PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka

Transkriptio

1 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti [merkittynä ), ) jne], niin on vstttv niihin jokiseen ) J inomi 8 tekijöihin 4 ) Määrää luvust 7 c) Sievennä log ( ) Rtkise yhtälöt Ann vstuksen trkt rvot ) ) c) ln( ) Olkoon f( ) = - Määrää ) f () e ) d 4 Sievennä luseke Millä vkioiden j rvoill pisteet (,,), (,,) j (,6,) ovt smll suorll? 6 Olkoon ympyrän säde tsn ) Tämän ympyrän sisään on piirretty säännöllinen stkulmio siten, että stkulmion jokinen kärki on ympyrän kehällä Lske tämän monikulmion piiri ) Smn ympyrän ulkopuolelle on myös piirretty säännöllinen stkulmio siten, että stkulmion jokinen sivu on ympyrän tngentti Lske myös tämän monikulmion piiri c) Lske vkion likirvo neljän desimlin trkkuudell käyttäen vuksi koht ) Ann vstukset neljän desimlin trkkuudell

2 7 Ongen kohon puniseksi värjätty yläos on puolipllon muotoinen j vlkeksi värjätty los ympyräkrtion muotoinen Punisen j vlken osn tilvuus on yhtä suuri Lske punisen osn pint- ln suhde koko kohon pint- ln Ongen kohoss puolipllon j ympyräkrtion pohjympyrät ovt liimttu vstkkin j pint- lojen lskemisess ei tämän pohjympyrän l huomioid, ei myöskään huomioid kuvss näkyvää must tppi eikä kohon sisällä olev reikää Kuv: Yle/Rine Mrtikinen 8 Ruutupperill on ruuturiviä Jokisess rivissä on ruutu Värjätään kksi ruutu Millä todennäköisyydellä värjätyt ruudut koskettvt toisin vähintään yhdessä pisteessä? t sinifunktion T ( t) sin( ) 4 mukisesti kellojn funktion Minä kellonikoin lämpötil ksv voimkkimmin? 9 Huoneen lämpötil vihtelee välillä,c;, C Muodost niiden ympyröiden yhtälöt, jotk sivuvt suori y = +, y = + j + y = ) Mikä on luvun 7 viimeinen numero? ) Montko numero luvuss 7 on? Energijuomtölkki on ympyrälieriön muotoinen j tehty pellistä Tölkin pohjn j knnen pksuus on kksinkertinen vippn verrttun Mikä olisi oltv tölkin pohjn hlkisijn j korkeuden suhde, jott tölkki olisi ekologisesti oikein vlmistettu eli pellin kulutus olisi mhdollisimmn pieni Määrää keskeisdifferenssillä funktion f ( ) ln derivtn f (e) likirvo käytettäessä vkiolle h rvo, Montko % tämä likirvo ero trkst rvost? f ( h) f ( h) Keskeisdifferenssin luseke on h

3 4 Tiedämme, että positiivinen luku on kääntäen verrnnollinen positiivisen luvun y kuutioon Tiedämme myös, että piste (,) on funktion y = f() piste ) Määrää y, kun 6 p 4 ) Määrää funktion y = f() luseke j piirrä funktion kuvj p c) Määrää funktion y = f(), - kselin j suorien = sekä = 8 rjoittmn lueen l A p d) Määrää sen suorn yhtälö, jok jk lueen A pint- lltn khteen yhtäsuureen osn p Summ s ( ) e e muodost päättymättömän srjn ) Määrää suppenemisehto p ) Millä muuttujn rvoill s() <,? p c) Määrää s ( ) d 4p

4 RATKAISUT ) 8 ( 9 ) p = (+ )(- ) Jos otettu vin yhteiseksi j stu ) 8 ( 8 ) - = - niin p c) log ( ) log ( ) lo Vstus: ) ( )( ) ) c) ) p 4 Likirvortkisuist -p ) ( ) ( ) Jos stu vstukseksi ti -,87, niin -p 8 c) ln( ) e e Vstus: ) = -4 ) 7 c) e 8 ( ) ( ) ) Funktion f ( ) derivtt f ( ) p ( ) ( )

5 jost stu f ( ) ( ) g( ) ) Käytetty kv d ln g( ) g( ) e j stu luksi e d ln / e (ln ln ) (ln e ln) ( ) Integrlimerkintöjen virheistä -p e Vstus: ) f ( ) ) d 4 Jettu nimittäjät tekijöihin Lvennettu smnnimiseksi j stu ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) p +p = ( ) = Vstus: - + Merkitään A = (,,), B = (,,) j C = (,6,) Pisteet A = (,,), B = (,,) j C = (,6,) ovt smll suorll, jos Vektorit AB ll AC p AB i j k j AC ( ) i 6 j k Vektoreiden yhdensuuntisuusehdost AC r AB stu ( ) i 6 j k r( i j k), r jost stu yhtälöryhmä 6 r r Sijoittmll ensimmäinen yhtälö toiseen yhtälöön, sdn yhtälö 6, jost sdn = - ti =

6 Ensimmäisestä j kolmnnest yhtälöstä sdn = - = - ti = = Jos käytetty sääntöä AB ll AC AB AC, niin -p Vstus: = - j = - ti = j = 6 ) Stkulmio muodostuu sdst tskylkisestä kolmiost, 6 missä kylkinä on ympyrän säde j huippukulm, 6 p Tämän kolmion knnksi sdn esim cosiniluseell,688, jolloin piiri on 6,88 6,8 ) Stkulmio muodostuu sdst tskylkisestä kolmiost, joss knnlle piirretty 6 korkeus on säde j huippukulm on, 6 Korkeus jk tämän kolmion khteen yhtenevään suorkulmiseen kolmioon,6 Lskettu knnn puoliks yhtälöstä tn, jost stu stkulmion piiriksi 6,89 6, 8 c) Merkitty stkulmion piiri yhtä suureksi kuin ympyrän kehä, jost stu vkion likirvoksi,46 +p Vstus: ) Piiri on 6,8 ) Piiri on 6,8 c) Vkion likirvo on,46 7 r r h, p jost stu krtion korkeus h = r Puolipllon pint- l on r j krtion vipn pint- l on rs r r (r) r, joten kysytty suhde on = + pr pr + pr Vstus: + 8 Merkitään ensimmäiseksi värjättyä ruutu kirjimell A j toisen värjättyä ruutu kirjimell B A:ll on eri tyyppistä pikk p : A:ll on 4 nurkkpikk sdst mhdollisest Jos A on nurkss, 4 niin B:llä on suotuis pikk, joten P 99 : A:ll on tpuksen lisäksi reunpikk, jolloin B:llä on suotuis pikk, joten P 99 : Muit kuin reunpikkoj A:ll on 64, jolloin B:llä on 8 suotuis pikk, joten

7 64 8 P Kysytty todennäköisyys on P P P,6999 6,9% p Jos vstus murtolukumuodoss, niin -p Vstus: 6,9% 9 Lämpötil ksv voimkkimmin, kun T (t) on suurin p t Lämpötilfunktion derivtt on T ( t) cos( ) 4 4 T (t) on suurin, kun cos( ) 4 t t cos( ) n 4 4 Û t= - + n 8, jost stu kellonjoiksi 6, 4 j Vstus: Kellonjt 6, 4 j Huomttu, että suort y = +, y = + ovt yhdensuuntisi, jolloin ympyrän hlkisij on suorien etäisyys y c Pisteen (, y) etäisyys suorst + y + c = sdn kvll d Suorlt y = + vlitn esimerkiksi piste, ) = (,), jonk etäisyydeksi ( y suorst y + = on stu, jolloin ympyrän säde r Huomttu, että ympyrän keskipiste on yhdensuuntisten suorien puoless välissä olevll suorll y = + j tämä keskipiste (, y) = (, + ) on säteen r etäisyydellä suorst + y =, ( ) joten p, jost ti j y = - ( ) + = 4 ti y = - ( ) + = Ympyrän yhtälöiksi stu ( ) ( y 4) ti ( ) ( y ) Vstus: ( ) ( y 4) ti ( ) ( y ) Merkitään 7, jolloin lg lg 7 lg 7 84,984, p 84,984 84, joten 9,87,

8 joten luvuss 7 on 84 numero Kosk 7 49 (mod), niin 7 (7 ) ( ) (mod) Kosk ( ), niin 7 (mod), joten luvun Vstus: Luvuss on 84 numero Luvun viimeinen numero on Olkoon tölkin pohjympyrän säde r j korkeus h 7 viimeinen numero on Tällöin tilvuus V r h j käytetty pellin määrä A= 4pr + prh p V Lskettu tilvuuden lusekkeest h r j sijoitettu se pellin määrän lusekkeen j stu V V A( r) 4r r 4 r, missä r > r r 8r V V A (r), jost nollkohdksi stu r r 4 Perusteltu, että stu nollkoht on mksimikoht Stu pohjn hlkisijn j korkeuden suhteeksi V 4 V ( V ) 4 = Vstus: ln( e,) ln( e,) Derivtn f (e) likirvo on p, Lskimell stu likirvoksi,89978,89 Stu f ( ) (ln( )), ln jost f ( e) e ln e e,89978 Likirvo ero trkst rvost e %,98% e Vstus: Likirvo on,89 Likirvo ero trkst rvost,98% 4

9 y ) Stu suhde, p 6 4 jost y = y ), jost 4 y Kuvj piirretty 8 8 / c) Aln luseke A 4 d 4 7 = 7 (4 ) d) Pystysuor suor = jk pint- ln khteen yhtäsuureen osn, jos 4 7 d 4 / ( ) ( ) 4 4 9, 8 joten 4 Jos suorn yhtälö, niin p p 4 Vstus: ) 6 ) y c) 4 d) y 4 4 ) suppenee, kun q eli kun e, p jost stu < e ) Stu epäyhtälö, e, e,

10 6,987 6,9 c) e s ( ) d d e / ln e ln e ln e Nyt smme s( ) d lim ( lim ( s( ) d)) lim ( ln e ) lim ln e )) ( ) joten s ( ) d ei ole äärellisenä olemss Vstus: ) < ) < -6,9 c) s ( ) d ei ole äärellisenä olemss