Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!"

Transkriptio

1 Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti

2 Pitkä matematiikka, syksy 010 Mallivastaukset, Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Hän on tarkastanut matematiikan ja fysiikan yo-kokeita koko tämän ajan. Teemu Kekkonen ja Antti Suominen toimivat opettajina MA-FY Valmennus Oy:ssä. Nämä mallivastaukset ovat MA-FY Valmennus Oy:n omaisuutta. MA-FY Valmennus Oy on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit yksityisopetus Vuoden 010 keväästä alkaen olemme julkaisseet internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön ja omien yo-vastausten tarkistamista varten. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MA-FY Valmennuksen internet-sivuilta Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää näitä mallivastauksia oppimateriaalina lukiokursseilla. MA-FY Valmennus Oy:n yhteystiedot: internet: s-posti: puhelin: TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

3 1. a) Sievennä lauseke (a + b) (a b). b) Ratkaise yhtälö tan x = 3. c) Määritä f ( 3), kun f(x) = x x+1. Ratkaisu. a) b) (a + b) (a b) = a + ab + b (a ab + b ) = a + ab + b a + ab b = 4ab tan x = 3 x = π 3 + nπ, n Z c) f(x) = x x + 1 f (x) = x (x + 1) x 1 (x + 1) = x + x x (x + 1) = x + x (x + 1) f ( 3) = ( 3) + ( 3) [ ( 3) + 1 ] f ( 3) = 3 4 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1

4 . a) Ratkaise epäyhtälö x 7 3 4x. b) Laske integraali x + 1 dx. c) Ratkaise yhtälö x 4 3x 4 = 0. Ratkaisu. a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < 0 x b) Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö x + 1 dx = / 1 0 ln x + 1 = ln ln = ln 0 u 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 u 4 = 0 tai u + 1 = 0 u = 4 Sijoitetaan u = x, saadaan Vastaus: x = ± x = 4 tai x = 1 x = ± u = 1 ei ratkaisua TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

5 3. a) Suoran vektorimuotoinen yhtälö on OP = ī + j + k + t(ī + j + s k), missä t R on suoran parametri. Määritä sellainen luku s, että suora on tasossa 3x + 4y + 5z = 1. b) Olkoon F se funktion f(x) = ( x) 3 integraalifunktio, jolle F (0) = 0. Määritä F (1). Ratkaisu. a) OP = ī + j + k + t(ī + j + s k) Suora on tasossa 3x + 4y + 5z = 1, kun sen kaksi pistettä ovat tasossa. Kun t = 0, niin OP = ī + j + k. Sijoitetaan piste P = (1,, ) tason yhtälöön = 1 1 = 1 tosi Piste (1,, ) on tasossa. Valitaan t = 1. OP = ī + j + k + 1 (ī + j + s k) = ī + j + k + ī + j + s k = 3ī + 3 j + ( + s) k Sijoitetaan piste (3, 3, + s) tason yhtälöön ( + s) = s = 1 5s = 10 : 5 s = Suora kulkee kahden tason pisteen kautta, kun s =. Vastaus: Suora on tasossa, kun s =. b) f(x) = ( x) 3 Määritetään funktio F (x). F (x) = ( x) 3 dx = ( 1) ( 1) ( x) 3 dx = 1 4 ( x)4 + C TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3

6 Määritetään vakio C siten, että F (0) = ( 0)4 + C = C = 0 C = 4 Funktio saa muodon F (x) = 1 4 ( x) Lasketaan funktion arvo, kun x = 1 F (1) = 1 4 ( 1)4 + 4 F (1) = F (1) = TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4

7 4. Funktion f(x) = ax + bx + c kuvaaja kulkee pisteiden ( 1, 1), (0, 5) ja (, 3) kautta. Määritä lausekkeen a + b + c arvo. Ratkaisu. Jokaisen pisteen täytyy toteuttaa paraabelin y = ax + bx + c yhtälö. a ( 1) + b ( 1) + c = 1 a 0 + b 0 + c = 5 a + b + c = 3 a b + c = 1 (1) c = 5 () 4a + b + c = 3 (3) Sijoitetaan () yhtälöihin (1) ja (3). { a b + 5 = 1 4a + b + 5 = 3 { a b = 7 4a + b = 8 { a b = 14 (4) 4a + b = 8 6a = 6 : 6 a = 1 Sijoitetaan a = 1 yhtälöön (4). 1 b = 7 b = 6 ( 1) b = 6 Kysytty summa a + b + c = = 0 Vastaus: Lausekkeen a + b + c arvo on 0. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 5

8 5. Vene A ylittää joen 45 asteen kulmassa nopeudella 16 km/h, ja vene B ylittää joen 30 asteen kulmassa nopeudella 14 km/h. Molemmat kulmat on mitattu joen poikkisuunnasta. Veneet lähtevät yhtä aikaa. Kumpi veneistä pääsee vastarannalle aikaisemmin? Ratkaisu. Joen leveys on x, x > 0. Veneen A nopeus v A = 16 km/h. Veneen B nopeus v B = 14 km/h. Veneen A kulkema matka s A = x cos α = x cos 45 Veneen B kulkema matka s B = x cos β = x cos 30 Veneiden joen ylitykseen käyttämät ajat: t = s v t A = s A v A x/ cos 45 = 16 x = 16 cos 45 = 0, x 0,088x TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 6

9 t B = s B v B x/ cos 30 = 14 x = 14 cos 30 = 0, x 0,08x Koska t B < t A, pääsee vene B aikaisemmin vastarannalle. Vastaus: Vene B pääsee vastarannalle aikaisemmin. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 7

10 6. Monivalintatestissä on 5 väitettä ja kussakin kaksi vastausvaihtoehtoa. Opiskelija tietää oikean vastauksen 10 väitteeseen, mutta joutuu arvaamaan loput. Millä todennäköisyydellä hän läpäisee testin, kun läpipääsyyn vaaditaan 15 oikeaa vastausta? Ratkaisu. Opiskelijan täytyy siis arvata oikein vähintään viiteen tehtävään viidestätoista. Merkitään n = 15 on tehtävien määrä k on oikein arvattujen vastausten määrä p = 1 on todennäköisyys vastata oikein yhteen tehtävään q = 1 on todennäköisyys vastata väärin yhteen tehtävään Kysytty todennäköisyys on P (k 5) = 1 P (k 5) = 1 P (k < 5) vastatapahtuman tn. = 1 P (k = 0 tai k = 1 tai k = tai k = 3 tai k = 4) = 1 [ P (k = 0) + P (k = 1) + P (k = ) + P (k = 3) + P (k = 4) ] Sovelletaan binomitodennäköisyyden kaavaan ( n k) p k q n k, saadaan [ (15 ) ( P (k 5) = ( ) 1 15 ( ) + 15 ) ( ( ) 1 14 ( ) + 15 ) ( 1 ( ) 1 + ( ) ( ( ) 1 1 ( ) + 15 ) ( ( ) 1 ) ] 11 = 1 ( [ 1 15 (15 ) ( ) ) ( ) ( + 15 ) ( ) ] 4 = 0, Vastaus: Opiskelija läpäisee testin todennäköisyydellä 0,94. ) 13 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 8

11 7. Määritä funktion f(x) = cos x 1 cos x suurin ja pienin arvo. Missä pisteissä suurin arvo saavutetaan? Ratkaisu. f(x) = cos x 1 cos x f(x) = cos x 1 ( cos x 1) f(x) = cos x cos x + 1 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva, kun x R. f (x) = sin x ( sin x) cos x = sin x cos x sin x = sin x( cos x 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 0 sin x( cos x 1) = 0 sin x = 0 tai cos x 1 = 0 x = nπ, n Z cos x = 1 : cos x = 1 x = ± π 3 + πn, n Z Osoitetaan, että funktio f(x) on jaksollinen jaksolla π. Kosinifunktio on jaksollinen: joten cos x = cos(x + π) () cos x = cos (x + π), f(x) = cos x cos x + 1 = cos(x + π) cos (x + π) + 1 = f(x + π). Funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittämisessä voidaan siis tutkia suljettua väliä [0, π]. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 9

12 Suljetulla välillä jatkuvan ja derivoituvan funktion suurin ja pienin arvo löytyvät derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. f(0) = cos 0 cos = 1 f ( ) π 3 3 = suurin arvo 4 f(π) = 3 pienin arvo f ( π + π) = f ( 5π ) 3 3 = suurin arvo 3 4 f(π) = 1 Suurin arvo löytyy pisteistä x = ± π 3 + πn, n Z. Vastaus: Pienin arvo on 3 ja suurin arvo on 3 ( 4. Suurin arvo saavutetaan pisteissä ± π 3 + πn, 3 ), 4 n Z. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 10

13 8. Jono (a n ) on aritmeettinen jono. Osoita, että jono (b n ), missä b n = 3 an, on geometrinen. Millä jonoa (a n ) koskevalla ehdolla jono (b n ) on aidosti vähenevä? Ratkaisu. Jono (a n ) on aritmeettinen, joten a n+1 a n = d, d R Tutkitaan kahden peräkkäisen jäsenen suhdetta jonossa (b n ). b n+1 b n = 3an+1 3 an = 3 a n+1 a n = 3 d Peräkkäisten jäsenten suhde on n:stä riippumaton vakio 3 d, joten jono (b n ) on geometrinen. Kaikki jonon (b n ) jäsenet ovat positiivisia, koska b n = 3 an > 0. Lukujono (b n ) on aidosti vähenevä, jos b n+1 < b n. Tutkitaan milloin epäyhtälö on voimassa. b n+1 < b n b n+1 : b n < 1 Sij. b n+1 = 3 d b n b n 3 d < 1 ln() ln 3 d < ln 1 d ln 3 < 0 : ln 3, ln 3 1,1 > 0 d < 0 Vastaus: Jono (b n ) on aidosti vähenevä, kun (a n ) on aidosti vähenevä, eli kun jonon (a n ) peräkkäisten jäsenten erotus d < 0. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 11

14 9. Arkhimedeen lain mukaan vedessä kelluvan esineen syrjäyttämän veden paino ja esineen paino ovat samat. Pyöreästä ja tasapaksusta puutukista jää veden yläpuolelle sen halkaisijasta viidesosa. Määritä tukin tiheys. Veden tiheytenä käytetään arvoa 1,00 kg/dm 3. Ratkaisu. Merkitään halkaisijaa d:llä. x = d 5 x = r 5 Lasketaan keskuskolmion A k ala Sij. d = r Pythagoraan lauseen mukaan y + ( ) 3r = r 5 y = r 9 5 r y = 16 5 r y = ( + ) y = 4 5 r 16 5 r TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1

15 Kolmion pinta-alaksi saadaan Lasketaan kulmat α ja β. A k = y 3 5 r = y 3 5 r = 1 5 r cos α = 3 r 5 r cos α = 3 5 α = 53, β = α = 106,60... Lasketaan sektorin A s ala γ = 360 β Pinnan alle jäävän osuuden pinta-ala: = 53, A s = γ 360 πr A 1 = A k + A s = 1 5 r + γ 360 πr ( 1 = 5 + γ ) 360 π TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 13 r

16 Koko poikkipinta-ala: Tukin tilavuus on nyt A = πr V = A h ja tukin syrjäyttämän veden tilavuus on missä h on tukin pituus. Merkitään V 1 = A 1 h, ρ 1 = 1,00 (kg/dm 3 ) on veden tiheys ρ on tukin tiheys. Kappaleen massa on suoraan verrannollinen kappaleen painoon, joten Arkhimedeen lain mukaan on tällöin ρ 1 V 1 = ρ V ρ 1 A 1 h = ρ A h : h ρ 1 A 1 = ρ A : A ρ = A 1 ρ 1 A ( 1 5 = + γ π) r 360 ρ πr 1 ( 1 5 = + 53, π ) r 360 1,00 πr = 0, ,86 (kg/dm 3 ) Vastaus: Puun tiheys on 0,86 kg/dm 3. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 14

17 10. Suora kulkee kiinteän pisteen (a, b), a > 0, b > 0, kautta ja muodostaa positiivisten koordinaattiakselien kanssa kolmion. Mikä on tällaisen kolmion pienin mahdollinen pinta-ala? Ratkaisu. Suoran täytyy olla laskeva, jotta kolmio muodostuisi, eli k < 0. y-akselin leikkauspiste on (0, B). Määritetään x-akselin leikkauspiste. 0 = kx 0 + B kx 0 = B x 0 = B k : ( k) Kolmion sivujen pituudet ovat x 0 ja B, joten kolmion ala on A = 1 x 0B = 1 ( B ) B = B k k (1) Suora kulkee pisteen (a, b) kautta, joten y b = k(x a) y = kx ak + b Suoran yhtälön vakio B on siis B = ak + b. Sijoitetaan tämä yhtälöön (1), saadaan ( ak + b) A(k) = k = a k abk + b k = 1 a k + ab 1 b k 1 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 15

18 Tehtävänä on etsiä funktion A(k) pienin arvo välillä k ], 0[. Derivaatan nollakohdat A (k) = 1 a b ( 1) k = 1 a + 1 b k 1 a + 1 b k = 0 k a k + b = 0 a k = b : ( a ) k = b a k = ± b a Vain negatiivinen nollakohta on tarkasteluvälillä. Tutkitaan derivaatan merkkiä nollakohdan eri puolilla kohdissa b ja 1 b a a A ( ) b 1 a = a + 1 ( b b ) a Kulkukaavio = 1 a + 1 b a 4 b = 1 a a = 3 8 a < 0 A ( ) b 1 a = a + 1 b = 1 a + 1 b 4a b = 1 a + a = 3 a > 0 ( b ) a TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 16

19 Pienin arvo löytyy kohdasta b. Pinta-ala on tällöin a A ( ( ) b 1 a = a b ) + ab 1 ( a b b ) 1 a = 1 ab + ab + 1 b a b = 1 ab + ab + 1 ab = ab Vastaus: Kolmion pienin mahdollinen pinta-ala on ab. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 17

20 11. Olkoot A, B ja C lauseita. Tutki ovatko lauseet a) A B, b) (A B) (C B) tautologioita. Ratkaisu. a) Vastaus: Ei ole tautologia. b) Vastaus: On tautologia. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 18

21 1. Määritä a siten, että polynomi P (x) = x 4 3x 3 7x + a on jaollinen binomilla x 1. Määritä tätä a:n arvoa vastaavat yhtälön P (x) = 0 juuret. Ratkaisu. Tutkitaan jakojäännöstä Jakojäännöksen täytyy olla nolla, jotta P (x) on jaollinen binomilla x 1. a = 0 a = Kun a =, voidaan P (x) jakaa tekijöihin P (x) = (x 1)(x 3 x 4x ). Ratkaistaan yhtälö Tulon nollasäännön mukaan P (x) = 0 (x 1)(x 3 x 4x ) = 0 x 1 = 0 x = 1 : x = 1 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 19

22 tai x 3 x 4x = 0 Merkitään q(x) = x 3 x 4x. Jaetaan q(x) tekijöihin, jotta yhtälö voidaan ratkaista. Huomataan, että q( 1) = ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1) = 0, joten q(x):llä on nollakohta x = 1 ja siten polynomilla q(x) on tekijälauseen mukaan tekijä x + 1. (Huomautus lukijalle: nollakohta keksittiin kokeilemalla laskimella lukuja 1, 1, ja. Näitä lukuja lähdettiin kokeilemaan, koska q:n vakiotermi on ja vakiotermi on aina juurien tulo.) Edelleen Jakolaskun perusteella saadaan q(x) = (x + 1)(x x ) Yhtälö q(x) = 0 tulee muotoon (x + 1)(x x ) = 0 Tulon nollasäännön mukaan x + 1 = 0 x = 1 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 0

23 tai x x = 0 x = ( ) ± ( ) 4 1 ( ) 1 x = ± 1 x = ± 3 x = 1 ± 3 Vastaus: Oltava a =, jotta P (x) on jaollinen binomilla x 1. Tällä a:n arvolla yhtälön P (x) = 0 juuret ovat x = 1, x = 1 3, x = 1 ja x = TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1

24 13. Määritä sellainen kerroin a, että funktio { ae 3x, kun x 0, f(x) = 0, kun x < 0, on erään satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Mikä on tällöin kertymäfunktion lauseke? Laske P (X t), kun t 0. Ratkaisu. f(x) = { ae 3x, kun x 0, 0, kun x < 0. f(x) on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio, jos ja Lasketaan integraali f(x) dx = = 0 f(x) 0 ae 3x 0 a 0 0 = 0 + a f(x) dx = 1. (1) f(x) dx + 0 dx + ( 1 3 = a 3 lim = a 3 lim b / b e 3x b 0 = a (0 1) 3 = a 3 Jotta ehto (1) täyttyisi, pitää olla a 3 = 1 3 a = 3. f(x) dx ae 3x dx ) 3e 3x dx ( e 3b e 0) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

25 Kertymäfunktio on Kun x 0, on Φ(x) = x f(t) dt. Φ(x) = x 0 = ( 1) = 0 x/ 3e 3t dt x 0 e 3t = (e 3x e 0 ) = 1 e 3x. 3e 3t dt Kun x < 0, on Saadaan Kertymä: Φ(x) = Φ(x) = x f(t) dt = x 0 dt = 0. { 1 e 3x, kun x 0, 0, kun x < 0. P (X t) = 1 P (x t) = 1 (1 e 3t ) = e 3t Vastaus: a = 3, kertymäfunktio on Φ(x) = ja P (X t) = e 3t. { 1 e 3x, kun x 0, 0, kun x < 0 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3

26 14. a) Osoita, että funktiolla f(x) = ln x + x + 1, x > 0, on käänteisfunktio g = f 1. ( p.) b) Määritä käänteisfunktion derivaatta g (). ( p.) c) Missä pisteissä funktion f kuvaaja leikkaa käänteisfunktion kuvaajan? (3 p.) d) Kuinka suuressa kulmassa kuvaajat leikkaavat toisensa? ( p.) Ratkaisu. a) Tutkitaan funktion f(x) kulkua. f(x) = ln x + x + 1 f (x) = 1 x + 1 Derivaatan nollakohdat 1 x + 1 = 0 1 x = 1 x = 1 () 1 Derivaatalla ei ole nollakohtia, kun x > 0, joten se on kaikkialla saman merkkinen. f (1) = ln = 0 + = > 0 Derivaatta on kaikilla x > 0 positiivinen, joten f(x) on aidosti kasvava. Tällöin f(x):llä on käänteisfunktio. b) Käänteisfunktion derivaatalle pätee Tässä tilanteessa y 0 =, joten ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ), kun y 0 = f(x 0 ). f(x 0 ) = ln x 0 + x = ln x 0 + x 0 = 1 Huomataan, että ln = = 1, TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4

27 joten x 0 = 1 on yhtälön ratkaisu. Siten ( ) f 1 1 () = f (1) = = 1 Vastaus: g () = 1 c) Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen, joten kuvaajat leikkaavat niissä kohdissa, joissa ne leikkaavat peilaussuoran y = x. Riittää siis etsiä käyrän y = f(x) ja suoran y = x leikkauspisteet. f(x) = x ln x + x + 1 = x Tällöin y-koordinaatti on y = x = e 1. ln x = 1 e () x = e 1 Vastaus: Funktion f kuvaaja leikkaa käänteisfunktion kuvaajan pisteessä (e 1, e 1 ). d) Tarvitaan kuvaajien tangenttien kulmakertoimet. Ne saadaan derivaattojen arvoista leikkauspisteessä (e 1, e 1 ). f (e 1 ) = 1 e = e + 1 Lasketaan f 1 :n derivaatta kuten b-kohdassa. Nyt f(e 1 ) = e 1, joten ( ) f 1 (e 1 1 ) = f (e 1 ) = 1 e + 1 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 5

28 Tangenttien välinen kulma tan ϕ = k 1 k 1 + k 1k e+1) e e+1 tan ϕ = 1 + (e + 1) 1 e+1 (e + 1) e+1 tan ϕ = e+1 (e + 1) + (e + 1) 1 e+1 (e + 1) tan ϕ = e + e e e + 1 tan ϕ = e + e e + tan ϕ = 1, ϕ = 59,89... Vastaus: Kuvaajat leikkaavat toisensa 59,9 kulmassa. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 6

29 15. a) Miten määritellään tylppäkulmainen kolmio? ( p.) b) Johda kolmion pinta-alan kaava käyttäen hyväksi seuraavia tietoja: Suorakulmion pinta-ala on ab, kun a ja b ovat suorakulmion sivujen pituudet. Suorakulmion lävistäjä jakaa suorakulmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan. (4 p.) c) Johda puolisuunnikkaan pinta-alan kaava. (3 p.) Ratkaisu. a) Tylppäkulmaisessa kolmiossa yksi kulma on suurempi kuin 90. b) Kolmion CDE suurin kulma on E ja se voi olla joko terävä, suora tai tylppä kulma. Piirretään kolmion ympärille suorakulmio ABCD. Määritetään kolmion CDE pinta-alan lauseke pituuksien h ja a avulla. Suorakulmion AEF D pinta-ala on A 1 = a 1 h. Suorakulmion EBCF pinta-ala on A = a h. Kolmion DEF pinta-ala on Kolmion CEF pinta-ala on A 3 = A 1 = a 1h. A 4 = A = a h. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 7

30 Kolmion CDE pinta-ala on A = A 3 + A 4 A = a 1h + a h A = a 1h + a h A = (a 1 + a )h A = ah Johdetaan seuraavaksi pinta-alan kaava tapauksessa, jossa korkeusjana on suorakulmaisen kolmion kateetti. Jos kolmio ABD on suorakulmainen ja A = 90, niin kateetit ovat sivut AB ja AD. Suorakulmion ABCD pinta-ala on tällöin A 1 = ah ja kolmion ABD pinta-ala A = A 1 A = ah Johdetaan edellisiä tuloksia hyväksi käyttäen pinta-ala vielä siinä tapauksessa, jossa korkeusjana tulee kohtisuorasti kannan jatkeelle. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 8

31 Kolmion kanta a = a a 1. Kolmion ADE pinta-ala on A 1 = a 1h Kolmion BCD pinta-ala on A = a h Suorakulmion ABCD pinta-ala on A s = a h Kolmion BDE pinta-ala A saadaan vähentämällä suorakulmion ABCD pintaalasta kolmioiden ADE ja BCD alat, eli A = A s (A 1 + A ) ( a1 h A = a h + a ) h A = a h a 1h A = (a a 1 ) h Sij. a a 1 = a A = ah TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 9

32 c) Täytyy tutkia kaksi tapausta Tapaus 1 Tapaus Kolmion ABD pinta-ala on molemmissa tapauksissa A 1 = ah. Kolmion BCD pinta-ala on molemmissa tapauksissa A = bh. Puolisuunnikkaan ABCD pinta-ala on molemmissa tapauksissa A = A 1 + A A = ah + bh ah + bh A = A = 1 (a + b)h TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 30

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lyhyt matematiikka, syksy 015 Mallivastaukset, 3.9.015 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten? Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Yleistä 1. Ratkaise yhtälöt. a) n n n n n 5 b) x 3 x 1 5 5 5 5 5 5 x 1 0 x c). Suureet x ja y ovat

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Kertauskirja Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA 0 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Tehtäväsarjoja

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Pitkän matematiikan kertaustehtävät

Pitkän matematiikan kertaustehtävät Pitkän matematiikan kertaustehtävät Kurssit 1-10 Tehtäväpaketti soveltuu erityisen hyvin koko pitkän matematiikan pakollisen oppimäärän kertaamiseen lyhyessä ajassa. Asioiden käsittelyjärjestys ja kappalejako

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot