4 Taso- ja avaruuskäyrät

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4 Taso- ja avaruuskäyrät"

Transkriptio

1 P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen nopeutt j kiihtyvyyden jkmist tngentti- j normlikomponentteihin. Huom: Kuvitus ilmestyy vst seurvn versioon. 4.1 Käyrän prmetrisointi Käyrällä trkoitetn joukko C R n, jok voidn esittää muodoss C = {r(t) t I}, missä funktio r: I R n on jtkuv. Tässä r on käyrän C prmetrisointi j I R on vstv prmetriväli. Käytännössä voidn jtell, että n = 2 ti n = 3, mutt ei ole välttämätöntä rjoittu näihin tpuksiin. Esimerkki 4.1 Jos n = 3, niin kyseessä on vruuskäyrä, jolle r(t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3. Tässä x, y, z ovt prmetrisoinnin koordinttifunktioit, j prmetrisoinnilt vdittv jtkuvuus trkoitt yksinkertisesti sitä, että nämä ovt jtkuvi funktioit jollkin prmetrivälillä I. Prmetrisointi r = r(t) kirjoitetn usein koordinttimuodoss x = x(t) y = y(t) t I. z = z(t) Tpuksess n = 2 kyseessä on tsokäyrä, jolloin yllä z-koordintti jää pois. Usein prmetriväli on suljettu väli [, b]. Jos tällöin r() = r(b), niin kyseessä on umpininen käyrä. Prmetrisointi määrää käyrälle positiivisen suunnn, jolloin r() on käyrän lkupiste j r(b) sen päätepiste. Annetust prmetrisoinnist voidn muodost myös vstkkinen prmetrisointi, joss vstv käyrä pysyy smn, mutt prmetrisointiin liittyvät lku- j päätepiste vihtvt pikk. Tpuksess r: [0, 1] C vstkkinen prmetrisointi r sdn helposti kvll r (t) = r(1 t), t [0, 1]. Esimerkki 4.2 ) Ellipsi x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 voidn prmetrisoid muodoss { x = cos t y = b sin t, 1

2 missä t [0, 2π]. Tpuksess = b = R sdn R-säteisen origokeskisen ympyrän prmetrisointi. b) Jos f : I R on jtkuv yhden muuttujn funktio, niin sen kuvj {(x, y) x I, y = f(x)} on tsokäyrä, joll on prmetrisointi r(t) = (t, f(t)), t I. c) Pisteiden r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) j r 1 = (x 1, y 1, z 1 ) välisen yhdysjnn prmetrisointi voidn kirjoitt vektorimuodoss r(t) = r 0 + t(r 1 r 0 ), kun t [0, 1]. Tästä sdn myös koordinttimuoto x = x 0 + t(x 1 x 0 ) = (1 t)x 0 + tx 1 y = y 0 + t(y 1 y 0 ) = (1 t)y 0 + ty 1 z = z 0 + t(z 1 z 0 ) = (1 t)z 0 + tz 1. d) Sykloidi on tsokäyrä, jok kuv esim. vierivään renkseen trttuneen kiven rt. Jos renkn säde on j prmetriksi vlitn ik, niin kselin liikettä kuv prmetrisointi x = vt, y =. Kiven pyöriminen kselin suhteen tphtuu vierimisehdon perusteell kulmnopeudell ω = v/ j pyörimissuunt on negtiivinen. Jos vielä jn nollkoht vlitn selliseen hetkeen, kun kivi koskett mt, niin pyörimisliikettä kuv prmetrisointi { x = cos( (vt/ π/2)) = sin(vt/) y = sin( (vt/ π/2)) = cos(vt/). Kiven rt sdn yhdistämällä kselin liike j pyöriminen toisiins, joten sykloidin prmetrisointi on muoto { x = vt sin(vt/) y = (1 cos(vt/)). Mtemttisesti loogisemp on vlit prmetriksi t renkn kiertokulm, jolloin vierimisehdon perusteell v =, j lusekkeet yksinkertistuvt hiukn. Tsokäyrän yhtälö voidn usein ilmist myös implisiittisessä muodoss F (x, y) = 0, missä F on jokin khden muuttujn luseke. Konkreettisi esimerkkejä ovt funktion kuvj y = f(x), jok voidn määritellä muodoss F (x, y) = y f(x) = 0, j R-säteinen ympyrä x 2 + y 2 R 2 = 0. On kuitenkin huomttv, ettei yhtälön F (x, y) = 0 määräämä tsojoukko ole läheskään in tsokäyrä. Jos A R 2 on mikä thns tsojoukko (reunpisteetkin mukn), niin funktio F (x, y) = pisteen (x, y) pienin etäisyys joukost A on jtkuv (myöhemmin trksteltvss mielessä), mutt yhtälö F (x, y) = 0 esittää koko lkuperäistä joukko A. 2

3 Toinen yllättävä seikk on, ettei käyrä välttämättä näytä käyrältä. On esimerkiksi olemss jtkuv funktio r: [0, 1] N = [0, 1] [0, 1], jonk kuvjoukko on koko neliö N sisäpisteineen. Neliö N on siis määritelmän mielessä tsokäyrä (ns. Penon käyrä). Tällisist ongelmist päästään eroon, jos prmetrisoinnilt vditn jtkuvuuden lisäksi derivoituvuus, jot käsitellään seurvss kppleess. 4.2 Käyrän tngentti Trkstelln prmetrisointi r, jok on jtkuvsti derivoituv. Tämä trkoitt sitä, että jokisen koordinttifunktion täytyy oll derivoituv j derivtn vielä lisäksi jtkuv. Prmetriväliä [t, t + t] vstv käyrän sekntti on vektori r = r(t + t) r(t). Kun t 0, niin r kääntyy yhä enemmän käyrän tngentin suuntiseksi, mutt smll sen pituus pienenee kohti noll. Sklmll kertoimell t sdn kuitenkin erotusosmäärää vstv luseke, jost nähdään, että rjrvo r r (t) = lim t 0 t on olemss j se voidn käytännössä lske kvll r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k. Perustelu: Vektorin r/ t ensimmäinen koordintti x(t + t) x(t) t x (t), kun t 0, j smoin käy muiss koordinteiss. Määritelmä 4.3 Jos käyrällä C R n on jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r, niin pisteessä r(t) käyrän tngenttivektori on r (t) = x 1(t)e x n(t)e n, missä funktiot x i ovt prmetrisoinnin koordinttifunktiot j vektorit e i ovt vruuden R n luonnolliset kntvektorit, ts. e 1 = i jne. Jos prmetri t on ik j r(t) kuv jonkin kppleen rt, niin luseke r on sen siirtymä ikvälillä t. Kppleen keskinopeus on siis r/ t, joten tngenttivektorin fysiklinen tulkint on hetkellinen nopeus v(t) = r (t). Vstv trkstelu voidn sovelt uudelleen prmetrisointiin t v(t), jolloin sdn kppleen hetkellinen kiihtyvyys (t) = v (t) = r (t). Termejä nopeus j kiihtyvyys voidn käyttää kikille prmetrisoinneille, vikkei prmetrill t olisikn konkreettist tulkint ikn. 3

4 Esimerkki 4.4 Sykloidin prmetrisointi (kulmn vull) on muoto jost voidn lske tngenttivektori { x = (t sin t) y = (1 cos t), r (t) = (1 cos t)i + sin tj, j kiihtyvyys (t) = r (t) = sin ti + cos tj. On syytä huomt, että (t) = vkio = tsisen pyörimisliikkeen kiihtyvyys. Sykloidiss esiintyy teräviä kulmi (niissä kohdiss, joiss kivi koskett mt). Miten se on mhdollist, kun kerrn tngentti r (t) on määritelty kikill t? Selitys on siinä, että r (2πn) = 0. Hetkellinen nopeus on siis näissä pisteissä noll, jolloin käyrän suunt voi muuttu jyrkästi. Pisteet, joiss r (t) = 0 ovt ongelmllisi myös sen vuoksi, ettei nollvektori void pitää oiken tngenttivektorin. Tämän vuoksi setetn seurv määritelmä. Määritelmä 4.5 Käyrän C prmetrisointi r on säännöllinen, jos se on jtkuvsti derivoituv (mhdollisi prmetrivälin päätepisteitä lukuunottmtt) j r (t) 0 kikill t. Fysiklisesti prmetrisoinnin säännöllisyys trkoitt sitä, ettei kppleen liikkeessä ole pysähdyksiä. Esimerkki 4.6 Prbelill y = x 2 on prmetrisointi x = t, y = t 2, jok on säännöllinen, sillä r (t) = i + 2tj 0 kikill t. Prmetrisointi ei kuitenkn ole yksikäsitteinen: myös kvt x = t 3, y = t 6, määrittelevät smn prbelin, mutt nyt r (t) = 3t 2 i + 6t 5 j = 0 rvoll t = 0. Tämä prmetrisointi ei siis ole säännöllinen. Hvitsemme, ettei epäsäännöllinen prmetrisointi välttämättä trkoit käyrässä olevn teräviä kulmi tms. Säännöllisen prmetrisoinnin yhtenä etun on se, että käyrälle voidn määrittää jokiseen pisteeseen yksikkötngenttivektori u(t) = 1 r (t) r (t), jolle siis u(t) = 1 kikill t. Tätä voidn käyttää pun esimerkiksi kiihtyvyyden tngentti- j normlikomponenttien määrittämiseen seurvll tvll. 4

5 Trkoituksen on siis kirjoitt kiihtyvyys muodoss = T + N, missä T u j N u. Käytännössä T on kiihtyvyyden vektoriprojektio u vektorin u määräämään suuntn, joten lsketn ensin, j sen vull sdn T = u = ( u)u = (t) r (t) r (t) 2 r (t) N = T. Esimerkki 4.7 Hiukknen liikkuu pitkin Helix-käyrää ( kierrejousi ), joll on prmetrisointi r(t) = (cos t, sin t, t), t R. Määritetään sen kiihtyvyyden tngentti- j normlikomponentit. Nyt r (t) = v(t) = sin ti + cos tj + k j (t) = r (t) = cos ti sin tj, joten T = v sin t cos t sin t cos t v = v 2 sin 2 t + cos 2 t + 1 v = 0. Kiihtyvyys on siis pelkkää normlikiihtyvyyttä, eli N =. Tutkitn vielä lopuksi trkemmin yksikkötngenttivektori u(t). Kosk u(t) = 1, niin u(t) u(t) = 1. Derivoimll tämä yhtälö puolittin prmetrin t suhteen sdn d dt (u(t) u(t)) = d dt 1 = 0. Tässä d dt (u(t) u(t)) = d dt (u 1(t) 2 + u 2 (t) 2 + u 3 (t) 2 ) = 2u 1 (t)u 1(t) + 2u 2 (t)u 2(t) + 2u 3 (t)u 3(t) = 2u(t) u (t), joten u (t) u(t) kikill t. Jos u (t) 0, niin voidn määritellä n(t) = 1 u (t) u (t), jok on nimeltään käyrän päänormli. Lyhyellä lskull voidn osoitt, että { T = r (t) u(t) N = r (t) u (t) n(t), joten normlikiihtyvyys on in päänormlin suuntinen. Kolmiulotteisess tpuksess yksikkövektorit u(t) j n(t) määräävät sellisen tson, jot käyrä 5

6 hetkellisesti sivu prhiten. Käyrän kierevyys eli erkneminen ulos tästä tsost tphtuu suuntn u(t) n(t), jok on kohtisuorss vektoreit u(t) j n(t) vstn. Se on myös yksikkövektori j nimeltään käyrän sivunormli. Näiden kolmen yksikkövektorin vull voidn jokiseen käyrän pisteeseen liittää sen kulun knss yhteensopiv suorkulminen koordintisto. Tällöin esimerkiksi vektoreiden u(t), n(t) j u(t) n(t) derivtt voidn esittää linerikombintioin näistä kolmest lkuperäisestä vektorist. Tulokset tunnetn Frenet n kvojen nimellä, mutt emme käsittele niitä tällä kurssill sen trkemmin. 4.3 Krenpituus Olkoon r: [, b] R n käyrän C jtkuvsti derivoituv prmetrisointi. Jos käyrää pproksimoidn sen seknteist muodostetull murtoviivll j nnetn pproksimtion tihentyä, voidn olett, että murtoviivojen pituudet suppenevt kohti luku l, jok olisi tutkittvn käyrän krenpituus. Osoittutuu, että näin todell käy j että krenpituus sdn integrlin l(c) = b r (t) dt. Tämän perustelemiseksi trkstelln välin [, b] tsvälistä jko pisteillä t k = + k t, missä t = (b )/n j n on jkovälien lukumäärä. Tällöin siis t 0 = j t n = b. Jos merkitään r k = r(t k+1 ) r(t k ), niin vstvn murtoviivn pituus on k r k. Jokisell k on voimss joten murtoviivn pituus on likimäärin r k = r(t k + t) r(t k ) r (t k ) t, n 1 r (t k ) t k=0 b r (t) dt. Voidn osoitt, että rjll n, ts. kun t 0, murtoviivojen pituuksill on rj-rvon tämä integrli, jok siis esittää kyseisen käyrän krenpituutt. Jos käyrän prmetrisointi on inostn ploittin jtkuvsti derivoituv, sdn koko käyrän krenpituus lskemll osien krenpituudet yhteen. Kosk smll käyrällä voi oll useit erilisi prmetrisointej, herää kysymys siitä, onko krenpituus itse käyrään vi pelkästään tiettyyn prmetrisointiin liittyvä luku. Voidn osoitt, ettei krenpituus riipu prmetrisoinnin vlinnst eikä sen suunnst. Hiemn täsmällisemmin muotoiltun pätee: jos uusi prmetrisointi sdn muuttujnvihdoll entisestä, niin niitä vstvien krenpituusintegrlien rvot ovt smt. Esimerkki 4.8 Lskemme Helix-käyrän r(t) = (cos t, sin t, t) krenpituuden prmetrivälillä t [0, 2π]. Kosk r (t) = sin ti + cos tj + k, niin r (t) = ( sin t) 2 + cos 2 t + 1 = 2, 6

7 joten krenpituudeksi sdn l = 2π 0 r (t) dt = 2 2π. Esimerkissä prmetrisointi venyttää prmetrivälin pituutt kertoimell 2 2π/2π = 2. Vlitsemll uusi prmetri s = 2t, eli t = s/ 2, sdn toinen prmetrisointi r(s) = (cos(s/ 2), sin(s/ 2), s/ 2), jolle r (s) = 1 kikill s. Tämä trkoitt sitä, että krenpituus itse käyrällä on täsmälleen sm kuin vstvn prmetrivälin pituus. Tällist kutsutn prmetrisoinniksi krenpituuden suhteen j se voidn peritteess muodost kikille käyrille. Tuloksell on kuitenkin vin teoreettist mielenkiinto, kosk krenpituusintegrlej ei yleensä void esittää lkeisfunktioiden vull, vn ne täytyy lske numeerisesti. Esimerkki 4.9 Funktion kuvjn y = f(x) krenpituudelle on olemss jo ennestään tuttu kv. Tutkitn, millinen tulos sdn käyttämällä tämän luvun yleisempää tulost. Kuvj voidn prmetrisoid muodoss x = t, y = f(t), t [, b]. Tällöin r (t) = i + f (t)j j r (t) = 1 + f (t) 2, joten krenpituudeksi sdn b l = 1 + f (t) 2 dt ivn kuten ennenkin. Krenpituutt voidn yleisemmin tutki myös sellisille käyrille, joiden prmetrisointi on muodostettu rjoittmttomll välillä, j krenpituusintegrlist tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integrli on suppenev, niin käyrää snotn suoristuvksi. Esimerkki 4.10 Onko spirlin x = e t cos t, y = e t sin t, t 0, krenpituus äärellinen? Lsketn siis r (t) = e t ( cos t sin t)i + e t (cos t sin t)j j edelleen r (t) = e t ( cos t sin t) 2 + (cos t sin t) 2 = 2e t. Näin ollen krenpituudeksi sdn l = joten spirli on suoristuv. 0 r (t) dt = 2 0 e t dt = 2, Lopuksi on syytä huomutt, ettei pelkkä jtkuvuus tk edes sitä, että suljetull välillä prmetrisoitu tsokäyrä olisi suoristuv. Tunnetuin esimerkki tällisest on ns. lumihiutlekäyrä, jonk keksi ruotslinen Helge von Koch v. 1904; ktso esim. Tässä yleisemmässä tilnteess suoristuvuutt ei void enää tutki integrlin, vn päättelyn täytyy perustu suorn pproksimoivien murtoviivojen pituuksiin. 7

8 4.4 Krevuus Krevuus liittyy käyrän suunnn muutosnopeuteen. Geometrisesti trksteltun on luontevint selvittää ensin tutkittvss pisteessä käyrän krevuussäde R j määritellä sen vull krevuus K = κ = 1/R. Tsokäyrän krevuussäde sdn seurvll peritteell: etsitään sellinen ympyrä, jok nnetuss pisteessä mhdollisimmn trksti sivu käyrää, jolloin tämän ympyrän säde on krevuussäde j sen keskipiste krevuuskeskipiste. Ensimmäinen sivumisehto on tietysti se, että käyrällä j ympyrällä on kyseisessä pisteessä sm tngentti, mutt olennisempi ehto liittyy krtumiseen, jot kuv toinen derivtt. Krevuussäteelle voidn joht prmetrisoinnin vull lskettv kv seurvll tvll. Kosk ympyrän kksi normli leikkvt in ympyrän keskipisteessä, niin ehkäpä yleisen tsokäyrän kksi lähekkäisiin pisteisiin piirrettyä normlisuor leikkisivt toisens lähellä krevuuskeskipistettä? Määritetään siis tutkittvn pisteen r(t 0 ) kutt kulkev normli j muodostetn vstv normli lähellä olevn pisteeseen r(t 0 + t). Lsketn normlien leikkuspisteen koordintit j niistä rj-rvo, kun t 0. Tämän pisteen etäisyys tutkittvst käyrän pisteestä on etsitty krevuussäde. Väliviheet ovt peritteess suorviivisi, mutt teknisesti hiemn hnkli, joten tyydymme vin lskun lopputulokseen. Luse 4.11 Trkstelln tsokäyrää, joll on säännöllinen kksi kert jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r(t) = (x(t), y(t)). Tällöin pisteessä r(t) käyrän krevuus (ym. peritteen mukisesti) on κ = x (t)y (t) x (t)y (t) r (t) 3 j vstv krevuussäde on R = 1/κ. Tulost voidn sovelt myös erikoistpuksiin 1/0 = j 1/ = 0. Kokeilemll hvitn, että κ > 0, jos käyrä krtuu positiiviseen suuntn kuljettess vsemmlle, j κ < 0 oikelle suuntutuvss krteess. Esimerkki 4.12 Lsketn ellipsin x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 krevuus pisteessä (, 0). Ellipsillä on prmetrisointi x = cos t, y = b sin t j trksteltv piste vst prmetrin rvo t = 0. Nyt siis x (t)y (t) x (t)y (t) ( sin t)( b sin t) ( cos t)b cos t (x (t) 2 + y (t) 2 ) 3/2 = ( 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2 = b ( 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2, joten rvoll t = 0 sdn κ = b b = 3 b. 2 Huomttkoon, että tpuksess = b = R tuloksest sdn R-säteisen ympyrän krevuudeksi 1/R, kuten pitääkin. 8

9 Krevuus voidn määritellä myös kolmiulotteiselle käyrälle, jolloin krevuuskeskipiste etsitään vektoreiden u(t) j n(t) määräämästä tsost. Itse siss koko käyrä voidn projisioid tähän tsoon j tutki krevuutt kksiulotteisesti. Nopeimmin oiken tulokseen päädytään kuitenkin trkstelemll tilnnett fysiklisesti. Jos kpple liikkuu tsist vuhti v pitkin R-säteistä ympyrärt, niin sen normlikiihtyvyys (eli keskeiskiihtyvyys) on muoto N = v 2 /R. Mikäli rt ei ole ympyrä, lienee ilmeistä, että R täytyy korvt rdn krevuussäteellä trksteltvss pisteessä. Tämän perusteell krevuussäteelle pätee R = v2 N = r (t) 2 N j tässä esiintyvä N = N voidn lske helposti seurvll tvll. Kosk r = = T u+ N n, niin muodostmll vektorin u ristitulo yhtälön molempien puolten knss sdn u r = T u u + N u n = N u n. Tässä u n on yksikkövektori (itse siss sivunormli), joten N = u r = r r. r Yhdistämällä sdut kvt päädytään seurvn määritelmään. Määritelmä 4.13 Jos r = r(t) on kolmiulotteisen käyrän säännöllinen kksi kert jtkuvsti derivoituv prmetrisointi, niin käyrän krevuus pisteessä r(t) on κ = r (t) r (t) r (t) 3 = j vstv krevuussäde R = 1/κ. v(t) (t) v(t) 3 Esimerkki 4.14 Verrtn stu kv ikisempn kksiulotteiseen tpukseen j tutkitn sen vuoksi prmetrisointi, joss z(t) = 0 kikill t. Tällöin i j k r (t) r (t) = x (t) y (t) 0 x (t) y (t) 0 = (x (t)y (t) x (t)y (t))k j r (t) = x (t) 2 + y (t) 2, joten kksiulotteinen krevuus sdn yleisen kvn erikoistpuksen. 9

10 4.5 Sklrikentän viivintegrli Sklrikentällä trkoitetn usen muuttujn funktiot f : A R, missä funktion määrittelyjoukko A R n. Täsmällisemmin voidn sno, että kyseessä on n:n muuttujn funktio. Funktion f rvo pisteessä (x 1,..., x n ) kirjoitetn muodoss f(x 1,..., x n ), kun (x 1,..., x n ) A. Fysiklisist suureist sklrikenttiä ovt esimerkiksi kppleen lämpötil u = u(x, y, z, t) j sen tiheys ρ = ρ(x, y, z). Esimerkki 4.15 Sklrikenttä f : R 2 R määritellään kvll f(x, y) = xy x + 2y + 3. Tällöin f(-1,2)=6. Ryhdymme tutkimn, kuink pitäisi määritellä sklrikentän integrli pitkin prmetrisoitu käyrää. Johdttelevn esimerkkinä tutkitn, kuink lsketn epähomogeenisen mutkittelevn metllilngn mss. Esimerkki 4.16 Lngll on prmetrisointi r = r(t), missä t [, b], j sen pituustiheys ρ = ρ(r(t)) tunnetn kusskin pisteessä. Approksimoi lngn kokonismss. Trkstelln lyhyttä lngnpätkää, jok vst prmetriväliä [t, t + t]. Vstv käyrän os voidn pproksimoid erotusvektorill r = r(t + t) r(t) r (t) t (vrt. siirtymä = nopeus ikväli). Tämän lngn osn mss on siis m ρ(r(t)) r ρ(r(t)) r (t) t. Jos koko prmetriväli jetn tsvälisesti jkopisteillä = t 0, t 1,..., t n = b, niin koko lngn msslle sdn pproksimtio m n 1 m ρ(r(t k )) r (t k ) t. k=0 Kun jko tihentyy, eli t 0, niin summn rj-rvon sdn integrli b ρ(r(t)) r (t) dt, jok ilmeisesti prhiten kuv koko lngn mss. 10

11 Esimerkin perusteell setetn seurv määritelmä, joss tämän kurssin trpeisiin riittävät tpukset n = 2 j n = 3. Määritelmä 4.17 Olkoon C R n käyrä, joll on ploittin jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r = r(t), t [, b]. Jos f : C R on sklrikenttä, niin sen viivintegrli käyrää C pitkin on b f ds = f(r(t)) r (t) dt. C Seurviin seikkoihin on syytä kiinnittää erikseen huomiot: Ploittinen säännöllisyys näkyy lskuiss niin, että integrli jkntuu erikseen lskettviin osiin. Trksti otten täytyy vielä olett, että funktio t f(r (t)) on inkin ploittin jtkuv, jott sitä voidn integroid. Tämä plutuu itse sklrikentän f jtkuvuuteen, jot käsitellään myöhemmin. Viivintegrlin rvo ei riipu prmetrisoinnin vlinnst eikä sen suunnst. Funktio f on usein määritelty muullkin kuin pelkäästään käyrän pisteissä r(t), mutt näillä rvoill ei ole mitään merkitystä tulokseen. Differentili ds = r (t) dt voidn tulkit krenpituuslkioksi. Jos f 1, niin b 1 ds = r (t) dt = l C on käyrän C krenpituus. Lusekett 1 f ds l kutsutn funktion f keskirvoksi käyrällä C. C Jos C on umpininen käyrä, niin viivintegrlille käytetään myös merkintää b f ds = f ds = f(r(t)) r (t) dt. C C Tällä ei siis ole mitään vikutust itse integrlin lskemiseen. 11

12 4.6 Vektorikentän viivintegrli 12

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Motivaatio Tässä tutustutaan

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus NodeCount(v /* lskee solmun v lipuun solmujen lukumäärän */ if solmu v on null return 0 else return + NodeCount(v.left + NodeCount(v.right Rekursio: lgoritmi kutsuu itseään Usein hjot j hllitse -perite:

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot