( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty a) = keskipistemuoto.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto."

Transkriptio

1 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y ( 5) = 6 ( y ) y y = 6 keskipistemuoto = 6 + y + y = normaalimuoto ( 6 + y ) = 6 + ( y+ ) = keskipistemuoto = y y = = y y y 8 y 7 normaalimuoto = + y 8+ y+ 7 = c)

2 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty a) Keskipiste on (, ) ja säde on pisteiden (, ) ja (, ) välinen etäisyys eli. + y = + y = keskipistemuoto + y = normaalimuoto b) Keskipiste on (, ) ja säde kuten a)-kohdassa eli. + = ( ) + y = keskipistemuoto + + y = Vastaus a) y + = normaalimuoto + y = + y = b) + y = + y = 7 a) + 8 = = keskipiste,8, säde b) + + y 7 = ( ) + y 7 = keskipiste,7, säde = Vastaus a) keskipiste (,8 ) ja säde b) keskipiste,7 ja säde =

3 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty a) y y y y y y = = = = + + = y y + = + + = + + = = 5 ( ) + + = 5 keskipiste,, säde 5 b) y y y y y y = = = = = y y + 9= = 6 + = = = 9 keskipiste 6,, säde 9 Vastaus a) keskipiste (,) ja säde 5 b) keskipiste ( 6, ) ja säde 9

4 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty a) y y y y y y y y + + = = = = = = + + ( y ) + = + + ( y ) = ( y ) = ( y ) = ( y ) = 5 keskipiste,, säde b) y y y y + + 6= : y y 6 + y y+ = + + = + + = + + y y + + = = = + y + = + y = + ) 9 + y = + + y = keskipiste,, säde Vastaus a) keskipiste, ja säde 5 b) keskipiste, ja säde

5 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 75 Päivitetty a) + y + 6y+ = y y + + = b) y y = = = Keskipiste (,) ja säde, joten kyseessä on piste (,). y y = = y + 7= y = 5 ( ) + y = < Epätosi, joten ei ole ympyrä. c) + y + y+ = 5 8 : y y = y + y + + 6= d) y+ + 6= y + = y = Ei ole ympyrä, koska termien merkkiset y+ = y + = 5 + y+ = 5 Keskipiste, ja säde ja y kertoimet ovat eri Vastaus a) ei b) ei c) kyllä d) ei ) 6

6 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 76 Päivitetty a) Säde on pisteiden (,) ja (,) välinen etäisyys. r = ( ( ) ) + ( ) = + = 8 = Ympyrän yhtälö on ( ) + y = 8 y y = 8 + y + 6y+ = b)säde on pisteen (,) r = Ympyrän yhtälö on ( + ) + ( y ) = etäisyys -akselista y 6y+ 9= 9 + y + 6y+ = c)säde on pisteen (,) etäisyys y-akselista. r = Ympyrän yhtälö on ( + ) + ( y ) = y 6y+ 9= + y + 6y+ 9= Vastaus a) b) c) + + y = y y = + + y = + y + 6y+ = + + y = + y + 6y+ 9=

7 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 77 Päivitetty Ympyrän halkaisija on 5 ( ) + = 6+ 6 =, joten säde on r = Keskipiste on, = (,). Ympyrän yhtälö on + y = = 5 y y y y + = Vastaus (eli + = 5 y y + = ) 79 Olkoon A (,7 ) ja B (, ) = =. Lasketaan janan AB keskipiste. y = = 6 7 = = Siis ympyrän keskipiste on P (, y ) ( 6,) = =. Ympyrän säde on r = ( 6+ ) + ( + ) =. Ympyrän yhtälö on + y y = r y = = y y + + = y y Vastaus ( + 6) + ( y ) = ( ) ( eli y y + + = )

8 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 78 Päivitetty y 6 y+ = y y+ = + + y y + + = = Ympyrän keskipiste on (, ) ja säde. Lasketaan origon etäisyys ympyrän keskipisteestä. d d = + = d = ± Koska d >, niin origo on ympyrän ulkopuolella. Tällöin ympyrän etäisyys origosta on = d =,6 Vastaus y = + + y = y = + + ( y ) = + Ympyrän keskipiste on + + ( y ) =, ja säde. Lasketaan pisteen (, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä d = + ( ) = + 9 ) = = = > r,.

9 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 79 Päivitetty 9..6 Pisteen (, ) etäisyys d ympyrän keskipisteestä on suurempi kuin ympyrän säde, joten piste on ympyrän ulkopuolella. Siten pisteen etäisyys ympyrän kehästä on 5 d r = = = Vastaus Keskipiste on,, säde on, etäisyys 7 y y y y y y y y = : = = = 5 ) y = y = = = Keskipiste on, ja säde on r =. a) Pisteen P, etäisyys keskipisteestä on d 5 5 = + = + = = > =, joten pisteen P etäisyys ympyrän kehästä on d r =.

10 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 9..6 b) P = (, ), keskipiste on, Pisteen P etäisyys keskipisteestä on d ( 7 7 ) = + = 9+ = = < 7 Pisteen P etäisyys ympyrän kehästä on r d =. 7 y y = + + y + y + + 9= Keskipiste on (, ) = + + = + 9 ja säde on r =. Lasketaan pisteen P etäisyys keskipisteestä. + + = 6 Vastaus a) b) 7 a) P = (,) ( ) + ( ) = 9+ 6 = 5> = r Piste (, ) on ympyrän ulkopuolella. b) P = ( 6, 5) Piste ( 6, 5) on ympyrän sisäpuolella. ( 6 ) + 5 ( ) = + = 8 < 6 = = r c) P = (, ) ( ) + 5 ( ) = 6+ = = r Piste (, ) on ympyrän kehällä. Vastaus Piste on ympyrän a) ulkopuolella b) sisäpuolella c) kehällä.

11 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Ympyrän yhtälön yleinen muoto on + y + a+ by+ c= Kunkin pisteen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. Saadaan yhtälöryhmä Piste (, ) + ( ) + a b+ c= Piste (, ) ( ) + ( ) a b+ c= Piste ( 6,) a+ b+ c= () a b+ c= 5 ( ) a b + c = ( ) ( ) 6a+ b+ c= 7 Sijoitetaan a = yhtälöön (). ( ) b= + 7a = + 7 ( ) = Sijoitetaan a = ja b= yhtälöön (). ( ) c = a+ b 5= ( ) + ( ) 5= Ympyrän yhtälö on + y y = + + y y + = + = + = 5 a+ b c= 5 a+ b c= + a b+ c= + 6a + b+ c= 7 ( ) 7a + b = ( 5) 9a + b = Vastaus + = 5 ( + y y = ) ( ) 7a+ b= ( ) a b= 6 ( 5) 9a+ b= + 9a+ b= a = 6 ( 6) a =

12 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Ympyrän yhtälön yleinen muoto on + y + a+ by+ c= Kunkin pisteen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. Saadaan yhtälöryhmä Piste (,) + + a+ b+ c= Piste (, ) + ( ) + a b+ c= Piste ( 5, 5) ( 5) + ( 5) 5a 5b + c = () a+ b+ c= ( ) a b+ c= ( ) ( ) 5a 5b + c = 5 a b c= a+ b c= + a b+ c= + 5a 5b+ c= 5 ( ) a 7b = ( 5) 7a b = 7a 9b= 7 + 7a b= 5b = ( 6) b = Sijoitetaan yhtälöön ( ). ( ) a = + 7b= + 7 = Sijoitetaan b= ja a = yhtälöön (). ( ) c = b a = = Ympyrän yhtälö on + y + + y = + + y y + = + = + = 5 ( ) a 7b= 7 ( 5) 7a b = Vastaus + y = 5 ( + y + + y = )

13 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Ympyrän yhtälön yleinen muoto on + y + a+ by+ c= Kunkin pisteen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. Saadaan yhtälöryhmä Piste ( 8,98) a+ 98b+ c= Piste ( 7,) a+ b+ c= Piste ( 6,8) a+ 8b+ c= () 8a+ 98b+ c= 88 ( ) 7a+ b+ c= 7 ( ) ( ) 6a+ 8b+ c= 9 8a 98b c= 88 7a b c= 7 + 7a+ b+ c= 7 + 6a+ 8b+ c= 9 ( ) a+ b = 756 ( 5) 56a 8b = 588 ( ) a+ b= 756 b= 756 a a= b = 756 ( ) b = 76 : b = 8 () 8a+ 98b+ c= 88 a=, b= 8 c = 88 8 ( ) 98 ( 8) c = 76 Ympyrän yhtälö on + y 8y+ 76 = y y = = 7 + = 7 ( ) a+ b= 756 ( 5) 56a 8b= 588 Ympyrän säde on 7. Tämä vastaa luonnossa matkaa 7 5 m = 75 m 8a+ 8b= + 56a 8b= 588 a = 96 ( 6) a = Vastaus 75 metriä

14 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty y + a y a+ 6= + a+ a a + y y + a+ 6= + a + y a a+ 6= + a + y = a + + a 6 + a + y = a + a ) Kun a + a >, niin kuvaaja on ympyrä. Nollakohdat: a + a = ± ( ) a = ± 7 = 8 6 a= = tai a= = Kun a< tai a>, kuvaaja on ympyrä, jonka keskipiste on ( a,) ja säde a + a. ) Kun < a <, yhtälöllä ei ole kuvaajaa. a =, kuvaaja on piste a =, kuvaaja on piste (,). ) Kun kun, ja 78 y a y a + + = a a a + + y + y + = a a a + y = a Yhtälö esittää ympyrää, jos a + a + > > a + a+ > Nollakohdat: a + a+ = ± a = a a + y = a+ + a a + y = + a+ ± ± a = = = ± Vastaus a< tai a> +

15 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 85 Päivitetty a y y + a+ ( a) ( a) + y + y + = = + a + y+ a = ( a) ( y ) ( a) ( a) ( y ) a = = + Koska a + >, kuvaaja on ympyrä kaikilla parametrin a arvoilla. Lasketaan pisteen (, ) etäisyys ympyrän a,. keskipisteestä ( ( a) ) + ( ( ) ) = ( + a) + = a a 9 = a + a+ Piste (, ) on ympyrän ulkopuolella, jos sen etäisyys ympyrän keskipisteestä on sädettä suurempi. a + a+ > a + a + a+ > a + a > 6 a > Vastaus Kuvaaja on ympyrä kaikilla a:n arvoilla. Piste (, ) ympyrän ulkopuolella, kun a >. 7 Ympyrä + y = 9 keskipiste (, ) säde r = 9 Ympyrä a+ y + 6ay+ = a+ a a + y + y a+ ( a) ( a) + = ( a+ a ) + y + y a+ ( a) = + a + a keskipiste ( a, a) a + y+ a = a säde r = a, missä a > nollakohdat: a = a = a =± =± Siis a< tai a> Sama pinta-ala, kun

16 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 86 Päivitetty 9..6 πr = πr r = r 9 = a = a = a = a =± a, <, joten < ja > Siis arvot a =± kelpaavat. Vastaus a =± 7 + y 5 = ( ) + y + 6y = y + = + + y + y = 5 6 6y + 5 = 6y = y = Sijoitetaan yhtälöön (). + ( ) 5= = 9 =± Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ) Vastaus (, ) ja (, )

17 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 87 Päivitetty Yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari + y + 6+ y+ = + y 6y 6 = ( ) + y + 6+ y+ = + y + + 6y + 6 = + y+ = : + y+ = y= Sijoitetaan y= yhtälöön () + ( ) + 6+ ( ) + = = + 6= ( + ) = = tai + = = tai = Sijoittamalla muuttujan arvot yhtälöön y= saadaan y= = tai y= ( ) = Pisteet ovat (, ) ja (,) 7 Ratkaistaan yhtälöryhmä + 8+ y + 6y+ 9= + y y = ( ) + 8+ y + 6y+ 9= + + y + y + = + y+ = y= + 8+ ( ) + 6( ) + 9= = + 8= ( + ) = = tai = Jos =, niin y= =. Jos =, niin y= = ( ) = Vastaus Leikkauspisteet ovat (, ) ja (,). Sijoitetaan yhtälöön (). Vastaus (, ) ja (,)

18 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 88 Päivitetty Keskipiste (, ), säde on + y = Keskipiste ( 5, ), säde on 5 + y = Yhtälöstä () saadaan = ± < y y y = y = = 5,98... ( km) Ympyröiden leikkauspisteet: Vastaus ( km, 5 km) + y = ( 5) + y = 6 () y = Sijoitetaan yhtälöön ( ). ( 5) + y = 6 ( 5) + = = 6 = = ( km)

19 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 89 Päivitetty Hahmotellaan rajattu alue ) + y 6 < keskipiste, + y < säde r = Ympyrän sisäpuolinen alue. ) + y + y y y keskipiste, ja säde r = 5 5,9 Ympyrän kehä ja ulkopuolinen alue. Vastaus Väritetty alue, jonka katkoviivalla piirretty reuna ei kuulu ratkaisualueeseen. 76 Alkuperäinen ympyrä O: + y = r r = + y = 9 Leikkauspisteet akseleilla: + y = 9 y = + = y y = 9 =±, joten O =, ja O =, 9 = = 9 y= ±, joten O =, ja O =, Ympyröiden yhtälöt: O : ( ) + y = 9 : + = 9 O y O : ( + ) + y = 9 : + + = 9 O y

20 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 Vastaus Yhteinen alue voidaan ilmoittaa epäyhtälöryhmien avulla seuraavasti: + y + y tai tai + ( y ) ( + ) + y ( + ) + y ( ) + y tai + ( y+ ) + ( y+ ) eli + y 6 + y 6y tai tai + y 6y + y y y 6 tai + y + 6y + y + 6y 77 a) Ratkaistaan yhtälö muuttujan y suhteen. y + + = 8 y = + 8 y =± + 8 b) Ratkaistaan yhtälö muuttujan y suhteen. + y + 6 y 8= = y y ± y = ± 6 + y = ± 8 y = ± 6 y = y= ± 6

21 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 c) Ratkaistaan ympyrän yhtälö muuttujan y suhteen. + y y+ = + + = y y ± + y = y = 6 6 ± + ± y = y = 96 ± y= ± Saadaan yhtälö = 5 = 5 = ± 5 y ympyrän suoralla y= oleva keskipiste. Siis y =. Ympyrän säde Olkoon (, ) r = + y = + y sijoitetaan y = = + = = = =. Ympyrän yhtälö Siis (, y ) ( 5, 5 ) tai (, y ) ( 5,5) () Sijoitetaan + y y = r = 5 ja y= 5 = 5 ja y= 5 () y+ 5 = 5 y y = 5 y y =

22 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 Vastaus 5 + y 5 = 5 y y = 5 y y + = ( + 5) + ( y+ 5) = ( 5 ) ja ( 5) + ( y 5) = ( 5) ( + y + + y= ja + y y= ) 79 Voidaan olettaa, että k >, koska se on janan pituus. Olkoon janan päätepisteet A = ( a, ) ja B= (, b). Janan keskipiste on a+ + b, =, a b, =, ( y) ( y) Siis a= ja b= y. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pythagoraan lauseen mukaan + y = k + y = k : k + y = k + = Origokeskinen ympyrä, jonka säde on k. Vastaus Keskipiste liikkuu ympyrän kehää k y k + =, >, pitkin.

23 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty Keskipiste (,), säde 5. Vastaus Etäisyyksistä saadaan yhtälö AP= BP ( 6) + ( y ) = + ( y ) y = ( + y 6y+ 9) 6 + y = + y y y y = y + y= : y y = y y + = + + = ( + ) + ( y ) = = + + y = 5 keskipistemuoto ( + ) + ( y ) = ( 5) ( + y + 8y= )

24 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty AP BP AP = + + y ( ) BP = + y Rajakäyrän + ( y ) = kuvaaja on ympyrä, jonka keskipiste on, ja säde r =. + + y + y y y y y y y y y : y y = eli + y y+ 8 = ja sen ulkopuolella olevat pisteet. Vastaus Ympyrä ( y ) + + y y ( y ) ( y )

25 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 95 Päivitetty Täydennetään ympyrän yhtälö keskipistemuotoon = y a ay y a + a+ y + ( a+ ) y= 6a + a+ a a + y + y ( a+ ) + ( a+ ) ( a+ ) = 6a + a + y+ a+ = 5a a Saadussa yhtälössä säteen neliö on on ympyrä, jos 5a a>. Nollakohdat: 5a a= a( 5a ) = = 5, joten kyseessä r a a a= tai a= 5 Siis a< tai a>. 5 Ympyräparven ympyröiden keskipisteet toteuttavat yhtälöparin a< tai a> = a eli a= 5 < tai > 5 > tai < 5 Vastaus Ympyrä, kun a< tai a>. 5 Keskipisteiden joukko muodostuu niistä suoran y= pisteistä, missä > tai <. 5 () Sijoitetaan yhtälöön ( ). = a y = a y = Koska parametri a toteuttaa epäyhtälöt a< tai a>, saadaan 5

26 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 96 Päivitetty Selvitetään yhteiset pisteet laskemalla ympyräparven kahden mielivaltaisen ympyrän leikkauspisteet. Kun a =, saadaan ympyrä Kun a =, saadaan ympyrä + = y + + = y y Ympyröiden leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari + y = + y + y = ( ) + y = y + y + = y + = y = + = y = Sijoitetaan yhtälöön (). = ( ) = = tai = Ympyräparveen kuuluvat kaksi ympyrää leikkaavat pisteissä (, ) ja (, ). On vielä osoitettava, että ympyräparven kaikki ympyrät kulkevat pisteiden (, ) ja (, ) kautta. Sijoitetaan pisteiden koordinaatit ympyräparven yhtälöön. Piste, : Vasen puoli on + + a a = Oikea puoli on Piste (, ) on siis jokaisella parven ympyrällä. Piste (, ): Vasen puoli on + + a a = a a = Oikea puoli on Piste (, ) on siis jokaisella parven ympyrällä. Piirtämistä varten muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y + ay a = + + y + y a+ a a a = Ympyrän keskipiste on (, a) + y+ a = a + a+ 5 eli keskipiste sijaitsee aina suoralla =. Parvi muodostuu ympyröistä, joiden keskipiste on suoralla =, ja, kautta. ja jotka kulkevat pisteiden

27 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 97 Päivitetty 9..6 Vastaus (, ) ja (, ) 7 + y + + y : + y y : : + y + + y + y y Muunnetaan yhtälöt keskipistemuotoon. + + y y + y y +

28 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 98 Päivitetty y y + + y + + y kp A=,, r = + + y kp B=,, r = + y kp C =,, r = Tutkitaan kolmiota ABC. AB = = AC = + = = BC = + = = Kolmio on tasasivuinen, joten aluetta rajaavat ympyränkaaret ovat 6 6 π kaaria. Vastaavan sektorin ala on π =. 6 6 Kolmion ABC ala on =. Reuleau n kolmion ala saadaan laskemalla kolme sektoria yhteen ja vähentämällä summasta kolmion ABC ala kahdesti. A= A A sektori kolmio π π = = 6 = ( π ) Vastaus π

29 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 99 Päivitetty () + y = 5 y = Sijoitetaan yhtälöön (). + ( 7+ 5) = = = : 5 7+ = 7± ( 7) = 7± = = tai = Kun =, niin yhtälöstä () saadaan y = 7 + 5= Vastaavasti, kun =, niin y = 7 + 5= Vastaus Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ). 76 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y + 6 y = y y + = + + = Siis keskipiste on (,) ja säde on. + + = = Lasketaan keskipisteen etäisyys suorista. a) Suoran yhtälö + y = a + by + c d = a + b + d = a=, b=, c= + = 5 = =,99... > 5 Koska d (, y ) = (,) > r, suora on ympyrän ulkopuolella.

30 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 b) Muunnetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon. y= y = a + by + c d = a + b ( ) d = a=, b=, c= + ( ), y =, Koska d = = =,79... < < r, suora on ympyrän sekantti. c) Muunnetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon. y = y + = a + by + c d = a + b ( ) + + d = a=, b=, c= +, y =, = = = r Koska d = r, suora on ympyrän tangentti. Vastaus a) ulkopuolella b) sekantti c) tangentti 77 Ympyrän + y = 5 keskipiste on origo (, ) ja säde 5. Tangentti kulkee pisteen (, ) muotoa kautta, joten sen yhtälö on ( ) ( ) y = k y y = k y+ = k k k y k = Tangentti on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä, joten saadaan yhtälö k k k + ( ) k = 5 k + 9k + k + 6= 5k + 5 ± ( 6) ( 9) k = ( 6) ± k = = = a + by + c d = = 5 a + b a = k, b=, c= k (, y ) = (,) k = 5 k + k + 6k + k 9 = a = a

31 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 Tangentin yhtälö on k y k = y = y 9 6= y 5= Vastaus y 5 = 5 y= 78 Määritetään ympyrän keskipiste ja säde. + y y = + + y y + = + = = 5 Ympyrän keskipiste on (, ) ja säde on 5. Säteen päätepisteiden (, ) ja (,6 ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y 6 k = = = Ympyrän tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten kt = kt = Tangentti kulkee pisteen (,6 ) kautta ja sen kulmakerroin on joten tangentin yhtälö on y 6= y y = k y 6= + + y 9= + y 6= Vastaus + y 6 = y= + 9,

32 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y + y 5= + + y + y + 5= Keskipiste on (, ) ja säde on r =. + + = y+ = a + by + c d = a + b k ( ) + d = = a = k, b=, c= k + ( ), y =, k + = k + k + k + = k k k = : k k = 8 8± ( 8) ( ) 8± k = = 6 k = tai k = Tangentin yhtälö on y= + tai y= +,, joten tangentin yhtälö on y= k+ eli k y+ =. Tangentti leikkaa y-akselin pisteessä on säteen r = etäisyydellä tangentista, joten saadaan yhtälö Keskipiste (, ) Vastaus Tangentin yhtälö on y+ = tai + y 9 = y= + tai y= +.

33 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y 6y 6= + + y y + 6= + 6= Keskipiste on (, ) ja säde on r =. + = a) Lasketaan pisteen (, 7 ) etäisyys keskipisteestä (, ). d = ( ) + ( 7) = + = = r Piste (,7 ) on säteen etäisyydellä keskipisteestä ja sen -koordinaatti on sama kuin keskipisteellä, joten tangentti on vaakasuora suora y = 7. b) Lasketaan pisteen (,) etäisyys keskipisteestä (, ). d = ( ) + ( ) = = = r Piste (,) on säteen etäisyydellä keskipisteestä ja sen y-koordinaatti on sama kuin keskipisteellä, joten tangentti on pystysuora suora =. c) Lasketaan pisteen (, ) etäisyys keskipisteestä (, ). d = ( ) + ( ) = + = 5< r, on ympyrän sisäpuolella, joten tangenttia ei ole. Piste Vastaus a) y = 7 b) = c) ei ole 7 Määritetään ympyrän keskipiste. y y = y + y + 6= + + y+ = y+ = Keskipiste on, ja säde on 7,. Lasketaan säteen kulmakerroin. A=,, B= (, ) k AB = = = + Säde on kohtisuorassa tangenttia vastaan, joten kab kt = kt = = = k 5 AB 5

34 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 Tangentin yhtälö on y y = k y+ = ( + ) 5 6 y+ = y+ = 6 + 5y+ 6= Vastaus + 5y + 6 = y= Pisteen (, ) kautta kulkevan tangentin yhtälö on y ( ) = k( ) y y = k( ) y+ = k k k y k = Tangentti on säteen etäisyydellä keskipisteestä. Saadaan yhtälö a + by + c d = a b k ( ) ( ) + + = a = k, b =, c = k k + ( ), y =, 5k = k + k + 7 Ympyrän ( + ) + ( y+ ) = keskipiste on (, ) säde on. Lasketaan pisteen (, ) ja etäisyys ympyrän keskipisteestä. d = ( ( ) ) + ( ( ) ) = 5 + ( ) = 6 > 5 k = k +, a = a k + k + = k + 5 k + k = : k + k = Piste, on ympyrän ulkopuolella, joten sen kautta kulkee kaksi ympyrän tangenttia.

35 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty ± 5 6 ( 6) k = 6 5± k = k = tai k = Kun k =, tangentin yhtälö on y = y y = k y+ = y = + y 8= Kun k =, tangentin yhtälö on y = y y = k 8 y+ = y+ 6= 8 + y = Vastaus + y 8= tai + y = y= + tai y= 7 + y+ = Sijoitetaan pisteen ( 5, ) koordinaatit yhtälöön. Vasen puoli on = + ( ) = 9+ = Oikea puoli on = Koska >, piste on ympyrän ulkopuolella, ja sen kautta kulkee kaksi ympyrän tangenttia. Pisteen ( 5, ) kautta kulkevan suoran yhtälö on y = k 5 y y = k y+ = k 5k k y 5k = Tangentti on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä. Ympyrän keskipiste on (, ) ja säde on. Saadaan yhtälö a + by + c d = a + b k ( ) 5k = a = k, b=, c= 5k k + ( ), y =, k + 5k k + k = + 9k + k + = k + 9k + k + = k + = k + k

36 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty k + k = k( 5k + ) = k = tai 5k + = k = 5 Tangentit: k y 5k = k = : y = eli y= 7 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y 8y = + + y y + = + = y = k = : 5 y 5 = ( 5) y = + 5y 5 = Lasketaan pisteen (, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä (, ) ja verrataan sitä ympyrän säteeseen. Vastaus y+ = tai + 5y 5 = y= tai y= d = ( ) + ( ) = + 6 = 68 > Siis piste on ympyrän ulkopuolella ja saadaan kaksi tangenttia., kautta kulkevien tangenttien yhtälöt ovat Pisteen y ( ) = k( ) y+ = k k k y k =

37 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 Keskipiste, on säteen r = etäisyydellä tangenteista, joten saadaan yhtälö k k k + ( ) 8 (, y ) = (,) a + by + c d = a + b = a = k, b=, c= k k = k + k 8 = k + a = a k + k + = k + k k k = k = 6 ± ( 6) 5 ( 5) k = 5 6 ± 56 6 ± = = k = = = tai k = = = 5 ( ) Tangenttien yhtälöt ovat y y k( ) = : 5 k = : k = : 5 5 y+ = y+ = ( ) 5 5 y= y= y= y= 5 5 y= 5 5y= 8 5 y = + 5y+ 8= Vastaus Tangenttien yhtälöt ovat 5 y = ja + 5y+ 8= 5 y= ja y= 5 5

38 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty ( ) + ( y+ ) = 5 keskipiste on (, ) ja säde on 5. Lasketaan pisteen ( 7, ) ja keskipisteen (, ) etäisyys. d = ( 7 ) + ( ) välinen d = = > 5 = r Siis piste ( 7, ) on ympyrän ulkopuolella. Tangentin yhtälö on y+ = k( 7 ) eli k y 7k =. Keskipiste (, ) on säteen etäisyydellä tangentista. Saadaan yhtälö k ( ) 7k k + a + by + c d = a + b = 5 a = k, b=, c= 7k (, y ) = (, ) 7 + = 5 + k k k k = k = k k k k = k = = 5 Tangentin yhtälö on 8 y+ = ( 7) y y = k( ) y = = y = 7 eli 8 5y 6= 5 5 Koska ympyrän ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää kaksi tangenttia, on etsittävä vielä toinen tangentti. Koska keskipiste on (, ) ja säde on 5, niin pisteen ( 7, ) kautta kulkeva pystysuora suora = 7 on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä ja siksi ympyrän tangentti. Vastaus tangenttien yhtälöt ovat 8 5y 6= ja 7= 8 y= 7 ja = 7 5 5

39 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty , etäisyys suorasta y= +. Muunnetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon. y + = Ympyrän säde on pisteen a + by + c d = a + b + r = a =, b=, c= + ( ), y =, = 5 Ympyrän yhtälö on + ( y ) = keskipistemuoto y 6y+ 9= y 6y+ = y y+ = y y+ = normaalimuoto + = y y+ 56 = Vastaus 77 Tapa Lasketaan leikkauspisteet. () + y 8 y = y = Sijoitetaan yhtälöön (). + 8 = = = 5 + = ( ) = = = Sijoittamalla = yhtälöön y= saadaan y = = Saadaan yksi leikkauspiste (, ) tangentti., joten suora on ympyrän

40 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 Tapa Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y 8 y = + + y y + = + = y = Keskipiste on (, ) ja säde on r = = 5. Suora y= on tangentti, jos keskipisteen etäisyys suorasta on säde. Muunnetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon. y= y= + y+ = Keskipisteen (, ) etäisyys suorasta on Siis d a + by + c d = a + b + + d = a =, b=, c= + 5 = = = (, y ) = (,) = r, joten suora on ympyrän tangentti. 78 Ympyrän ja suoran yhteiset pisteet ( ) + y t+ y+ t+ = y = Sijoitetaan yhtälöön (). + ( ) t+ + t+ = = t t 5 + ( t ) + t+ = a) Kaksi ratkaisua, kun D > D = b ac ( t ) 5 ( t + ) > ( t + ) 5 ( t + ) > ( t+ ) ( t + ) > ( t + )( t + ) > ( t + )( t 8) > nollakohdat: t = ja t = 8. Siis D >, kun t < tai t > 8. b) Yksi ratkaisu, kun D =. t = tai t = 8 c) Ei ratkaisua, kun D < < t < 8 Vastaus a) t < tai t > 8 b) t = tai t = 8 c) < t < 8

41 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Ympyrän yhtälö + y = + y = Ympyrän ja suoran leikkauspisteet: ( ) + y = y = Sijoitetaan yhtälöön (). + ( ) = = = 6 ± ( 6) 5 ( 8) = 5 6 ± 86 = = 6,96... tai =,76... Sijoitetaan yhtälöön. y = 9,8... tai y =,...,7... ( km) d = + y y = 75 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon + y + y+ = y + y + + = = 7 + ( 7) + ( y+ ) = Keskipiste ( 7, ) ja säde. Origon kautta kulkeva suora y= k on säteen etäisyydellä ympyrästä eli ympyrän keskipisteen etäisyys suorasta k y = on r = = =. Vastaus,7 km

42 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 Saadaan yhtälö a + by + c d = a + b k 7+ = a = k, b=, c= k + k 7 + = + ( ) ( ) 7k + = k + k k k 9k + k 9= = + k (, y ) = ( 7, ) ± 9 ( 9) ± 6 ± k = = = k = = tai k = = = Siis y= eli + y= tai y= eli 9y= 9 Vastaus + y= tai 9y= y= tai y= 9 75 Ympyrän tangentti on säteen etäisyydellä keskipisteestä. Tangentti on suora + y 5 =. Merkitään ympyrän keskipistettä (, y ) ja säde on 5. Saadaan yhtälö + y 5 + a + by + c d = a + b = 5 a =, b=, c= 5 (, y ) = (, y) + y 5 = y 5 = 5 + y 5 =± 5 + y 5 = 5 tai + y 5 = 5 + y = tai + y+ = Siis ympyrän keskipiste (, y ) toteuttaa toisen edellä saaduista suoran yhtälöistä eli keskipiste on suoralla + y = tai + y+ =. Toisaalta keskipiste on myös säteellä, joka on tangentin + y 5= pisteeseen (, ) piirretty normaali. Muodostetaan tämän normaalin yhtälö. Muunnetaan ensin tangentin yhtälö ratkaistuun muotoon, josta saadaan tangentin kulmakerroin. + y 5= y= y= +

43 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 k t =, joten k n =. Pisteen (, ) kautta kulkeva normaali on y = ( ) y y = k( ) y = y+ 5= Keskipiste on siis toisella edellä saaduista suorista ja nyt saadulla normaalilla. Saadaan kaksi yhtälöparia. I ( ) + y = y+ 5= 9+ y = + 6 y+ = 5 = 5 = = Sijoitetaan yhtälöön (). + y = y = y = 8 y = 7 Siis keskipiste (,7 ) Saadaan ympyrän yhtälö y y y y + y 7 = = = II ( ) + y+ = y+ 5= 9+ y+ = + 6 y+ = = 5 = 5 = Sijoitetaan yhtälöön (). ( ) + y + = y = 6 y = Siis keskipiste (, ) Saadaan ympyrän yhtälö + + y+ = y + y+ = 5 + y + + y = Vastaus + 7 = 5 tai = 5 ( + y 8 y+ = tai + y + + y = )

44 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Tapa Keskipiste on säteen etäisyydellä tangenteista eli tangenttisuorien muodostamien kulmien puolittajilla. Selvitetään kulmien puolittajien yhtälöt. Kulmanpuolittajan mielivaltainen piste (, y ) on yhtä etäällä kulman kyljistä. Saadaan yhtälö + y+ y 5 = + + ( ) + y+ = y 5 + y+ =± ( y 5) + y+ = y 5 tai + y+ = + y+ 5 () + 5y+ 7= tai ( ) 5 y+ 7= Keskipisteet sijaitsevat suoran + y = ja kulmien puolittajien leikkauspisteissä. Keskipiste (): + 5y+ 7= ( ) + y = 5 5y 5= y = + + y = + 5+ y 5= y 5 = 9 = y= 5 = 9 Keskipiste () on y= =,. Keskipiste (): 5 y+ 7= ( ) + y = 5 y+ = 5+ y = + + y = + 5+ y 5= + = y 6 = = y= 6 = y=,. Keskipiste () on Vastaus Ympyrän keskipiste on (, ) tai (, ).

45 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty 9..6 Tapa + Keskipiste on suoralla + y = eli suoralla y =. Siis se on, +. Keskipiste on säteen etäisyydellä tangenteista + y+ = ja y 5=. Saadaan yhtälö a + by + c = d = + + ( ) a + b = = + 5 = =± 6 6 = tai 6 6 = 6 = 9 tai 6 = 6 = tai = + Sijoittamalla muuttujan arvot yhtälöön y = saadaan + 8 ( ) + y= = = tai y= = = Vastaus Ympyrän keskipiste on (, ) tai (, ). 75 Tangentti + y = y= k t =, joten sivuamispisteessä olevan säteen kulmakerroin k r =. Säteen yhtälö: y = ( ) () 5 y = Olkoon ympyrän keskipiste ( ab, ). Pisteet (, ) ja (, ) ovat säteen etäisyydellä keskipisteestä. Saadaan yhtälö

46 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty 9..6 ( a) + ( b) = ( a) + ( b) a+ a + + b+ b = 6 8a+ a + b+ b 5 a+ b= 7 8a b 6a= 6b a= b keskipiste on b, b Keskipiste toteuttaa säteen yhtälön (). Saadaan 5 b= ( b) b 5 b = b = b = Keskipiste on ( bb, ) (, ) (, ) ja (, ) välinen etäisyys = ja säde on pisteiden r = ( ) + ( ) = + = 5 Ympyrän yhtälö on ( ) + ( y+ ) = ( 5) y y = + y 6+ y+ 5= Vastaus ( ) + ( y+ ) = ( 5) ( + y 6+ y+ 5= ) 75 Määritetään ympyrän K keskipiste ja säde. + y + y = : + y 6+ 5y = y + y + = 5 5 ( ) + y+ = y+ = Siis keskipiste on, ja säde on r =. Pisteiden, ja, kautta kulkevan suoran yhtälö on 5 5 y y y+ = + k = ja y y = k( ) 5 y+ = ( + ) 5 y+ = + y =

47 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 Ympyrän K keskipiste on 5, =, säde on 6 = yhtälö on 5 + y+ = y + 5y+ = y 6+ 5y = y 6+ 5y = Ympyrän K ja suoran leikkauspisteet 8 () + y 6+ 5y = y = Sijoitetaan yhtälöön () = ) = 6= : = ± + 5 ± 56 = = ± ( ± ) = = = ± Leikkauspisteen y-koordinaatti saadaan yhtälöstä = y = = = + y = + = + y=. Vastaus Pisteissä, ja +, +

48 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Sijoitetaan kuvio koordinaatistoon seuraavasti: Eturattaan yhtälö: + y = 8 Takarattaan yhtälö: + y =,5 Määritetään rattaiden yhteisen tangentin yhtälö: Olkoon se y= k+ b eli k y+ b=. Pisteen, etäisyys suorasta k y + b = on 8, joten k + b k + ( ) b = 8 k + b = + 8 k = 8 d = b= k + b= k + 8 tai 8 a + by + c a + b Toisaalta pisteen, etäisyys suorasta k y + b = on,5 : k + b = k + ( ) k + b = k + k + b = k + k + b= k + tai k + b= k + b= k + k tai b= k + k Koska b:llä on kaksi ratkaisua, jotka ovat toistensa vastalukuja, ratkaistaan tapaus, jossa b > : 8 k + = k + k k < k + = k 8 ( k + ) = 9k 8( k + ) = 6k 59k = 8 8 k = 59 9 k ± 59 = < k

49 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 b= k + b> k < 8, 8 = = 8 = = y= k+ b 9 8 y = + eli y=, ,95... Etsitään tangentin y=, ,95... ja ympyröiden leikkauspisteet A ja B. ) Ympyrä + y = 8 + = 8 sijoitetaan =, ,95... y y ( ) +, ,95... = 6 +,..., ,7... = 6,..., ,7... =,55... ±,55...,...,7... =,,55... ± = =,, jolloin,... y=,57..., + 8,9... = 7,99... Siis A = (,;7,99... ) ) Ympyrä + y =,5 ( ) + y =,5 sijoitetaan y=, ,95... ( ) ( ) +, ,95... =, ,..., ,7... =,5,... 6, ,... = 6,55... ± 6,55...,... 95,... =,... 6,55... ± =,... =,55 y =,57...,55 + 8,9... =,6... Siis B = (,55;,6... ) AB =,55, +,6... 7,99... = 9,66... Kaari AC: A = (,;7,99... ) 7,99... tanα =, josta α = 8,7..., 6 8,7... AC = π 8= 7, Kaari BD: 8,7... BD = π,5 = 9, Vastaus Ketjujen pituus on AB+ AC+ BD 96,8 cm.

50 Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. y y + = ( ) + y y + = + = Ympyrän tangentteja ovat esimerkiksi suorat y= ja =, joiden leikkauspisteestä (, ) ympyrä näkyy suorassa kulmassa. Tämän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on + = Annetaan ympyrän kiertyä tangentteineen keskipisteensä ympäri. Tällöin ympyrä näkyy koko ajan suorassa kulmassa ja tangenttien leikkauspiste on koko ajan etäisyydellä ympyrän keskipisteestä. Näin pisteet, joista ympyrä näkyy suorassa kulmassa, muodostavat ympyrän, jonka keskipiste on sama kuin alkuperäisen ympyrän keskipiste ja säde on. Saadaan ( y ) + = Vastaus + ( y ) = ( + y y = )

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4 4 Kertausosa. a) (, ) ja (, 7) d 7 5 ( 4) 4 6,40... 6,4 b) ( 5, 8) ja (, 0) d 0 ( 8) ( 5) 8 4 40 8,49... 8,4. Koulun koordinaatit ovat (0, 0). Kodin koordinaatit ovat (,0;,0). Kodin ja koulun etäisyys

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi 2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä. .. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1

= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1 Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) b) ( )( 3) 6 3 + 6 6 + y + + ( ) y + + 3 + + ( ) TNS y ( ) + 3 tai Paraablit likkaavat pistssä (, 3). c) Mrkitää lukua : llä ( ). + 4 + 8 + 8 8 + ( 8) ( 8) 4 ± 8 ± 6 8

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Tekniikan kieli on matematiikka. Matematiikka tarjoaa perustan tekniikan opiskelulle ja soveltamiselle

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3

MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68 Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot