5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja"

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + <, c) d) > +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) , b) n n, c) , d) n.. Määritä lusekkeiden rvot 4 ) (l), b) l= 5 ( )k, c) 4. Todist induktioperitteen vull, että n ) j n(n + )(n + ) =, n N, b) n n n +, n N. 6 j= 5. Millä reliluvun rvoill k= ) =, b) 7 =, c) = 5, d) 5 < 4, e), f) 4 >? 6. ) Osoit, että ( + b) b kikill, b. b) Sievennä () ( ) 8( ) (4 ). 7. Osoit, että + y, kun j y. 8. Olkoon z = i j w = + i. Lske z + w, z w, w, zw, iw, w, w, 9. Tutki, ovtko vektorit ) = i j k, = j + k, = i + 4 j k, b) v = i j + k, v = i + j k, v = i + j k j= 8. z w j w. linerisesti riippumttomi j muodostvtko ne vruuden R knnn. Jos vektorit muodostvt knnn, määrää vektorin u = (4,, 4) koordintit ko. knnn suhteen.. ) Olkoot A(,, ), B(,, ) j C(, 4, 5) vruuden R pisteitä. Lske AB AC j AB AC sekä vektoreiden AB j AC välinen kulm rdinein. b) Tutki, ovtko vektorit u 4 v j u + v kohtisuorss toisin vstn, kun tiedetään, että u = j v = sekä u v = 4.. Määrää reliluvut s j t siten, että u v = 5 i + 5 k, kun u = 4 i + s j t k j v = s i + j + s k. Tote, että tällöin u = v.. ) Tutki vektoritulon vull, ovtko vektorit u = i+6 j 9 k j v = 4 i 8 j+ k yhdensuuntiset. b) Tutki sklrikolmitulon vull, muodostvtko vektorit u = i j + k, v = 4 i + j 4 k j w = i + j + k knnn vektorivruuteen R.. ) Määrää sen suorn vektorimuotoinen prmetriesitys, jok kulkee pisteiden A(,, ) j B(,, ) kutt. Missä pisteessä suor leikk z-tson? Tutki, onko piste Q(4, 5, 5) tämän suorn piste. b) Olkoot l : p = + t u = (,, ) + t(,, ), t R, j l : r = b + s v = (,, ) + s(,, ), s R, kksi suor. Määrää suorien leikkuspiste sekä sen suorn vektorimuotoinen prmetriesitys, jok kulkee suorien leikkuspisteen kutt j jonk suuntvektori on kohtisuorss suorien l j l suuntvektoreit u j v vstn.

2 4. Määrää vektoritulon vull pisteen P (,, ) etäisyys suorst l : p = (,, 5) + t(,, ), t R. 5. Määrää pisteiden A(, 7, ), B(4,, ) j C(, 4, ) kutt kulkevn tson vektorimuotoinen prmetriesitys j yhtälö normlimuodoss + by + cz + d =. 6. Määrää tson T : p = + s u + t v = (,, ) + s(,, ) + t(,, ), s, t R, j suorn l : r = b + m w = (,, ) + m(,, ), m R, leikkuspiste sekä pisteen P (, 4, ) etäisyys tsost T. 7. ) Osoit, että pisteen P (, y, z ) etäisyys tsost T : + by + cz + d = voidn lske kvst + by + cz + d. + b + c b) Määrää piste P -kselilt siten, että sen etäisyys tsoist T : 6y + 5z + = j T : + y z = on yhtä suuri. 8. Ellipsin isokseli on suorll y = j pikkukseli suorll =. Lisäksi ellipsin isokselin pituus on j polttopisteiden välinen etäisyys 6. Määritä ellipsin yhtälö muodoss A +By +C+Dy+E =, missä A, B, C, D, E R. Mikä on ellipsin eksentrisyyden e lukurvo? 9. Määrää hyperbelin 9y + 8 = keskipiste sekä eksentrisyyden e lukurvo.. Määrää prbelin y + = huippu.. Määritteleekö yhtälö ) y =, b) y =, c) y = + y:n :n funktion? Hhmottele kuvjt.. Määrää funktion f määritysjoukko, kun ) f() =, b) f() = , c) f() = ) Olkoot f j g funktioit, joille f() = j g() =. Määrää funktiot f + g, fg j f g määritysjoukkoineen M f+g, M fg j M f. g b) Olkoon f() = 5 + funktio, jonk määritysjoukko M f = [, [. Olkoon edelleen g() = 5 funktio, jonk määritysjoukko M g = [4, [. Määrää yhdistetyt funktiot f g, g f j f f määritysjoukkoineen M f g, M g f j M f f. 4. Tutki funktion f prillisuus/prittomuus, kun ) f() = +, b) f() = +, c) f() = +, d) f() =, e) 5 f() = 5 +,. 5. Määritä funktion f perusjkso, kun ) f() = cos(7), b) f() = sin(), c) f() = tn(5). 6. Rtkise ) sin() = cos, b) cos() >, c) sin() <.

3 7. Esitä seurvt lusekkeet muodoss A sin(ω + ϕ): ) sin() + cos(), b) 4 sin + cos. 8. Rtkise ) + =, b) > 4, c) ( ), d) =, e) e e =, f) sinh() =. 9. Mikä on funktion f käänteisfunktio f määritysjoukkoineen M f, kun ) f() = +, b) f() = +, 6, c) f() = 5 8,?. Rtkise ) log = 5, b) log 4 ( + 4) log 4 ( + ) =, c) log ( + + ).. Määritä funktion f määritysjoukko M f j kuvjoukko K f, kun ) f() = sin(rc sin ), b) f() = sin(rc cos ), c) f() = cos(rc sin ). Sievennä f:n määrittelylusekkeet.. Rtkise ) rc sin() =, b) rc cos(4) <, c) rc tn(4 + ) > 4.. Lske rj-rvot ) lim, b) lim ( ), c) lim, sin() d) lim 4. Lske rj-rvot, e) lim sin(4), f) lim cos sin ) lim 7, b) lim + 9 +, sin() + 9. c) lim ( + ), d) lim Määritä ) lim 6. Määritä ( ) lim sin, b) lim ), b) lim, c) lim ln cos( ) Olkoon + sin(b), < f() = cos() +, < cosh(ln( )) + b,. Määritä ne vkioiden, b R rvot, joill funktio f on jtkuv koko relilukujen joukoss R. 8. Osoit, että välillä [, ] funktio f() = 4 sin() + s rvon ) Osoit, että yhtälöllä sin = on inkin yksi rtkisu. b) Funktio f on jtkuv välillä [, ] j < f() <, kun. Osoit, että funktioll f on inkin yksi kiintopiste välillä ], [ ts. inkin yksi ], [ siten, että f( ) =.

4 4. Johd derivtt määritelmää käyttäen funktiolle ) f() = 5 +, b) f() =, >. 4. Esitä derivtt käyttäen (vliten sopivt merkinnät): ) kppleen nopeus on suorn verrnnollinen ikn, b) kppleen lämpötiln muutosnopeus on suorn verrnnollinen kppleen j ympäristön lämpötiln erotukseen, c) kppleen kiihtyvyys on kääntäen verrnnollinen nopeuteen. 4. Määritä prbelin y = f() = + ) pisteen (, ) kutt kulkev tngentti, b) pisteen (, ) kutt kulkevt tngentit. 4. Pllon säteen r rvo sdn mittuksi trkkuudell r. cm. Määritä differentili pun käyttäen r:n mittusvirheestä pllon tilvuuden V (r) = 4 r j pint-ln A(r) = 4r rvoon iheutuv bsoluuttinen j suhteellinen virhe, kun r:ksi mitttiin. cm. 44. Derivoi ) e e +, b) (4 + + ) cos(), c) 45. Derivoi tn() +. ) e, b) ln( 4 + ), c) tnh(), d) rc sin( ), e) rc tn(e ), f) cos, g) e ln, h) e, i) ln(ln + 4). 46. ) Lske (f ) (), kun f() = +, 6. b) Voidn osoitt, että funktioll f() = ln( + ) + 4 rc tn( + ), > on olemss käänteisfunktio. Määritä (f ) (). 47. Näytä, että funktio y(t) = Ce t, missä C, R, toteutt yhtälön y (t) y(t) =. Mikä on y(t), kun = j y() = 4? 48. Olkoon y() = C sin() + C cos(), C, C R. Näytä, että y toteutt yhtälön y + 4y =. Määritä selliset vkiot C j C, että y() = j y () =. 49. Lske rj-rvot ) lim ln( ) + 4, b) lim sin() + e cos(), c) lim ln(sin ) ( ), d) lim + ln(), e) lim (e + ), f) lim ( + sin( )). 5. ) Osoit derivtn vull, että funktioll f() = 5 4 4, R, on käänteisfunktio y = f (). Lske (f ) (8). b) Osoit derivtn vull, että funktioll f() = e 6( ), >, on käänteisfunktio, j määrää käänteisfunktion kuvj y = f () pisteessä (7, ) sivuvn tngentin yhtälö. 5. ) Määrää funktion f() = ( ) kriittiset pisteet j käännepisteet. Tutki myös kriittisten pisteiden ltu. b) Määrää funktion f() = e piklliset äärirvot. 5. Määrää funktion f() = rc tn suurin j pienin rvo välillä [, ].

5 5. Määrää kokonisdifferentili usen muuttujn funktiolle f, jolle ) f(, y, z) = yz + yz + y, b) f(, y) = y cos y. 54. Rinnn kytkettyjen vstusten R j R kokonisvstus on R = R R R +R. Kuink suuri on korkeintn R:n bsoluuttinen j suhteellinen virhe, kun mitttiin ohmin trkkuudell R = j 4 ohmin trkkuudell R =. 55. Yhtälö + y +y = 4 määrittelee muuttujn y muuttujn funktion (y = f()) pisteen (, ) ympäristössä. ) Osoit, että piste (, ) on yhtälön määrittelemällä käyrällä. b) Määrää y ( ). c) Määritä käyrää pisteessä (, ) sivuvn tngentin yhtälö. 56. Funktio y = f() määritellään implisiittisesti yhtälöllä e y (y y + ) = 9. Määritä derivtt y () = f () implisiittisesti eli muuttujien j y vull lusuttun. 57. Määrää y muuttujien j y vull, kun y + y =. 58. Olkoon y-tson käyrä. (t) = t + t y(t) = t + t, t >, t ) Määrää käyrää pisteessä (, ) sivuvn tngentin yhtälö. b) Määrää ne käyrän pisteet, joiss tngentin kulmkerroin on 9. c) Määrää niiden tngenttien yhtälöt, jotk käyrälle voidn piirtää origon (, ) kutt. 59. Olkoon kppleen pikk jnhetkellä t yhtälön mukinen. ) Mikä on kppleen pikk hetkellä t =? b) Millä hetkellä kpple on pisteessä ( 4, 5 4 )? r(t) = (rc tn( et ), e t + ) c) Mikä on kppleen nopeus, vuhti j kiihtyvyys pisteessä ( 4, 5 4 )? 6. Lske käyrän ((t), y(t)) = ( t, ln(t + )), t krevuus pisteessä (4, ln 5) ) lähtien nnetust prmetrimuodost, b) muuntmll ensin käyrän yhtälö muotoon y = y(). 6. ) Lusu npkoordinteiss y-tson piste (, ). b) Lusu npkoordinteiss ympyrän ( + ) + y = 9 yhtälö. 6. ) Minkä y-tson pisteen npkoordinttiesitys on (r, φ) = (5, 4 )? b) Minkä y-tson käyrän npkoordinttiesitys on r = 5 sin φ (määritä myös järkevät φ:n rvot)? 6. Esitä seurvt kompleksiluvut muodoss z = re iφ : ) 7, b) 5i, c) + i ) Mille kompleksiluvuille z on voimss yhtälö z + 4z + =? b) Ann yhtälön z + 7 = kikki rtkisut sekä muodoss z = re iφ, missä r > j φ [, [, että muodoss z = + ib, missä, b R.

6 65. Määrää ) ( ) d, b) d) 9 d, e) + 4 d, c) 5 d, f) + ( ) d, d. 66. Integroi ) sin(4) d, b) sin (4) d, c) sin (4) d, d) cos (4) d, tn (4) e) cos d, f) tn () d, g) e d, h) cos()e sin() d, (4) i) e ln() d, j) sin() cos()e cos () d, k) d, l) ln() d, m) d, n) d, o) + + d, p) d Lske määrätyt integrlit ) d) 6 ( e ) d, b) tn() d, e) 68. Määritä se funktion / /4 e 4 d, c) ln cosh(4) d, ln d, f) e 4 e + d. f() = 4 + integrlifunktio, jonk kuvj kulkee pisteen (5, ) kutt. 69. Olkoon f() = Määritä funktion f piklliset äärirvokohdt. 7. Lske 7. Lske cos() + d. ) e d, b) d) rc tn() d, e) 7. Lske nnettu sijoitust käyttäen: ) c) (t )e t dt. sin() d, c) e + e d, t = e, b) ( 4) + 5 d, t = + 5, d) ln d, + 7 d, f) e sin d. 5 4 d, t = 4,, ( + ) d, t = ) Määritä käyrän y = f() = 4 7, -kselin sekä suorien = j = rjoittmn + äärellisen lueen pint-l. b) Määritä käyrän = y j suorn y = rjoittmn lueen pint-l.

7 74. ) Lske npkoordinttimuodoss nnetun käyrän r = φe φ sekä positiivisen - j positiivisen y-kselin väliin jäävän lueen l. b) Lske npkoordinttimuodoss nnettujen käyrien r = ( +φ) j r = φ väliin jäävän lueen pint-l, kun φ. 75. Lske ) d, b) + 9 d, c) 9 d, d) 9 d, e) 9 9 d. 76. Integroi ) d, b) ) Määrää sellinen funktion 6 4 ( d, c) ) f() = ( + ) (4 + ) integrlifunktio, jonk kuvj kulkee pisteen (, 4 ) kutt. b) Lske sijoitust t = e käyttäen 78. ) Käyrä e + e + 8e (e + ) (e + ) d ( + ) ( ) d. y = f() = 4 + ( + )( + 4), pyörähtää -kselin ympäri. Lske muodostuneen kppleen tilvuus. b) Käyrien y = j y = rjoittm lue pyörähtää -kselin ympäri. Lske muodostuneen kppleen tilvuus. 79. Yhtälön (y )(y + 4y + 7) = y + 7y 6,, y määrittämä käyrä pyörähtää y-kselin ympäri. Lske muodostuneen kppleen tilvuus. 8. ) Lske kren pituus funktiokäyrälle y =, 8. b) Lske prmetriesityksen { = t + y = t määrittelemän käyrän pisteiden (, ) j (, ) välisen kren pituus. c) Lske kren pituus npkoordinttiesityksen määrittelemälle käyrälle r = e φ, φ. 8. ) Käyrä y =, pyörähtää -kselin ympäri. Lske muodostuneen kppleen vipn l. b) Lutsntennin heijstuspinnn voidn tulkit muodostuneen siten, että prbelin kri y =, 6 5 on pyörähtänyt y-kselin ympäri. Lske ntennin heijstuspinnn pint-l.

8 Vstuksi hrjoitustehtäviin syksy 4. ) = ti = ti = 4 b) < ti > c) 4 < d) < ti < < 7 e) ti < +. ) 5 n k b) k k d) n ( ) k k k= k= k c) k k= k=. ) b) 4 c) 8 5. ) = ti = b) = ± ti = ± c) ei millään reliluvun rvoll d) 5 < < e) ei millään reliluvun rvoll f) kikill reliluvun rvoill 6. b) z + w = 5 i, z w = 4i, w = i, zw = 9 7i, iw = + i, w = i, w =, z w = i, w = 8 + 6i 9. ) ei, eivät muodost knt b) kyllä muodostvt knnn, vektorin u koordintit,,. ) AB AC = 6, AB AC =, kulm.9 rd b) eivät ole kohtisuorss toisin vstn. s = ± j t =. ) ovt yhdensuuntiset b) muodostvt knnn. ) p = ( t) i + ( + t) j + ( t) k, t R, piste (,, ), piste Q(4, 5, 5) on suorn piste b) leikkuspiste (,, 6), suor p = ( + t) i + ( + t) j + (6 t) k, t R p = ( + s + t) i + (7 s t) j + ( + 4s + 4t) k, s, t R, 8 + 4y z 78 = 6. leikkuspiste ( 4,, 7 ), etäisyys 6 7. b) P (,, ) ti P ( 4,, ) y + y 84 =, e =.6 9. keskipiste (, ), e =. huippu (, ). ) kyllä b) ei c) kyllä. ) M f = R \ { 4, } b) M f =], [ c) M f = [ 4, 4] \ {}. ) (f + g)() = + 5, M f+g = R \ {, }, (fg)() = +, M fg = R \ {, }, ( f g )() = , M = R \ {, } f g b) (f g)() =, M f g = [8, [, (g f)() =, M g f = [, [, (f f)() = , M f f = [, [ 4. ) prillinen b) priton c) ei prillinen eikä priton d) prillinen e) priton 5. ) 7 b) c) 5 6. ) = 4 + n, n Z ti = 8 + n, n Z b) 6 + n < < 6 + n, n Z c) 5 + n < < 7 + n, n Z 7. ) sin( + 4 ) b) 5 sin( +.645) 8. ) = ln ln 4 ln ln ln b) < ln c) + ln d) = ln e) = ln( + ) f) = ln( + ) 9. ) f () = ( ), M f = R b) f () = + M f = [ 7, 4 5 ] 4+96 c) f () = 5, M f = [, ]. ) = 5 b) = c) < <. ) M f = [, ], K f = [, ], f() = b) M f =], ] [, [, K f = [, [, f() = c) M f = [, ] K f = [, ] f() =. ) = 6 b) < 4 c) >. ) b) c) 6 d) e) 4 f) 8 4. ) 7 b) c) d) 5. ) b) c) ei ole olemss 6. ) b) 7. = 7, b = 7 4. ) + b), > 4. ) d dt dt = kt b) dt = c(t (t) T (t)) c) dv dt = r v 4. ) y = 4 + b) y =, y = V.4 cm, V V %, A 7.6 cm, A A 7% e 44. ) (e +) b) (8 + ) cos() ( ) sin() c) ( tn() +) cos () ( +)

9 45. ) e b) c) cosh () d) e e) +e f) ln sin cos g) e ( ln + ) h) e e ( ln + ) i) ( +4) ln( +4) 46. ) (f ) () = 4 (+), 7 < < 4 5 b) (f ) () = 47. y(t) = e t 48. C =, C = 49. ) 6 5 b) 6 c) 8 d) e) e f) e 6 5. ) (f ) (8) = 96 b) y = ) = j = 5 5 = j = 5 5 itoj pikllisi mksimipisteitä, itoj pikllisi minimipisteitä, käännepisteet (, ), ( 5 5, ), ( 5 5, ) b) f() = ito pikllinen minimi, f() = 4e ito pikllinen mksimi 5. suurin rvo f() =, pienin rvo f( ) = + 5. ) df = (yz + yz + y) d + (z + z + ) dy + (yz + yz) dz b) df = ( y cos( y ) sin( y )) d + ( cos( y ) + y sin( y )) dy 54. R Ω, R R % 55. b) y ( ) = 4 c) y = y () = e y (y +) 57. y () = 8 (+y) 58. ) y = 9 4 b) (, ) c) y = 59. ) (rc tn( ), ) b) t = ln c) nopeus r (ln ) = i j, vuhti r (ln ) =, kiihtyvyys r (ln ) = j 6. κ = ) (r, φ) = (, ) b) r = cos φ + cos φ + 8, φ [, [ 6. ) (, y) = ( 5, 5 ) b) + (y 5 ) = ( 5 ), φ [, ] 6. ) 7 = 7e i b) 5i = 5e i c) + i 5 = 6e irc tn ) z = ± i b) z = e i = + i, z = e i = + i, z = e i 5 = + i( ) 65. ) + 4 ln ( ) C b) C c) 6 ( ) + C d) 8 ln(9 + ) + C e) 5 rc tn(5) + C f) ln + C 66. ) 4 cos(4) + C b) 6 sin(8) + C c) 4 cos(4) + cos (4) + C d) 4 tn(4) + C e) tn (4) + C f) tn() + C g) e + C h) e sin + C i) e + C j) + C k) ecos ln () + C l) ln ln() + C m) rc tn( 4 5 ) + C n) rc tn( + ) + C o) 4 rc sin( 4 ) + C p) rc sin( ) + C 67. ) ln e + e b) e 4 c) 55 8 d) ln e) 6 f) ln F () = rc tn( ) 69. = ito pikllinen mksimikoht, = ito pikllinen minimikoht ) e 9 e + C b) 8 c) ln d) 4 rc tn() rc tn() C e) f) 5 e (cos + sin ) + C 7. ) rc tn(e ) + C b) 4 5 c) 5 88 ( 5 d) + ) C 7. ) ln( 9 ) b) ) 8 ( e ) b) ) rc tn()+c b) 8 ln 9 +C c) ) ln + + C b) ln ) F () = + + rc tn() ) ln 7 b) b) ln( e+ 79. ln rc tn ( ) 8. ) 7 (7 7 ) b) ( ) c) ( e ) 8. ) (48 4) b) ( ) ln +C d) 54 ln 9 +C e) ln 9 +C + C c) ln (+) + + C e + ) + (e ) (e+) + rc tn(e) 4

10 u v = KAAVAKOKOELMA VÄLI- JA LOPPUKOKEISIIN u i v i u v = i= d(p, l) = i j k u u u v v v u ( AP ) u sin + cos = tn = sin ( ) sin = sin( ) = cos u v w = u u u v v v w w w n ( AP ) d(p, T ) = n cot = cos tn ( ) cos = cos( ) = sin sin = sin cos cos = cos sin = cos = sin sin α = b sin β = c = b + c bc cos α sin γ sin( + y) = sin cos y + cos sin y cos( + y) = cos cos y sin sin y sinh = (e e ) cosh = (e + e ) tnh = sinh coth = cosh cosh sinh cosh sinh = D n = n n D sin = cos D cos = sin D tn = cos = + tn De = e D = ln ( > ) D ln = Drc sin = Drc cos = D log = ( >, ) ln Drc tn = + (f ) (y ) = f ( ), missä y = f( ) κ(t) = (t)y (t) (t)y (t) [( (t)) + (y (t)) ] n d = n+ + C (n ) d = ln + C tn d = ln cos + C n + d cos = ( + tn d ) d = tn + C sin = ( + cot ) d = cot + C d d = rc sin + C = rc tn + C + s = b A = b φ f() d A = (r(φ)) dφ φ φ + (f ()) d s = (r (φ)) + (r(φ)) dφ s = V = b φ (f()) d b A = b f() + (f ()) d Q() = ( ) k... ( r ) k r ( + c + d ) l... ( + c s + d s ) l s ; P () Q() = A, A,k ( ) k A r, r A r,k r ( r ) k r ( (t)) + (y (t)) dt + B, + C, + c + d B,l + C,l ( + c + d ) l B s, + C s, B s,l s + C s,ls + c s + d s ( + c s + d s ) ls ϕ cos ϕ sin ϕ 6 4

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset BMA58 Integrlilskent j sovellukset Jouni Smpo 6. helmikuut 7 Sisältö Integrointitekniikoit. Osittisintegrointi (Integrtion by prts)....................... Sijoitus (Method of Substitution)..........................

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset BM20A5820 Integrlilskent j sovellukset Jouni Smpo 16. helmikuut 2016 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution)..........................

Lisätiedot

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen 76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä 766319A Sähkömgnetismi, 7 op Vnhoj tenttitehtäviä 1. Puoliympyrän muotoon tivutettu suv on vrttu tsisesti siten, että vrus pituusyksikköä kohti on λ. Puoliympyrän säde on. Lske sähkökenttä puoliympyrän

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 6, mallivastaukset Syksy 2016

Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 6, mallivastaukset Syksy 2016 Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 6, mllivstukset Syksy 016 Tehtävä 3 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä. Vlmistudu esittelemään

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot