Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III
|
|
- Sanna Auvinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6 Yksikkökustnnusten minimin ehdot 7 7 Komprtiivist sttiikk pitkän ikvälin kustnnusfunktioll 7 8 Yrityksen voiton mksimointiongelm 9 9 Monopolistisen kilpilutilnteen yritys 0 0 Yrityksen duliteori Tuotntofunktion prmetrien estimointi kustnnusfunktion kutt 2 Yrityksen tuotntofunktiost Ajtelln yrityksen suunnittelevn toimintns kiinteän jnjkson ikn Olkoon tämä jnjkso kuukuden pituinen, eli trkstelln yrityksen lyhyen ikvälin tuotntosuunnitelm Yrityksen jtelln tuottvn vin yhtä lopputuotett j tuotntopnoksi oletetn on n kpl Tuotntofunktio on muoto y f Z, Z z,, z n, f : R n R, olev sklrirvoinen kuvus, missä y kpl/kk on yrityksen kuukusittinen tuotntonopeus j z i pnoksen i määräyksikkö/kk on pnoksen i kuukusittinen käyttönopeus, i,, n
2 Olkoon tuotntofunktio k:nnen steen homogeeninen funktio, fs Z s k f Z; s R Tällöin dy ds ksk f Z Määritellään tuotnnon sklmittkvjousto seurvsti: E dy/y ds/s dy s ds y Edellä määritellyn k:nnen steen homogeenisen funktion skljousto on E ks k f Z s s k f Z ksk + k k Määritellään pnoksen i keskimääräinen tuottvuus kuukuden ikn seurvsti y z i jonk mittyksikkö on kpl/z i :n määräyksikkö Tuotnnontekijän z i rjtuottvuus määritellään seurvsti y lim y z i 0 z i zj 0,j i Rjtuottvuus mitt pnoksen keskimääräistä tuottvuutt pnoskäytön mrginlisen lisäyksen oslt Kikkien pnosten rjtuottvuuksien oletetn olevn positiivisi j lenevn rjtuottvuuden oletetn pätevän, 2 y 2 < 0, i,, n 2 Pnosten substituoitvuus Trkstelln tuotntonopeutt tietyllä vkiotsoll, fz,, z n Kokonisdifferentioidn tämä luseke: z dz + + z n dz n d 0 Oletetn nyt, että kikki muut pnoskäytöt pidetään vkioin, j trkstelln tuotntonopeuden vkion pitävää mrginlist vihtosuhdett khden pnoksen k j l välillä, dz i 0, i,, n, i k, l dz k + dz l 0 dz k z l dz l 2 / z l / < 0
3 Tämä vst smtuotosisokvntti-käyrän kulmkerroint koordintistoss z l, z k Differentioidn isokvnttikäyrän kulmkerroin uudestn z l :n suhteen käyrän muodon tutkimiseksi z l dzk dz l z l z l 2 f z 2 l + z l 2 2 f dz k z l dz l z l 2 f z l z 2 k dz k dz l + 2 f z l 2 2 f z 2 l 2 f / z l z l / 2 f z l z l 2 f / z l z 2 k / 3 z l [ f z l 2 z l 2 f ] z l f 2 f + z l z l z 2 k fk 2 f ll + f l 2 f kk 2f k f l f kl, missä f k /, f kl 2 f/ z l jne Nyt viimeisimmän muodon sulkeiss olev os voidn esittää neliömuoton f 2 k f ll + f 2 fll f l f kk 2f k f l f kl f k, f l kl fk f kl Yo neliömuoto on negtiivisesti määritelty, jos f ll < 0 j f ll f kk f 2 kl > 0, mitkä ehdot toteutuvt tuotntofunktiost tekemiemme oletusten perusteell kun f kl on itseisrvoltn f ll, f kk :t pienempi Kosk sulkulusekkeiden edessä olev kerroin on negtiivinen, yo osittisderivtt on positiivisesti määritelty, eli isokvnttikäyrä em koordintistoss on konveksi 3 Yrityksen teori Jos yrityksen tuotntofunktio on k:nnen steen homogeeninen funktio, j jos tuotnnon skljousto eli funktion homogeenisuusste E k <, tuotnto on joustmtont skln suhteen lenevt skltuotot Jos tuotnnon skljousto E k >, tuotnto on joustv skln suhteen ksvvt skltuotot, j jos tuotnnon skljousto E k, tuotnto on ykkösjoustv skln suhteen vkioiset skltuotot 3 f kk f l
4 Trkstelln yrityksen kuukusikustnnusten minimointiongelm kiinteällä tuotntonopeudell kpl/kk, joss kikki pnoskäytöt voidn vlit optimlisesti pitkän ikvälin tuotntosuunnitelmn mukinen kustnnusfunktio: min C Z,λ w i z i + λ[ fz,, z n ], missä Z yrityksen pnoskäyttövektori j w w,, w n pnosten yksikköhintvektori Ensimmäisen kertluvun ehdot ovt C 0 w i λ 0, i,, n, C λ 0 fz, z n 0 Yo n+ yhtälön j n+ tuntemttomn z, z n, λ muodostm yhtälöryhmä on tietyin ehdoin rtkistviss muotoon z i z i w,, w n,, i,, n, λ λ w,, w n,, missä z i ovt kuukusittiset kustnnukset minimoivt pnoskäytöt pnosten kysyntäfunktiot Jos n 2, minimointiongelmn toisen kertluvun ehdot voidn joht seurvn reunustettu Hessin mtriisi vstvn determinntin vull, 0 f f 2 H f λf λf 2 f 2 λf 2 λf 22 Tämä voidn kirjoitt muodoss H λ[f 2 f 22 2f f 2 f 2 + f 2 2 f ] f f 2 f 22 f 2 f 2 f f Jott optimipiste olisi lokli minimi, yo neliömuodon tulisi oll negtiivisesti määritelty, eli kosk λ > 0, niin tulisi oll f 22 < 0 j f f 22 f 2 2 > 0 Tämä toteutuu kun f < 0 j f 22 < 0 itseisrvot dominoivt f 2 :n rvo, jok s oll posit ti negt näin oletmme olevn Yleistys n:n pnoksen tilnteeseen on esitetty Chingiss f 2 4
5 4 Mittkvedut tuotnnoss Merkitään yrityksen pitkän ikvälin tuotntosuunnitelmn mukist kuukusittist kustnnusfunktiot seurvsti: C w i z i w, Määritellään yksikkökustnnukset j rjkustnnukset seurvsti C j C w i Väite: Rjkustnnukset yksikkökustnnukset yksikkökustnnusten minimipisteessä, eli C C C kun 0 Todistus: C y n 0 w i C 0 C y 2 0 w i C Kun yksikkökustnnukset ovt vähenevät, rjkustnnukset ovt yksikkökustnnuksi pienemmät C < C Tällöin tuotnnoss vllitsee mittkvetuj yksikkökustnnukset lenevt tuotntonopeuden myötä j päinvstoin 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys Pitkän ikvälin kustnnusten minimointiongelmn ensimmäisen kertluvun ehtoj hyväksikäyttäen sdn C w i λ, z i w i z i w, λ C 5 z i w,
6 Jetn nämä puolittin keskenään C C n n z i z 2 i Olkoon tuotntofunktio k:nnen steen homogeeninen, jolloin voidn esittää muodoss fsz s k f Z, j sille pätee d ds z i ks k n z i ks k 3 Käyttämällä kust minimointiongelmn ens kertluvun ehtoj sdn: dy 0 4 d Sijoittmll tulokset 3 j 4 2:een, voimme kirjoitt C C ks k Kun k, tuotnnoss vllitsee vkioiset skltuotot j ks k, eli rjkustnnukset ovt yksikkökustnnusten suuruiset Kysymys: Milloin ks k >, eli rjkustnnukset ovt yksikkökustnnuksi pienemmät j tuotnnoss vllitsee mittkvetuj? Trkstelln tilnnett s > eli logs > 0 jolloin pnoskäyttöä lisätään Kosk logritmifunktio on rgumenttins suhteen ksvv kuvus, niin x > y kun logx > logy Olkoon nyt s > j k > eli logk > 0 j k < 0 Tuotnnoss on mittkvetuj, ksvvt skltuotot eli lenevt yksikkökustnnukset, kun: ks k > logks k > log 0 logk + k logs > 0 logk > klogs Tällöin siis pätee: ks k > C < C Jos ts k < niin k > 0 j logk < 0 Tällöin logk < klogs eli ks k <, eli tuotnnoss vllitsee lenevt skltuotot j ksvvt yksikkökustnnukset: ks k < C > C 6
7 6 Yksikkökustnnusten minimin ehdot C n y0 w i C y 2 0 n w i + y n 0 w i 2 z i y 2 0 C y y n 0 w i C 4 2 z i w i y + 2 C C 2 0 y 2 0 Yksikkökustnnusten minimissä C / C /, eli jälkimmäinen yhteenlskettv 0 joten yo osittisderivtt on positiivinen, jos 2 z i y 2 0 > 0, i,, n Tämä toteutuu, jos pnoksill on lenev rjtuottvuus, eli mitä suurempi tuotntonopeus on, sitä enemmän pnoksi trvitsee lisätä smn tuotnnon lisäyksen iknsmiseksi 7 Komprtiivist sttiikk pitkän ikvälin kustnnusfunktioll Yrityksen kuukusikustnnusten minimointiongelm on seurv min C w i z i + λ[ fz,, z n ], Z,λ j sen ensimmäisen kertluvun ehdot ovt: C 0 w i λ, i,, n, C λ 0 fz, z n Yhtälöryhmä on tietyin ehdoin rtkistviss muotoon: z i z i w,, w n, z i w,, i,, n, λ λ w,, w n, λ w, Yrityksen pitkän ikvälin tuotntosuunnitelmn mukisess kuukusittisess kustnnusfunktioss kikki pnoskäytöt vlitn optimlisesti, joten se voidn esittää muodoss C w i zi w,, 5 7
8 missä z i z i w,, i,, n ovt yrityksen kuukusikustnnukset minimoivt pnoskysyntäfunktiot j w w,, w n on pnosten yksikköhintvektori Derivoimll yo kustnnusfunktio pnoshinnn w j suhteen, sdn: C w j z j w, + w i z i w j 6 Olettmll z i z i, i,, n j derivoimll ensimmäisen kertluvun viimeisin ehto puolittin w j :n suhteen, sdn: w j 0 z i w j 7 Sijoittmll ensimmäisen kertluvun n ensimmäistä ehto muodoss w i lusekkeeseen 6 j käyttämällä hyväksi tulost 7, sdn λ C w j z j w, + λ z i w j z j w, Tätä tulost kutsutn Shephrdin lemmksi, jok oltisiin stu myös suorn Envelope -teoreemn nojll Derivoimll luseke 5 :n suhteen, sdn: C w i z i Sijoitetn tähän ehdot w i λ, i,, n j käytetään viimeisimmästä ensimmäisen kertluvun ehdost puolittin :n suhteen derivoimll stu tulost, zi, seurvn tuloksen johtmiseksi: C w i z i λ z i λ suurui- Optimiss Lgrngen kertoimen rvo λ on siis rjkustnnusten C nen 8
9 8 Yrityksen voiton mksimointiongelm Kirjoitetn yhtä hyödykettä tuottvn yrityksen kuukusittinen voitto seurvsti Π py w z w 2 z 2, missä p eur/kpl on yrityksen lopputuotteen yksikköhint, y kpl/kk yrityksen tuotntonopeus, w eur/h, w 2 eur/h 2 ovt khden tuotntopnoksen yksikköhinnt j z h /kk, z 2 h 2 /kk vstvt pnoskäytöt Muodostetn voiton mksimointiongelmst Lgrngen funktio G py w z w 2 z 2 + µ[y fz, z 2 ], missä sidosehto määrittelee yrityksen tuotntofunktion Oletetn, että yrityksen toimilll vllitsee täydellinen kilpilu, eli yrityksen lopputuotteen hint määräytyy mrkinoill eikä yritys voi siihen vikutt Voiton mksimoinnin ensimmäisen kertluvun ehdot ovt: G 0 w i µ 0, i, 2, 8 G y 0 p + µ 0, 9 G µ 0 y fz, z Toisen kertluvun ehdot mksimille voidn joht seurv reunustettu Hessin mtriisi vstv determinntti trkstelemll 0 f f 2 H f µf µf 2 0 f 2 µf 2 µf Tästä voidn lske kolme nollst erov pääminori: H 2 f 2 < 0, H 3 µ[f 2 f 22 2f f 2 f 2 + f 2 2 f ] H 4 H µ[f f 22 f 2 2 ] Nyt H 3 :ss olev hksulkuluseke voidn esittää neliömuoton f f f 22 f 2 f 2 f 2 f f 2 jok on negtiivisesti määritelty kun f 22 < 0 j f f 22 f 2 2 > 0, joiden oletmme olevn voimss Näillä ehdoill H 3 > 0 j H 4 < 0, sillä optimitilnteess µ p < 0 Nämä ovt riittävät ehdot mksimille Ching s 322 j 385 9
10 Ensimmäisen kertluvun ehtojen muodostmss yhtälöryhmässä on 4 yhtälöä j 4 tuntemtont, z, z 2, y, µ sekä 3 eksogeenist prmetri w, w 2, p Rtkistn 9:st p µ j sijoitetn yhtälöihin 8 Tällöin smme yhtälöryhmän w i p, i, 2, y fz, z 2, joss on 3 yhtälöä j kolme tuntemtont z, z 2, y Tietyin ehdoin yhtälöryhmä on rtkistviss muotoon z i z i w, w 2, p, i, 2, y fz, z 2 joiden perusteell yrityksen mksimlinen kuukusittinen voitto voidn ilmist muodoss Π py w z w 2 z 2 pfz, z 2 w z w 2 z 2 Johdetn seurvt komprtiivisen sttiikn tulokset Π z p + z 2 z z z 2 w w 2 w z w z 2 w w w z + p z w + p z2 w 2 z, z w z 2 w Π fz, z z 2 + p p z p + z 2 z w z 2 p p w z 2 2 p fz, z 2 + p z w z p + p z2 w 2 z 2 p y Nämä tulokset oltisiin stu suorn Envelope -teoreemn vull Yllä e- sitetty voiton mksimointiongelm vst iemmin johdettu kustnnusten minimointiongelm, kun p µ λ C /, eli kustnnusten minimin ehtojen lisäksi vditn, että lopputuotteen hint on rjkustnnusten suuruinen voiton mksimoinnin ehto täydellisen kilpilun tilnteen yritykselle 9 Monopolistisen kilpilutilnteen yritys Monopolistisen kilpilutilnteen yrityksen kuten myös monopoliyrityksen oletetn tuntevn menekkifunktions, eli korkeimmn mhdollisen yksikköhinnn, joll tietty määrä yrityksen lopputuotteit kuukudess menee kupksi Merkitään tätä menekkifunktiot kuluttjien keskimääräinen mksuhlukkuusfunktio seurvsti p gy, dp/dy g y < 0 jonk käänteiskuvus on y g p Kirjoitetn yrityksen kuukusittinen voittofunktio 0
11 seurvsti Π py Cy gyy Cy, C y > 0 missä kustnnukset C riippuvt tuotntonopeudest Yrityksen voiton mksimointiongelmn ensimmäisen kertluvun ehto on j riittävä ehto on Π y 0 g yy + gy C y 0 2 Π y 2 g yy + 2g y C y < 0 Tämä ehto toteutuu, jos C y 0 j g y 0, joiden ehtojen oletetn toteutuvn Yrityksen rjtulot ovt nyt p + g yy j rjkustnnukset ovt C y Muoktn rjtuloj seurvsti p + dp dy y p + dp y p + dy p dy p dp y p + Ed, missä E d on kysynnän hintjousto Optimiehto voidn siten kirjoitt muodoss p + Ed C y + C y C y 2 E d p E d p Nyt E d p C y, eli äärimmäisen joustvn kysynnän tpuksess svutetn täydellisen kilpilutilnteen hinnoittelusääntö Kosk E d < 0 2 osoitt, että p > C y Toislt mitä joustmttommp kysyntä on, sitä korkempi on voiton mksimoiv hinttso 0 Yrityksen duliteori Edellä olemme johtneet yritykselle kuukusittiset tuotntokustnnukset minimoivn kustnnusfunktion tietyn tuotntofunktion vull Tiettyä tuotntofunktiot vst siis tietty kustnnusfunktio, mikä riippuvuus voidn esittää myös päinvstisesti Tätä riippuvuutt kutsutn yrityksen duliteoriksi Trkstelln sitä yhden esimerkin vull Olkoon yrityksen kustnnusfunktio muoto y C +b A w +b w 2 b b +b,
12 missä 0 <, b < ovt mllin prmetrej pljit lukuj A on teknologivkio, y tuotntonopeus j w, w 2 pnosten yksikköhinnt Tällöin Shephrdin lemmn nojll C w C w 2 y +b w2 A bw y +b bw A w 2 b +b z, 3 +b z2 4 Korotetn 3 puolittin potenssiin /b mol puolet positiivisi j rtkistn seurvsti: w 2 y b b z +b b 5 w A Vstvsti 4:st sdn w 2 w y A b z 2 +b 6 Eliminoidn pnoshinnt w j w 2 settmll 5 j 6 yhtäsuuriksi y b b z A +b y b b z A 2 +b Rtkistn tästä y A + b z +b b z2 +b Korotetn tämä puolittin potenssiin b/ j rtkistn sen jälkeen y y Az z 2 b, joten tuotntofunktio on Cobb-Dougls -muoto Tuotntofunktiot estimoitess täytyy tunte pnoskäytöt z, z 2 Kuitenkin pnoshinnt ovt yleensä tunnettuj suureit, mutt ei in pnoskäytöt Yrityksen duliteori voidn siten käyttää tuotntofunktion prmetrien, b estimoinniss epäsuorsti kustnnusfunktion vull Tuotntofunktion prmetrien estimointi kustnnusfunktion kutt Olkoon kustnnusfunktio muoto y C +b A w 2 +b w 2 b b +b
13 Tehdään logritmimuunnos lnc ln + b + [lnw 2 lnb] [ ln lna ln b + lny + lnw + α + β lny + γ lnw + δ lnw 2 [lny lna] + [lnw ln] lnw 2 b ] lnb Jos muuttujist C, y, w, w 2 on iksrjt tietyltä jnjksolt, yo yhtälön prmetreille α, β, γ, δ sdn estimoitu numeeriset rvot Näiden vull :n j b:n rvot sdn rtkistu seurvsti: β β b; sijoitetn tämä seurvn γ /β b /β b + b bβ b γ β j β γ β γ β Tällöin /β j A:n numeerinen rvo rtkistn seurvsti: α ln/β β lna γ lnγ/β γ ln γ/β A exp [ /β ln/β γ/β lnγ/β γ/β ln γ/β α/β ] 3
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Lisätiedot9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP
Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotPintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotL 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )
76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8
Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Lisätiedotmissä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min
S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotVEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1
VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotTYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
LisätiedotAUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA
AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotTYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET
TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Voimntulo Perusteet tulevt voimn 11008 Sisällysluettelo 1 LASKUPERUSTEMALLI1
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa I
Mikrotalousteoria 2, 2008, osa I Kirjallisuus (soveltuvin osin): 1) Gravelle & Rees: Microeconomics 2) Estola: Kansantaloustieteen perusteet 3) Chiang: Fundamental methods of Mathematical Economics 4)
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
Lisätiedot2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
LisätiedotAutomaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotAalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 5, mallivastaukset Syksy 2016
Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 5, mllivstukset Syksy 2016 Tehtävä 2 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä Vlmistudu esittelemään
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotGillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.
Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
Lisätiedot6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotDigitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30
Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotVuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.
Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
Lisätiedot