Kertaustehtävien ratkaisut
|
|
|
- Johanna Seppälä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Rtkisuist Nämä Juuri- j logritmiunktiot -kurssin krtusthtävin j -srjojn rtkisut prustuvt oppikirjn titoihin j mntlmiin. Kustkin thtävästä on ylnsä vin yksi rtkisu, mikä i kuitnkn trkoit sitä, ttä rtkisu olisi ino ti ds prs mhdollinn. Vlittu rtkisutp on toivottvsti kuitnkin mhdollisimmn suorviivinn j ymmärrttävä. Rtkisut ovt mllirtkisuj. Niissä rtkisun tnminn on sittty niin trksti j prustlln kuin hyvässä rtkisuss pitää thdä. Hyvään rtkisuun kuuluu rtkisuss käyttyn mntlmän j mrkintöjn snllinn slittäminn. Moniss tämän kurssin thtävissä prustlut thdään unktion kulkukvion vull. Tällöin kulkukvion muodostminn j prustlu on olllinn os thtävän rtkisu. Monsti rtkisujn hhmottmisss trvitn myös unktioidn kuvji. Kuvj on hlppo piirtää grisll lskimll, jotn kuvj knntt piirtää, vikk sitä i välttämättä vdittisikn. Kuvjn vull on myös hlppo trkist thtävän vstus. Rtkisuun kuuluu myös vstuksn ilmoittminn. Miluimmin knntt kirjoitt rillinn vstus, vikk ohisiss rtkisuiss i tiln säästämisksi ol näin thtykään. Rtkisut on kuitnkin ldittu sitn, ttä vstus on rtkisun lopuss. Ylnsä thtävin rtkisuiss trvitn skä snllisi prustluj vtivi välivihit ttä mknisi lskuj, kutn yhtälöidn rtkismist ti kvojn käyttöä. Ohisiss rtkisuiss on snllist prustlut sittty vähintäänkin riittävällä trkkuudll. Myös rtkisuihin liittyvät kuviot on piirrtty, lli thtävässä ol ollut kuviot vlmiin. Monimutkismmiss thtävissä on joistin mknistn vihidn yksityiskohdist ollut joskus pkko tinkiä, jott rtkisujn slkys i kärsisi. Esimrkiksi toisn stn yhtälön rtkisu rtkisukvn vull i ol kirjoitttu näkyviin, vikk tämä täydllisn rtkisuun kuuluukin. Opisklijn pitää kuitnkin omiss rtkisuissn käyttää riittävästi välivihit, kosk tämä prhitn tk virhttömän lopputuloksn. Jukk Kngsho j Wrnr Södrström Oskyhtiö 8
2 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät Krtusthtävin rtkisut. Nliöjuuri on määritlty, kun juurrttv on pängtiivinn. Siis unktio on määritlty, kun. < Määrittlyjoukko on väli ], ]. b Funktio on määritlty, kun juurrttvt ovt pängtiivisi j lisäksi nimittäjä i s oll noll. Siis unktio on määritlty, kun j < > > <. < Siis unktio on määritlty, kun < li unktion määrittlyjoukko on väli ], [. c Kuutiojuuri on määritlty kikill juurttvn rvoill. Siis unktion määrittlyjoukko on R.. Funktio on määritlty, kun. Funktion kuvj on lspäin ukv prbli, jonk nollkohdt ovt j. Siis, kun. Funktion määrittlyjoukko on väli [, ]. b Funktio g on määritlty, kun luskkn nliöjuurt ovt määritllyt j lisäksi nimittäjä i s oll. Siis on oltv > j j < < li <. Funktion g määrittlyjoukko on väli [, [.
3 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Yhtälön molmmt puolt ovt pängtiivist, jotn voidn korott nliöön. b 9 9 : 9 c 9, kun 9. Kosk nliöjuuri on in pängtiivinn, yhtälöllä i ol rtkisu. d Yhtälö on määritlty, kun. 8 8 Rtkisu totutt määrittlyhdon. Voidn korott kolmntn ponssiin. Korottn nliöön.. Määrittlyhto: ti Rtkisukvll. Rtkisut totuttvt määrittly- j nliöönkorotushdot. b 7 Määrittlyhto: 7 7 Nliöönkorotushto: 7 Nliöönkorotushto: ti Rtkisukvll. Rtkisuist totutt määrittly- j nliöönkorotushdot.
4 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät D b D D 7. b 8., Drivoidn., > Drivtt on noll, kun osoittj on noll mutt nimittäjä i ol. Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on. D D D D D D D,, > <
5 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. b Funktio g Drivoidn. on määritlty, kun >. g D D D D Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: g < g g g 9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. 8 Pinin rvo on g. 9., jos j vin jos jokisll. Drivoidn. D Drivtn nollkohdt: > Kulkukvio: Korottn nliöön. <, 9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on, jotn jokisll. 7
6 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Funktio on jtkuv, kun j drivoituv, kun >. Drivoidn., > Drivtn nollkohdt:, Korottn nliöön. Kulkukvio:,, < > Kulkukvion prustll unktio on idosti vähnvä välillä [, ] j ksvv välillä [, [. b Kosk <, unktioll i ol nollkoht välillä [, ]. Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun. Kosk,7 < j >, unktioll on nollkoht välillä [, [. Kosk on välillä idosti ksvv, muit nollkohti i ol. Siis yhtälöllä on tsn yksi juuri. 8
7 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Nliön pint-l on cm, jotn sivun pituus on cm cm. b Nliön pint-l on cm, jotn sivun pituus on cm cm. c Jos nliön pint-l on A cm, niin nliön sivun pituus on s A cm. Pint-l t skunnin kuluttu on t t cm, jotn sivun pituus htkllä t on s t t t t cm. d Sivun pituudn ksvunopus on drivtt s t. t Ksvunopus 8 skunnin kuluttu on s 8, cm/s. 8 Ksvunopus skunnin kuluttu on s, cm/s. 9
8 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. D D D b D D. Suorn j käyrän likkuspistn -koordintti: ti 9 Korottn nliöön. Sijoittmll nähdään, ttä vin totutt yhtälön. Funktion drivttunktio on D. Kuvjll kohtn piirrtyn tngntin kulmkrroin on 9 Suorn y kulmkrroin on, jotn suor on likkuskohdss kohtisuorss tngntti vstn, kosk kulmkrtoimin tulo on. Siis suor y on käyrän normli..
9 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. D D Drivtt on määritlty kikill :n rvoill. Nollkohdt: ti Vin totutt nliöönkorotushdon.. Funktio g on määritlty, kun. Drivoidn: g Drivttunktion nollkoht on. Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktion g suurin rvo on. g Nliöönkorotushto:,,, < > g g g g
10 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Funktio g on määritlty, kun j. Siis määrittlyjoukko on väli [, ]. Drivoidn. g D Drivtn nollkoht on drivtn osoittjn nollkoht. nliöön. Voidn korott Funktio s suljtull välillä [, ] suurimmn rvons päätpistssä ti drivtn nollkohdss. Päätpistrvot: g,, g,7 Arvo drivtn nollkohdss: g Funktion g suurin rvo on, pinin rvo on.
11 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. Nopin ritti on kuvn murtoviiv ACB. B Jos kilomtriin kuluv ik on tillä, niin mtsässä s on. Kokonisik on km AC CB AC CB. C A Aik on lyhin kohdss, joss unktio, s pinimmän rvons. Drivoidn. Drivtn nollkohdt:,, Funktion rvot välin [, ] päätpistissä:,, Funktion rvo drivtn nollkohdss on likimin 8,7. Siis unktio s pinimmän rvons drivtn nollkohdss,. Nopin ritti: Ensin titä pitkin, 7, km j sittn suorn mtsän hlki plopikll.
12 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Krtion tilvuus V π r h, missä r on pohjn säd j h korkus. Pythgorn lusn prustll r h r h. Sijoittn r h tilvuudn luskksn. V π h h π h h, h Drivtn V π h nollkohdt ovt h r j. Päätpistrvot välillä [, ]: V V Arvo drivtn nollkohdss: V π π π π, 9 Suurin tilvuus on π Mrkitään vkrimn pituutt j vinon y m. Tällöin y, jotn y. Khikon korkus h sdn Pythgorn lusll: h y Khikon pint-l on A h, missä. Funktion A päätpistrvot ovt nolli, jotn unktio s suurimmn rvons drivtn A 8 välill ], [ kuuluvss nollkohdss. Suurimmn tulun lvys on, m j korkus h, m.
13 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. 7 Kntluvun potnssin ksponntti. b c d g g. Jos b on luvun k-kntinn logritmi, niin b k. 8 b c d 7 7 log 7. Logritmin määritlmän prustll 7 b log log. k-kntinn logritmi on ksponntti, kun luku sittään luvun k potnssin. lg log b lg log c ln log d ln log,. Kosk lg,, niin.,9 b Kosk lg,9, niin,8.. ln b ln ln ln
14 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. log log log log log log log b log log log log log 9 log 7. log log log log log log log log log log log log log log log log 8 log log 8. Yhtälön log log määrittlyjoukko: > j > > > Molmmt hdot ovt voimss, kun >. log log log log ti Tulon nollsääntö. Rtkisuist kuuluu yhtälön määrittlyjoukkoon. b Yhtälö log log määritlty, kun > li < j > li >. Ehdot ovt yhtä ik voimss, kun < <. log log log log log log 7 ti log Rtkisukvll. Rtkisuist kuuluu määrittlyjoukkoon.
15 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 9. lg lg,, jotn,,,7. Siis Luvuss on suurmpi kuin luku j siis myös luvuss. on numro, kutn myös luvuss,7.,.,7, :, b,7, lg,7 lg, lg,7 lg, lg,, lg,7,98, lg,98 lg, lg,98 lg, lg, lg,98. log 7 b 7 lg lg 7 lg lg 7 lg 7,9 lg log 7 7 lg 7 lg lg 7 lg lg lg 7 lg, lg 7,87. Korkus tul yhdllä kopiokrrll,7-krtisksi j kopioinnill,7 -krtisksi. Kosk korkus pinn jok kopiointikrrll, korkus litt, cm:n rjn, kun,7 8,,,7 8, lg 8 9,7. lg,7 : 8 Siis pitää kopioid vähintään krt. 7
16 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Rtkistn, kosk rj lg lg lg 98,9 lg ylittyy. Kosk suurn, kun suurn, niin nsimmäinn kokonislukupotnssi, jot i voi lsk on 98.. Todnnäköisyys, ttä hnkilö i ol ortodoksi, on,,989. Jos ryhmässä on n hnkilöä, niin: Pinkin yksi ortodoksi Pi yhtään ortodoksi,989 n.,989,989 lg,989 n n n >,9 <, < lg, n lg,989 < lg, : lg,989,8 < lg, n > 8, lg,989 Ryhmässä pitää oll vähintään hnkilöä. 8
17 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 9. D ln ln ln ln b D g g on in positiivinn, sillä > kikill. Siis drivtll i ol nollkohti.. D Siis kikill j vin kohdss, jotn on idosti ksvv kikkill. 7. Funktion drivtt:, kun > Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on. 7 b Funktion g drivtt: g Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio g s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on. 7 g, > < > > < g g g g g ti
18 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Mrkitään 7 j g. Käyrin y j y g yhtisissä pistissä on g : 9 Rtkisukvll sdn. Drivoidn: 7 g Yhtisn pistsn piirrttyjn tngnttin kulmkrtoimt:, g Kulmkrtoimt ovt yhtä suurt, jotn käyrillä on yhtisssä pistssä yhtinn tngntti li käyrät sivuvt toisin.
19 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 9. D D b D D c D D D d D D D 7. Kosk mss vähn 7 %, intt jää jäljll 8 %. Mss tul yhdssä vuorokudss,8-krtisksi, jotn mss tul t vuorokudss,8 t -krtisksi. Siis mss mikrogrmmoin t vuorokudn kuluttu on m t,8 t 7 7,8. Mssn muutosnopus htkllä t on määrän drivtt t m t 7,8 ln,8 µg/vrk. Muutosnopus htkllä t on m 7,8 ln,8 9,. Määrä vähn nopudll 9, µg/vuorokusi. b Muutosnopus htkllä t on m 7,8 ln,8,. Määrä vähn nopudll, µg/vuorokusi. t 7. Drivoidn. on in positiivinn, sillä > kikill. Siis unktio on idosti ksvv kikkill. 7. Funktion drivtt on. Drivtn nollkohdt: ln ln, Kulkukvio: ln, < > Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun ln.
20 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. Funktion drivttunktio on. Drivtn nollkohdt: ln, : Kulkukvio: ln <,9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss ln. ln ln ln ln Pinin rvo on ln Mrkitään. Tällöin. Käyräll y pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on y j yhtälö on. Tngntti kulk origon kutt, kun : ti. Pistt ovt, j,.
21 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. Mrkitään suorkulmion -kslill olvn knnn puolikkn pituutt. Suorkulmion korkus on Suorkulmion pint-l on A, >. Drivoidn. A y. Drivtn ino nollkoht on. Kulkukvion prustll l s kohdss suurimmn rvons. Suurin rvo on A, 7. A A y A, >, A < y
22 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. ln ln ln ln ln ln ln b g ln ln ln ln ln ln ln g c h ln ln ln ln ln ln ln h 77. D ln ln ln, > Drivtn nollkohdt: ln ti ln b ln g D ln ln ln ln, > 8 Drivtn nollkohdt: ln ln ln i klp nollkohdksi 8 ln
23 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 78. Drivoidn unktio g ln ln, >. g Drivtn nollkohdt:, > ti Ngtiivinn juuri i klp nollkohdksi. Nollkoht, kuuluu välill [, ]. Funktion g rvo kohdss : g ln ln,8 Funktion g rvo välin [, ] päätpistissä: g ln g ln ln,9 Funktion g suurin rvo on j pinin ln. 79. Epäyhtälö ln pät, jos j vin jos unktio ln s vin pängtiivisi rvoj, kun >. Drivoidn: ln ln, Drivtn nollkoht on. Kulkukvio:, ln,,9 < ln,9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on ln. Kosk unktion pinin rvo on noll, unktio s vin pängtiivisi rvoj. Siis päyhtälö pät.
24 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Mrkitään ln. Suorn y kulmkrroin on, jotn suor voi oll käyrän y tngntti kohdss, joss drivtt s rvon. Koht on. Vstv suorn pist on,, jotn myös käyrän y pitää kulk pistn, kutt li pitää oll. Siis ln, jotn. Sivumispist on pist,. 8. D ln D b D ln D 8. Funktio ln ln on määritlty, kun > j < li kun < <. Funktion nollkohdt: ln ln ln ln ln ln ti Rtkisukvll. Vin kuuluu unktion määrittlyjoukkoon. b Drivtt on positiivinn unktion määrittlyjoukoss < <, jotn drivtll i ol nollkohti. 8. Funktion ln drivttunktio on. Funktion kuvj likk -kslin kohdss, joss li kohdss. Likkuspist on,. Likkuskulm on tngntin suuntkulm α. Kohtn piirrtyn tngntin kulmkrroin on, jotn tn α, jost α,. b Likkuspist on,, ln. Tngntin suuntkulmll on tn α,, jotn α,8. Tngntin j y-kslin likkuskulm on 9 α 8,.
25 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Funktio s positiivist rvons khdss ri pistssä. Funktioll i ol kääntisunktiot. b Funktio drivttunktio on idosti ksvv, kun, sillä unktion on positiivinn, kun >. Funktioll on kääntisunktio, jonk määrittlyjoukko on unktion rvojoukko [, [. Kääntisunktion lusk on y y, sillä yhtälön c Funktio y pängtiivinn rtkisu on y. on idosti ksvv, sillä drivtt on positiivinn koht noll lukuun ottmtt. Funktioll on kääntisunktio y y. Kääntisunktion määrittlyjoukko on unktion rvojoukko R. d Funktio on idosti ksvv, sillä ln >. Funktioll on kääntisunktio. Kääntisunktion lusk on yhtälön y rtkisu on lg y. y lg y, sillä Kääntisunktion määrittlyjoukko on unktion li väli ], [. rvojoukko 8. Funktio ln on määritlty kikill :n rvoill, sillä > kikill. Drivtt on in positiivinn, jotn on idosti ksvv. Siis unktioll on kääntisunktio. Funktion rvojoukko on ], [, jotn unktion rvojoukko on ], [. Siis kääntisunktion määrittlyjoukko on ], [. b Kääntisunktion lusk: ln y y y ln y y Siis y ln li ln. 7
26 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Funktion g drivtt g on in positiivinn, jotn g on idosti ksvv. Siis unktioll on kääntisunktio. Funktion g rvojoukko on R, jotn kääntisunktion määrittlyjoukko on R. Huomtn kokilmll ti kuvjn vull, ttä g. Siis g. Vstvsti huomtn, ttä g, jotn g. 8
27 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj A. Funktion drivtt: Drivtn nollkohdt:. Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun j vähnvä, kun. > <. Yhtälön log 8 log määrittlyjoukko: 8 > j > < 8 Molmmt hdot ovt voimss, kun < < 8. log8 log log 8 log log 8 log log 8 log ti 9 8 log Rtkisukvll. Rtkisuist 9 8 kuuluu yhtälön määrittlyjoukkoon. 9
28 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Rtkistn, kosk rj,99 littuu. lg,99 lg lg,99 9, lg,99 Kosk,99 pinn, kun suurn, niin nsimmäinn 9 kokonislukupotnssi, jok on rj pinmpi, on,99.. Suorn j käyrän likkuspistn -koordintti: ti 9 Korottn nliöön. 9 Rtkisukvll. Sijoittmll nähdään, ttä vin lkupräisn yhtälön. totutt Funktion 8 drivttunktio on D Kuvjll kohtn piirrtyn tngntin kulmkrroin on 8 Kosk suorn y kulmkrroin on, suor on kohtisuorss likkuspistsn piirrttyä tngntti vstn li suor on käyrän normli..
29 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Epäyhtälö > ln, >, pät, jos j vin jos unktio ln s vin positiivisi rvoj, kun >. Drivoidn: Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: Voidn korott nliöön, kun Rtkisukvll.,, >, > >. Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun. Kosk ln, on >, kun >. Siis päyhtälö pät.
30 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään ympyrän sädttä r. Pistn P täisyys jäntstä on OP b r Määrittään unktion r r r r, r > pinin rvo. Drivoidn: r r r Drivtn nollkohdt:. r r r r O b r P r r r r r r Voidn korott nliöön. r r r r r, ti r, jok i klp. Kulkukvio:, Funktio s pinimmän rvons kohdss. Siis täisyys on pinin, kun säd r.,, <,,8 >
31 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj B., Drivoidn., > Drivtt on noll, kun osoittj on noll mutt nimittäjä i ol. Voidn korott nliöön. Kulkukvio: < > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on.. Mss grmmoin t tunnin kuluttu on t m t,7,,,7. t Mssn muutosnopus htkllä t on määrän drivtt t m t,,7 ln,7 g/h. Määrä htkllä t on m,,7 9, g. Muutosnopus htkllä t on m,,7 ln,7,8 g/h. Mss ksv nopudll,8 g/h. b Määrä htkllä t on m,,7 g. Muutosnopus htkllä t on m,,7 ln,7 g/h. Mss ksv nopudll g/h.
32 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään P b c. b b b c, kun b c, b j b c. Sijoittmll sdn b j c. Siis P. b b c. Käyrän y pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on. Tngntin yhtälö: y y y y y B O Tngntti likk y-kslin pistssä,. Pistn, kutt kulkv -kslin suuntinn suor on y. Suor y likk y-kslin pistssä B,, jotn tngntti puolitt jnn OB.
33 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään ln. Tällöin. Pistsn, ln piirrtyn tngntin kulmkrroin on, jotn normlin kulmkrroin on. Normlin yhtälö: y ln y h b Normlin j -kslin likkuspistssä on y. Siis: ln ln ln : ln ln Kolmion knt on b. Kolmion korkus on h ln. Kolmion pint-l on ln A bh, > ln Määrittään unktion A, >, suurin rvo. Drivoidn: A ln ln ln ln ln ln Drivtn nollkohdt: ln ln ln ln ln ln 7, : ln, kun > Kulkukvio: A A A, > A, < Kulkukvion prustll pint-l A s suurimmn rvon, kun.
34 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Vdn tilvuus t skunnin kuluttu on t litr li t dm. Mrkitään vdn muodostmn krtion korkutt h dm. Tällöin krtion pohjn säd on myös h. Vsikrtion tilvuus on V πh h πh. Siis htkllä t on πh h t t π h t π π π t π t dm. Vdnpinnn nousunopus htkllä t on drivtt h t t t dm/s π π Nousunopus yhdn skunnin kuluttu on h π dm/s,7 dm/s 7, cm/s. b Nousunopus kymmnn skunnin kuluttu on h π dm/s, dm/s, cm/s.
35 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj C. Funktion drivtt on. Jos sivumispistn -koordintti on, niin y-koordintti on j tngntin kulmkrroin on k. Koordinttin summ on k.. Mgnitudi on m,lg F. Siriuksn kirkkus: m, lg, Vnuksn kirkkus: m, lg, lg, m b Kosk m,lg F, niin lg F, jotn F, Auringon mitttu kirkkus: 7,,8 F, Vgn kirkkutt Himmimmän kohtn kirkkus:,,, F, Vgn kirkkutt m,.. log log log log log log log log log log Siis log log. 7
36 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Funktio on määritlty, kun. Etsitään välit, joill on idosti monotoninn. Drivoidn: Drivtll on vin yksi nollkoht 8. Kulkukvion prustll on idosti vähnvä, kun 8 j idosti ksvv, kun 8. Suurin nolln sisältävä väli, joll on idosti monotoninn, on väli [8, [. Hluttu väli on [8, [. Kulkukvion prustll unktion pinin rvo on 8 8. Kosk, kun, unktion rvojoukko on [, [. Siis kääntisunktion määrittlyjoukko on väli [, [. b, kun,, kun 9 c on yhtälön juuri li unktion nollkoht. Hrukoimll sdn lopult,, <,,,99 >, jotn nollkohdn kksidsimlinn likirvo on,. 8. Funktion drivttunktio on. Kohdll piirrtyn tngntin kulmkrroin on, jotn normlin kulmkrroin on. Sivumispist on,,. Normlin yhtälö: y y Normlin j y-kslin likkuspistn y-koordintti on, kun Siis likkuspist lähn pistttä,.. 8
37 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Kolmio on tskylkinn. Suurimmss kolmioss ympyrän kskipist O on kolmion sisällä ti knnll. Kosk PO on kohtisuorss jännttä vstn, pist O on lisäksi kolmion korkusjnll. Mrkitään jäntn täisyyttä kskipiststä. Kolmion knt: b 9 Kolmion korkus on h 7. Kolmion pint-l on A h 7 9 9,.. 7 b P O Määrittään unktion A 7 9 suurin rvo suljtull välillä [, ]. Drivoidn: A Drivtn nollkohdt: ti, Nollkoht kuuluu välill ], [. Funktion A rvo kohdss : A 8 8, Päätpistrvot: A A Suurin pint-l on A,. 9
38 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj D., kun: ti Rtkisuist 9 8 totutt määrittly- j nliöönkorotushdot.. Funktion, ln >, drivttunktio on. Drivtn nollkohdt: Drivtn nollkoht kuuluu välill ]., [ Arvo drivtn nollkohdss:,9 ln ln ln Päätpistrvot:,7 ln ln ln Siis suurin rvo on ln j pinin. Yhtälö on määritlty, kun. Nliöönkorotushto:
39 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Käyrä y on suorn y yläpuolll, jos j vin jos > li > kikill. Mrkitään. On osoitttv, ttä unktio s vin positiivisi rvoj. Drivoidn: Drivtn nollkohdt: ln,9 Kulkukvio: ln < > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss ln. ln Pinin rvo on ln ln ln,. Kosk unktion pinin rvo on positiivinn, unktio s vin positiivisi rvoj..,, jos j vin jos on unktion,, Drivoidn:,,, nollkoht. Drivtt > kikill, jotn on idosti ksvv. Siis unktioll on nintään yksi nollkoht. Kosk 999 < j 8 98 >, unktioll on nollkoht välillä ], [. Siis unktioll on tsn yksi nollkoht. Hrukoimll sdn lopult, < j,7 >, jotn nollkohdn li yhtälön juurn kolminumroinn likirvo on.
40 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään. D Käyrän pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on. Tngntin yhtälö: y y y Tngntti likk y-kslin kohdss. y Tngntin j -kslin likkuskoht: Muodostuvn krtion pohjn säd on r. Krtion korkus on h. Krtion tilvuus on. 9 9 π π π π h r V Siis tilvuus on in sm riippumtt kohdst, johon tngntti piirrtään. y r h
41 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Käyttään kuvion mrkintöjä. Kuvioss mittojn yksikkönä on mtri. Kourun pint-l on b A h b b. Siis b. Mrkitään kourun pituutt k. Tällöin kourun sinin j pohjn yhtispint-l on A k ck c k h b k b k. Kosk b, on b, jotn A b b k. Pint-l s pinimmän rvons, kun unktio b b b, b b h b c s pinimmän rvons. Drivoidn: b b b Drivtn nollkohdt: b b b b b b b b b b b b,8 ti Voidn korott nliöön. b, jok i klp. Funktion rvo drivtn nollkohdss:, 7 Päätpistrvot:,, 7 Siis l on pinin, kun b. Vstvn kourun mitt: lvys pohjll: b, m lvys pinnll: b b,8 m
42 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj E. Funktio g on määritlty, kun li kun. Drivoidn unktio. g, < < g Drivtn nollkohdt: ti Rtkisuist totutt määrittly- j nliöönkorotushdot.. Funktio ln on määritlty, kun >. Drivoidn: Drivtt on positiivinn kikill >, jotn unktio on idosti ksvv koko määrittlyjoukossn ], [. Nliöönkorotushto:
43 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Suorn y kulmkrroin on, jotn suor voi oll käyrän y tngntti kohdss, joss drivtt s rvon. Siis: Voidn korott nliöön. Vstv suorn pist on,,, jotn myös 8 käyrän y pitää kulk pistn, kutt. 8 Siis pitää oll li Sivumispist oli pist,. 8
44 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Funktio ln ln ln ln on määritlty, kun >. Funktion nollkohdt: ln ln ln ln ti ln ti i klp nollkohdksi. Äärirvokohdt: Funktion ln ln drivtt: ln ln ln ln ln ln ln ln ln Drivtn nollkohdt: ln ln ln ti ln,, Kulkukvio: Kulkukvion prustll koht j koht on minimikoht.,, > <,9 > on mksimikoht
45 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt 7. Mrkitään., c g Drivoidn: c g, Mrkitään likkuspistn -koordintti. Tällöin g j likkuspistsn piirrttyjn tngnttin kulmkrtoimt ovt j. g Käyrät likkvt kohtisuorsti, jos kulmkrtoimin tulo on. Tulo on. g c c g Siis käyrät likkvt kohtisuorsti.
46 Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt 8. Mrkitään. Käyrän pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on. Tngntin yhtälö: y y y Tngntti likk y-kslin kohdss. y Likkuspist on positiivisll y-kslill, kun. < Tngntin j -kslin likkuskoht: : Likkuskoht on ngtiivisll -kslill, kun. < Muodostuvn kolmion knt on j korkus. Kolmion pint-l:, < A Määrittään unktion, < A suurin rvo. Drivoidn: A Drivtn nollkohdt ovt j. Kulkukvio: Kulkukvion prustll suurin rvo on,7. A y A A, < > A A
4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Kertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Kertaustehtävien ratkaisut
Rtkiuit Nämä Dirtili- j itgrlilk jtkokuri krtuthtävi j -rjoj rtkiut prutuvt oppikirj titoihi j mtlmii Kutki thtävätä o ylä vi yki rtkiu mikä i kuitk trkoit itä ttä rtkiu olii io ti d pr mhdolli Vlittu
lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Kertaustehtävien ratkaisut
Rtisist Nämä Intgrlilsnt -rssin rtsthtävin j -srjojn rtist prstvt oppiirjn titoihin j mntlmiin Kstin thtävästä on sä vin si rtis, miä i itnn troit sitä, ttä rtis olisi ino ti s prs mhollinn Vlitt rtistp
2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Ristitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Hrjoitustehtävien rtkisut Ari Tuomenlehto - 0 - Hrjoitustehtävien rtkisut 1.
Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
S Laskennallinen systeemibiologia
S-4.50 Lsknnllinn systmiiologi 4. Hrjoitus. Viill tutkittvll ljill (,, c, j ) on määrätty täisyyt c 0 8 8 8 0 8 8 8 c 0 4 4 0 0 Määritä puurknn käyttän UPGMA-mntlmää. Näytä kunkin vihn osrkntt vstvin täisyyksinn.
Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
![Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että](/thumbs/58/42210707.jpg "Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että")
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 1, Kevät Tarvittava akseptoridouppaus p-tyypin kerrokseen saadaan kaavalla
OY/PJKOMP R1 17 Puolijohkoonnttin rustt 5171A Rtkisut 1, Kvät 17 1. ( Trvittv kstoriouus tyyin krroksn sn kvll kbt ln Ł ni ni Ł kbt 1 ( 1 c,85 V 17» 1,8 1 c. 17 1 c Ł,59V Mtrilivkiot on otttu luntoonistn
.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
Sinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 Kokoavia thtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kirjoittaan kskiarvoll lausk :n avulla ja ratkaistaan yhtälöstä. π 4 π 4π :4 π 4 a b
1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
![1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [](/thumbs/58/42571602.jpg "1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [")
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.
2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!
LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Integraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y
4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,
9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
VEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.
a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että
![a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että](/thumbs/62/47649895.jpg "a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että")
TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
Sarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti
Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min
S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä
Riemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c)
Luku ) 8 8 + = + 6 6 ) ) + = + = = b) ) 7 := 7 := 7 : ) ) 9 6 7 7 = 7 := = = ( 7) ( 7) b) 5 5 5 5 + : = + 6 6 ) + + + = + + + 9 ) 5 5 6) 5+ 5 = + = = = 6 6 6 6 = + + + = + + = + + = + = 9 9 9 ( c) ) 9
1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
Riemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Säännöllisestä lausekkeesta deterministiseksi tilakoneeksi: esimerkki
Säännöllisstä luskkst dtrministisksi tilkonksi: simrkki Hikki Turiinn Yksinkrtistn säännöllistn luskkidn muuttminn dtrministisiksi tilkoniksi onnistuu usin plkästään lusktt tutkimll. Jos luskkn rknn on
5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista
9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä
TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
VEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset.
Lisätetäviä Peruskäsitteitä 0. ) Kulm on smnkotinen kulmn knss, joten kosk s j l ovt ydensuuntiset, on. b on :n ristikulm, joten myös b. b) b on smnkotinen kulmn 0 knss j kosk s j l ovt ydensuuntiset,
Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y
Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi
R4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt
.. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...
Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset
Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on
4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
S Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa
Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä
5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
Viikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )
76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista
Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)