Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää"

Transkriptio

1 Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss heinäkuut Kilpilijoit oli 535 j he edustivt 97:ää eri mt. Kilpilijoill oli tvn mukn edessään khten päivänä pidetyiss neljän j puolen tunnin mittisiss kokeiss kuusi tehtävää. Tehtävien ldintprosessi on kolmiviheinen. Kikill olympilisiin osllistuvill mill, käytännössä henkilöillä, jotk eri miss osllistumist hoitvt, on mhdollisuus lähettää tehtäväehdotuksi. Ehdotuksi käsittelee sintuntijkomite, jok vlitsee tehtävistä noin 30 esiteltäviksi kikkien joukkueiden johtjist koostuvlle siis noin stjäseniselle tuomristolle. Komite ryhmittelee ehdotuksens neljään ihelueeseen: lgebr, kombintoriikk, geometri j lukuteori. Tuomristo s tutustu tehtäviin ensin ilmn rtkisuj j sitten komiten toimittmien rtkisuehdotusten ker. Tämän jälkeen tuomristo vlitsee prin päivän ikn perusteellisten keskustelujen jälkeen kuusi tehtävää yrittäen pitää silmällä sekä eri ihelueiden edustust että vikeustson vihtelu. Käsillä olevn srjn päätyi kksi geometrin tehtävää, kksi lgebrn ktegorist vlittu, yksi kombintorinen j yksi lukuteoreettinen tehtävä. Jkum oli tvnominen. Käsittelen seurvss tehtävät vikeusjärjestyksessä helpoimmst lken. Järjestys perustuu kilpilijoiden suorituksiin, mutt se käy myös yksiin tuomriston jtusten knss. Tpn on sett helpoimmt tehtävät srjn numeroiksi j 4, jolloin kumpnkin kilpilupäivänä ensimmäinen tehtävä on helpoin. Vikeimmiksi rvioidut tehtävät svt numerot 3 j 6. Mtemtiikkolympilisiin on vkiintunut käytäntö, jonk mukn kunkin tehtävän rvostelusteikko on 0 7. Kunkin tehtävän kohdll joss oli siis = 3745 pistettä. Tehtävä : helppo geometrin tehtävä Arvosteluss eniten pisteitä, 2664 eli 7 % mhdollisist, kertyi tehtävälle, jok oli luonteeltn geometrinen. Tehtävä oli lkun Venäjän ehdotus. Seitsemän pisteen suorituksi oli 32, nolln 59. Teräväkulmisen kolmion ABC korkeusjnojen leikkuspiste on H. Pisteen H kutt kulkev ympyrä, jonk keskipiste on sivun BC keskipiste, leikk suorn BC pisteissä A j A 2. Vstvsti pisteen H kutt kulkev ympyrä, jonk keskipiste on sivun CA keskipiste, leikk suorn CA pisteissä B j B 2, j pisteen H kutt kulkev ympyrä, jonk keskipiste on sivun AB keskipiste, leikk suorn AB pisteissä C j C 2. Osoit, että pisteet A, A 2, B, B 2, C j C 2 ovt smll ympyrällä. Tehtävän rtkisun knnlt olenninen on huomio, jonk mukn ympyrän keskipiste on jokisen ympyrän jänteen keskinormlill. Jos tehtävässä kysytty ympyrä on olemss, sen keskipisteen on oltv jnojen A A 2, B B 2 j C C 2 keskinormleill. Toisl-

2 2 Solmu 3/2008 t näiden jnojen keskipisteet A 0, B 0 j C 0 ovt kolmion sivujen keskipisteet j minitut keskinormlit ovt smll kolmion sivujen keskinormlej. Tehtävässä vditun ympyrän keskipisteeksi käy siis inostn keskinormlien leikkuspiste eli kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste O. Pelkästään tämä hvinto oikeutti rvostelukriteerien mukn yhteen pisteeseen. Tehtävien esivlintkomiten trjom rtkisu oli melko lill lskento välttävä. Se jtkui jo minitun hvinnon jälkeen suunnilleen seurvsti: Olkoon kolmion ABC ympäri piirretyn ympyrän säde R. Kosk A 0 H = A 0 A, Pythgorn luseest sdn OA 2 = OA A 0 A 2 = OA A 0 H 2. () nt A 0 H 2 = HC 2 HC sin β. Yhtälöiden () j (3) perusteell OA 2 = R2 +HC 2 HC sin β. Mutt HAC = 90 γ j HCA = 90 α, joten AHC = α + γ = 80 β. Siniluse sovellettun kolmioon AHC nt siis HC cosγ = b sin β. Kun muistetn ljennetun siniluseen mukinen 2R = sin α = b sin β, sdn OA 2 = R 2 + b2 cos 2 γ sin 2 β b cosγ = R 2 + 4R 2 cos 2 γ b cosγ = R 2 ( + 4 cosγ(cosγ sin α sin β)). Otetn huomioon se, että cosγ = cos(80 (α+β)) = cos(α + β) j käytetään kosinin yhteenlskukv. Sdn OA 2 = R2 ( 4 cosα cosβ cosγ). Kosk luseke on symmetrinen kolmion kulmien vihtelujen suhteen, on oltv OA = OA 2 = = OC 2. Olkoot K j L jnojen AH j CH keskipisteet. Kolmioist BCH j CAH sdn A 0 L BH j B 0 L AH. Kosk BH AC j OB 0 AC, niin A 0 L OB 0. Vstvsti B 0 L OA 0. Nelikulmio A 0 LB 0 O on siis suunniks, joten OA 0 = B 0 L = KH. Kosk KH OA 0, HA 0 OK on suunniks. Smoin KA 0 OA on suunniks. Siis A 0 K = OA = R. Sovelletn suunnikslusett (jonk mukn suunnikkiden lävistäjien neliöiden summ on sm kuin suunnikkn sivujen neliöiden summ) suunnikkseen HA 0 OK; sdn 2(OA A 0 H 2 ) = OH 2 + A 0 K 2 = OH 2 + R 2. (2) Yhtälöistä () j (2) sdn heti OA 2 = 2 (OH2 +R 2 ). Tiedetään, että OA = OA 2. Toislt sm lsku nt smn rvon suureille OB 2 j OC2 j OB = OB 2, OC = OC 2. Kysytyt pisteet ovt siis kikki smll O-keskisellä ympyrällä. Smn johtopäätökseen stt päätyä lskennollisemminkin. Suomen joukkueess kilpilleet Jnne Junnil j Sylvester Eriksson-Bique nojutuivt molemmt kosiniluseeseen. Suorkulmisest kolmiost OBA 0 sdn heti OA 2 0 = R (3) Olkoot kolmion kulmt α, β j γ. Kosk BCH = 90 β, niin kosiniluse sovellettun kolmioon A 0 CH Edellinen lsku j sen monenliset vritiomhdollisuudet vtivt jossin määrin trigonometrist silmää. Tehtävästä selviää kuitenkin ivn r ll työlläkin, jos sett kolmion koordintistoon. Luonnollinen j in mhdollinen vlint olisi sijoitt kolmion kärjet näin: A = (, b), B = (0, 0) j C = (, 0). Silloin A 0 = ( 2, 0), B 0 = ( 2 ( + ), ) b 2 j C0 = ( 2, 2) c. Sivun AB keskinormlin yhtälö on y b 2 = ( b x 2) j pisteen O y-koordintti sdn sijoittmll tähän x = 2. Tästä sdn O = ( 2, 2b (2 + b 2 ) ). Vstvsti piste H sdn suorien x = ( j y = b (x ) leikkuspisteenä. Näin ollen H =, ( ) b ). Kun kikki trvittvt koordintit tiedetään, on helppo lske suureet O:n etäisyydet pisteistä A,... C 2 ; edellä snotun perusteell näiden etäisyyksien neliöt ovt OA A 0 H 2, OB B 0 H 2 j OC C 0 H 2. (Ne on kikki lskettv, kosk kolmion kärjet eivät nyt ole suorn vihdettviss.) Sieventelyjen jälkeen jokisest neliösummst tulee sm, nimittäin 4b 2(54 + b b b b 2 ). Tehtävä 4: funktionliyhtälö pienen koukun ker Toisen kilpilupäivän ensimmäinen tehtävä tuotti kilpilijoille pisteitä 2355 eli lähes smn verrn kuin ensimmäisenkin päivän helppo tehtävä. Seitsemän pisteen suorituksi kirjttiin 227 j nolln 69. Tehtävä oli Etelä-Koren ehdotus. Tuomriston etukäteisrvioiss tätä tehtävää rveltiin kikkein helpoimmksi. Tehtävä oli seurv:

3 Solmu 3/ Määritä kikki funktiot f : (0, ) (0, ) (f on siis positiivisten relilukujen joukoss määritelty funktio, jonk rvot ovt positiivisi relilukuj), joille pätee ( f(w) ) 2 + ( f(x) ) 2 f(y 2 ) + f(z 2 ) = w2 + x 2 y 2 + z 2 kikill positiivisill reliluvuill w, x, y j z, jotk toteuttvt ehdon wx = yz. Tehtävän lkuperäisversioss esiintyi vin funktion määrittely f : (0, ) (0, ), mutt tuomristoss esitetyt epäilyt merkinnän outoudest koululiskilpilijoille iheuttivt selittävän lisäyksen tekstiin. Mtemtiikkolympilisten perinteisiin toiminttpoihin kuuluu mhdollisuus esittää kirjllisi kysymyksiä tuomristolle kilpilun luss. Selityksenkin jälkeen merkintä iheutti lukuisi tiedusteluj, joiss udeltiin merkinnän (0, ) sisältöä. Joisskin tehtävien kieliversioiss olikin käytetty bourbkilist voimen välin merkintää ]0, [. Funktionliyhtälötehtävien normlin rtkisumetodiikn mukn tehtävää rtkistess oletetn funktion f toteuttvn tehtävän ehdon, j hetn funktion ominisuuksi. Yksi perustilnne on tutki funktion rvo yksinkertisill rgumentin rvoill. Tässä yksi ilmeinen trksteltv rgumentin rvo on. Asettmll w = x = y = z = sdn 2f() 2 2f() =, jost seur f() =. Tämä hvinto rvioitiin yhden pisteen rvoiseksi. Kun funktion määrittelyehdoss esiintyy toisi potenssej, on melko luonnollinen yrite sijoitt rgumenteiksi neliöjuuri. Olkoon siis w > 0, x =, y = z = w. Nyt f(w) 2 + 2f(w) = w2 + 2w. Tämä f(w):n toisen steen yhtälö sievenee muotoon (wf(w) )(f(w) w) = 0. Siis joko f(w) = w ti f(w) = w. On helppo todent, että funktiot f(x) = x j f(x) = x (kikill x > 0) toteuttvt yhtälön. Rtkisu, joss oli edetty tähän sti, rvioitiin neljän pisteen rvoiseksi. On tietenkin olemss äärettömän mont funktiot, jolle f(x) = x joillin x j f(x) = x joillin toisill x. Tehtävässä ei funktion f oletettu omvn mitään säännöllisyysominisuutt kuten esimerkiksi jtkuvuutt. Osoittutuu kuitenkin, että vin funktiot f(x) = x kikill x > 0 j f(x) = x kikill x > 0 voivt tull kysymykseen. Todistetn tämä epäsuorsti. Tehdään siis vstoletus, jonk mukn olisi olemss tehtävän ehdot toteuttv funktio f, jok ei olisi kumpikn edellä minituist funktioist. Silloin olisi olemss positiiviset luvut j b,, b, niin että f() = j f(b) = b. Asetetn w =, x = b, y = z = b. Sdn eli + b 2 2 2f(b) = 2 + b 2 2b f(b) = b( 2 + b 2 ) 2 + b 2. Mutt f(b) on joko b ti b. Edellisessä tpuksess on oltv 2 = 2 eli =. Jälkimmäisessä tpuksess 2 b 2 ( 2 + b 2 ) = 2 + b 2, jost seur b =. Kumpikin vihtoehto joht ristiriitn, joten vstoletus on väärä. Tehtävä 2: epäyhtälö yhtäsuuruus eksoottinen Kolmnneksi helpoin tehtävä oli ensimmäisen kilpilupäivän toinen tehtävä, sekin lgebrllinen. Tehtävän ehdottj oli Itävlt. Se tuotti 37 pistettä eli 37 % mksimist. seitsemän pisteen suorituksi oli 94, nolln 0. Tehtävä oli kksiosinen epäyhtälötehtävä: () Todist, että x 2 (x ) 2 + y 2 (y ) 2 + z 2 (z ) 2 kikille reliluvuille x, y j z, jotk ovt eri suuri kuin j joille pätee xyz =. (b) Osoit, että äärettömän monell rtionlilukukolmikoll x, y, z, missä kikki luvut ovt eri suuri kuin j xyz =, edellisessä epäyhtälössä vllitsee yhtäsuuruus. Tehtävä rvosteltiin niin, että ()-kohdn oiken rtkisun rvo oli neljä j (b)-kohdn kolme pistettä. Kun lukemttomiss epäyhtälötehtävissä yhtäsuuruusehto on yleensä jotenkin trivili, niin erityisesti (b)-koht tekee tästä tehtävästä mielenkiintoisen. ()-kohdn rtkisumhdollisuuksist rjutuvt pois neliöllisen keskirvon ominisuuksien käyttö, kosk mukn stt oll negtiivisi lukuj. Rtkisuyrityksiä, joiss epäyhtälö todetn päteväksi positiivisille luvuille, ei plkittu pistein. Rtkisu onnistuu mukvsti, kun tehdään muuttujnvihto eli x x =, x =, y = y y = b, b b, z = z z = c c c.

4 4 Solmu 3/2008 On siis todistettv, että 2 + b 2 + c 2, kun bc = ( )(b )(c ) j kun, b, c. Mutt viimeinen yhtälö on yhtäpitävä yhtälöiden + b + c = b + bc + c, 2( + b + c ) = ( + b + c) 2 ( 2 + b 2 + c 2 ), 2 + b 2 + c 2 2 = ( + b + c) 2 2( + b + c), 2 + b 2 + c 2 = ( + b + c ) 2 0 knss. Väite on siis tosi. (b) Edellisen yhtälöketjun viimeinen yhtälö osoitt, että lkuperäisessä yhtälössä vllitsee yhtäsuuruus jos j vin jos 2 +b 2 +c 2 = +b+c =. Yhtäsuuruus pätee siis bc-vruudess koko sillä ympyrällä, jok syntyy pllon 2 + b 2 + c 2 = j tson + b + c = leikkuksen. Tältä ympyrältä on nyt löydettävä rtionlikoordinttisi pisteitä. Kosk 2 + b 2 + c 2 = ( + b + c) 2 2(b + bc + c), yhtäsuuruuden ehto on yhtälöiden +b+c = j b+bc+c = 0 yhtäikinen voimssolo, sekä, b, c. Kun yhtälöistä eliminoidn c, sdn 2 + b + b 2 = + b. Tulkitn tämä b:n toisen steen yhtälöksi. Yhtälön diskriminntti on D = ( ) 2 4( ) = ( )( + 3). Smme rtionlisi rtkisuj, jos vlitsemme :n niin, että j + 3 ovt rtionliluvun neliöitä; tällöin diskriminntti j b ovt myös rtionlisi j smoin c = b. Asetetn = k m, missä k j m ovt kokonislukuj. Jos m = k 2 k +, niin m k = (k ) 2 j m + 3k = (k + ) 2. Tällöin D = (k2 ) m j b = 2 2m (m k ± (k2 )) j c = k m. Kun k, niin, b, c. Kun k käy läpi luonnolliset luvut >, sdn tällä tvoin äärettömän mont yhtälön 2 + b 2 + c 2 = toteuttv rtionlilukukolmikko (, b, c). Kosk x, y j z ovt :n, b:n j c:n rtionlilusekkeit (j eri :t, b:t j c:t vstvt eri x:iä, y:itä j z:j), sdn äärettömän mont tehtävän yhtälön toteuttv rtionlilukukolmikko (x, y, z). Tehtävä 5: lmppuj sytytellään j smmutelln Odotusten mukisesti tehtävä 5, toisen päivän keskimmäinen tehtävä j srjn ino kombintoriikn edustj, osoittutui vikeusjärjestyksessä neljänneksi. Pisteitä kertyi, 30 % mksimist. Tehtävä oli joko osttu ti ei: seitsemän pisteen vstuksi oli 32 j nolln 295. Tehtävä oli Rnskn ehdottm. Tehtävässä trksteltiin 2n bitin systeemin tilnmuutoksi. Systeemi oli visulisoitu lmppuin. Olkoot n j k, k n, positiivisi kokonislukuj, j olkoon k n prillinen. Olkoon nnettun 2n lmppu, jotk on vrustettu numeroin, 2,..., 2n j joist jokinen voi pl ti oll pimeänä. Aluksi kikki lmput ovt pimeinä. Trkstelln skelist koostuvi jonoj. Jokisell skeleell jonkin lmpun til vihdetn päinvstiseksi (lmppu sytytetään ti smmutetn). Olkoon N kikkien sellisten k:st skeleest muodostuvien jonojen lukumäärä, jotk johtvt tiln, joss lmput,..., n plvt j lmput n +,..., 2n ovt pimeinä. Olkoon M kikkien sellisten k:st skeleest muodostuvien jonojen lukumäärä, jotk johtvt tiln, joss lmput,..., n plvt j lmput n +,..., 2n ovt pimeinä, mutt lmppuj n +,..., 2n ei ole kertkn sytytetty. Määritä suhde N/M. Kilpilijoiden kyselymhdollisuus osoitti, että jonon olemus ei tullut tehtävän tekstistä kikille lukijoille selväksi. (Eräs kilpilij huomsi myös kysyä, voidnko olett, että lmput pysyvät ehjinä, kun niitä linom sytytellään j smmutelln.) Snomme, että jono, joll päästään lkutilst tehtävän lopputiln, on sllittu jono, j sllittu jono, joll päästään lopputiln niin, että minkään lmpun n +,..., 2n til ei muutet, on rjoitettu jono. Rjoitettuj jonoj on olemss, kosk on mhdollist sytyttää kukin lmpuist,..., n j sen jälkeen sytyttää j smmutt lmppu 2 (k n) kert. On mhdollist lske sllittujen jonojen lukumäärä j rjoitettujen jonojen lukumäärä binomikerroinlusekkein. Tehtävässä kysyttyyn suhteeseen pääsee kuitenkin luontevimmin liittämällä jokiseen rjoitettuun jonoon tietyt sllitut jonot. Olkoon X mielivltinen rjoitettu jono j olkoon p mielivltinen lmppu, p n. Oletetn, että jonoss X tämän lmpun til on muutettu k p kert; k p on priton, kosk lmppu pl lopputilss. Vlitn mielivltinen prillinen määrä jonon sellisi skeli, joiss lmpun p til vihdetn j korvtn jokinen skeleell, joss lmpun n + p til vihdetn. Täten sdn 2 kp jono, joiden skeleet yhtyvät jonon X skeliin muuten kuin vlittujen p:n til muuttvien skelten kohdll. (k p -lkioisell joukoll on 2 kp prillislkioist osjoukko.) Smll tvll voidn jokiseen lmppuun,..., n liittyvät tilnvihdot siirtää lmppujen n +,..., 2n tilnvihdoiksi. Rjoitettuun jonoon X liittyy tällä tvoin 2 k 2 k2 2 kn = 2 k n erilist sllittu jono. Osoitetn kääntäen, että jokinen sllittu jono Y sdn rjoitetust jonost kuvtull tvll: korvtn jokinen lmpun q > n tiln muuttv Y :n skel lmpun q n tiln muuttvll skeleell. Näin sdn eräs rjoitettu jono X. Kosk jonoss Y lmppujen q > n til on muutettu prillinen määrä kertoj, jonon Y j jonon X lopputilt ovt smt. Selvästi Y sdn X:stä edellä kuvtull menetelmällä. Jokist rjoitettu jono kohden on siis tsn 2 k n smn lopputiln johtv sllittu jono. Siis N/M = 2 k n.

5 Solmu 3/ Pelkästään lukumäärän 2 k n ilmoittminen tuotti rvosteluss yhden pisteen. Tehtävä 3: suuri lkutekijöitä Molempien kilpilupäivien viimeiset tehtävät oli trkoitettu vikeiksi, erottmn jyvät knoist. Etukäteisrvioinneiss nimenomn lukuteoreettist tehtävää 3 rvioitiin jop ylivoimisen vikeksi. Tehtävä oli Liettun ehdottm. Se tuotti kilpilijoille 430 pistettä eli % mhdollisist. Täydet pisteet tehtävästä si 46 kilpilij, 438 jäi nollille. Tehtävän muotoilu oli lyhyt: Osoit, että on olemss äärettömän mont sellist positiivist kokonisluku n, jolle luvull n 2 + on luku 2n + 2n suurempi lkutekijä. Tehtävä liittyy selvästi inkin kirjoittjn tietämän mukn yhä voimeen j tutkimuksen kohteen olevn ongelmn siitä, onko muoto n 2 + olevien lukujen joukoss äärettömän mont lkuluku. Esivlintkomiten j rvttvsti tehtävän ehdottjn rtkisu perustui tietoihin, jotk eivät ole lkeellisint lukuteori: siihen että muoto 8k+ olevi lkulukuj on äärettömän pljon j siihen, että kongruenssill x 2 mod p on rtkisu, kun p on lkuluku. Edellinen tieto seur esimerkiksi tunnetust mutt vrsin epätrivilist Dirichlet n luseest, jonk mukn jokisess päättymättömässä ritmeettisess jonoss on äärettömän mont lkuluku, jälkimmäinen vikkp kohtlisen lkeellisest Wilsonin luseest, jonk mukn (p )!+ on jollinen p:llä, kun p on lkuluku. Arvttvsti nämä sit eivät olisi olleet vierit kilpilijoiden hyvin vlmentutuneelle prhimmistolle. Tehtävää ei olisi kuitenkn kelpuutettu, ellei sille olisi tuomristoss löydetty myös sinänsä lkeellisi rtkisuj. Sellinen on seurv. Trkstelln kokonisluku k 20. Olkoon p jokin luvun (k!) 2 + lkutekijä. Silloin p > 20 eikä luvuill p j k! ole yhteisiä tekijöitä. Olkoon x k! mod p j 0 < x < p. Jos p/2 > x, niin p x < p/2 j p x k! mod p. Jok tpuksess on olemss n, 0 < n < p/2, niin että n 2 (k!) 2 mod p. p on siis luvun n 2 + tekijä. Tästä seur edelleen (p 2n) 2 = p 2 4pn + 4n 2 4n 2 4 mod p. Siis (p 2n) 2 p 4 eli p 2n + p 4 > 2n + 2n, jos p > 20, sillä tällöin p 4 2n + p 4 4 > 2n. On vielä osoitettv, että ehdon täyttäviä lukuj n on äärettömän mont. Olkoon n j p edellä tuotetut luvut. Olkoon q jokin luvun (p 2 )! + lkutekijä. Smoin kuin edellä löydetään n, n < q/2, niin että q on n 2 + :n tekijä j q > 2n + 2n. Toislt n 2 + > q > p 2 > 4n 2 > n 2 +, joten n > n. Jokist ehdon täyttävää kokonisluku kohden löytyy siis suurempi ehdon täyttävä kokonisluku, joten ehdon täyttäviä kokonislukuj on äärettömän mont. Tehtävän ntm lrj lkutekijöiden koolle ei ole mitenkään prs mhdollinen. Pitemmälle menevin keinoin on todistettviss, että lrjksi voisi sd inkin luvun n lnn. Tehtävä 6: erikoinen homoteti Toinen geometrin tehtävä oli toisen kilpilupäivän viimeinen tehtävä. Se oli smoin kuin toinenkin srjn geometritehtävä Venäjän ehdottm. Tehtävä oli selvästi koko srjn vikein. Se tuotti kilpilijoille vin 37 pistettä eli lle 2 % mhdollisist. Täydet pisteet tehtävästä si 2 kilpilij, nollille jäi 482. Tehtävässä trksteltiin geometrist konfigurtiot, jonk hhmottminen ei ole heti ihn helppo: Kuperss nelikulmioss ABCD on BA BC. Kolmioiden ABC j ADC sisään piirretyt ympyrät ovt ω j ω 2. Oletetn, että on olemss ympyrä ω, jok sivu puolisuor BA eri puolell A:t kuin B j puolisuor BC eri puolell C:tä kuin B j jok myös sivu suori AD j CD. Osoit, että ympyröiden ω j ω 2 yhteisten ulkopuolisten tngenttien leikkuspiste on ympyrällä ω. Rtkisu perustuu vhvsti homotetikuvuksiin. Väitteen todistmiseksi riittää osoitt, että ympyröiden ω j ω 2 välisen homotetikuvuksen homotetikeskus on ympyrällä ω. Osoitetn ensin, että ympyrän ω olemss olo sett rjoituksen nelikulmion ABCD muodolle. Olkoot ympyrän ω j suorien BA, BC, CD j AD sivumispisteet K, L, M j N. Nyt AB + AD = (BK AK)+(AN DN) = BL AN +AN DM = BL (CM CD) = BL CL + CD = BC + CD. Olkoon nyt P ympyrän ω j sivun AC yhteinen piste; olkoon R ympyrän ω P:n kutt piirretyn hlkisijn toinen päätepiste j Q BR:n j AC:n leikkuspiste. Olkoot vielä U j V R:n kutt piirretyn ω :n tngentin j suorien BA j BC leikkuspisteet. B-keskinen homoteti, jok kuv UV :n jnksi AC, kuv ympyrän

6 6 Solmu 3/2008 ω, jok on kolmion BUV sivuun UV liittyvä sivuympyrä, kolmion BAC sivuun AC liittyväksi sivuympyräksi. Q on näin ollen viimeminitun sivuympyrän j sivun AC yhteinen piste. On helppo nähdä (j tunnettu), että kolmion XY Z sisään piirretyn ympyrän sivumispisteen etäisyys kolmion kärjestä X on sm kuin sivuun XY liittyvän sivuympyrän sivumispisteen etäisyys kärjestä Y. Näin ollen AP = CQ. Kolmion sisään piirretyn ympyrän sivumispisteen j kolmion kärjen etäisyys on lskettviss tunnetun (j helposti johdettvn) kvn vull. Sen mukn AP = 2 (AB + AC BC). Vstvsti kolmion ADC sisään piirretyn ympyrän j sivun AC yhteiselle pisteelle Q sdn CQ = 2 (AC +CD AD). Kosk edellä snotun mukn tehtävän nelikulmiolle pätee AB BC = CD AD, on CQ = AP = CQ. Q on siis ympyrän ω 2 j suorn AC yhteinen piste. Vstvll tvll nähdään, että ympyrän ω 2 pisteeseen Q piirretyn hlkisijn toinen päätepiste S, D j P ovt smll suorll. Olkoon sitten T ympyrän ω AC:n suuntisen tngentin sivumispiste (trkemmin snoen se niistä, jok on lähempänä suor AC). Homoteti, jonk keskus on B j homotetisuhde BT PR, kuv ympyrän ω ympyräksi ω. B, R, Q j T ovt siis smll suorll. Vstvsti homoteti, jonk keskus on D j homotetisuhde DT DS, kuv ympyrän ω 2 ympyräksi ω. P, S, D j T ovt siis smll suorll. Mutt kosk ympyröiden ω j ω 2 hlkisijt P R j SQ ovt yhdensuuntiset, ne kuvutuvt toisilleen T-keskisessä homotetiss. Tästä seur, että itse ympyrät ω j ω 2 kuvutuvt toisilleen tässä homotetiss. Mutt tällöin T:n on oltv ympyröiden yhteisten ulkopuolisten tngenttien leikkuspiste, j todistus on vlmis.

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Kieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2.

Kieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2. Kieli, merkitys j logiikk, kevät 2011 HY, Kognitiotiede stukset 2. ** Kikiss utomteiss lkutil on. 1.. nn äärelliset utomtit luseille (1-c), jokiselle omns. (1).. c. q3 q4 q3 q4 q5 q6. Muodost äärellinen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot