Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Transkriptio

1 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson niiden pisteiden ur, jotk ovt htä etäällä kiinteästä pisteestä, polttopisteestä j nnetust suorst (johtosuorst. ********************************************** Toisen steen htälön tikk vrsinkin toisen steen epähtälön htedessä on tutustuttu prbeliin, jok kenties on mprän jälkeen tärkein tsokärä. Viivn pisteet kiketi toteuttvt jonkun htälönkin, jok sdn ksinkertisimmksi vlitsemll polttopiste -kselilt j johtosuor x-kselin suuntiseksi siten, että origo on htä etäällä kummstkin. Tällöin origo on urn ksi piste. Tehdään selliset vlinnt, että mer- kitään polttopistettä F = (0, 4, jolloin johtosuorn htälö on P = (x, = 4, missä vkio > 0. F = (0, 4 Jott piste P = (x, olisi prbelin piste, tulee oheisen kuvn merkinnöin oll jnojen PF j PA htä pitkät. Jos luksi oletetn, kuten kuviosskin A = (x, 4 on, että polttopiste sijitsee johtosuorn läpuolell, niin ehto PF = PA sdn lgebrlliseen muotoon (x 0 + ( x 4 = + 4 neliöönkorotusehto + + = x = eli = x voimss

2 Joskus tilnne onkin niin päin, että johtosuor on polttopisteen läpuolell eli johtosuorn htälö on = j polttopiste F = ( 0,, missä > 0, päädtään 4 4 ivn vstvnlisell menettelllä htälöön x =. Kertomll kummtkin näin sdut htälöt puolittin vkioll, sdn kuvttuun polttopiste-johtosuorvlintn liittvän prbelin htälöksi = ± x (* missä otetn + merkki silloin, kun prbeli vutuu löspäin j merkki silloin, kun se vutuu lspäin. Toist stett olevn muuttujn termin kertoimen vikutus prbelin muotoon on sellinen, että prbeli on hvin kpe, jos on itseisrvoltn suuri, mutt on toislt sitä leveämpi, mitä lähempänä noll on :n itseisrvo. Jos prbelin htälö on muoto (*, niin vkio nt helposti polttopisteen -koordintin j möskin johtosuorn htälön. Esim. Määritä prbelin = 8x polttopiste j johtosuor. Kun prbelin htälöä lähdettiin johtmn, vlittiin polttopisteelle koordintit (0,, joten polttopisteen -koordintille sdn 4 htälö: = = 4( 8 3 Johtosuorn htälö puolestn on = =. 4( 8 3 Johtosuor on nt polttopisteen läpuolell, j prbeli uke lspäin. Vstus: Polttopiste F = (0, j johtosuor =. 3 3

3 Jo toisen steen epähtälöitä käsiteltäessä huomttiin että prbeli hvin hrvoin kulki origon kutt niin, että -kseli olisi ollut prbelin smmetri-kseli. Näin onkin vin j inostn silloin, kun prbelin htälö on muoto (* eli siinä ei ole linkn muuttujn x ensisteist termiä eikä vkiotermiä. Siirretään nt prbeli = x niin, että sen huippu (piste, jok ennen oli origoss tulee pisteeseen ( xo, o suoritten siirto kuitenkin niin, ettei prbelin smmetri-kselin suunt muutu. Prbeli ei siis kllistell. Asetetn kuvn toinen koordintisto siten, että sen origo tulee pisteeseen ( xo, o j merkitään tätä uutt koordintisto x. Piirretllä prbelill on kummsskin koordintistoss om htälönsä j ilmeisesti uudess koordintistoss se on = x = x x 0 x P = (x, (x, = x ( 0 x0, x 0 x Pisteellä P on khdet koordintit riippuen siitä, kummn koordintiston knnlt si ktselln. Sen x-koordintti vnhss x-koordintistoss on x, mutt tämä x on smll summ, jonk termit ovt uuden koordintiston origo vkkoordintti x 0 sekä pisteen x-koordintti uudess koordintistoss x, elikkä x = x0 + x. Vstvsti sdn = 0 +. Rtkistn näistä khdest pisteen P pilkulliset koordintit j sijoitetn ne htälöön = x :

4 x = x x0 = 0 0 = (x x0 Suoritetn tässä htälössä neliöön korotus j termien siirto: 0 = (x xx0 + x0 = x xx0 + x0 + 0 Tässä kikki lindeksein merkitt smbolit ovt tietn prbelin knnlt vkioit j voidn ne korvt muill vkioill: b = x0 j c = x0 + 0 jolloin voidn kirjoitt, jott sellisen prbelin, jonk (smmetri-kseli on -kselin suuntinen, htälö voidn in stt muotoon = x + bx + c Kääntäen on stä ksä, esittääkö lläolev htälö in prbeli, jonk kseli on -kselin suuntinen. Tutkitn sen tähden, voidnko stu htälö stt muotoon o = ( x xo. = x + b bx + c x = + x + c c = x + c b b b 4c b + = x = (x + 4 x b 4c b b 4c b + = (x + + = (x b x b Stu htälö on muoto = ( x x j esittää siten prbeli, jonk huipun koordintit ovt o o b b 4c 4c b xo = j = =.

5 ********************************************** LAUSE 5: Sellisen prbelin htälö, jonk (smmetri-kseli on -kselin suuntinen, voidn in stt muotoon = x + bx + c missä,b j c ovt vkioit, joist inkin 0. Kääntäen voidn sno, että esittää llä olev htälö in prbeli, jonk kseli on -kselin suuntinen j jok on prbelin = x knss htenevä j vutuu smn suuntn kuin tämä, so. löspäin, jos > 0 j lspäin, jos < 0. ********************************************** Esim. Piirrettävä prbeli = x + 4x + 5, Kun on piirrettävä prbeli muusskin mielessä kuin toisen steen epähtälön rtkisuun liitten, on tärkeätä määrätä huipun koordintit. Epähtälön rtkisun knnlt oleellisi seikkoj olivt vin nollkohdt j ukemissuunt. Prbelin piirtämisessä nollkohtien määrääminen ei tietenkään ole mitenkään hitksi j trkknenäinen lskij lienee jo huomnnut, että prbelin huipun x-koordintti on nollkohtien puolivälissä. Nollkohti ei prbelill kuitenkn in ole j tällöin huipun etsimisessä eli prbelin htälön sttmisess muotoon o = (x xo voi tietsti kättää luseess 4.5 johdoss esiintnttä esitettä tulost, jos sen sttuu vrmksi muistmn tikk jos sen tulukost lötää. Vllitsevmpi tp lienee kuitenkin neliöksi tädentäminen eli jokiseen eteen tulevn esimerkkiin sovelletn em. luseen johtmisess kätettä menetteltp: = x + 4x = x + 4x = x + 4x + 4 = (x +. Viimeksi kirjoitetust htälöstä näk välittömästi, että tutkittvn prbelin huippu on (,. Luseen 4.5 tuloksen nojll prbeli = x + 4x + 5 tulee piirretksi, kun piirretään prbeli = x siihen

6 koordintistoon, jonk origo on pisteessä (, j jonk kselit ovt smnsuuntiset x-koordintiston koordinttikseleiden knss. Tässä siis =, jolloin piirrettävä prbeli on hteneväinen perusprbelin = x knss. Lisäpisteitä voi in lske Srj Esim. 3 Prbelin polttopiste F = (3, j johtosuor x =. Johd htälö. Tässä tpuksess johtosuor onkin -kselin suuntinen. Ei kuitenkn hätkähdetä sitä, vn pitäen pää klmänä nojudutn määritelmään. Prbelin mielivltisen pisteen (x, etäiss pisteestä F = sen etäiss suorst x =. Ilmeisesti prbelin jokisen pisteen x- koordintti >. Määritelmä nt:

7 (x 3 + ( = x, missä oikell puolell olev itseisrvo oikestn on trpeeton, jos otetn huomioon se, että x >. Jok tpuksess htälön kumpikn puoli ei ole negtiivinen, joten voidn korott neliöön: (x 3 + ( = x x 6x = x x = 4x x = Esimerkin tpuksess htälössä x on ensisteinen j muuttuj toist stett. Tällisen prbelin (smmetri-kseli on x-kselin suuntinen j prbeli uke oikelle, jos muuttujn toist stett olevn termin kerroin on positiivinen j uke vsemmlle, mikäli tämä kerroin onkin negtiivinen. Jokin hrjoitustehtävä nt jonkinlisen kuvn prbelist, jonk johtosuor ei ole kummnkn koordinttikselin suuntinen. Tällisen prbelin htälö sisältää kummnkin muuttujn toisen steen termin lisäksi vielä ns. sektermin, eli muoto mx olevn termin, missä m on jokin luku. Tällinen prbeli sdn tvllisest prbelist kiertämällä sen kseli huippupisteen mpäri niin, että prbeli seur kselin mukn. Määritelmän mukn sdn tällisen prbelin htälö in johdetuksi, mutt käänteiseen suuntn on vike edetä. Jos siis on nnettu toist stett olev khden muuttujn htälö, jok vielä sisältää sektermin, siitä on vike päätellä ensiksikään sitä, esittääkö htälö prbeli j toisekseen määrätä polttopistettä ti johtosuor.