Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / 3

Transkriptio

1 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on useampia kohtia [merkittynä a, b jne], niin on vastattava niihin jokaiseen a Ratkaise yhtälö = b Ratkaise yhtälö 5 7 = m 7 = c Ratkaise yhtälöpari 9n n 8m = 77 a Määritä sin d fmm b Derivoi muuttujan r suhteen funktio G ( r = r c Millä vakion a arvoilla käyrä a 5 + y a y 9 = kulkee pisteen (-, kautta? a Kolmion sivut ovat, ja Laske kolmion suurin kulma b Suorakulmion pituus kasvaa 5 % ja pinta- ala kasvaa 7, % Miten muuttuu suorakulmion leveys? Virtuaalihenkilöillä Romeo ja Julia on salainen kohtaamispaikka Romeo lähtee paikasta (5, vektorin i + j suuntaan nopeudella 5 yksikköä minuutissa ja Julia paikasta (-, vektorin i + 9 j suuntaan samalla nopeudella Määritä kohtaamispaikan P koordinaatit 5 Kolmion kaksi sivua ovat ja Näiden sivujen välisen kulman α puolittaja jakaa kolmion kahteen osaan Laske pinta- alojen suhteen tarkka arvo 6 a Laske luvut (((( ja b Ratkaise yhtälö log = a c Määritelmä: a tetra = a a = a, a tetra = a = a a jne Laske 5 Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa missä a < n a,

2 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / 7 Alla olevassa kuvaajassa on funktion y = f ( derivaattafunktion y = f ( kuvaaja a Määritä funktion y = f ( ääriarvokohdat ja ääriarvon laatu b Millä muuttujan arvolla funktion kasvu on voimakkainta? c Määritä derivaattafunktion kuvaajan avulla f ( 78 y y=df( a Ilmoita ympyrän + y + a + by + c = keskipiste ja säde parametrien a, b ja c avulla b Määritä parametrin c arvot, kun ympyrän + y + a + by + c = keskipiste on (, 9 Funktio f ( = 7, koordinaattiakselit ja suora = rajoittavat alueen Suora = a jakaa alueen kahteen yhtäsuureen osaan ja samoin tekee suora y = b Tällöin piste P = (a, b on painopiste Määritä P Terässäiliön tilavuus on, m Säiliö on muodostunut ympyrälieriöstä (korkeus h ja pohjan säde r, jonka molemmissa päissä on puolipallo (säde r Määritä säde r siten että säiliön rakentamiseen kuluu mahdollisimman vähän terästä? Funktio ϕ( = e on normitetun normaalijakautuman tiheysfunktio N (, a Määritä Simpsonin säännöllä integraalin arvo ϕ ( d Käytä jakoväliä, b Vertaa saamaasi integraalin arvoa arvoon, jonka saat käyttämällä apuna taulukkokirjan lukuarvoja Lukujono sin,sin, on geometrinen a Määritä jonon viiden ensimmäisen jäsenen summa b Millä muuttujan arvoilla sarja sin + sin + suppenee ja mikä on sarjan summa?,

3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Origenes (85 5 oli yksi merkittävimmistä varhaisen kristillisen kirkon kirkkoisistä Muuta hänen kuuluisa päättelyketjunsa Jos minä tiedän olevani kuollut, olen kuollut ja jos minä tiedän olevani kuollut, olen elossa, jotenka minä en tiedä olevani kuollut logiikan kielelle Onko hänen päättelyketjunsa loogisesti pätevä (tautologia? (Viereisessä kuvassa Origenes varhaiskeskiaikaisessa kuvassa, määritellyllä funktiolla f ( ( + on käänteisfunktio y = f ( p (* Todista, että välillä [ 8] b Millä muuttujan arvoilla käänteisfunktio y = f ( on määritelty? Mitä arvoja saa funktio f ( ( + ja mitä arvoja saa käänteisfunktio? p c Määritä käänteisfunktio y = f ( p d Todista, että funktion f ( ( + ja sen käänteisfunktion yhdistetty funktio on identiteettifunktio I ( = ja todista, että käänteisfunktion ja funktion yhdistetty funktio on myös identiteettifunktio I ( = p e Määritä ( f (6 ratkaisematta käänteisfunktiota y = f ( p 5(* Kuutio, jonka kärjet ovat (,,, (5,,, (5,5,, (,5,, (,,5, (5,,5, (5,5,5 ja (,5,5 on, y, z- koordinaatistossa Kuutio on muodostunut 5:stä pikku kuutiosta, joiden särmä on yksikkö Valitaan satunnaisesti pikku kuutiota alkuperäisestä kuutiosta a Millä todennäköisyydellä molemmat palat ovat nurkkapaloja? p b Millä todennäköisyydellä kumpikaan paloista ei ole kuution sivutahkoilla? p c Millä todennäköisyydellä nämä kuutiota koskettavat toisiaan? 5p

4 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka / a Ratkaise yhtälö = 5 7 = m 7 = 9n n 8m = 77 b Ratkaise yhtälö c Ratkaise yhtälöpari a Kerrottu luvulla ja saatu = ( =, p josta saatu = tai = b Saatu = 5, josta = = = 7 c m m 7 m = 9n n = n = 7 7 m 8m = 77 9n 8m = m = 77 7 m 7 n = n = 7 7 9m 8m = 77 m = 7 n = m = 7 Vastaus: a = tai a Määritä sin d = b b Derivoi muuttujan r suhteen funktio = c m = 7 ja n = fmm G ( r = r a 5 + y a y 9 = kulkee pisteen, c Millä vakion a arvoilla käyrä ( kautta? a sin d = sin d = / ( cos = ( cos( ( cos( = ( ( ( = <p

5 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka / b f ( r = = fm m r, josta c Piste, josta = fm m r fmm f ( r = fm m ( r = fmm r = r ( sijoitettu käyrän yhtälöön ja saatu yhtälö a + a =, a tai a = fm Vastaus: a b m f ( r = c a = tai a = r a Kolmion sivut ovat, ja Laske kolmion suurin kulma b Suorakulmion pituus kasvaa 5 % ja pinta- ala kasvaa 7, % Miten muuttuu suorakulmion leveys? a Pisintä sivua vastaa suurin kulma Käytetty kosinilausetta ja saatu = + cosα, p + josta cosα =, josta suurin kulma α =,575, 5 b Suorakulmion pituus on a ja leveys b Pituudesta tulee,5a ja pinta-alasta ab tulee,7ab,,7ab joten saamme yhtälön,5a =, 7ab, josta = =,9 b,,5a joten leveys tulee,9 - kertaiseksi eli leveys pienenee 7, % Vastaus: a suurin kulma,5 b 7, % Virtuaalihenkilöillä Romeo ja Julia on salainen kohtaamispaikka Romeo lähtee paikasta (5, vektorin i + j suuntaan nopeudella 5 yksikköä minuutissa ja Julia paikasta (-, vektorin i + 9 j suuntaan samalla nopeudella Määritä kohtaamispaikan P koordinaatit Saatu paikkavektorit OP = 5i + j + r( i + j ja OP = i + j + s( i + 9 j, p josta 5i + j + r( i + j = i + j + s( i + 9 j ( 8 r s i + (+ r 9s j =, 8 r s = r = josta saatu yhtälöpari, josta +p + r 9s = s = 6 Saatu paikkavektoriksi OP = i + j + 6( i + 9 j = 7 i + 56 j, joten P = (7,56 +p Hyväksytään myös analyyttisen geometrian mukainen tarkastelu Vastaus: P = (7,56

6 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka / 5 Kolmion kaksi sivua ovat ja Näiden sivujen välisen kulman α puolittaja jakaa kolmion kahteen osaan Laske pinta- alojen suhteen tarkka arvo Olkoon puolittajan pituus a ja saatu esimerkiksi isomman kolmion alaksi a sin α p ja pienemmän kolmion alaksi a sin α +p α α Saatu kysytyksi suhteeksi ( a sin : ( a sin α = : +p Vastaus: (((( ja 6 a Laske luvut b Ratkaise yhtälö log = a c Määritelmä: a tetra = a a = a, a tetra = a = a a jne Laske 5 Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa, missä a < n a a b c (((( = = = ,9 9 p = = =, log = =, 9 josta =,7 9, 5 Olkoon = = = = = =, jolloin lg = lg = 6556 lg = 978,79, josta 978,79, = =,, 978 Vastaus: a b (((( 9 5, c 9,9 ja 978,,

7 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka / 7 Alla olevassa kuvaajassa on funktion y = f ( derivaattafunktion y = f ( kuvaaja a Määritä funktion y = f ( ääriarvokohdat ja ääriarvon laatu b Millä muuttujan arvolla funktion kasvu on voimakkainta? c Määritä derivaattafunktion kuvaajan avulla f ( y y=df( a Koska y = f ( muuttuu negatiivisesta positiiviseksi kohdassa, 65, niin funktiolla y = f ( on tässä kohdin minimi p Koska y = f ( muuttuu positiivisesta negatiiviseksi kohdassa, 65, niin funktiolla y = f ( on tässä kohdin maksimi b Kohdassa = derivaattafunktio on positiivinen ja suurimmillaan, joten funktio y = f ( tässä kohdassa kasvaa voimakkaimmin +p c Alla olevan kuvion kolmiosta ABC 7, saamme kohdassa = tangentin kulmakertoimeksi =,,75, joten f (, y C y=df( A B y=-+ =; <y<7 Vastaus: a Maksimikohta:, 65 ja minimikohta:, 65 b = c f (,

8 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka 5 / 8 a Ilmoita ympyrän + y + a + by + c = keskipiste ja säde parametrien a, b ja c avulla b Määritä parametrin c arvot, kun ympyrän + y + a + by + c = keskipiste on (, a b a b a Saatu neliöimällä ( ( + ( y ( = ( + ( c, p a b a b josta saatu keskipisteeksi (, ja säteeksi + c, a b missä + c > b Yhtälöstä = saatu a = 6a ja yhtälöstä = saatu b = 8, ( 6 ( 8 joten + c >, 6 6 joten c < + c < 5 a b a b a b Vastaus: a Keskipiste (, ja säde + c missä + c > b c < 5 9 Funktio f ( 7 =, koordinaattiakselit ja suora = rajoittavat alueen Suora = a jakaa alueen kahteen yhtä suureen osaan ja samoin tekee suora y = b Tällöin piste P = (a, b on painopiste Määritä P Funktion saatu f ( = 7, koordinaattiakselien ja suoran = rajoittaman alueen pinta- alaksi ( 7 d = /(7 = p a Suora = a rajaa pinta -alan kahtia, joten (7 d = 6, a josta /(7 = 6 a + 7a 6 = a = Vakion b laskemiseksi on integroitava muuttujan y suhteen 7 y Yhtälöstä y = 7 saatu = y 7 65 Koska suora y = b rajaa pinta-alan 6 kahtia, niin oheisen kuvion perusteella ( = 6 b =(7/-(/y 5 Ala = 6 tai a = 6, josta a = kelpaa 5 y dy, 5 5 y=b 5 5 Ala =

9 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka 6 / 7 /( b 7 y y = josta saatu ( 7 7 ( b 7 5 b b + = josta saatu b = 7 6 b = 7 + 6, b = 6, joista b = 7 6 hyväksytty Painopisteeksi P saatu (,7 6 Tehtävä hyväksytään myös geometrisena tarkasteluna Vastaus: P = (,7 6 Terässäiliön tilavuus on Säiliö on muodostunut ympyrälieriöstä (korkeus h ja pohjan säde r, jonka molemmissa päissä on puolipallo (säde r Määritä säde r siten että säiliön rakentamiseen kuluu mahdollisimman vähän terästä? r Saatu yhtälö r + r h =, josta h = r p r Pinta- alafunktioksi saatu A( r = r + rh = r + r, missä r >, r joka sievenee muotoon A( r = r +, r 8 8r 6 josta saatu derivaataksi A ( r = r =, r r josta saatu derivaatan nollakohdaksi r = =, 65», 6 p Perusteltu esimerkiksi kulkukaaviolla, että r = on minimikohta +p Vastaus: r = Funktio ϕ( = e on normitetun normaalijakautuman tiheysfunktio N (, a Määritä Simpsonin säännöllä integraalin arvo ϕ ( d Käytä jakoväliä,, b Vertaa saamaasi integraalin arvoa arvoon, jonka saat käyttämällä apuna taulukkokirjan lukuarvoja

10 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka 7 / a Osavälin pituus h =, ja osavälejä on 6 kpl Simpsonin säännöllä saadaan integraalin, ϕ ( d likiarvoksi, ( ϕ ( + ϕ(, + ϕ(, + ϕ(,6 + ϕ(,8 + ϕ(, + ϕ(, p, = ( e + e,, + e + e,8,, + e + e + e =,89,89,6, b Taulukkokirjan avulla saatu ϕ ( d = Φ(, Φ(,889,5 =, 89 Arvot ovat neljän merkitsevän numeron tarkkuudella samat +p Vastaus: a,89 b,89 Arvot ovat neljän merkitsevän numeron tarkkuudella samat Lukujono sin,sin, on geometrinen a Määritä jonon viiden ensimmäisen jäsenen summa b Millä muuttujan arvoilla sarja sin + sin + suppenee ja mikä on sarjan summa? a Koska jono on geometrinen, niin peräkkäisten jäsenten osamäärä sin sin cos q = = = cos, sin sin p 5 5 a( q sin ( ( cos joten s5 = = q cos b Koska q = cos, niin vaadittu ehto on cos <, joten < cos < Epäyhtälön ratkaisuksi saatu + n < < + n, missä n Z sin Sarjan summaksi saatu cos 5 sin ( ( cos sin Vastaus: a s5 = b + n < < + n, missä n Z Summa cos cos

11 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka 8 / Origenes (85 5 oli yksi merkittävimmistä varhaisen kristillisen kirkon kirkkoisistä Muuta hänen kuuluisa päättelyketjunsa Jos minä tiedän olevani kuollut, olen kuollut ja jos minä tiedän olevani kuollut, olen elossa, jotenka minä en tiedä olevani kuollut logiikan kielelle Onko hänen päättelyketjunsa loogisesti pätevä (tautologia? (Viereisessä kuvassa Origenes varhaiskeskiaikaisessa kuvassa Merkitty A: Tiedän olevani kuollut ja B: Olen kuollut p ja A: En tiedä olevani kuollut sekä B : En ole kuollut En ole kuollut tarkoittaa, että olen elossa Formalisoitu Origeneksen päättelyketjuksi ( A B ( A B A +p Saatu alla oleva totuusarvotaulukko A B A B A B A B ( A B ( A B, joten lause ( A B ( A B A saa vain ykkösiä, joten lause ( A B ( A B A on tautologia Vastaus: ( A B ( A B A, missä A: Tiedän olevani kuollut ja B: Olen kuollut Origeneksen päättelyketju on loogisesti pätevä (tautologia (* a Todista, että välillä[,8] määritellyllä funktiolla f ( ( + on käänteisfunktio y = f ( p b Millä muuttujan arvoilla käänteisfunktio y = f ( on määritelty? Mitä arvoja saa funktio f ( ( + ja mitä arvoja saa käänteisfunktio? p c Määritä käänteisfunktio y = f ( p d Todista, että funktion f ( ( + ja sen käänteisfunktion yhdistetty funktio on identiteettifunktio I ( = ja todista, että käänteisfunktion ja funktion yhdistetty funktio on myös identiteettifunktio I ( = p e Määritä ( f (6 ratkaisematta käänteisfunktiota y = f ( p a Saatu f ( = > määrittelyjoukossaan, ( + ln joten f( on aidosti kasvava, joten y = f ( on olemassa p b Koska f ( ( + on aidosti kasvava ja jatkuva, niin funktion pienin arvo on 8 f ( ( + = ja suurin arvo f (8 ( = 8, joten jatkuva funktio saa kaikki arvot väliltä [,8]

12 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka 9 / c Koska y f ( = f ( y y log (+ y y f ( = y ( + = + = =, joten y = f ( = =, niin käänteisfunktio on määritelty välillä [,8] ja käänteisfunktio saa kaikki arvot väliltä [,8] d Funktion f ( ( + ja sen käänteisfunktion yhdistetty funktio on f ( f ( = f ( ( ( + = ja käänteisfunktion ja funktion yhdistetty funktio on log + ( f ( f ( = f (log( + = = ( + = e Koska y = f ( = f ( y, niin y = 6, joten 6 ( +, joten 6ln/ 6 log (+ = + = 6 = 6 6 Koska ( f ( y =, niin ( f (6 = = = = f ( f ( ln ln ln + Vastaus: a Koska funktio f ( ( + on aidosti kasvava, niin y = f ( on olemassa b Funktio saa kaikki arvot väliltä [,8] Käänteisfunktio on määritelty välillä [,8] ja käänteisfunktio saa kaikki arvot väliltä [,8] c f ( = d f ( f ( = ja 6 6 f ( f ( = e ( f (6 = tai vaihtoehtoisesti ( f (6 = ln 8 ln 5(* Kuutio, jonka kärjet ovat (,,, (5,,, (5,5,, (,5,, (,,5, (5,,5, (5,5,5 ja (,5,5 on, y, z- koordinaatistossa Kuutio on muodostunut 5:stä pikku kuutiosta, joiden särmä on yksikkö Valitaan satunnaisesti pikku kuutiota alkuperäisestä kuutiosta a Millä todennäköisyydellä molemmat palat ovat nurkkapaloja? p b Millä todennäköisyydellä kumpikaan paloista ei ole kuution sivutahkoilla? p c Millä todennäköisyydellä nämä kuutiota koskettavat toisiaan? 5p 8 a Ensimmäinen pala on nurkassa todennäköisyydellä 5 p 7 ja toinen on nurkassa todennäköisyydellä, joten molemmat palat ovat nurkkapaloja todennäköisyydellä = = b Paloja, jotka eivät ole kuution sivutahoilla on = 7 ja kaikkia paloja on 5, 7 joten ensimmäinen pala ei ole sivutaholla todennäköisyydellä 5 6 ja toinen pala ei ole sivutaholla todennäköisyydellä,

13 Preliminäärikoe Ratkaisut Pitkä matematiikka / joten kumpikin pala ei ole sivutahoilla todennäköisyydellä = = c Tapaus : 8 Ensimmäinen pikku kuutio on nurkassa ( P = Toisen kuution on oltava ensimmäisen vieressä ( P = = Molempien ehtojen on oltava voimassa, joten P(Tapaus = 5 Tapaus : Ensimmäinen pikku kuutio on ison kuution reunasärmällä, 6 mutta ei nurkassa ( P = = Toisen kuution on oltava ensimmäisen vieressä ( P = = 5 6 Molempien ehtojen on oltava voimassa, joten P(Tapaus = 5 Tapaus : Ensimmäinen pikku kuutio on jollakin kuudesta sivutahosta, mutta ei ison kuution reunasärmällä eikä nurkassa ( P = = Toisen kuution on oltava ensimmäisen vieressä ( P = = Molempien ehtojen on oltava voimassa, joten P(Tapaus = 5 Tapaus : Ensimmäinen pikku kuutio ei ole ison kuution sivutaholla ( P = = Toisen kuution on oltava ensimmäisen vieressä ( P = = Molempien ehtojen on oltava voimassa, joten P(Tapaus = 5 Tai- säännöllä saamme yhdistettyä kaikki tapausta: P = = = = Vastaus: a 875 b c