Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat"

Transkriptio

1 MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse. Älä unod Pytgorn lusett koskn. Se on yksi meidän todellisuuskäsityksemme kulmkiviä. Pytgorn luseen lisäksi esillä on myös trigonometri, jok noj vvsti Pytgorn luseeseen. Nimestään uolimtt kieltentuntij oikisee vrmn: Ei, vn juuri siksi! trigonometri on kuitenkin yksinkertisesti vin kolmion mittmist. Se trjo välineet kolmion ominisuuksien rtkisemiseksi. Pytgorn luse j trigonometri ovt tämän luvun pääsisältö. Monikulmioist esillä ovt tärkeimmät eli kolmio, nelikulmio j säännölliset monikulmiot. Älä sivuut näitäkään, vikk snoin edellä jotin muut luvun pääsisällöksi. Mtemtiikn kursseiss ei ole mitään tur. Päätän tämän luvun grfiseen tiivistelmään. Monikulmioit Monikulmio on suljettu, ytenäinen tsokuvio, jonk muodostvt pisteet j näitä ydistävät jnt Näissä pisteissä, joit snotn monikulmion kärjiksi, jnt muodostvt kulmi. Jokinen monikulmion kärki on in jonkin jnn lku- j jonkin toisen jnn loppupiste. Kosk monikulmio siis koostuu pisteistä j jnoist, siinä ei esimerkiksi ole kri. Monikulmiot rjoitt jnoist koostuv, suljettu viiv. Tätä suljettu viiv kutsutn monikulmion piiriksi. Jn, jok ydistää monikulmion kksi kärkeä, jotk eivät ole vierekkäiset ti smt, snotn monikulmion lävistäjäksi. Monikulmioll voi oll useitkin lävistäjiä. Toislt kolmioll ei ole ytään lävistäjää. Vtimus, jonk mukn lävistäjän päätepisteet eivät ole vierekkäiset kärjet, merkitsee vin sitä, että monikulmion sivu ei ole sen lävistäjä. Kolmio j neliö ovt monikulmioit, mutt ympyrä ei ole monikulmio. Seurvss piirroksess on kolme kuviot, jotk eivät ole monikulmioit.

2 Tämä ei ole suljettu Tämä ei ole ytenäinen Tämän osn on kri Kolmio Kolmio on yksinkertisin monikulmio: sillä on kärkiä pienin mdollinen määrä eikä ytään lävistäjää. Nimetään kolmion osi seurvn piirroksen vull. Huippu Kylki Kylki Knt Knt Knnn jtke Minkä tns kolmion sivun voi vlit knnksi, jolloin muut sivut ovt kylkiä. Kun knt on vlittu, kolmion korkeusjn kuvss jn piirretään kotisuorn knt ti sen jtkett vstn.

3 Knt ei siis s vit kesken lskujen ti jos vit, niin myös merkinnät on korjttv vstvsti. Kolmion korkeusjn piirretään knt vstn j myös mielletään suteess kntn Huom, että kolmion korkeusjn stt joutu kolmion ulkopuolelle kuten yllä oikenpuoleisen kolmion tpuksess kävi. Seurvn väitteen perustelu on rvioitvn tetävänä. Kolmion kulmien summ on 180 Esimerkki 1 Kuv määrittelee tilnteen. Lske kulmn γ steluku. Rtkisu Kosk γ = 180, niin γ = = γ 50 Vstus: Kulmn γ steluku on 100. Esimerkki Kolmion kulmt sututuvt kuten luvut 1, j 3. Lske kolmion kulmien suuruudet. Rtkisu Kosk kulmien sude on 1 : : 3, niin sdn ytälö x + x + 3x = 180, jost x = 30. Kulmt ovt siis 30, 60 j 90. Vstus: Kulmt ovt 30, 60 j 90. Kosk kolmio on yksi tärkeimpiä, Pytgorn luseen tki ekä jop tärkein monikulmio, niin on olemss trve luokitell kolmioit. Tvllisin luokitteluperuste on ktso, millisi kulmi kolmioss on ti millisi sen sivut ovt toistens suteen. Seurvss on tällinen luokittelu. Teräväkulminen kolmio Teräväkulmisen kolmion jokisen kulmn steluku on lle 90. Suorkulminen kolmio Suorkulmisen kolmion yksi kulm on 90 steen suuruinen. Sen suorn kulmn vstinen sivu eli sen pisin sivu on nimeltään ypotenuus j muut sivut ovt kteettej.

4 Suorkulmisen kolmion korkeusjnksi knntt yleensä vlit toinen sen kteeteist. Knntt uomt, että ypotenuus on suorkulmisen kolmion pisin sivu. Hypotenuus on suorkulmisen kolmion pisin sivu Tylppäkulminen kolmio Tylppäkulmisess kolmioss on yksi kulm, jonk steluku on yli 90. Huom, että tällisen kolmion korkeusjn stt oll kolmion ulkopuolell. Tskylkinen kolmio Tskylkisellä kolmioll on väintään kksi ytä pitkää sivu. Yleensä tskylkisen kolmion knnksi vlitn eripituinen sivu j kyljiksi ytä pitkät sivut. Tällöin kulmt, jotk kyljet muodostvt knnn knss eli kntkulmt, ovt ytä suuret. Tskylkisen kolmion kyljet muodostvt uippukulmn. Tskylkisen kolmion kntkulmt ovt ytä suuret Eräs tskylkinen kolmio: uippu uippukulm kntkulmt Jos tskylkisen kolmion knnksi on vlittu eripituinen sivu, sen uipust piirretty korkeusjn jk sekä uippukulmn että knnn kteen ytä suureen osn. Lue Esimerkki 4. Tskylkisen kolmion korkeusjn jk sekä uippukulmn että knnn kteen ytä suureen osn. Tssivuinen kolmio Tssivuisen kolmion kikki sivut ovt ytä pitkät. Kosk tssivuisen kolmion kikki sivut ovt ytä pitkät. Myös sen kulmt ovt ytä suuret eli sen kikki kulmt ovt 60 steen suuruiset.

5 Tssivuisen kolmion kikki kulmt ovt 60 steen suuruiset. Huom, että tssivuinen kolmio on myös tskylkinen kolmio, mutt että tskylkinen kolmio ei välttämättä ole tssivuinen kolmio. Esimerkki 3 Tskylkisen kolmion kntkulm on kksi kert uippukulmn suuruinen. Lske kulmien steluvut. Rtkisu Kosk kolmio on tskylkinen, niin sen kntkulmt ovt smt. Lisäksi kolmion kulmien summ on 180 stett. Näin kuvn merkinnöin sdn ytälö x + x + x = 180 j siitä edelleen, että x = 36º. Kolmion uippukulm on siis 36º suuruinen j sen kntkulmt 7º suuruiset. Trkistus: 36º + 7º + 7º =180º kuten pitääkin. x x x Esimerkki 4 Perustelln esimerkkinä edellä olev väite, jonk mukn jos tskylkisen kolmion knnksi on vlittu eripituinen sivu, sen uipust piirretty korkeusjn jk sekä uippukulmn että knnn kteen ytä suureen osn. Tämmöisiä todistustetäviä ei ole mont lyyen mtemtiikn kursseill, mutt ei viitsitä niitä in kokonn ylätäkään. Rtkisu Piirretään jokin tskylkinen kolmio. Huom, että käytännössä piirrämme juuri täsmälleen sen kolmion, jonk piirrämme. Ajtus kuitenkin on, että jttelemme piirrostmme kikkien tskylkisten kolmioitten edustjn, jot ei rjoitet millään muull tvll kuin sillä, että se on tskylkinen kolmio. Sillä ei esimerkiksi ole jotin tiettyä kntkul- A m. Käytän ts kuv merkintöjen määrittelemiseen. Tämä ei merkitse lisärjoitust kolmiolle. Annn vin nimiä, jott sinä tiedät, mistä minä milloinkin puun. Kosk kolmiomme on tskylkinen, tiedämme siitä seurvt sit: 1. sivut c j c ovt ytä pitkät eli c = c. kntkulmt ovt smt eli β = β 3. korkeusjn muodost suorn kulmn knnn knss (merkitty kuvn suorkulmioill) c β β c Kosk kikkien kolmioiden kulmien summ on 180º, niin + β + 90 = 180,

6 jost + β = 90 eli = 90 β. Vstvsti sdn, että ' = 90 β'. Kosk β = β, niin 90 β' = 90 β. Kosk = 90 β, niin ' = 90 β' = 90 β = eli =. Huippukulm on siis jettu kteen ytä suureen osn. Jnojen j ytäsuuruus seur ydenmuotoisten kolmioiden perusteell (ytenäiskoulu): Kuvn suorkulmisten kolmioitten kikki kulmt smt. Myös niitten kksi sivu ovt smt, sillä korkeusjn on yteinen j c = c. Nelikulmio Nelikulmioll on neljä sivu j neljä kärkeä. Yleisesti nelikulmion sivut j kulmt voivt oll minkä kokoisi tns kunn sivut ovt ytä pitkät j tuloksen on monikulmio, joll on neljä kärkeä. Jos nelikulmioll on (inkin) kksi ydensuuntist sivu, sen korkeus voidn määritellä. Tällöin nelikulmion korkeus on noitten kden ydensuuntisen välinen kotisuor etäisyys. Nelikulmiolle voidn piirtää kksi lävistäjää. Lävistäjän vull nelikulmio on mdollist jk kdeksi kolmioksi. Vikk en todist seurv tulost, se knntt silti muist. Nelikulmion kulmien summ on 360º Nelikulmioit luokitelln smn tpn kuin kolmioit. Seurvss erilisten nelikulmioitten luettelo. Suorkulmio Suorkulmion kikki kulmt ovt suort. Tästä seur, että sen vstkkiset sivut ovt ytä pitkät j ydensuuntiset. Neliö Neliön kikki kulmt ovt 90º kulmi j kikki sivut ytä pitkät. Huom, että neliö on myös suorkulmio.

7 Suunniks Suunnikkn vstkkiset sivut ovt ydensuuntiset. Tästä seur, että suunnikkn vstkkiset sivut ovt ytä pitkät j että sen vstkkiset kulmt ovt ytä suuret. Huom, että sekä neliö että suorkulmio ovt myös suunnikkit. Vinoneliö eli neljäkäs Vinoneliön vstkkiset kulmt ovt ytä suuret j sivut ytä pitkät. Huom, että neliö on myös neljäkäs j että vinoneliö on myös suunniks. Puolisuunniks Puolisuunnikkll on kksi ydensuuntist sivu. Sen kikki sivut voivt oll eri pituiset j kikki kulmt eri suuret. Tskylkinen puolisuunniks Tskylkinen puolisuunniks on sellinen puolisuunniks, joll on kksi ytä pitkää sivu. Tskylkiselle puolisuunnikklle voidn vlit knt, jolloin sillä on myös kntkulmt. β β Esimerkki 5 Tskylkisen puolisuunnikkn kntkulmt ovt 30º pienemmät kuin knnn vstiset kulmt. Piirretään knnn vstisen sivun toisest päätepisteestä eli toisest kärjestä suunnikkn korkeusjn. Lske näin syntyvän kolmion kulmien steluvut. Ktso kuv. Rtkisu

8 Merkitään korkeusjn kirjimell. Annetn kulmille nimet kuvn vull. Huom, että kuvssmme ei oikestn ole kt kulm, vn kksi kulm, joiden molempien steluku on. Vstvsti kuvss on kksi β :n kokoist kulm. Kosk nelikulmion kulmien summ on 360, niin + β = 360. Kosk β = + 30, niin sdn = 180 j siis = 75. Kosk tutkittv kolmio on suorkulminen, niin + γ + 90 = 180. Sdn siis γ = 15. Vstus: Kulmien steluvut ovt 90, 75 j 15. γ β β Säännöllinen monikulmio Tutuimmt säännölliset monikulmiot ovt neliö j tssivuinen kolmio. Näille, kuten muillekin säännöllisille monikulmioille on ominist se, että on olemss ympyrä, jonk keällä monikulmion kärjet ovt. Kuink suuri tämä ympyrä on, riippuu tietenkin monikulmion koost. Ain sellinen on kuitenkin olemss. Tämä eto ei riitä säännöllisen monikulmion määritelmäksi. Siksi määritellään seurvll tvll. Määritelmä Säännöllinen monikulmio eli säännöllinen n-kulmio on sellinen monikulmio, jonk kikki sivut ovt ytä pitkät j kikki kulmt ovt ytä suuret. Tästä seur kppleen lun totemus säännöllisistä monikulmioist: vlitn mikä säännöllinen monikulmio tns, niin in on olemss ympyrä, jonk keällä monikulmion kärjet ovt. Tämäkin tiedonjyvä knntt pin mieleen. Säännöllisen monikulmion kulmist Trkstelln vielä säännöllisen monikulmion keskuskulmi j sen kden sivun välisiä kulmi. Piirretään säännöllinen 8-kulmio. Se edustkoon nyt kikki säännöllisiä monikulmioit. Piirretään kdeksnkulmiollemme myös ne lävistäjät, jotk kulkevt kulmst smn kulmn knss vstkkiseen kulmn. Tällöin 8-kulmio tulln jkneeksi kdeksn tskylkiseen kolmioon.

9 Jos luisin, voisin nyt piirtää ympyrän, jonk keskipiste on lävistäjien leikkuspisteessä j jonk säde on kden vstkkisen kärjen kutt piirretyn lävistäjän puoliks. Ympyrän lkisij olisi siis ytä pitkä kuin kdeksnkulmiomme pisin lävistäjä. Kikki kdeksnkulmiomme kärjet olisivt tsisin välein tuoll ympyräviivll. Huom. Kdeksnkulmioll on muitkin lävistäjiä kuin ne, jotk piirsin näkyviin j kikki nuo muut lävistäjät ovt lyyempiä kuin kuvn piirretyt. Annetn nyt nimi kdelle säännöllisen monikulmion eri kulmlle. Äsken piirrettyjen tskylkisten kolmioitten uippukulmi voi sno myös säännöllisen monikulmion keskuskulmiksi. Säännöllisen monikulmion kden sivun välinen kulm on puolestn yksinkertisesti säännöllisen monikulmion kulm. Kdeksn tskylkistä kolmiot, joist kuvio koostuu, ovt kirjimellisesti tiiviisti kylki kyljessä. Tämän j edellä olevn ympyrätrkstelun vull on elppo nädä, että näitten tskylkisten kolmioitten uippukulmt ovt yteensä 360º. Kosk kuviomme kolmiot ovt identtiset, niin silloin = 360, jost edelleen = = Säännöllisen kdeksnkulmion oskolmiot ovt siis tskylkisiä kolmioit, joitten uippukulmn steluku on 45º. Merkitään kolmion kntkulm kirjimell β. Silloin β + 45 = 180, jost β = 67, 5. Säännöllinen 8-kulmion tpuksess keskuskulmn suuruus stiin jkmll 360º kdeksll eli kärkien lukumäärällä. Tämä voidn yleistää. Säännöllisen n -kulmion keskuskulmn suuruus on 360 n Piirretään nyt uusi säännöllinen kdeksnkulmio, jok jälleen edust kikki muit säännöllisiä monikulmioit. Merkitään sitten monikulmion kulm :ll j merkitään se kuvioon. Piirretään kuvn myös kksi lävistäjää, jotk kulkevt kulmst sen vstkkiseen kulmn kuten edellisessä kuvss. Lävistäjä puolitt kulmn. Merkitään tskylkisen kolmion uippukulm kirjimell β.

10 β Kosk kolmiot ovt tskylkiset, niin joten Kosk niin eli + + β = 180, = 180 β. β = 360, missä n on monikulmion kulmien lukumäärä, n = 180 β 360 = 180 n = n = ( n ) n 180 säännöllisen monikulmion kulmn steluku on ( n ) = 180, n mikäli sitä merkitään edelleen kirjimell. Tämän voi ilmist toisinkin: Säännöllisen n-kulmion kulmien summ on ( n ) 180 Tässä muodoss se stt oll elpompi muist.

11 Esimerkki 6 Säännöllinen kuusikulmio on erityisen elppo piirtää. Voidn jtell, että säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudest, rinnkkin ( kylki kylkeen ) setetust tskylkisestä kolmiost. Kosk näitten kunkin kolmion uippukulm eli säännöllisen kuusikulmiomme keskuskulm on 360 = 60 j kyseessä on tskylkinen kolmio, on myös kukin monikulmion kulm 60 stett. 6 Kyseessä onkin tällä kert siis tssivuinen kolmio, jonk kikki sivut ovt ytä pitkät eli monikulmion yden sivun mittiset. Kosk säännöllisen monikulmion lävistäjän pituus on ytä suuri kuin sellisen ympyrän lkisij, joll monikulmion pisteet ovt, on tämän ympyrän säde smn pituinen kuin kuusikulmion sivu. Säännöllinen kuusikulmio voidn siis piirtää pelkän rpin vull seurvsti: Vlitse rpin kärkiväliksi kuusikulmion sivun pituus Piirrä ympyrä tällä kärkivälillä Merkitse ympyrän keälle yksi piste Aset rpin kärki tään pisteeseen Piirrä rpin vull kärkiväli säilyttäen uusi piste ympyrän keälle Aset rpin kärki uuteen pisteeseen Piirrä ts uusi piste Toist tämä kunnes 6-kulmio on vlmis Huom vielä sekin, kuusikulmio j kuutio ovt kksi ivn eri oliot! Kosk niitten kuulostvt niinkin pljon toisiltn, ne on epäuomioss rmittvn elppo sekoitt! Pytgorn luse Vinko, että julkisuudess eniten siteerttu ytälö lienee Einsteinin E = mc eikä Pytgorn

12 c = + b Vinko siksi, että Pytgorn luseell on käyttöä pljon rkisemmiss tilnteiss j siksi myös pljon usemmin kuin Einsteinin sinänsä ivn perustvnltuisell keksinnöllä. Alkuperäisessä muodossn Pytgorn luse koskee suorkulmisi kolmioit. Trinn mukn Pytgors ursi st ärkää todistettun luseens. Kosk ei kuitenkn ole vrm, onko Pytgorn luse idosti Pytgorn itsensä keksimä vi onko sen keksinyt joku muu änen yteisönsä jäsen, niin ei myöskään knnttne usko juttuun sdst ärästä. Pytgorn luse voidn esittää snomll, että suorkulmisen kolmion ypotenuusn neliö on ytä suuri kuin kteettien neliöitten summ ti snomll, että suorkulmisen kolmion ypotenuus sivun piirretyn neliön l on ytä suuri kuin kteetit sivuin piirrettyjen neliöitten lojen summ Esitetään Pytgorn luse kuitenkin ytälön vull. Tässä vieess olet jo ekä sitä mieltä, että ytälöitten käyttäminen on kätevää. Olkoon meillä suorkulminen kolmio. Merkitään sen ypotenuus c:llä j kteettej :ll j b:llä. Silloin + b = c Eli, jos kolmio on suorkulminen, niin + b = c. Tämä on Pytgorn luse. c b

13 Huom, että Pytgorn luse kuuluu, että jos kolmio on suorkulminen, niin Se toimii kuitenkin toisinpäinkin. Myös tämä tulos on siis voimss: Jos kolmion sivut, b j c toteuttvt ytälön c = + b, niin kolmio on suorkulminen Jos siis tiedämme, että kolmio on suorkulminen, niin voimme käyttää tätä ytälöä. Jos ts uommme, että tämä ytälö on voimss, niin voimme päätellä, että kolmio on suorkulminen. Esimerkki 7 Suorkulmisen kolmion kteettien pituudet ovt 4 metriä j 6 metriä. Lske ypotenuusn pituus. Rtkisu Pytgorn luseen nojll kteettien neliöiden summ on ypotenuusn neliö. Otetn siis neliöjuuri kteettien neliöiden summst, niin sdn ypotenuusn pituus. Kteetin neliö = ( ) 4m = 16m Toisen kteetin neliö = ( ) Näitten summ on Otetn neliöjuuri: 5m. 6m = 36m 5m 7, m. Vstus: Hypotenuusn pituus on noin 7 metriä. Esimerkki 8 Suorkulmisen kolmion toinen kteetti on 7 metriä pitkä j ypotenuus on 11 metriä pitkä. Lske toisen kteetin pituus. Rtkisu Merkitään ypotenuus kirjimell c j nnettu kteetti kirjimell. Nyt meidän tetävämme on rtkist b Pytgorn luseen ytälöstä: + b = c b = c Vstus: Toisen kteetin pituus on noin 8,5 metriä. = 11 7 = 7 8, 5 Esimerkki 9 Kolmion sivujen pituudet ovt 3 metriä, 4 metriä j 5 metriä. Onko kolmio suorkulminen? Rtkisu Kosk 5 = 3 + 4, niin kolmio on tosin suorkulminen. Huom, että näitten elppojen lukujen vull voit tedä elposti suorn kulmn vikk pvist.

14 Esimerkki 10 Kolmion sivujen pituudet ovt 6 metriä, 8 metriä j 11 metriä. Onko kolmio suorkulminen? Rtkisu Jos kolmio on suorkulminen, sen pisin sivu on ypotenuus. Lsketn ensin mdollisen ypotenuusn neliö j sitten kteettien neliöt = 11 = 64 = 36 Kun kteettien neliöt lsketn yteen, sdn 100. Kosk ypotenuuskokeln neliö on 11, ei ypotenuusn neliö ole kteettien neliöitten summ. Vedämme tästä jotopäätöksen, että kolmio ei ole suorkulminen. Vstus: Kolmio ei ole suorkulminen. Esimerkki 11 Suorkulmion muotoinen puisto on 100 metriä pitkä j 40 metriä leveä. Kuink pljon oikisee enkilö, jok kulkee puiston lävistäjää pitkin sen sijn, että kiertäisi pitkin reunoj? 40 m s 100 m Rtkisu Reunoj pitkin mtk kertyy 140 metriä. Suorkulmion lävistäjä on ytä pitkä kuin sellisen suorkulmisen kolmion ypotenuus, jonk kteetit ovt 100 metrin j 40 metrin pituiset. Lsketn lävistäjän pituus Pytgorn luseen vull. s = = 107, 7 Lävistäjä on siis noin 108 metriä pitkä j ero kiertotieen on 140 metriä 108 metriä = 3 metriä. Vstus: Hän oikisee noin 3 metriä.

15 Trigonometri Trigonometri on kirjimellisesti kolmionmittust. Otmme käyttöön trigonometriset funktiot sini, kosini j tngentti j lmme siis mittill kolmioit. Muist, että kukin trigonometrinen funktio määritellään kden sivun pituuden osmääränä. Niissä ei siis ole minkäänlist mystiikk: ne ovt in kden sivun osmäärä. Kosk sivun pituuden yksikkö on pituusyksikkö, vikkp metri, yksikkö supistuu jettess pois. Jokinen trigonometrisen funktion rvo on pljs luku eli luku, joll ei ole yksikköä. Trigonometristen funktioitten vvuus on siinä, että ne löytyvät kikist funktio- j grfisist lskimist. Tutki seurvn esityksen vrsinisten määritelmien lisäksi esimerkit trkkn. Trkennetn käytettävää terminologi ensin j ktsotn sitten ytä esimerkkiä. Kuvn kolmio on suorkulminen j suorkulm on merkitty kuvioon. β c b Kteetti snotn kulmn vstiseksi kteetiksi j kteetti b snotn kulmn viereiseksi kteetiksi. Kteetti voidn ytä yvin sno myös kulmn β viereiseksi kteetiksi j kteetti b kulmn β vstiseksi kteetiksi. Tutki Ennen kuin jtkt teorin lukemist, tee seurv tutkimus. Piirrä ruutupperille suorkulminen kolmio, jonk toinen kteetti on vksuorss eli on kolmion knt. Mitt sekä pystysuorn kteetin että ypotenuusn pituus. Lske niitten sude. Muut sitten vksuorn kteetin pituutt siirtämällä pystysuor kteetti. Merkitse muistiin määrä, joll pidensit ti lyensit kteetti. Mitt uuden ypotenuusn pituus. Mitt uudestn sekä pystysuorn kteetin että ypotenuusn pituus. Lske uudestn myös niitten sude. c c

16 ' Odotettviss on tulos, jonk mukn = riippumtt kolmiosi koost. Tärkeää on, että kulm c c' säilyy smn koko jn j että suorkulm säilyy smn. Kosk tämä sude ei nätävästi riipu kolmiost vn inostn kulmst, trigonometristen funktioitten rvoj voidn luetteloid ti litt lskimeen. Lskin tosin lskee ne, se ei sisällä trigonometristen funktioitten tulukoit. Kikki trigonometriset funktiot ovt kolmion jnojen suteit. Sini funktio Kulmn sinillä trkoitetn yksinkertisesti vin kulmn vstisen kteetin j ypotenuusn sudett eli osmäärää. Se on siis vin kden jnnpituuden sude. Kuvn merkinnöin sin = c c Määritelmä: Suorkulmisen kolmion suor kulm pienemmän kulmn sini on kulmn vstisen kteetin j ypotenuusn osmäärä. Kulmn sini kirjoitetn sin. Esimerkiksi sin 30º = 0,5. Muist, että jos kulm on nolln j 90 steen välissä, niin 0 < sin < 1 j sini on ksvv funktio Kuvst näet sini funktion muodon, kun kulm muuttuu nollst 90:ään steeseen. Jos sinull on grfinen lskin, voit litt sen piirtämään tämän smn kuvion, sini funktion kuvjn eli niin snotun sinikäyrän. Jos piirrät sinikäyrän lskimell, nn sille myös edellä kerrotun vstiset rjt j ktso, mitä kone piirtää. En usko, että järkytyt.

17 y x, stett Esimerkki 1 Lske kuvn kolmion -kulmn sini. Kuink suuri kulm on? Rtkisu Määritelmänsä mukn kulmn sini on vstisen kteetin sude ypotenuusn. Sdn siis: 0mm sin = = 0, 8. 5mm 0 mm 15 mm 5 mm Kerroin lskimen käytöstä kurssin MAB1 kolmnness osss. Kert se sekä lue lskimesi käsikirj, jos seurvt sit tuntuvt vierilt. Trkist, että lskimesi on tilss, joss se tulkitsee kulmt stein eli että se on tilss, jonk koneesi ilmisee tekstillä DEG. Jos et tiedä, miten si testtn, kokeile sitä lskemll koneellsi sin 30. Tuloksen pitää oll 0,5. Mllist riippuen näppäilet joko ensin 30 j pint sitten sin ti vlitset ensin sini - funktion pinmll sin j ntmll sille sitten rgumentiksi 30. Jos tulos on jotin muut, lue ojeet lskimesi käsikirjst.

18 Ktsotn nyt lskimest, minkä kulmn sini on 0,8. Funktio, jot nyt käytetään on merkitty 1 koneeseen lyenteellä sin. Stt joutu pinmn ensin vitonäppäintä j sitten vst näppäintä, joss ti jonk läellä lukee sin. Tämä funktio ei siis luultvsti ole näppäimen ensisijinen toiminto, jok on sin, vn sen toissijinen toiminto. Lskimest riippuen nnt joko ensin luvun 0,8 j 1 1 pint sitten sin ti vlitset ensin funktion sin j nnt vst sitten luvun 0,8. Jos koneesi käyttää jälkimmäistä järjestystä, st tuloksen näkyviin pinmll vielä näppäintä, joss lukee ENTER ti joss on ytäsuuruusmerkki. Näet lskimesi vull, että kulmn 53, stett sini on 0,8. Lskimesi nt siis sini-funktion rvon, kun nnt sille kulmn. Mutt käyttämällä toiminto näet, että koneesi nt myös kulmn, kun nnt sille sinin! Koneesssi on nämä smt toiminnot myös kosinille j tngentille: siinä ovt sin j 1 1 cos, tn j tn. Vstus: Kulmn sini on 0,8 j kulmn steluku on noin 53º. 1 sin 1 sin, cos j Kosini funktio Myös kosinill trkoitetn kden jnn osmäärää: kulmn kosini on kulmn viereisen kteetin j ypotenuusn sude. c b Kuvn merkinnöin b cos = c Määritelmä Suorkulmisen kolmion suor kulm pienemmän kulmn kosini on kulmn viereisen kteetin j ypotenuusn osmäärä. Kulmn kosini kirjoitetn cos. Esimerkiksi cos 30º = Muist, että jos kulm on nolln j 90 steen välissä, niin 3. 0 < cos < 1 j kosini on väenevä funktio

19 Kuvss kosinin kuvj, kun kulm muuttuu nollst 90:ään steeseen. Mitä lskimesi snoo, jos trjot sille kiellettyä kulm. y x, stett Esimerkki 13 1 cos -toimin- Lske kulmn sini j trkist, että st non vull kulmksi jälleen 53º. Rtkisu 15mm Kosinin määritelmän mukn cos = = 0, 6. 5mm Trkist, stko 0 mm 1 cos -toiminnon vull smn kulmn kuin esimerkissä mm 5 mm Lske koneellsi myös 53 steen kosinin rvo. Tulos on noin 0, Kosk pyöristin kulmn nyt 53 steeksi, en tietenkään s trklleen 0,6. Siis cos 53º = 0, Tngentti funktio Kulmn tngentti on sen vstisen kteetin sude viereiseen kteettiin. Kuvn merkinnöin tn = b

20 b Määritelmä Suorkulmisen kolmion suor kulm pienemmän kulmn tngentti on kulmn vstisen kteetin j kulmn viereisen kteetin osmäärä. Kulmn tngentti kirjoitetn tn. Esimerkiksi tn 30º = Muist, että jos kulm on noll suurempi, niin 1 3 =. 3 3 tn > 0 j tngentti on ksvv funktio Huom, että tngentin rvoll ei ole ylärj: mitä läempänä kulm on 90 stett sitä suurempi on sen tngentti. Huom myös, että trigonometriss tngentti on funktio, ei mikään suor kuten ympyrän tngentti, jok sivu jotin. Kuvst näet tngenttifunktion kuvjn muodon. Esimerkiksi tn 45 = 1.

21 Jos siis suorkulmisen kolmion kteetit ovt j b j sen ypotenuus on c j merkinnät muutenkin kuten edellä, niin tn =. Tällöin sin = j cos =. Lsketnp sinin j kosinin os- b b c c määrä: sin = tn b c = =, cos b c joten sin tn = cos Tngentti onkin siis myös sinin j kosinin osmäärä kunn kulm ei ole 90 stett! Jos kulm olisi 90º, tulisi kosinist noll. Se ts tietäisi nimittäjässä vikeuksi. Esimerkki 14 Toist esimerkin 13 lskut nyt tngentin vull. Rtkisu 0mm 4 tn = = 1, mm 3 tn 53º = 1, Tässä viimeinen numero, jonk lleviivsin, tulee pyöristämisen tuloksen. 0 mm 15 mm 5 mm Huom, että näitten funktioitten knss rjoitmme kulmn lle 90:ään steeseen j toislt väintään nollksi. Jos sovimme, että sin 90º = 1 j cos 90º = 0, smme nämäkin kulmt näennäisesti mukn. Sen sijn sellist kuin tn 90º ei voi määritellä millään järkevällä tvll. Kuitenkin tn 0º = 0. Nämä on elppo ymmärtää kuvittelemll, mitä kolmiolle j sen sivujen suteille tptuu, kun ksv koti 90 stett ti väenee koti noll. Näitä ääritpuksi emme trvitse tällä kurssill. Esimerkki 15 Suorkulmisen kolmion yden kulmn steluku on 65º j smn kolmion ypotenuusn pituus on 13 cm. Lske kolmion muitten kulmien steluvut j sivujen pituudet.

22 Rtkisu Annetn kolmion osille ts ne tvlliset nimet. Ktso kuv. Kosk kolmion kulmien summ on 180 stett, niin nyt käsillä olevn kolmion tuntemton kulm on 180º 65º 90º =5º. Sivujen pituuksien rtkisemiseksi on siinä mielessä useit oikeit menetelmiä, että käytettävät trigonometriset funktiot voi vlit. Pidä kuitenkin koko jn uoli siitä, että ymmärrät, mitä teet. Kosk ypotenuusn pituus on 13 cm, niin c = 13 cm. Kosk kolmiomme kulmt ovt 90º, 65º j 5º j kosk kuvnkin kulmill on yksiselitteinen suuruusjärjestys, niin merkitään = 5 j β = 65. Suorlle kulmlle ei nnet symboli kuten ei ennenkään ole nnettu. Kteetit jäävät lskettvksi. Kteetti : Kosk sin =, niin = c sin. Lukurvot sijoittmll sdn = sin5 13cm = 5, 5cm. Vstvsti cos =, jost b = cos c = 1cm. c b c Kolms kulm on siis suor, mutt nnetn sen oll. Trkistus: Kosk 5, , niin tulos on ytäpitävä Pytgorn luseen knss. Tästä ei seur, että tulos on vrmsti oike. Tulos vin stt oll oike. Voi peritteess oll, että tuloksess on lskuvire, jok ei näy tällä testillä. Jos trkistuksen tulos olisi ollut jotin muut kuin noin 13, silloin olisimme voineet väittää vrmsti, että minä lskin väärin. Lätökodksi olisi voinut myös vlit vikkp cos β =. c Vstus: Kteetti = 5,5 cm, kteetti b = 1 cm, kulm = 5 j kulm β = 65. β b c Esimerkki 16 Vlkoinen sisävesiöyry kulkee suomlisell järvellä. Sen yksi mtkustj vitsee sren j rvioi ivn oikein tietenkin että sri näkyy 1,146º kokoisen. Hän mitt tutkll sren etäisyyden j s tuloksen 5 kilometriä. Kuink leveä sri on mtkustjn suunnst ktsottun? Rtkisu Piirretään kuv, kuten yleensä knntt tedä. Kuv ei välttämättä ole läiminkn trkk. Sen ino trkoitus on trjot tuke jtuksille. 1,146º 5 km

23 Etäisyyttä ilmisev jn, jot kuvioss merkitsen vin yksinkertisesti kirjoittmll 5 km, on tietenkin kotisuorss sren eli kuvion leveyttä mtkustjn knnlt ilmisev jn vstn. Merkitään, vikk kuvss merkintää ei ole, että sren leveys mtkustjn näkökulmst on x. Smme ytälön x 1146, tn =, 5km jost 1146, x = 5km tn = 0, 1km. Vstus: Mtkustjn suunnst ktsottun sren leveys on 100 metriä. Huom, että esimerkin 16 kulm nnettiin (epärelistisen trkkn) desimlilukun j että 1,146º = 1º 8 45,6. Esimerkki 17 Kuink suuren eli missä kulmss 00 metriä pitkä liv näkyy 3 kilometrin etäisyydeltä? Rtkisu Piirretään kuv. Merkitään kysyttyä kulm :ll. Kuvn merkinnöin l tn = s, 00m = 3km l s jost = 1, 9 j siis = 3, 8.

24 Vstus: Liv näkyy 3,8 steen kokoisen. Kolmion pint-l Kolmion pint-l A lsketn kvll 1 A =, missä on kolmion knnn pituus j sen korkeus. Jott voimme lske kolmion ln, joudumme siis etsimään sen korkeuden lukurvon sekä sen sivun pituuden, jot vstn korkeus on piirretty eli sen knnn. Läestytään tätä si nyt esimerkkien vull. Esimerkki 18 Kuvn kolmion ln on puolet knnn j korkeuden tulost. Jos kolmion korkeus on 60 senttiä j knt 00 senttiä, niin sen pint-l on 1 60cm 00cm = 6000cm = 0, 6m. Esimerkki 19

25 Jos kolmio on suorkulminen j sen sivut tunnetn, tiedetään myös sen korkeus. Toinen kteetti voidn vlit korkeudeksi, toinen knnksi. Kuvss on tämmöinen tilnne. 16 cm 6 cm 15 cm Trkistetn ensin, että kolmio on todell suorkulminen eikä tetävän settj s sinu linssiin. Lsketn Tulos on 16,155. Se on lkuperäisissä luvuiss käytetyn trkkuuden puitteiss 16, joten nnettujen tietojen puitteiss kolmio on suorkulminen. Tämän kolmion korkeudeksi knntt vlit 6 cm (ti 15 cm) j knnksi 15 cm (ti 6 cm). Näin sen pint-lksi sdn 1 6cm 15cm = 45cm Kolmion l on siis 45 neliösenttiä. Esimerkki 0 Suorkulmisen kolmion toisen kteetin pituus on 8 metriä j ypotenuusn pituus 10 metriä. Lske kolmion pint-l. Rtkisu Kosk kyseessä on suorkulminen kolmio, knntt lske toisen kteetin pituus Pytgorn luseen vull. Se on 10 8 = 6. Kteettien pituudet ovt siis 8 metriä j 6 metriä, joten kolmion pint-l on = 4m. 8m 6m Vstus: Kolmion l on 4m.

26 Esimerkki 1 43º 1,5 cm 18,3 cm 11º 13,6 cm 5º Lske kolmion l, kun tilnne on kuvn mukinen. Kikki muut mitt on nnettu, mutt ei korkeutt, jok pint-l lskiess trvitn. Se on siis lskettv. Otn kuvst uuden kopion j lisään siien korkeusjnn. Merkitsen korkeusjn kirjimell. Tällöin trvitsen myös knnn jtkeen j piirrän vielä senkin. 43º 8, cm 18,3 cm 11º 13,6 cm 5º Korkeusjn on nyt sellisen suorkulmisen kolmion kteetti, jonk ypotenuus on lkuperäisen kolmion 1,5 cm pitkä sivu. Alkuperäisen kolmion 11 steen vieruskulmn suuruus on 180º 11º eli 68º. Trvitsen tämän kulmn, sillä sin68 =, 1, 5cm jost = 1, 5cm sin68.

27 Kolmion l on siis , 6cm = 13, 6cm 1, 5cm sin68 = 79cm Vstus: Kolmion pint-l on noin 79 neliösenttiä. Esimerkki Suorkulmisen kolmion toinen kteetti on kksi kert niin pitkä kuin toinen kteetti. Lske kolmion sivujen pituudet j kulmien suuruudet, kun kolmion pint-l on 158 km. Rtkisu Piirretään kuv, joon merkitään nnetut tiedot. Merkitään toist kteetti x:llä, jolloin toinen on x. Kosk l on puolet knnn j korkeuden tulost eli puolet kteettien tulost, niin x 1 x x = 158km, x jost x ±1, 6km. Kosk kteetti kolmion sivun on in noll suurempi, niin negtiivinen tulos ylätään j toinen kteetti on 1,6 kilometrin pituinen j toinen 5,1 kilometrin pituinen. Huom, että en käyttänyt äskeistä välitulost, vn lskimen mksimitrkkuutt kertomll lskimen sisäisen tuloksen kdell j pyöristämällä sitten sen. Hypotenuus sdn nyt Pytgorn luseen nojll. Merkitään sitä c:llä. c = ( 1, 6km) + ( 51, km) = 81, km Hypotenuusn pituus on siis noin 8,1 kilometriä. Olkoon lyyempi kteetti nimeltään j pidempi vstvsti b. Tämän voidn ktso ntvn nimet myös kolmion kulmille suor kulm lukuun ottmtt. Joten

28 x 1 tn = = x x tn β = = x Lskimell smme nyt = 6, 6 β = 63, 4 Kosk näitten kden kulmn summ on 90 stett, niin kolmion kikkien kulmien summ on 180 stett, kuten pitääkin. Vstus: Kolmion kteettien pituudet ovt 1,6 kilometriä, 5,1 kilometriä j ypotenuusn pituus on 8,1 kilometriä. Kolmion kksi kulm ovt 6,6 steen j 63,4 steen suuruiset. Nelikulmion pint-l Hnkln muotoisen nelikulmion pint-l on usein lskettviss jkmll nelikulmio kdeksi kolmioksi. Aloitetn nelikulmioitten pint-lojen trksteleminen kuitenkin elpommist tilnteist. Suorkulmio Suorkulmio on nelikulmio, jonk kikki kulmt ovt suori. Läestytään sen pint-l trkstelemll tilnnett, missä sinull on ruutupperille rjttun lue. Olkoon siinä kylki kyljessä kdeksn kpplett 11 ruudun jonoj. Tällöin pperille rjmsi lue koostuu 8 11 = 88 ruudust eli sen pint-l on 88 ruutu. Ot nyt smss kuvioss käyttöön pienemmät yksiköt. Snotn vikk, että kuviosi jokisen ruudun koko on 7mm 7mm. Alueesi leveys on silloin 8 7mm = 56mm j sen pituus on vstvsti 11 7mm = 77mm. Kyseessä on jälleen ruuduist koostuv lue. Nyt ruudut ovt pienemmät eli yden neliömillin kokoisi. Al lsketn in smll tvll kuin ensimmäisellä kerrll. Se on 56mm 77mm = 431mm. Olennist tässä on se, että suorkulmion l lskettiin smll tvll eli lskettiin kden kotisuorn sivun tulo. Suorkulmion l lsketn kertomll leveys j korkeus keskenään. Kuvn merkinnöin: b A = b A

29 Neliö on suorkulmion eräs erikoistpus. Neliö syntyy, kun vlitn = b. Neliön l sdn siis lskemll sen sivun neliö A = Esimerkki 3 Tvllisen A4-rkin leveys on 10 milliä j sen korkeus 97 milliä. Kuink suuren lueen voi ktt 00 kppleell A4-rkkej? Ilmoit tulos neliömetreinä. Rtkisu Kosk A4-rkki on suorkulmio, niin yden rkin pint-l on 10mm 97mm = 6370mm. Kksi st tämmöistä rkki kttvt yteensä ln mm, jok on 1,474 neliömetriä. Vstus: Kdell sdll A4-rkill voi ktt noin 1,5 neliömetrin ln. Suunniks Suunniks on nelikulmio, jonk vstkkiset sivut ovt ydensuuntiset j tällöin myös ytä pitkät. Täten suorkulmiokin on suunniks, mutt suunniks ei välttämättä ole suorkulmio, kosk suunnikkn kulmt eivät välttämättä ole suort. Piirrän nyt suunnikkn, jonk jn lävistäjällä eti kteen kolmioon. Piirrän näkyviin myös kksi suunnikkn korkeusjn. Nämä korkeusjnt ovt myös kolmioitten korkeusjnt. Annn korkeusjnlle (itselleen j sen pituudelle) symbolin sekä suunnikkn pitkän sivun pituudelle (j sille itselleen symbolin).

30 Molempien piirrettyjen kolmioitten lt ovt siten. 1. Suunnikkn l, jok on näitten summ, on Suunnikkn pint-l on knt kert korkeus eli A = kun A on l, on korkeus j on knt. Esimerkki 4 Lske suunnikkn pint-l, kun sen erisuuntisten sivujen välinen kulm on 45º j niitten pituudet ovt 48 metriä j 54 metriä. Rtkisu Piirrän ts kuvn jtuksi tukemn. 48m 45º 54m Piirretään korkeusjn kärjestä knnlle. Kuvss se on jälleen jn. Sinifunktion määritelmän mukn: sin 45 =, 48m jost = 48m sin 45º Kosk suunnikkn l A on knt kert korkeus, niin sdn A = 54m 48m sin 45º = 1833 m.

31 Vstus: Suunnikkn pint-l on 1833 m. Otetn vielä esimerkki tilnteest, joss suunnikkn korkeusjn näyttää joutuvn suunnikkn itsensä ulkopuolelle. Esimerkki 5 Vlitn muuten sm suunniks kuin esimerkissä 4, mutt erisuuntisten sivujen välinen kulm on nyt 135 º. Rtkisu Tilnne on oeisess kuvss. 135º Yksi mdollisuus rtkist tämä tetävä on jtk knt vsemmlle j piirtää korkeusjn sitten tälle jtkeelle, jolloin se on suunnikkn ulkopuolell. Toinen mdollisuus on piirtää korkeusjn toisest kärjestä ls. Tällöin korkeusjn jääkin suunnikkn sisäpuolelle j trksteltv suunnikkn kulm on 45º. Piirrän molemmt vitoedot seurvn kuvn. 135º 45º 45º Tetävä rtkistn kuten esimerkki 4, toisin snoen, jälleen sin 45 = 48m j = 48m sin 45º, joten suunnikkn l A on

32 A = 54m 48m sin 45º = 1833 m. Vstus: Suunnikkn pint-l on 1833 m. Puolisuunniks Puolisuunniks on nelikulmio, jolt ei vdit, että sen kikki vstkkiset sivut ovt ydensuuntiset. Puolisuunnikkll on väintään yksi ydensuuntisten sivujen pri. Toinen näistä ydensuuntisist voidn vlit puolisuunnikkn knnksi. Puolisuunniks määritellään siis luopumll ydestä suunnikkn ominisuudest. Tässä mielessä suunnikskin on puolisuunniks. Tutkitn puolisuunnikkn l piirtämällä puolisuunniks j jkmll se sitten kolmioiin smn tpn kuin edellä. Piirrän siis puolisuunnikkn j sille lävistäjän: Otn puolisuunnikkstni uuden kopion j piirrän seurvt puviivt tään uuteen kopioon punisell. Apuviivt ovt knnn jtke ylempi kdest ydensuuntisest on sekin nyt knt j kksi korkeusjn. Annn molemmille knnoille myös yksilöllisen nimen. A 1 A b

33 Ylemmän kolmion l merkitään A 1 :llä on on 1 1 b. Jos puolisuunnikkn koko l merkitään A:llä, niin j lemmn kolmion l vstvsti A A = A 1 + A, joten 1 1 A = + b 1 = ( + b) + b = Ytälön viimeisen muodon kirjoitin, kosk siitä puolisuunnikkn ln lskeminen on elppo tulkit niin, että puolisuunnikkn l on ydensuuntisten sivujen j b keskirvoll eli :llä ker- + b rotn korkeus. Puolisuunnikkn l on ydensuuntisten sivujen keskirvon j puolisuunnikkn korkeuden tulo eli A = ( + b) Esimerkki 6 Kiiln poikkileikkus on kuvn mukisen puolisuunnikkn muotoinen. Lske kiiln poikkileikkuksen l, kun sen ydensuuntisten sivujen pituudet ovt 8 cm j 10 cm j sen korkeus on,5 cm. 8 cm,5 cm 10 cm

34 8cm + 10cm, cm = cm Al on siis ( ) Vstus: Kiiln poikkipinnn l on 100. cm. Esimerkki 7 Rkennukseen tedään ikkun, jok on kden, pitkät ydensuuntiset sivut vstkkin setetun tskylkisen puolisuunnikkn muotoinen. Ikkunlt vditn myös, että sen kikki sivut ovt smnmittiset j että sen pint-l on m. Kuink leveä j korke ikkun on? Rtkisu Merkitään yden puolisuunnikkn korkeutt kirjimell, ytä pitkien sivujen pituutt kirjimell j pisintä sivu kirjimell b. Tällöin ikkunn korkeus on j lisäksi + b = m β s Olkoon vielä sivun j pisimmän sivun pituusero s. Vlitn yksi tuntemton, jonk vull muut kirjoitetn. Hyvä vitoeto tään näyttää olevn ikkunn sivu. Kosk ikkun on myös säännöllinen kuusikulmio, sen kden sivun välinen kulm on 10 steen suuruinen, joten β = 60º, jolloin = 30º (kolmion kulmien summ on 180º). Lsketn korkeus ensin. Kosini -funktion määritelmän mukn on cos =, joten 3 = cos 30 =. Lisäksi s cos β =,

35 jost s = cos 60 =. Kosk puolisuunnikkitten pitkä sivu b = + s, niin edellä olev ikkunn pint-ln ytälö + b = m sdn muotoon jost = 3 3 = 4 = ±, 3 3 = + (metriä). 3 3 Kosk kyseessä on jnn pituus, niin negtiivinen rvo ei tule kysymykseen. Kosk 3 =, niin yden puolisuunnikkn korkeus on = = metriä 3 j ikkunn koko korkeus on siis 3 metriä (eli noin 1,5 metriä). Ikkunn leveys on b = + s = + = = ( 175, ) metriä. Vstus: Ikkunn korkeus on 3 metriä j leveys on metriä.

36 Huom, että välitulosten likirvoj ei käytetty lskuiss vikk niitä nnettiin! II tp Tämä tetävä voidn lske kokonn myös niitten tietojen vull, mitä meillä on säännöllisestä kuusikulmiost. Lsketn se vielä niinkin. Rtkisu Olkoon säännöllisen kuusikulmion sivun pituus. Säännöllisen kuusikulmion voidn jtell koostuvn kuudest tssivuisest kolmiost, joiden kikkien kulmien suuruudet ovt 60 stett. Kosk kolmiot ovt siis tssivuiset, kunkin kolmion kikki sivut ovt ytä pitkät eli niitten pituus on. Piirretään kolmiolle korkeusjn säännöllisen kuusikulmion sivulle. Lsketn kolmion korkeus, jolloin meillä on riittävät tiedot ikkunn korkeuden lskemiseksi: ikkunn korkeus on. Pytgorn luseen mukn 3 = +, joten =. Kosk kuusikulmion l on kuusi kert yden kolmion l, sdn ytälö =. Ikkunn ln on m. Kun ytälö rtkistn, sdn =, 3 3 joten = = Stiin smt tulokset :lle j :lle j niin ollen myös ikkunn korkeudelle j leveydelle. Vstus: Ikkunn korkeus on 3 metriä j leveys on metriä.

37 Keskeisiä käsitteitä kärki sivu lävistäjä Monikulmiot piiri l Säännölliset monikulmiot Puolisuunnikkt Epäsäännölliset monikulmiot Kolmiot Tskylkiset kolmiot Nelikulmiot Tskylkiset puolisuunnikkt Tssivuiset kolmiot Vinoneliöt Suunnikkt Tylppäkulmiset kolmiot Suorkulmiset kolmiot Teräväkulmiset kolmiot Suorkulmiot Neliöt

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

http://www.math.helsinki.fi/solmu/

http://www.math.helsinki.fi/solmu/ 1/2000 2001 http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Solmu Solmu Solmu 1/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk d Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A1 Muotoilun milm j muotoilusuunnistus Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Etsitään j löydetään muotoilu ympäristöstä.

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Mitä ovat blogit? Mitä blogit ovat. Mahdollisuuksia Verkostoitumista Viestintää Todistusta

Mitä ovat blogit? Mitä blogit ovat. Mahdollisuuksia Verkostoitumista Viestintää Todistusta Kirsi Myllyniemi, Blogikurssi teologeille mlikuuss 2006 Mitä blogit ovt Mhdollisuuksi Verkostoitumist Mitä ovt blogit? Mhdollisuuksi Verkostoitumist Sn blogi tulee englnnin snoist web log. Se sisältää

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus E i j L e h t i n i e m i M e r v i Wä r e S L I N E N P I N E N H R J O I T U S V I H K O SLINEN KIRJSTO Hrjoitusvihkon Eij Lehtiniemi OPETTJN OHJEET Erityisopetus HRJOITUSVIHKON SISÄLTÖ Vlmiushrjoitukset

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot