkrroin on, jotn tn α, jost α,. b Likkuspist on,, ln. Tngntin suuntkulmll on tn α,, jotn α,8. Tngntin j y-kslin likkuskulm on 9 α 8,.

25 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Funktio s positiivist rvons khdss ri pistssä. Funktioll i ol kääntisunktiot. b Funktio drivttunktio on idosti ksvv, kun, sillä unktion on positiivinn, kun >. Funktioll on kääntisunktio, jonk määrittlyjoukko on unktion rvojoukko [, [. Kääntisunktion lusk on y y, sillä yhtälön c Funktio y pängtiivinn rtkisu on y. on idosti ksvv, sillä drivtt on positiivinn koht noll lukuun ottmtt. Funktioll on kääntisunktio y y. Kääntisunktion määrittlyjoukko on unktion rvojoukko R. d Funktio on idosti ksvv, sillä ln >. Funktioll on kääntisunktio. Kääntisunktion lusk on yhtälön y rtkisu on lg y. y lg y, sillä Kääntisunktion määrittlyjoukko on unktion li väli ], [. rvojoukko 8. Funktio ln on määritlty kikill :n rvoill, sillä > kikill. Drivtt on in positiivinn, jotn on idosti ksvv. Siis unktioll on kääntisunktio. Funktion rvojoukko on ], [, jotn unktion rvojoukko on ], [. Siis kääntisunktion määrittlyjoukko on ], [. b Kääntisunktion lusk: ln y y y ln y y Siis y ln li ln. 7

26 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Funktion g drivtt g on in positiivinn, jotn g on idosti ksvv. Siis unktioll on kääntisunktio. Funktion g rvojoukko on R, jotn kääntisunktion määrittlyjoukko on R. Huomtn kokilmll ti kuvjn vull, ttä g. Siis g. Vstvsti huomtn, ttä g, jotn g. 8

27 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj A. Funktion drivtt: Drivtn nollkohdt:. Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun j vähnvä, kun. > <. Yhtälön log 8 log määrittlyjoukko: 8 > j > < 8 Molmmt hdot ovt voimss, kun < < 8. log8 log log 8 log log 8 log log 8 log ti 9 8 log Rtkisukvll. Rtkisuist 9 8 kuuluu yhtälön määrittlyjoukkoon. 9

28 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Rtkistn, kosk rj,99 littuu. lg,99 lg lg,99 9, lg,99 Kosk,99 pinn, kun suurn, niin nsimmäinn 9 kokonislukupotnssi, jok on rj pinmpi, on,99.. Suorn j käyrän likkuspistn -koordintti: ti 9 Korottn nliöön. 9 Rtkisukvll. Sijoittmll nähdään, ttä vin lkupräisn yhtälön. totutt Funktion 8 drivttunktio on D Kuvjll kohtn piirrtyn tngntin kulmkrroin on 8 Kosk suorn y kulmkrroin on, suor on kohtisuorss likkuspistsn piirrttyä tngntti vstn li suor on käyrän normli..

29 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Epäyhtälö > ln, >, pät, jos j vin jos unktio ln s vin positiivisi rvoj, kun >. Drivoidn: Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: Voidn korott nliöön, kun Rtkisukvll.,, >, > >. Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun. Kosk ln, on >, kun >. Siis päyhtälö pät.

30 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään ympyrän sädttä r. Pistn P täisyys jäntstä on OP b r Määrittään unktion r r r r, r > pinin rvo. Drivoidn: r r r Drivtn nollkohdt:. r r r r O b r P r r r r r r Voidn korott nliöön. r r r r r, ti r, jok i klp. Kulkukvio:, Funktio s pinimmän rvons kohdss. Siis täisyys on pinin, kun säd r.,, <,,8 >

31 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj B., Drivoidn., > Drivtt on noll, kun osoittj on noll mutt nimittäjä i ol. Voidn korott nliöön. Kulkukvio: < > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on.. Mss grmmoin t tunnin kuluttu on t m t,7,,,7. t Mssn muutosnopus htkllä t on määrän drivtt t m t,,7 ln,7 g/h. Määrä htkllä t on m,,7 9, g. Muutosnopus htkllä t on m,,7 ln,7,8 g/h. Mss ksv nopudll,8 g/h. b Määrä htkllä t on m,,7 g. Muutosnopus htkllä t on m,,7 ln,7 g/h. Mss ksv nopudll g/h.

32 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään P b c. b b b c, kun b c, b j b c. Sijoittmll sdn b j c. Siis P. b b c. Käyrän y pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on. Tngntin yhtälö: y y y y y B O Tngntti likk y-kslin pistssä,. Pistn, kutt kulkv -kslin suuntinn suor on y. Suor y likk y-kslin pistssä B,, jotn tngntti puolitt jnn OB.

33 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään ln. Tällöin. Pistsn, ln piirrtyn tngntin kulmkrroin on, jotn normlin kulmkrroin on. Normlin yhtälö: y ln y h b Normlin j -kslin likkuspistssä on y. Siis: ln ln ln : ln ln Kolmion knt on b. Kolmion korkus on h ln. Kolmion pint-l on ln A bh, > ln Määrittään unktion A, >, suurin rvo. Drivoidn: A ln ln ln ln ln ln Drivtn nollkohdt: ln ln ln ln ln ln 7, : ln, kun > Kulkukvio: A A A, > A, < Kulkukvion prustll pint-l A s suurimmn rvon, kun.

34 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Vdn tilvuus t skunnin kuluttu on t litr li t dm. Mrkitään vdn muodostmn krtion korkutt h dm. Tällöin krtion pohjn säd on myös h. Vsikrtion tilvuus on V πh h πh. Siis htkllä t on πh h t t π h t π π π t π t dm. Vdnpinnn nousunopus htkllä t on drivtt h t t t dm/s π π Nousunopus yhdn skunnin kuluttu on h π dm/s,7 dm/s 7, cm/s. b Nousunopus kymmnn skunnin kuluttu on h π dm/s, dm/s, cm/s.

35 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj C. Funktion drivtt on. Jos sivumispistn -koordintti on, niin y-koordintti on j tngntin kulmkrroin on k. Koordinttin summ on k.. Mgnitudi on m,lg F. Siriuksn kirkkus: m, lg, Vnuksn kirkkus: m, lg, lg, m b Kosk m,lg F, niin lg F, jotn F, Auringon mitttu kirkkus: 7,,8 F, Vgn kirkkutt Himmimmän kohtn kirkkus:,,, F, Vgn kirkkutt m,.. log log log log log log log log log log Siis log log. 7

36 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Funktio on määritlty, kun. Etsitään välit, joill on idosti monotoninn. Drivoidn: Drivtll on vin yksi nollkoht 8. Kulkukvion prustll on idosti vähnvä, kun 8 j idosti ksvv, kun 8. Suurin nolln sisältävä väli, joll on idosti monotoninn, on väli [8, [. Hluttu väli on [8, [. Kulkukvion prustll unktion pinin rvo on 8 8. Kosk, kun, unktion rvojoukko on [, [. Siis kääntisunktion määrittlyjoukko on väli [, [. b, kun,, kun 9 c on yhtälön juuri li unktion nollkoht. Hrukoimll sdn lopult,, <,,,99 >, jotn nollkohdn kksidsimlinn likirvo on,. 8. Funktion drivttunktio on. Kohdll piirrtyn tngntin kulmkrroin on, jotn normlin kulmkrroin on. Sivumispist on,,. Normlin yhtälö: y y Normlin j y-kslin likkuspistn y-koordintti on, kun Siis likkuspist lähn pistttä,.. 8

37 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Kolmio on tskylkinn. Suurimmss kolmioss ympyrän kskipist O on kolmion sisällä ti knnll. Kosk PO on kohtisuorss jännttä vstn, pist O on lisäksi kolmion korkusjnll. Mrkitään jäntn täisyyttä kskipiststä. Kolmion knt: b 9 Kolmion korkus on h 7. Kolmion pint-l on A h 7 9 9,.. 7 b P O Määrittään unktion A 7 9 suurin rvo suljtull välillä [, ]. Drivoidn: A Drivtn nollkohdt: ti, Nollkoht kuuluu välill ], [. Funktion A rvo kohdss : A 8 8, Päätpistrvot: A A Suurin pint-l on A,. 9

38 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj D., kun: ti Rtkisuist 9 8 totutt määrittly- j nliöönkorotushdot.. Funktion, ln >, drivttunktio on. Drivtn nollkohdt: Drivtn nollkoht kuuluu välill ]., [ Arvo drivtn nollkohdss:,9 ln ln ln Päätpistrvot:,7 ln ln ln Siis suurin rvo on ln j pinin. Yhtälö on määritlty, kun. Nliöönkorotushto:

39 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Käyrä y on suorn y yläpuolll, jos j vin jos > li > kikill. Mrkitään. On osoitttv, ttä unktio s vin positiivisi rvoj. Drivoidn: Drivtn nollkohdt: ln,9 Kulkukvio: ln < > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss ln. ln Pinin rvo on ln ln ln,. Kosk unktion pinin rvo on positiivinn, unktio s vin positiivisi rvoj..,, jos j vin jos on unktion,, Drivoidn:,,, nollkoht. Drivtt > kikill, jotn on idosti ksvv. Siis unktioll on nintään yksi nollkoht. Kosk 999 < j 8 98 >, unktioll on nollkoht välillä ], [. Siis unktioll on tsn yksi nollkoht. Hrukoimll sdn lopult, < j,7 >, jotn nollkohdn li yhtälön juurn kolminumroinn likirvo on.

40 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään. D Käyrän pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on. Tngntin yhtälö: y y y Tngntti likk y-kslin kohdss. y Tngntin j -kslin likkuskoht: Muodostuvn krtion pohjn säd on r. Krtion korkus on h. Krtion tilvuus on. 9 9 π π π π h r V Siis tilvuus on in sm riippumtt kohdst, johon tngntti piirrtään. y r h

41 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Käyttään kuvion mrkintöjä. Kuvioss mittojn yksikkönä on mtri. Kourun pint-l on b A h b b. Siis b. Mrkitään kourun pituutt k. Tällöin kourun sinin j pohjn yhtispint-l on A k ck c k h b k b k. Kosk b, on b, jotn A b b k. Pint-l s pinimmän rvons, kun unktio b b b, b b h b c s pinimmän rvons. Drivoidn: b b b Drivtn nollkohdt: b b b b b b b b b b b b,8 ti Voidn korott nliöön. b, jok i klp. Funktion rvo drivtn nollkohdss:, 7 Päätpistrvot:,, 7 Siis l on pinin, kun b. Vstvn kourun mitt: lvys pohjll: b, m lvys pinnll: b b,8 m

42 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj E. Funktio g on määritlty, kun li kun. Drivoidn unktio. g, < < g Drivtn nollkohdt: ti Rtkisuist totutt määrittly- j nliöönkorotushdot.. Funktio ln on määritlty, kun >. Drivoidn: Drivtt on positiivinn kikill >, jotn unktio on idosti ksvv koko määrittlyjoukossn ], [. Nliöönkorotushto:

43 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Suorn y kulmkrroin on, jotn suor voi oll käyrän y tngntti kohdss, joss drivtt s rvon. Siis: Voidn korott nliöön. Vstv suorn pist on,,, jotn myös 8 käyrän y pitää kulk pistn, kutt. 8 Siis pitää oll li Sivumispist oli pist,. 8

44 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Funktio ln ln ln ln on määritlty, kun >. Funktion nollkohdt: ln ln ln ln ti ln ti i klp nollkohdksi. Äärirvokohdt: Funktion ln ln drivtt: ln ln ln ln ln ln ln ln ln Drivtn nollkohdt: ln ln ln ti ln,, Kulkukvio: Kulkukvion prustll koht j koht on minimikoht.,, > <,9 > on mksimikoht

45 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt 7. Mrkitään., c g Drivoidn: c g, Mrkitään likkuspistn -koordintti. Tällöin g j likkuspistsn piirrttyjn tngnttin kulmkrtoimt ovt j. g Käyrät likkvt kohtisuorsti, jos kulmkrtoimin tulo on. Tulo on. g c c g Siis käyrät likkvt kohtisuorsti.

46 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt 8. Mrkitään. Käyrän pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on. Tngntin yhtälö: y y y Tngntti likk y-kslin kohdss. y Likkuspist on positiivisll y-kslill, kun. < Tngntin j -kslin likkuskoht: : Likkuskoht on ngtiivisll -kslill, kun. < Muodostuvn kolmion knt on j korkus. Kolmion pint-l:, < A Määrittään unktion, < A suurin rvo. Drivoidn: A Drivtn nollkohdt ovt j. Kulkukvio: Kulkukvion prustll suurin rvo on,7. A y A A, < > A A

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4.50 Lsknnllinn systmiiologi 4. Hrjoitus. Viill tutkittvll ljill (,, c, j ) on määrätty täisyyt c 0 8 8 8 0 8 8 8 c 0 4 4 0 0 Määritä puurknn käyttän UPGMA-mntlmää. Näytä kunkin vihn osrkntt vstvin täisyyksinn.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 1, Kevät Tarvittava akseptoridouppaus p-tyypin kerrokseen saadaan kaavalla

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 1, Kevät Tarvittava akseptoridouppaus p-tyypin kerrokseen saadaan kaavalla OY/PJKOMP R1 17 Puolijohkoonnttin rustt 5171A Rtkisut 1, Kvät 17 1. ( Trvittv kstoriouus tyyin krroksn sn kvll kbt ln Ł ni ni Ł kbt 1 ( 1 c,85 V 17» 1,8 1 c. 17 1 c Ł,59V Mtrilivkiot on otttu luntoonistn

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan. 2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y 4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Säännöllisestä lausekkeesta deterministiseksi tilakoneeksi: esimerkki

Säännöllisestä lausekkeesta deterministiseksi tilakoneeksi: esimerkki Säännöllisstä luskkst dtrministisksi tilkonksi: simrkki Hikki Turiinn Yksinkrtistn säännöllistn luskkidn muuttminn dtrministisiksi tilkoniksi onnistuu usin plkästään lusktt tutkimll. Jos luskkn rknn on

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c)

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c) Luku ) 8 8 + = + 6 6 ) ) + = + = = b) ) 7 := 7 := 7 : ) ) 9 6 7 7 = 7 := = = ( 7) ( 7) b) 5 5 5 5 + : = + 6 6 ) + + + = + + + 9 ) 5 5 6) 5+ 5 = + = = = 6 6 6 6 = + + + = + + = + + = + = 9 9 9 ( c) ) 9

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista 9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset.

205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset. Lisätetäviä Peruskäsitteitä 0. ) Kulm on smnkotinen kulmn knss, joten kosk s j l ovt ydensuuntiset, on. b on :n ristikulm, joten myös b. b) b on smnkotinen kulmn 0 knss j kosk s j l ovt ydensuuntiset,

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Knauf Safeboard Säteilysuojalevy 03/2009. Knauf Safeboard Säteilysuojalevy. 0% lyijyä. 100% turvallisuus.

Knauf Safeboard Säteilysuojalevy 03/2009. Knauf Safeboard Säteilysuojalevy. 0% lyijyä. 100% turvallisuus. Knuf Sfor Sätilysuojlvy 03/2009 Knuf Sfor Sätilysuojlvy 0% lyijyä. 100% turvllisuus. Knuf Sfor Knuf Sfor Suoj röntgnsätiltä Lyijytön Suoj plolt Hlppo snt Hyvä äännristävyys Ympäristöystävällinn hävittää

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8 Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin

Lisätiedot