4 Taso- ja avaruuskäyrät

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4 Taso- ja avaruuskäyrät"

Transkriptio

1 P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen nopeutt j kiihtyvyyden jkmist tngentti- j normlikomponentteihin. Huom: Kuvitus ilmestyy vst seurvn versioon. 4.1 Käyrän prmetrisointi Käyrällä trkoitetn joukko C R n, jok voidn esittää muodoss C = {r(t) t I}, missä funktio r: I R n on jtkuv. Tässä r on käyrän C prmetrisointi j I R on vstv prmetriväli. Käytännössä voidn jtell, että n = 2 ti n = 3, mutt ei ole välttämätöntä rjoittu näihin tpuksiin. Esimerkki 4.1 Jos n = 3, niin kyseessä on vruuskäyrä, jolle r(t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3. Tässä x, y, z ovt prmetrisoinnin koordinttifunktioit, j prmetrisoinnilt vdittv jtkuvuus trkoitt yksinkertisesti sitä, että nämä ovt jtkuvi funktioit jollkin prmetrivälillä I. Prmetrisointi r = r(t) kirjoitetn usein koordinttimuodoss x = x(t) y = y(t) t I. z = z(t) Tpuksess n = 2 kyseessä on tsokäyrä, jolloin yllä z-koordintti jää pois. Usein prmetriväli on suljettu väli [, b]. Jos tällöin r() = r(b), niin kyseessä on umpininen käyrä. Prmetrisointi määrää käyrälle positiivisen suunnn, jolloin r() on käyrän lkupiste j r(b) sen päätepiste. Annetust prmetrisoinnist voidn muodost myös vstkkinen prmetrisointi, joss vstv käyrä pysyy smn, mutt prmetrisointiin liittyvät lku- j päätepiste vihtvt pikk. Tpuksess r: [0, 1] C vstkkinen prmetrisointi r sdn helposti kvll r (t) = r(1 t), t [0, 1]. Esimerkki 4.2 ) Ellipsi x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 voidn prmetrisoid muodoss { x = cos t y = b sin t, 1

2 missä t [0, 2π]. Tpuksess = b = R sdn R-säteisen origokeskisen ympyrän prmetrisointi. b) Jos f : I R on jtkuv yhden muuttujn funktio, niin sen kuvj {(x, y) x I, y = f(x)} on tsokäyrä, joll on prmetrisointi r(t) = (t, f(t)), t I. c) Pisteiden r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) j r 1 = (x 1, y 1, z 1 ) välisen yhdysjnn prmetrisointi voidn kirjoitt vektorimuodoss r(t) = r 0 + t(r 1 r 0 ), kun t [0, 1]. Tästä sdn myös koordinttimuoto x = x 0 + t(x 1 x 0 ) = (1 t)x 0 + tx 1 y = y 0 + t(y 1 y 0 ) = (1 t)y 0 + ty 1 z = z 0 + t(z 1 z 0 ) = (1 t)z 0 + tz 1. d) Sykloidi on tsokäyrä, jok kuv esim. vierivään renkseen trttuneen kiven rt. Jos renkn säde on j prmetriksi vlitn ik, niin kselin liikettä kuv prmetrisointi x = vt, y =. Kiven pyöriminen kselin suhteen tphtuu vierimisehdon perusteell kulmnopeudell ω = v/ j pyörimissuunt on negtiivinen. Jos vielä jn nollkoht vlitn selliseen hetkeen, kun kivi koskett mt, niin pyörimisliikettä kuv prmetrisointi { x = cos( (vt/ π/2)) = sin(vt/) y = sin( (vt/ π/2)) = cos(vt/). Kiven rt sdn yhdistämällä kselin liike j pyöriminen toisiins, joten sykloidin prmetrisointi on muoto { x = vt sin(vt/) y = (1 cos(vt/)). Mtemttisesti loogisemp on vlit prmetriksi t renkn kiertokulm, jolloin vierimisehdon perusteell v =, j lusekkeet yksinkertistuvt hiukn. Tsokäyrän yhtälö voidn usein ilmist myös implisiittisessä muodoss F (x, y) = 0, missä F on jokin khden muuttujn luseke. Konkreettisi esimerkkejä ovt funktion kuvj y = f(x), jok voidn määritellä muodoss F (x, y) = y f(x) = 0, j R-säteinen ympyrä x 2 + y 2 R 2 = 0. On kuitenkin huomttv, ettei yhtälön F (x, y) = 0 määräämä tsojoukko ole läheskään in tsokäyrä. Jos A R 2 on mikä thns tsojoukko (reunpisteetkin mukn), niin funktio F (x, y) = pisteen (x, y) pienin etäisyys joukost A on jtkuv (myöhemmin trksteltvss mielessä), mutt yhtälö F (x, y) = 0 esittää koko lkuperäistä joukko A. 2

3 Toinen yllättävä seikk on, ettei käyrä välttämättä näytä käyrältä. On esimerkiksi olemss jtkuv funktio r: [0, 1] N = [0, 1] [0, 1], jonk kuvjoukko on koko neliö N sisäpisteineen. Neliö N on siis määritelmän mielessä tsokäyrä (ns. Penon käyrä). Tällisist ongelmist päästään eroon, jos prmetrisoinnilt vditn jtkuvuuden lisäksi derivoituvuus, jot käsitellään seurvss kppleess. 4.2 Käyrän tngentti Trkstelln prmetrisointi r, jok on jtkuvsti derivoituv. Tämä trkoitt sitä, että jokisen koordinttifunktion täytyy oll derivoituv j derivtn vielä lisäksi jtkuv. Prmetriväliä [t, t + t] vstv käyrän sekntti on vektori r = r(t + t) r(t). Kun t 0, niin r kääntyy yhä enemmän käyrän tngentin suuntiseksi, mutt smll sen pituus pienenee kohti noll. Sklmll kertoimell t sdn kuitenkin erotusosmäärää vstv luseke, jost nähdään, että rjrvo r r (t) = lim t 0 t on olemss j se voidn käytännössä lske kvll r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k. Perustelu: Vektorin r/ t ensimmäinen koordintti x(t + t) x(t) t x (t), kun t 0, j smoin käy muiss koordinteiss. Määritelmä 4.3 Jos käyrällä C R n on jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r, niin pisteessä r(t) käyrän tngenttivektori on r (t) = x 1(t)e x n(t)e n, missä funktiot x i ovt prmetrisoinnin koordinttifunktiot j vektorit e i ovt vruuden R n luonnolliset kntvektorit, ts. e 1 = i jne. Jos prmetri t on ik j r(t) kuv jonkin kppleen rt, niin luseke r on sen siirtymä ikvälillä t. Kppleen keskinopeus on siis r/ t, joten tngenttivektorin fysiklinen tulkint on hetkellinen nopeus v(t) = r (t). Vstv trkstelu voidn sovelt uudelleen prmetrisointiin t v(t), jolloin sdn kppleen hetkellinen kiihtyvyys (t) = v (t) = r (t). Termejä nopeus j kiihtyvyys voidn käyttää kikille prmetrisoinneille, vikkei prmetrill t olisikn konkreettist tulkint ikn. 3

4 Esimerkki 4.4 Sykloidin prmetrisointi (kulmn vull) on muoto jost voidn lske tngenttivektori { x = (t sin t) y = (1 cos t), r (t) = (1 cos t)i + sin tj, j kiihtyvyys (t) = r (t) = sin ti + cos tj. On syytä huomt, että (t) = vkio = tsisen pyörimisliikkeen kiihtyvyys. Sykloidiss esiintyy teräviä kulmi (niissä kohdiss, joiss kivi koskett mt). Miten se on mhdollist, kun kerrn tngentti r (t) on määritelty kikill t? Selitys on siinä, että r (2πn) = 0. Hetkellinen nopeus on siis näissä pisteissä noll, jolloin käyrän suunt voi muuttu jyrkästi. Pisteet, joiss r (t) = 0 ovt ongelmllisi myös sen vuoksi, ettei nollvektori void pitää oiken tngenttivektorin. Tämän vuoksi setetn seurv määritelmä. Määritelmä 4.5 Käyrän C prmetrisointi r on säännöllinen, jos se on jtkuvsti derivoituv (mhdollisi prmetrivälin päätepisteitä lukuunottmtt) j r (t) 0 kikill t. Fysiklisesti prmetrisoinnin säännöllisyys trkoitt sitä, ettei kppleen liikkeessä ole pysähdyksiä. Esimerkki 4.6 Prbelill y = x 2 on prmetrisointi x = t, y = t 2, jok on säännöllinen, sillä r (t) = i + 2tj 0 kikill t. Prmetrisointi ei kuitenkn ole yksikäsitteinen: myös kvt x = t 3, y = t 6, määrittelevät smn prbelin, mutt nyt r (t) = 3t 2 i + 6t 5 j = 0 rvoll t = 0. Tämä prmetrisointi ei siis ole säännöllinen. Hvitsemme, ettei epäsäännöllinen prmetrisointi välttämättä trkoit käyrässä olevn teräviä kulmi tms. Säännöllisen prmetrisoinnin yhtenä etun on se, että käyrälle voidn määrittää jokiseen pisteeseen yksikkötngenttivektori u(t) = 1 r (t) r (t), jolle siis u(t) = 1 kikill t. Tätä voidn käyttää pun esimerkiksi kiihtyvyyden tngentti- j normlikomponenttien määrittämiseen seurvll tvll. 4

5 Trkoituksen on siis kirjoitt kiihtyvyys muodoss = T + N, missä T u j N u. Käytännössä T on kiihtyvyyden vektoriprojektio u vektorin u määräämään suuntn, joten lsketn ensin, j sen vull sdn T = u = ( u)u = (t) r (t) r (t) 2 r (t) N = T. Esimerkki 4.7 Hiukknen liikkuu pitkin Helix-käyrää ( kierrejousi ), joll on prmetrisointi r(t) = (cos t, sin t, t), t R. Määritetään sen kiihtyvyyden tngentti- j normlikomponentit. Nyt r (t) = v(t) = sin ti + cos tj + k j (t) = r (t) = cos ti sin tj, joten T = v sin t cos t sin t cos t v = v 2 sin 2 t + cos 2 t + 1 v = 0. Kiihtyvyys on siis pelkkää normlikiihtyvyyttä, eli N =. Tutkitn vielä lopuksi trkemmin yksikkötngenttivektori u(t). Kosk u(t) = 1, niin u(t) u(t) = 1. Derivoimll tämä yhtälö puolittin prmetrin t suhteen sdn d dt (u(t) u(t)) = d dt 1 = 0. Tässä d dt (u(t) u(t)) = d dt (u 1(t) 2 + u 2 (t) 2 + u 3 (t) 2 ) = 2u 1 (t)u 1(t) + 2u 2 (t)u 2(t) + 2u 3 (t)u 3(t) = 2u(t) u (t), joten u (t) u(t) kikill t. Jos u (t) 0, niin voidn määritellä n(t) = 1 u (t) u (t), jok on nimeltään käyrän päänormli. Lyhyellä lskull voidn osoitt, että { T = r (t) u(t) N = r (t) u (t) n(t), joten normlikiihtyvyys on in päänormlin suuntinen. Kolmiulotteisess tpuksess yksikkövektorit u(t) j n(t) määräävät sellisen tson, jot käyrä 5

6 hetkellisesti sivu prhiten. Käyrän kierevyys eli erkneminen ulos tästä tsost tphtuu suuntn u(t) n(t), jok on kohtisuorss vektoreit u(t) j n(t) vstn. Se on myös yksikkövektori j nimeltään käyrän sivunormli. Näiden kolmen yksikkövektorin vull voidn jokiseen käyrän pisteeseen liittää sen kulun knss yhteensopiv suorkulminen koordintisto. Tällöin esimerkiksi vektoreiden u(t), n(t) j u(t) n(t) derivtt voidn esittää linerikombintioin näistä kolmest lkuperäisestä vektorist. Tulokset tunnetn Frenet n kvojen nimellä, mutt emme käsittele niitä tällä kurssill sen trkemmin. 4.3 Krenpituus Olkoon r: [, b] R n käyrän C jtkuvsti derivoituv prmetrisointi. Jos käyrää pproksimoidn sen seknteist muodostetull murtoviivll j nnetn pproksimtion tihentyä, voidn olett, että murtoviivojen pituudet suppenevt kohti luku l, jok olisi tutkittvn käyrän krenpituus. Osoittutuu, että näin todell käy j että krenpituus sdn integrlin l(c) = b r (t) dt. Tämän perustelemiseksi trkstelln välin [, b] tsvälistä jko pisteillä t k = + k t, missä t = (b )/n j n on jkovälien lukumäärä. Tällöin siis t 0 = j t n = b. Jos merkitään r k = r(t k+1 ) r(t k ), niin vstvn murtoviivn pituus on k r k. Jokisell k on voimss joten murtoviivn pituus on likimäärin r k = r(t k + t) r(t k ) r (t k ) t, n 1 r (t k ) t k=0 b r (t) dt. Voidn osoitt, että rjll n, ts. kun t 0, murtoviivojen pituuksill on rj-rvon tämä integrli, jok siis esittää kyseisen käyrän krenpituutt. Jos käyrän prmetrisointi on inostn ploittin jtkuvsti derivoituv, sdn koko käyrän krenpituus lskemll osien krenpituudet yhteen. Kosk smll käyrällä voi oll useit erilisi prmetrisointej, herää kysymys siitä, onko krenpituus itse käyrään vi pelkästään tiettyyn prmetrisointiin liittyvä luku. Voidn osoitt, ettei krenpituus riipu prmetrisoinnin vlinnst eikä sen suunnst. Hiemn täsmällisemmin muotoiltun pätee: jos uusi prmetrisointi sdn muuttujnvihdoll entisestä, niin niitä vstvien krenpituusintegrlien rvot ovt smt. Esimerkki 4.8 Lskemme Helix-käyrän r(t) = (cos t, sin t, t) krenpituuden prmetrivälillä t [0, 2π]. Kosk r (t) = sin ti + cos tj + k, niin r (t) = ( sin t) 2 + cos 2 t + 1 = 2, 6

7 joten krenpituudeksi sdn l = 2π 0 r (t) dt = 2 2π. Esimerkissä prmetrisointi venyttää prmetrivälin pituutt kertoimell 2 2π/2π = 2. Vlitsemll uusi prmetri s = 2t, eli t = s/ 2, sdn toinen prmetrisointi r(s) = (cos(s/ 2), sin(s/ 2), s/ 2), jolle r (s) = 1 kikill s. Tämä trkoitt sitä, että krenpituus itse käyrällä on täsmälleen sm kuin vstvn prmetrivälin pituus. Tällist kutsutn prmetrisoinniksi krenpituuden suhteen j se voidn peritteess muodost kikille käyrille. Tuloksell on kuitenkin vin teoreettist mielenkiinto, kosk krenpituusintegrlej ei yleensä void esittää lkeisfunktioiden vull, vn ne täytyy lske numeerisesti. Esimerkki 4.9 Funktion kuvjn y = f(x) krenpituudelle on olemss jo ennestään tuttu kv. Tutkitn, millinen tulos sdn käyttämällä tämän luvun yleisempää tulost. Kuvj voidn prmetrisoid muodoss x = t, y = f(t), t [, b]. Tällöin r (t) = i + f (t)j j r (t) = 1 + f (t) 2, joten krenpituudeksi sdn b l = 1 + f (t) 2 dt ivn kuten ennenkin. Krenpituutt voidn yleisemmin tutki myös sellisille käyrille, joiden prmetrisointi on muodostettu rjoittmttomll välillä, j krenpituusintegrlist tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integrli on suppenev, niin käyrää snotn suoristuvksi. Esimerkki 4.10 Onko spirlin x = e t cos t, y = e t sin t, t 0, krenpituus äärellinen? Lsketn siis r (t) = e t ( cos t sin t)i + e t (cos t sin t)j j edelleen r (t) = e t ( cos t sin t) 2 + (cos t sin t) 2 = 2e t. Näin ollen krenpituudeksi sdn l = joten spirli on suoristuv. 0 r (t) dt = 2 0 e t dt = 2, Lopuksi on syytä huomutt, ettei pelkkä jtkuvuus tk edes sitä, että suljetull välillä prmetrisoitu tsokäyrä olisi suoristuv. Tunnetuin esimerkki tällisest on ns. lumihiutlekäyrä, jonk keksi ruotslinen Helge von Koch v. 1904; ktso esim. Tässä yleisemmässä tilnteess suoristuvuutt ei void enää tutki integrlin, vn päättelyn täytyy perustu suorn pproksimoivien murtoviivojen pituuksiin. 7

8 4.4 Krevuus Krevuus liittyy käyrän suunnn muutosnopeuteen. Geometrisesti trksteltun on luontevint selvittää ensin tutkittvss pisteessä käyrän krevuussäde R j määritellä sen vull krevuus K = κ = 1/R. Tsokäyrän krevuussäde sdn seurvll peritteell: etsitään sellinen ympyrä, jok nnetuss pisteessä mhdollisimmn trksti sivu käyrää, jolloin tämän ympyrän säde on krevuussäde j sen keskipiste krevuuskeskipiste. Ensimmäinen sivumisehto on tietysti se, että käyrällä j ympyrällä on kyseisessä pisteessä sm tngentti, mutt olennisempi ehto liittyy krtumiseen, jot kuv toinen derivtt. Krevuussäteelle voidn joht prmetrisoinnin vull lskettv kv seurvll tvll. Kosk ympyrän kksi normli leikkvt in ympyrän keskipisteessä, niin ehkäpä yleisen tsokäyrän kksi lähekkäisiin pisteisiin piirrettyä normlisuor leikkisivt toisens lähellä krevuuskeskipistettä? Määritetään siis tutkittvn pisteen r(t 0 ) kutt kulkev normli j muodostetn vstv normli lähellä olevn pisteeseen r(t 0 + t). Lsketn normlien leikkuspisteen koordintit j niistä rj-rvo, kun t 0. Tämän pisteen etäisyys tutkittvst käyrän pisteestä on etsitty krevuussäde. Väliviheet ovt peritteess suorviivisi, mutt teknisesti hiemn hnkli, joten tyydymme vin lskun lopputulokseen. Luse 4.11 Trkstelln tsokäyrää, joll on säännöllinen kksi kert jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r(t) = (x(t), y(t)). Tällöin pisteessä r(t) käyrän krevuus (ym. peritteen mukisesti) on κ = x (t)y (t) x (t)y (t) r (t) 3 j vstv krevuussäde on R = 1/κ. Tulost voidn sovelt myös erikoistpuksiin 1/0 = j 1/ = 0. Kokeilemll hvitn, että κ > 0, jos käyrä krtuu positiiviseen suuntn kuljettess vsemmlle, j κ < 0 oikelle suuntutuvss krteess. Esimerkki 4.12 Lsketn ellipsin x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 krevuus pisteessä (, 0). Ellipsillä on prmetrisointi x = cos t, y = b sin t j trksteltv piste vst prmetrin rvo t = 0. Nyt siis x (t)y (t) x (t)y (t) ( sin t)( b sin t) ( cos t)b cos t (x (t) 2 + y (t) 2 ) 3/2 = ( 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2 = b ( 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2, joten rvoll t = 0 sdn κ = b b = 3 b. 2 Huomttkoon, että tpuksess = b = R tuloksest sdn R-säteisen ympyrän krevuudeksi 1/R, kuten pitääkin. 8

9 Krevuus voidn määritellä myös kolmiulotteiselle käyrälle, jolloin krevuuskeskipiste etsitään vektoreiden u(t) j n(t) määräämästä tsost. Itse siss koko käyrä voidn projisioid tähän tsoon j tutki krevuutt kksiulotteisesti. Nopeimmin oiken tulokseen päädytään kuitenkin trkstelemll tilnnett fysiklisesti. Jos kpple liikkuu tsist vuhti v pitkin R-säteistä ympyrärt, niin sen normlikiihtyvyys (eli keskeiskiihtyvyys) on muoto N = v 2 /R. Mikäli rt ei ole ympyrä, lienee ilmeistä, että R täytyy korvt rdn krevuussäteellä trksteltvss pisteessä. Tämän perusteell krevuussäteelle pätee R = v2 N = r (t) 2 N j tässä esiintyvä N = N voidn lske helposti seurvll tvll. Kosk r = = T u+ N n, niin muodostmll vektorin u ristitulo yhtälön molempien puolten knss sdn u r = T u u + N u n = N u n. Tässä u n on yksikkövektori (itse siss sivunormli), joten N = u r = r r. r Yhdistämällä sdut kvt päädytään seurvn määritelmään. Määritelmä 4.13 Jos r = r(t) on kolmiulotteisen käyrän säännöllinen kksi kert jtkuvsti derivoituv prmetrisointi, niin käyrän krevuus pisteessä r(t) on κ = r (t) r (t) r (t) 3 = j vstv krevuussäde R = 1/κ. v(t) (t) v(t) 3 Esimerkki 4.14 Verrtn stu kv ikisempn kksiulotteiseen tpukseen j tutkitn sen vuoksi prmetrisointi, joss z(t) = 0 kikill t. Tällöin i j k r (t) r (t) = x (t) y (t) 0 x (t) y (t) 0 = (x (t)y (t) x (t)y (t))k j r (t) = x (t) 2 + y (t) 2, joten kksiulotteinen krevuus sdn yleisen kvn erikoistpuksen. 9

10 4.5 Sklrikentän viivintegrli Sklrikentällä trkoitetn usen muuttujn funktiot f : A R, missä funktion määrittelyjoukko A R n. Täsmällisemmin voidn sno, että kyseessä on n:n muuttujn funktio. Funktion f rvo pisteessä (x 1,..., x n ) kirjoitetn muodoss f(x 1,..., x n ), kun (x 1,..., x n ) A. Fysiklisist suureist sklrikenttiä ovt esimerkiksi kppleen lämpötil u = u(x, y, z, t) j sen tiheys ρ = ρ(x, y, z). Esimerkki 4.15 Sklrikenttä f : R 2 R määritellään kvll f(x, y) = xy x + 2y + 3. Tällöin f(-1,2)=6. Ryhdymme tutkimn, kuink pitäisi määritellä sklrikentän integrli pitkin prmetrisoitu käyrää. Johdttelevn esimerkkinä tutkitn, kuink lsketn epähomogeenisen mutkittelevn metllilngn mss. Esimerkki 4.16 Lngll on prmetrisointi r = r(t), missä t [, b], j sen pituustiheys ρ = ρ(r(t)) tunnetn kusskin pisteessä. Approksimoi lngn kokonismss. Trkstelln lyhyttä lngnpätkää, jok vst prmetriväliä [t, t + t]. Vstv käyrän os voidn pproksimoid erotusvektorill r = r(t + t) r(t) r (t) t (vrt. siirtymä = nopeus ikväli). Tämän lngn osn mss on siis m ρ(r(t)) r ρ(r(t)) r (t) t. Jos koko prmetriväli jetn tsvälisesti jkopisteillä = t 0, t 1,..., t n = b, niin koko lngn msslle sdn pproksimtio m n 1 m ρ(r(t k )) r (t k ) t. k=0 Kun jko tihentyy, eli t 0, niin summn rj-rvon sdn integrli b ρ(r(t)) r (t) dt, jok ilmeisesti prhiten kuv koko lngn mss. 10

11 Esimerkin perusteell setetn seurv määritelmä, joss tämän kurssin trpeisiin riittävät tpukset n = 2 j n = 3. Määritelmä 4.17 Olkoon C R n käyrä, joll on ploittin jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r = r(t), t [, b]. Jos f : C R on sklrikenttä, niin sen viivintegrli käyrää C pitkin on b f ds = f(r(t)) r (t) dt. C Seurviin seikkoihin on syytä kiinnittää erikseen huomiot: Ploittinen säännöllisyys näkyy lskuiss niin, että integrli jkntuu erikseen lskettviin osiin. Trksti otten täytyy vielä olett, että funktio t f(r (t)) on inkin ploittin jtkuv, jott sitä voidn integroid. Tämä plutuu itse sklrikentän f jtkuvuuteen, jot käsitellään myöhemmin. Viivintegrlin rvo ei riipu prmetrisoinnin vlinnst eikä sen suunnst. Funktio f on usein määritelty muullkin kuin pelkäästään käyrän pisteissä r(t), mutt näillä rvoill ei ole mitään merkitystä tulokseen. Differentili ds = r (t) dt voidn tulkit krenpituuslkioksi. Jos f 1, niin b 1 ds = r (t) dt = l C on käyrän C krenpituus. Lusekett 1 f ds l kutsutn funktion f keskirvoksi käyrällä C. C Jos C on umpininen käyrä, niin viivintegrlille käytetään myös merkintää b f ds = f ds = f(r(t)) r (t) dt. C C Tällä ei siis ole mitään vikutust itse integrlin lskemiseen. 11

12 4.6 Vektorikentän viivintegrli 12

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light)

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light) 68 33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nture nd Propgtion of Light) Toinen ihmiselle tärkeä luonnon ltoliike, meknisten ääniltojen lisäksi, liittyy näkemiseen j on tietysti vlo. Vlo on sähkömgneettist ltoliikettä

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

http://www.math.helsinki.fi/solmu/

http://www.math.helsinki.fi/solmu/ 1/2000 2001 http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Solmu Solmu Solmu 1/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2 Differentiaaliyhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Olkoot D R 2 alue ja r, f, g : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälön y r(x, y) suuntaelementtikenttä on kuvaus D R 2, (x, y) (, r(x, y)). Suuntaelementtikenttä

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Integraali ja yleistetty Pythagoraan lause

Integraali ja yleistetty Pythagoraan lause TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Ann-Riikk Pvol Integrli j yleistetty Pythgorn luse Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Mrrskuu 28 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Pvol, Ann-Riikk:

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot